CLASE2!2!2015 02 Probabilidad Condicional Bayes

8/18/2019 CLASE2!2!2015 02 Probabilidad Condicional Bayes

http://slidepdf.com/reader/full/clase222015-02-probabilidad-condicional-bayes 1/16

PROBABILIDAD CONDICIONAL

La probabilidad condicional se da cuando la ocurrencia de un eventodepende de la ocurrencia de otro.

La probabilidad de que un evento B ocurra dado que un evento A ya ocurrióse denota por P(B/A) y se lee “ probabilidad de B dado A.



DEFINICIÓN DE PROBABILIDAD CONDICIONAL

Sean A y B dos eventos en un espacio muestral la probabilidad condicionalde B dado A, es el numero denotado por P(B/A) que se define por

(/) (∩)() si P(A) > 0

Interpretación grafica



PROPIEDADES:

a) Si P(A) = 0, se define P(B/A) = 0

b) Si A

B=

, P(B/A) = 0

c) Si A B, P(B/A) = 1

d) Si B A, (/) ()()

Como A

B

A , para cualquier evento B podemos interpretar P(B/A)como la probabilidad de B con respecto al espacio muestral reducido



EJEMPLO

Un lote contiene 15 piezas de fierro fundido de un proveedor local y 25de un proveedor de otro estado. Se eligen dos piezas al azar, sinremplazo, del lote de 40. Sean A: el evento donde la primera piezaseleccionada es del proveedor local, y B: en evento donde la segunda

pieza seleccionada es del proveedor de otro estado

a) ¿Cuál es el valor de ()?

b) ¿Cuál es el valor de (/)?

c) ¿Cuál es el valor de (∩)?



EJEMPLO

Se seleccionan dos semillas aleatoriamente, una por una, de una bolsaque contiene 10 semillas de flores rojas y 5 de flores blancas. ¿Cuál es la

probabilidad de que:

a) La primera semilla sea roja? b) La segunda semilla sea blanca dado que la primera fue roja?



EJEMPLO

Al tomar una muestra aleatoria de empleados para determinar el potencial en su trabajo se determinó que

Es posible utilizar un diagrama del árbol para describir las probabilidades condicionales

Empleados

Potencial

Administración Producción Mantenimiento

Regular 5 30 25

Bueno 15 50 45





EVENTOS INDEPENDIENTES

Dos eventos A y B se denominan independientes si la probabilidad de quealguno ocurra no depende de la ocurrencia del otro.

(/) ()(/) ()

La principal característica de los eventos independientes es que elestado original de la situación no cambia cuando ocurre un evento



Si los eventos son independientes, es posible establecer la siguiente propiedad,

∩ ()

A esta propiedad se le denomina también regla de la multiplicación

EJEMPLO: Se lanza un dado dos veces. ¿Cuál es la probabilidad de que en el primer lanzamiento resulte 3 y en el segundo lanzamiento un número impar?



EJEMPLO

En la prueba de la tarjeta de un circuito impreso en la que se utiliza un patrón de prueba aleatorio, un arreglo de 10 bits tiene la misma probabilidad de ser uno o cero. Suponiendo que los bits sonindependientes ¿Cual es la probabilidad de que todos los bits sean 1?

∩ ∩ ⋯ ∩ 0

12

0



EJEMPLODos bombas conectadas en paralelo fallan independientemente unade la otra en un día dado. La probabilidad de que solo la bomba másvieja falle es 0.10 y la probabilidad de que solo la bomba más nueva

falle es 0.05 ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema de bombeofalle en cualquier día dado (lo que pasa si ambas bombas fallan )?



EL TEOREMA DE LA PROBABILIDAD

TOTAL Y EL TEOREMA DE BAYES

Consideraremos un espacio muestral para el cual existe una partición eneventos A

i , tal que A

i=, tal que A

i A

j= para i j. El evento B pertenece

al espacio muestral .



EL TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL

Si A1, A2,…, Ak es una partición de para cualquier evento B en se tiene que

(/

= )

El teorema se puede probar como sigue

( ⋂)⋃(⋂)⋃⋯⋃(⋂)

⋂ + ⋂ + ⋯ + ⋂ ⋂

=

(/

=)



EL TEOREMA DE BAYES

Si A1, A2,…, Ak es una partición de entonces para cualquier evento B de / (/)

(/ = )



EJEMPLO

Una fabrica tiene tres maquinas independientes que producen ciertotipo de pieza. La maquina 1 produce el 10% de las piezas con un2% de piezas defectuosas. La maquina 2 produce el 40% de las

piezas con un 3% defectuosas y la maquina 3 produce el 50% conun 4% de defectuosas. Si se selecciona al azar una de estas piezas :

a) ¿Cual es la probabilidad de que sea defectuosa?

b) Si la pieza esta defectuosa ¿Cual es la probabilidad de que

provenga de la maquina 3?



EJEMPLO

Una empresa presta servicios de transporte con 4 líneas a undeterminado distrito de modo que: el 20% de los ómnibus cubren elservicio de la línea 1, el 40% cubren el servicio de la línea 2, el 30

% cubren el servicio de la línea 3, el 10% cubren el servicio de lalínea 4. Se sabe que la probabilidad de que diariamente se averíe esde 3% en la línea 1; 2% en la línea 2; 4% en la línea 3; 1% en lalínea.

a) Determine la probabilidad de que, en un día, un ómnibus sufra

una avería b) Si un ómnibus sufre una avería, cual es la probabilidad de que

sea de la línea 3

Documents

CLASE2!2!2015 02 Probabilidad Condicional Bayes