Clase de Analisis Dimensional de Unidades

ANÁLISIS DIMENSIONAL DE UNIDADES

Las cantidades físicas se determinan de acuerdo con el sistema de unidades escogido, sin embargo, se conocen varios sistemas de unidades (mks, cgs, técnico, ingles, etc.), es ´por esto que, cualquier magnitud física puede ser expresada en diferentes unidades según la escala en que esté graduado el instrumento de medición.


La distancia de un sitio a otro, se puede expresar en kilómetros, en metros, en pies (ft), yardas, etc.Todas estas unidades de medida sirven para medir la cantidad física denominada distancia, y sin importar cual de ellas se escoja como patrón de medida, todas ellas hacen referencia a una DIMENSIÓN FUNDAMENTAL llamada LONGITUD, representada en el análisis dimensional, con la letra L


Para conocer la cantidad de materia que posee un cuerpo, se pueden utilizar como unidades de medida, el gramo, el kilogramo, la libra, etc.; todas ellas hacen parte de otra DIMENSION FUNDAMENTAL llamada MASA, la cual, en el análisis dimensional, se identificara con la letra M.La otra DIMENSIÓN FUNDAMENTAL que se emplea en el análisis dimensional es el TIEMPO, el cual se identificara con la letra T.



DIMENSIONES DERIVADAS

MAGNITUD UNIDAD SI DIMENSIÓN

VELOCIDAD

PRESION

VISCOSIDAD

DENSIDAD


El análisis dimensional es una técnica que permite reducir el número y complejidad de las variables que intervienen en la descripción de un fenómeno físico dado. Las variables involucradas en cualquier situación física real pueden ser agrupadas en un cierto número de grupos adimensionales independientes los cuales permiten caracterizar fenómeno físico. El análisis dimensional simplifica y reduce el trabajo experimental


El análisis dimensional es una herramienta conceptual muy utilizada en la física, la química y la ingeniería para ganar comprensión de fenómenos que involucran una combinación de diferentes cantidades físicas. Es frecuentemente utilizada para verificar relaciones y cálculos, así como para construir hipótesis razonables sobre situaciones complejas, y que luego puedan ser verificadas experimentalmente.


Un análisis correcto de las unidades y/o dimensiones de las magnitudes físicas nos permitirá:1. Relacionar una magnitud física derivada con otras

elegidas como fundamentales.2. Establecer el grado de verdad de una fórmula.3. Elaborar fórmulas empíricas para fenómenos de simple

desarrollo.

FÓRMULAS DIMENSIONALES

EXPRESIONES MATEMÁTICAS

MAGNITUDES FÍSICAS

DIMENSIONES(EXPONENTES)

Son

Que Relacionan

Teniendo en cuenta sus

IDENTIFICAR

MAGNITUD FÍSICA DERIVADA

MAGNITUDES FÍSICAS FUNDAMENTALES

Nos Permiten

La Relación Entre unaMULTIPLICACIÓN

DIVISIÓNPOTENCIACIÓN

RADICACIÓN

Utilizan Operaciones de

OPERADOR DIMENSIONAL : [ ]

Y las Por Medio de un


FUNDAMENTOS DEL ANÁLISIS DIMENSIONAL¿Qué es un parámetro adimensional?Es un conjunto de variables agrupadas de tal forma que, su dimensión es 1, es decir, no tiene dimensiones (sin unidades).


PRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD DIMENSIONAL• Cualquier ecuación que describa por completo un fenómeno físico,

deberá ser DIMENSIONALMENTE homogénea. 1. Las dimensiones en ambos lados de la ecuación, deben ser las mismas. 2. Las dimensiones de todos los términos aditivos de la ecuación,

deben ser iguales.


“Toda ecuación será dimensionalmente correcta si los términos que componen una adición o sustracción son de iguales dimensiones, y si en ambos miembros de la igualdad aparecen las mismas magnitudes afectadas de los mismos exponentes” [A]+[B]=[C]+[D] [A]=[B]=[C]=[D]


Formula de velocidad: .Desplazamiento:

Ecuación de Bernoulli: Describe el comportamiento de un fluido bajo condiciones variantes de presión, densidad del fluido, velocidad del flujo del fluido.


Variable Símbolo Unidad MLT FLT

Fuerza F Nw MLT-2 F

Masa M Kg. M FL-1T-2

Longitud L M L L

Tiempo T S T T

Velocidad lineal V m/s LT L

Velocidad angular w s-1 T-1 T-1

Velocidad del sonido C m/s LT-1 LT-1

Aceleración lineal A m/s2 LT-2 LT-2

Aceleración gravedad G m/s2 LT-2 LT-2

Gasto o caudal Q m3/s L3T-1 L3T-1

Caudal unitario Q m2/s L2T-1 L2T-1

Presión P Pa ML-1T-2 FL-2

Densidad r Kg/m3 ML-3 FL-4T2

Peso específico G N/m3 ML-2T-2 FL-3


TEOREMA DE BUCKINGHAMExiste un numero de parámetros adimensionales independientes fijo para un problema dado, y es igual a la diferencia entre el numero total de variables que intervienen en un proceso dado y, el numero de dimensiones fundamentales (L,M,T).

𝑰=𝑵 −𝑹


Donde:I = Numero de parámetros adimensionales independientes.N = Numero de variables implicadas en el proceso.R = Numero de dimensiones fundamentales (L,M,T).


EJEMPLODeterminar los parámetros adimensionales formados con las variables involucradas en el flujo de un fluido sobre un cuerpo solido de forma esférica.

ANÁLISIS DIMENSIONAL DE UNIDADES• Definir las variables significativas del proceso:

VARIABLES DIMENSIONES

FUERZA

DIÁMETRO LDENSIDAD )

VISCOSIDAD )

VELOCIDAD


• Definir el numero de dimensiones fundamentales involucradas en el proceso; en este caso, se utilizan la longitud, la masa y el tiempo como variables fundamentales.

• Definir el numero de parámetros adimensionales que salen, con base en el teorema de BUCKINGHAM.

I


• DETERMINAR LOS PARÁMETROS ADIMENSIONALES:

La variable en estudio (F) puede ser representada como una función exponencial de las cuatro variables restantes ( , , D,V).𝝆 𝝁

(1)

(2)


• DETERMINAR LOS PARÁMETROS ADIMENSIONALES:

.. (3)Se generan los sistemas de ecuaciones:Para M: 1= a+b Para L: 1= -3a-b+c+d Para T: -2 = -b -d a = 1- b

d = 2-bc= 2- b


Reemplazamos los parámetros a, b, c y d en la ecuación 1:

.

= 𝑭

𝝆 .𝑫𝟐 .𝑽 𝟐

𝛍𝛒 .𝐃 .𝐕


Ejemplo 2 Determinar los grupos adimensionales formados con las variables involucradas en el flujo viscoso incompresible de un fluido en el interior de un tubo horizontal. Se sabe que la caída de presión por efecto de la viscosidad, , es función de la velocidad media de flujo v, densidad del fluido (), viscosidad del fluido (), diámetro tubo D, longitud del tramo considerado del tubo L, y la rugosidad de la pared interna del tubo, e.

ANÁLISIS DIMENSIONAL DE UNIDADESVariable Símbolo Dimensiones

1 Caída de Presión

F

2 Velocidad V

3 Densidad

4 Viscosidad

5 Diámetro D L

6 Longitud L L

7 Rugosidad L


La fuerza axial de una hélice completamente sumergida en agua, se ha visto que, depende de:Diámetro de la hélice.Velocidad de desplazamiento.Densidad del fluido.Velocidad de rotación.Aceleración de la gravedad.Viscosidad del fluido.Determinar los parámetros adimensionales



Las siguientes variables son relevantes en los procesos de flujo de un fluido.

No Variable Símbolo Dimensión1 Viscosidad µ2 Densidad ƿ3 Tension Superficial ơ4 Variación de la Presión Δp5 Velocidad v6 Velocidad del Sonido C7 Longitud L L

8 Aceleración de la Gravedad G



EJEMPLO 3La fuerza axial de una hélice completamente sumergida en agua, se ha visto que depende de; Diámetro de la hélice (D), Velocidad de Desplazamiento (V), densidad del fluido ( Velocidad de Rotación (N), aceleración de la Gravedad (g) y la viscosidad Dinámica del fluido (.• Calcular los parámetros adimensionales




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