Clase 3 presentada.pdf

7/23/2019 Clase 3 presentada.pdf

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La clase anterior:

Vimos los elementos bsicos de probabilidades

Introdujimos el concepto de variable aleatoria

Estbamos introduciendo el concepto dedistribucin o ley de probabilidades

IND3100 - Prof. Jorge Vera 2013

Hoy:

Veremos otros elementos de probabilidades

Veremos probabilidades en el continuo.

De dnde vienen las Distrib. de Prob.? Empricamente

Ejemplo:El restaurante Kentucky Fried Chicken vende pollos en paquetes de2, 3, 4, 8, 2, ! o 2" pie#as$ En la %ltima semana, la &rdenes porpollo han sido:


'ie#as en orden (rdenes

2 )"3 2""

4 2!"

8 !*

2 2"

! *"

2" 3*

,"""

i ro a a

2 0.1703 0.200

4 0.260

8 0.165

12 0.120

16 0.050

20 0.035

X = nmero de piezas de pollo en una orden


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De dnde vienen las Distrib. de Prob.?

ericamente

Ejemplo!istribucin "inomial


Distribucin Binomial El e#perimento consiste en nintentos

$ada intento resulta en: %#ito o &racaso

Los intentos son independientes entre s'

$ada intento tiene las mismas probabilidades: (r) %#ito * + p

+ -


Variable aleatoria + / de %#itos en los n intentos

La v.a. tiene distribucin binomial conparmetros n y p. Binomial(n,p)


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Binomial: Ejemplo 0upon1amos 2ue 3ay 45 personas en esta

sala de clases 6$ul es la probabilidad de 2ue 7 personas 3ayan nacido

en Enero8

La probabilidad de 2ue una persona na9ca en enero es)apro#imadamente* ,,;


espec'&icas nacen en enero y las ;7 restantes no.

La probabilidad de eso es

(ero lo anterior es para 7 personas espec'&icas=

El evento puede ocurrir con cuales2uiera de 7 personas=

7 271 1

112 12

Binomial: Ejemplo 6$untos 1rupos de 7 personas pueden seleccionarse de un

total de 458

Esas son las combinaciones de 7 en 45 elementos:

34

7

34! 34!

(34 7)!7! (27)!7!= =

5.379.616=


!onde> por ejemplo> 7? + 7@A54;, + A.B5B Lue1o> la probabilidad es:

7 271 1

5.379.616 1 0,01412 12

=


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Distribucin Binomial

+ea una v$a$ con distri-uci&n .inomial/n, p0

1a pro-a-ilidad de o-tener itos en n intentos es:


/donde 5 /60/6207, y " 5 0

Ejercicio En una caja 3ay ,B bolitas> 7 rojas y 4

blancas.

6$ul es la probabilidad de sacar una bolitaroja8


devolviendo la 2ue sa2u%> cul es laprobabilidad de 2ue en A intentos obten1a 4bolitas rojas y ; blancas8

6C si no devuelvo la bolita8


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Ejercicio:

En una caja 3ay ,BBB bolitas> 7BB rojas y 4BBblancas.

6$ul es la probabilidad de sacar una bolitaroja8


estimador de la probabilidad de 2ue en Aintentos obten1a 4 bolitas rojas y ; blancas8

Media, Varianza Duc3as veces es importante conocer al1una

medida 2ue resuma el comportamiento de unavariable aleatoria=

0u comportamiento central o promedio


C la dispersin de los valores=


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Media, Varianza Media, o valor esperado

epresenta la ocurrencia promedio> es una medidade tendencia central

Varianza

Valor esperado de la desviacin cuadrtica en torno

1 1( ) ( )

n n

X i i i ii iE X P X x x p x = =

= = = =


a la media. C*

P(Xi,Yi) Xi Yi

0.10 360 360


0.10 790 110

0.15 840 30

0.05 260 90

0.15 190 450

0.10 300 230

0.10 490 60

0.10 150 290

0.10 550 140

0.05 510 290

Media E(X) = 457 E(Y) = 210

Desviacin estndar Dev(X) = 244.3 Dev(Y) = 145.6


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Scatter Plot (diagrama de dispersin) de Ventas Diarias

300

400

500

bebidasfras

Ejemplo: "tarbuc#s


0

100

200

0 200 400 600 800 1000

Ventas de cafs calientes

Ventas

de

300

400

500

bebidas

fras

Ejemplo: "tarbuc#s

Scatter Plot (diagrama de dispersin) de Ventas Diarias


0

100

200

0 200 400 600 800 1000

Ventas de cafs calientes

Ventasde


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ovarianza ! orrelacin

$ovarian9a

$orrelacin


$omentarios La medida de correlacin no tiene unidades

corr)>C* siempre est entre -,.B y ,.B

P(Xi,Yi) Xi Yi

0.10 360 360

0.10 790 110

0.15 840 30

0.05 260 90

0.15 190 450

0.10 300 230

0.10 490 60

0.10 150 290

0.10 550 140

Ejemplo: "tarbuc#s


0.05 510 290

Media E(X) = 457 E(Y) = 210

Desviacin estndar Dev(X) = 244.3 Dev(Y) = 145.6

Cov(X,Y) =Cov(X,Y) = 0.10*(3600.10*(360--457)*(360457)*(360--210)210) + 0.10*(790+ 0.10*(790--457)*(110457)*(110--210)210)

+ 0.05*(510+ 0.05*(510--457)*(290457)*(290--210)210)+ . . .+ . . . == 23,70223,702

Cov(X,Y) =Cov(X,Y) = 0.10*(3600.10*(360--457)*(360457)*(360--210)210) + 0.10*(790+ 0.10*(790--457)*(110457)*(110--210)210)

+ 0.05*(510+ 0.05*(510--457)*(290457)*(290--210)210)+ . . .+ . . . == 23,70223,702


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omentarios

0i valores de ms altos 2ue la media tienden a ocurrircon valores de C ms altos 2ue la media> entonces$V)> C*B y $)>C*B. Es decir> e C estnpositivamente correlacionados.

0i valores de ms altos 2ue la media tienden a ocurrircon valores de C ms bajos 2ue la media> entonces


$V)> C*JB y $)>C*JB. Es decir> e C estnne1ativamente correlacionados.

!os v.a. linealmente relacionadas tienen per&ectacorrelacin Ejemplo: +temperatura de maKana en $elsius> y C+temperatura

de maKana en a3ren3eit

Ejemplo: 5 retorno /0 de una acci&n de una empresa elctrica9 5 retorno /0 de una acci&n de una compa;a de tel


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La esperan9a de una suma ponderada de v.a.es i1ual a la suma ponderada de lasesperan9as de las v.a.

E)aQ bC* +aE)*QbE)C*

"uma de Variables $leatorias


e#presa como

VG)a Q bC* + a;VG)* Q b;VG)C* Q ;ab$V)> C*

o> e2uivalentemente

VG)a Q bC* + a;VG)* Q b;VG)C* Q ;ab

C$)> C*

"uma de Variables $leatorias Renerali9ando para la suma de n variables

aleatorias

El valor esperado ser'a

nnXaXaXaY +++= 2211


C la varian9a ser'a

)()()()( 2211 nn XEaXEaXEaYE +++=


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omentarios

0i e C son independientes> entonces Var)QC* + Var)* Q Var)C*

Es decir> la varian9a de la suma es i1ual a la suma de lasvarian9as individuales

$aso de aQb+


Var)aQb* + a;Var)*

!ev)aQb* + NaN!ev)*

Es decir> la constante b despla9a la distribucin pero nocambia su &orma

Media ! Varianza de la Binomial


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Magster en Ingeniera Industrial

Departamento de Ingeniera Industrial y de Sistemas

Pontificia Universidad Catlica de Cile

IND 3100Modelos Cuant. Para la Toma de Dec.

IND3100 - Prof. Jorge Vera 2013(ro&. Sor1e Vera G. - ,er 0emestre ;B,4

Fundamentos de Probabilidades,

segunda parte

%acia probabilidades &continuas' Hasta a3ora nuestros eventos y probabilidades

3an sido totalmente discretos=

$omen9aremos a considerar variablesaleatorias 2ue toman valores en &ormacontinua:


La temperatura

La demanda por un producto


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Variables $leatorias ontinuas t%rminos de ran1os de valores.

La probabilidad de tomar un valor espec'&ico es> en1eneral> i1ual a B )pensar en reas*.

Ejemplo: Evento: los clientes esperan entre A y ,B minutos.

Mo tiene sentido el evento cliente espera e#actamente 7 minutos

Distribucin (ni)orme La v.a. tiene distri#cin #ni*orme en el intervalo

Ua>b si la probabilidad de 2ue est% dentro de unran1o entre a y b es proporcional al lar1o de ese ran1o.

Ejemplo 0upon1amos 2ue el tiempo de viaje desde 0an Soa2u'n a (la9a

Italia en bus se distribuye uni&ormemente entre ,B y ;B minutos.


u ser a e empo e v a e prome o

E() + (-./-)0/ + 1 min#tos 6$ul es la probabilidad de 2ue el tiempo de viaje supere los ,;

minutos8

$(2/) + (/-3/)0(/-3-) + -,4

6$ul es la probabilidad de 2ue el tiempo de viaje est% entre ,5 y,O minutos8

$(5 4) + (435)0(/-3-) + -,5


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*uncin de Densidad de Probabilidades +pd)

La &uncin de densidad de probabilidades> representadapor f(t)> es la &i1ura de la distribucin )un 3isto1ramaatenuado o suavi9ado*

El rea total bajo f(t) es , )la probabilidad total*


a

*uncin de distribucin $cumulada de probabildad +cd) Sunto a la densidad> se usa tambi%n la &uncin

acumulada> o distribucin de probabilidad> la cual sede&ine por:

$orresponde al rea acumulada bajo la curva de ladensidad:

( ) ( )F t P X t =


t

( ) ( )F t P X t =


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Probabilidades en t-rminos de la distribucin


ttss

1/(b-a)

ff

Volvamos a la Distribucin (ni)orme

Funcin de Densidad deProbabilidades (pdf):

6#pon7a 8#e distri#9e#ni*ormemente sore :a,;

1para

( )

a x bb a

f x

=


aa bb

FF

aa bb

1

Funcin de DistribucinAcumulada (cdf):

0 para

( ) para

1 para

x a

x aF x a x b

b a

x b


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Media ! Varianza de una v.a. continua Vimos 2ue en una v.a. discreta la media es el promedio

de los valores ponderado por las probabilidades.

En el caso cont'nuo> si es v.a. con densidad &> entonces:

( ) ( )E X tf t dt

=


)ntese 2ue la inte1ral 1enerali9a la suma*

C la varian9a:

2( ) ( ( )) ( )Var X t E X f t dt

=

Distribucin ormal E#iste una distribucin de probabilidad 2ue es> tal ve9>

la ms &amosa de todas:

!istribucin normal o de Rauss

e&leja la ocurrencia de una medicin puramentealeatoria ue tiende a concentrarse en un valor medio


X

f(x)

y se dispersa un poco... La &uncin de densidad corresponde a la &amiliar curvacon &orma de campana


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Distribucin ormal

La densidad de la distribucin normal es la si1uiente:

Wueda completamente descrita por su media X y

21

21( )2

t

f t e

=


parmetros:

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

-1 0 1 2 3 4

YX Z

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

-1 0 1 2 3 4

Y

X

Z

Distribucin ormal (odemos ver claramente 2ue la distribucin es

sim%trica en torno a la media.

Motemos 2ue una variable aleatoria normalpuede tomar cual2uier valor.... pero es muy


la media...

(or eso es muy usada como modelo dediversos &enmenos.


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$l/unos valores importantesZ del rea total cubierta en &uncin de la distancia a la media>medido en unidades de


Fuente de la figura:http://en.wikipedia.org/wiki/File:Standard_deviation_diagram.svg

Muc0os )enmenos son &normales' )o se modelan como si &ueran normales*

Los errores de medicin en un &enmeno&'sico...

Los puntajes de la (0O,> ()\-B>O,* + )\* + B>;BPB

!I0.MD.E0GM!)-B>O,* + B>;BPB


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Ejemplo

= 105= 105 = 10.3707

2722.00985.03707.0)29.1()33.0(

)33.029.1()450350(

105=485,=distribuye Normal conX

===

=

zPzP

zPxP


Z =

X-

=

=

350 485

105 1 29. Z=

X-

=

=

450 485

105 0 3.

485 X350 450

.2722

485 X350 450

.2722

0 Z-1.29 -.33

.0985

.2722

+upon>amos que e 9 son v$a$ normales, y deuientes parAmetros:

E/?0 5 w = a E(X) + b E(Y) = aX + bY

Bar ? = a2 Var X + b2 Var Y +2 ab Corr X Y

"uma de v.a. ormales


otar que:

6 +i e 9 son independientes entonces Corr/,90 5 "$

6 El resultado, por supuesto, tam-in


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+upon>amos que e 9 estAn normalmente distri-uidas:

Dos retailers en una ciudad norteamericana /ElectronicFail yunGay0 planean vender el i'i> de H?atermelon ComputersI$ 1ademanda en cada retailer corresponde a dos varia-les aleatorias:

5 Demanda diaria por i'i> en ElectronicFail9 5 Demanda diaria por i'i> en unGay

Ejemplo


X = 8"" Y = !"

X = *"" Y = ""

C(/,90 5 ",23

+upon>amos que ElectronicFail y unGay estAn considerandouna


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()]^* + B>PO* )()\ 9* + B>PO

Ejemplo

W

.98

960 w

=531.98

Z

.98

0 z

=1


9 + )^ ` P@B*A4,>PO.

!espejando ^ obtemos: ^+P@B Q A4,>PO9

Mecesitamos el valor de 9 tal 2ue )9* + B>PO

Mecesitamos !I0.MD.IMV)B>PO>B>,*

C ese valor es ;>BA5.

Gs'> ^ + P@B Q);>BA5*A4,>PO + ;.BA;>@O.El percentil PO corresponde a ;.BA4 computadores.

Por 4u- la distribucin normal parece tan normal? 0e mide la estatura de un 1rupo de personas )por

ejemplo> en esta sala*.

0i se 3ace el 3isto1rama se1Tn ran1os de altura> va aparecer normal=

La altura es resultado de muc3os &actores> cada uno delos cuales est sujeto a variaciones=

Es sorprendente 2ue los e&ectos acumulados de esasvariaciones termina teniendo un comportamientonormal=

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