CIU RM VIII Expresiones Racionales

República Bolivariana de Venezuela

Ministerio de la Defensa

Universidad Nacional Experimental Politécnica de la Fuerza Armada

Núcleo Caracas

Curso de Inducción Universitaria CIU

Cátedra: Razonamiento Matemático

EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES GUÍA CIU NRO: 8

COMISIÓN DE APOYO A RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

Integrado por: INTEGRANTES: Ing. Beliana Gómez Ing. Elvia Moreno Ing. Mixef Rojas Lic. Teresa Gómez Prof. Neida González

Expresiones Algebraicas Racionales 1

COMISIÓN DE APOYO RAZONAMIENTO MATEMÁTICO (C.I.U.)

EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES

En la Guía # 5, habíamos clasificado las Expresiones Algebraicas según su tipo: Enteras,

Racionales, Radicales y Combinadas. En este módulo vamos a trabajar con las Expresiones

Algebraicas Racionales y cuya definición es como sigue:

Es el cociente de dos expresiones algebraicas enteras, donde el denominador es

diferente de cero.

Ejemplos: xyyx

yxyy

xxx

++

+++

54,

75,

2953 2

2

3

2

35

1.-Simplificación de Expresiones Racionales:

Simplificar una expresión algebraica racional es transformarla en otra equivalente cuyo

numerador y denominador sólo admiten como factor común a 1. Para simplificar una expresión

algebraica fraccionaria se siguen los siguientes pasos:

Paso 1: Se factorizan el numerador y el denominador de la expresión.

Paso 2: Se suprimen o cancelan los factores comunes del numerador y del denominador.

Los siguientes ejercicios sirven para ver como simplificamos expresiones racionales.

Ej.14. Simplifique la expresión ba

bababa2

233422

48124 −+ , en donde a ≠ 0 y b ≠ 0.

Solución:

Factorizamos por factor común la expresión en el numerador, de tal manera que uno de los

factores en el numerador sea igual al denominador.

ba

bababa2

233422

48124 −+ = ( )

baabbabba

2

222

4234 −+

( )ba

abbabba2

222

4234 −+

= = b + 3a2b2-2ab

Respuesta: ba

bababa2

233422

48124 −+ = b + 3a2b2-2ab

Ej.15. Simplifique la expresión 4010

1052 −−

xx , en donde x ≠ 2

Solución:

Paso 1: Factorizamos el numerador )2(5105 −=− xx



Factorizamos el denominador )2)(2(10)4(104010 22 +−=−=− xxxx

Paso 2: Colocamos los factores obtenidos en el numerador y denominador respectivamente:

)2)(2(25)2(5

4010105

2 +−⋅−

=−−

xxx

xx y cancelamos los factores comunes

)2(21

)2)(2(25)2(5

+=

+−⋅−

xxxx

Entonces

Respuesta: 4010

1052 −−

xx ( )22

1+

=x

Ej.16. Simplificar la expresión 32

621242

23

−++++

xxxxx , donde x ≠ -3 y x ≠ 1.

Solución:

Paso 1: Factorizamos el numerador y el denominador

= ( ) ( )( )( )13

3234 2

−++++

xxxxx

= ( )( )( )( )13

243 2

−+++

xxxx

Paso 2: Simplificamos factores iguales

= ( )( )( )( )13

243 2

−+++

xxxx =

124 2

−+

xx

Respuesta: 32

621242

23

−+

+++

xxxxx =

124 2

−+

xx

Ej.17. Simplificar la expresión yxyxyxyx

+++−−+

3322 , donde x ≠ -1 y y ≠-3.

Solución:


=)1()1(3)1()1(2

3322

++++−+

=+++−−+

xyxxyx

yxyxyxyx

= )3)(1()2)(1(

yxyx

++−+




)3()2(

)3)(1()2)(1(

yy

yxyx

+−

=++−+

Respuesta: yxyxyxyx

+++−−+

3322 =

yy

+−

32

Ej.18. Simplificar la expresión 122072

128234

23

−+−−+−−

xxxxxxx

Solución:


)1)(3()2(

)3()2(122072

1282

2

234

23

−+−+−

=−+−−

+−−xxx

xxxxxx

xxx Método de Ruffini


)1)(3()2(

)3()2(2

2

−+−+−

=xxx

xx =1

1−x

Respuesta: 122072

128234

23

−+−−+−−

xxxxxxx =

11−x

2.-Mínimo Común Múltiplo de Expresiones Algebraicas

El Mínimo común Múltiplo de dos o más expresiones algebraicas es una expresión algebraica

de menor coeficiente numérico y de menor grado que es divisible exactamente por cada una de las

expresiones dadas.

2.1.-Mínimo Común Múltiplo (m.c.m.) de Monomios:

La secuencia de pasos para hallar el m.c.m. de monomios es la siguiente:

Paso 1: Se halla el m.c.m. de los coeficientes constantes de la expresión.

Paso 2: Se escriben las variables (letras ) distintas , sean o no comunes, asignándole a cada variable el

mayor exponente que tenga entre las expresiones dadas.

Paso 3: El m.c.m. de los monomios es la multiplicación de los elementos hallados en el Paso 1 y

Paso 2.

Veamos a continuación varios ejemplos del cálculo de m.c.m. de monomios:

Ej.19. Hallar el m.c.m. de los siguientes monomios: , y 33ax xa 35 226 xa

Solución:


COMI ENTO MATEMÁTICO (C.I.U.)

Paso 1: Hallamos el m.c.m. de 3, 5 y 6: m.c.m.(3,5,6) = 253 ⋅⋅ =30

Paso 2: Escribimos las variables y/o letras : y a x , con su mayor exponente: , . 3a 3x

Paso 3: El resultado del m.c.m. de los monomios es la multiplicación de los elementos hallados : 3330 xa

Respuesta: El m.c.m.( , , )= 30 . 33ax xa 35 226 xa 33 xa

Ej.20. Hallar el m.c.m. de los siguientes monomios: , 4322 25,20,10,15 mnnmmn

Solución:

Paso 1: Hallamos el m.c.m. de 15,10,20,25 : m.c.m.(15,10,20,25) = =300 22 253 ⋅⋅

Paso 2: Escribimos las variables y/o letras: y , con su mayor exponente: y . m n 2m 4n

Paso 3: El resultado del m.c.m. de los monomios es la multiplicación de los elementos hallados : 42300 nm

Respuesta: El m.c.m.( )= . 4322 25,20,10,15 mnnmmn 42300 nm

Ej.21. Hallar el m.c.m. de los siguientes monomios: : 423332 6,4,3 xzyxzyx

Solución:

Paso 1: Hallamos el m.c.m. de 3,4 y 6 : m.c.m.(3,4,6) = =12 223 ⋅

Paso 2: Escribimos las variables y/o letras : yx , y , con su mayor exponente: , y . z 4x 3y 2z

Paso 3: El resultado del m.c.m. de los monomios es la multiplicación de los elementos hallados: 23412 zyx

Respuesta: El m.c.m.( )= 12 . 423332 6,4,3 xzyxzyx 234 zyx

2.2.-Mínimo Común Múltiplo (m.c.m.) de Polinomios:

La secuencia de pasos para hallar el m.c.m. de polinomios es la siguiente:

Paso 1: Se factorizan los polinomios, esto se llama descomponer los polinomios en factores primos.

Paso 2: El m.c.m. de los polinomios es el producto de los factores primos, comunes y no comunes con

su mayor exponente.

Veamos a continuación varios ejemplos del calculo de m.c.m. de los polinomios:

Ej.22. Hallar el m.c.m. de los siguientes polinomios: , 22 484 ayaxyax +− ybxb 22 66 −

Solución:

Paso 1: Primero factorizamos 22 484 ayaxyax +−

SIÓN DE APOYO RAZONAMIFactor común 4a



)2(4484 2222 yxyxaayaxyax +−=+−

222 )(4)2(4 yxayxyxa −=+−= 222 )(2 yxyxyx −=+−

2222 )(2)2(4 yxayxyxa −=+−=

Luego factorizamos el segundo polinomio: 6 ybxb 22 6−

)(666 222 yxbybxb −=−

)(3266 222 yxbybxb −⋅⋅=−

Paso 2: El m.c.m. de los polinomios es el producto de los factores primos comunes: 2 y )( yx − y lo

no comunes : 3, , con su mayor exponente, es decir: bya

el m.c.m. de ( , ) = . 22 484 ayaxyax +− ybxb 22 66 − 222 )(32 yxba −⋅⋅⋅⋅

Respuesta: El m.c.m. , = 12 . ( 22 )( yxab −22 484 ayaxyax +− )ybxb 22 66 −

Ej.23. Hallar el m.c.m. de los siguientes polinomios: , , y

)( 22 baba +− 22 ba − 22 2 baba ++

)( 22 ba +

Solución:

Paso 1: Primero factorizamos )( 22 baba +−

222 )()( bababa −=+−

Luego factorizamos el segundo polinomio : 22 ba −

))((22 bababa −+=−

Factorizamos el tercer polinomio 22 2 baba ++

222 )(2 bababa +=++

Y por último el polinomio ( no es factorizable ( Leer Observación en la Pág. 7, Guía de

Factorización) .

)22 ba +

Paso 2: El m.c.m. de los polinomios entonces será: el producto de los factores comunes y no comunes

con su mayor exponente: ( )()() 2222 bababa ++−

Respuesta: El m.c.m.( , , , ( ) =. ( )( 22 baba +− ) )()() 2222 bababa ++−

Producto Notable

22 ba − 22 2 baba ++ 22 ba +

4 = 22 Factores primos

Factor común 26b

6= 32 ⋅ Factores primos

Producto Notable

Producto Notable: Suma por diferencia

Producto Notable



Ej.24. Hallar el m.c.m. de los siguientes polinomios: , y

.

xxx 52015 23 ++ 133 23 −+− xxx234 31827 xxx ++

Solución:

Paso 1: Primero factorizamos 15 xxx 520 23 ++

Factor Común 5x )143(552015 223 ++=++ xxxxxx

)1)(13(5)143(5 2 ++=++ xxxxxx Producto de Binomios

Luego factorizamos el segundo polinomio 3 : 13 23 −+− xxx

)1()1(3133 2223 −+−=−+− xxxxxx Agrupación de Términos

)13)(1()1()1(3 222 +−=−+− xxxxx Factor Común 12 −x

Diferencia de Cuadrados

)1)(1()1( 2 −+=− xxx )13)(1)(1()13)(1( 2 ++−=+− xxxxx

Entonces, )13)(1)(1(133 23 ++−=−+− xxxxxx

Factorizamos el tercer polinomio 234 31827 xxx ++

) Factor Común 3 2x

Trinomio Cuadrado Perfecto

169(331827 22234 ++=++ xxxxxx2222 )13(3)169(3 +=++ xxxxx

Entonces, 22234 )13(331827 +=++ xxxxx

Paso 2: El m.c.m. de los polinomios entonces será: el producto de los factores comunes y no comunes

con su mayor exponente: 3 )1)(1()13(5 22 +−+⋅ xxxx

Respuesta: El m.c.m.( 15 , , ) xxx 520 23 ++ 133 23 −+− xxx 234 31827 xxx ++

=.15 )1)(1()13( 22 +−+ xxxx

3-Operaciones básicas sobre expresiones algebraicas Racionales:

3.1.-Suma y Resta de expresiones algebraicas Racionales:

Dadas las expresiones algebraicas racionales, para realizar la suma o resta de dichas

expresiones vamos a considerar 2 casos

Caso 1: Si tienen el mismo denominador, en el resultado se coloca el denominador común y se suman

( o restan ) los numeradores.



Ej.25. Resolver 23

11523

562 22

+−+

++

+−x

xxx

xx

Solución:

23115

23562 22

+−+

++

+−x

xxx

xx =23

115562 22

+−+++−

xxxxx

Agrupamos términos semejantes y obtenemos:

Respuesta: 23

11523

562 22

+−+

++

+−x

xxx

xx =23

63 2

+−−

xxx

Ej.26. Resolver 9153

9122

2

2

2 +−

−+

−xx

xx

Solución:

9153

9122

2

2

2 +−

−+

−xx

xx =

9)153(122

2

2

+−−−

xxx

9153122

2

2

++−−

xxx

Agrupamos términos semejantes y obtenemos:

Respuesta: 9153

9122

2

2

2 +−

−+

−xx

xx =

931217

2

2

+−−

xxx

Caso 2: Si tienen denominadores diferentes, seguiremos los siguientes pasos:

Paso 1: Se simplifican cada una de las fracciones dadas si es posible.

Paso 2: Se factorizan los denominadores de cada uno de los términos racionales

Paso 3: Se halla el m.c.m. de los denominadores, este resultado se coloca como el denominador de la

suma algebraica.

Paso 4: Se divide el m.c.m. de los denominadores entre cada denominador y ese resultado se

multiplica por su respectivo numerador.

Paso 5: Se resuelve el numerador resultante y se efectúa la suma algebraica ( suma o resta) agrupando

términos semejantes.

Ej.27. Resolver 22

22

54

33

baabba

abba −+

+

Solución:

Paso 1: Simplificamos el segundo término de la expresión dada:



2222

22

5)4(

54

babaab

baabba −

=− Factor Común ab

abba

babaab

54

5)4(

22

−=

− Simplificamos ab

Y nos queda la siguiente suma: ab

baab

ba5

43

3 −+

+

Paso 2 y 3: Hallamos el m.c.m. de los denominadores: m.c.m.(3ab, 5ab) =15ab y colocamos este valor

como el denominador de la suma

abba

abba

54

33 −

++ =

ab15

Paso 4: Luego dividimos cada uno de los denominadores entre m.c.m. y lo multiplicamos por su

numerador respectivo.

abba

abba

54

33 −

++ = ( )

abbaba

15)4(335 −++

Paso 5: Resolvemos el numerador y efectuamos la suma algebraica de los términos.

( )ab

baab

babaab

baba15

3815

12315515

)4(335 +=

−++=

−++

Entonces: Respuesta: 22

22

54

33

baabba

abba −+

+ =ab

ba15

38 +

Ej.28. Resolver 1

122

133

12 −

+−

++ xxx

Solución:

Paso 1: Cada uno de los términos está en su mínima expresión.

Paso 2: Factorizamos cada uno de los denominadores de cada uno de los términos:

)1(333 +=+ xx ; )1(222 −=− xx ; y nos queda: )1)(1(12 −+=− xxx

)1)(1(1

)1(21

)1(31

−++

−+

+ xxxx

Paso 3: Hallamos el m.c.m. de los denominadores: factores comunes y no comunes con su mayor

exponente: m.c.m.= y colocamos este valor como el denominador de la suma )1)(1(6 −+ xx

)1)(1(1

)1(21

)1(31

−++

−+

+ xxxx=

)1)(1(6 −+ xx





)1)(1(1

)1(21

)1(31

−++

−+

+ xxxx=

)1)(1(6161)1(31)1(2

−+⋅+⋅++⋅−

xxxx


=−+

+++−)1)(1(6

6)1(3)1(2xxxx

=−++++−)1)(1(6

63322xx

xx)1)(1(6

75−+

+xx

x


122

133

12 −

+−

++ xxx

=)1)(1(6

75−+

+xx

x

Ej.29. Resolver 65

66

24

1222 +−

++

−−−

+−−

aaa

aaa

aa

Solución:



)2)(2(42 +−=− aaa ; ; y nos queda: )2)(3(62 +−=−− aaaa )2)(3(652 −−=+− aaaa

)2)(3(6

)2)(3(2

)2)(2(1

656

62

41

222 −−+

++−

−+

+−−

=+−

++

−−−

+−−

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

aa


exponente: m.c.m.= )3)(2)(2( −+− aaa y colocamos este valor como el denominador de la suma

=−−

++

+−−

++−

−)2)(3(

6)2)(3(

2)2)(2(

1aa

aaa

aaa

a)3)(2)(2( −+− aaa



=−−

++

+−−

++−

−)2)(3(

6)2)(3(

2)2)(2(

1aa

aaa

aaa

a)3)(2)(2(

)2)(6()2)(2()1)(3(−+−

+++−−+−−aaa

aaaaaa


)3)(2)(2()2)(6()2)(2()1)(3(

−+−+++−−+−−

aaaaaaaaa

)3)(2)(2(1284434 222

−+−++++−++−

=aaa

aaaaaa

)3)(2)(2(193 2

−+−+

=aaa

a


66

24

1222 +−

++

−−−

+−−

aaa

aaa

aa

)3)(2)(2(193 2

−+−+

=aaa

a



Ej.30. Resolver 322

3112xxx

xxxx −−

−−

−+

Solución:



)1(2 xxxx +=+ ; ; y nos queda: )1(2 xxxx −=− )1)(1()1( 23 xxxxxxx +−=−=−

)1)(1(31

)1(1

)1(23112

322 xxxx

xxxxxxx

xxxx +−−

−−

−+

=−−

−−

−+


exponente: m.c.m.= y colocamos este valor como el denominador de la suma )1)(1( xxx −+

)1)(1(31

)1(1

)1(2

xxxx

xxxx +−−

−−

−+

= )1)(1( xxx −+



)1)(1(31

)1(1

)1(2

xxxx

xxxx +−−

−−

−+

=)1)(1(

)31(11)1(2)1(xxx

xxx−+

−⋅−⋅+−⋅−


)1)(1()31(11)1(2)1(

xxxxxx

−+−⋅−⋅+−⋅−

)1)(1(31122

xxxxxx

−++−−−−

=

0)1)(1(

0=

−+=

xxx


3112xxx

xxxx −−

−−

−+

= 0

Ej.31. Resolver 234

2

22 431612

4332

xxxxx

xxx

xxx

−+++

+−+

+−

−−

Solución:



)1(2 −=− xxxx ; ;

y nos queda:

)1)(4(432 −+=−+ xxxx )1)(4()43(43 222234 −+=−+=−+ xxxxxxxxx



234

2

22 431612

4332

xxxxx

xxx

xxx

−+++

+−+

+−

−− =

)1)(4(612

)1)(4(3

)1(2

2

2

−+++

+−+

+−

−−

xxxxx

xxx

xxx


exponente: m.c.m.= y colocamos este valor como el denominador de la suma )1)(4(2 −+ xxx

)1)(4(612

)1)(4(3

)1(2

2

2

−+++

+−+

+−

−−

xxxxx

xxx

xxx =

)1)(4(2 −+ xxx



)1)(4(612

)1)(4(3

)1(2

2

2

−+++

+−+

+−

−−

xxxxx

xxx

xxx =

)1)(4()612(1)3()2)(4(

2

22

−+++⋅++−−+

xxxxxxxxxx


)1)(4()612(1)3()2)(4(

2

22

−+++⋅++−−+

xxxxxxxxxx =

)1)(4(612382

2

22323

−++++−−−+

xxxxxxxxxx

=)1)(4(

642 −+

+xxx

x


2

22 431612

4332

xxxxx

xxx

xxx

−+++

+−+

+−

−− =

)1)(4(64

2 −++

xxxx

3.2.-Producto de expresiones algebraicas Racionales:

Para multiplicar varias expresiones algebraicas racionales se aplica el siguiente proceso:

Paso 1: Se descomponen en factores tanto los numeradores como los denominadores de cada

expresión racional a multiplicar.

Paso 2: Multiplican los numeradores de las expresiones y los denominadores de las

expresiones.

Paso 3: Se simplifican, suprimiendo los factores comunes en los numeradores y

denominadores.

Ej.32. Resolver 2

22

2 243

22

ax

xb

ba

××

Solución:

Paso 1: Cada uno de los factores está en su mínima expresión y están factorizados:

Paso 2: Multiplicamos los numeradores y denominadores respectivamente:



2

22

2 243

22

ax

xb

ba

×× = 22

22

24232

axbxba

⋅⋅⋅⋅

= 22

22

166

xabxab

Paso 3: Se simplifican, suprimiendo los factores comunes en los numeradores y denominadores.

22

22

166

xabxab =

ax

83


22

2 243

22

ax

xb

ba

×× =ax

83

Ej.33. Resolver 34

43473

621

22

2

2

2

+−+

×++−−

×+−

aaa

aaaa

aaa

Solución:

Paso 1: Factorizar los numeradores y denominadores de cada una de las expresiones racionales a

multiplicar:

)2()1)(1(

21

2

2

aaaaa

aaa

++−

=+− ;

)1)(43()1)(6(

4736

2

2

+++−

=++−−

aaaa

aaaa y

)1)(3()43(

3443

2 −−+

=+−

+aa

aaa

a , entonces :

3443

4736

21

22

2

2

2

+−+

×++−−

×+−

aaa

aaaa

aaa =

)1)(3()43(

)1)(43()2)(3(

)2()1)(1(

−−+

×+++−

×++−

aaa

aaaa

aaaa


)1)(3()43(

)1)(43()2)(3(

)2()1)(1(

−−+

×+++−

×++−

aaa

aaaa

aaaa =

)1)(3)(1)(43)(2()43)(2)(3)(1)(1(

−−+++++−+−aaaaaa

aaaaa


)1)(3)(1)(43)(2()43)(2)(3)(1)(1(

−−+++++−+−aaaaaa

aaaaa

8

3

=a1


43473

621

22

2

2

2

+−+

×++−−

×+−

aaa

aaaa

aaa =

a1

Muchas veces se piden realizar multiplicación de facciones mixtas, las cuales contienen sumas

o restas que luego se multiplican. Veamos a continuación algunos ejemplos:



Ej.34. Resolver ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++−×⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−−+

452

153

aa

aa

Solución:

Paso 0: Reducimos las expresiones mixtas a fracciones:

Empezamos con : 1

5)1)(3(1

53−

−−−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−−+

aaa

aa

Y resolvemos el numerador de la expresión:

182

132

15)1)(3( 22

−−+

=−

−+=

−−−+

aaa

aaa

aaa

Seguimos con 4

5)4)(2(4

52+

++−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

++−

aaa

aa

Y resolvemos el numerador de la expresión:

432

4582

45)4)(2( 22

+−+

=+

+−+=

+++−

aaa

aaa

aaa

Entonces tenemos: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++−×⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−−+

452

153

aa

aa = ×

−−+

1822

aaa

4322

+−+

aaa

Paso 1: Factorizar los numeradores y denominadores de cada una de las expresiones racionales a

multiplicar:

)1()2)(4(

1822

−−+

=−

−+a

aaa

aa y )4(

)1)(3(4

32+

−+=

+−+

aaa

aaa , entonces :

×−

−+1

822

aaa

4322

+−+

aaa = ×

−−+)1(

)2)(4(a

aa)4(

)1)(3(+

−+a

aa


×−

−+)1(

)2)(4(a

aa)4(

)1)(3(+

−+a

aa = )4)(1(

)1)(3)(2)(4(+−

−+−+aa

aaaa


6)3)(2()4)(1(

)1)(3)(2)(4( 2 −+=+−=+−

−+−+ aaaaaa

aaaa

Entonces: Respuesta: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++−×⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−−+

452

153

aa

aa = 62 −+ aa



3.3.-Recíproco de una fracción.

Para toda fracción ba , donde a y b son diferentes de cero, las fracciones

aby

ba cumplen la

siguiente relación: 1)()( =××

=××

=×baba

abba

ab

ba

decimos entonces que ab es el recíproco o inverso multiplicativo de

ba y viceversa.

Así por ejemplo, el recíproco de ax

43 es

xa

34 ; el recíproco de

435

354

2

2

−+

+−

xxes

xx ; el recíproco

de esx 321+

2x+3 y el recíproco de 3263

6332 2

2 +−+−

+−+−

abes

ba .

3.4-División de expresiones algebraicas Racionales:

Para dividir dos expresiones algebraicas racionales:

Paso 1: Se transforma la división en multiplicación del dividendo, por el recíproco del divisor,

es decir : cd

ba

dc

ba

×=÷

Paso 2: Se aplican los mismos pasos que se sugieren en el producto de fracciones ( 3.2.):

Paso 2.1. : Se descomponen en factores tanto los numeradores como los denominadores de

cada expresión racional a multiplicar.

Paso 2.2. : Multiplican los numeradores de las expresiones y los denominadores de las

expresiones.

Paso 2.3. : Se simplifican, suprimiendo los factores comunes en los numeradores y

denominadores.

Veamos a continuación varios ejemplos:

Ej.35. Resolver 32

2

92

34

bax

ba

÷

Solución:

Paso 1: Se transforma la división en multiplicación del dividendo por el recíproco del divisor, es decir:

32

2

92

34

bax

ba

÷ =axb

ba

29

34 3

2

2

×

Paso 2.2 : Multiplicamos los numeradores y denominadores respectivamente:



axb

ba

29

34 3

2

2

× = =⋅⋅

axbba

2394

2

32

axbba

2

32

636

Paso 2.3: Se simplifican, suprimiendo los factores comunes en los numeradores y denominadores.

xabba

2

32

636 =

xab6


2

92

34

bax

ba

÷ =xab6

Ej.36. Resolver 4

168

4 22 −÷

+ aaa

Solución:


416

84 22 −

÷+ aaa =

164

84

2

2

−×

+a

aa


164

84

2

2

−×

+a

aa = )16(8)4(4

2

2

−+

aaa

Paso 2.3: Se factorizan tanto el numerador como el denominador y se simplifican, suprimiendo los

factores comunes en los numeradores y denominadores.

)16(8)4(4

2

2

−+

aaa

)4)(4(8)4(4+−

+⋅=

aaaa =

)4(2 −aa

2


168

4 22 −÷

+ aaa =)4(2 −a

a

Ej.37. Resolver 6512

6244

2

223

++−−

÷+

+−−xxxx

xxxx

Solución:


6512

6244

2

223

++−−

÷+

+−−xxxx

xxxx =

1265

6244

2

223

−−++

×+

+−−xxxx

xxxx




1265

6244

2

223

−−++

×+

+−−xxxx

xxxx =

)12()62()65()44(

2

223

−−⋅+++⋅+−−

xxxxxxxx



)12()62()65()44(

2

223

−−⋅+++⋅+−−

xxxxxxxx =

)1)(12()3(2)2)(3)(1)(4)(1(

−+⋅++++−−

xxxxxxxx =

)12(2)2)(1)(4(

+++−

xxxx


6244

2

223

++−−

÷+

+−−xxxx

xxxx =

)12(2)2)(1)(4(

+++−

xxxx

Ej.38. Resolver ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+÷⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

− 22

22

1mn

mmn

nn

Solución:

Primero resolvemos lo que está entre paréntesis:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−mn

nnmnmn

nmnnmn

nn2222 )( =

mnnm−

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+ 22

2

1mn

m = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+⋅−22

222 1)(mn

mmn = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−

22

222

mnmmn = ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− 22

2

mnn y nos queda:

÷⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

mnnm

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− 22

2

mnn


÷⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

mnnm

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− 22

2

mnn = ×⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

mnnm

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −2

22

nmn

Paso 2.2 : Multiplicamos los signos y luego los numeradores y denominadores respectivamente:

×⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

mnnm

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −2

22

nmn = ( )

)(2

22

mnnmnnm

−−⋅

−



( ))(2

22

mnnmnnm

−−⋅

− =)(

))((2 mnn

mnmnmn−

+−⋅⋅−



Entonces: Respuesta: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+÷⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

− 22

22

1mn

mmn

nn =n

mnm )( +−

4.-Ejercicios Propuestos:

I.- Hallar el m.c.m. de los siguientes polinomios:

1.) , , , R: 3an n2 2222 ynxn + 22 2 nynxynx ++ )

)

)((2 223 yxyxan ++

2.) , , , R: 28x xxx 623 −+ xxx 882 23 +− xxx 36244 23 ++ 222 )2()3(8 −+ xxx

3.) , , , R: 33x 13 +x 222 2 +− xx 23 66 xx + 1)(1(6 23 +−+ xxxx

4.) , , , 24xy 23 33 xx − 22 2 baba ++ bbxaax −+− R: )1()(12 222 −+ xbayx

5.) , , , , R: a2 b4 ba 26 22 122412 baba +− 43 55 bab − 232 )(60 baba −

6.) , , , , x28 122 ++ xx 12 +x 77 2 +x 1414 +x R: )1()1(28 22 ++ xxx

II.- Resolver las siguientes fracciones algebraicas:

a) 11

811

3+

++ xx

R: 11

11+x

b) 52

252

3−

++ xx

R: )52)(52(

510−+

−xx

x

c) 1

31

3−

++ xx

R: )1)(1(

6−+ xx

x

d) 96

962

62 +−

+− xx

xx

R: 2

2

)3(3−xx

e) 2

11xx

+ R: 2

1x

x +

f) 3

29

22 −

+− xxx R:

)3)(3(64−+

+xx

x

g) 65

36

22 −−

+− xx

xx

x R: )1)(6(

52 2

+−+xx

xx

h) 33

33

+−

++−

xx

xx R: 0



i) 254

352

552

52 −

−−

++ xxx

R: )52)(52(

320+−

−xx

x

j) 16

84

32 −

−+ x

xx

x R: )4)(4(6203 2

−++−

xxxx

k) 25

75

22

2

−−

+ pp

pp R:

)5)(5(7306 23

−+−−

ppppp

l) 3

15x

xx

−− R: 3

2 15x

xx +−

m) 1

3 32

−⋅

xyx

yx R:

)1(3 23

−xyx

n) 324

222 +

⋅++

xx

xxx R:

)3(1+x

o) 1610

14

2

2

−−−

⋅+−

xxx

xx

R:

)4(6

+−

xx

p) 324

109100

80232

2

−−−−

⋅−

−+xxxx

xxx R:

41

++

xx

q) b

bababa

bbababa 22

33

2

2

2 2 +−⋅

−⋅

−+ R: 22

2

babaaba++

+

r) 3393

91

2

2

+−

⋅−−

xx

xx R:

)3(1

+−

xx

s) 42

2530

6153

65 2

2

2

−−

⋅−−

⋅−

+−x

xxxx

xxx R:

21+x

t) 24

11233

++

÷++

xx

xx R: 6

u) a

aa

a 12

12 +÷

− R:2

1−a

v) 1

11

122

2

−−

÷+

+−xx

xxx

R: 2)1( −x

w) 31522

−÷−+ m

mmm R:

mm 5+



x) 1

11 22

+÷−

yy R: )1)(1)(1( 2 +−+ yyy

y) xyxyx

22

33 −÷

− R: 22 yxyxx++

z) 34

11916

121 2

2

3

+−

÷−

−x

xxx

xx R:34

11−+x

x

aa) xx

xxxx

xx+++

÷−−+

2

2

3

2 442 R:2

1+x

bb) 22

3

22

2

35

966

abbaa

babaa

+÷

++ R:

)3(53

bab+

cc) yx

xyx

yyx−

÷⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

++ 22

2

R:1

dd)

baab

baba

baba

−

−+

−+−

R:

ba +−

4

ee)

22

2

2

1mn

mmn

nn

−+

−−

R:

nm

−

ff)

23

43

21

2

−

−−

+

x

xx R:

)2(35+−

xx

gg)

x

xx

11

11

−

−−

R:1

12

−+−

−x

xx

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CIU RM VIII Expresiones Racionales