CLASSE 5 D APPUNTI DAL CORSO DI COSTRUZIONI PROGETTO E … · 2018-10-13 · I.t.g . Guarino Guarini di Modena - CORSO DI COSTRUZIONI – prof. STEFANO CATASTA – a.s. 2010-2011

I.t.g . Guarino Guarini di Modena - CORSO DI COSTRUZIONI – prof. STEFANO CATASTA – a.s. 2010-2011

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the design of he Forth Bridge (Scotland) 1883-1890 by Sir John Fowler and Sir Benjamin Baker

“Nessun effetto è in natura sanza ragione; intendi la ragione e non ti bisogna sperienzia.” Leonardo da Vinci

CLASSE 5 D

APPUNTI DAL CORSO DI COSTRUZIONI

PROGETTO E VERIFICA DELLE SEZIONI IN CALCESTRUZZO ARMATO

(Normativa DM14/2/1992)


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Il calcestruzzo armato è un materiale per impiego strutturale eterogeneo composto da calcestruzzo e da barre in

acciaio. Il cls offre una buona resistenza a compressione (200-600 daN/cm2) mentre scarsa è la resistenza a trazione

(1/10 -1/12 della resistenza a compressione) . Se si realizzasse una trave di solo calcestruzzo si otterrebbe un

andamento delle isostatiche di trazione e compressione come in figura.

Qualora l’entità dello sforzo di trazione risultasse maggiore di quello sostenibile dal calcestruzzo, si verificherebbero,

lungo le isostatiche di trazione delle soluzioni di continuità del solido che rendendo labile la struttura ne

provocherebbero il crollo.

Disponendo delle barre d’acciaio in grado di assorbire gli sforzi di trazione senza eccessive deformazioni, si può

realizzare un solido in grado di assolvere compiutamente alla sua funzione strutturale.

La ragione della buona collaborazione tra cls ed acciaio risiede nella convergenza di due fattori:

a) Perfetta aderenza tra i materiali;

b) I due materiali possiedono un uguale coefficiente di dilatazione termica

La perfetta aderenza consente la trasmissione delle deformazioni (e quindi anche degli sforzi) tra il calcestruzzo e

l’acciaio.

La dilatazione termica, se diversa, provocherebbe dopo un certo numero di cicli stagionali delle lesioni per effetti

degli stati coattivi.

IL CALCESTRUZZO

Il calcestruzzo per opere in c.a. si ottiene legando con un impasto cementizio degli inerti (ghiaia e sabbia) di diversa

granulometria secondo una prefissata composizione (curva di Fuller) .

La composizione di 1mc di calcestruzzo è in genere il seguente (parti/volume) : 0,8 Ghiaia, 0,4 Sabbia - 300kg

cemento. L’acqua dell’impasto deve essere limpida ed in rapporto con il cemento compreso tra 0,4-0,6.

Il peso di un metro cubo di calcestruzzo ordinario è di 2400daN/mc

Il peso di un metro cubo di un calcestruzzo armato è in genere 2500 daN/mc.

La resistenza caratteristica di un calcestruzzo si determina statisticamente secondo delle prove di schiacciamento di

provini cubici formati su dimensioni standard (15x15x15cm)


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La sigla “ RcK 300” indica un calcestruzzo che presenta una resistenza caratteristica a compressione monoassiale di

300 daN/cm2. A partire dalla RcK attraverso formule di correlazione si determinano tutte le altre proprietà e

resistenze. (n.b. la sigla fcd sta ad indicare il diagramma sforzo deformazione per un provino cilindrico )

Il modulo elastico del calcestruzzo si calcola ponendo:

�� 5700 · �� ; e si misura in N/mm2

IL diagramma sforzo-deformazione per il calcestruzzo non è di tipo lineare, la deformazione unitaria di rottura è di:

εrott = 3.5 · 10��

La sicurezza di una sezione in calcestruzzo si ottiene prevedendo nei calcoli tensioni di progetto convenientemente

inferiori a quelle che ne provocano la rottura. Queste tensioni vengono dette “ammissibili” e si determinano con

formule di correlazione (sono riportate a pag. 375 nel Prontuario Le Monnier).

L’ACCIAIO

Le caratteristiche degli acciai per calcestruzzo armato sono accertate attraverso le procedure previste dalle norma

internazionali (Norme UNI).

Un acciaio in barre di tipo normalizzato possiede un peso specifico di 79,5KN/m3; il modulo elastico vale 2100000

daN/cm2

Gli acciai per carpenteria sono forniti in diversi formati, barre, tralicci, reti, rotoli, tutti reperibili attraverso le tabelle

del prontuario. Le caratteristiche meccaniche sono identificate da sigle tipo: FeB38K ; FeB44K in cui la parte

numerica si riferisce alla resistenza caratteristica a trazione riferita alla deformazione unitaria che provoca lo

snervamento della barra.

Anche per l’acciaio la sicurezza si ottiene adottando valori convenientemente distanti da quelli che provocano

deformazioni permanenti. I valori “ammissibili” si reperiscono sulle tabelle, per l’acciaio FeB38K si assume ��. �2200 ��/�� ; per l’acciaio FeB44K si assume ��. � 2600 ��/��


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METODO “n”

Per valutare le prestazioni meccaniche di una sezione in cemento armato sono necessarie delle ipotesi semplificative

1. Il calcestruzzo soggetto a compressione si comporta come un materiale elastico omogeneo. Ciò equivale ad

assumere per il calcestruzzo la validità della legge di Hooke e sostituire l’andamento reale del diagramma

sforzo deformazione con quello di una retta: �� · ��

2. Il calcestruzzo ha resistenza nulla a trazione ma nel valutare le deformazioni la sezione va considerata per

intero;

3. L’acciaio, teso o compresso si intende che lavori in campo elastico lineare: �� · ��

4. L’acciaio e il calcestruzzo aderiscono perfettamente, le fibre poste a contatto si deformano identicamente

allo stesso modo;

5. Le sezioni di una trave in c.a. ruotando e traslando per effetto di una qualsiasi azione (forza o momento) si

mantengono piane;

6. La sicurezza di un elemento strutturale in calcestruzzo armato si assicura assumendo, rispetto ai carichi di

esercizio, un valore ammissibile delle tensioni convenientemente lontano dal valore di rottura per il cls e

dallo snervamento per l’acciaio

Dalla validità delle ipotesi 1 e 3 si assume quello che viene definito”coefficiente di omogeneizzazione”

�� · ��

�� · ��

La validità della ipotesi 4 conduce ad assumere:

��

Possono porsi uguali i termini:

�

��

��

�� in cui esplicitando σs → si ottiene : �� = ��

� · ��

Se sostituiamo i valori dei moduli elastici otteniamo l’espressione:

�� · �� ⤍ dove n ≈ 15

L’espressione del “coefficiente di omogeneizzazione” sintetizza” le sei ipotesi formulate e consente di trattare la

sezione in calcestruzzo armato come una sezione “omogeneizzata” ovvero una sezione idealmente maggiorata oltre

le dimensioni geometriche ed equivalente al solo calcestruzzo.


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EQUAZIONI DI EQUILIBRIO DELLE SEZIONI

Condizione di pressione centrata

La condizione di sollecitazione di pressione centrata si realizza quando la risultante dei carichi che precedono la

sezione risulta ortogonale ed applicata nel baricentro della sezione.

La condizione dell’equilibrio della sezione ottiene dalla applicazione del principio di AZIONE = REAZIONE .

Nel ns caso l’azione che tende a traslare la sezione è data dal valore dello sforzo normale N che assumiamo dal

diagramma delle sollecitazioni

La reazione, che contrasta attraverso l’appropriata inerzia, la deformazione indotta nelle fibre, risulterà dal

contributo combinato dei due materiali. Ogni cm2 di acciaio ed ogni cm

2 di calcestruzzo produrranno una forza

reattiva, sommando tutti i contributi si ottiene la REAZIONE prodotta dalla sezione:

R = ∑ �� · �� ∑ �� . · ��

Applicando le ipotesi del metodo “n” si ricava che:

- Mantenendosi piane le sezioni, gli accorciamenti sono per tutti i cm2 uguali (ipot.5);

- Le deformazioni tra due fibre vicine sono uguali per via della perfetta aderenza (ipot.4)

- Per l’acciaio e per il cls vale la legge di Hooke (ipot. 1 e 3)

Questo conduce ad esprimere la reazione come segue:

R = �� · (∑A cls dA) + �� · (∑A acc. dA)

La somma di tutti i cm2 ( che abbiamo indicato con dA) di cui è composta la parte di sezione in cls è : Acls

La somma di tutti i cm2 ( che abbiamo indicato con dA) di cui è composta la parte di sezione in acciaio è : Aacc.

R = σc Acls + σs Aacc ; essendo A = R ⤍ N = σc Acls + σs Aacc

Al posto di σs si scrive il suo valore secondo il coefficiente di omogeneizzazione:

N = σc Acls + (n*σc )Aacc che esplicitata ulteriormente diventa:


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N = σc * (Acls + n Aacc) ⤍ il termine tra parentesi prende il nome di Aci (Area di cls ideale o area omogeneizzata)

La condizione di stabilità produce la formula di verifica di una sezione semplicemente compressa:

σc = N/ Aci ≤ σAMM..

N.B. dalla equazione di stabilità si ricava come il contenimento delle tensioni nel calcestruzzo sia legato al contenimento delle

deformazioni unitarie ε che è affidato alla inerzia alla traslazione della sezione (Area)

Dalla equazione di equilibrio si può ottenere la formula di progetto:

Acls + n Aacc = N/ σAMM.

Dal momento che la Normativa impone una percentuale minima di armature per l’area “strettamente necessaria”

nella misura dell’8/1000 dell’area di cls, possiamo scrivere:

Acls + � · �

��· �� = N/ σAMM.

15*8/1000 = 0,12

Acls +0,12* Acls = N/ σAMM. ; ⤍ Acls (1+0,12) = N/ σAMM.

Formula di progetto per l’area strettamente necessaria:

Acls = N/1,12 σAMM.

N.B. la normativa di progettazione di strutture in c.a. in zona classificata sismica, al di la del dimensionamento fornito con la

formula dell’area strettamente necessaria impone per le sezioni dei pilastri una dimensione minima di 30cm per il lato più corto e

per l’armatura longitudinale una incidenza non inferiore all’1% da realizzare con ferri , almeno uno per ogni spigolo, di sezione

non inferiore a Ø12

Tipicamente una sezione semplicemente compressa in c.a. appartiene ad un pilastro disposto centralmente rispetto

ad una intelaiatura: per questi, la normativa tecnica impone ulteriori specifiche e prescrizioni.

SNELLEZZA

Un pilastro è soggetto a fenomeni di instabilità quando il valore della snellezza supera il valore di 50.

La snellezza si calcola attraverso l’espressione: λ � ��

��

Dove lo è la lunghezza libera di inflessione e si calcola attraverso la lunghezza geometrica “l” misurata dallo spiccato

del pilastro all’estradosso della trave superiore. Negli edifici intelaiati multipiano si assume: lo = l nell’ultimo piano, in

quelli inferiori la lunghezza libera di inflessione si ottiene ponendo: lo = l /√ 2

N.B. un pilastro 30x30cm in una altezza interpiano (2,70m) di un edificio ad uso abitativo è certamente un pilastro “non snello”

Il raggio di inerzia minimo in una sezione di calcestruzzo ideale si determina attraverso la formula:

ρci min = √ Jmin /Aci

Calcolata la snellezza si assume il coefficiente ω dalla tabella

Snellezza λ Coeffic. ω

50 1,00

70 1,08

85 1,32

100 1,62


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Il coefficiente amplificativo ω si applica nelle verifiche al carico N per cui la formula di stabilità nel caso di instabilità

dovuta a snellezza diventa:

σc = ω N/ Aci ≤ σAMM..

Prescrizioni sulle armature trasversali: staffe

Al fine di contenere il rischio di instabilità delle armature longitudinali si mettono lungo lo sviluppo del pilastro delle

staffe chiuse il cui diametro, in zona classificata sismica non deve essere inferiore a Ø8 mm. Il passo deve essere non

inferiore a 25 cm. Nelle zone di estremità di pilastri a rischio sismico occorre eseguire un infittimento delle staffe

(confinamento) per una lunghezza in cui si assume valore maggiore tra il lato maggiore del pilastro e l’altezza della

trave vincolata superiormente.


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ES1

Proporzionare una sezione semplicemente compressa in grado di sostenere un carico complessivo di 170000daN

Assumiamo i materiali:

RcK250 ⤍ per il quale le tabelle ( Pront. Pag. 375) forniscono σAMM. = 59,5daN/cm2

FeB38K ⤍ per il quale le tabelle forniscono σAMM. = 2200daN/cm2

Applichiamo la formula di progetto:

Acls = N/1,12 σAMM.

Acls = 170000/1,12*59,5 = 2551.020cm2

l = √ Acls = 50.5 cm

Supponiamo che per motivi costruttivi non si possa impiegare una sezione più larga di 40cm. Adottiamo sez. 40x65 =

2600 cm2 > area strettamente necessaria

Armiamo la sezione all’1%

As = 1*2600/100 = 26cm2 ⤍ per la quale disponiamo 4Ø20 negli spigoli ed 8Ø16 nei lati


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ES2

Verifichiamo l’impiego di un pilastro (l = 520cm ) posto al piano terreno di un edificio multipiano sito in zona non

sismica. Il carico complessivo (comprensivo del peso proprio) risulta essere di 420KN. Il pilastro misura 20x40cm ed

armato con 8Ø12 (As = 9,05cm2) disposti simmetricamente rispetto all’asse longitudinale. I materiali impiegati sono

RcK300; FeB44K

Calcolo della snellezza:

lo = l /√ 2 ⤍ 520/1,41 = 369cm

ρci min = √ Jmin /Aci

Jmin = 40x203/12 + 2 ( 4,52)7

2x15 = 26666,66 + 6644,4 = 33311 cm

4

Aci = (40x20) + 15*(9,05) = 800+135,75 = 935,75 cm2

ρci min = 5,96cm ⤍ λ = 369/5.96 = 62

Il valore di ω si determina per interpolazione lineare tra i valori 50 e 70:

ω = 1,00 + �,��,��

��· �62 � 50� = 1,05

La σAMM nel calcestruzzo in pilastri con lato corto inferiore a 25cm vale:

σAMM = 0,7*[1-0,03(25-s)]*σc = 0,595*68,2 = 40,57daN/cm2

Applichiamo la formula di verifica:

σc = ω N/ Aci ≤ σAMM..

σc = 1,05* 420*102/ 935,75 = 47,12 > σAMM

N.B. dato che la differenza tra la tensione di lavoro e quella ammissibile non è eccessiva possiamo provare ad inserire armatura (ad

esempio sostituiamo gli 8Ø12 con 8Ø16 ( comunque senza eccedere il 4% della sezione in cls)


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FLESSIONE SEMPLICE

Una sezione in c.a. soggetta a flessione semplice risulta sollecitata unicamente da momento flettente agente intorno

ad uno degli assi principali di inerzia (asse baricentrico).

L’azione del momento esterno divide la sezione in due regioni: una compressa e una tesa separate da una linea neutra

che contiene tutte quelle fibre che pur deformandosi non si accorciano e non si allungano. Per il principio di AZIONE

=REAZIONE la condizione di equilibrio dovrà vedere la sezione produrre un coppia resistente uguale e contraria in cui

al calcestruzzo è affidata la componente (della coppia) entrante nella sezione , all’acciaio la componente uscente.

La condizione di equilibrio della sezione consiste nell’annullarsi delle traslazioni e delle rotazioni

C-T = 0 ⤍ condizione con cui imponiamo che siano nulle le traslazioni;

C*t = Mext ⤍ condizione con cui imponiamo che siano nulle le rotazioni intorno all’asse principale

Il sistema che garantisce l’equilibrio presenta delle indeterminazioni:

- Come calcolare la risultante di compressione “C” ?

- Come stabilire la misura del braccio della coppia interna “t” ?

Facendo ricorso a delle ipotesi di deformazione, congruenti con i sei punti del metodo “n” è possibile rendere

risolvibile il problema.

- Utilizzando l’ipotesi di conservazione delle sezioni piane (ipot.5) si ricava che le deformazioni unitarie

variano linearmente lungo lo sviluppo della sezione e con esse anche l’entità delle sollecitazioni σ. Se ne può

ricavare che la linea che separa la zona compressa dalla zona tesa è una retta. Da ciò consegue che: noto un

valore della deformazione unitaria, si possono ricavare tutti gli altri lungo lo sviluppo della sezione attraverso

il principio di similitudine tra triangoli


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εc I y = εi I yi ⤍ εi = εc yi/y moltiplicando per Ec passiamo alla similitudine delle tensioni:

σi = σc* yi / y

che dimostra che le tensioni nel calcestruzzo variano linearmente risultando massime sul bordo esterno (dove le fibre

risulteranno essere le più deformate).

Attraverso l’ipotesi di congruenza possiamo determinare la relazione che lega la posizione dell’asse neutro alle

deformazioni del cls e dell’acciaio. Con riferimento alla vista laterale, possiamo scrivere:

(εc+εs) : d = εc : y ; moltiplichiamo tutto per y

�� · � �� ·

che esplicitiamo rispetto ad y

� � · ��

Possiamo esprimere la “relazione di congruenza” in funzione delle tensioni sostituendo alle ε la relazione di Hooke

σc = Ec εc ⤍ εc = σc/ Ec

σs = Es εs ⤍ εs = σs/ Es

sostituiamo

� � · ��

Moltiplicando numeratore e denominatore per Es


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� � · ��· ��

· �� · ��

� � · � · �� · ��

Aggiungendo la funzione della y alle due equazioni di equilibrio possiamo rendere risolvibile il sistema:

!""#""$

% � & � 0% · '� � 3( � )

� � · � · �� · �� *""+"",

Dove la risultante della compressione può assimilarsi ad un volume , in caso di sezione rettangolare: C = �·�

2· b la

risultante C si applicherà nel baricentro del prisma a base triangolare.

La risultante a trazione T è tutta affidata all’acciaio (ipot.2), pertanto : T = σs A

Utilizzando le tre equazioni sviluppate in precedenza si possono risolvere tutte i problemi delle sezioni inflesse in c.a.

PROBLEMA DI VERIFICA

Nel problema di verifica di una sezione inflessa in c.a. ci occupiamo di stabilire se questa, rispetto alla azione flettente

è in equilibrio, ovvero se le tensioni di esercizio per l’acciaio e per il calcestruzzo risultano inferiori o al più uguali ai

valori ammissibili.

Risultano noti i seguenti dati del problema: (b, d, As, M, Rck, FeBk)

Per prima cosa determiniamo la posizione dell’asse neutro che, essendo baricentrica, si troverà imponendo la

condizione di nullità dei momenti statici:

- · �2 � � · �� · �� 0

La sezione omogeneizzata si comporta come una normale sezione in legno o acciaio in cui vale la relazione generale

azione = reazione applicata alle rotazioni, cioè:

A = R ⤍ M = σc W ; dove W = Jn / y , quindi l’equazione di verifica è:

�� ).�

· / ��.

Dove Jn è il momento di inerzia della sezione calcolato rispetto all’asse neutro:


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.� � - · �3 � � · �� · ��

�� ) �� .�

· � / ��.

Per quanto riguarda l’acciaio.

PROBLEMA DI PROGETTO

Si dispone del valore del momento flettente, delle proprietà meccaniche dei materiali, di una delle due dimensioni

geometriche (base o altezza) . Risultano da determinare: la dimensione geometrica incognita e l’area della armatura.

Riprendiamo le tre equazioni che illustrano il problema:

!""#""$

% � & � 0% · '� � 3( � )

� � · � · �� · �� *""+"",

Nella terza equazione si può porre:

0 � � · �� · ��

Allora: y = K*d

Sostituiamo nella seconda equazione:

% · 1� � 0 �3 2 � )

Ricordando che C = �·�

2· b , sostituiamo e raggruppiamo:

�� · � · �� · -2 · 3� � � · ��3 4 � ); 6 �� · ��2 · 31 � ��3 4 - · �� )

Il termine: ��·��

�· '1 � ��

�( è in realtà un coefficiente numerico che risulta automaticamente definito nel caso di

sezioni rettangolari in cui si sia assunto un valore prefissato delle tensioni di lavoro per l’acciaio e per il calcestruzzo.

Per coppie di σc e σs definite (o associate) si ricavano i termini 1/α2

L’espressione diventa: �·�

2

�2 = M

In cui possiamo ricavare b o d a seconda dei casi:

� � 7 · 8)-

- � 7� · )��


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N.B. per le sezioni rettangolari i valori di α si trovano tabellati in funzione delle tensioni σs , σc e della disposizione

delle armature (coefficiente µ )

Per completare il progetto occorre dimensionare l’armatura:

Scriviamo la formula di equilibrio alla rotazione rispetto alla risultante di trazione:

σs A* t = M

σs A (d – (Kd/3)) = M; ⤍ σs A ( 1 - K/3) d = M

�� )�� · '1 � 3( · �

1-K/3 ≈ 0.9

�� )0,9 · �� · �

ES1

Verifica di una sezione soggetta a flessione pura, armata con armatura semplice.

Dati:

b=30cm; H = 80cm; d = 76cm; As = 18,10cm2; σs (AMM.)= 2200daN/cm

2; σc (AMM.)= 85daN/cm

2 (RcK 250) ; M = 240KNm

Incognite: σc (MAX.) ; σs (MAX.)

Calcoliamo la posizione dell’asse neutro:

Sx = 0; - · �2 � � · �� · �� 0

� � · ��- · ;�1 � 81 � 2 · - · �� · �� · ��

<

essendo:

f = n As/b = 15*18.10/30 = 9,05 cm

� = · ;�1 � 81 � 2 · - · �� · ��

< > � = · ;�1 � 81 � 2 · �= <


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� 9,05 · ;�1 � 81 � 1529.05< � 29,13�

Il braccio della coppia interna risulta:

t = d - y/3 = 76 - 9,71 = 66,29cm

il momento d’inerzia della sezione ideale risulta:

.� � - · �3 � � · �� · ��

Jn = (30*29,133)/3 + 15*18.10*(46,87)

2 = 843615cm

4

Calcolo delle tensioni:

σc = M*y / Jn = 240*104*29,13/843615 = 83daN/cm

2 < σAMM.

σs = nM*(d-y ) / Jn = 15*240*104*46,87/843615 = 2000daN/cm

2 < σAMM.

N. B. si può adottare un procedimento di verifica meno macchinoso utilizzando le formule di progetto. Infatti si può

porre:

α � �?)-

7 � 76?240 · 10�30

� 76282,84 � 0,268

Ponendo: σs = 2200daN/cm2

(Acciaio FeB38K)

Essendo µ = 0

Ricaviamo: σc = 86daN/cm2

La verifica è a favore di sicurezza e l’errore è minimo !

ES2

Progetto una sezione semplicemente inflessa in grado di sostenere un carico complessivo di 300KNm


Calcestruzzo: C25/30 (ex RcK300) ⤍ σAMM. = 97,50 daN/cm2

Acciaio: B450 C (ex FeB44K) ⤍ σAMM. = 2600 daN/cm2

Assumiamo: b = 30cm; µ = 0,4

Dalle tabelle assumiamo α = 0,27

Da cui calcoliamo d:

d = 0,27*RadQ (300*104/30) = 85cm ⤍ perciò adottiamo d = 87cm, cf = 3cm , H = 90cm


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As = 300*104/0,9*87*2600 = 14,73cm

2 ⤍ perciò adottiamo 5Ø20 inf. e 2Ø20 sup.

SOLLECITAZIONE DI TAGLIO

L’equilibrio della sezione omogeneizzata si ricava dalla espressione generale A = R , dove l’azione è il valore del taglio

massimo ricavato dai diagrammi delle sollecitazioni e la R risulta dalla espressione:

R = τMAX* 0,9 B h

La condizione di stabilità si ottiene dalla espressione:

B�� &�C · 0,9 · D� / B�� ; B��

Il valore τc0 sui ricava dal prontuario e rappresenta il valore ammissibile della tensione tangenziale in assenza di una

specifica armatura trasversale. Il valore τc1 sui ricava dal prontuario e rappresenta il valore ammissibile della tensione

tangenziale in presenza di una specifica armatura trasversale

La sollecitazione di Taglio puro rappresenta una astrazione, nella realtà la sollecitazione tagliante vede sempre la

compresenza di una azione flettente. In una trave inflessa, il meccanismo che si innesca quando le tensioni tangenziali

superano il valore τc0 produce lo slittamento della parte delle fibre compresse sulle fibre in trazione (scorrimento).

Le armature trasversali hanno la funzione di “cucire” le due parti della trave. Il dimensionamento delle armature si

può effettuare considerando il modello di funzionamento a traliccio (ipotesi di Morsh)

A questo punto per dimensionare le armature dobbiamo calcolare lo scorrimento S

Lo scorrimento è una forza che si calcola attraverso l’equivalenza con il volume individuato dal diagramma della

distribuzione delle tensioni tangenziali moltiplicato per la larghezza della trave b

S = b*ΔX *(τc1 + τmax) / 2

Quindi l’area delle staffe distribuita nel tratto di trave ΔX risulta ⤍ As = S /σs

Con una certa approssimazione si può assumere τmax al posto della τmedia e il ΔX pari a 100cm


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Ast = b*100 * τmax /σs ⤍ esplicitando τmax e moltiplicando Num e Denom. per b otteniamo ⤍ �� = EFGHHH,I ·J·K�

PRINCIPALI PRESCRIZIONI NORMATIVE (DM 14.02.1992)

5.3.1 Armatura longitudinale

“ Nelle strutture inflesse in elevazione la percentuale di armatura longitudinale, nella zona tesa, riferita all’area totale

della sezione di conglomerato non deve scendere sotto lo 0,15 per barre ad aderenza migliorata…”

5.3.2 Staffe

“Nelle travi si devono prevedere staffe aventi sezione complessiva non inferiore a 0,10β *cm2/m essendo β * la

larghezza corrispondente a τ = τ co con un minimo di tre staffe al metro e comunque passo non superiore a 0,8 volte

l’altezza utile della sezione..”

5.3.3 Ancoraggio delle barre

“ Le barre tese devono essere prolungate oltre la sezione nella quale esse sono soggette alla massima tensione in

misura sufficiente a garantire l’ancoraggio nella ipotesi di ripartizione uniforme delle tensioni tangenziali di

aderenza…..”

N.B. le prescrizioni di cui sopra devono essere integrate dalle regole costruttive previste per strutture in zone classificate a rischio

sismico

ES1

Progetto di una trave in c.a.

La soluzione si trova tabellata sul prontuario che abbiamo dimostrato nella dispensa “ La soluzione della trave

continua – Equazione dei tre momenti”

VA = VB = 0,375qL = 0,375*44*6,6 = 108,90KN

VB = 1,25qL = 1,25*44*6,6 = 363KN

TA = TB = 0,375qL = 108,90KN

TBI = TMAX = 0,625 qL = 181,50KN

M(-)

= q*L2 / 8 = 239,58KNm

M(+)

= q*L2 / 14,3 = 134,03KNm

Momento positivo con carico accidentale “sbilanciato”, approssimativamente M(+)

≈ 1.15*134,03 ≈ 154,13KNm

Aggiungiamo (fuori calcolo) un momento di semincastro sugli appoggi esterni:


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M(-)

= q*L2 / 20 ≈ 96KNm


Calcestruzzo: C25/30 (ex RcK300) ⤍ σAMM. = 97,50 daN/cm2

Acciaio: B450 C (ex FeB44K) ⤍ σAMM. = 2600 daN/cm2

La base della trave:

b = 30cm

Dalle tabelle assumiamo α = 0,231 (µ = 0,4) da cui ricaviamo il valore dell’altezza utile della trave utilizzando il

valore di momento numericamente più grande:

d = 0,231* √ 239,58*104/30 = 65,30cm

Assumeremo una sezione 30x70cm, con d = 67cm e quindi cf = 3cm

Ovviamente, la stessa sezione risulterà verificata con i momenti positivi essendo questi numericamente di valore

inferiore.

α = 67/RAdQ (154,13*104/30) = 67/226,66 = 0,295 (i valori di σ nel cls sono decisamente inferiori: σc ≈ 72daN/cm

2)

Verifichiamo al taglio:

τmax = 181,50*102 / 0,9*30*67 = 10,03daN/cm

2 > τco (necessita specifica armatura integrativa al taglio)

ARMATURA LONGITUDINALE

Sezione in B )

As = 239,58*104 / 0,9*67*2600 = 15,28cm

2 (sup)

A’s = 0,6*15,28 = 9,168cm2 (inf)

Sezioni in campata AB_BC )

As = 154,13*104 / 0,9*67*2600 = 9,83 cm

2 (inf)

Sezione in A e C )

As = 96*104 / 0,9*67*2600 = 6,12cm

2 (sup)

ARMATURA TRASVERSALE (STAFFE)

(1° procedimento)

Disegniamo il diagramma con l’andamento delle tensioni tangenziali (per simmetria rappresentiamo mezza trave):

Le tensioni tangenziali si annullano per T = 0

x = 108,90/44 = 2,475m

Abbiamo bisogno del valore del taglio in A


19

τ A = 108,90*102 / 0,9*30*67 = 6,02 daN/cm

2 ≈ τco

Da cui possiamo ricavare il diagramma delle τ rispetto al quale, imponendo la similitudine dei triangoli ricaviamo ΔX

10 : 412,5 = 6 : x ⤍ x = 247,5cm

Da cui ricaviamo ΔX

ΔX = 412,5 - 247,5 = 165cm

Calcoliamo lo scorrimento:

S = b*ΔX *(τc1 + τmax) / 2

S = 30*165*(10+6)/2 = 30*165*8 = 39600daN

E quindi l’area delle staffe da introdurre:

As = S /σs

As = 39600 /2600 = 15,23cm2

(da distribuire all’interno del tratto di 1,65m di trave)

(2° procedimento)

�� = EFGHHH,I ·J·K�

As = 181,50*102*10

2/0,9*67*2600 = 11,57cm

2 (da distribuire all’interno del 1m di trave)

Considerando che la trave si innesta su di un pilastro 30x30 possiamo spuntare 15cm rispetto agli interassi e disporre

le staffe per 150cm partendo dal filo del pilastro

AST = 11,57*1,5 = 17,35cm2 (da ripartire su di un tratto ΔX=1,50m)

N.B. la differenza tra i due metodi è trascurabile, il secondo risulta “ a favore di sicurezza” e si impiega meno tempo

Schema armature Longitudinali

A AB B BC C

superiore 2Ø20 2Ø20 5Ø20 2Ø20 2Ø20

inferiore 2Ø20 4Ø20 4Ø20 4Ø20 2Ø20


20


21

PRESSOFLESSIONE RETTA

Pressione eccentrica

La possibilità che il carico agente su di un asta compressa sia effettivamente centrato è una semplificazione che la

normativa rende praticabile in alcuni casi particolari ed a prezzo di una riduzione della resistenza del materiale del

30%. Nella generalità dei casi a cui si riconduce il problema dell’equilibrio di una sezione caricata in modo eccentrico

siamo alle prese con due casi:

• PICCOLA ECCENTRICITA’ – quando l’eccentricità è contenuta all’interno del nocciolo d’inerzia della sezione

“omogeneizzata”

• GRANDE ECCENTRICITA’ – quando l’eccentricità risulta esterna al nocciolo di inerzia

N.B limitiamo lo studio al caso della pressoflessione retta di una sezione rettangolare

Quando la risultante dei carichi che precedono la sezione risulta all’interno del campo definito dal nocciolo di inerzia si

verifica che in nessuna zona della sezione sono presenti fibre indotte a trazione (sezione parzializzata) .

Quando la risultante dei carichi che precedono la sezione risulta all’esterno del campo definito dal nocciolo di inerzia

si verifica che parte della sezione risulta parzializzata essendo in quell’ambito le fibre sollecitate a trazione.

La ricerca degli estremi del nocciolo di inerzia si ottengono attraverso le formule della scienza delle costruzioni:

cs = Wx / (Ac+n*As)

cz= Wy / (Ac+ n*As)

In assenza di un calcolo esatto degli estremi di nocciolo e nella ipotesi di distribuzione simmetrica delle armature

A’s=As è possibile individuare cs e cz con una formula approssimata:

cz= b/5,6

si ha il caso di piccola eccentricità quando: L M N Dove: O � O +

∑

∑


22

L’equazione di equilibrio alla pressoflessione è analoga a quella per le sezioni omogenee. Applicando il principio di

sovrapposizione degli effetti abbiamo (nel caso di pressoflessione retta):

�� · �� P � · OQ!

Per progettare la sezione nel “campo delle piccole eccentricità” si deve porre la condizione: M O Quando l’eccentricità coincide con l’estremo di nocciolo ( c = e ) sul lembo esterno della sezione si avrà tensione nulla:

�� · �� · OQ!

� 0

Dividiamo tutto per N e moltiplichiamo tutto per (Ac+n*As )

1 � R� · �� · ��SQ!

� 0

� � Q!�� · ��

Q! � T! � - · D�12 � � · ∑ � · �

L’equazione possiede molte incognite, i n genere si assume per la sezione la h e per la A il valore della trave contigua (

la pressoflessione si ha generalmente nei telai in cui la continuità tra pilastri e travi rende uguali i momenti di incastro)

A questo punto l’unica incognita è data dalla base.

ES1

Verifica di una sezione presso inflessa nel campo delle piccole eccentricità:

Dati: N = 2000KN ; M = 300KNm; As= As’ = 35cm2 (µ = 1) ; RcK 250; FeB38K; h = 100cm; b = 50cm

Procedura:

a) Verifica della eccentricità:

O � )� � 3002000 � 0,15� ; Q! � 50 · 100�12 � 15 · �35 · 45�� · 250 � 41666,66 � 212625050 � 125858,33��

cs = Wx/(Ac+n*As) = 125858,33/50*100 + 15*35*2 = 125858,33/6050 = 20,8cm > e (piccola eccentricità)

b) formule di verifica:

1� �� · ��

P )Q!

/ � ��.

2� �� · ��

/ 0,7 · ��.

Sostituendo:

�� 2000006050 � 30 · 10�125858,33 � 57 ��


23

�� 2000006050 � 33 ��

La sezione è verificata

si ha il caso di grande eccentricità quando: L T N Nel caso della grande eccentricità la sezione risulta parzializzata (una parte delle fibre del calcestruzzo è soggetta a

trazione), non si può applicare il principio di sovrapposizione degli effetti (P.S.E.).

Con riferimento allo schema in figura si scrivono le equazioni di equilibrio:

C – T – N = 0 ⤍ equilibrio alla traslazione

N* ( e+m) = C*t ⤍ equilibrio alla rotazione

Queste due equazioni contengono un numero eccessivo di incognite (sistema iperstatico) occorre fare un ipotesi di

congruenza per introdurre una equazione in modo da rendere risolvibile il sistema di equazioni.

Ricorrendo all’ipot.5 (conservazione delle sezioni piane) si può descrivere con legge lineare l’andamento delle

deformazioni unitarie lungo lo sviluppo della sezione:

εcIy = (εs+εc) I d

Sostituiamo alla deformazione il suo valore (metodo delle forze) ��

U � 1��

� ��

2 U �

Moltiplichiamo tutto per Ea e otteniamo:

� · �� U � �� · �� U � Esplicitando rispetto ad y:

� � · � · �� · ��

Torniamo alle equazioni di equilibrio ed aggiungiamo l’equazione di congruenza


24

!"#"$ �� · - · 2 � �� · �� · - · 2 · '� � 3( � � · �O � ��

� � · � · �� · �� *"+",

Nelle equazioni in c.a., noto il valore delle tensioni nel cls si può conoscere il valore della tensione dell’acciaio

attraverso la congruenza, dalla terza equazione si esplicita la σa

�� · �� · � � · � · ��

�� · �� · ��

Sostituendo il valore nella prima equazione:

�� · - · 2 � V� · �� · �� W · �� Moltiplichiamo tutto per y:

· V�� · - · 2 W � · X� · �� · �� Y · �� ·

�� · X- · �2 � � · �� · �� Y � � ·

Il termine da parentesi è il momento statico della sezione calcolato rispetto all’asse neutro:

σc * Sn = N * y

Da cui si ricava:

1. OZ[�\. > �� · ]�

Scriviamo l’equilibrio alla rotazione rispetto all’asse neutro (meccanicamente equivalente alla seconda equazione)

� 畣 · - · 2 · 2 · 3 � �� · �� · �� · � � [�

Sostituiamo l’equazione di congruenza e moltiplichiamo ambo i membri per y:

�� · - · �3 � � · �� · �� · �� · �� · � � [� ·

�� · �.� � .�� · · � � [�

�� · . 〱 � � · · � � [�

Dividiamo la seconda equazione con la prima equazione:

�� · .�� · ]�

� � · · � � [�� ·

Otteniamo infine la seconda equazione:


25

2. OZ[�\. > .�]�

� � � [�

La terza equazione consente di calcolare l’area della armatura in zona tesa:

3. OZ[�\. > �� 1�� · - · 2 2 � ��.

Combinando le tre equazioni di equilibrio con le nuove notazioni è possibile risolvere i problemi di verifica e di

progetto.

N.B. Le tre equazioni possono essere utilizzate per costruire un foglio di calcolo in grado di risolvere per tentativi il

problema di verifica di una sezione presso inflessa in c.a. La sequenza del calcolo può essere la seguente:

.�]�

� � � [�

Consente di determinare la posizione dell’asse neutro per tentativi: noto u si assume

arbitrariamente y, si determina il rapporto J/S , si sottrae la y , se i termini si uguagliano il

valore della y è quello giusto �� · ]�

Consente di determinare la tensione max nel calcestruzzo, applicando la y ed il valore del

momento statico determinati nel passo precedente

�^ � 1�� · - · 2 2 � ��.

Consente di determinare l’area della armatura in zona tesa quando è nota la tensione

massima nelle fibre compresse

Metodo approssimato di Wuckowski

In alternativa al metodo visto in precedenza si può applicare il metodo di Wuckowski che consiste in un artificio

mediante il quale si riconduce il dimensionamento a quello di una trave inflessa. A questo proposito è possibile usare il

prontuario (TAB. C.A.14 pag.394)

Con riferimento alla figura, essendo l’eccentricità di notevole entità, ne possiamo dedurre che per la trave risulterà , ai

fini della stabilità, maggiormente influente l’azione flettente rispetto all’azione dello sforzo normale.

Si suppone che , oltre alla forza eccentrica N, agiscano , in corrispondenza dell’armatura tesa due forze P1 e P2

opposte, uguali fra loro ed alla forza N;

Per la validità del PSE, il nuovo sistema è equivalente al precedente e la sezione risulta soggetta alla coppia N - P2 con

momento M = N x d*

ed allo sforzo normale P1 che agisce nel baricentro delle armature tese.

Il procedimento consiste nel calcolo dell’area della armatura tesa di una trave inflessa con armatura doppia, dalla

quale si deve detrarre l’area della armatura compressa.

Il procedimento (di tipo empirico iterativo) prevede i seguenti passi:

a) si fissano le dimensioni h e b;

b) si calcola l’eccentricità e = M/N e quindi il momento equivalente M* = N x (e+h/2+c)

c) si calcola α dalle tabelle (µ=0,4 è a favore di sicurezza rispetto ad un impiego simmetrico delle armature)

d) si calcola l’area della armatura a trazione come per le travi inflesse a doppia armatura

e) l’area dell’armatura tesa si depura della parte destinata alla compressione


26

ES2

Progetto di una sezione presso inflessa nel campo delle grandi eccentricità:

dati: N=150000daN; M = 90000daNm; h = 100cm; RcK 250; FeB44K

Sono incognite:

a) la larghezza della trave;

b) l’armatura in zona tesa

n.b la presenza dell’acciaio in zona compressa si trascura a favore di sicurezza

Calcolo della eccentricità:

e = 90*105/150*10

3 = 60cm

Considerando che l’eccentricità è piuttosto modesta se ne può dedurre che la trazione da assorbire in zona tesa sia

bassa. Assumiamo per l’acciaio un valore della tensione di esercizio comodamente inferiore a quella ammissibile: ad

esempio (1600daN/cm2) per il calcestruzzo si impone la tensione ammissibile (85daN/cm

2) .

Ricaviamo in questo modo la posizione dell’asse neutro utilizzando l’equazione di congruenza (terza equazione nella

parentesi):

� 95 · 15 · 8515 · 85 � 1600 _ 42�

Considerando la figura, calcoliamo il braccio della coppia:

t = 95- 42/3 = 81cm

Facciamo l’equilibrio rispetto alle fibre tese:

C*t = (d+u) *N ⤍ u = e – h/2

Ricaviamo la risultante di compressione:

C = (95+10)*150*103/81 = 194445daN

Ma C è anche uguale a:

% � �� · - · 2

Da cui ricaviamo b:

194445 = b*85*42/2 ; b = 194445/1785 = 108cm; si adotta una sezione 100x110cm

Per l’armatura possiamo porre:

�� % � ��

� 194445 � 1500002600 � 16,6�� `aab��` 6c20 � 6c20�

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CLASSE 5 D APPUNTI DAL CORSO DI COSTRUZIONI PROGETTO E … · 2018-10-13 · I.t.g . Guarino Guarini di Modena - CORSO DI COSTRUZIONI – prof. STEFANO CATASTA – a.s. 2010-2011