Clase 5

1RESISTENCIA DE MATERIALESIC 762 - CLASE 5

UNIDAD I: ESTTICA

7. ANLISIS DE RETICULADOS.MTODOS DE LOS NUDOS Y DE LASSECCIONES

Viaducto Malleco, IXRegin.

2RETICULADOS ISOSTTICOS

Las estructuras reticuladas o reticulados pueden definirsecomo sistemas estables formados por barras unidas enlos extremos. Es un tipo de construccin muy usado en laprctica y de mltiples aplicaciones principalmente enedificios, obras civiles, estructuras mecnicas, etc.(cerchas de madera, estructuras reticulares de acero,puentes carreteros o de ferrocarril).

7. RETICULADOS

FORMAS Y DENOMINACIONES CONVENCIONALES

Los reticulados de cubiertas de edificios soportantes decargas de techo y de otras afines, se denominancorrientemente CERCHAS; a los reticulados de puentes seles llama ENREJADOS.

Por disposiciones de carga y apoyos, o por razones dearquitectura, se adoptan preferentemente determinadasformas, cuyas denominaciones son ya convencionales.

7. RETICULADOS

3ANLISIS DE LOS ESFUERZOS

Por condiciones intrnsecas estructurales, en loselementos de un reticulado el esfuerzo de flexinno alcanza valores de consideracin prctica. Es elEsfuerzo Normal es el predominante.

Lo citado conduce a elegir barras y no vigas, en laconcepcin de estas estructuras; adems, permitela idealizacin de stas en modelos tericossimplificados.

7. RETICULADOS

La figura muestra un caso tpico, en que lascostaneras de una cubierta que reciben lascargas de techo, descansan sobre nudos de unreticulado.

7. RETICULADOS

4Reticulados planos

Sus barras son coplanares. Pueden ser estables slo en suplano.

Reticulados espaciales

Poseen barras en tres direcciones. Pueden ser estables encualquier direccin.

En este curso se estudiar solamente reticulados planos.

7. RETICULADOS

Cerchas Tpica

7. RETICULADOS

57. RETICULADOS

Formas tpicas que se conocen con nombres especiales (Fig.1.30).

Figura 1.30

7. RETICULADOS

6Una propiedad importante de los reticulados es su rigidez.Por su considerable altura en comparacin con una viga dealma llena, los desplazamientos de los nudos en el planovertical son generalmente despreciables. En el caso depuentes hay limitaciones muy estrictas de deformaciones,particularmente en puentes de ferrocarril.

7. RETICULADOS

ENREJADOS Fotografas del Viaducto Malleco, IX Regin.

Condiciones EstructuralesPara el anlisis de estructuras de reticulado las condicionesestructurales fundamentales son:a) Ejes de barras concurrentes a los nudos: los elementos

que conforman el reticulado se llaman barras y lospuntos de unin nudos. La articulacin permite el libregiro de las barras que llegan a un nudo, por lo que nose produce momento.

b) Cargas localizadas slo en los nudos: las cargas enpuntos intermedios de los elementos deben evitarsepues inducen flexin en ellos. Si la naturaleza de lascargas no es concordante con ella, por ser distribuida oconcentrada fuera de los nudos, se corrige gracias aimplementos secundarios, los cuales desempeangeneralmente otras funciones en la estructura.

7. RETICULADOS

77. RETICULADOS

En virtud de las hiptesis anteriores las barras dereticulado slo quedan sometidas a esfuerzos internosaxiales, es decir en la direccin del eje longitudinal de labarra, o eje que une sus nudos extremos. Cada barrarealiza entonces una fuerza, que puede ser de traccin ocompresin segn su sentido.

7. RETICULADOS

La Fig. 1.31 representa una barra traccionada (T). La barraest tirando de los nudos, es decir su funcin es impedirque ellos se alejen. Adems la figura muestra un signopositivo que es el que por convencin se asigna a losesfuerzos de traccin.

Figura 1.31 Barra en traccin

87. RETICULADOS

La Fig. 1.32 representa una barra comprimida (C). Se leasigna un signo negativo al esfuerzo de compresin.

Todo lo anterior es vlido tanto para reticulados planoscomo espaciales.

Figura 1.32 Barra en compresin

7. RETICULADOS

La forma de generar de reticulados es a partir delelemento constitutivo bsico que es un tringulo formadopor tres barras articuladas entre s en sus tres nudos. Estetringulo es el reticulado ms simple que se puedeconcebir. A partir del reticulado bsico, ABC en la Fig.1.33, se obtiene un reticulado mayor agregando cada vezdos barras a partir de dos nudos existentes para crear unnuevo nudo.

Figura 1.33 Generacin por triangulacin

9c) Estaticidad externa

Una armadura posee las cualidades cinemticas de cuerposlido: tres grados de libertad en el plano. Nos remitimosal anlisis de estaticidad externa de ste.

En los reticulados, es frecuente el uso de barras comoelementos de conexin; as por ejemplo, la barra arepresenta un apoyo mvil. Las barras b y cconstituyen una rtula fija.

Ejemplo: Determinar el grado de estaticidad externa en laestructura siguiente:

UNIDAD I: ESTTICA

Respuesta:Cuerpos o armaduras: S = 2Rtulas fijas: r f = 2Rtulas mviles: r m = 2

ge= 3 S - 2 r f - 1 r mge = 3 x 2 2 x 2 1 x 2 = 0 Isostaticidad externa

ge > 0 Mecanismo Externoge = 0 Sistema Isosttico Externoge < 0 Sistema Hiperesttico Externo

UNIDAD I: ESTTICA

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d) Estaticidad interna

Las incgnitas internas en una armadura son losesfuerzos normales de sus barras. El nmero deincgnitas internas i es igual al nmero de barras b:

i = bEl nmero de ecuaciones independientes de equilibrioesttico es:

b = 2 n 3Donde:

n = nmero de nudos.b = nmero de barras

UNIDAD I: ESTTICA

7. RETICULADOS

Obviamente si b+3>2n quiere decir que hay barrasredundantes y el reticulado es hiperesttico interno. Tambinpuede haber un exceso de vnculos externos, en tal caso laestructura es hiperesttica externa. Ambos casos no puedenser resueltos usando puramente la esttica y deben utilizarsemtodos que incorporan el estudio de las deformaciones delos elementos.

Las alternativas de gi, determinan las condiciones demecanismo, estaticidad o hiperestaticidad interna en unaarmadura respectivamente .

gi > 0 Mecanismo Internogi = 0 Sistema Isosttico Internogi < 0 Sistema Hiperesttico Interno

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a) METODO DE LOS NUDOS

a) Solucin por el Mtodo de Nudos

El mtodo de nudos, consiste en considerar cada nudocomo una partcula e imponer su equilibrio. Sin embargo,se debe tratar previamente el reticulado simple como unalmina y calcular las reacciones en los apoyos con lasecuaciones de equilibrio de cuerpo rgido, y luego abordarel equilibrio de los nudos.

Los nudos de un reticulado, supuestamente rotulados,como parte aislada, se encuentran en equilibrio por laaccin de las fuerzas que a l concurren. En general,pueden ser cargas, reacciones y esfuerzos de barras. Lafigura muestra un reticulado y un nudo aislado en estascondiciones.

P1 b1

b2

R1

R2A

NUDO A, aislado, en equilibrio. RETICULADO

P1

P2

P3

1

2A

B

R1

R2

R3


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Las ecuaciones de equilibrio esttico referidas a A, selimitan slo a las dos de proyeccin: sistema plano defuerzas concurrentes en equilibrio. La de momento estrivialmente cero.

De acuerdo a la notacin propuesta, llamando x e y alos ejes de proyeccin, las dos ecuaciones independientescitadas son:

Fx = 0 Fy = 0

El procedimiento de solucin por aplicacin de estasecuaciones constituye el mtodo de los nudos.

Si un nudo tiene dos barras desconocidas, las dosecuaciones referidas a l forman un sistema suficiente.



Figura 1.34 Reticulado simple

El mtodo se aplicar al reticulado de la Fig. 1.34,aprovechando de dar ciertas recomendaciones que hacenms eficiente la tcnica de solucin.

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Lo primero es verificar que se cumpla la relacin:b+3=2n,b=17 y n=10 17+3=2*10

20 = 20 A continuacin se procede al anlisis de equilibrio global

considerando el reticulado completo como un cuerporgido plano (lmina); las ecuaciones de equilibrio en estecaso son:

de donde se obtienen RA= 1600 kg y RI =1200 kg


Aplicar el mtodo de nudos abordando el equilibrio denudos donde haya a lo ms dos incgnitas; ya que encada nudo slo se podrn plantear dos ecuaciones.

Considerando primero el equilibrio del nudo A, cuyomodelo se presenta en la Fig. 1.34.a:

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Las ecuaciones de equilibrio son:

El resultado negativo para FAB, significa que la barraen realidad est comprimida, y no traccionada comose haba supuesto


En el nudo B se presenta en la Fig. 1.34.b: las fuerzasactuantes son la reaccin y la carga externa, y las fuerzasincgnitas FBC y FBD en las barras correspondientes sesuponen traccionadas las ecuaciones de equilibrio son:

sen=3/5 y cos=4/5.Con stos valores y resolviendo lasecuaciones anteriores se obtienenFBC= 1500 kg (traccin) yFBD =-900 kg (compresin).

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Observando que no se puede trabajar en el nudo D porquehay tres barras incgnitas, se aborda el nudo C, donde slohay dos. El modelo del nudo C se muestra en la Fig. 1.34.c.Las ecuaciones de equilibrio son:


El diagrama de fuerzas sobre el nudo D se presenta en la Fig.1.34.d. Las fuerzas previamente calculadas FBD =-900 y FCD=-1200 se aplican en su sentido real (empujando al nudo).Las fuerzas incgnitas en las barras DE y DF se suponen detraccin, tirando del nudo. Las ecuaciones de equilibrio son:

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Siguiendo el mismo procedimiento se plantea el equilibrio delos nudos restantes en la secuencia E, F, G, H, I cuyosdiagramas de fuerzas se presentan en la Fig. 1.34. Lasecuaciones de equilibrio para cada nudo son las que siguen:

Figura 1.34 (d,e,f,g,h,i) Solucin del reticulado de la Fig.1.33


Los resultados se presentan en resumen en la Fig. 1.35, quejunto con la Fig. 1.36 permiten explicar algo ms acerca delcomportamiento de este tipo de estructuras. En la Fig. 1.36se han exagerado las deformaciones del reticulado. Puedeobservarse que el cordn superior (BH) est comprimido, loque significa que sus elementos se acortan, mientras elcordn inferior (Al) est traccionado (en parte), lo que setraduce en que los elementos correspondientes se alargan.Lo anterior, sumado al alargamiento de las diagonales, todastraccionadas, hacen que la estructura completa adquiera unaforma curvada, que es la deformacin tpica de un elementoen flexin. Ello no debe extraar porque el reticulado esbsicamente una viga alta.

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Figura 1.35 Esfuerzos en las barras del reticulado de la Fig.1.33


Figura 1.36 Comportamiento de la estructura reticular

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La funcin de los elementos diagonales se aprecia mejor enla Fig. 1.36.b. La diagonal BC tiene mayor longitud que ladiagonal del rectngulo inicial, sin la barra diagonal elcuadriltero ABDC colapsara, pues sera un mecanismoincapaz de resistir la fuerza de corte vertical resultante de lasfuerzas de 1600 y 400 kg en A y B.

En forma similar se descubre la funcin de los montantes(barras verticales): si se elimina el montante CD elcuadriltero BCFD colapsara cerrndose, la barra CD estcomprimida pues debe impedir que los nudos C y D seacerquen.

b) METODO DE LAS SECCIONES

b) Solucin por el Mtodo de las Secciones(Mtodo de Ritter)

Este mtodo consiste en aislar una parte del reticuladosuponiendo una seccin imaginaria, no necesariamenterecta, que corta las barras cuyos esfuerzos se deseadeterminar. Al igual que en el mtodo de los nudos esnecesario determinar previamente las reacciones en losapoyos.

1

2

3

4

5

6

P1

P2

P3

AB

R1

R2

R3

I

I

1

2

3

b4

b5

b6

P1

P2

R1

R2

RETICULADO SECCIN I AISLADA

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Este mtodo es til cuando slo se desea conocer elesfuerzo en algunas de las barras del reticulado. Paraalgunos problemas conviene considerar ms de una seccino usar este mtodo en conjunto con el mtodo de losnudos. Las ecuaciones de equilibrio referidas a una seccinaislada por un corte terico, como cuerpo libre, dan origenal mtodo de las secciones. En stas, como en el mtodo delos nudos, pueden intervenir los tres tipos de fuerzas:cargas exteriores P, reacciones R y las fuerzas N o bcorrespondientes a los esfuerzos axiales de las barrascortadas.

La condicin de equilibrio se expresa mediante las tresecuaciones de la esttica:

Fx = 0 Fy = 0 Mz = 0



Para ilustrar este mtodo, se determinarn los esfuerzosaxiales en las barras EF, EG y DF del reticulado indicado en laFig. 1.37, en la cual se muestran las reacciones que han sidodeterminadas imponiendo las condiciones de equilibrio a laestructura completa.

Figura 1.37

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Si se considera la seccin 1-1, tal como se indica en la Fig.1.38.a, el equilibrio del subsistema (lmina) ABEDC permiteescribir:

Figura 1.38


Para encontrar el esfuerzo axial en la barra CD, se puedeconsiderar la seccin 2-2 y analizar el equilibrio delsubsistema ABEC que se indica en la Fig. 1.38.b:

Adems, el mtodo de los nudos aplicado al nudo D permitededucir que FED=0.

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Ejemplo 1.17Un segundo ejemplo del mtodo de Ritter se aplica alreticulado de la Fig. E1.17. a, en el cual se desea determinarlos esfuerzos axiales en las barras DE y DG. Previamente sehan determinado las reacciones en los apoyos A y L, cuyosvalores se indican en la figura.

Figura E1.17.a


Solucin:Si se considera la seccin 1-1 y se analiza el diagrama decuerpo libre del subsistema ABCD (Fig. E1.17.b), tomandomomentos de las fuerzas con respecto al punto 0 se tiene:

FDE*12+10* 6=4*9+4*12FDE = 2 ton (traccin)

Si se toma momento de las fuerzas con respecto al punto E:FDG*4+4*3=10* 6FDG = 12 ton (traccin)

Figura E1.17.b

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En los reticulados simples, siguiendo un orden regresivo,pueden establecerse sistemas determinados de dosecuaciones de proyeccin por nudo MTODO DE LOSNUDOS.

Los reticulados compuestos permiten establecer sistemasmenores correspondientes a los elementos de conexin encortes arbitrarios MTODO DE LAS SECCIONES.

7. RETICULADOS

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FIN

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