Clase 2- No Parametrica - Pruebas Con La Binomial

7/23/2019 Clase 2- No Parametrica - Pruebas Con La Binomial

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PRUEBAS CON LA BINOMIALYCUANTILES

UNIVERSIDAD DEL VALLEESCUELA DE ESTADISTICA

ESTADISTICA NO PARAMETRICA

PROFESOR GABRIEL CONDE A.

Nota: Presentación basada en notas de clase del profesor Mario César Jaramillo

de la UNAL, Medellín



DISTRIBUCION BERNOULLI

Definamos la variable aleatoria discreta X así:

X = 1; si se observa éxito

X = 0; si se observa fracaso



Si p es la probabilidad de éxito tendremos entoncesuna función de masa de probabilidad para la variable

aleatoria X tal como

Diremos que la variable aleatoria X tiene distribución

Bernoulli de parámetro p. Además su media es =E[X] = p y su varianza es Var(X) = (1 - p)p.

0xsi p;1

1xsi p;

(x)PX



DISTRIBUCIÓN BINOMIAL.CARACTERISTICAS

El experimento consta de n pruebas idénticas.

Cada prueba tiene dos resultados posibles: E = éxito;

F = fracaso

La probabilidad de tener éxito en una sola prueba esigual a p y es constante en todas las pruebas.

Las pruebas son independientes.

La variable aleatoria de interés es X, el número deéxitos observados en las n pruebas.



La función de masa de la distribución

Binomial[n, p] es

Además: E(X) = np y Var(X) = np(1 - p).

n0,1,2,x; p)(1 px

nx)f(X xnx



npq

0.5np bΦ

npq

0.5np bΦdye

2π

1q p

k

n npq

0.5np b

npq

0.5-npa

0.5yk nk b

ak

2

LA APROXIMACIÓN DE LA BINOMIAL MEDIANTE LA DISTRIBUCIONNORMAL[E. Parzen (1973). Capítulo 6, páginas 265 a 273 y W. Feller (1968).Capítulo VII páginas 174 a 186]

ENUNCIADO: La probabilidad de que un fenómeno aleatorio regido

por la ley de probabilidades binomial con parámetros n y p (q = 1 -p) tenga un valor observado que esté entre a y b inclusive, para

cualesquiera enteros a y b, se determina aproximadamente por:



PRUEBAS CON LA BINOMIAL







pre-establecida.















Ejemplo: Bajo la teoría Mendeliana, en un cruce entre plantas de

genotipos se puede esperar que se produzcan hijas, 1 / 4 de las cuales

son enanas y 3 / 4 son altas. En un experimento para evaluar si elsupuesto simple de herencia Mendeliana es razonable en una cierta

situación, un cruce produjo 3 (243) plantas enanas y 13 (682) plantas

altas, en este caso ¿será aceptable este supuesto de herencia

Mendeliana?



Ejemplo: Se estima que al menos la mitad de los hombres que se

someten a una operación de cáncer sufren un efecto secundario

indeseable. En un esfuerzo para reducir este efecto el HUV estudiaun nuevo método de realizar la operación. De 19 operaciones sólo 3

pacientes sufren el efecto secundario. ¿Es seguro concluir que el

nuevo método para operar es efectivo en la reducción del efecto

secundario?



Sea p la probabilidad de que el paciente experimente efectos

secundarios:

Ho: p 0.5 vs H1: p < 0.5

La región de rechazo es {T: T 5} con (real) = 0.0318 pero podemos

tomar = 0.05

El valor observado es T = 3 rechazamos Ho

Concluimos que el nuevo procedimiento es efectivo para reducir los

efectos secundarios.

El valor p = P(T 3) = 0.0022

que es bastante pequeña , los datos de la muestra están en fuerte

desacuerdo con Ho.



PRUEBA SOBRE CUANTILES



























EJEMPLO DE CUANTILES



Q 3 = X75, entonces:

H0 : P(X 193) 0.75 y P(X < 193) 0.75

H1 : 193 no es el cuartil superior poblacional

Encontremos la región crítica con = 0.05

Sea Y b(15; 0.75), usando tabla de la binomial tenemos:

P(Y 7) = 0.0173 y P(Y 8) = 0.0566, luego t1 = 7

P(Y 13) = 0.9198 = 1 – 0.0802 y P(Y 14) = 0.9866 = 1 – 0.0134luego t2 = 14 1 = 0.0173 y 2 = 0.0134, 1 + 2 = 0.0307.

Rc = {(T1; T2): T1 7 ó T2 14};

Resultados: T1 = 7 y T2 = 6.

Como T1 = 7 7 se rechaza H0, es decir, hay evidencia

muestral de que el cuartil superior del puntaje de admisión no es

193, con = 0.05.



LA PRUEBA DE SIGNOS

Los datos consisten de n’ observaciones en una muestra aleatoria

bi-variada (X1, Y1), … , (Xn; Yn ), donde las Xs y las Ys son

dependientes, es decir, la muestra es pareada.

Para cada par (Xi, Yi) se compara Xi con Yi, si Xi < Yi el par es

clasificado con "+", si Xi > Yi el par es clasificado con “-", y si Xi = Yi

el par es clasificado con "0". De esta manera la escala de

mediciones debe ser por lo menos ordinal.



SUPUESTOS:

1. Las variables aleatorias bivariadas (Xi; Yi) i = 1, 2, …, n son

mutuamente independientes.

2. La escala de medida es al menos ordinal dentro de cada par.



El estadístico de prueba es T = # pares con ”+” (o sea con X < Y)

Distribución bajo Ho: T es binomial con p = ½ y n = # pares sinempates. O sea n = [# de “+”] + [# de “-”]



A. (test de 2 colas).

Ho : P(+) = P(-) vs H1: P(+) P(-)

Para n 20 usamos la tabla de la binomial con el apropiado valor de

n y p = 1/2 . Seleccionamos de la tabla el valor de /2 (lo llamamos

1), el valor de Y correspondiente lo llamamos t . La región crítica de

tamaño 21 corresponde al valor de T t ó T n – t. Rechazamos Hosi T t ó T n-t con un nivel de significancia 21. De otra manera

aceptamos Ho.

Para n > 20 usamos la aproximación normal: t = ½(n + Z/2n) [*]Nota: Si = 0.05 podemos tomar t = n/2 - n

El valor p = 2min(P(Y Tobs, Y Tobs)



B. (test cola inferior)

Ho: P(+) P(-) vs H1: P(+) < P(-)

Rc = {T: T t} cuando n 20.

P(Y t) con Y b(n; 1/2)

Rechazamos Ho si T t, a un nivel de significancia

Si n > 20 se usa la aproximación normal [*]

Valor P = P(Y Tobs) con Y b(n; 1/2)



C. (test de cola superior)

Ho: P(+) P(-) vs H1: P(+) > P(-)

Rc = {T: T n – t} cuando n 20.

t lo calculamos como en B, es decir P(Y t) con Y b(n; 1/2)

Si n > 20 se usa la aproximación normal [*]

Valor P = P(Y Tobs) con Y b(n; 1/2)





SOLUCIÓN:

El + representa el evento de que el artículo B es preferido sobre el

artículo A

Ho : P(+) P(-) vs P(+) > P(-)

el número de +'s = 8, el número de -'s = 1, el número de empates = 1.Entonces n = 8 + 1 = 9, T = 8.

De la tabla de la binomial con n = 9, p = 0.5, = 0:05, se tiene que:

valor P = P(T 8) = 1 - P(T 7) = 1 – 0.9805 = 0.0195.

Como el valor P < rechazamos Ho, es decir, hay evidencia muestral

para pensar que el consumidor prefiere el artículo B sobre el artículo

A, con = 0:05.



Ejemplo histórico: En lo que fue, quizás, el primer reporte de un test no

paramétrico, Arbuthnott (en 1710) examinó los archivos de nacimientos

disponibles en Londres, durante 82 años y para cada año comparó el

número de varones nacidos con el número de mujeres nacidas. Si paracada año se denota el evento “nacieron más varones que mujeres” con el

signo “+” y el contrario con el signo “–”. Consideremos la prueba:

Ho: P(+) = P(-) vs Ha: P(+) P(-)

Usamos la aproximación normal dada por [*] para calcular la región crítica

con = 0.05 correspondiente a T < t donde

t = 0.5(82 – 1.9682) = 32.1.

y el valor de T > t con n – t = 82 – 32.1 = 49.9.

De los registros Arbuthnott obtuvo 82 signos + (ningún “–” y ningún

empate). Rechazamos Ho. Ejercicio: calcular el valor p.



Ejercicio: El tiempo de reacción antes del almuerzo fue

comparado con el tiempo de reacción después del almuerzo con

un grupo de 28 trabajadores de oficina, de los cuales 22 tuvieron

una reacción más corta antes del almuerzo y 2 no presentarondiferencias. ¿Es el tiempo de reacción antes del almuerzo

significativamente más corto que el tiempo de reacción después

del almuerzo? use = 0.1



La prueba McNemar de significancia de cambios

Es un método no paramétrico que se usa para analizar

datos nominales.

Se aplica para tablas de contingencia 2x2 donde se

registra una característica dicotómica sobre sujetos

pareados (matched pairs)

Su finalidad es evaluar si las frecuencias marginales de fila

y columna son iguales



Los datos consisten de n’ observaciones independientes

de variables aleatorias bi-variadas (Xi; Yi), i = 1, 2, …, n’

Las parejas son independientes y las observaciones

dentro de la pareja son dependientes.

Xi representa la condición de un sujeto antes de unexperimento y Yi representa la condición del sujeto

después del experimento.

La escala de medida de Xi y Yi es nominal con 2 categorías

Los datos se presentan por medio de una tabla 2x2



Consideramos la diferencia de probabilidades:

P(Xi = 0; Yi = 1) - P(Xi = 1; Yi = 0)

Esta puede ser negativa, positiva o cero para todo i.



Estadísticos de prueba:

Si b + c > 20, el estadístico de prueba es:

Si b + c 20 se usa mejor T2 = b

T1 y T2 tienen las siguientes distribuciones:

T1 2(1) y T2 b(n = b+c, ½)

Hipótesis:

H0 : P(Xi = 0; Yi = 1) = P(Xi = 1; Yi = 0); i

H1 : P(Xi = 0; Yi = 1) P(Xi = 1; Yi = 0) para algún i.



Sea n = b + c. Si n 20, usamos la tabla de la distribución

binomial. Si es el nivel de significancia entrar a la tablacon n = b + c y p = ½ y encontrar la abscisa aproximada

para /2 (llamar a este valor 1) y al correspondiente valor

llamarlo t. Rechazar Ho si T2 t ó T2 n – t a un nivel de

significancia de 21, de lo contrario aceptar Ho. El valor pes 2min[P(Y Tobs, Y Tobs)], donde Y b(n = b+c, ½).

Si n > 20 usar T1 con la tabla de la distribución 2(1) ,

rechazar Ho con un nivel de significancia si T1 > 2(1)(1-).El valor p = P[T1 > Tobs] con T1 2

(1)



Ejercicio en clase:

1) Preguntas:

¿De que manera la prueba de McNemar se adapta a una

prueba de signos? ¿Porqué, en los estadísticos de prueba, sólo

se consideran las cantidades b y c?

¿Porqué para n > 20 se puede usar una distribución 2(1)(1-),

para definir la región de rechazo?

2) Leer y entender la presentación de la prueba de McNemar

y los ejemplos en el texto de Castillo y Ojeda (páginas 29 a 35)



Ejemplo



Consideremos las parejas (Xi, Yi) donde Xi = 0 si la i-

esima persona favorece a los demócratas antes ó Xi = 1si favorece a los republicanos antes. Yi representa la

escogencia después del debate.

Yi



Consideremos las parejas (Xi, Yi) donde Xi = 0 si la i-

esima persona favorece a los demócratas antes ó Xi = 1si favorece a los republicanos antes. Yi representa la

escogencia después del debate.

Yi



H0 : La población de votantes a favor no altera su decisión

después del debate.

H1 : Después del debate hay un mayor cambio a favor delRepublicano, que a favor del Demócrata.

H0 : P(Xi = 0; Yi = 1) = P(Xi = 1; Yi = 0) vs

H1 : P(Xi = 0; Yi = 1) > P(Xi = 1; Yi = 0)



Solución:



BIBLIOGRAFIA

Jaramillo, M. C. “Estadística no Paramétrica. Notas de Clase”.

Universidad Nacional de Colombia, Medellín 2012. La mayoría de los

ejemplos y textos fueron tomados de estas notas.

Castillo A. y Ojeda M. M. “ Principios de Estadística no Paramétrica”.Universidad Veracruzana. Mexico 1994.

Conover W. J. “Practical Nonparametric Satatistics”. 3ª edición. Jhon

Wiley & Sons. N. Y. 1999.

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