Clase No. 18 (Segunda parte):

Cuadratura GaussianaMAT–251

Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT–251) 15.10.2012 1 / 10

Introducción

Sea una función f : [a,b] −→ R continua.Dada una partición a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b, las fórmulas vistas deintegración numérica son de la forma

∫ b

af (x)dx ≈W0f (x0) +W1f (x1) + ...+Wnf (xn).

Para usar una fórmula sólo hay que especificar los nodos xi y los pesos Wi.

Una forma de determinar los pesos es usando interpolación. Por ejemplo,usando los polinomios de Lagrange, se tiene

p(x) =n∑

i=0

f (xi)Li(x), donde Li(x) =n∏

j=0j 6=i

x− xjxi − xj

Si ocurre que p es una buena aproximación de f , entonces

∫ b

af (x)dx ≈

∫ b

ap(x)dx =

n∑

i=0

f (xi)

∫ b

aLi(x)dx =

n∑

i=0

Wi f (xi)

¿Para qué tipo de funciones f la fórmula es exacta?

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Introducción

Sea una función f : [a,b] −→ R continua.Dada una partición a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b, las fórmulas vistas deintegración numérica son de la forma

∫ b

af (x)dx ≈W0f (x0) +W1f (x1) + ...+Wnf (xn).

Para usar una fórmula sólo hay que especificar los nodos xi y los pesos Wi.Una forma de determinar los pesos es usando interpolación. Por ejemplo,usando los polinomios de Lagrange, se tiene

p(x) =n∑

i=0

f (xi)Li(x), donde Li(x) =n∏

j=0j 6=i

x− xjxi − xj

Si ocurre que p es una buena aproximación de f , entonces

∫ b

af (x)dx ≈

∫ b

ap(x)dx =

n∑

i=0

f (xi)

∫ b

aLi(x)dx =

n∑

i=0

Wi f (xi)

¿Para qué tipo de funciones f la fórmula es exacta?

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Ejemplo

Para obtener la fórmula de cuadratura en el intervalo [−2,2] usando losnodos −1,0,1, calculamos

L1(x) = 12x(x− 1) =⇒ W1 = 8

3

L2(x) = −(x+ 1)(x− 1) =⇒ W2 = −43

L3(x) = 12x(x+ 1) =⇒ W3 = 8

3

Así,

∫ 2

−2f (x)dx ≈

4

3[2f (−1)− f (0) + 2f (1)]

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Cambio de intervalo

Supongamos que tenemos la fórmula∫ b

af (x)dx ≈

n∑

i=0

Wi f (xi)

Para calcular la integral de f en el intervalo [c,d] podemos aplicar latransformación

x(t) =d− cb− a

(t − a) + c

Entonces∫ d

cf (x)dx =

d− cb− a

∫ b

af (x(t))dt ≈

d− cb− a

n∑

i=0

Wi f (x(ti))

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Cambio de intervalo

Supongamos que tenemos la fórmula∫ b

af (x)dx ≈

n∑

i=0

Wi f (xi)

Para calcular la integral de f en el intervalo [c,d] podemos aplicar latransformación

x(t) =d− cb− a

(t − a) + c

Entonces∫ d

cf (x)dx =

d− cb− a

∫ b

af (x(t))dt ≈

d− cb− a

n∑

i=0

Wi f (x(ti))

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Distribución de los nodos

• Usar nodos equiespaciados ayuda a obtener fórmulas de integracióncompuestas o recursivas.

• Esta tipo de discretización en general no ayuda a reducir el error de laaproximación de la integral.

Por ejemplo, para regla de trapecio:

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Nodos y pesos Gaussianos (I)

Gauss demostró que escogiendo los nodos de una manera especial eraposible mejorar la exactitud del cálculo de la integral numérica.

Teorema de cuadratura Gaussiana

Sea q un polinomio de grado n+ 1 tal que∫ b

axk q(x)dx = 0 para k = 0,1, ...,n.

Sean x0,x1, ...,xn los ceros de q. Entonces la fórmula∫ b

af (x)dx ≈

n∑

i=0

Wi f (xi), con Wi =

∫ b

aLi(x)dx, (1)

es exacta para polinomios de grado a lo más 2n+ 1. Además, xi ∈ (a,b).

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Nodos y pesos Gaussianos (II)

Para la demostración, hay que aplicar el algoritmo de la división

f = pq+ r,

y puesto que xi es raíz de q, tenemos que

f (xi) = p(xi)q(xi) + r(xi) = r(xi),

y como el grado de p es a lo más n, debemos tener que

∫ b

af (x)dx =

∫ b

ap(x)q(x)dx+

∫ b

ar(x)dx =

∫ b

ar(x)dx =

n∑

i=0

Wi r(xi) =n∑

i=0

Wi f (xi)

En resumen, si usamos nodos arbitrarios, la fórmula (1) es exacta parapolinomios de grado a lo más n. Si se usan los nodos Gaussianos, (1) esexacta para polinomios de grado a lo más 2n+ 1.

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Ejemplo (I)

Para calcular la fórmula de la cuadratura Gaussiana con tres nodos para

estimar la integral

∫ 1

−1f (x)dx, necesitamos determinar un polinomio q de la

formaq(x) = c0 + c1x+ c2x

2 + c3x3,

tal que∫ 1

−1q(x)dx =

∫ 1

−1xq(x)dx =

∫ 1

−1x2q(x)dx = 0.

Si hacemos c0 = c2 = 0, entonces q(x) = c1x+ c3x3, y por ser una funciónimpar,

∫ 1

−1xq(x)dx =

∫ 1

−1x2q(x)dx = 0.

Queremos que

0 =

∫ 1

−1xq(x)dx =

∫ 1

−1(c1x

2 + c3x4)dx =

�c1

3x3 +

c3

5x5�1

−1

Podemos elegir c1 = −3 y c3 = 5.

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Ejemplo (II)

Así, q(x) = 5x3 − 3x, y sus raíces son −p

3/5,0,p

3/5.Tenemos que

∫ 1

−1f (x)dx ≈W1f (−

p

3/5) +W2f (0) +W3f (p

3/5)

es exacta para polinomios de grado a lo más 2. Para determinar Wi podemosproponer algunos de éstos polinomios y obtener un sistema de ecuaciones:

f

∫ 1

−1f (x)dx Cuadratura

1 2 W1 +W2 +W3x 0 −

p3/5W1 +

p3/5W3

x2 2/3 (3/5)(W1 +W3)

De aquí que W1 =W3 = 5/9 y W2 = 8/9. Así, la fórmula de la cuadraturaGaussiana para tres nodos en [−1,1] es

∫ 1

−1f (x)dx ≈

1

9[5f (−

p

3/5) + 8f (0) + 5f (p

3/5)

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Ejemplo (III)Esta fórmula es exacta para polinomios de grado a lo más 5.

Ejemplo: Para calcular numéricamente

∫ 1

−13x4 + 2x2 dx =

38

15, tenemos

∫ 1

−13x4 + 2x2 dx ≈

1

9[5f (−

p

3/5) + 8f (0) + 5f (p

3/5)

=1

9

�

557

25+ 8(0) + 5

57

25

�

=38

15

Otro ejemplo, tenemos que

∫ 1

−1(2x10 − 6x6 − x4 + 3x2)dx =

96

385≈ 0.24935

Aplicando la cuadratura Gaussiana, tenemos

∫ 1

−1(2x10 − 6x6 − x4 + 3x2)dx ≈

208

625≈ 0.3328

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