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Clemens Simmer
Einführung in die Meteorologie (met210)
- Teil IV: Dynamik der Atmosphäre
2
IV Dynamik der Atmosphäre
1. Kinematik– Divergenz und Rotation– Massenerhaltung– Stromlinien und Trajektorien
2. Die Bewegungsgleichung– Newtonsche Axiome und wirksame Kräfte– Navier-Stokes-Gleichung– Skalenanalyse
3. Zweidimensionale Windsysteme– natürliches Koordinatensystem– Gradientwind und andere– Reibungseinfluss auf das Vertikalprofil des Windes
Dynamische Meteorologie ist die Lehre von der Natur und den Ursachen der Bewegung in der Atmosphäre. Sie teilt sich auf in Kinematik und Dynamik im engeren Sinne
3
IV.3 Zweidimensionale Windsysteme
• Vereinfachte zweidimensionale Bewegungsgleichung• Geostrophischer Wind• Gradientwind• Zyklostrophischer Wind• Trägkeitskreis• Einfluss der Reibung• Ekman-Spirale
4
IV.3.1 Horizontale Bewegungsgleichung im natürlichen Koordinatensystem (1) einfachere Beschreibung, welche Zentrifugalbeschleunigung durch
gekrümmte Isobaren explizit enthält
Ausgangspunkt: horizontale Bewegungsgleichung ohne 2Ωwcosφ-Term
hRhhh fvkfp
dt
dv,
1
hv
s
n
dt
sdvs
s
vv
t
v
dt
sdvsv
k
n
s
v
v
v
t
v
dt
sdvsvv
t
v
dt
sdvs
dt
dvsv
dt
d
dt
vd
hh
sh
vvvv
hh
k
n
s
h
hhh
hh
hh
kn
sh
0
Effekt-KrümmungsAdvektion
Änderung.lokalzeitl
dt
sdvs
s
v
st
v
dt
vdh
hhh
2
2
?dt
sd
Übergang in natürliches Koordinaten- system
… mitProduktregel
5
IV.3.1 Horizontale Bewegungsgleichung im natürlichen Koordinatensystem (2)
:dt
sd
R
Δφ
)( 0ts
)( tts 0
Rl
nsss
ssss
s
tsttss
c)
|| b)
da , a)
)()(
1
00
s
s
n
n
R>0 R<0
nR
vn
t
l
R
ntt
s
dt
sd
h
v
ba
h
1
c
)),
dt
sdvs
s
v
st
v
dt
vdh
hhh
2
2
Bahn zur links
gungBeschleuniBahn der entlang
gungBeschleuni
nR
vs
s
v
st
v
dt
vd hh
hh
22
2
s
Δl
Achtung: Der Krümmungsradius R ist wieder so definiert, dass er bei zyklonaler Krümmung positiv ist!
6
IV.3.1 Horizontale Bewegungsgleichung im natürlichen Koordinatensystem (3)
nR
vs
s
v
st
v
dt
vd hh
hh 2
2
2
Annahmen: a) Stationarität →∂vh/∂t=0b) keine Änderung des Betrags der Windgeschwindigkeit entlang der Bahn →∂(vh
2/2)/∂s=0
nR
v
dt
vd hh 2
hRhhh fvkfpn
R
v,
12
nRhh
R,s
ffvn
p
R
vn
f s
ps
, :
:
1
10
2
Keine Reibung senkrecht zur Strömung
Reibung und Druckgradient kompensieren sich entlang der Strömung.
Zentrifugal-, Druckgradient und Coriolisbeschleunigung kompensieren sich senkrecht zur Strömung
7
IV.3.1 Horizontale Bewegungsgleichung im natürlichen Koordinatensystem (4)
Fallunterscheidung - BezeichnungenDruck-gradient
Coriolis-Beschl.
Reibung Zentrifu-galbe-schleu-ni-gung
geostrophischer W.
synoptische SystemeGradientwind
zyklostro-phischer W. Staubteufel
TrägheitskreisGrenzschichtstrahlstrom
antitriptischer W.Äquator
hh
R,s
fvn
p
R
vn
fs
ps
:
:
1
10
2
8
IV.3.2 Geostrophischer Wind
- keine Reibung- keine Zentrifugalbeschleunigung, vh
2/R=0 → R=±∞ , also gradlinige Isobaren!
n
p
fvvfv
n
pn
s
ps
ghh
11
0
10
:
Isobaren || nStromlinie :
p
p 3 p
p 2 p
p 1 p
g
T
H
n
V
f Vg
9
IV.3.3 Gradientwind (1)- keine Reibung
R
v
n
p
fvvfv
n
p
R
vn
s
ps
h
fv
Ghhh
g
22 111
10
:
Isobaren || nStromlinie :
T n s
Hn
s
g
hG
v
R
v
n
p
fv
n
p
R
211
0
0
g
hG
v
R
v
n
p
fv
n
p
R
211
0
0
Im T kompensieren Coriolis und Zentrifugalbeschleunigung gemeinsam den Druckgradient.
Im H wirkt Coriolis entgegen der Zentrifugalbeschleunigung, daher höhere Geschwindigkeit bei gleichem Druckgradient!
10
IV.3.3 Gradientwind (2)
R
v
n
p
fvvfv
n
p
R
vn
s
ps
G
fv
Ghhh
g
22 111
10
:
Isobaren || nStromlinie :
m/s ..
10000001
1010
10
114
2
R
v
fhGrößenabschätzung des
„Korrekturterms“ 1/f vh2/R:
Formale Bestimmung von vG
(quadratische Gleichung) n
pRfRfRvG
2
22
Es gibt also 2 Lösungen.Differenziert man weiter zwischen i) R>=<0 und ii) ∂p/∂n>=<0,so gewinnt man insgesamt 18 „Lösungen“ für den Gradientwind.
11
+ = - fCfP fZ
IV.3.3 Gradientwind (4)• Vor einer mathematischen Untersuchung der verschiedenen Lösungen wollen
wir erst qualitative Überlegungen anstellen.• Im Gradientwind halten sich drei parallel zueinander ausgerichtete aber quer
zur Bahn wirkende Kräfte die Waage: fP, fC, und fZ.• Mit Geschwindigkeit (und damit fC) fest gibt es vier Möglichkeiten, wie sich fP
und fZ dazu orientieren können:
fC
hv
+ = - fC
fP fZ
+ = - fC
fP fZ
+ = - fCfP fZ
T
anormalesTief
H
anormalesHoch
H
normalesHoch
T
normalesTief
hohe Druckgradientenschwache Krümmung
niedrige Druckgradientenstarke Krümmung
• Bei beiden Tiefs kann der Druckgradient bei konstanter Windgeschwindigkeit unbegrenzt zunehmen (Ausgleich über stärkere Krümmung, während Hochs hier limitiert sind.
12
IV.3.3 Gradientwind (5)
+ = - fCfP fZ
fC
hv
+ = - fCfP fZ
+ = - fCfP fZ
+ = - fCfP fZ
T
anormalesTief
H
anormalesHoch
H
normalesHoch
T
normalesTief
hohe Druckgradientenschwache Krümmung
niedrige Druckgradientenstarke Krümmung
20 40 m/s0
5x10-3 m/s²
0
|fvh|
|vh2/R|Wirbel mit R=250 km
A,B
DC
A B C D
• Die rechte Darstellung zeigt die Coriolisbeschleunigung (mit f=10-4 s1) und die Zentrifugalbeschleunigung bei einem Wirbel mit 250 km Radius.
• Hochs sind nur bis zum Kreuzungspunkt von fC und fZ möglich da fC>fZ sein muss. Mit zunehmender Geschwindigkeit nimmt dabei der Druckgradient erst zu (normales Hoch) und dann wieder ab (anormales Hoch).
• Bei hohen Geschwindigkeiten ist nur ein (normales oder anormales) Tief möglich.
• Anomale Systeme können nur durch Störungen erzeugt werden.
13
IV.3.3 Gradientwind (5)
Analyse der 2x3x3 Lösungen vonn
pRfRfRvG
2
22
• R=0 → vG=0 triviale Lösung (nur noch 12 Lösungen übrig)• ∂p/∂n=0 → vG=-fR/2±|fR/2|
R>0 → vG≤0 triviale oder unphysikalische LösungR<0 → vG=0 triviale Lösung → vG = - fR Trägheitskreis, antizyklonal Es verbleiben noch 2 x 2 x 2 = 8 Lösungen, von denen noch 4
unphysikalisch sein müssenR>0 R<0
∂p/∂n>0 +√ vG<0 anormales Tief
-√ vG<0 vG<0
∂p/∂n<0 +√ normales Tief anormales Hoch
-√ vG<0 normales Hoch
14
IV.3.3 Gradientwind (6)
Diskussionn
pRfRfRvG
2
22
• Geostrophischer Wind ist in allen Lösungen mit R=±∞ enthalten• Anormale Fälle werden auf der synoptischen Skala nicht beobachtet da
Druckgradient die primäre Bewegungsursache ist.• Anormale Fälle können nur auf sehr kleiner Skala durch Trägheitseffekte
auftreten (Staubteufel, Badewanne) • Besonderheit des Hochs:
Druckgradient muss zum Zentrum abnehmen. Hochs sind flach. Tiefs haben diese Beschränkung nicht.
Rf
n
p
n
pRRf
n
pRfR
n
pRfRfRvG
4
22
22
2
22
2
15
IV.3.4 Zyklostrophischer Wind
- keine Reibung- keine Coriolisbeschleunigung (z. B. Äquatornähe, kleiner Krümmungsradius)
chen Vorzei
setzteentgegenge und :
Isobaren || nStromlinie :
n
pR
n
p
R
vn
s
ps
h
1
10
2
TTF Z F ZP P
vH
vH
Isobare und S trom lin ie
nn
p/ n > 0 , d .h . T ie f
antizyklonal R < 0 zyklonal R > 0
p/ n < 0 , d .h . T ie f
16
IV.3.5 Trägheitskreis (1)
- keine Reibung- kein Druckgradient
nsgeschw."Erdrotatio" doppelte
it,chwindigke Winkelgeskonstante ,
alantizyklon 0R also , f :
:
h
h
fR
v
fRvvR
vn
s
hh
2
00
F Z
vH
n
C
Strom lin ie
0° 20° 43,3 60° 90°
f in 10-4s-10 0,5 1 1,26 1,46
Rotationszeit, T=2π|R|/vh =2π/f, in Stunden ∞ 35 17,5 13,8 12
|R| bei vh=10 m/s ∞ 200 100 79 69
Als solche in der Atmosphäre kaum direkt beobachtet. Im Ozean dagegen sind diese Trägheitsschwingungen durchaus häufig.
17
IV.3.5 Trägheitskreis (2)• Der Trägheitskreis taucht aber in der Form des sogenannten
Grenzschichtstrahlstroms auf:- Ausgangspunkt ist der subgeostrophische Wind in der Grenzschicht
bedingt durch Reibung über den Kontakt zur Erdoberfläche.- Stabilisiert sich die Luftschicht durch Ausbleiben der Heizung vom
Boden in der Nacht, so reduziert sich die Reibung.- Nehmen wir an, dass die Reibung vollständig aufhört, so haben wir
es mit einem stark ageostrophischen Wind zu tun bei gegebenem Druckgradient und Coriolisbeschleunigung.
- Der Wind beschleunigt dann zunächst so lange die Windrichtung eine Komponente zum Druckgradient hat.
- Ist der Wind parallel zu den Isobaren ist er supergeostrophisch und wird bei weiterer Rechtsablenkung abgebremst bis die Coriolisbeschleunigung kleiner als der Druckgradient ist und wieder eine Linksbeschleunigung wirkt….
• Um dies quantitativ zu beschreiben müssen wir wieder zur
Bewegungsgleichung im x,y,z-System zurück.
18
IV.3.5 Trägheitskreis (3)
agag
ghgh
hhh
vkfdt
vd
vvkfdt
vvd
vkfpdt
vd
1 • Ausgangspunkt: stationäres Druckfeld,
ageostrophische Windkomponente, ohne Reibung.
• Die Zentrifugalbeschleunigung ist jetzt wieder im ersten Term enthalten!
agag
ag
vv
| )(
:aber zunächst
v :gBezeichnun
ifdt
d
ivuifivudt
d
ifudt
dv
fvdt
du
vkfdt
vd
ivu
agagagag
agag
agag
agag
agag
agv
x ,
y ,
19
IV.3.5 Trägheitskreis (4)
constv
ftvvftuuvv
ftvvftuuuu
ftiftt
iftt
vifdt
vd
ag
ggg
ggg
agag
:Beachte
cossin
sincos
:ilImaginärte und Real in Zerlegung
sincos)(v
exp)(vv
: von Lösung
ag
agag
00
00
0
0
ag, ft = /2v
v
gv
ag,t>0
t>0v t=0
vag,t=0
P
F
F
P
C
P
F
F
P
C
für v = vg
vg
v
v ft = /2
bafür v = vg
v
vv
v
ft = 3 /2
t = 0
ft = /2
ft =
P
c
• Weicht der ursprüngliche Wind vom geostrophischen ab, so führt der Windvektor eine Kreisbewegung mit der Winkelgeschwindigkeit f um letzteren aus (a, b).
• Ohne Druckgradient ergibt sich der Trägheitskreis (c).
• Wie sehen die Trajektorien für die 3 Fälle aus?
allgemein v(t0)=0 vg=0→ →
20
IV.3.6 Einfluss der ReibungFallunterscheidung1. Ist Coriolisbeschleunigung und Zentrifugalbeschleunigung
vernachlässigbar, so sind im stationären Fall Druchgradientbeschleunigung und Reibung entgegengesetzt und gleich. Der dann resultierende antitripische Wind weht direkt vom hohen zum niedrigen Druck.
2. Erweitern wir um den Beitrag der Coriolisbeschleunigung bei Beschränkung auf gradlinige Isobaren (also keine Zentrifugalbeschleunigung), so muss der Windvektor eine Komponente zum tiefen Druck haben. Die Reibung selbst kann dabei nicht genau parallel zum Windvektor wirken.
3. Eine vereinfachte mathematische Analyse ergibt, dass der Wind vom Boden, wo er mit ca. 45° in das Tief weht, mit der Höhe zunehmend in den geostrophische Wind in der freien Atmosphäre in Form der Ekman-Spirale hineindreht.
21
IV.3.6.1 Antitriptischer Wind
Annahmen:
Coriolisbeschleunigung = 0 (z. B. Äquatornähe)Zentrifugalbeschleunigung =0 (gradlinie Isobaren)
hRhhRh fpfp ,, ||
1
H
Tpf
Rf
Der antitriptische Wind ist ein Ausgleichswind zwischen Druckgradientbeschleunigung und Reibungsbremsung: Die Luft wird gerade so stark beschleunigt, dass die mit dem Wind zunehmenden Reibung die Druckgradientbeschleunigung gerade ausgleicht.
22
IV.3.6.2 Richtung der Reibung
Annahmen:1. stationäre Strömung2. gradlinige Isobaren3. keine horizontale Windscherung4. Reibung durch Turbulenz: nach 3. reduziert sich dann die Divergenz des
Schubspannungstensors auf eine reduzierte vertikale Komponente
agghghh
hh
vkf
h
vvvvvkfz
vK
z
z
vK
zvkfp
g
R
aus
f also
01
Die Reibungsbeschleunigung steht senkrecht auf dem ageostrophischen Wind nicht parallel zum Windvektor. Dies ist auch ersichtlich aus der Form des Reibungsterms unter Berücksichtigung einer zunächst mit der Höhe stark, dann schwächer zunehmenden Windgeschindigkeit.
T
H
pf
Rf
Cf
hv
23
Konstruktion des Reibungsvektors
T
H
hv
gv
Pf
PRC fff
RC ff
ghagR vvvf
RichtungRf
hC vf
Richtung
Richtung
Cf
llelogrammKräftepara , RC ff
Cf
Rf
24
Ekman-Spirale (1)
ghh vvkf
z
vK
z
Wir beginnen mit:
Annahmen:a) turbulenter Diffusionskoeffizient K höhenunabhängigb) geostrophischer Wind
höhenunabhängig agag vkf
z
vK
2
2
Komponentenweise aufschreiben
v-Komponente mit i multiplizieren
Komponenten addieren )()(
)( *
agagagag
agag
agag
ivuifz
ivuK
ifuz
vK
fvz
uK
2
2
2
2
2
2
1
Definiere:
Homogene Diff‘gleichung 2. Ordnung
agagag ivuv
agag vif
z
vK
2
2
25
Ekman-Spirale (2)
Lösung der homogenen Diff‘gleichung 2. Ordnungmit
agagag ivuv
agag vif
z
vK
2
2
Lösungsschritte:1. Möglichst allgemeinen Lösungsansatz machen
charakteristische Gleichung i.a. unterschiedliche Lösungen
2. Die allgemeine Lösung ergibt sich dann durch Addition aller Lösungen mit freien Koeffizienten
3. Die Bestimmung der freien Koeffizienten erfolgt aus der Anwendung bekannter Bedingungen an den Rändern (z.B. v=0 am Boden) oder aus physikalischen Erwartungen an die Lösung (z.B. kein Wachsen nach ∞)
Schritt 1: Allgemeiner Ansatz schlägt eine Höhenabhängigkeit vor exponentielle Zunahme oder Abnahme wenn m imaginär ist periodische Änderung, wenn m real ist, da
)exp(imzvag
)sin()cos()exp( mzimzimz
26
Ekman-Spirale (3)
02
2
agag vif
z
vK
)exp(imzvag Einsetzen von
ergibt
in
Gleichung
stischeCharakteri
)exp()(
)exp()exp(
sonst da
K
ifm
imzifKm
imzifimzKm
agv
2
00
2
2
0
0
)()( )(
beachte
xfxf ez
xfe
z
)( d.h. )(
da ,
in werdenaufgeteilt kann komplex, also ist
K
fiim
K
fi
iiK
fi
K
f
K
ifm
21
21
21
21
22
27
Ekman-Spirale (4)
)exp(imzvag
Mit dem Ansatz
und dercharkteristischen Gleichung
ergibt sich dann die allgemeine Lösung zu
)( K
fiim
21
Schritt 2: Allgemeine Lösung durch Addition der möglichen Lösungen
z
K
fiCz
K
fiCvag 2
12
1 21 )(exp)(exp
28
Ekman-Spirale (5)
Schritt 3: Einschränkung der allgemeinen Lösung durch Randbedingungen u.ä.
z
K
fiCz
K
fiCvag 2
12
1 21 )(exp)(exp
21
0
00
CCv
vz
vvvz
g
g
aggh
)(v ag
00
0
1
a(ax)C
z
vvvvz gaggh
für exp da ,
)(v ag
zK
fiz
K
fz
K
fv
zK
fiz
K
fv
zK
fivvvv
g
g
gghag
222
22
21
sincosexp
expexp
)(exp
29
Ekman-Spirale (6)
zK
fiz
K
fz
K
fvv
zK
fiz
K
fz
K
fvvvv
gh
gghag
2221
222
sincosexp
sincosexp
Teile wieder auf nach gggh ivuvivuv
,
zK
fz
K
fuz
K
fz
K
fvv
zK
fz
K
fvz
K
fz
K
fuu
gg
gg
22221
22221
sinexp cosexp
sinexp cosexp
Annahme: 0gv
zK
fz
K
fuv
zK
fz
K
fuu
g
g
22
221
sinexp
cosexp
30
Ekman-Spirale (7)
z
K
fz
K
fuvz
K
fz
K
fuu gg 2222
1 sinexp , cosexp
0 2 4 6 8 10
0
2
4v in m /s
u in m /s
100 150
200
250
vg45°
0 4 8 12 16
0
2
4
6v in m /s
u in m /s
5 02 0 0 3 5 0
5 0 0
6 5 0
8 0 0
v g
Theorie: Ablenkwinkel bei z=0 ist 45°
Beispiel einer Messung
Achtung: K war höhenkonstant angesetzt, ändert sich aber mit der Höhe, Stabilität und Windgeschwindigkeit
Beobachtungen in 10 m Höhe:
φ=20° φ=45° φ=70°
labil stabil labil stabil labil stabil
Ozean 25 40 15 30 10 25
Land glatt
35 50 25 40 20 35
Land rauh
45 60 35 50 30 45
31
Ekman-Spirale (8)
Reibung gibt dem bodennahen Wind eine Komponente zum tiefen Druck→ Auffüllen des Tiefs→ Abbau des Hochs
T H
32
Übungen zu IV.31. In einem horizontalen Windfeld ohne Bahnbeschleunigung herrsche
ein Druckgradient von 5 hPa/200km. Wie groß ist bei 0°, 20°, 50° und 90° geographischer Breite a) der geostrophische Wind, b) der Gradientwind bei R ± 200 km (alle möglichen Fälle), c) der zyklostrophische Wind bei R = 100 km., d) der antitriptische Wind, wenn für die Reibungsbeschleunigung als grobe über Land gültige Beziehung angenommen wird aR = - 1 x 10-4 s -1 vH. Bei allen Fällen sei angenommen, daß die Dichte 1 kg/m3 beträgt.
2. Schätze die Größenordnung der Zentrifugalbeschleunigung und der Coriolisbeschleunigung in einer tropischen Zyklone (Hurrikan, Taifun), einem Tornado und einem Staubteufel ab.
3. Berechne und zeichne die Trajektorien für die drei Fälle auf Folie IV.3.5 Trägheitskreis (4).
