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7/24/2019 Clase1 OL Subir

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Definicion de Programacion Lineal Interpretacion Geometrica Posibles soluciones a problemas LP

Tecnicas de Optimizacion

Introduccion a la Programacion Lineal

Juan Felipe Botero

Departamento de IngenieraUniversidad de Antioquia

Medelln Colombia

[email protected]

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INDICE

Definicion de Programacion LinealProgramacion MatematicaConceptos basicos de programacion lineal

Interpretacion GeometricaSolucion Geometrica

Posibles soluciones a problemas LPSolucion finita unica

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PROGRAMACIONMATEMATICA(I)

Es la seleccion del mejor elemento (con respecto a algun criterio)entre un conjunto de alternativas disponibles

Un problema de optimizacion consiste en maximizar ominimizar una funcion real

Esta optimizacion se hace escogiendo valores de entradade un conjunto y computando el posible valor de la

solucion

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PROGRAMACIONMATEMATICA(II)

Dadauna funcionf : A R para algun conjuntoA a losnumeros reales

Se busca: un elementox0 Atal quef(x0) f(x),x A(minimizacion) o tal quef(x0) f(x),x A(maximi-zacion)

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DEFINICION DE PROGRAMACION LINEAL

La programacion lineal (LP, por sus siglas en ingles) es uncaso especfico de la programacion matematica donde lafuncion objetivo es lineal y ademas

En LP, la funcion objetivo esta sujeta a un conjunto deigualdades y desigualdades lineales

La programacion lineal es un metodo matematico para determi-nar una manera de encontrar la mejor solucion en un modelo

matematico dado para una lista de requerimientos representadoscomo relaciones lineales

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EL PROBLEMA DEPROGRAMACIONLINEAL

Un problema de LP consiste en minimizar o maximizar una funcionlineal en presencia de restricciones lineales que son igualdades o

desigualdades.

Problema de programacion lineal:

Minimizar c1x1+ c2 x2+ + cnxn

Sujeto a a11x1+ a12 x2+ + a1nxn b1

a21x1+ a22 x2+ + a2nxn b2

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

am1x1+ am2 x2+ + amnxn bm

x1 , x2 , . . . , xn 0

Notacion vectorial:

min{cTx : Ax b,x 0}

dondec,x Rn,A Rmn yb Rm

Donde,

z c1x1 +c2x2 + +cn xn Funcion

Objetivo c = (c1 ,c2 , . . . ,cn) Coeficientes de costo

Variablesx = (x1 ,x2 , . . . ,xn) Variables dedecision

Desigualdadn

j=1aij xj bi Restriccioni

x1 ,x2 , . . . ,xn 0 Restricciones de nonegatividad

Coeficientes tecnologicos de la matrizA:

A =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n

.

.

.

.

.

.

.

.

.am1 am2 . . . amn

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D fi i i d P i Li l I i G i P ibl l i bl LP


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REGIONFACTIBLE(I)

Un conjunto de variablesx1 , x2 , . . . , xnque satisfacen todas las restricciones,comunmente se denominan unvector factible. El conjunto de vectores factiblesconstituyen la llamadaregion factible.

Problema de programacion lineal:Entre todos los vectores factibles, encon-trar el vector que minimiza (o maximiza) la funcion objetivo

Ejemplo:


Minimizar 5x1+ 2x2

Sujeto a x1+ x2 6 (1)

x1 2x2 18(2)

x1, x2 0 (3)

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D fi i i d P i Li l I t t i G t i P ibl l i bl LP


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REGIONESFACTIBLES(II)Un conjunto de variablesx1 , x2 , . . . , xnque satisfacen todas las restricciones,

comunmente se denominan unvector factible. El conjunto de vectores factiblesconstituyen la llamadaregion factible.


Ejemplo:


Minimizar 5x1+ 2x2

Sujeto a x1+ x

2 6 (1)

x1 2x2 18(2)

x1, x2 0 (3)

x10

x20

(3)

(3)

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REGIONESFACTIBLES(III)

Un conjunto de variablesx1,

x2, . . . ,

xnque satisfacen todas las restricciones,comunmente se denominan unvector factible. El conjunto de vectores factiblesconstituyen la llamadaregion factible.


Ejemplo:Problema de programacion lineal:

Minimizar 5x1+ 2x2


x1 2x2 18

(2)x1, x2 0 (3)

x10

x20

[0,6]

[6,0]

(3)

(3)

(1)

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REGIONESFACTIBLES(IV)



Ejemplo:


Minimizar 5x1+ 2x2


x1 2x2 18

(2)x1, x2 0 (3)

x10

x20

[0,6]

[0,9]

[6,0][18,0]

(3)

(3)

(1)

(2)

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REGIONESFACTIBLES(V)



Ejemplo:


Minimizar 5x1+ 2x2


x1 2x2 18

(2)x1, x2 0 (3)

x10

x20

[0,6]

[0,9]

[6,0][18,0]

Feasible

Region

(3)

(3)

(1)

(2)

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MANIPULACION DELPSLos problemas de programacion lineal pueden ser

transformados de una forma a otra mediante la aplicacion deciertas manipulaciones Desigualdades e igualdades: Cualquier desigualdad puede ser transformada a

una igualdad mediante la resta (o suma) de una variable no negativa(comunmente llamada variableslack).

nj=1aijxj bi

nj=1aijxj bi

nj=1aijxj xn+i = bi

nj=1aijxj + xn+i = bi

No negatividad de las variables: La mayora de algoritmos para solucionarproblemas LP cuentan con que las variables son no negativas. Por lo tanto, si unavariablexjno esta restringida en cuanto a su signo, puede ser reemplazada por

xj x

j en la funcion objetivo y en las restricciones que la contienen. Ademas,

x

j , x

j 0

Los problemas de minimizacion pueden ser facilmente convertibles a problemasde maximizacion y viceversa.:

Maximizarn

j=1c

jx

j= -Minimizar

n

j=1c

jx

j

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g p p

FORMATOS ESTANDAR Y CANONICO PARALPS

Formato estandar: Todas las restricciones son igualdades y todas las variablesson no negativas

Formato canonico: Un problema de minimizacion esta expresado de maneracanonica si todas sus restricciones son de tipo . Un problema de maximizacionesta expresado de manera canonica si todas sus restricciones son de tipo (excepto las restricciones de no negatividad)

Problema Minimizacion Problema Maximizacion

FormaEstandar

Minimizarn

j=1cjxj Maximizarn

j=1cjxj

Sujeto an

j=1aijxj = bi i = 1, . . . ,m Sujeto an

j=1aijxj = bi i = 1, . . . ,m

xj 0 j = 1, . . . ,n xj 0 j = 1, . . . ,n

FormaCanonica

Minimizar

nj=1cjxj Maximizar

nj=1cjxj

Sujeto an

j=1aijxj b i i = 1, . . . ,m Subject ton

j=1aijxj bi i = 1, . . . ,m

xj 0 j = 1, . . . ,n xj 0 j = 1, . . . ,n

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g p p

EJEMPLOS: MANIPULACIONLPS(I) Ejemplo, transformar el siguiente LP a su forma estandar

Maximizar 4x1 + 3x2 Funcion ObjetivoSujeto a x1 + x2 40 Restriccion 1

2x1 + x2 60 Restriccion 2x1 , x2 0 Restriccion de signo

Cada desigualdad del tipo se convierte en una igualdad,

introduciendo unavariable de holgurasi. Cada una de estas variables,representa la cantidad de recurso no empleado de esa restriccion. Por lotanto, en la restriccion 1 se tiene que:x1 + x2 + s1 = 40,

y para la restriccion 2 se tiene que:

2x1 + x2 + s2 = 60

y el problema queda entonces de la siguiente forma:Maximizar 4x1 + 3x2 Funcion ObjetivoSujeto a x1 + x2 + s1 = 40 Restriccion 1

2x1 + x2 + s2 = 60 Restriccion 2x1 , x2 , s1 , s2 0 Restriccion de signo

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EJEMPLOS: MANIPULACIONLPS(II) Cuando las desigualdades en las restricciones son del tipo, se definen

lasvariables de exceso. Estas variables representan la cantidad desobresatisfaccion de la restriccioni, veamos el siguiente problema:

Minimizar 50x1 + 20x2 + 3x3 + 80x4Sujeto a 400x1 + 200x2 + 150x3 + 500x4 500

3x1 + 2x2 6

2x1+

2x2+

4x3+

4x4 102x1 + 4x2 + x3 + 5x4 8x1 , x2 , x3 ,x4 0

Se convierte en:

Minimizar 50x1 + 20x2 + 3x3 + 80x4

Sujeto a 400x1 + 200x2 + 150x3 + 500x4 s1 = 500

3x1 + 2x2 s2 = 6

2x1 + 2x2 + 4x3 + 4x4 s3 = 10

2x1 + 4x2 + x3 + 5x4 s4 = 8

x1,

x2,

x3,

x4,

s1,

s2,

s3,

s4 015/35



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EJEMPLOS: MANIPULACIONLPS(III) Transformar el siguiente problema LP a forma estandar:

Maximizar x1 3x2 Funcion ObjetivoSujeto a x1 x2 6 Restriccion 1

x1 + 2x2 8 Restriccion 2x1 R, x2 0 Restriccion de signo

En primer lugar se deben transformar las restricciones 1 y 2 a formaestandar como sigue:

Maximizar x1 3x2 Funcion ObjetivoSujeto a x1 x2 + s1 = 6 Restriccion 1

x1 + 2x2 + s2 = 8 Restriccion 2x1 R, x2 , s1 , s2 0 Restriccion de signo

Para asegurar que todas las variables son no negativas, hay que

reemplazarx1que no esta restringida en signo porx

1

x

1, tal quex

1 ,x

1 0

Maximizar x

1 + x

1 3x2 Funcion Objetivo

Sujeto a x

1 x

1 x2 + s1 = 6 Restriccion 1

x

1 + x

1 + 2x2 + s2 = 8 Restriccion 2

x

1

, x

1

,x2 , s1 , s2 0 Restriccion de signo

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SOLUCIONGEOMETRICA(I)

Un problema LP se puede resolver de manera geometrica

para instancias pequenas (vector variables en R2 y R3) Provee una percepcion de lo que es un problema de

programacion lineal

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SOLUCIONGEOMETRICA(II)

Minimizar c1x1 +c2x2Sujeto a ai1x1 +ai2x2 bi i = 1, . . . ,m

xj 0 j = 1, . . . ,

n

Feasible

Region

c1x1+ c2x2= z1c1x1+ c2x2= z2, z2


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SOLUCIONGEOMETRICA(III)

Ejemplo:

Minimizar 5x1+ 2x2


x1 2x2 18(2)

x1, x2 0 (3)

x10

x20

[0,9]

[6,0]

[18,0]

Regin

Factible

(3)

(3)

(1)

(2)

z1=5

x1+2x2=90

[0,6]

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SOLUCIONGEOMETRICA(IV)

Ejemplo:

z2


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SOLUCIONGEOMETRICA(V)

Ejemplo:

z3


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SOLUCIONGEOMETRICA(VI)

Ejemplo:

z4


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EJERCICIO: REFINERIA PETROLERA

Recordemos el modelo de optimizacion de la refinerapetrolera:

Minimizar 20x1 + 15x2

Sujeto a 0,3x1 + 0,4x2 2,0

0,4x1 + 0,2x2 1,50,2x1 + 0,3x2 0,5

x1 9

x2 6

x1, x2 0

Como sera la solucion grafica a este problema?

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24/35

EJERCICIO: SOLUCIONAR GRAFICAMENTE

Solucionar graficamente el siguiente modelo

Maximizar 3x1 + 3x2

Sujeto a x1 + x2 2

x1, x2 0

Como sera la solucion grafica a este problema?

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UNICA SOLUCION OPTIMA CON REGION FACTIBLEACOTADA

Feasible

Region

Unique

Optimal

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26/35

REGION FACTIBLE NO ACOTADA

Ejercicio

3x 4y 12x + 2y 4

x 1,y 0

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REGION FACTIBLE NO ACOTADA(I)

Ejercicio

Minimizar 3x + 4y

Sujeto a 3x 4y 12

x + 2y 4

x

1,

y

0

y

x

x=1

FeasibleRegion

x+2y=4 3x+4y=

12

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REGION FACTIBLE NO ACOTADA(II)

Ejercicio (Solucion optima unica)

Minimizar 3x + 4y

Sujeto a 3x 4y 12

x + 2y 4

x 1

,y 0

y

x

x=1

FeasibleRegion

x+2y=4

3x-4y=

12

z=3x+

4y=

9

*

*

*

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29/35

REGION FACTIBLE NO ACOTADA(III)

Ejercicio (Solucion optima no acotada)

Maximizar 3x + 4y

Sujeto a 3x 4y 12

x + 2y 4

x 1,y 0

y

x

x=1

FeasibleRegion

x+2y=4

3x-4y=

12

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SOLUCION OPTIMA UNICA CON REGION FACTIBLE NOACOTADA

Feasible

Region

Unique

Optimal

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SOLUCIONES OPTIMA INIFINITA CON REGIONFACTIBLE NO ACOTADA

Feasible

Region

Unbounded

Optimal Solution

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SOLUCIONES OPTIMAS INFINITAS

Feasible

Region

Alternative Optima in

a Bounded Region

Feasible

Region

alternative

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PROBLEMALP INCONSISTENTE

Ejercicio

Minimizar 2x1 + 3x2

Sujeto a x1 + 2x2 2

2x1 x2 3

x2 4

x1, x2 0

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PROBLEMALP INCONSISTENTE

Ejercicio

Minimizar 2x1 + 3x2

Sujeto a x1 + 2x2 2

2x1 x2 3

x2 4

x1, x2 0

2

2

2

-x1+2

x22

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LECTURA RECOMENDADA

Rardin, Ronald L. Optimization in operations research. Vol.166. Upper Saddle River: Prentice Hall, 1998. Captulo 2

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