MECÁNICA DE FLUIDOS

Normalmente la materia se clasifica en sólidos y fluidos, dividiéndose los fluidos en líquidos y gases. Los sólidos difieren de los líquidos y los gases, por la separación y facilidad de movimiento de sus moléculas, siendo grandes estas variables en los gases, más pequeñas en los líquidos, y mucho más pequeñas en los sólidos. Sólido: Las partículas en el estado sólido se caracterizan por hallarse sometidas a fuerzas atractivas de tal intensidad que dan lugar a cuerpos prácticamente incompresibles; sin embargo su situación no es de absoluta rigidez ya que tanto moléculas como iones vibran en un área determinada, pudiéndose afirmar que están dotadas de cierta energía cinética. Líquido: Se considera que los cuerpos líquidos se encuentran en una situación intermedia entre los estados del gas ideal y sólido cristalino, son los estados límites de agregación de la materia. Los líquidos se caracterizan por presentar una mayor condensación y, en consecuencia, una mayor fuerza de atracción intermolecular que los gases. Existen en ellos cierta tendencia a la ordenación molecular, aunque en las partículas existe cierta libertad de movimientos que la diferencia de los cuerpos sólidos. · Gaseoso: El estado gaseoso es el que ha sido definido con mayor precisión en términos físicos y químicos. Ello es debido a que el estudio de los gases reales se realiza a partir de los llamados gases ideales o perfectos, que permiten el establecimiento de leyes y fórmulas cuyo cálculo permite determinar caracteres y constantes que afectan a los cuerpos gaseosos. Los gases, que junto a los líquidos constituyen el grupo de los llamados fluidos, presentan la forma y volumen del recipiente que los contiene y tienden a expandirse debido a la fuerza repulsiva (fuerza elástica, tensión) que se genera entre sus átomos y moléculas.

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CONCEPTOS DE FLUIDO

Es aquella sustancia que debido a su poca cohesión intermolecular carece de forma propia y adopta la forma del recipiente que lo contiene, y al ser sometido a un esfuerzo cortante se deforma continuamente sin importar la magnitud de este.

Es un conjunto de moléculas que están dispuestas al azar y se mantienen juntas por medio de débiles fuerzas de cohesión, así como por fuerzas ejercidas por las paredes de un recipiente.

DENSIDAD ABSOLUTA, DENSIDAD RELATIVA Y PESO ESPECÍFICO

Densidad absoluta = masa por unidad de volumen

Vm

=ρ

Sus unidades en el SI son: kg/m3

Algunas equivalencias son: 1 g/cm3 = 1000 kg/m3 = 62.43 lb/pie3 En la siguiente tabla se presentan densidades absolutas de diferentes sustancias.

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SUSTANCIA DENSIDAD

ABSOLUTA (Kg/m3) SUSTANCIA DENSIDAD

ABSOLUTA (Kg/m3) Aceite 920 Madera 900 Acero 7850 Mercurio 13600 Agua 1000 (4 oC) Oro 19300 Agua de mar 1027 Wolframio 19250 Aire 1,3 Uranio 19050 Aerogel 3 Tántalo 16650 Alcohol 780 Torio 11724 Magnesio 1740 Estaño 7310 Aluminio 2700 Piedra pómez 700 Carbono 2260 Plata 10490 Caucho 950 Osmio 22610 Cobre 8960 Iridio 22650 Cuerpo humano 950 Platino 21450 Diamante 3515 Plomo 11340 Gasolina 680 Poliuretano 40 Helio 0,18 Sangre 1480 - 1600 Hielo 920 Tierra (planeta) 5515 Hierro 7874 Vidrio 2500 Hormigón armado 2500

Densidad relativa (δ) de una sustancia es la relación o cociente entre la densidad absoluta de la misma y la correspondiente a otra sustancia que se toma como patrón.

patrónρρδ =

Densidades patrón: Para sólidos y líquidos: Densidad del agua (1000 kg/m3 a 4 oC) Para gases: Densidad del aire (1.29 kg/m3 a 0 oC) Peso específico (γ) = peso por unidad de volumen

Vmg

=γ o gργ =

Sus unidades en el SI son: N/m3

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Ejemplo 1 Un bloque de madera de 10 cm x 30 cm x 5.5 cm de espesor tiene una masa de 1240 g ¿Cuál es la densidad de esta madera? Ejemplo 2 Un litro de aceite de maíz tiene una masa de 0.925 kg. Determine la densidad relativa y el peso específico del aceite. PRESION Los fluidos no soportan los esfuerzos de corte o tensión, por lo que el único esfuerzo que puede existir sobre un objeto sumergido en un fluido es uno que tiende a comprimir el objeto. En otras palabras, la fuerza ejercida por el fluido sobre el objeto siempre es perpendicular a las superficies de éste, como se muestra en la figura 1.1.

Figura 1.1

Si F es la magnitud de la fuerza ejercida sobre una de las caras del cubo de la figura 1.1 y A es el área de la superficie de una de las caras del cubo, entonces la presión P se define como la magnitud de la fuerza normal por unidad de superficie.

AFP =

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Las unidades SI para la presión son: Pascal

1 Pa ≡ 1 N/m2

Algunas equivalencias son:

1 bar = 105 Pa 1 atm = 101 325 Pa = 760 mm de Hg

¿Qué clase de magnitud es la presión: escalar o vectorial? Razone su respuesta. Ejemplo 3 Una mujer de 50 kg se balancea sobre uno de los altos tacones de sus zapatos. Si el tacón es circular con un radio de 0.500 cm, ¿qué presión ejerce sobre el piso? R/ 6.24 MPa PRESION HIDROSTATICA Cuando un recipiente contiene un líquido en equilibrio, todos los puntos en el interior del líquido están sometidos a una presión cuyo valor depende exclusivamente de su profundidad o distancia vertical a la superficie libre del líquido.

hB hA B

A Líquido de densidad ρ

Figura 1.2

hP cahidrostati ∝

ghPhid ρ= o hPhid γ=

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La presión hidrostática sólo depende de la profundidad y es independiente de la orientación de la superficie. (Figura 1.3)

Figura 1.3. Vasos comunicantes

Para calcular la presión total o absoluta en cualquier punto del interior del líquido, es necesario añadir a la presión hidrostática cualquier presión que se ejerza sobre la superficie del líquido, es decir, la presión atmosférica. La presión atmosférica es la fuerza del aire sobre la superficie terrestre.

ghPP atmabs ρ+=

Evangelista Torricelli inventó el instrumento para medir la presión atmosférica, el barómetro. Un tubo largo cerrado por uno de sus extremos se llena de mercurio y después se le da la vuelta sobre un recipiente del mismo metal líquido, tal como se muestra en la figura 1.4. El extremo cerrado del tubo se encuentra casi al vacío, por lo que la presión es cero.

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Figura 1.4

De acuerdo con la ecuación fundamental de la hidrostática, la presión atmosférica es

ghPatm ρ=

• ρ es la densidad del mercurio ρ=13600 kg/m3 • g es la aceleración de la gravedad g=9.8 m/s2 • h es la altura de la columna de mercurio h=0.76 m al nivel del

mar

Patm = 101 292.8 Pa

Este valor es equivalente a 1 atm y a 760 mm de Hg Ejemplo 4 Un recipiente contiene dos líquidos no miscibles de densidades δ1 y δ2, (ver figura). Determine la presión hidrostática y absoluta: (a) a la profundidad h1 y (b) a la profundidad h1 + h2.

h1 = 45 cm δ1 = 0.901 h2 = 63 cm δ2 = 1.013

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MANOMETROS El manómetro es un instrumento utilizado para la medición de la presión en los fluidos, generalmente determinando la diferencia de la presión entre el fluido y la presión local.

Figura 1.5. Manómetros

Manómetro de columna de líquido Doble columna líquida utilizada para medir la diferencia entre las presiones de dos fluidos. El manómetro de columna de líquido es el patrón base para la medición de pequeñas diferencias de presión.

Líquido de densidad ρ1 A h2 h1 Líquido manométrico de densidad ρ2

1122 ghghPP atmA ρρ −+=

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Un manómetro diferencial determina la diferencia de presiones entre dos puntos A y B, cuando la presión real en cualquier otro punto del sistema no puede ser determinada.

h ρ1 ρ3 Y

A B ρ2

)()( 3231 ρρρρ −+−=− ghgYPP BA

Ejemplo 5 Determine la diferencia de presiones entre los puntos A y B en los manómetros diferenciales que se muestran en la figura.

ρ2 ρ3 B h2 ρ1 A h3 h1 h3 h1 A h2 ρ1 ρ2 B ρ3

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PRINCIPIO DE PASCAL Basados en el hecho de que la presión en un líquido depende de la profundidad y del valor de la Patm, cualquier incremento de presión en la superficie debe transmitirse a cada punto del fluido. Esto lo reconoció por primera vez el científico francés Blaise Pascal (1623 – 1662) y se conoce como el principio de Pascal: “Una presión externa aplicada a un fluido en un recipiente cerrado se transmite sin disminución a todas las partes del fluido y a las paredes del recipiente”. Este principio tiene muchas aplicaciones prácticas. Por ejemplo, en una prensa o en un elevador hidráulico.

F1 A1 A2 F2

Figura 1.6

Se cumple que:

2

2

1

1

AF

AF

=

En las figuras siguientes se presentan algunos experimentos demostrativos del principio de Pascal.

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Ejemplo 6 En una prensa hidráulica como la que se muestra en la figura 1.6, el pistón más grande en la sección transversal tiene un área A2 = 2000 cm2, y el área de la sección transversal del pistón pequeño es A1 = 25.0 cm2. Si una fuerza de 300 N es aplicada sobre el pistón pequeño, ¿cuál es la fuerza F2 en el pistón grande? ¿Cuál es el valor de la masa que se levanta en el pistón grande? PRINCIPIO DE ARQUIMEDES El principio de Arquímedes es un principio físico que afirma que un cuerpo total o parcialmente sumergido en un fluido estático, será empujado con una fuerza igual al peso del volumen de fluido desplazado por dicho objeto.

mg E

De este modo cuando un cuerpo está sumergido en el fluido se genera un empuje hidrostático resultante de las presiones sobre la superficie del cuerpo que actúa siempre hacia arriba a través del centro de gravedad del cuerpo del fluido desplazado y de valor igual al peso del fluido desplazado, es decir:

Fuerza de empuje = peso del líquido desplazado Esta fuerza se mide en Newton (en el SI) y su ecuación se describe como:

SL gVE ρ= o SLVE γ=

Donde: Lρ : Densidad del líquido VS : Volumen sumergido del cuerpo

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PESO APARENTE El peso aparente de un cuerpo es el que se obtiene cuando un cuerpo se encuentra totalmente sumergido en un líquido y es la fuerza resultante hacia abajo sobre el cuerpo, así:

EWW ra −=

Se pueden presentar tres condiciones diferentes: (a) (b) (c) Cuerpo completamente Cuerpo en equilibrio en Cuerpo flotando, parte sumergido, en el fondo el interior del líquido del cuerpo sumergido y parte fuera del líquido

En el caso de (a) se cumple que: , por lo tanto EWr > LC ρρ > .

En el caso de (b) se cumple que: EWr = , por lo tanto LC ρρ = .

En el caso de (c) se cumple que: EWr < , por lo tanto LC ρρ < . Para el caso (c) se cumple que el empuje es igual al peso del objeto. Esto significa que el peso del objeto debe ser igual al peso del fluido desalojado. Por consiguiente, podemos escribir:

gmgm LC = LLCC VV ρρ =

Por ejemplo, si un objeto con un volumen de 3 m3 flota con dos tercios de su volumen sumergido, entonces VC = 3 m3 y VL = 2 m3. Ejemplo 7 Un pedazo de metal pesa 280 gf en el aire y 240 gf cuando se le sumerge en el agua. ¿Cuál es el volumen y la densidad del metal?

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CONCEPTOS GENERALES DE FLUJO DE FLUIDOS El estudio de los fluidos en movimiento, o “dinámica de los fluidos”, es uno de los temas más complejos de la mecánica. Por ejemplo, imaginemos las dificultades que se encuentran al intentar describir el movimiento de una partícula en un río turbulento. Por fortuna, pueden comprenderse muchas de las características del movimiento de los fluidos, con base en las cuatro suposiciones simplificadoras siguientes:

1. El fluido no es viscoso. Esto equivale a suponer que el módulo del esfuerzo cortante es cero. De donde, no existen fuerzas internas de fricción entre capas adyacentes del fluido.

2. El fluido es incompresible. Esto significa que la densidad del fluido es constante.

3. El movimiento del fluido es estacionario. Flujo de estado estacionario significa que la velocidad, densidad y presión en cada punto del fluido no cambian con el tiempo.

4. El flujo es irrotacional. Esto implica que cada elemento del fluido tiene velocidad angular cero en torno a su centro, de modo que no existe turbulencia. No pueden hacerse remolinos en el fluido en movimiento.

LINEAS DE CORRIENTE

(A) (B) Figura 1.7 En la figura 1.7 (A) se presenta un fluido ideal que se mueve a través de una tubería de tamaño no uniforme. Las partículas del fluido se mueven a lo largo de las llamadas líneas de corriente, en el flujo de

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estado estacionario. Una línea de corriente es aquella en la cual en cada punto la velocidad del fluido es tangente a la línea. Toda partícula que parte del mismo punto sigue la misma línea de corriente. ECUACION DE CONTINUIDAD

(A) (B)

Figura 1.8 En un intervalo pequeño de tiempo ∆t, el fluido que está en el extremo superior del tubo (figura 1.8 A) se desplaza una distancia ∆X1 = V1∆t. Si A1 es el área de la sección transversal de esta región, entonces la masa contenida en la región sombreada es ∆m1 = ρ1A1∆X1 = ρ1A1V1∆t De manera análoga, el fluido que se mueve a través del extremo superior del tubo en el tiempo ∆t tiene una masa ∆m1 = ρ2A2V2∆t. La masa se conserva ya que el flujo es estacionario (Principio de conservación de la masa). Por lo tanto, La masa que cruza A1 en un tiempo ∆t = La masa que cruza A2 en un tiempo ∆t

∆m1 = ∆m2

222111 VAVA ρρ =

Esta ecuación se conoce como “Ecuación de continuidad”.

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Pero ρ1 = ρ2 = ρ = constante, ya que es un fluido incompresible. Por lo tanto

2211 VAVA =

El producto , que tiene las dimensiones de volumen por unidad de tiempo (L

AV3 T – 1), se llama CAUDAL, FLUJO VOLUMETRICO O GASTO.

AVQ =

Ejemplo 8 Una manguera de agua de 2.00 cm de diámetro se usa para llenar una cubeta de 20.0 L. Si le toma 1.00 min llenar la cubeta, ¿cuál es la rapidez V a la cual se mueve el agua a través de la manguera? Si la manguera tiene una boquilla de 1.00 cm de diámetro encuentre la rapidez del agua en la boquilla. PRINCIPIO DE BERNOULLI

Figura 1.9

Consideremos la unidad de volumen de un líquido en movimiento. Si su densidad es ρ y su velocidad es V, su energía cinética por unidad de volumen será:

2

21 mVEC = ⇒

olol

C

VmV

VE 2

21

=

2

21 V

VE

ol

C ρ=

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Análogamente, si está a la altura h su energía potencial gravitatoria por unidad de volumen es:

mghU g = ⇒ olol

g

Vmgh

VU

=

ghVU

ol

g ρ=

La presión también puede considerarse como una energía potencial, así:

VolumenEnergía

mJoule

mmmN

mNewton

AreaFuerzapresión ===== 322 .

.

De otra forma. Consideremos un volumen de fluido de sección A. (ver figura 1.10)

F ∆X A

Figura 1.10

La fuerza que actúa sobre A es pAF = . Si A es desplazada la distancia ∆X, el trabajo realizado es:

XFW ∆= .

XpAW ∆= .

olVpW .=

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Donde Vol es el volumen del fluido desplazado. Entonces,

olVWp =

Que comprueba que la presión p es una energía por unidad de volumen. Por tanto, la energía total por unidad de volumen de un líquido en movimiento es la suma de los tres resultados anteriores, Para un fluido estacionario, y basado en el principio de conservación de la energía

.21 2 ctepghV =++ ρρ

Para los dos puntos del fluido en movimiento de la figura 1.9 se cumple que

222

2112

1 21

21 pghVpghV ++=++ ρρρρ

Este importante resultado se llama “PRINCIPIO DE BERNOULLI”. Otra forma de expresar el principio de Bernoulli es en alturas de presión. Si dividimos toda la expresión anterior entre el peso especifico del líquido, es decir, entre gργ = , obtenemos:

γγ2

2

221

1

21

22ph

gVph

gV

++=++

Ejemplo 9 Una tubería horizontal de 10.0 cm de diámetro tiene una reducción uniforme hasta una tubería de 5.00 cm de diámetro. Si la presión del agua en la tubería más grande es de 8.00x104 Pa y la presión en la tubería pequeña es de 6.00x104 Pa, ¿cuál es la rapidez de flujo de agua a través de las tuberías?

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ALGUNAS APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE BERNOULLI TEOREMA DE TORRICELLI Es una aplicación del principio de Bernoulli y estudia el flujo de un líquido contenido en un recipiente, a través de un pequeño orificio, bajo la acción de la gravedad. A partir del teorema de Torricelli se puede calcular el caudal de salida de un líquido por un orificio. "La velocidad de un líquido en una vasija abierta, por un orificio, es la que tendría un cuerpo cualquiera, cayendo libremente en el vacío desde el nivel del líquido hasta el centro de gravedad del orificio":

Figura 1.11. ghVB 2= Ejemplo 10 En un gran tanque de almacenamiento abierto en la parte superior y lleno de agua se forma un pequeño hoyo en su costado, en un punto 16.0 m debajo del nivel del agua. Si la relación de flujo de la fuga es de 2.50x10 – 3 m3/min, determine (a) la rapidez a la cual el agua sale por el hoyo, y (b) el diámetro de éste.

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EFECTO VENTURI El efecto Venturi consiste en que la corriente de un fluido dentro de un conducto cerrado disminuye la presión del fluido al aumentar la velocidad cuando pasa por una zona de sección menor. Si en este punto del conducto se introduce el extremo de otro conducto, se produce una aspiración del fluido contenido en este segundo conducto (Figura 1.12). Este efecto recibe su nombre del físico italiano Giovanni Battista Venturi (1746-1822). El efecto Venturi se explica por el Principio de Bernoulli y el principio de continuidad de masa. Si el caudal de un fluido es constante pero la sección disminuye, necesariamente la velocidad aumenta. Por el teorema de conservación de la energía si la energía cinética aumenta, la energía determinada por el valor de la presión disminuye forzosamente.

Figura 1.12

Tubo de Venturi Un tubo de Venturi (Figura 1.13) es un dispositivo inicialmente diseñado para medir la velocidad de un fluido aprovechando el efecto Venturi. Sin embargo, algunos se utilizan para acelerar la velocidad de un fluido obligándole a atravesar un tubo estrecho en forma de cono.

Figura 1.13

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Estos modelos se utilizan en numerosos dispositivos en los que la velocidad de un fluido es importante y constituyen la base de aparatos como el carburador. La aplicación clásica de medida de velocidad de un fluido consiste en un tubo formado por dos secciones cónicas unidas por un tubo estrecho en el que el fluido se desplaza consecuentemente a mayor velocidad. La presión en el tubo Venturi puede medirse por un tubo vertical en forma de U conectando la región ancha y la canalización estrecha. La diferencia de alturas del líquido en el tubo en U permite medir la presión en ambos puntos y consecuentemente la velocidad. Ejemplo 11 En la figura se representa un tubo de Venturi para la medida del caudal con el típico manómetro diferencial de mercurio. El diámetro de la entrada (sección 1) es de 45 cm y el de la garganta o estrangulamiento de 25 cm. Hallar el gasto de agua sabiendo que la diferencia entre las alturas alcanzadas por el mercurio en las ramas vale 22 cm.

1 2 Agua 22 cm Mercurio

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TUBO DE PITOT El tubo de Pitot es quizá la forma más antigua de medir la presión diferencial y también conocer la velocidad de circulación de un fluido en una tubería. Consiste en un pequeño tubo con la entrada orientada en contra del sentido de la corriente del fluido. La velocidad del fluido en la entrada del tubo se hace nula, al ser un punto de estancamiento, convirtiendo su energía cinética en energía de presión, lo que da lugar a un aumento de presión dentro del tubo de Pitot.

(a) (b)

Figura 1.14 Tubo de pitot (a) con un liquido, (b) con el aire

Los tubos de Pitot son instrumentos sencillos, económicos y disponibles en un amplio margen de tamaños. Si se utilizan adecuadamente pueden conseguirse precisiones moderadas y, aunque su uso habitual sea para la medida de la velocidad del aire, se usan también, con la ayuda de una técnica de integración, para indicar el caudal total en grandes conductos y, prácticamente, con cualquier fluido.

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(a) (b) (c)

Figura 1.15 Tubos de Pitot. (a) Común, (b) digitales, y (c) con sensor

de temperatura Ejemplo 12 Con un tubo de Pitot se puede determinar la velocidad de flujo de aire al medir la diferencia entre la presión total y la presión estática (ver figura). Determine la velocidad del flujo de aire. δHg = 13.6, δaire = 1.00, h = 5.00 cm. R/ 103.26 m/s

ING.RVS/ing.rvs.FISICAII.

B A h Mercurio

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