Transformaciones Lineales Definición 4.1 Sean V y W dos espacios

vectoriales sobre un cuerpo IK ,una transformación lineal de V en W es una función T: V → W tal que:

T(u + v) = T(u) + T (v) ∀ u, v ∈ V T( αu) = α T ( u) ∀ u ∈V , α ∈ IK.

Proposición 4.2 Sean V y W espacios vectoriales sobre un cuerpo IK, T: V →W transformación lineal, entonces:

a) T( 0v ) = 0w b) T(-v) = - T (v) , ∀ v ∈ V c) T( u - v) = T(u) - T(v) , ∀ u , v ∈ V

Proposición 4.3 Sean V, W espacios vectoriales sobre un cuerpo IK, entonces

T : V → W es una transformación lineal si y sólo si T ( α u + v) = α T(u) + T (v) ,

∀ α ∈ K, ∀ u, v ∈ V.

Corolario 4.4 Sean V , W espacios vectoriales sobre un cuerpo K y T: V → W una transformación lineal, entonces T preserva las combinaciones lineales , es decir si v1,.....,vn ∈V y α1, ..... ,αn ∈ K se tiene que

T .

Teorema 4.5 Sean V y W espacios vectoriales sobre un cuerpo K, tal que dim V = n < ∞ y {v1,....,vn} una base ordenada de V. Supongamos que {w1,....,wn} es subconjunto de W, entonces existe una única transformación lineal

T: V → W tal que T(vi) = wi , ∀ i = 1 , ..... , n.

Observación 4.6 Notemos que en el teorema 4.5 no se requiere que el conjunto { w1,..., wn} sea l.i. o generador.

NÚCLEO E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL

Definición 4.7 Sean V y W espacios vectoriales sobre un cuerpo IK, T: V → W una transformación lineal .El núcleo (o kernel) de T es el conjunto KerT = {v∈V / T(v) = 0w}.

La imagen de T es el conjunto Im T = { w ∈ W / ∃ v ∈ V : T (v) = w } = { T(v) / v ∈ V = T(V) }.

Proposición 4.8 Sean V, W espacios vectoriales sobre un cuerpo IK y T: V → W una transformación lineal , entonces Ker T ≤ V e Im T ≤ W.

Definición 4.9 Si V y W son espacios vectoriales de dimensión finita sobre un cuerpo IK y T: V → W es una transformación lineal. Entonces dim ( Ker T ) se llama nulidad de T y dim ( Im T ) se llama rango de T .

Teorema 4.10 Sean V y W espacios vectoriales sobre un cuerpo IK, dim V < ∞ y T : V → W una transformación lineal, entonces dim V = dim Ker T + dim Im T.

Corolario 4.11 Sea A ∈ Mnxm ( IK) entonces la dimensión del espacio fila de A es igual a la dimensión del espacio columna A, es decir rango A = rango At.

Proposición 4.12 Sean V, W espacios vectoriales sobre un cuerpo IK y T: V → W una transformación lineal entonces T es inyectiva si y sólo si Ker T = { 0V }

Proposición 4.13 Sean V, W espacios vectoriales sobre un cuerpo IK tales que dim V = dim W = n < ∞ y T: V → W una transformación lineal, entonces T es inyectiva si y solo si T es epiyectiva.

ALGEBRA DE TRANSFORMACIONES LINEALES

Teorema 4.14 Sean V , W espacios vectoriales sobre un cuerpo IK . T : V → W y L : V → W transformaciones lineales, entonces:

a) La función T + L : V → W definida por ( T + L )(v) = T (v) + L (v) , ∀ v ∈ V es una

transformación lineal. b) La función τ T : V → W con τ ∈ K ,

definida por (τT )(v) = τ T(v) , ∀ v ∈ V es una transformación lineal.

Proposición 4.15 Sean V, W espacios vectoriales sobre un cuerpo IK, entonces el conjunto

L( V,W) = {T : V → W / T es transformación lineal} es un espacio vectorial con la suma y producto por escalar definidos en el teorema 4.14.

Teorema 4.16 Sean V, W espacios vectoriales sobre un cuerpo IK tales que dim V = n < ∞ y dim W = m < ∞ Entonces dim L( V,W) = nm.

Teorema 4.17 Sean U, V, W espacios vectoriales sobre un cuerpo IK, T: V → U y L: U → W transformaciones lineales. Entonces la función compuesta L o T :V → W definida por ( L o T ) (v) = L(T(v)) , ∀ v ∈V , es una transformación lineal.

Definición 4.18 Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo IK. Una transformación lineal T : V → V se dice un operador lineal sobre V.

Proposición 4.19 Sean V un espacio vectorial sobre un cuerpo IK, T, L, S operadores lineales sobre V, entonces:

a) T o L es operador lineal sobre V. b) Iv o T = T o Iv = T c) L o ( T + S ) = ( L o T ) + ( L o S ) y (T + S) o L = ( T o L) + ( S o L). d) τ( T o L) = ( τT ) o L = T o ( τL) , ∀ τ ∈ K.

Definición 4.20 Sean V,W espacios vectoriales sobre un cuerpo IK y T: V → W una transformación lineal, se dice que T es invertible si T es una función biyectiva de V en W.

Es oportuno recordar la equivalencia siguiente: T : V → W es invertible si y sólo si existe una función T-1 : W → V tal que T o T-1 = Iw y T-1 o T = Iv

Teorema 4.21 Sean V y W espacios vectoriales sobre un cuerpo IK y T: V → W una transformación lineal invertible entonces T-1 : W → V es una transformación lineal.

Teorema 4.22 Sean V, W espacios vectoriales sobre un cuerpo IK, T: V → W una transformación lineal. Entonces T es inyectiva si y sólo si T aplica cada subconjunto l.i. de V sobre un subconjunto l.i. de W.

Teorema 4.23 Sean V y W espacios vectoriales sobre un cuerpo IK , tales que dimV = dim W = n < ∞ . Si T: V → W es una transformación lineal entonces son equivalentes las siguientes afirmaciones:

a) T es invertible b) T es inyectiva c) T es epiyectiva d) Si {v1,.....,vn} es base de V entonces

{ T(v1),.....,T (vn) } es base deW e) Existe una base {v1,....., vn} de V tal que

{ T(v1),.......,T(vn)} es base de W. Observación 4.24 Notemos que el teorema 4.23 no es

válido si dim V≠ dim W .

ISOMORFISMOS Definición 4.25 Sean V, W espacios

vectoriales sobre un cuerpo IK. Una transformación lineal T: V → W se dice isomorfismo de V sobre W si T es biyectiva. Si existe un isomorfismo de V sobre W se dice que V es isomorfo a W y se anota V ∼ W.

Teorema 4.26 Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo IK. Si dim V= n entonces V ∼ IKn.

Lema 4.27 Sean U,V,W espacios vectoriales sobre un cuerpo IK. Entonces

a) Si U ∼ V entonces V ∼ U b) Si U ∼ V y V ∼ W entonces U ∼ W.

Teorema 4.28 Sean V y W espacios vectoriales sobre un cuerpo IK. Entonces

V ∼ W si y solo sí dim V = dim W.

REPRESENTACIÓN POR MATRICES

Definición 5.1 Sean V y W espacios vectoriales sobre un cuerpo IK , tales que dim V = n ,dim W = m y T: V → W una transformación lineal.

Si B = { v1 ,...,vn } es una base ordenada de V y B`= { w1,...,wm} una base ordenada de W, se define la matriz de T respecto al par de bases ordenadas B y B` como la matriz [ T ]BB` ∈ M mxn(IK) donde la columna j-ésima de [ T ]BB` está dada por [ T (vj )]B` .

Observación 5.2 La transformación lineal T :V → W

determina una única matriz [T]BB’ , puesto que para cada j∈{1,.....,n}existen únicos escalares α1j ,α2j ,...,αmj ∈ IK tales que

T(vj) = , es decir [T (vj) ]B` = .

Luego [T ]BB` = ( αij ) es única.

Teorema 5.3 Sean V y W espacios vectoriales so-bre un cuerpo IK, tal que dim V= n y dimW= m. Sean B y B` bases ordenadas de V y W respectivamente. Si T: V → W es una transformación lineal, entonces

[T(v)]B’ = [T ]BB’ [v ]B , ∀ v ∈ V.

Teorema 5.4 Sean V y W espacios vectoriales sobre un cuerpo IK, tales que dimV = n y dim W = m . Sean B y B` bases ordenadas de V y W respectivamente, entonces

∅ : L (V,W) → Mmxn (K) definida por ∅ (T) = [T]BB’

es un isomorfismo.

Observación 5.5 Note que el hecho de que ∅ sea biyectiva implica que dada una matriz A ∈ Mm x n (K) y las bases ordenadas B y B` en V y W respectivamente existe una única transformación lineal T: V → W tal que [T ]BB` = A

Observación Si V es un espacio vectorial sobre un cuerpo IK, B es una base ordenada de V y T un operador lineal sobre V entonces en lugar de

[T]BB se escribe [T]B y se dice que es la matriz de T en la base B . Note que por el teorema 5.3 se tiene la identidad

[T (v)]B = [T ]B[v ]B , ∀ v ∈ V.

Teorema 5.6 Sean U, V y W espacios vectoriales sobre un cuerpo IK, T: U → V y L: V→ W transformaciones lineales. Si B, B` y B`` son bases ordenadas de U, V y W respectivamente, entonces

[L o T ]BB`` = [L ]B`B`` [T]BB`.

Proposición 5.7 Sean V y W espacios vectoriales de dimensión n sobre un cuerpo IK y T: V → W una transformación lineal. Entonces T es invertible si y sólo sí [T ]BB` es invertible para toda base ordenada B de V y toda base ordenada B`de W.

Definición 5.8 Sean V espacio vectoriales sobre un cuerpo K, B y B` bases ordenadas de V. La matriz [Iv ]BB` se llama la matriz de pasaje de la base B a la base B`.

Proposición 5.9 Sean V un espacio vectorial sobre un cuerpo IK, B y B` bases ordenadas de V, entonces la matriz de pasaje de la base B a la base B` es invertible y [IV ]-1B’B = [IV]BB`.

Teorema 5.10 Sean V, W espacios vectoriales sobre un cuerpo IK, B1, B2 bases ordenadas de V. B`1 , B`2 base ordenadas de W.

Si T: V → W es una transformación lineal, entonces

[ T ]B’1B’2 = [Iw ]B2 B’2 [T]B1B2 [Iv]B’1B1 .

Observación 5.11 Un caso particular del teorema 5.10 queda expresado de la siguiente manera:

Sean V un espacio vectorial sobre un cuerpo IK, B y B` bases ordenadas de V y T un operador lineal sobre V, entonces

[T]B = [Iv]B`B [T]B` [Iv ]BB` , o bien , [T ]B = [Iv]B`B [T]B` [Iv ]B`

-1.

VALORES Y VECTORES PROPIOS

Definición 5.12 Sean V un espacio vectorial sobre un cuerpo IK y T: V → V un operador lineal. Un escalar λ ∈ K se dice valor propio de T si existe un vector v∈ V, v ≠ 0V tal que T(v) = λ v.

Si λ es un valor propio de T, entonces cualquier v ∈ V tal que T(v) = λv se llama vector propio de T asociado al valor propio λ .

El conjunto Sλ = {v ∈ V / T(v) = λv } se llama espacio propio asociado a λ.

Proposición 5.13 Sean V un espacio vectorial sobre un cuerpo IK y T: V → V un operador lineal. Si λ es un valor propio de T entonces Sλ ≤ V.

Teorema 5.14 Sean V un espacio vectorial de dimensión finita n sobre un cuerpo IK, B una base ordenada de V y T : V → V un operador lineal. Entonces las siguientes afirma- ciones son equivalentes:

(a) λ es valor propio de T (b) T - λ idv no es invertible (c ) det ( [ T ]B - λ In ) = 0 Observación Si B es cualquier base ordenada del

espacio vectorial V, por lo tanto la equivalencia (a) ⇒ (c) se puede expresar de la siguiente manera:

λ es valor propio de T ⇔ det ( [T]B - λ In) = 0, para cualquier base ordenada B de V.

Definición 5.15 Sea A ∈ Mn (IK) , se dice que λ ∈ IK es un valor propio de A en IK , si

det (λIn -A) = 0. El polinomio C(x) = det ( xIn -A) se llama polinomio característico de A.

Observación 5.16 El polinomio característico de una matriz A ∈ Mn(IK) es un polinomio mónico de grado n, esto se comprueba al desarrollar det ( xIn - A). Además, las raíces de CA (x) son exactamente los valores propios de A.

Proposición 5.17 Las matrices semejantes tienen el mismo polinomio característico.

Definición 5.18 Sean V un espacio vectorial de dimensión n sobre un cuerpo IK y T: V → V un operador lineal. Se define el polinomio característico de T, como el polinomio característico de cualquier matriz n x n que representa a T en alguna base ordenada de V. Se anota CT ( x ).

Observación 5.19 De la definición de CT (x) se tiene que si B y B` son bases de V, entonces [T]B y [T]B’ son matrices semejantes, es decir [T]B = [IV ]-1BB`[T]B’ [IV]BB` , luego tiene el mismo polinomio característico y por lo tanto los mismos valores propios. En particular T tiene a lo más n valores propios distintos, puesto que gr( CT (x)) = n . Sin embargo, existen funciones lineales las cuales carecen de valores propios.

DIAGONALIZACIÓN Definición 5.20 Sean V un espacio vectorial sobre

un cuerpo IK y T: V → V un operador lineal. Diremos que T es diagonalizable si existe una base B de V tal que [T ]B es una matriz diagonal.

Teorema 5.21 Sean V un espacio vectorial de dimensión n sobre IK y T: V → V un operador lineal. Entonces , T es diagonalizable si y solo si existe una base de V, formada sólo por vectores propios de T.

Teorema 5.22 Sean V un espacio vectorial de dimensión n sobre un cuerpo IK, T un operador lineal sobre V y λ1 , ... , λr los valores propios distintos de T.

Sea Si = Sλi el subespacio asociado al valor propio λi . Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes:

(a) T es diagonalizable (b) El polinomio característico de T es CT ( x) = ( x - λ1)d1 ...(x - λr )dr , donde di = dim Si. (c) dim S1 + ...... + dim Sr = dim V.

Corolario 5.23 Sea V un espacio vectorial de dimensión n sobre un cuerpo IK y T: V → V un operador lineal. Si T posee n valores propios distintos entonces T es diagonalizable.

Definición 5.24 Con las notaciones anteriores se dice que dim Si es la multiplicidad geométrica del valor propio λi y que di es la multiplicidad algebraica del valor propio λi.

Observación 5.25 . El teorema 5.21 puede reescri- birse de la siguiente manera:

T es diagonalizable ⇔ la multiplicidad geomé-trica de cada valor propio λi de T es igual a la multiplicidad algebraica.