Esquema

CALCULO INTEGRAL

Clase N° 1. 02/03/2015• La antiderivada• Integral indefinida• Propiedades de la Integral Indefinida.

Primitivas o Antiderivadas

Definición: Una función F se llama antiderivada de una función f en un intervalo I, si la derivada de F es f; esto es: F´(x) = f(x) para todo x en I.

Observación:

De la definición se ve que F no es única.

Para que F´(x) exista, la función F(x) debe ser continua.

Teorema

Si F es una antiderivada de f en un intervalo I, la antiderivada más general de f en I es:

F (x)+ C donde C es una constante arbitraria.

El conjunto de todas las antiderivadas se denomina: la Integral Indefinida de f respecto a x, denotada por:

CxFdxxf )()(Símbolo de Integral

Función integrando

Diferencial de x

Una antiderivada de f

Constante de integración

Interpretación geométrica

Interpretación geométricaInterpretación geométrica

Interpretación geométricaInterpretación geométrica

Interpretación geométricaInterpretación geométrica

Ejemplo 1

Encuentre la antiderivada más general de cada una de las siguientes funciones.

xxfd

c

exf

ax

cos)( )x1

f(x) )

)(b)

8xf(x) ) 3

Ejemplo 2Determine:

dxxsenc

dxeb

dxxa

x

)3()

)

)

2

5

PROPIEDADES DE LA INTEGRAL PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDAINDEFINIDA

PROPIEDADES DE LA INTEGRAL PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDAINDEFINIDA

1. Del múltiplo constante:

dxxfkdxxkf )()(

2. De la suma o diferencia:

dxxgdxxfdxxgxf )()()()(

dxxgdxxfdxxgxf )()()()(CUIDADO:

Fórmulas de integración

Cxdxx ln12.

Cnx

dxxn

n

1

1

1.

3. Ck

edxe

kxkx

Fórmulas de integración

Ck

kxdxkxsen

)cos()(

Ckkxsen

dxkx )(

)cos(

Ckkx

dxkx)tan(

)(sec2

Cxdxx

)arctan(1

12

4.

5.

6.

7.

Derivación e integración como operaciones inversas

La integración es la inversa de la derivación:

La derivación es la inversa de la integración:

df x dx f x

dx

'F x dx F x c

Derivación e integración como operaciones inversas

Para establecer cualquier resultado de la forma:

basta demostrar que

'F x dx F x c

f x dx F x c

dF x c f x

dx

Ejemplo 3 Halla la función f (x) cuya tangente a su gráfica

tiene pendiente 4x2 + 1 para cada valor de x y su gráfica pasa por el punto (1; 2).