Curva de Transición La Clotoide - Walterio González Barra

UNIVERSIDAD SANTIAGO DE CHILE Apuntes de Diseño Geométrico de Caminos Página 1 de 32

Walterio González Barra

CURVA DE TRANSICIÓN: LA CLOTOIDE



NECESIDAD DE CURVAS DE TRANSICION

En un trazado donde solo se emplean rectas y arcos de círculo, la curvatura pasa bruscamente desde cero en la tangente hasta un valor finito y constante en la curva.

Esta discontinuidad de curvatura en el punto de unión de los alineamientos

rectos con las curvas circulares no puede aceptarse en un trazado racional, pues además de ser incómoda para el conductor puede ser causa de accidentes debido a la fuerza centrífuga.

Es conveniente introducir un elemento intermedio, de radio variable, en la unión

de los tramos rectos y las curvas circulares, de tal modo que se produzca una trayectoria adecuada a los cambios del equilibrio dinámico del vehículo, cuando este pasa de un recorrido rectilíneo a uno circular, o viceversa.

Entre las funciones que debe cumplir este elemento de enlace, se destacan los

siguientes: - Proporcionar un crecimiento gradual de la aceleración centrífuga, que evite las

molestias que significaría para los pasajeros su aparición brusca. - Permitir al conductor entrar o salir de la curva circular, ejerciendo una acción

gradual sobre el volante del vehículo. - Posibilitar un desarrollo gradual del peralte, aumentando la inclinación transversal

de la calzada a medida que disminuye el radio, hasta llegar exactamente al valor necesario del peralte en el punto de comienzo de la curva circular.

- Generar un trazado estéticamente satisfactorio y que oriente visualmente al conductor. Geometría de las Curvas de Transición

De las consideraciones señaladas anteriormente surge la necesidad de emplear un alineamiento de transición entre los alineamientos rectos y curvos de una carretera, a través del cual la curvatura pase gradualmente desde cero hasta el valor finito de la curva circular, a la vez que la inclinación transversal de la calzada pase también paulatinamente desde el bombeo al peralte.

En las carreteras modernas, la transición es un elemento de tanta importancia

como el círculo y la recta. Su uso se hace obligatorio para evitar o aminorar las deformaciones ópticas de los bordes de la vía, a la vez que la necesidad de adaptar el trazado a la configuración del terreno y al comportamiento usual de la mayoría de los conductores induce a su empleo.

El uso de estos elementos permite que un vehículo circulando a la velocidad

específica correspondiente a la curva circular, se mantenga en el centro de su pista. Esto no ocurre, por lo general, al enlazar directamente una recta con una



curva circular, ya que en tales casos el conductor adopta instintivamente una trayectoria de curvatura variable que lo aparta del centro de su pista e incluso lo puede hacer invadir la adyacente, con el peligro que ello implica.

La curva que se elija para efectuar la transición, esta debe satisfacer los

requerimientos exigidos por la dinámica del movimiento, la maniobrabilidad del vehículo y el confort del conductor y la geometría del trazado.

La curva de transición que mejor se adapta a tales funciones es la clotoide;

esta curva pertenece a la familia de las espirales y su curvatura, nula en el punto inicial, crece linealmente con su desarrollo.- La ecuación paramétrica de la clotoide está dada por la expresión A² = R * L, donde R= radio de la curva en un punto determinado de la misma.- L = Desarrollo de la curva desde el origen hasta el punto de radio R y A es el Parámetro de la clotoide.

Esta curva tiene la particularidad de que un vehículo que la recorre a velocidad constante, soporta una variación constante de la aceleración centrifuga respecto del tiempo recorrido.- Por lo tanto, esa variación de la aceleración puede ser limitada seleccionando adecuadamente el parámetro o el desarrollo de la curva. Ventajas de la clotoide como curva de transición La existencia de numerosas tablas para el cálculo y replanteo de la clotoide, como el uso generalizado de las calculadoras programables hace que desaparezca una de las principales dificultades que tiene esta curva como curva de transición.

- La clotoide es una espiral, es decir, una curva cuya curvatura varía proporcionalmente con la longitud de su desarrollo, siendo cero al comienzo de la misma. Posee en razón de esta característica, la comodidad de la conducción ya que el conductor a velocidad uniforme, gira el volante con velocidad angular constante. En los trazados sin transiciones, los vehículos inscriben realmente una clotoide, separándose mas o menos del borde del pavimento.

- La fórmula de la clotoide es sencilla. Para cada uno de sus puntos, el producto del

radio de curvatura “R” y de su longitud desde el origen hasta ese punto “L”, es igual a una constante, “A²”.

- La magnitud “A”, llamada parámetro de la curva, es siempre constante para una

misma clotoide. Dicha magnitud limita el valor de la aceleración centrifuga eligiendo el parámetro conveniente para cada caso. Además fija la relación entre R, L y tau.

- Todas las clotoides tiene la misma forma pero difieren entre si por su tamaño.



- Cuando se aumenta o reduce una clotoide, todas las medidas lineales cambian en la misma proporción en que se aumenta o reduce su parámetro, quedando los elementos que determinan su forma (ángulo y proporciones) sin cambio alguno.

- La clotoide cuyo parámetro es la unidad se denomina clotoide unitaria y de ella

pueden derivarse los elementos de cualquier otra clotoide por simple multiplicación de sus elementos unitarios.

- Las clotoides de parámetro grande aumentan lentamente su curvatura y por

consiguiente, son aptas para la marcha rápida de los vehículos. Las clotoides de parámetro pequeño aumentan rápidamente su curvatura y se usan para velocidades menores y para suavizar sinuosidades de trazado.

- Longitudes, retranqueos y desviaciones de acimut adecuados, garantizan efectos

satisfactorios en cuanto a transición del peralte y orientación visual - La introducción de transiciones permite llegar a radios menores con circulación

mas rápida. En zonas de intersección se distribuyen mas lógicamente los sobreanchos, con mayor superficie de isletas y menos ocupación de superficie total.

- Los criterios para calcular longitudes mínimas y máximas de la clotoide, tienen

como finalidad que el proyectista verifique si la longitud o parámetros elegidos los cumpla. Deberá tener en cuenta, además, que se considera deseable la utilización de valores superiores a los mínimos establecidos.

Según el MC-V3 se empleará como elemento de curvatura variable en arcos de enlace, o como elemento de trazado propiamente tal, que presenta las siguientes ventajas: a.- El crecimiento lineal de su curvatura permite una marcha uniforme y cómoda para el usuario, quien solo requiere ejercer una presión creciente sobre el volante, manteniendo inalterada la velocidad, sin abandonar el eje de su pista. b.- La aceleración transversal no compensada, propia de una trayectoria en curva, puede controlarse limitando su incremento a una magnitud que no produzca molestia a los ocupantes del vehículo. Al mismo tiempo, aparece en forma progresiva, sin los inconvenientes de los cambios bruscos. c.- El desarrollo del peralte se logra también en forma progresiva, consiguiendo que la pendiente transversal de la calzada aumente en la medida que aumenta la curvatura. d.- La flexibilidad de la clotoide permite acomodarse al terreno sin romper la continuidad, lo que permite mejorar la armonía y apariencia de la carretera.



e.- Las múltiples combinaciones de desarrollo versus curvatura facilitan la adaptación del trazado a las características del terreno, lo que en oportunidades permite disminuir el movimiento de tierras logrando trazados mas económicos. Composición del Alineamiento Según Categoría: Toda Carretera o Camino con la sola excepción de los Caminos de Desarrollo deberán:

- Ser proyectadas con enlaces clotoidales de transición entre los elementos de distintas naturalezas, magnitud o sentido de curvatura, dentro de los rangos establecidos en la norma.

- Las secuencias de curvas distantes menos de 400 m considerados entre el

término y el inicio de las clotoides respectivas, deberán cumplir las relaciones para los radios de entrada y salida establecidos anteriormente.

- La incorporación de rectas largas, Lr mayor a 400 m, requerirá un tratamiento de

las curvas existentes en los extremos de la recta en función de la V85% predicha para cada Vp.



La clotoide como curva de transición

La clotoide es una espiral, es decir, una curva cuya curvatura varía

proporcionalmente con la longitud de su desarrollo, siendo cero al comienzo de la misma. En razón de esta característica, posee la propiedad de que un móvil que la recorre a velocidad constante experimenta una variación uniforme de la aceleración centrífuga.

La parte de la clotoide que se emplea en un trazado de camino no es sino un

segmento de la espiral, cuya forma, por consiguiente, no es apreciable.

Fig de la espiral

Para cada uno de sus puntos el producto del radio por su longitud desde el origen hasta dicho punto es una constante.

La variación de A genera por tanto una familia de clotoides que permiten cubrir

una gama infinita de combinaciones de radio de curvatura y de desarrollo asociado.-

Así por ejemplo para distintos puntos de una clotoide cuyo A = 8, se tendrá:

R L R * L A 2 32 64 8 4 16 64 8 8 8 64 8 16 4 64 8



Es decir que aunque el radio y la longitud en los distintos puntos de la clotoide tiene diferentes valores, están ligados entre si, de modo que su producto es un valor constante, pudiéndose calcular fácilmente uno de ellos cuando se conoce el otro.

Todas las clotoides tiene la misma forma pero difieren entre si por su tamaño.

Esto quiere decir que todas las clotoides son homoteticas con A como relación de homotecia. De aquí que se puedan desarrollar tablas de clotoide unitaria para calcular sus elementos y luego por simple proporción, obtener los valores para una clotoide determinada.

Se ha visto que la clotoide puede tener varias aplicaciones, dependiendo que la

curvatura vaya aumentando o decreciendo, de lo cual resultarían combinaciones variadas entre las circunferencias y rectas que se quieren enlazar.

Clotoide de transición, simétrica y asimétrica, consistente a la serie recta –

clotoide - arco circular –clotoide – recta. En caso de simetría 2 = لτ + ω y en el de asimetría ل = τ1+τ2+ω, además que 2/3 ≤ A1/A2 ≤3/2. Cuanto mas larga sea la recta asociada, a la que corresponderá un R > 1,2 Rm y mas ancha la calzada, mayor debe ser el parámetro de la clotoide, pero acotado por las condiciones A ≤ R y L máx = 1,5 L normal.

Por el contrario, para curvas al interior de una configuración que acepte radios

en el orden del mínimo ( Rm ≤ R ≤ 1,2 Rm), menor deberá ser la clotoide. La influencia de la deflexión total ω limita algunas soluciones cuando el ángulo

es pequeño. Además se destaca que para ل <τ1 + τ2, no existe solución para el conjunto clotoide curva circular.

Clotoide de vértice, simétrica y asimétrica y que corresponde a la secuencia

recta – clotoide –clotoide – recta. Esta aplicación es de transición a todo lo largo y teóricamente requeriría peralte variable a todo lo largo, lo que es discutible. Esta configuración se presenta cuando ل = τ1 + τ2, es decir para ل entre 6,2 y 7,1 g, si A mín se determina mediante las expresiones R/3,2 o R/3. En general deberá ser evitada pues puede inducir maniobras algo erráticas en el entorno del punto de tangencia de ambas clotoides.

En trazados restrictivos para velocidades de proyecto de hasta 80 km/h

(carreteras y caminos), su empleo podrá ser autorizado excepcionalmente por la Dirección de Vialidad, como una clotoide de vértice propiamente tal (Desarrollo circular = 0) o con desarrollos circulares menores que los indicados, tras haber estudiado y valorizado las posibles alternativas tendientes a evitarla.

Si en definitiva se decide ocuparla, además de las condiciones señaladas anteriormente, el peralte asociado al radio R ≥ 1,2 R mínimo correspondiente a la



Vp, se deberá mantener constante en una longitud igual a Vp/3,6 (m),

distribuidos en partes iguales en cada clotoide. Los datos que se necesitan son el valor del radio mínimo de curvatura

aceptable en el punto de contacto y en ángulo en el vértice, o bien, el ángulo del vértice y el parámetro A y con ellos calcular los demás elementos. Para el caso



asimétrico además de conocer el ángulo del vértice y dos datos de las clotoide que pueden ser Rm y A1; Rm y A2 ó A1 y A2. En casos inevitables A1 debe ser aproximadamente igual a A2 y R ≥ 1,2 Rmin.

Clotoide de inflexión o curva en S. Esta aplicación consiste en unir dos circunferencias de curvaturas opuestas sin segmento recto intermedio, disposición que deberá cumplirse siempre en los Trazados Nuevos. En casos de rectificación de los trazados existentes la longitud de dicha recta no deberá superar la longitud dada por:

Lr ≤ 0,08 (A1 + A2) Tramos rectos de mayor longitud que permiten independizarse de la condición

anterior están dados por la expresión L ≥ 1,4 Vp (m). En este caso la configuración ya no corresponde a una curva en S propiamente tal.

Además toda vez que la Lr < 400 las curvas R1 y R2 deberán cumplir con las

relaciones de los radios de entrada y salida. Consecuentemente los valores mínimos de A1 y A2 se obtendrán del cuadro pertinente en función de R1 y R2 según se trate de Carreteras o Caminos, y de la magnitud de los radios involucrados.

Consta de dos ramas de clotoides de direcciones inversas cuyas tangentes

principales en su origen son comunes, unidas por el extremo de radio infinito poniendo como condición que las dos clotoides tengan una ley de curvatura igual o aproximadamente igual. Su secuencia es arco circular-clotoide - clotoide- arco circular. Los parámetros deberán cumplir con las normas generales respecto de la velocidad de proyecto y radio enlazado, pudiendo ser iguales o de un mismo orden de magnitud, respetando las razones; 2/3 ≤A1/A2≤3/2.



Ovoide. Constituye la solución adecuada para enlazar dos curvas circulares del mismo sentido muy próximas entre si. Para poder aplicar esta configuración es necesario que uno de los círculos sea interior al otro y que no sean concéntricos. La transición del peralte se dará en la clotoide de enlace. Relaciones que deben respetarse: R1>R2 ;(R1)/3≤A1 ≤R2.



La clotoide como curva de transición

Fig. V = Vértice Pke=TE = Punto común de tangente a espiral. FKe=EC=PC = Punto común de espiral a curva circular. PKs =ET= Punto común de la espiral a tangente. γ ϑ=∆°= Angulo de deflexión entre las tangentes



τ=θe= Angulo de deflexión de la clotoide y ángulo central de la clotoide ω = ∆c Angulo central del arco circular R =Rc= Radio de la curva circular Tt = Te= Tangente total TL = Tangente larga TC = Tangente corta de la clotoide Xo = K= Abcisa del centro de la circunferencia X = Xc= Abcisa del FK O PC ∆R =p= Retranqueo o desplazamiento de la curva circular. Dc = Desarrollo de la curva circular A = Parámetro de la clotoide Bk = Ec Bisectriz de la curva aclotoidada





Ecuaciones de la clotoide

Por definición la clotoide es una curva tal que los radios de curvatura en cualesquiera de sus puntos están en razón inversa a los desarrollo de sus respectivos arcos. En consecuencia, llamando l a la longitud del arco y R al radio de curvatura en el extremo del arco, la ley de curvatura de la clotoide queda expresada por : LRA *2 = .

Fuente: M C. V-3

Es posible calcular el parámetro cuando se conocen la longitud del arco y el

ángulo “τ ” que forman entre si las tangentes en los extremos de dicho arco. De la fig. si se considera un elemento diferencial de arco dl, se tiene:

dl = R * dτ ; ⇒ τ = l²/(2 * A²) o bien: 2

2

*2 ALTau =

Además τ = l/2R o bien: R

LTau *2=

De la figura se observa que: dx = dl * cos τ dy = dl * sen τ



Desarrollando en serie cos τ y sen τ y aplicando las integrales de Fresnel, entre los limites que se indica, se tiene:

( )........................9360/216/10/1* 642 +−+−= τττLX

( )...........1320/42/3/* 53 −+−= τττLY Angulo de desviación X

Ytg =φ ; XYarctg=φ

Retranqueo ∆R,⇒ ( )τcos1* −−=∆ RYR Se tiene que: t =τ * l²/L² Longitud total = Lk + Dc + Lk o sea Longitud total (Lt) = 2Rτ + R *ω +2Rτ ⇒ ( )ωτ += 4*RLt

Tangente total: ( ) 2* γtgRRXoTt ∆++=

Absisa del centro del círculo: τsenRXXo *−= Tangente corta: τsen

YTc =

Tangente larga: τgYXTL cot*−= Bisectriz exterior: ( ) RRRBk −∆+= 2/sec* γ



Ángulos de desviación

El replanteo de puntos intermedios de la clotoide se puede realizar por coordenadas o por deflexiones: Se sabe que X

Yarctg=φ

Se da un valor de longitud parcial de clotoide (“l”) pero medida desde el PK, y se determinan sus coordenadas x e y. Luego se obtiene fi (φ). Múltiples resultados han mostrado que φ = τ/3 – Cs Cs corresponde a una pequeña corrección en segundos. Para tau (τ) menores a 15 grados, Cs no resulta significativo.

( ) 553 10**0023,0*0031,0 −+= ττCs Se tiene que φ = τ*l²/(3*L²) Se obtiene que: 22 /*61033,10 Al=φ

Para una clotoide en particular el parámetro A es constante por consiguiente se puede obtener otra constante (10,61033/A²), la cual se deberá multiplicar por la cuerda escogida elevado al cuadrado, para obtener la deflexión. Recuerde que esto es aplicable para clotoides cuyo ángulo del centro sea inferior a 15° y que en este método L se mide desde el Pk, para el cálculo de Φ, sin embargo para el replanteo en terreno las distancias se miden parcialmente.

Sobreancho en curvas con arco de enlace

En curvas circulares de radio menores a los indicados en la tabla de ensanches en curvas circulares se deberá ensanchar la calzada a todo lo largo de la curva, calculando el sobreancho a partir de las fórmulas indicadas para cada vehículo tipo.

Desarrollo del sobreancho.- La longitud normal para desarrollar el sobreancho será de 40 mts. Si el arco de enlace es mayor o igual a 40 m., el inicio de la transición se ubicará a 40 m., antes del principio de la curva circular. Si el arco de enlace es menor a 40 m, el desarrollo del sobreancho se ejecutará en la longitud de arco de enlace disponible.

El desarrollo del sobreancho se dará, por lo tanto, siempre dentro de la curva

de enlace, adoptando una variación lineal con el desarrollo y ubicándose al costado del camino que corresponde al interior de la curva.



Desarrollo del peralte en arcos de enlace

Cuando existe un arco de enlace, el desarrollo del peralte puede darse de forma tal que el valor alcanzado sea exactamente el requerido por el radio de curvatura en el punto considerado, obteniéndose el valor máximo del peralte justo en el principio de la curva circular retranqueada.

Cuando la calzada posee doble bombeo, o si el bombeo único es en sentido contrario al giro de la curva, será necesario efectuar en la alineación recta, el giro de la calzada o pistas, hasta alcanzar la pendiente transversal nula en el inicio de la curva de enlace. Desde ese punto se desarrolla el peralte al ritmo antes descrito. Si se pretendiera hacer la transición desde –b a 0 % dentro de la curva de enlace, quedaría un sector de esta con un déficit de peralte.

Por otra parte, para velocidades altas la longitud de la curva de enlace suele

ser superior al desarrollo del peralte requerido entre cero % y p%. En estos casos la pendiente del borde peraltado respecto del eje de giro delta puede resultar pequeña y por lo tanto la zona con pendiente transversal cercana a 0 %, ser demasiado extensa desde el punto de vista del drenaje.

Procedimiento a seguir. Para minimizar los problemas de drenaje,

manteniendo el concepto general antes expuesto, cuando existe arco de enlace el desarrollo del peralte se dará según la siguiente forma:

a.- Eje de giro normal en torno del eje de la calzada. En casos especiales se podrá adoptar otros ejes de giro. b.- El desarrollo del peralte tendrá una longitud total igual a : l = lo +Lk siendo lo = desarrollo en la recta para pasar de – b a 0% Lk = Desarrollo en la longitud total de la curva de enlace. Para calzadas de doble bombeo o de pendiente transversal única de sentido opuesto al giro del peralte, la longitud de “lo” vale: ∆= /** banlo n = número de pistas entre el eje de giro y el borde de la calzada a peraltar. a = ancho normal de una pista (m). Se prescinde de posibles ensanches. b = bombeo o pendiente transversal normal en recta (%) ∆ = pendiente relativa del borde peraltado respecto del eje de giro (%)

Para evitar problemas de drenaje a partir del comienzo de la curva de enlace se desarrollará el giro desde 0 % a b%, manteniendo la pendiente de borde ∆ utilizada en el tramo en recta,, resultando una longitud lo idéntica a la ya definida. El valor de ∆ no deberá ser nunca menor que 0,35 %, pudiendo alcanzar hasta el ∆máx indicado en la tabla correspondiente para la Vp asociada.



El saldo de peralte por desarrollar se dará entonces en la longitud Lk – lo,

resultando una pendiente relativa de borde delta ce igual a: ( ) ( )loLKbpance −−=∆ /**

Para velocidades altas que implican parámetros grandes, por lo general ∆ ce será < a ∆ normal y para clotoides de parámetro mínimo con un ∆ constante en toda la transición, este deberá ser similar aunque menor o igual que ∆ máx..

Si la velocidad es baja y el parámetro fue determinado por condición de

desarrollo del peralte, el giro desde 0 % a p % se ejecutará desde el comienzo de la curva de enlace con pendiente relativa ∆ indicado en la tabla.

c.- Para el caso de calzadas con pendiente transversal única, en que esta

coincide con el sentido de giro de la curva: lo = 0. El desarrollo del peralte para estos casos se hace considerando que no hay

problema de drenaje, es decir, la transición de 0 % a +p% se hace directo pero no se grafica el sector entre 0 % a b, ya que ello está incluido en el bombeo único.

d.- En Carreteras Unidireccionales con tres o mas pistas por calzada, si la

curva requiere un peralte mayor que 4 %, puede ser conveniente desplazar los ejes de giro de los peraltes al centro de cada calzada, distando entre dicho eje de giro 5,25 m al borde interior de los pavimentos para el caso de tres pistas de 3,5 m y 7,0 m para cuatro pistas. Lo anterior tiene por objeto disminuir el desnivel que se produce entre los bordes exteriores de la calzada y la rasante, respecto de aquellos con ejes de giro en el borde interior del pavimento. Al actuar de este modo no se requiere modificar la rasante y la cota de los ejes de giro queda dada por:

Cota Ejes de Giro en el Centro de la Calzada = Cota Rasante en eje de la

mediana – (c/2) b Siendo: c/2 = 5,25 , para 3 Pistas y 7,0 m para 4 Pistas. Y b = bombeo de la calzada en recta en m/m. El diagrama de peraltes deberá presentarse empleando una nomenclatura

distinta para cada borde de las calzadas, o bien, mediante dos diagramas diferentes.





Elección de un parámetro para un arco de enlace Existen al menos cuatro criterios que determinan la elección del parámetro de una clotoide usada como curva de transición o arco de enlace: a.- Por condición de guiado óptico, es decir para tener una clara percepción del elemento de enlace y de la curva circular, el parámetro debe estar comprendido entre:

RAR ≤≤3/ La condición A ≥ R/3 corresponde al parámetro mínimo que asegura la

adecuada percepción de la existencia de la curva de enlace. Ello implica utilizar un valor de τ min ≥ 3,54 g.

La condición A ≤ R asegura la adecuada percepción de la existencia de la

curva circular. Esto asegura que τ sea menor o igual que 31,83 g. Para radios mayores a 1200 m se aceptarán ángulos τ de hasta 3,1 g , que está dada por A = R/3,2.

El cumplimiento de estas condiciones se debe verificar para toda velocidad de

proyecto.

b. Como condición adicional de guiado óptico es conveniente que si el radio enlazado posee un R ≥ 1,2 Rm el Retranqueo de la curva circular enlazada (∆R) sea ≥ 0,5 m, Dado que ∆R, se puede expresar en forma exacta como el desarrollo en

serie:

−

⋅+

⋅−

⋅=∆ L5

6

3

42

506880268824 RL

RL

RLR (4.12)

Además, considerando que desde el segundo término en adelante los valores son muy pequeños, entonces se pueden despreciar y se tiene que:

RL⋅24

2

≥ 0,5 m, si se multiplica esta desigualdad por 2, se obtiene: 1242 2

≥⋅ RL

Despejando “R” ⇒ RL≥

12

2

Multiplicando la desigualdad por R2, se obtiene: 322

12RLR

≥ , y como

LRA ⋅=2

Reemplazando en 322

12RLR

≥ , por ( ) 322

12RA

≥ ⇒ 34 12RA ≥



Finalmente al despejar “A” se obtiene 4 312RA ≥ (4.13)

c.- Por condición de desarrollo del peralte. Para velocidades bajo 60 km/h, cuando se utilizan radios del orden del mínimo, o en calzadas de mas de dos pistas, la longitud de la curva de enlace correspondiente a Amin puede resultar menor que la longitud necesaria para desarrollar el peralte dentro de la curva de enlace. En estos casos se determinará A, imponiendo la condición que Lk (largo de la clotoide) sea igual al desarrollo del peralte, requerido a partir del punto en que la pendiente transversal de la calzada o pista (s) es nula ocupando los valores máximos de la pendiente relativa de borde. Para el caso normal de giro de calzada en torno al eje se tiene: Lk = n* a* p/∆ Si Lk = A²/R se tiene:

∆

⋅⋅⋅=

RpanA

“n” = número de pistas entre eje y borde de calzada “a” = ancho normal de una pista “p” = peralte de la curva circular enlazada %. ∆ = pendiente relativa de borde respecto al eje.

d.-El criterio empleado para relacionar el parámetro de una clotoide con la función que ella debe cumplir en un arco de enlace en caminos, se basa en el cálculo del desarrollo requerido por la clotoide para distribuir a una tasa uniforme (J m/seg^3), la aceleración transversal no compensada por el peralte, generada en la curva circular que se desea enlazar. a) La longitud de la clotoide debe ser suficiente para que el incremento de la

aceleración transversal no compensada por el peralte pueda distribuirse a una tasa uniforme J (m/s3). Este criterio dice relación con la comodidad del usuario al describir la curva de enlace, y para velocidades menores o iguales que la Ve de la curva circular enlazada, induce una conducción por el centro de la pista de circulación. En la versión 1981 se utiliza la fórmula:

JVA

3

12.0= (4.15)

Que se obtiene de la fórmula General (4.16).

−= p

RVe

JVeRA 27.1656.46

2



Que es la que hoy se utiliza, considerando como “V” a la Velocidad Especifica “Ve”.

La fórmula (4.15) ya no se puede utilizar en la nueva versión del Manual, ya que ahora el valor del peralte depende exclusivamente del radio seleccionado y no de la Velocidad de Diseño y del radio de la curva conjuntamente como antes, es decir, no se puede reemplazar el valor de 1.27p por V2/3R.

Se considerarán dos grupos de valores de J para el diseño, según sea la

situación que se esté abordando. Criterio d.1.- Si el radio que se está enlazando posee un valor comprendido

entre Rm ≤ R ≤1,2 Rm, resulta conveniente emplear los valores de J máx que se señalan. Con ello se persigue que el usuario perciba una fuerza centrífuga no compensada por el peralte que crece rápidamente, en relación con la que percibe en curvas mas amplias. Ello le advertirá que está entrando a una configuración mínima.

TASA MÁXIMA DE DISTRIBUCIÓN DE LA ACELERACIÓN TRANSVERSAL

Ve ≈ Vp(Km/h) 40-60 70 80 90 100 120

Jmáx (m/s3) 1.5 1.4 1.0/0.9 0.9 0,8 0,4

Fuente: Volumen 3 Manual de Carreteras. Nota: Para 80 Km/h el valor mayor corresponde a caminos y el menor a carreteras.

Los valores de J máx. que se indican en la Tabla fueron verificados según el

criterio c) de modo que los parámetros mínimos resultantes sean tales que la longitud de la clotoide permita desarrollar el peralte cumpliendo con la pendiente relativa de borde ∆máx que se indica en la Tabla respectiva, para los casos de Caminos y Carreteras con n = 1 ó n > 1, es decir, vías bidireccionales y unidireccionales de 2 pistas por calzada.

En la Tabla siguiente aparecen los valores de “Amín” calculados bajo los criterios

antes descritos. A continuación se presentan algunos ejemplos numéricos que explican lo establecido en la Tabla mencionada.

TABLA 4.06 PARÁMETROS MÍNIMOS DE LA CLOTOIDE POR CRITERIO DE J máx. y ∆

máx.

Vp (km/h) Rm (m) A mínimo Bidireccionales Unidireccionales

Caminos (pmáx =7%) 40 50 29 - 50 80 37 -



60 120 48 68 70 180 60 83 80 250 83 117

Carreteras (p máx =8%) 80 250 89 125 90 330 110* 144

100 425 142* 173 110 540 - 195 120 700 - 234*

Fuente: Volumen 3 Nuevo Manual de Carreteras. • Manda el criterio a) A ≥ R/3 •

Criterio d.2. Si el radio que se está enlazando posee un valor de R > 1.2 Rm se deben emplear los valores de “JNormal” que se indican en la Tabla siguiente, o incluso algo menores, según resulta de aplicar los criterios indicados en las letras a, b y c. TASA NORMAL DE DISTRIBUCIÓN DE ACELERACIÓN TRANSVERSAL (J máximo m/seg³)

Ve (km/h) Ve < 80 Ve ≥ 80 J Normal (m/s³) 0,5 0,4

Fuente: M. de C. V-2 Análisis Gráfico: (1) Parámetros “A” Mínimos y Normales. La Figura 3.203.403(1) A, ilustra

gráficamente los valores de “A” especificados según la situación que se enfrente.

El gráfico superior corresponde a caminos con Vp ≤ 80 km/h. La línea raya punto raya, corresponde a radios comprendidos entre Rm ≤ R ≤ 1,2 Rm, siendo el Rm el radio mínimo correspondiente a cada Velocidad de Proyecto y fue calculado bajo el criterio expuesto en d.1). Entre los Radios 250 m y 300 m se traza una recta para cerrar la curva de los “Amin.” La línea continua del mismo gráfico fue calculada seleccionando el mayor valor resultante de aplicar los criterios a), b) y d.2), considerando para d.2) los valores de JNormal y para cada valor del radio, la “Ve” que les corresponde, según la Tabla 3.03 B Entre los Radios 50 y 300 m, se trazó una curva envolvente para suavizar los quiebres moderados que presentaba la curva original. El criterio c) se cumple holgadamente para “∆máx”, puesto que “A” normal es mayor que “Amím”. Para valores entre “Amáx.” y “Anormal” se debe verificar el “A” que se está empleando. El gráfico inferior de la lámina corresponde a Carreteras con Ve ≥ 80 km/h y



fue calculado empleando los mismos criterios que para los caminos, en consecuencia para radios entre 250 y 700 m existen dos curvas, segmentadas, asociada a Rm ≤ R ≤ 1,2 Rm para vías bidireccionales y unidireccionales extendiéndose la segunda hasta un radio de 800 m en que se empalma con la línea continua para R > 1,2Rm. Para radios comprendidos entre 500 y 1000 m, prevalece el criterio b), es decir ∆R ≥ 0,5 m, tanto para Carreteras como Caminos y luego los valores de A son los mismos en ambos gráficos.

Para Radios sobre 1000 m prevalece el criterio a), es decir A ≥ R/3. No obstante esto último, entre R = 1000 y 1200 m se hace una transición empleando un factor que pasa de R/3 a R/3,2 y para R ≥ 1200 m el valor de “Amín”. se determina mediante la expresión Amín ≥ R/3,2. Esta última expresión se asocia a un valor de τ = 3,1g, algo menor que lo recomendado inicialmente, pero ello permite en algunos casos críticos, limitar clotoides excesivamente extensas para radios grandes; en todo caso se siguen cumpliendo los criterios ∆R ≥ 0,5 m y sobradamente el de distribución de aceleración transversal. Si no hay limitación de espacio, es preferible emplear para R > 1000 m el “A” correspondiente a R/3. En algunos casos, por condiciones de trazado, puede convenir emplear valores de “A” comprendidos entre las líneas segmentadas y la continua que figuran en la Figura 3.203.403(1) A, y aún por sobre la línea continua, siempre que se controle el “Lmáx” de la clotoide.

(2) Desarrollo Máximo de la Clotoide. Aún cuando el criterio a) estableció un

valor máximo de A = R, no es conveniente emplear desarrollos clotoidales excesivamente largos, siendo recomendable limitarlos a Lmáx = 1,5 Lnormal, siendo el “Lnormal” aquel obtenido empleando los parámetros correspondientes a las dos líneas continuas de la Figura 3.203.403(1) A. La limitación de L max es especialmente válida para clotoides que enlazan radios superiores a 200 m, en los que al usar valores de A cercanos a R, resultan desarrollos clotoidales muy largos, a los que se asocian valores de ∆ y J muy pequeños; además durante un desarrollo considerable en la zona inicial de la clotoide, los valores de R son mucho mas grandes que los radios que se están enlazando, lo que los hace difíciles de percibir, sobretodo de noche. Como caso particular, para hacer coincidir el FK con el PK de clotoides sucesivas en curvas en “S” o para resolver situaciones del tipo Ovoide y Ovoide doble, se aceptará superar el límite antes definido, siempre que Lmax no sea mayor que 2 L normal.





(3) Radios que no Requieren el Empleo de Clotoides

• En Caminos con Vp ≤ 80 km/h R> 1500 m • En Carreteras con Vp ≥ 80 km/h R> 3000 m.

Sobre los límites establecidos, la aceleración transversal no compensada por el peralte “gt” es menor que el J normal para Ve 80 km/h ( 0,4 m/seg3), considerando en el cálculo Ve = 110 km/h para caminos y Ve =130 km/h en Carreteras

Cuando no existe curva de enlace, el desplazamiento instintivo que ejecuta el conductor respecto del eje de su pista disminuye a medida que el radio de la curva circular crece.

Se estima que un desplazamiento menor a 0,1 m es suficiente pequeño como

para prescindir de la curva de enlace que lo evitaría. El hecho de que para ciertos valores del radio se pueda prescindir de la curva

de enlace no significa que para radios superiores a los que se indican se deba suprimir la curva de enlace; ello es optativo y dependerá en parte del sistema de trabajo en uso. Por ejemplo, si el proyecto hace uso intensivo de clotoides como elementos de trazado y se cuenta con los programas de computación para realizar los cálculos y obtener los datos de replanteo, no se justificará suprimir las curvas de enlace, al menos hasta que la amplitud del radio alcance el nivel en que el peralte requerido se iguala al bombeo normal de la calzada en recta. Conceptos generales para el trazado horizontal Aspectos básicos que deben ser considerados en el proyecto. - Los tramos rectos largos no son aconsejables ya que producen monotonía en el

manejo del vehículo y fatiga al conductor durante el día y aumentan las molestias del deslumbramiento provocado por los vehículos que circulan en sentido contrario en la noche.

- Para altas velocidades de diseño, el trazado debe estar compuesto por una

secuencia de curvas de radio amplio que enlacen tangentes no muy largas. - Se deben definir la longitud de los tramos rectos considerando la topografía del

lugar y se tratará de adecuar el trazado a la conformación y brindar una distancia de visibilidad de adelantamiento en las calzadas bidireccionales.

- Se debe tender a evitar la destrucción o mutilación de la naturaleza buscando en

lo posible la integración del proyecto con el paisaje y armonizando las necesidades



del diseño geométrico y la seguridad con el medio natural que la rodea. Además deberá otorgar guiado óptico al conductor, es decir, suficiente distancia de visibilidad de la trayectoria que sigue el camino, disminuyendo su tensión de conducción y por ende aumenta la seguridad.

- No es recomendable el uso de ángulos de deflexión entre las tangentes, iguales o

menores a 6 grados. En situaciones muy particulares el proyectista podrá usar estos ángulos hasta un límite inferior de 2 grados pero los radios de la curva circular debe ser grande que proporcione desarrollos mínimos indicados en el M.C.

- Las curvas circulares deben estar dotadas con arcos de transición que en forma

gradual cambien la curvatura. - El tramo deberá ser homogéneo sin cambios bruscos en la velocidad de proyecto.

En rectas largas o sectores con pocas curvas que permitan desarrollar velocidades superiores a la de proyecto, deben realizarse transiciones graduales con curvas circulares de radios paulatinamente decrecientes o crecientes, con el fin de orientar al conductor sobre las nuevas características geométricas.

- El trazado horizontal debe proporcionar en todos sus puntos, por lo menos la

distancia mínima de visibilidad de frenado. - En los tramos de calzadas bidireccionales, el trazado debe proyectarse de tal

manera que proporcione al conductor una razonable cantidad de oportunidades de adelantamiento.

- Los sectores con distancia de visibilidad de adelantamiento debe representar el

mayor porcentaje posible de la longitud total. Deben estar homogéneamente distribuidas a lo largo del camino con el objeto de no superar el límite de tolerancia de los conductores obligados a circular detrás de los vehículos mas lentos y de disminuir la posibilidad de maniobras que atentarían contra la seguridad.

- No es recomendable dos curvas sucesivas en el mismo sentido, aun cuando sus

desarrollos se unan con un corto tramo recto. Preferentemente la longitud mínima del tramo recto debe ser del orden de 500 metros. En sectores montañosos puede ser difícil y en ese caso debe reemplazarse por una sola.

- Las curvas de inflexión dotadas de arco de transición deben tener sus extremos

coincidentes o separados por tangentes cortas. Cuando no cuentan con curva de transición debe existir una longitud intermedia que permita el desarrollo del peralte de ambas curvas.



Elección Del Parámetro “A” De Las Clotoides Ejercicio: Determine el parámetro mínimo que debe tener la clotoide para una velocidad de 70 Km/h.: a) Como primer paso debemos determinar cual es el radio mínimo para una velocidad de 70 km/h..

Sabemos que: ( ) )07,0149,0(12770

127

2

maxmax

2

min +⋅=

+⋅=

pFtVR

= 176.2 m. Se considera como radio mínimo 180 m. b) El cálculo del parámetro por condición de guiado óptico dice que (R/3 ≤ A ≤ R ) lo

que implica que A=R/3. c) Primer valor de parámetro mínimo es: 180/3 = 60 m. d) La versión 2002 establece una nueva condición para el cálculo del parámetro

mínimo; ésta es que el retranqueo de la curva circular enlazada “∆R” sea mayor o igual a 0,5 m. siempre que el radio sea mayor que 1,2*Rmín. En este caso no es aplicable, ya que estamos buscando el A mínimo. Si el radio estuviera comprendido: Rm ≤ R ≤ 1.2 Rm, y en este caso se determina el parámetro mínimo según la siguiente fórmula:

4 312RA ≥

e) Para el cálculo del parámetro mínimo bajo el criterio de desarrollo del peralte, la

fórmula de cálculo es la siguiente:

∆⋅⋅⋅

=RpanA

3,118075,31 ⋅⋅⋅

=A = 58,24

La PRB de borde que se ocupa para determinar el valor mínimo del parámetro de la clotoide, corresponde a los valores máximos según tabla 3.203.305(3).A. TABLA 3.203.305(3).A VALORES ADMISIBLES PENDIENTE RELATIVA DE BORDE ∆%

Vp (km/h) 30 - 50 60 - 70 80 – 90 100 – 120 ∆ Normal 0.7 0.6 0.5 0.35 ∆ máx. n = 1 1.5 1.3 0.9 0.8 ∆ máx. n >1 1.5 1.3 0.9 0.8 ∆ Mínimo en zona - b % a + b = 0,35% para todo Vp. Fuente: Volumen 3 Manual de Carreteras.



f) La longitud de la clotoide debe ser suficiente para que el incremento de la

aceleración transversal no compensada por el peralte pueda distribuirse a una tasa uniforme J (m/s3):

Se ocupa la siguiente fórmula:. =A

− p

RV

JVR *27.1

*656.46

2

Para obtener el valor de J se ocupa el valor máximo el cual se obtiene de la tabla 3.203.403.A: TASA MÁXIMA DE DISTRIBUCIÓN DE LA ACELERACIÓN TRANSVERSAL

Ve ≈ Vp(Km/h) 40-60 70 80 90 100 120 Jmáx (m/s3) 1.5 1.4 1.0/0.9 0.9 0,8 0,4 Fuente: Volumen 3 Manual de Carreteras.

Nota: Para 80 Km/h el valor mayor corresponde a caminos y el menor a carreteras. Se considera como “V” a la Velocidad Especifica “Ve”.

A =

− 7*27.1

18070*

4,1*656.46180*70 2

= 59,47 De estos tres valores mínimos el mayor de ellos será el Parámetro mínimo, es decir para nuestro caso es de 60 m. Otro ejercicio: Determine el parámetro normal que debe tener la clotoide para enlazar una curva de R = 300 si la velocidad de proyecto es de 70 km/h. 1.- El cálculo del parámetro por guiado óptico dice que (R/3 ≤ A ≤ R ). Primer valor de parámetro mínimo es: 300/3 = 100 m. 2.- Se debe analizar si el radio es mayor o igual a 1,2*Rmín. 1,2*Rmin = 1,2*180 = 216, lo que significa que el radio dado es mayor, razón por la cual el parámetro debe cumplir con la condición que el retranqueo sea mayor o igual a 0,5 m para lo cual se ocupa la siguiente fórmula:

4 312RA ≥

4 3300*12≥A = 134,16



3.- Para el cálculo del parámetro mínimo bajo el criterio de desarrollo del peralte, la fórmula de cálculo es la siguiente: La PRB (∆) que se ocupa para determinar el valor mínimo del parámetro de la clotoide, corresponde para este caso a los valores normales según tabla 3.203.305(3).A.

∆⋅⋅⋅

=RpanA

6,030075,31 ⋅⋅⋅

=A = 110,67

4.- La longitud de la clotoide debe ser suficiente para que el incremento de la aceleración transversal no compensada por el peralte pueda distribuirse a una tasa uniforme J (m/s3):

Se ocupa la siguiente fórmula:. A =

− p

RVe

JVeR *27.1

*656.46

2

Para obtener el valor de J se ocupa el valor normal el cual se obtiene de la tabla 3.203.403(1).B: TABLA 3.203.403(1).B: TASA NORMAL DE DISTRIBUCIÓN DE ACELERACIÓN

Ve (km/h) Ve < 80 Ve ≥ 80 J Normal (m/s3)³ 0,5 0,4

Fuente: M. de C. V-2 Para entrar en la fórmula se debe calcular la Ve., y ella se obtiene de la siguiente fórmula: Atendiendo que R>250 se debe ocupar la formula de carreteras:

0)193.0(*127*)*112.0(2 =+−+ pRVeRVe Reemplazando queda:

0)193.007,0(*300*127*)300*112.0(2 =+−+ VeVe

03.10020*6.332 =−+ VeVe La Ve = 84,70 km/h

Se reemplazan los valores en: :. A =

− p

RVe

JVeR *27.1

*656.46

2



−= pA *27,1

30070,84

4,0*656,46300*70,84 2

( )89,891,23*662,18410.25

−=A

A = 143,01 De estos cuatro valores el mayor de ellos corresponde al valor normal de la clotoide, que en este caso sería el dado por la condición de retranqueo: 143,01. Se tiene entonces un valor de parámetro mínimo para la velocidad de proyecto, luego otro valor que es aplicable para cada radio en particular y que corresponde al valor normal. Además se tiene que el valor máximo del parámetro correspondería al dado por la condición de guiado óptico, es decir que A ≤ R, pero esta condición produce longitudes de clotoide muy largas que crean cierto riesgo para los conductores en el empalme de la recta, por lo que se reguló acotando que el parámetro máximo es igual a 1,225 veces el parámetro normal, lo que daría un valor máximo de 143,01*1,225 cuyo resultado es igual a 175,19 m. Como conclusión se puede agregar que para una curva de radio 300 y Vp de 70 km/h el parámetro debe estar comprendido entre los 143,01 a 175,19 o mejor dicho entre 145 y 175 m dependiendo finalmente su elección de las condiciones que presente el terreno. Este desarrollo analítico se encuentra comprendido en los gráficos de la lámina que se adjunta: Ejercicio: Determine el parámetro normal y máximo para un camino de 70 km/h y radio 250 m., ocupando los gráficos.



BIBLIOGRAFÍA - Manual de Carreteras. Volumen 3 Instrucciones de Diseño. Ministerio de Obras

Públicas. Dirección de Vialidad. - Carreteras. Estudio y proyecto. Jacob Carciente. Ediciones Vega. Venezuela.

Segunda Edición 1980. - Caminos. José Luis Escario. Tomo I. Quinta Edición. Editorial Dossat, S.A. Madrid. - Levantamientos y trazado de caminos. Thomas F. Hickerson. Quinta Edición.

Editorial Talleres Gráficos de Ediciones Castilla, S.A. 1969. - Trazado. Instrucción de Carreteras Norma 3.1-IC. Ministerio de Fomento. Madrid. 1ª

Reimpresión Abril 2000. - Memoria de Titulación: Análisis Comparativo en Seguridad Vial, entre la Normativa

Vigente y las Nuevas disposiciones del Volumen III del Manual de Carreteras. Erick Araya O. y Pablo Cubillos R. Diciembre 2002.

- Apuntes de clases. Universidad del Bio-Bio. Depto Ingeniería Civil. Area Transportes. Autor. Sergio Vargas T.

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Curva de Transición La Clotoide - Walterio González Barra