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1
PARTE I: MEDIDAS NA CIRCUNFERÊNCIA
NOÇÕES DE TRIGONOMETRIA
A Trigonometria foi descoberta entre os gregos (300 a.C.), para resolver problemas de Astronomia Pura. Suas primeiras aplicações práticas ocorreram só com Ptolomeu (150 d.C.), o qual, além de continuar aplicando-a nos estudos astronômicos, a usou para determinar a latitude e longitude de cidades e de outros pontos geográficos em seus mapas.
Do mundo grego, a Trigonometria passou para a Índia (400 d.C.), onde era usada nos cálculos astrológicos (ainda eram problemas de Astronomia). Em aproximadamente 800 d.C. ela chegou ao mundo islâmico, onde foi muito desenvolvida e aplicada na Astronomia e Cartografia. Por cerca de 1100 d.C. a Trigonometria chegou, junto com os livros de Ptolomeu, à Europa Cristã. Com os portugueses da Escola de Sagres a Trigonometria encontrou uma aplicação de enorme valor econômico na navegação oceânica.
As aplicações da Trigonometria até. 1 600 d.C. :
- Astronomia
- Cartografia
- Navegação Oceânica
Todas essas aplicações tratavam de problemas de Trigonometria Esférica e nada
tinham a ver com problemas de agrimensura ou topografia. É também importante
observar que até 1600 d.C. a Trigonometria estava num estágio bastante desenvolvido,
em muito ultrapassando o que é hoje ensinado no segundo grau.
ARCO DE CIRCUNFERÊNCIA
A circunferência abaixo está dividida em duas partes, sendo cada uma denominada arco de
circunferência, ou simplesmente, arco.
CÁLCULO DIFERENCIAL E
INTEGRAL E AGORA?
Conforme nosso Plano de Ensino e
Aprendizagem, vamos manipular algumas
noções envolvendo as funções
trigonométricas, sendo este um conteúdo
já estudado por muitos no Ensino
Fundamental e trabalhado de forma mais
complexa no Ensino Médio.
2
Os pontos A e B são chamados extremidades dos arcos.
Para representar um arco e poder diferencia-lo do outro procedemos da
seguinte maneira:
Arco AQB: BQA
Arco ARB: BRA
A figura ao lado representa o ângulo central BOA ˆ , sendo a medida do arco ,
neste material iremos expressar a medida utilizando o grau(º) já estudado no Ensino
Fundamental e o radiano(rad), que iremos estudar.
arco de 90º arco de 180º arco de 270º arco de 360º
Os submúltiplos do grau (º) são:
O minuto (‘);
O segundo (‘’)
A
B
O
A
B
A
B
Q
R
Um arco que coincidir com o diâmetro será
denominado semicircunferência, caso o ponto A
coincida com o ponto B, vamos chamá-lo de arco
nulo ou arco de uma volta.
Se dividirmos a circunferência acima, em 360
partes, cada uma dessas partes é um arco de 1º (lê-
se: um grau), isso significa que a circunferência tem
360 graus.
3
arco de rad2
arco de rad arco de rad2
3 arco de rad2
Assim podemos comparar as medidas em grau e em radianos.
O A
B
r
r
1 rad
raio
rad2
º90
rad2º360
rad2
3º270
radº180
Podemos também medir o ângulo utilizando
radiano, que é um arco cujo comprimento é igual
à medida do raio da circunferência que o
contém. Indicamos, abreviamente por (rad).
4
EXEMPLO 1: Vamos expressar 120º em radianos.
Podemos estabelecer:
grau radiano
180 _______________
.rad
120 _______________ x
Assim temos:
EXEMPLO 2: Vamos expressar rad3
1 em graus
Podemos estabelecer:
grau radiano
180º _______________
x _______________
3
1
Assim temos:
EXERCÍCIO:
1) Expresse em radianos as medidas dos ângulos abaixo: a. 20º b. 30º c. 45º d. 60º e. 135º f. 300º g. 330º h. 245º
2) Expresse em graus.
a. rad3
2
b. rad3
4
c. rad2
2
d. rad5
4
radradx
radx
.3
2.
180
120
.120180
º60º.60
3
1º.180.
x
x
Você vai resolver
utilizando a regra
de três simples.
5
COMPRIMENTO DA CIRUICNFERÊNCIA E DO ARCO.
EXEMPLO1: Determine o comprimento de uma circunferência que tem raio igual a 4cm.
C = 2..r C = 2. . 4 = 8..cm
Para determinar o comprimento m do arco acima devemos proceder utilizando a seguinte regra de três:
Ângulo Comprimento
360º _______________
2..r
_______________ m
EXEMPLO 2: Numa circunferência de raio r=30cm, qual é o comprimento de um arco que subtende um ângulo
central de 60º? Considere =3,14.
Ângulo Comprimento
360º _______________
2..r=2.3,14.30=188,4
60º _______________ m
r
O
m
A
B
r
r
cmm
m
4,31360
11304
60.4,188360
A medida C do comprimento da
circunferência é dada por: C=2..r
6
EXERCICIO
3) Determine o comprimento do arco de uma circunferência de raio r=60cm para o ângulo dê: a. 30º b. 45º c. 90º d. 120º e. 150º
4) Determine o comprimento dos arcos abaixo:
CICLO TRIGONOMÉTRICO
O
A
B
C
E
D F
p
n
m
2cm 3cm 4cm
rad4
x
y
A(1, 0)
(+)
(-)
r =1
(II) (I)
(III) (IV)
Vamos fixar no centro da circunferência um
sistema de coordenadas cartesianas
ortogonais, como mostra a representação
abaixo.
7
O raio da circunferência orientada acima é chamado de raio unitário, pois seu valor é igual a 1 unidade,
cujo sentido anti-horário é o positivo, ela também fica dividida em quadrantes conforme separado acima ( I, II,
III e IV). Apresentando as seguintes extremidades:
Assim se um arco mede graus, a expressão geral dos arcos côngruos a ele é:
º360.k , com k Z
Em radianos temos:
..2 k , com k Z
EXEMPLO: Um móvel, partindo de um ponto fixo percorre um arco de 1735º na circunferência trigonométrica.
Quantas voltas completas deu e em que quadrante parou?
1735º 360º
-1440º 4
295º
O móvel deu 4 voltas completas no sentido anti-horário e percorreu mais 295º, como 270º<295º<360º, o
móvel parou no 4º quadrante.
EXERCÍCIO
5) Quantas voltas completas dá e em que quadrante pára um móvel que, partindo da origem dos arcos, percorre, na circunferência trigonométrica, um arco de:
a. 1540º b. 980º c. 800º d. 2130º
rad2
º90
rad2º360
rad2
3º270
radº180
Podemos perceber que em uma circunferência existe
uma infinidade de arcos congruentes, pois se tivermos um
arco de 60º e somarmos um arco de uma volta, ou seja,
360º obteremos um arco de 420º, que dizemos ser
congruente ao arco de 60º, já que na circunferência ele cai
no mesmo ponto.
8
e. rad
3
12
f. rad
4
25
g. rad
6
31
h. rad
8
17
PARTE II: RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO CICLO E GRÁFICOS
SENO E COSSENO DE UM ARCO
Consideremos o ciclo trigonométrico abaixo e o ponto M, que é imagem do argumento da razão
trigonométrica. (Argumento: ângulo da razão trigonométrica).
Desta circunferência podemos visualizar o triângulo OM’M, e determinar as razões já estudadas:
''sen''1
'''sen OMOM
OM
OM
MM
Ox (cosseno)
y (seno)
M
r = 1
M''
M'
As razões seno, o cosseno e a tangente no triângulo
retângulo segundo seus ângulos agudos, já são
conhecidas por muitos. Agora vamos começar a trabalhar
com essas razões e outras que derivam desta, mas com
ângulos superiores a 90º.
9
'cos'1
''cos OMOM
OM
OM
OM
Vamos analisar o ciclo trigonométrico abaixo:
Podemos verificar que a razão seno no 1º e 2º quadrante é positiva e no 3º e 4º quadrante negativa, já a
razão cosseno no 1º e 4ºquadrante é positiva e no 2º e 3º negativa.
y (seno)
x (cosseno)
0
+1
y (seno)
x (cosseno)-1
+1
-1
30º
45º
60º
2
3
2
2
2
1
2
3
2
2
2
1
10
EXEMPLO 1: Calcule o valor de sen 810º.
Primeiro devemos dividir o argumento da razão por 360º:
810º 360º
-720º 2
90º
Obtermos:
810º=90º+2.360º
Então: sen 450º =sen 90º =1
EXEMPLO 2: Calcule o valor de cos 13.
Primeiro devemos dividir o argumento da razão por 2:
13 2
-12 6
Agora você poderá utilizar a tabela acima para
efetuar o cálculo de várias atividades que serão
propostas na sequência inclusive no seu PLT de
cálculo. Vamos lá?
11
1
Obtermos:
13=1+6.2
Então: cos 13 = cos 1 = -1 (1 se encontra na fronteira entre o II e III quadrante)
EXERCÍCIO
6) Determine o valor de:
a) sen 900º b) sen 1620º c) sen (-900º) d) sen 765º e) sen (-2130º) f) sen 3600º g) cos 450º h) cos 1620º
i) cos 11 j) cos (-900º)
k) cos 3,5
REDUÇÃO AO PRIMEIRO QUADRANTE
Analisando o ciclo trigonométrico acima, dois arcos suplementares ( e 180º-) têm senos iguais e cossenos simétricos. EXEMPLO: Determine o seno e cosseno de 120º.
Como 120º está no 2º quadrante, para reduzir ao primeiro quadrante podemos igualar a 180º-:
180º- = 120º - = 120º - 180º - = -60º = 60º
Como os senos do 2º quadrante são iguais aos do 1º quadrante: sen120º = sen60º =
2
3
cos
sen
180-
Para relacionar as razões trigonométricas do arco de qualquer quadrante para o primeiro quadrante, podemos
utilizar a simetria, conforme articulado abaixo. Perceba que a nossa tabela é composta principalmente pelos valores presentes no primeiro quadrante, assim tal procedimento
ajudará enormemente os nossos trabalhos.
12
Como os cossenos do 2º quadrante são simétricos aos do 1º quadrante: cos120º = -cos60º = -
2
1
EXERCÍCIO
7) Determine o valor do seno e cosseno dos ângulos abaixo a. 510º b. 150º c. 135º d. 1200º
e. rad4
3
f. rad3
8
Analisando o ciclo trigonométrico acima, os arcos ( e 180º+) têm senos e cossenos simétricos. EXEMPLO: Determine o seno e cosseno de 210º.
Como 210º está no 3º quadrante, para reduzir ao primeiro quadrante podemos igualar a 180º+:
180º+ = 210º = 210º - 180º = 30º = 30º
Como os senos do 3º quadrante são simétricos aos do 1º quadrante: sen210º = -sen30º = -
2
1
Como os cossenos do 3º quadrante são simétricos aos do 1º quadrante: cos210º = -cos30º = -
2
3
EXERCÍCIO
8) Determine o valor do seno e cosseno dos ângulos abaixo a. 600º b. 240º c. 225º d. 1290º
e. rad3
4
cos
sen
180º+
cos
sen
360-
13
Analisando o ciclo trigonométrico acima, os arcos ( e 360º-) têm senos simétricos e cossenos iguais. EXEMPLO: Determine o seno e cosseno de 300º.
Como 300º está no 4º quadrante, para reduzir ao primeiro quadrante podemos igualar a 360º-:
360º- = 300º - = 300º - 360º - =-60º = 60º
Como os senos do 4º quadrante são simétricos aos do 1º quadrante: sen300º = -sen60º = -
2
3
Como os cossenos do 4º quadrante são iguais aos do 1º quadrante: cos300º = cos60º =
2
1
EXERCÍCIO
9) Determine o valor do seno e cosseno dos ângulos abaixo a. 690º b. 330º c. 315º d. 1380º
e. rad3
5
10) Calcule seno e cosseno dê:
a. 150º b. 240º
c. rad6
5
d. rad4
19
Você percebeu que as noções trigonométricas são
conteúdos importante e também extenso, assim não
é possível resgatar ou ensinar em apenas algumas
aulas, assim descrevo alguns endereços que serão
importantes para o desencadeamento de algumas
dúvidas:
http://www.youtube.com/user/matusalemmartins
14
-1
1
x
y
-1
1
x
y
0
GRÁFICO DA FUNÇÃO SENO E COSSENO
y = senx
O gráfico da função seno é chamado de senóide e a partir deste gráfico podemos concluir:
O domínio da função y = senx é o conjunto dos números reais, isto é, D = R.
A imagem da função y = senx é o intervalo [-1; +1].
A partir de 2 a função assume o mesmo valor, assim o período da função é p = 2;
y = cosx
O gráfico da função cosseno é chamado de cosssenóide e a partir deste gráfico podemos concluir:
O domínio da função y = cosx é o conjunto dos números reais, isto é, D = R.
A imagem da função y = cosx é o intervalo [-1; +1].
O período da função é p = 2;
2
2
3 2
2
2
3 20
Vamos estudar a função seno (y=senx) e cosseno (y=cosx), no
intervalo [0, 2], como segue:
15
0
y
x
2
-2
EXEMPLO: Vamos construir o gráfico da função y = 2.senx, dando o domínio, a imagem e o período.
Vamos tabelar alguns valores:
x senx 2.senx y
0
0 2.0=0 0
2
1 2.1=2 2
0 2.0=0 0
2
3
-1 2.(-1)=-2 -2
2
0 2.0=0 0
Observando temos: D = R, Im=[-2, 2] e p = 2 EXERCÍCIO: 11) Construa o gráfico da função y=2+senx, dando o domínio, a imagem e o período.
12) Construa o gráfico da função y=cos
2
x , dando o domínio, a imagem e o período.
13) Construa o gráfico (um período completo) das seguintes funções, dando o domínio, a imagem e o período. a. y=3.senx b. y=2-senx
c. y=sen(x-
2
)
d. y=2.sen
4
x
14) Esboce em um período, o gráfico das seguintes funções:
a. y=-cosx
b. y=3.cos
2
x
c. y=5+cosx d. y=2.cosx
2
2
3 2
16
O A cos
sen
TM
M'
M''
eixo das tangentes
O A cos
sen
-1
+1
eixo das tangentes
TANGENTE DE UM ARCO E GRÁFICO DA FUNÇÃO
Observe a circunferência abaixo e o arco AM.
Definimos como tangente do arco AM a ordenada do ponto T.
Assim o eixo paralelo ao eixo das ordenadas, orientado para cima e com origem A é chamado eixo das
tangentes.
tgAT
cos
sen
Agora vamos analisar o ciclo trigonométrico segundo a razão tangente.
ATtg
17
Podemos verificar analisando o ciclo trigonométrico acima que a tangente no 1º e 3º quadrante são
negativas, já a razão tangente no 2º e 4º quadrante é negativa.
EXEMPLO 1: Calcule o valor de tg 810º.
Primeiro devemos dividir o argumento da razão por 360º:
810º 360º
-720º 2
90º
Obtemos:
810º=90º+2.360º
Então: tg 810º =tg 90º =Não existe
EXEMPLO 2: Calcule o valor de tg 13.
Primeiro devemos dividir o argumento da razão por 2:
13 2
-12 6
1
Obtermos:
13=1+6.2
Então: tg 13 = tg 1 = 0 (1 se encontra no 2º quad. onde a tg é nula)
18
O A cos
sen
-1
+1
eixo das tangentes
180-
EXERCÍCIO
15) Determine o valor de:
a) tg 900º b) tg 1620º c) tg (-900º) d) tg 765º e) tg (-2130º) f) tg 3600º g) tg 450º
REDUÇÃO AO PRIMEIRO QUADRANTE
Analisando o ciclo trigonométrico acima, dois arcos suplementares ( e 180º-) tangentes simétricas. EXEMPLO: Determine a tangente de 120º.
Como 120º está no 2º quadrante, para reduzir ao primeiro quadrante podemos igualar a 180º-:
180º- = 120º - = 120º - 180º - = -60º = 60º
Como a tangente do 2º quadrante é simétrica a do 1º quadrante: tg120º = - tg 60º = - 3
Para relacionar as razões trigonométricas
(tangente) do arco de qualquer quadrante
para o primeiro quadrante, podemos utilizar
a simetria, conforme segue:
19
EXERCÍCIO
16) Determine o valor da tangente dos ângulos abaixo a. 510º b. 150º c. 135º d. 1200º
e. rad4
3
f. rad3
8
Analisando o ciclo trigonométrico acima, os arcos ( e 180º+) temos a tangente do 3º quadrante igual ao do 1º quadrante.
EXEMPLO: Determine a tangente de 210º.
Como 210º está no 3º quadrante, para reduzir ao primeiro quadrante podemos igualar a 180º+:
180º+ = 210º = 210º - 180º = 30º = 30º
Como a tangente do 3º quadrante é igual ao do 1º quadrante: tg 210º = tg 30º =
3
3
EXERCÍCIO
17) Determine o valor da tangente dos ângulos abaixo a. 600º b. 240º c. 225º d. 1290º
e. rad3
4
O A cos
sen
-1
+1
eixo das tangentes
180º+
20
O A cos
sen
-1
+1
eixo das tangentes
360º-
Analisando o ciclo trigonométrico acima, os arcos ( e 360º-) temos que a tangente do 4º quadrante é simétrico a tangente do 1º quadrante. EXEMPLO: Determine a tangente de 300º.
Como 300º está no 4º quadrante, para reduzir ao primeiro quadrante podemos igualar a 360º-:
360º- = 300º - = 300º - 360º - =-60º = 60º
Como os senos do 4º quadrante são simétricos aos do 1º quadrante: tg 300º = -tg 60º = - 3
EXERCÍCIO
18) Determine o valor tangente dos ângulos abaixo a. 690º b. 330º c. 315º d. 1380º
e. rad3
5
19) Calcule tangente dê: a. 150º b. 240º
c. rad6
5
d. rad4
19
21
0 x
y
GRÁFICO DA FUNÇÃO TANGENTE
Vamos estudar a função tangente (y=tg x), no intervalo [0, 2], como segue:
y = tg x
O gráfico da função tangente é chamado de tangenóide e a partir deste gráfico podemos concluir:
O domínio da função y = tg x é o conjunto dos números reais, isto é,
D ={x I x
k2
, k }
A imagem da função y = tg x é o intervalo [-∞; +∞].
O período da função y = tg x é p =
EXEMPLO: Vamos construir o gráfico da função y = 2.tgx, dando o domínio, a imagem e o período.
Vamos tabelar alguns valores:
x tg x 2.senx y
0
0 2.0=0 0
6
3
3
3
3.2 =
3
32
3
32
4
1 2.1=2 2
3
3 2. 3 =2 3 2 3
2
NÃO EXISTE
- -
0 2.0=0 0
2
3
NÃO EXISTE
- -
2
0 2.0=0 0
2
2
3
22
Observando temos: D ={x I x
k2
, k }, Im=[-∞; +∞]. e p =
EXERCÍCIO: 20) Construa o gráfico da função y=2+ tg x.
21) Construa o gráfico da função y=tg
2
x .
22) Construa o gráfico (um período completo) das seguintes funções.. a. y=3.tg x b. y=2-tg x
c. y=tg(x-
2
)
d. y=2.tg
4
x
23) Esboce em um período, o gráfico das seguintes funções:
a. y=-tg x
b. y=3.tg
2
x
c. y=5+tg x d. y=2.tg x
EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Quando encontramos função trigonométrica da
incógnita ou função trigonométrica de alguma função da
incógnita em pelo menos um dos membros de uma
equação, dizemos que esta equação é trigonométrica.
23
sen
Equações do tipo:
sen x = m e cos x = m
EXEMPLOS: Vamos resolver sen x =
2
3 no intervalor de 0 a 2.
Para determinar o valor do argumento (x) primeiro marcamos no eixo das ordenadas o valor 2
3 , depois
podemos traçar pelo ponto do valor acima uma reta paralela ao eixo das abscissas, podemos então perceber
que os valores de x, que é solução da equação, são as medidas dos arcos cujas extremidades são os pontos
de intersecção da reta paralela ao eixo das abscissas com a circunferência. Obtemos esses valores verificando
a tabela já trabalhada, na linha do seno e na coluna onde temos o valor 2
3 . Portanto temos dois valores 60º
( rad3
) para o primeiro quadrante ou 120º ( rad
3
2) para o segundo quadrante, já que estamos estudando
o intervalo de 0 a 2.
sen x =
2
3 é S = {
3
,
3
2}
EXERCÍCIOS
24) Resolva as equações trigonométricas abaixo no intervalo 0 x 2
a) sen x = -2
1
b) cos x = 2
3
c) cos x = -2
1
d) tg x = 3
e) tg x = -
3
3
f) sen x = 2
2
2
3
24
g) cos x = -2
2
h) tg x = 1
25) Resolva as equações:
a) cos 5x = 1 b) sen 3x = -1
c) sen (3x-) = 2
1
d) 2sen2x-5senx+3=0
e) tg 3x = 1
f) tg (x-3
)=1
g) tg 2x =
3
3
h) tg 3x = - 3
COTANGENTE DE UM ARCO
O A
M
y (seno)
x (cosseno)M'
M''
B eixo dascotangentes
C
Analisando o ciclo trigonométrico e o arco AM
de ângulo , assim o ponto C, que é intersecção
de OM com o eixo das tangentes, definimos
então cotangente do arco AM de ângulo a
medida algébrica do segmento BC como mostra
abaixo:
25
Indicamos: cotg = BC.
Podemos escrever também:
2,
1cot
k
tgg
Vejamos os sinais de cotg em cada quadrante:
1º QUADRANTE
2º QUADRANTE
y (seno)
x (cosseno)
eixo dascotangentes
C
(+)
y (seno)
x (cosseno)
eixo dascotangentes
C
(-)
26
3º QUADRANTE
4º QUADRANTE
EXEMPLOS:
Calcule o valor de cotg 1620º.
Primeiro devemos dividir o argumento da razão por 360º:
1620º 360º
-1440º 4
180º
Obtemos:
16200º =180º + 4.360º
y (seno)
x (cosseno)
eixo dascotangentes
C(+)
y (seno)
x (cosseno)
eixo dascotangentes
C (-)
27
O A
M
y (seno)
x (cosseno)S
D
M'
M''
Então: cotg 180º =
º180
1
tg =Não existe
EXERCÍCIOS
26) Calcule: a. cotg 60º b. cotg 135º c. cotg 210º d. cotg 990º e. cotg 1440º
f. cotg 12
g. cotg 7 h. cotg (-1410º)
SECANTE E COSSECANTE DE UM ARCO E GRÁFICO DA FUNÇÃO
Considere o ciclo trigonométrico
da figura abaixo:
28
Traçando uma reta tangente à circunferência pelo ponto M, interceptando o eixo das
abscissas no ponto S e o eixo das ordenadas no ponto D.
Da figura, definimos sec = OS e cossec = OD.
Podemos obter também:
com cos 0 e
seccossen
1OD com sen 0 e
EXERCÍCIOS
27) Calcule a secante e cossecante dos seguintes ângulos: a. 60º b. 135º c. 210º d. 990º e. 1440º
f. 12
g. 7 h. -1410º
RESPOSTA DOS EXERCÍCIOS
1)
a)
9
1 rad
b)
6
1 rad
c)
4
1 rad
d)
3
1 rad
e)
20
15 rad
f)
3
5 rad
g)
6
11 rad
h)
36
49 rad
2)
a) 120º b) 240º
seccos
1OS
29
c) 180º d) 144º
3)
a) 31,4 cm b) 47,1 cm c) 94,2 cm d) 125,6 cm e) 157cm
4)
m = 1,57 cm
n = 2,355 cm
p = 3,14 cm
5)
a) 4 voltas e 2º quadrante b) 2 voltas e 3º quadrante c) 2 voltas e 1º quadrante d) 5 voltas e 4 quadrante e) 2 voltas f) 3 voltas e 1º quadrantes g) 2 voltas e 3º quadrantes h) 1 volta e 1º quadrante
6)
a) 0 b) 0 c) 0
d) 2
2
e) 0,5 f) 0 g) 0 h) –1 i) –1 j) –1 k) 0
7)
sen cos
a) 21 23
b) 21 23
c) 22 22
d) 23 21
e) 22 22
f) 23 21
30
8)
sen cos
a) 23 21
b) 23 21
c) 22 22
d) 21 23
e) 23 21
9)
sen cos
a) 21 23
b) 21 23
c) 22 22
d) 23 21
e) 23 21
10)
sen cos
a) 21 23
b) 23 21
c) 21 23
d) 22 22
31
11)
D = R, Im = [1; 3] e p = 2
12)
D = R, Im = [-1; 1] e p = 4
13)
a)
D = R, Im = [-3; 3] e p = 2
x
y
-3
-2
-1
1
2
3
1,5 2
x
y
-3
-2
-1
1
2
3
1,5 2
x
y
-3
-2
-1
1
2
3
1,5 2
32
b)
D = R, Im = [1; 3] e p = 2
c)
D = R, Im = [-1; 1] e p = 2
d)
x
y
-3
-2
-1
1
2
3
1,5 2
x
y
-3
-2
-1
1
2
3
1,5 2
x
y
-3
-2
-1
1
2
3
1,5 2
33
D = R, Im = [-2; 2] e p = 4
14)
a)
D = R, Im = [-1; 1] e p = 2
b)
D = R, Im = [-3; 3] e p = 2
c)
x
y
-3
-2
-1
1
2
3
1,5 2
x
y
-3
-2
-1
1
2
3
1,5 2
x
y
-3
-2
-1
1
2
3
1,5 2
34
D = R, Im = [4; 6] e p = 2
d)
D = R, Im = [-2; 2] e p = 2
15)
a) 0 b) 0 c) 0 d) 1
e) 33
f) 0 g) não existe h) 0 i) 0 j) 0 k) não existe
16)
a) 33
b) 33
a) –1
b) 3
c) –1
d) 3
17)
a) 3
b) 3
c) 1
d) 33
e) 3
x
y
-3
-2
-1
1
2
3
1,5 2
35
18)
a) 3
b) 3
c) -1
d) 3
e) 3
19)
a) 33
b) 3
c) 33
f) –1
20)
21)
x
y
-2
-1
1
2
3
1,5 2
x
y
-2
-1
1
2
3
1,5 2
38
c)
d)
24)
a)
6
7 rad ou
6
11 rad
b)
6
1 rad ou
6
5 rad
c)
3
4 rad ou
3
2 rad
d)
3
4 rad ou
3
1 rad
e)
6
11rad ou
6
5 rad
f)
4
1 rad ou
4
3 rad
x
y
-2
-1
1
2
3
1,5 2
39
g)
4
3 rad ou
36
45 rad
h)
4
1 rad ou
36
45 rad
25)
a) 0 rad ou
5
2 rad
b)
2
1 rad
c)
18
7 rad ou
18
11 rad
d)
2
1 rad
e)
12
1 rad ou
36
15 rad
f)
12
7 rad ou
12
19 rad
g)
12
1 rad ou
12
7 rad
h)
9
2 rad ou
9
5 rad
26)
a) 33
b) –1
c) 3
d) 0 e) não existe f) não existe g) não existe
h) 3
27)
sec cossec
a) 2 332
b) 2 2
c) 332
-2
d) Não existe -1
e) 1 Não existe
f) 1 Não existe
g) -1 Não existe
h) 332
2