Clase de limites 2

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Lımites 2

David J. Coronado1

1Departamento de Formacion General y Ciencias BasicasUniversidad Simon Bolıvar

Matematicas I

D. Coronado Limites 2

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Contenido

1 Lımites LateralesDefinicionEjemplos

2 Teorema del EmparedadoEl TeoremaEjemplos

3 Lımites al infinito e infinitosLımites al infinitoLımites infinitos


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Contenido





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Lımites LateralesTeorema del Emparedado

Lımites al infinito e infinitos

DefinicionEjemplos

Contenido





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DefinicionEjemplos

Laterales

Definicion (Lımites Laterales)

1 El lımitelim

x→c+f (x) = L

significa que si x esta cerca de c, a la derecha, entonces f (x)esta cerca de L.

2 El lımitelim

x→c−f (x) = L

significa que si x esta cerca de c, a la izquierda, entonces f (x)esta cerca de L.


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DefinicionEjemplos

Laterales

Definicion (Lımites Laterales)

1 El lımitelim

x→c+f (x) = L

significa que si x esta cerca de c, a la derecha, entonces f (x)esta cerca de L.

2 El lımitelim

x→c−f (x) = L

significa que si x esta cerca de c, a la izquierda, entonces f (x)esta cerca de L.


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DefinicionEjemplos

Contenido





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DefinicionEjemplos

Laterales

Ejemplo

Evaluar el lımitelim

x→2+[x ]

Solucion:


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DefinicionEjemplos

Laterales

Ejemplo


x→2+[x ]

Solucion:


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DefinicionEjemplos

Laterales

Ejemplo


x→2+[x ]

Solucion:


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DefinicionEjemplos

Laterales

Ejemplo


x→2−[x ]

Solucion:


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DefinicionEjemplos

Laterales

Ejemplo


x→2−[x ]

Solucion:


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DefinicionEjemplos

Laterales

Ejemplo


x→2−[x ]

Solucion:


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DefinicionEjemplos

Laterales

Teorema (Lımites Laterales)

limx→c

f (x) = L⇔ limx→c−

f (x) = limx→c+

f (x) = L


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El TeoremaEjemplos

Contenido





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El TeoremaEjemplos

T Emparedado

Teorema (del emparedado)

Sean f , g y h funciones tales que

f (x) ≤ g(x) ≤ h(x)

para toda x cercana a c, excepto posiblemente en c. Si

limx→c

f (x) = limx→c

h(x) = L

Entonceslimx→c

g(x) = L.


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El TeoremaEjemplos

Contenido





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El TeoremaEjemplos

T Emparedado

Ejemplo

Supongamos que

1− x2

6≤ senx

x≤ 1

Entonces, por el teorema del emparedado,

limx→0

senx

x= 1

Solucion:


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El TeoremaEjemplos

T Emparedado

Ejemplo

Supongamos que

1− x2

6≤ senx

x≤ 1


limx→0

senx

x= 1

Solucion:


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El TeoremaEjemplos

T Emparedado

Ejemplo

Supongamos que

1− x2

6≤ senx

x≤ 1


limx→0

senx

x= 1

Solucion:


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Lımites al infinitoLımites infinitos

Contenido





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Al Infinito

Definicion

Lımites al infinito

Sea f definida en [c ,∞) paraalgun c ∈ R. Decimos que

limx→∞

f (x) = L

si para cada ε > 0 existeM > 0 tal que

x > M ⇒ |f (x)− L| < ε.x

yy = f (x)

y = L


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Al Infinito

Definicion


Sea f definida en [c ,∞) paraalgun c ∈ R. Decimos que

limx→∞

f (x) = L

si para cada ε > 0 existeM > 0 tal que

x > M ⇒ |f (x)− L| < ε.x

yy = f (x)

y = L


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Al Infinito

Definicion


Sea f definida en (−∞, c] paraalgun c ∈ R. Decimos que

limx→−∞

f (x) = L

si para cada ε > 0 existeM ∈ R tal que

x < M ⇒ |f (x)− L| < ε.x

yy = f (x)

y = L

Graficamente, la existencia de estos lımites implican la existenciade asıntotas horizontales


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Al Infinito

Definicion


Sea f definida en (−∞, c] paraalgun c ∈ R. Decimos que

limx→−∞

f (x) = L

si para cada ε > 0 existeM ∈ R tal que

x < M ⇒ |f (x)− L| < ε.x

yy = f (x)

y = L



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Al Infinito


x

yy = f (x)

y = L

x

yy = f (x)

y = L


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Al Infinito


x

yy = f (x)

y = L

x

yy = f (x)

y = L


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Al Infinito

Con estas definiciones se pueden demostrar:

limx→∞

1

xk= 0 lim

x→−∞

1

xk= 0.

Veamos algunos ejemplos:


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Al Infinito

Con estas definiciones se pueden demostrar:

limx→∞

1

xk= 0 lim

x→−∞

1

xk= 0.

Veamos algunos ejemplos:


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Al Infinito

Ejemplo

Calcularlimx→∞

x

1 + x2

Solucion: Para resolverlo, dividimos entre la mayor potencia:

limx→∞

x

1 + x2= lim

x→∞

xx2

1+x2

x2

= limx→∞

1x

1x2 + 1

=0

0 + 1=

0

1

= 0


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Al Infinito

Ejemplo

Calcularlimx→∞

x

1 + x2


limx→∞

x

1 + x2= lim

x→∞

xx2

1+x2

x2

= limx→∞

1x

1x2 + 1

=0

0 + 1=

0

1

= 0


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Al Infinito

Ejemplo

Calcularlimx→∞

x

1 + x2


limx→∞

x

1 + x2= lim

x→∞

xx2

1+x2

x2

= limx→∞

1x

1x2 + 1

=0

0 + 1=

0

1

= 0


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Al Infinito

Ejemplo

Calcularlimx→∞

x

1 + x2


limx→∞

x

1 + x2= lim

x→∞

xx2

1+x2

x2

= limx→∞

1x

1x2 + 1

=0

0 + 1=

0

1

= 0


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Al Infinito

Ejemplo

Calcular

limx→∞

2− 3x + x2

7 + 4x − 5x2

Solucion:

limx→∞

2− 3x + x2

7 + 4x − 5x2= lim

x→∞

2−3x+x2

x2

7+4x−5x2

x2

=


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Al Infinito

Ejemplo

Calcular

limx→∞

2− 3x + x2

7 + 4x − 5x2

Solucion:

limx→∞

2− 3x + x2

7 + 4x − 5x2= lim

x→∞

2−3x+x2

x2

7+4x−5x2

x2

=


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Al Infinito

Ejemplo

Calcular

limx→∞

2− 3x + x2

7 + 4x − 5x2

Solucion:

limx→∞

2− 3x + x2

7 + 4x − 5x2= lim

x→∞

2−3x+x2

x2

7+4x−5x2

x2

=


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Al Infinito

Ejemplo

Calcular

limx→∞

2− 3x + x2

7 + 4x − 5x2

Solucion:

limx→∞

2− 3x + x2

7 + 4x − 5x2= lim

x→∞

2−3x+x2

x2

7+4x−5x2

x2

=


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Contenido





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Infinitos

Definicion (Lımites infinitos)

Sea f definida a laderecha de c para algunc ∈ R. Decimos que

limx→c+

f (x) =∞

si para cada M > 0existe δ > 0 tal que

0 < x−c < δ ⇒ f (x) > M.

x

y

y = f (x)

x = c


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Infinitos


Sea f definida a laderecha de c para algunc ∈ R. Decimos que

limx→c+

f (x) = −∞

si para cada M < 0existe δ > 0 tal que

0 < x−c < δ ⇒ f (x) < M.

x

y

y = f (x)

x = c


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Infinitos


Sea f definida a laizquierda de c paraalgun c ∈ R. Decimosque

limx→c−

f (x) =∞

si para cada M > 0existe δ > 0 tal que

0 < c−x < δ ⇒ f (x) > M.

x

yy = f (x)

x = c


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Infinitos


Sea f definida a laizquierda de c paraalgun c ∈ R. Decimosque

limx→c−

f (x) = −∞

si para cada M < 0existe δ > 0 tal que

0 < x−c < δ ⇒ f (x) < M.

x

y

y = f (x)

x = c


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Infinitos

Graficamente, cuando un lımite da como resultado ∞ o −∞decimos que la recta x = c es una asıntota vertical.Veamos algunos ejemplos


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Infinitos

Graficamente, cuando un lımite da como resultado ∞ o −∞decimos que la recta x = c es una asıntota vertical.Veamos algunos ejemplos


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Infinitos

Ejemplo

Evaluar

limx→1−

1

(x − 1)2

Solucion: Evualando queda 10 lo cual no esta definido,debemos

estudiar el signo del cero.Para ello, aplicamos la definicion del lımite lateral:

limx→1−

⇒ x < 1

⇒ x − 1 < 0

⇒ (x − 1)2 < 0

⇒ limx→1−

1

(x − 1)2=

1

0+

= ∞


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Infinitos

Ejemplo

Evaluar

limx→1−

1

(x − 1)2



limx→1−

⇒ x < 1

⇒ x − 1 < 0

⇒ (x − 1)2 < 0

⇒ limx→1−

1

(x − 1)2=

1

0+

= ∞


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Infinitos

Ejemplo

Evaluar

limx→1−

1

(x − 1)2



limx→1−

⇒ x < 1

⇒ x − 1 < 0

⇒ (x − 1)2 < 0

⇒ limx→1−

1

(x − 1)2=

1

0+

= ∞


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Infinitos

Ejemplo

Evaluar

limx→1−

1

(x − 1)2



limx→1−

⇒ x < 1

⇒ x − 1 < 0

⇒ (x − 1)2 < 0

⇒ limx→1−

1

(x − 1)2=

1

0+

= ∞


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Infinitos

Ejemplo

Evaluar

limx→1−

1

(x − 1)2



limx→1−

⇒ x < 1

⇒ x − 1 < 0

⇒ (x − 1)2 < 0

⇒ limx→1−

1

(x − 1)2=

1

0+

= ∞


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Infinitos

Ejemplo

Evaluar

limx→1−

1

(x − 1)2



limx→1−

⇒ x < 1

⇒ x − 1 < 0

⇒ (x − 1)2 < 0

⇒ limx→1−

1

(x − 1)2=

1

0+

= ∞


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Infinitos

Ejemplo

Evaluar

limx→1−

1

(x − 1)2



limx→1−

⇒ x < 1

⇒ x − 1 < 0

⇒ (x − 1)2 < 0

⇒ limx→1−

1

(x − 1)2=

1

0+

= ∞


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Infinitos

Ejemplo

Evaluar

limx→1+

1

(x − 1)2

Solucion: Nuevamente queda 10 , indefinido.Aplicamos la definicion

del lımite lateral:

limx→1+

⇒ x > 1

⇒ x − 1 > 0

⇒ (x − 1)2 > 0

⇒ limx→1+

1

(x − 1)2=

1

0+

= ∞


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Infinitos

Ejemplo

Evaluar

limx→1+

1

(x − 1)2



limx→1+

⇒ x > 1

⇒ x − 1 > 0

⇒ (x − 1)2 > 0

⇒ limx→1+

1

(x − 1)2=

1

0+

= ∞


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Infinitos

Ejemplo

Evaluar

limx→1+

1

(x − 1)2



limx→1+

⇒ x > 1

⇒ x − 1 > 0

⇒ (x − 1)2 > 0

⇒ limx→1+

1

(x − 1)2=

1

0+

= ∞


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Infinitos

Ejemplo

Evaluar

limx→1+

1

(x − 1)2



limx→1+

⇒ x > 1

⇒ x − 1 > 0

⇒ (x − 1)2 > 0

⇒ limx→1+

1

(x − 1)2=

1

0+

= ∞


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Infinitos

Ejemplo

Evaluar

limx→1+

1

(x − 1)2



limx→1+

⇒ x > 1

⇒ x − 1 > 0

⇒ (x − 1)2 > 0

⇒ limx→1+

1

(x − 1)2=

1

0+

= ∞


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Infinitos

Ejemplo

Evaluar

limx→1+

1

(x − 1)2



limx→1+

⇒ x > 1

⇒ x − 1 > 0

⇒ (x − 1)2 > 0

⇒ limx→1+

1

(x − 1)2=

1

0+

= ∞


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Infinitos

Ejemplo

Evaluar

limx→1+

1

(x − 1)2



limx→1+

⇒ x > 1

⇒ x − 1 > 0

⇒ (x − 1)2 > 0

⇒ limx→1+

1

(x − 1)2=

1

0+

= ∞


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Infinitos

Ejemplo

Evaluar

limx→2−

x + 1

x2 − 5x + 6

Solucion:


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Infinitos

Ejemplo

Evaluar

limx→2−

x + 1

x2 − 5x + 6

Solucion:


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Infinitos

Ejemplo

Evaluar

limx→2−

x + 1

x2 − 5x + 6

Solucion:Evaluando 3

0 . Para poder estudiar el signo, primero factorizamos eldenominador:

x + 1

x2 − 5x + 6=

x + 1

(x − 2)(x − 3)


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Infinitos

Ejemplo

Evaluar

limx→2−

x + 1

x2 − 5x + 6

Solucion:Usando el mismo procedimiento anterior:

limx→2−

⇒ x < 2

⇒ x − 2 < 0

⇒


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Infinitos

Ejemplo

Evaluar

limx→2−

x + 1

x2 − 5x + 6

Solucion:

limx→2−

x + 1

x2 − 5x + 6= lim

x→2−

x + 1

(x − 2)(x − 3)

=3

(0−)(−1)

=3

0+= ∞


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fin


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