clotoide mt bom - coimbra

Vias de Comunicação I

Traçado Geral•Curvas de Transição

Ana Bastos SilvaDepartamento de Engenharia Civil da FCTUC

Universidade de CoimbraUniversidade de Coimbra

Estudo da Directriz Estudo da Directriz –– Curvas de TransiCurvas de Transiççãoão

Curvas de TransiCurvas de Transiççãoão

São curvas geralmente introduzidas entre os alinhamentos rectos e as curvas circulares, cujo raio, R, é variável, diminuindo desde o valor ∞ no alinhamento recto até ao valor do raio da curva circular, Rc.

A aceleraA aceleraçção centrão centríífuga, fuga, aacc, , éé introduzida de forma gradual aos veintroduzida de forma gradual aos veíículosculos.

∞>R>Rc

ac = 0 0 < ac <ac,máx

a c= a c,m

áxR =:

R =Rc

Alinhamento recto Curva de transição

Curva

circular

OOBJECTIVO BJECTIVO PPRINCIPALRINCIPAL - Limitar o “grau de incómodo” do condutor traduzido

pela variação da aceleração centrífuga, ac, na unidade de tempo.

Vantagens adicionais:Vantagens adicionais:Facilitar a manutenção do veículo dentro da sua via de tráfego;Aumentar a comodidade óptica para o condutor;Permitir o disfarce gradual e criterioso da sobreelevação (SE) e da

sobrelargura (SL) entre o alinhamento recto e a curva circular.

TTIPOS DE IPOS DE CCURVAS DE URVAS DE TTRANSIRANSIÇÇÃOÃO - radióides: desenvolvimento é inversamente

proporcional ao parâmetro definidor da curvatura.

Lemniscata de Bernoulli

Parábola cúbica

Clotóide

tecRfR =⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ρ

ρ.1

tecxRx

fR =⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= .1

tecLRL

fR =⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= .1

Clotóide:

A2 = R.LCurva usada

geralmente em estradas!

Clotóide:

A2 = R.LCurva usada

geralmente em estradas!


EquaEquaçção da ão da ClotClotóóideide

Quanto maior o parâmetro, A,

mais “suave” é a transição.A2 = R . LA2 = R . L

Desenvolvimento (até esse ponto)

Raio da curva em cada ponto


R – raio da clotoide num determinado ponto (m);

L – extensão da clotoide desde o ponto inicial ate

ao ponto em análise (m);

A – parâmetro da clotoide – constante (m)

RIPAGEM RIPAGEM ΔΔ

ϕ

Como Δ é pequeno em relação a R, na prática considera-se que o centro da curva ‘original’ se mantém, diminuindo o

seu raio para Rf = Ri - Δ

Como Δ é pequeno em relação a R, na prática considera-se que o centro da curva ‘original’ se mantém, diminuindo o

seu raio para Rf = Ri - Δ

V

Ripagem:Δ

Deslocamento fictício dos alinhamentos rectos, para o interior da curva, que define o novo centro desta.

Δ2ϕ d

d =)2cos(ϕ

Δ

Curva circular ‘ripada’

R

Curva circular ‘original’

d

DefiniDefiniçção Analão Analíítica da tica da ClotClotóóideide


O1Centro da curva circular central

Raio RfRaio Rf

P

P’

O

O’

V


T

Curva circular inicial

Raio RiRaio Ri

T’

(Centro em O1)


P

P’

O

O’

O1

T

T’

Rf.+

Δ

V

ϕ

2ϕ

Tangente da C.C inicial

OV = TV + OT

(POSIÇÃO DOS PONTOS DE OSCULAÇÃO O e O’)CCáálculo da tangente finallculo da tangente final


Δ+= fi RR

OTtt if +=

OTgRt if +=2

cot β

2cot βgRt ii =

OTgRt ff +Δ+=2

cot)( β

(POSIÇÃO DOS PONTOS DE OSCULAÇÃO O e O’)

P

P’

O

O’

O1

T

T’

τc

V

ϕ

xc

CCáálculo da tangente finallculo da tangente final

2/cxOT =


OTgRt ff +Δ+=2

cot)( β

22cot)( c

ffxgRt +Δ+=

β

CCáálculo da bissectriz finallculo da bissectriz final

P

P’

O

O’

O1

T V

ϕΔ

Δ+= if bb

T’ ?=fb

ib

( ) Δ+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −×Δ+= 1

2cos βecRb ff


CCáálculo do desenvolvimento da C.C. finallculo do desenvolvimento da C.C. final

P

P’

O

O’

O1

T

T’

Vϕ

ϕ

ϕ’

τc

τc

Desenvolvimento da Desenvolvimento da C.C. finalC.C. final

400'2

'ϕπ f

cf

RPPd ==

400)'200(2 βπ −

= fcf

Rd

β’

cτϕϕ 2'+=

Desenvolvimento da Desenvolvimento da C.C. inicialC.C. inicial

4002

'ϕπ i

ciR

TTd ==


P

P’

O

O’

O1

T

T’

τc

V

ϕ

xc

Δ

CCáálculo do desenvolvimento da C.C. finallculo do desenvolvimento da C.C. final


VariVariááveis que faltam conhecer?veis que faltam conhecer?

Yc


ÂNGULO ÂNGULO ττ

( ) ⇔==⇔ ττ ...2

integrando 22

LRAL

⇔=⇔= ττ dL

AdLdRdL ..2

[rad][rad]RL

2=⇔τ

Tangente à curva em dado ponto, onde o raio vale R.

y

xτ

dτ

dτ

d L


dτ

COORDENADAS CARTESIANAS x e yCOORDENADAS CARTESIANAS x e y

d L

dx

dy

y

xτ

( ) ττ

dAdLderivando ..2

2.=⇔

⇔=⇔= ττ .2

.2

22

ALAL

Já se sabe que:

Como:

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=

τ

τ

sin.

cos.

dLdy

dLdx

d

d

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=

⇔

τττ

τττ

sin..2

2.

cos..2

2.

Ady

Adx

Dado que:

...!6!4!2

cos642+−+

ττττ -1=

...!7!5!3

753+−+

τττττ -= ins⇔

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−≅

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−≅

⇔

4232.

1012.

3

2

τττ

ττ

Ay

Ax

Resultará da integração:

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−=

...!511!373

.2.

...!49!25

1.2.

53

42

xxAy

xxAx

ττττ

τττ

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≅

≅

RLy

Lx

.6

2



Em particular, para o ponto P (ou P’) de osculação da clotóide/curva circular:

ÂNGULO τc

COORDENADAS CARTESIANAS

P

VO

O’

P’

c

cRL

2=

y

x

yc

xc

τc

RepresentaRepresentaçção grão grááfica da fica da clotclotóóideide


⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−≅

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−≅

⇔

4232.

1012.

3

2

τττ

ττ

Ay

Ax

Lc

P

P’

O

O’

O1

T

T’

Δyc

τc

Rf.c

osτ c

Rf

Rf- Rf.cos τc

V

Δ = yc - (Rf- Rf.cos τc)

f

c

RL.6

2

≅ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+− ...

!4!21

42cc ττ

f

cc R

L2

=τcom:

RIPAGEM RIPAGEM ΔΔDefiniDefiniçção Analão Analíítica da tica da ClotClotóóideide

2

22

.8.

.6 ff

f RL

RRL

−Δ =

Δ =fR

L.24

2



Nota conclusivaNota conclusiva

Basta conhecer os valores de Basta conhecer os valores de RR e de e de A A para definir todos os parâmetros da para definir todos os parâmetros da clotoideclotoide

22cot)( c

ffxgRt +Δ+=

β

400)'200(2 βπ −

= fcf

Rd

( ) Δ+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −×Δ+= 1

2cos βecRb ff

Com:

Δ =fR

L.24

2

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−≅

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−≅

4232.

1012.

3

2

τττ

ττ

Ay

Ax[rad][rad]

RL

2=τ

Para quaisquer dois

alinhamentos rectos

formando um dado ângulo ϕ

entre si, e querendo

concorda-los com uma curva

circular de raio Rf importa

avaliar a possibilidade de

utilização de uma clotóide de

parâmetro A.


Possibilidade GeomPossibilidade Geoméétrica de uso Da trica de uso Da ClotClotóóideide

P

P’

O

O’

O1

T

T’

Vϕ

ϕ

ϕ’

τc

τc

ϕ/2

CondiCondiççãoão

2100 βτ −≤c

2ϕτ ≤c

PP’

ϕ

P≡ P’

ϕ

PP’

ϕ

Curvas de transição unidas por curva circular central;

Curvas de transição tocam-se entre si (curva circular reduzida a um ponto);

Curvas de transição soprepostas – Hà a formação de um “bico” - Não é possível usar clotóide com este parâmetro.

Três situaTrês situaçções podem ocorrerões podem ocorrer::


Possibilidade GeomPossibilidade Geoméétrica de uso da trica de uso da ClotClotóóideide

2100 βτ −≤c

2100 βτ −=c

2100 βτ −⟩c

CritCritéério da Comodidade da Variario da Comodidade da Variaçção Aceleraão Aceleraçção Centrão Centríífugafuga

Curvas de TransiCurvas de Transiçção ão –– DefiniDefiniçção do parâmetro Aão do parâmetro A

O equilibrio de forças para que não ocorra deslizamento

Ft = µ.N

P

G

α

Fc

Fc. cos α= P. sin α + FtFc. cos α= P. sin α + FtP

αP.cos α

P.sin αFcα

Fc.sin α

Fc.cos α

Fc. cos α= P. sin α + µ.P. cos α

Fc = P. tag α + µ.P<> μα mgtgmgR

mv+×=

2

CritCritéério da Comodidade da Variario da Comodidade da Variaçção Aceleraão Aceleraçção Centrão Centríífugafuga

JVA

3

.1464,0≥ Segundo as Normas de Traçado, JAE: Deve-se limitar a: J =0,5 m/s3:


Este critério normal/ prevalece para R pequenos

Exemplo de aplicaExemplo de aplicaççãoão::

mahkmV

mRgr

B

5,3/50

2501300,139

====β

2,735,0

501464,0.1464,033

==≥J

VA

CritCritéério do disfarce da sobreelevario do disfarce da sobreelevaççãoãoAs curvas de transição devem permitir o disfarce da sobreelevação. O valor da inclinação longitudinal Δi no disfarce do limite da faixa de rodagem no extradorso da curva é limitado a um valor máximo, por razões de comodidade e segurança.

Bordo interior

Bordo exterior

Eixo

Bordo interior

Bordo exterior

SE.a2di1.a1d

Lc

Lc

Δ i

c

ddL

aiaSE 112 .. −=Δi


CritCritéério do Disfarce da Sobreelevario do Disfarce da Sobreelevaççãoão

Atendendo a que A2=R.L:iRaSEA c

Δ≥

..

Segundo as Normas de Traçado, JAE:

VT (km/h) <40 40≤VT≤80 >80

Δi (%) máx 1,5 1,0 0,8

R (m) ≤450 525 600 700 850 1000 1200 1400 1600 1900≤R<2500*

SE (%) 7 6,5 6,0 5,5 5,0 4,5 4,0 3,5 3,0 2,5



mahkmV

mRgr

B

5,3/50

2501300,139

====β

3,7801,0

2505,307,0..=

××=

Δ≥

iRaSEA c

CritCritéério da Estrio da EstééticaticaPara que não sejam desagradáveis esteticamente, as curvas de transição devem ter uma

extensão tal que demorem, pelo menos, 2 s a percorrer. Ou seja:8,1

VBLc ≥

Atendendo a que A2=R.L:8,1. cRVBA ≥



mahkmV

mRgr

B

5,3/50

2501300,139

====β

3,838,125050

8,1.

=×

=≥ cRVBA


CritCritéério da Comodidade rio da Comodidade ÓÓpticaptica

Para que a introdução de curvas de transição produza comodidade óptica no condutor, o seu

desenvolvimento deve obedecer à seguinte condição:9c

ccRLR ≥≥

Atendendo a que A2=R.L:3c

cRAR ≥≥

Este critério normal/ prevalece para R grandes


mahkmV

mRgr

B

5,3/50

2501300,139

====β

3c

cRAR ≥≥

83250 ≥≥ A

Parâmetro mParâmetro míínimo da nimo da clotclotóóideide


VB (km /h) 40 50 60 70 80 90 100 120 140

A (m ) 35 50 70 90 120 150 180 270 410

DISPENSA DE USO QUANDO NÃO HÁ EXIGÊNCIA DE SEEstradas de duas vias e dois sentidos R ≥ 2500 m

Estradas de duas vias x duas vias R ≥ 5000 m


DTLDT c .32.2.

21

<<

DT ≈ Dci +2x Lc/2P

P’

O

O’

T

T’

V

LcDT

ϕ

RecomendaRecomendaçção do desenvolvimentoão do desenvolvimento

“A extensão das curvas de transição deve variar entre e da extensão total da curva”32

21


Lc/2


DTLDT c .32.2.

21

<<

)(322)(

21 LcdciLcLcdci +<<+

23dciLcdci

<<

Dado que DT ≈ Dci +2x Lc/2

RALcRLcA

22 =⇒=

23RdciARdci

<<

Considerando

Vem:

RecomendaRecomendaçção do desenvolvimentoão do desenvolvimento

Lcdci<

3;

2dciLc <

CritCritéériorio desenvolvimento mdesenvolvimento míínimonimo



mahkmV

mRgr

B

5,3/50

2501300,139

====β

17314123

<<⇔×

<<× ADciRADciR

ResumoResumo::

Intervalo [141Intervalo [141--173]173] A=140A=140

Critérios Amin Amáx 1) Aceleração centrifuga 2) Disfarce da sobreelevação 3) Estética 4) Percepção óptica 5) tabela da JAE 6) Desenvolvimento minimo

73,3 78,3 88,3 83 50 141

250 143

83,3

173

138072,96439932,049V3138180,56439706,395V2138085,16839536,329V1

M P

mPPMMVV 994,194)12()12(21 22 =−+−=

995,249)23()23(32 22 =−+−= PPMMVV

CCáálculo dos parâmetros da lculo dos parâmetros da ClotoideClotoide

mPPMMVV 908,395)13()13(31 22 =−+−=

grados1300,139=β

mahkmVB

5,3/50

==

Curvas de TransiCurvas de Transiçção ão –– Exemplo de AplicaExemplo de Aplicaççãoão

Teorem de Carnnot:

⎩⎨⎧

==

⇒=mRmAbs

mRmNormalhKmVB 85

185/50 mRf 250=

⎩⎨⎧

=

=

mA

mRf

140

250


Já se tinha assumido A=140

Viabilidade desta combinaViabilidade desta combinaçção???ão???

2100 βτ −≤c

grad435,3021300,139100

2100 =−=−

β

Existe curva circular, pelo que é possível usar esta combinação

2100 βτ −⟨⟨c

Cáculo de cτ


gradradRL 9822,91568,0

2502400,78

2==

×==τ

mxgRt cff 165,169

22cot)( =+Δ+=

β

Comprimento da clotoide

Parâmetros da curva finalParâmetros da curva final::

mR

L

f

0244,125024

400,78.24

22

=×

==Δ

Cálculo da ripagem

mRAL 400,78

25014022

===

⎩⎨⎧

=

=

mA

mRf

140

250

Calculo de Xc/2 (com )

Cálculo da tangente final

Cálculo da bissectriz final

Cálculo do comprimento da curva circular final

( ) mecRb ff 722,3212

cos =Δ+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −×Δ+=

β

400)'200(2 βπ −

= fcf

Rd

grcc 09429,15922' ' =+=⇔+= τββτϕϕ

mdcf 636,160=

Comprimento total do alinhamento curvoDtotal=dcf+2xL=317,436m


mxc 104,392207,78

2 ==

radc 1568,0=τ

Comprimento total do troço da estrada

P

P’

O

O’

ϕV1

V3

V2

mtVVVO

mdPPmLOPPO

mtVVOV

f

cf

f

820,80323

636,160400,78

819,25211

'

'

''

=−=

==

===

=−=)

Dtotal=424,075m


Cálculo de pontos intermédios na curva de transição - metodologia

P

P’

O

O’

ϕV1

V3

V2


1º Estipular ponto onde se pretendem as coordenadas (ex. L1=L/3)

2º Calcular Raio no ponto pretendido a partir de A2=R1L1

3º Calcular novo

4 Calcular x e y

1

11 2R

Lc =τ

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−≅

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−≅

⇔

4232.

3

1012.

33

2

τττ

ττ

Ay

Ax

Cálculo de pontos intermédios na curva de transição - resultado

P

P’

O

O’

ϕV1

V3

V2


R x yL/3 26,133 750 0,01742 26,133 0,152L/2 39,200 500 0,03920 39,194 0,512

2L/3 52,267 375 0,06969 52,241 1,214

L )(radτ

L/3 L/2 2L/3

Documents

clotoide mt bom - coimbra