Clases de matrices semana 01 c

E.P INGENIERIA CIVIL MATEMÁTICA BÁSICA II 2013

PROF. MIRELI RAMIREZ C.

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SEMANA 01: MATRICES

1.1 DEFINICIÓN

1.2 ORDEN

1.3 IGUALDAD DE MATRICES

1.4 ALGEBRA DE MATRICES

A. SUMA Y DIFERENCIA DE MATRICES

B. PRODUCTO ESCALAR POR UNA MATRIZ

C. POTENCIA DE MATRICES

D. INVERSA DE UNA MATRIZ.

1.5 TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ

1.6 TIPOS DE MATRICES

http://images.google.com/imgres?q=LOGOS+DE+UAP&hl=es&gl=pe&biw=1360&bih=574&tbm=isch&tbnid=rfVBi-MaJ8YpoM:&imgrefurl=http://skynurse-saluddelnino.blogspot.com/p/presentacion.html&docid=KCMuXQhFi6qEkM&imgurl=http://4.bp.blogspot.com/-wy_7vnukZU8/Tc8qqhHBf2I/AAAAAAAAACU/bje0I4vGeHY/s1600/logo-uap-completo-fin.jpg&w=700&h=221&ei=en6MT54vxIWDB5i4ufsJ&zoom=1&iact=hc&vpx=195&vpy=171&dur=1109&hovh=126&hovw=400&tx=175&ty=88&sig=113591609005296734676&page=1&tbnh=48&tbnw=152&start=0&ndsp=21&ved=1t:429,r:1,s:0,i:68



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1. MATRIZ

1.1 DEFINICIÓN:

Una matriz es un ordenamiento rectangular de elementos, los cuales pueden

ser números (reales o complejos), funciones, etc., dispuestos en “m” filas

(líneas horizontales) y en “n” columnas (líneas verticales).Su representación

abreviada y explicita es:

ij m xnA a

# columnas

# filas

Donde

aij , se lee: a sub i j, son los elementos o entradas de la matriz A con

1, 1,i m j n .

Cada elemento del arreglo matricial asocia los subíndices i (representa la fila)

y j (representa la columna), los cuales indica la posición del elemento. Por

ejemplo a23 es el elemento de la 2da fila y 3era columna. Es decir el lugar de

cada elemento queda determinado por i, j.

1.2 Orden o Dimensión de una Matriz

Se denota por la multiplicación mxn, indicando el número de filas y columnas

respectivamente. Por ejemplo:

Sea la matriz ij m x n

A a , matriz A de orden mxn. Es decir, la matriz tiene m

filas y “n” columnas.

Al conjunto de todas las matrices de orden m x n de elementos reales, se denota como ( )m nM

1 1 1 1 1

2 2 2 2

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2

i i

j

j

j

j

n

n

i i i

m m m m

n

nm

a a a a a

a a a a a

Aa a a a a

a a a a a

Filas

Columnas

Indica que A es la matriz de orden

m×n , de elementos aij

El orden de una matriz no es conmutativo.




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1.3 IGUALDAD DE MATRICES

Se dice que dos matrices son iguales si y solo si tienen el mismo orden y sus

elementos que tienen la misma posición son iguales. Es decir, sean las

matrices nmijaA ×= ][ y [ ]ij p qB b se dice que:

ij

i) Tienen el mismo orden, es decir: m p y n q, y

ii) a , ,m n p q

ij

A Bb i j

1.4 ALGEBRA DE MATRICES

A. Suma y diferencia de Matrices

Sean nmijaA ×= ][ y [ ]ij m nB b . Se denota y define la Suma( o diferencia)

de A y B como:

ij ij ij ij ijm n m n m n m nC c A B a b a b

Esto es, la suma(o diferencia) de matrices del mismo orden es otra matriz del mismo orden que se obtiene al sumar(o restar) elementos correspondientes de las matrices.

Ejemplos:

Sean 2 3,A B M

11 12 13 11 12 13 11 11 12 12 13 13

21 22 23 21 22 23 21 21 22 22 23 23

a a a b b b a b a b a b

a a a b b b a b a b a b

2 2 2 2 2 2 2 2

1 9 7 6 1 7 9 6 6 3

5 3 0 10 5 0 3 10 5 13

Sean 2 3 5 3 no esta definida, es decir A M y B M A B

a. Propiedades:

PROPIEDADES DE LA SUMA: Sea , , m nA B C M

Asociativa ( ) ( )A B C A B C

Conmutativa A B B A

Elemento Neutro 0 / 0 0m n A A A

Donde 0 : Matriz nula. Elementos todos nulosm n

Elemento Opuesto / 0m n m nA A A A A

: Matriz opuesta de A. Elementos opuesto de Am nA




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B. Multiplicación de un Escalar por una Matriz

Sea (o ) m ny A M . Se denota y define la multiplicación del

escalar por A como:

ij ijm n m nA a a

Esto es, la multiplicación del escalar por A es otra matriz del mismo

orden que se obtiene al multiplicar por cada uno de los elementos

de A.

Ejemplos:

Sean 2 2y A M

11 12 11 12

21 22 21 22

a a a a

a a a a

2 2 2 2 2 2

1 9 5*( 1) 5*9 5 455

0 3 5*0 5*3 0 15

b. Propiedades:

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ

Sea , (o ) , m ny A B M

Asociativa A A

Conmutativa A A Distributiva del Producto Respecto a la Suma de Matrices ( )A B A B

Distributiva del Producto Respecto a la Suma de Escalares ( )A A A

C. Multiplicación de matrices

Sean ij m n jk n pA a M y B b M . Se denota y define la

multiplicación de A por B como:

1

/n

ij jk ik ik ij jkm x pm x n n x pj

C AB a b c c a b

iguales

Esto es, la multiplicación de porij jkm n n pA a B b

es otra matriz

ik m x pC c , cuyos ikc se obtienen al multiplicar la fila “i” de A por la

columna “k” de B.




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Los productos de AB y BA existen, sin embargo son

diferentes. ¡EL PRODUCTO DE MATRICES NO ES

CONMUTATIVO!

Ejemplos:

1 3AB 01 3

2

9

5

1 1

3 1

1( 2) 3(9) 0(5) 25 25: Escalar

2 3

3 2

1 15 2 3

4 0 ,7 6 8

9 0

Sea A B

. Calcule C = AB y D = BA.

2 3

3 2

3 3

3 3

1 15 2 3

4 07 6 8

9 0

5 2 31 1 1 1 1 1

7 6 8

5 2 34 0 4 0 4 0

7 6 8

5 2 39 0 9 0 9 0

7 6 8

12 4 5

20 8 12

45 18 27

AB

Orden de C: 3 x 3

=

C=

2 3

3 2

2 2

1 15 2 3

4 07 6 8

9 0

1 1

5 2 3 4 5 2 3 0

9 0

1 1

7 6 8 4 7 6 8 0

9 0

40 5

89 7

D BA

ij jk ik m pm n n pA a y B b C AB c

El producto de matrices es “COMPATIBLE” (se puede calcular), si el nº de columnas de A es igual al nº de filas de B.

El orden de la matriz producto (C), lo determina el nº de filas de A por el nº de columnas de B.

ma mafila de A columna de B

ikc i K

Multiplicar la fila “i” de A por la columna “k” de B: se multiplica

término a término los elementos de la fila i de la matriz A por los de la

columna k de la B, luego se suman.




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3 4 3 2

3 2 1 1 0

4 2 9 , 3 2

7 5 6 1 5

Sea A B

. Calcule C = AB y D = BA.

3 3 3 2

3 2

3 2

3 2 1 1 0

4 2 9 3 2

7 5 6 1 5

3( 1) 2.3 1.1 3.0 2.2 1.5

4( 1) 2.3 9.1 4.0 2.2 9.5

7( 1) 5.3 6.1 7.0 5.2 6.5

4 9

11 49

14 40

AB

3 2 3 3

1 0 3 2 1

3 2 4 2 9

1 5 7 5 6

BA

BA

En este caso: , pero AB BA

1 1 2 1/3

3 4 1 31 1 2 1/3 3 10 / 3,

3 4 1 3 10 132 1/3 1 1

1 3 3 4

AB

Sea A B

BA

AB BA

NOTAS

Sea AB y BA:

c. Propiedades:

PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE MATRICES Sea , , compatiblesA B C

Asociativa A BC AB C

Distributiva del Producto Respecto a la Suma (SIEMPRE QUE EXISTAN LAS OPERACIONES)

( )A B C AB AC

( )A B C AC BC

Elemento Neutro (Matriz Unidad) por la Derecha e Izquierda

',AI A I A A

n x n

Nota:, M

AI IA A

A I




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, , compatiblesA B C

a. ' "0 0 , 0 0A A

' "

0 0Nota:

0 0

no siempre son del mismo orden

y

y

b. n x n0 0 0 ,0 MA A A

c. 0, no implica que 0 0si AB A ó B . Ejemplo

1. 1 1 3 2 0 0

1 1 3 2 0 0AB

, pero 0 0A y B

2. 9 0 0 0 0 0

7 0 3 5 0 0AB

, pero 0 0A y B

d. No cumple con la propiedad cancelativa: AB AC B C

Ejemplo

3. 1 0 1 0 1 0 1 0

, pero 2 0 8 1 2 0 5 3

AB AC

B C

4. 1 1 3 2 1 1 2 1

, pero 1 1 3 2 1 1 2 1

AB AC

B C

e. No cumple fórmula del Binomio, pues el producto no es

conmutativo: 2 2 2 2 22A B A AB BA B A AB B

D. Potencia de Matrices

La potencia de matrices está definida solo para matrices cuadradas (aquellas que tienen el mismo nº de filas y columnas).

Sea ( )n xnk y A M . La Potencia k-ésima de A, se denota y define

como:

, 0

, 1

. . ... , 2( )

k

n xn

k VECES

I si k

P A A si k

A A A A k natural

Esto es, La Potencia k-ésima de A es otra matriz del mismo orden de A, que se obtiene multiplicando k veces A.




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Ejemplos:

Sean 1 1

, .1 1

nA Halle A

2

3 2

1 1

1 1

1 1 1 1 2 2

1 1 1 1 2 2

2 2 1 1 4 4

2 2 1 1 4 4

2 2

2 2

n n

n

n n

A AA

A A A

A

5 11 101,Si A I halle A y A (ejercicio)

d. Propiedades: Sea p

E. Inversa de una Matriz La inversa de una matriz sólo se define para matrices cuadradas.

Sea n nA M . Se Dice que A es invertible si tiene inversa, la cual se

denota por ´ 1

n nA M

, tal que:

1 1

nxnAA A A I

Esto es, la inversa de A es otra matriz ´ 1A del mismo orden, tal que ´ 1A y A conmutan y da la identidad.

No todas las matrices cuadradas tienen inversa, así las matrices que

tiene inversa se llama matrices regulares y la que no tiene inversa se

denomina matrices singulares.

1 1

0

, : Matriz Inversa de Ap

p

p q p q

qp pq

p

A A A

A I

A A A

A A

I I




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Ejemplos:

Sea 1 1a b d bA A

c d c aad bc

11 4

/2 3

Halle A A

(ejercicio)

d. Propiedades:

1Aes única

1

1A A

1 1 1AB B A

1 11

, 0A A

Si A es regular, las siguiente leyes cancelativas son válidas: • Si AB = AC entonces B = C • Si BA = CA entonces B = C

1.5 TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ

Sea mxnA M . Se denota y define la traspuesta de A, como:

m nA M

/T T

ij ji ijn m m nm nA a a A a

Esto es, la transpuesta de Amxn (TA ) es otra matriz de orden nxm, que

se obtiene intercambiando filas por columnas o viceversa de forma

ordenada. Por ejemplo: la 1º fila de A es la 1º columna de TA así sucesivamente hasta llegar a la última fila de A que será la última

columna de TA .

Ejemplos:

Sea T

a da b c

A A b ed e f

c f




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1 8 9

/ 0 4 8

7 5 3

THalle A A

(ejercicio)

Determine el orden de la transpuesta de las siguientes matrices:

5 3 5 3

TSoluciónA M A M 7 2 2 7

TSoluciónB M B M

Sea

1 5 6 7 2 1 0 0

4 0 2 5 5 9 6 4

3 8 2 1 7 2 5 8

A y B

. Hallar ,TT TA B A B .

Solución:

1 4 3 2 5 7 3 1 10

5 0 8 1 9 2 6 9 10

6 2 2 0 6 5 6 8 7

7 5 1 0 4 8 7 9 9

T T T TA y B A B

Por otro lado:

3 1 103 6 6 7

6 9 101 9 8 9

6 8 710 10 7 9

7 9 9

TA B A B

Propiedades:

a. T

TA A

b. 1

1T

TA A

c. ,T TT T T TAB B A A B A B

d. ,T TA A




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1.6 TIPOS DE MATRICES:

TIPO DE MATRIZ: Sea A= [aij]m x n

DEFINICIÓN EJEMPLO

Según e

l ord

en

RECTANGULAR

Aquella cuyo número de filas es diferente al nº de columnas, siendo su orden m n , m n

3 4

3

8

11

A

1 7 5

2 0 1

3 6 9

PUEDE SER

FILA Aquella de orden “1xn” ( 1≠n ) 31]51[ xA =

COLUMNA Aquella cuyo orden es de “mx1”,

)1≠(m 3 1

5

2

3x

A

CUADRADA

Cuando el nº de filas y columnas

son iguales ( nm= ). Se denota nA

y se lee matriz A de orden “n”.

3

3

A

1 7 5

2 0 1

3 6 9

nijaA ][= :

Diagonal Principal (DP) Diagonal Secundaria (DS) Traza de A: tr (A)

Son los ji=∀a ij .

(Unir extremo superior izquierda con extremo inferior derecha).

Son los 1∀a ij +=+ nji ,

es decir son: a1n, a2(n-1), a3(n-

2),…, an1. (Unir extremo superior derecha con extremo inferior izquierda).

Es la suma de los elementos de la DP.

Ejemplo: DP: 1, 2, 5

DS: - 6, 2, - 2

Tr(A)=1+ 2+5= 8

Matrices Cuadradas An Especiales

TRIANGULAR

Aquella cuyos elementos que están por encima o debajo de la diagonal principal son nulos. Puede ser:

jiaij >= ∀,0⇔orM.T.Superi

(Debajo de la DP todos nulos).

jiaij <= ∀,0⇔orM.T.Inferi

(Encima de la DP todos nulos).

-3

0

0

4

8

5

2

0

0

Triangular Superior

A3 =

-3

1

7

0

0

5

0

0

9

Triangular inferior

A3 =

DIAGONAL

Aquella donde todos los elementos fuera de la diagonal principal son ceros (por encima y por debajo de la DP). Es decir que es Triangular Superior e Inferior a la vez.

ji≠=⇔ ∀0a Diagonal esA ij

43 9000

0100

002-0

0000

A4 =




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TIPO DE MATRIZ:

Sea A= [aij]m x n DEFINICIÓN EJEMPLO

ESCALAR

Es una matriz diagonal cuyos elementos de la DP son todos iguales.

ij

ij

a 0, ; yA es Escalar

a ( ) ,

i j

k cte i j

4

3000

0300

0030

0003

A4 =

IDENTIDAD

Matriz escalar, cuyos elementos de la DP son la unidad. Se denota por I.

ji

ji

==

=

∀,1a

y ≠∀,0a⇔ Identidad M. esA

ij

ij

SIMÉTRICA

Aquella matriz, cuyos elementos simétricos respecto a la DP son iguales.

ji ,∀,aa⇔ Simétrica esA jiij= o

TA=A⇔ Simétrica esA

ANTISIMÉTRICA (Hemisimétrica)

Aquella matriz, cuyos elementos simétricos respecto a la DP son opuestos y los elementos de la DP son nulos.

ji ,∀a - a⇔ icaAntisimétr esA jiij= o

TA - A⇔ icaAntisimétr esA =

0

1

7

-1

0

0

-7

9

-9

A3 =

INVERSA

La inversa de A (denotada por A-1) existe, si es conmutable con A cuyo resultado es la matriz identidad.

IAsiA ==∃ *AA *A, 1 -1 -1 -

La matriz que tiene inversa se llama REGULAR, INVERTIBLE O NO SINGULAR, de lo contrario se dice que es SINGULAR

57

4-3A2 =

3/437/43-

43/443/5=1 -A

ORTOGONAL

Aquella Matriz cuya Transpuesta es igual a su inversa. Por tanto una matriz ortogonal multiplicada por su traspuesta es la identidad.

IAAAA =⇔= T1 -T *⇔ ortogonal esA

A=xsenx

xxsen

cos

cos -

NORMAL

Una matriz es normal si conmuta con su transpuesta.

. .T TA A A A

Si A es simétrica, antisimétrica u ortogonal, es necesariamente normal.




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Si una matriz cuadrada A es periódica, idempotente, nilpotente o involutiva resulta muy sencillo calcular las potencias naturales de la matriz A.

TIPO DE MATRIZ: Sea A= [aij]m x n

DEFINICIÓN EJEMPLO

PERIÓDICA

La matriz A es Periódica de periodo “p” ( menor entero positivo), si

1/ pp A A

Si A es Periódica de periodo “p”, se

cumple: ,p k kA A k

Para cualquier otro valor entero positivo de

“p” que cumple AAp =+1 , se dice solamente que A es periódica.

=3A

1

-3

2

-2

2

-3

-6

9

0

=A

A es de periodo p=2

IDEMPOTENTE

Es una matriz igual a su cuadrado.

2A es Idempotente A A

Por tanto:

kA es Idempotente A ,A k

A=10

1 -02A=

A es Idempotente

NILPOTENTE

La matriz A es Nilpotente de índice “p” ( menor entero positivo), si

npAp 0/∈∃ =

Si A es Nilpotente de índice “p”, se

cumple: pkA nk ≥= ∀,0

Para cualquier otro valor entero positivo de

“p” que cumple npA 0= , se dice

solamente que A es Nilpotente.

0

0

0

-4

0

0

0

0

3

A = , =2A

0

0

0

0

0

0

0

0

0

=A

A es Nilpotente de índice “2”

INVOLUTIVA (Unipotente)

Su cuadrado coincide con la identidad.

I=2A⇔Involutiva esA

Por tanto:

AA =⇔= 1 -IA*A⇔Involutiva esA

Nota:

∈∀,A

∈∀,A⇒Involutiva esA

12k

2k

kA

kI n

=

=

+

1 1 2

0 1 0

0 0 1

A

A es involutiva, pues A2 = A*A= I

302

923

621

A




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Según s

us E

lem

ento

s

Estas pueden ser Rectangulares o Cuadradas

TIPO DE MATRIZ:

Sea A= [aij]m x n DEFINICIÓN EJEMPLO

REAL Si sus elementos son números reales:

R∈a ij

A= 1 2 3

4 5 6

COMPLEJA

Si sus elementos son complejos: C∈a ij

Pueden ser rectangulares o cuadradas

1 2

1 3

2 0

i i

A i i i

i

Sólo para Cuadradas, excepto la conjugada:

Conjugada: A

La Matriz Conjugada de una matriz A

de cualquier orden, A , sus elementos son los conjugados de los de A.

( ) .a los de conjugado el es / ijijij aaA=

1 2

3 2 3

i iA

i

1 2

3 2 3

i iA

i

Hermitiana

A es Hermitiana, si T

AA=

Es decir: j , i∀,jiij aa = .

Sus elementos que están dispuestos simétricamente con respecto a la DP son conjugados y los elementos de la DP son reales.

Nota: T

TA A

2 2 3 4 5

2 3 5 6 2

4 5 6 2 7

i i

A i i

i i

2 2 3 4 5

2 3 5 6 2

4 5 6 2 7

T

i i

A i i

i i

2 2 3 4 5

2 3 5 6 2

4 5 6 2 7

T

i i

A i i

i i

Como TA A , A es una

matriz hermitiana

Antihermitiana

A es Antihermitiana, si

TAA - = .Es decir: j , i∀, - jiij aa =

O

A es Antihermitiana, si

TAA - = Es decir: j , i∀, - jiij aa =

02

31

21

i

iii

ii

A

02

31

21

i

iii

ii

AT

02

31

21

i

iii

ii

A

AAT , por lo tanto A es una matriz antihermitiana.

Las matrices simétricas son un caso especial de las hermitianas y las matrices antisimétricas son un caso especial de las antihermitianas. Por lo tanto, toda matriz simétrica es hermitiana, pero una matriz hermitiana no necesariamente es simétrica. De la misma forma, toda matriz antisimétrica es antihermitiana, pero una matriz antihermitiana no necesariamente es antisimétrica.

NULA Todos sus elementos son nulos 2 3

0 0 0

0 0 0A

OPUESTA

Se obtiene cambiando de signo todos los elementos de la matriz A= (aij). Se escribe –A y está dada por - A=(-aij)

ESCALONADA

Una matriz escalonada por filas es una matriz tal que en cada fila el número de ceros que precede al primer elemento no nulo es mayor que en la fila anterior.

Una matriz Reducida, es una matriz escalonada con elementos pivotes a la unidad.

La matriz triangular es una matriz escalonada.


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