ANLISIS MATEMTICO II

F.Q

.H

1

Horario A- B

VOLUMEN SOLIDOS

Lic. FLOR DE MARA QUISPERIMA

HUAMN

(2015- II)

UNIVERSIDAD SAN LUIS GONZAGA

DE ICA

FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL

VOLUMENES DE SLIDOS

DE REVOLUCIN

SOLIDOS

El cono es un slido que resulta al girar un

tringulo recto alrededor de uno de sus lados

VOLUMEN DE SOLIDO DE REVOLUCIN

VOLUMEN DE SOLIDO

ESFERA

Los slidos de revolucin son slidos

generados al girar una regin plana

alrededor de un eje.

DEFINICIN

MTODO DEL DISCO

Si giramos una regin del plano alrededor

del eje X obtenemos un slido

de revolucin.

b

adxxfV

2)(

dx

( )R f x2Area R

dV Adx

2 2( ( ))dV R dx f x dx

f(x)

x

dx

Si giramos una regin del plano alrededor del

eje Y obtenemos un slido de revolucin

MTODO DEL DISCO

Ejemplo 2: La regin limitada por la curva , la recta rotan alrededor del eje Y . Encontrar el volumen del slido obtenido

EJE DE GIRO :

CASO 1: EJE X

2

( )

b

a

V f x dx

CASO 2 : RECTA HORIZONTAL y = c

y = c

2

( )

b

a

V f x c dx

f(x)

f(x)

Y

Y

X

X

a b

a b

MTODO DEL DISCO

Ejemplo Sea la regin limitada por la parbolas = 4 2 . y la recta y=0.Hallar el volumen del solido generado

al girar la regin alrededor del eje X.

MTODO DEL ANILLO

a b x

f (x)

g (x)

y= f (x)

y = g (x)

X

y

2 22 2 ( ) ( )A R r A f x g x

R

r

2 2( ( )) ( ( ))

b

a

V f x g x dx

2 2

( ) ( )

b

a

V f x g x dx

CASO 1: EJE X

CASO 2 : RECTA HORIZONTAL y = c

y = c

2 2

( ) ( )

b

a

V f x c g x c dx

X

Y

a b

a b

f(x)

f(x)

g (x)

g (x)

X

Y

Ejemplo Sea la regin limitada por las parbolas = 2 , = 4 2 . Hallar el volumen del solido generado al girar la regin alrededor del eje X.

Ejemplo 1: Determinar el volumen del slido generado al hacer

girar, alrededor del eje X, las regiones acotada por

las curvas: 24 ; 2y x y x

Ejemplo Determinar el volumen del slido generado al hacer

girar, alrededor del eje Y, las regiones acotada por las

curvas: = ; = .

MTODO DE LA CORTEZA

b

a

dx)x(fxV 2

MTODO DE LA CORTEZA O DE LOS CAPAS CILNDRICAS.

2 ( )dV x f x dx

METODO DE LA CORTEZA

f(x)

a b

Y

X

x h

2 ( )dV x f x dx

= 2( )()()

2 ( )b

a

V x f x dx

Ejemplo

solucin

2 ( )dV x f x dx 2 ( )

b

a

V x f x dx

3

0

23 )134(2 dxxxxxV

MTODO DE LA CORTEZA

2 ( )b

a

V x f x dx

x = k

EJE DE GIRO: Y

EJE DE GIRO: RECTA VERTICAL x = k

2 ( )b

a

V x k f x dx

Y

Y

a x b

a x b

X

Y

a x b

f(x)

g (x) 2 ( ) ( )

b

a

V x f x g x dx

X

Y

a x b

f(x)

g (x)

x = k

EJE DE GIRO: RECTA VERTICAL x = k

2 ( ) ( )b

a

V x k f x g x dx

EJE DE GIRO: Y

Ejemplo 42 xySea la parbola Si R es l Regin limitada por la parbola, la recta y el eje Y. Hallar el volumen del solido

generado cuando R gira alrededor del eje Y.

542 xxy

Sea R la regin limitada por dos curvas y las rectas x=1 y x=3.

Hallar el volumen del solido que es generado cuando la regin gira

alrededor del eje Y

Ejemplo

solucin

3

1

223 )34(51262 dxxxxxxxV

SECCIN TRANSVERSAL

Es una regin plana de un slido obtenida

al interceptar al slido con un plano

perpendicularar este.

VOLMENES DE SLIDOS DE SECCIONES

TRANSVERSALES CONOCIDAS

L

a

x

b

S

Note que A(x) es un valor que depende de x, y que al

menos en el caso de la Fig. conforme x varia desde a

hasta b, el valor del rea A(x) tambin est variando

en funcin de x.

Seccin transversal tpica,

perpendicular al eje L y

de rea A(x)

SECCIONES TRANSVERSALES PLANAS PARALELAS

VOLMENES DE SLIDOS DE SECCIONES

TRANSVERSALES

x

dx

A(b)

A(a)

b a x

A(x)

El diferencial de volumen

A(x)

dx

dV = A(x) dx

CLCULO DE VOLMENES DE SLIDOS QUE

NO SON DE REVOLUCIN

( )b

aV A x dx

La base de cierto slido es la parbola y la

recta y=0. y las secciones transversales perpendiculares al

eje X son tringulos equilteros; encontrar el volumen del

slido.

Ejemplo

solucin

En la figura se muestra un slido con una base circular de radio 1. Las secciones transversales paralelas pero perpendiculares a la base son tringulos equilteros.

Determine el volumen del slido.

k

i

j

Ejemplo

Solucin

Las secciones transversales de cierto slido por planos

perpendiculares al eje son semicrculos con dimetros que

van desde la curva hasta la curva

el slido est entre los puntos de interseccin de las dos curvas;

encontrar el volumen.

Ejemplo

La base de un slido es la regin limitada por la

elipse b2x2 + a2y2 = a2b2.

Hallar el volumen del slido S suponiendo que las

secciones transversales perpendiculares al eje X

son:

a) Tringulos rectngulos issceles , cada uno con una

hipotenusa sobre el plano XY

b) Cuadrados

Ejemplo

b) Si la secciones transversales son cuadrados, el slido que

da descrito como la unin de los Sx, x [-a,a], tal que Sx es un cuadrado de lado:

2 222b

y a xa

Luego

2

2 2

2( ) 4

bA x a x

a

0 -a a

y

x

-y

Donde: a

-a

4b

a dx ab2 = ( )u3 V = (a2 x2)

c) Si la secciones transversales tringulos de altura 2 , el slido

es la unin de los Sx, x [-a,a], tal que Sx es un tringulo de lado:

2y = 2b

a (a2 x2)

y lado 2, por tanto

A(Sx) = y2 =

b2

a2 (a2 x2)

y

x

-y 0

-a a

Luego :