CƠ SỞ LÝ THUYẾT HÀM NGẪU NHIÊN VÀ ỨNG DỤNG TRONG KHÍ TƯỢNG THỦY VĂN

8/2/2019 CƠ SỞ LÝ THUYẾT HÀM NGẪU NHIÊN VÀ ỨNG DỤNG TRONG KHÍ TƯỢNG THỦY VĂN

http://slidepdf.com/reader/full/co-so-ly-thuyet-ham-ngau-nhien-va-ung-dung-trong-khi-tuong 1/201

NXB Đại học Quốc gia Hà Nội 2005

Từ khoá: Tần suất, mật độ, phân bố, xác suất, ngẫu nhiên, thống kê, thể hiện, phổ, cấu

trúc, tươ ng quan, k ỳ vọng, phươ ng sai, mô men, số đông, số giữa, độ nhọn, đồng nhất,

phù hợ p, chỉ tiêu,

Tài liệu trong Thư viện đ iện t ử Đại học Khoa học T ự nhiên có thể đượ c sử d ụng cho

mục đ ích học t ậ p và nghiên cứ u cá nhân. Nghiêm cấ m mọi hình thứ c sao chép, in ấ n

phục vụ các mục đ ích khác nế u không đượ c sự chấ p thuận của nhà xuấ t bản và tác

giả.

CƠ SỞ LÝ THUYẾT HÀM NGẪU NHIÊN VÀ

Ứ NG DỤNG TRONG KHÍ TƯỢ NG THỦY VĂN Kazakevits D. I.

Biên d ịch:

Phạm V ăn Huấ n, Nguyễ n Thanh S ơ n, Phan V ăn Tân



4

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITR ƯỜ NG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Đ. I. KAZAKEVITS

CƠ SỞ LÝ THUYẾT HÀM NGẪU NHIÊNVÀ Ứ NG DỤNG TRONG KHÍ TƯỢ NG THỦY VĂN

Ngườ i dịch:Phạm Văn Huấn

Nguyễn Thanh Sơ nPhan Văn TânHiệu đính:

Nguyễn Văn Tuyên

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI



5

LỜ I GIỚ I THIỆU

Lý thuyết xác suất và thống kê toán học nói chung và lý thuyết hàm ngẫu nhiên nói riêng là công cụ toán học quan tr ọng đượ c sử dụng r ất r ộng rãi và hiệu quả trong các ngành khoa học khí tượ ng, thủy văn

và hải dươ ng học.Trong chươ ng trình đào tạo chuyên ngành khí tượ ng, thủy văn và hải dươ ng học, việc ứng dụng

các phươ ng pháp thống kê và lý thuyết các quá trình ngẫu nhiên có mặt trong nhiều môn học và thể hiệndướ i những hình thức khác nhau. Tuy nhiên, cho đến nay ở nướ c ta chưa có một tài liệu giảng dạy dùngchuyên cho ngành khí tượ ng thủy văn, trong đó những cơ sở của lý thuyết xác suất thống kê toán học đượ ctrình bày đầy đủ, hệ thống nhưng dễ hiểu đối vớ i trình độ toán tươ ng ứng của những sinh viên nhóm ngànhnày.

Cuốn “Cơ sở lý thuyết hàm ngẫu nhiên và ứng dụng trong khí tượ ng thủy văn” của Đ. I.Kazakevits, ngườ i đã từng giảng dạy toán học cao cấ p và lý thuyết xác suất thống kê nhiều năm tại Tr ườ ngđại học khí tượ ng thủy văn Lêningrat, tỏ ra đáp ứng tốt nhất những yêu cầu trên đây. Ngoài ra, tác giả cuốnsách này cũng am hiểu và có công tổng quan một số công trình ứng dụng công cụ lý thuyết hàm ngẫu

nhiên trong nghiên cứu khí tượ ng, thủy văn, hải dươ ng học; chỉ ra trong những vấn đề nào và khi nào thìcác phươ ng pháp này đượ c áp dụng sẽ hợ p lý và hiệu quả, cũng như những đặc thù khi thao tác vớ i các tậ pdữ liệu khí tượ ng thủy văn trong khi tính toán,... Như vậy cuốn sách vừa có tính chất giáo khoa vừa là mộtchuyên khảo r ất bổ ích không những cho sinh viên trong học tậ p mà còn là tài liệu tham khảo cho nghiêncứu sinh và những ngườ i nghiên cứu. Hội đồng khoa học Khoa Khí tượ ng thủy văn và hải dươ ng học quyếtđịnh dịch nguyên bản cuốn sách này làm giáo trình giảng dạy môn học “Lý thuyết các quá trình ngẫunhiên” cho sinh viên bậc đại học các ngành khí tượ ng, thủy văn và hải dươ ng học trong Tr ườ ng đại họckhoa học tự nhiên.

Nội dung của cuốn sách liên quan nhiều đến những kiến thức toán ở trình độ cao, do đó bản dịch chắcchắn không tránh khỏi những khiếm khuyết liên quan đến dịch thuật và in ấn. Chúng tôi r ất mong nhậnđượ c những ý kiến đóng góp của bạn đọc.

Nhữ ng ng ườ i d ị ch



6

MỤC LỤC

MỤC LỤC.............................................................................................................. 6

LỜI NÓI ĐẦU ....................................................................................................... 9

PHẦN 1 - CƠ SỞ LÝ THUYẾT HÀM NGẪU NHIÊN.......................................... 11

Chươ ng 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢ N CỦA LÝ THUYẾT XÁC SUẤT 11

1.1 ĐẠI LƯỢ NG NGẪU NHIÊN VÀ LUẬT PHÂN BỐ .............................................................. ........... 11

1.2. CÁC ĐẶC TR Ư NG SỐ CỦA ĐẠI LƯỢ NG NGẪU NHIÊN...... ...................................................... 14

1.3. LUẬT PHÂN BỐ POATXÔNG............................................................... .......................................... 17

1.4. LUẬT PHÂN BỐ ĐỀU................................................................ ....................................................... 18

1.5. LUẬT PHÂN BỐ CHUẨ N.......................................................... ....................................................... 201.6. LUẬT PHÂN BỐ R ƠLE VÀ MĂCXOEN.................... ................................................................ ..... 23

1.7. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢ NG NGẪU NHIÊN VÀ LUẬT PHÂN BỐ CỦA CHÚNG................................ 25

1.8. CÁC ĐẶC TR Ư NG SỐ CỦA HỆ CÁC ĐẠI LƯỢ NG NGẪU NHIÊN............................................ 30

1.9. CÁC ĐỊ NH LÝ VỀ ĐẶC TR Ư NG SỐ.............................................................. ................................. 33

1.10. LUẬT PHÂN BỐ CHUẨ N CỦA HỆ CÁC ĐẠI LƯỢ NG NGẪU NHIÊN..................................... 35

1.11. LUẬT PHÂN BỐ CỦA HÀM CÁC ĐỐI SỐ NGẪU NHIÊN......................................................... 38

1.12. HÀM ĐẶC TR Ư NG .......................................................... ............................................................... 44

Chươ ng 2. HÀM NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TR Ư NG CỦA CHÚNG ....... 49

2.1. ĐỊ NH NGHĨA HÀM NGẪU NHIÊN....................................................... .......................................... 49

2.2. CÁC QUI LUẬT PHÂN BỐ QUÁ TRÌNH NHẪU NHIÊN.............................................................. 50

2.3. CÁC ĐẶC TR Ư NG CỦA QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN .................................................................. 51

2.4. HỆ CÁC QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN. HÀM TƯƠ NG QUAN QUAN HỆ .................................... 55

2.5. QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN DỪ NG....................................................... .......................................... 57

2.6. TÍNH EGODIC CỦA QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN DỪ NG.................................................. ........... 62

2.7. HÀM CẤU TRÚC............................ ............................................................... .................................... 64

2.8. GIỚI HẠ N CỦA QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN.................. ............................................................... 66

2.9. ĐẠO HÀM CỦA HÀM NGẪU NHIÊN ............................................................. ............................... 66

2.10. TÍCH PHÂN CỦA HÀM NGẪU NHIÊN ......................................................... ............................... 70

2.11. CÁC HÀM NGẪU NHIÊN PHỨ C.................................................................. ................................. 72

2.12. TR ƯỜ NG NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TR Ư NG CỦA NÓ........................................................ 74

2.13. TR ƯỜ NG NGẪU NHIÊN ĐỒ NG NHẤT VÀ ĐẲ NG HƯỚ NG........... .......................................... 76

2.14. TR ƯỜ NG VÉCTƠ NGẪU NHIÊN........................................................ .......................................... 79

Chươ ng3. PHÂN TÍCH ĐIỀU HOÀ QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN DỪ NG VÀ

TR ƯỜ NG NGẪU NHIÊN ĐỒ NG NHẤT ............................................................. 81



7

3.1. CÁC QUÁ TRÌNH DỪ NG CÓ PHỔ R ỜI R ẠC................ ................................................................ . 82

3.2. CÁC QUÁ TRÌNH DỪ NG CÓ PHỔ LIÊN TỤC.............. ................................................................ . 85

3.3. PHÂN TÍCH ĐIỀU HOÀ TR ƯỜ NG NGẪU NHIÊN ĐỒ NG NHẤT ............................................... 93

Chươ ng4. BIẾ N ĐỔI TUYẾ N TÍNH QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN DỪ NG .... 98

4.1. BIẾ N ĐỔI HÀM NGẪU NHIÊN BẰ NG TOÁN TỬ TUYẾ N TÍNH................................................ 98

4.2. BIẾ N ĐỔI TUYẾ N TÍNH DƯỚI DẠ NG PHỔ ............................................................ ...................... 99

4.3 MẬT ĐỘ PHỔ CỦA PHÉP BIẾ N ĐỔI TUYẾ N TÍNH QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN DỪ NG ...... 102

4.4. NGHIỆM DỪ NG CỦA PHƯƠ NG TRÌNH VI PHÂN TUYẾ N TÍNH CÓ HỆ SỐ HẰ NG SỐ ...... 104

Chươ ng 5. NỘI NGOẠI SUY VÀ LÀM TR Ơ N HÀM NGẪU NHIÊN .......... 110

5.1. ĐẶT BÀI TOÁN............................................................. .................................................................. 110

5.2. NỘI, NGOẠI SUY TUYẾ N TÍNH TỐI Ư U VÀ LÀM TR Ơ N HÀM NGẪU NHIÊN CHO TRÊN

MỘT SỐ ĐIỂM HỮ U HẠ N................................................................... ............................................ 1125.3. NGOẠI SUY TUYẾ N TÍNH TỐI Ư U VÀ LÀM TR Ơ N QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN CHO TRÊN

KHOẢ NG VÔ HẠ N.......................... ................................................................ ................................. 116

5.4. LÀM TR Ơ N QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN CHO TRÊN KHOẢ NG VÔ HẠ N (−∞,+∞)............... 120

5.5. NGOẠI SUY VÀ LÀM TR Ơ N HÀM NGẪU NHIÊN CHO TRÊN KHOẢ NG (−∞,T ) NHỜ SỬ DỤ NG PHƯƠ NG PHÁP CỦA LÝ THUYẾT HÀM BIẾ N PHỨ C................................................... 122

5.6. NGOẠI SUY VÀ LÀM TR Ơ N QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN KHI BIỂU DIỄ N HÀM TƯƠ NGQUAN DƯỚI DẠ NG TỔ NG CÁC HÀM MŨ ............................................................ ...................... 132

Chươ ng 6. XÁC ĐỊ NH CÁC ĐẶC TR Ư NG CỦA HÀM NGẪU NHIÊN THEO

SỐ LIỆU THỰ C NGHIỆM.................................................................................... 138

6.1 CÁC ĐẶC TR Ư NG THỐ NG KÊ CỦA HÀM NGẪU NHIÊN................................................. ........ 138

6.2 CÁC ĐẶC TR Ư NG THỐ NG KÊ CỦA CÁC HÀM NGẪU NHIÊN CÓ TÍNH EGODIC ............. 140

6.3 ĐỘ CHÍNH XÁC XÁC ĐỊ NH CÁC ĐẶC TR Ư NG THỐ NG KÊ CỦA HÀM NGẪU NHIÊN ...... 142

PHẦN 2 - MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÍ TƯỢ NG VÀ THỦY VĂN GIẢI BẰNG

CÁC PHƯƠ NG PHÁP LÝ THUYẾT HÀM NGẪU NHIÊN............................... 153

Chươ ng7. NGHIÊN CỨ U CẤU TRÚC THỐ NG KÊ CÁC TR ƯỜ NG KHÍ

TƯỢ NG .................................................................................................................. 153

7.1 NHẬ N XÉT CHUNG VỀ CẤU TRÚC CÁC TR ƯỜ NG KHÍ TƯỢ NG........................................... 153

7.2 CẤU TRÚC THỐ NG KÊ CỦA TR ƯỜ NG ĐỊA THẾ VỊ ...................................................... ........... 155

7.3. CẤU TRÚC THỐ NG KÊ CỦA TR ƯỜ NG NHIỆT ĐỘ KHÔNG KHÍ ........................................... 157

7.4 CẤU TRÚC THỐ NG KÊ TR ƯỜ NG GIÓ............................................................. ............................ 159

7.5 CẤU TRÚC THỐ NG KÊ CỦA TR ƯỜ NG ĐỘ CAO THẢM TUYẾT VÀ SỰ TỐI Ư U HÓA CÔNGTÁC QUAN TR ẮC THẢM TUYẾT..................................................................... ............................. 161

Chươ ng 8. KHAI TRIỂ N QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN VÀ TR ƯỜ NG NGẪU

NHIÊN THÀNH CÁC THÀNH PHẦ N TR Ự C GIAO TỰ NHIÊN ..................... 164





9

LỜ I NÓI ĐẦU

Trong hai chục năm gần đây ngườ i ta thấy r ằng các công cụ toán học về lý thuyết hàm ngẫu nhiên đượ csử dụng r ộng rãi trong khí tượ ng học và thuỷ văn học. Cơ sở của điều này là ý tưở ng xem xét các giá tr ị tứcthờ i ghi đượ c của các quá trình và các tr ườ ng không gian khí tượ ng thuỷ văn như những thể hiện riêng biệtcủa một quá trình ngẫu nhiên hay một tr ườ ng ngẫu nhiên nào đó. Cách tiế p cận như vậy cho phép không cầnxét những đặc điểm của các giá tr ị tức thờ i riêng r ẽ của tr ườ ng khí tượ ng thuỷ văn vớ i mối phụ thuộc vào toạ độ không gian và biến trình thờ i gian r ất phức tạ p và không rõ nét và chuyển sang nghiên cứu một số tính chấttrung bình của tậ p hợ p thống kê các thể hiện ứng vớ i một tậ p các điều kiện bên ngoài cụ thể nào đó.

Quan điểm lý thuyết xác suất nghiên cứu các hiện tượ ng trong khí tượ ng và thuỷ văn học có sử dụng công cụ lý thuyết hàm ngẫu nhiên tỏ ra r ất hiệu quả trong các l ĩ nh vực: lý thuyết r ối, xây dựng các phươ ng pháp dự báo thờ i tiết hạn dài, phân tích khách quan các tr ườ ng khí tượ ng, đánh giá tính đại diệncủa số liệu quan tr ắc, độ chính xác của các dụng cụ đo, giải quyết các vấn đề hợ p lý hoá sự phân bố mạng

lướ i tr ạm khí tượ ng, xây dựng các phươ ng pháp dự báo dòng chảy sông và các đặc tr ưng khí tượ ng thuỷ văn, cũng như trong nhiều vấn đề khác.

Đóng góp to lớ n vào hướ ng này là các công trình đặt nền móng của A.N. Kolmogorov cũng như các k ếtquả nghiên cứu của A.M. Obukhov, A.S. Monin, A.M. Iaglom, M.I. Iuđin, L.S. Ganđin, N.A. Bagrov, O.A.Đrozđov, E.P. Borisenkov, N.A. Kartvelishvili, I.M. Alekhin và các nhà khoa học khí tượ ng thuỷ văn hàngđầu của nướ c ta (Liên Xô cũ − ND).

Từ đó dẫn đến phải mở r ộng giáo trình lý thuyết xác suất trong các tr ườ ng khí tượ ng thuỷ văn và đưara những khoá chuyên đề về cơ sở lý thuyết các hàm ngẫu nhiên, và điều này đượ c thực hiện lần đầu tiênvào năm 1961 tại Tr ườ ng khí tượ ng thuỷ văn Leningrat.

Cuốn sách này đượ c viết trên cơ sở giáo trình về lý thuyết hàm ngẫu nhiên mà tác giả đã giảng dạy

trong nhiều năm cho sinh viên chuyên ngành dự báo thờ i tiết bằng phươ ng pháp số tr ị của Tr ườ ng khítượ ng thuỷ văn Leningrat, và là giáo trình học tậ p cho sinh viên và nghiên cứu sinh các tr ườ ng đại học khítượ ng thuỷ văn và các khoa tươ ng ứng trong các tr ườ ng đại học tổng hợ p cũng như cho r ộng rãi cácchuyên gia khí tượ ng thuỷ văn. Cuốn sách cũng có thể đượ c sử dụng như là tài liệu học tậ p cho sinh viênvà k ỹ sư các chuyên ngành khác quan tâm đến lý thuyết hàm ngẫu nhiên và ứng dụng của nó.

Lý do biên soạn một cuốn sách như vậy xuất phát từ chỗ hiện nay chưa có các tài liệu giáo khoa về lýthuyết hàm ngẫu nhiên đáp ứng một cách đầy đủ nhu cầu của các chuyên gia và sinh viên ngành khí tượ ngthuỷ văn. Hơ n nữa, sự thâm nhậ p ngày càng tăng của lý thuyết hàm ngẫu nhiên vào khí tượ ng học và thuỷ vănhọc đòi hỏi các chuyên gia khí tượ ng, thuỷ văn phải nhanh chóng và chủ động chiếm l ĩ nh nó.

Lý thuyết các hàm ngẫu nhiên, một bộ phận của lý thuyết xác suất, đã phát triển nhanh chóng trong

mấy thậ p niên gần đây và đượ c ứng dụng r ất r ộng rãi trong nhiều l ĩ nh vực khoa học và k ỹ thuật. Tr ướ c hết phải k ể đến các ứng dụng của lý thuyết hàm ngẫu nhiên trong k ỹ thuật vô tuyến, đặc biệt trong lý thuyếtđiều khiển tự động mà các nhu cầu của chúng, đến lượ t mình, lại thúc đẩy sự phát triển của chính lý thuyếtnày. Sự ứng dụng r ộng rãi của lý thuyết hàm ngẫu nhiên trong khí tượ ng thuỷ văn muộn hơ n một chút. Dođó hiện nay có hai loại giáo trình về lý thuyết hàm ngẫu nhiên.

Tài liệu loại thứ nhất trình bày chặt chẽ lý thuyết quá trình xác suất dựa trên nền toán học ở trình độ cao (thí dụ như J. Dub "Các quá trình xác suất", I. A. Rozanov "Các quá trình ngẫu nhiên dừng"). Nhữngcuốn sách này dùng cho các chuyên gia về toán nên r ất khó đối vớ i sinh viên các tr ườ ng khí tượ ng thuỷ văn cũng như đối vớ i các k ỹ sư chưa đượ c trang bị toán học đầy đủ. Loại thứ hai là các chuyên khảo vàsách giáo khoa trong đó trình bày cơ sở lý thuyết hàm ngẫu nhiên tươ ng ứng vớ i nhu cầu của lý thuyết điềukhiển tự động và k ỹ thuật vô tuyến. Việc sử dụng các sách loại này đối vớ i các chuyên gia khí tượ ng thuỷ

văn bị khó khăn vì trong đó lý thuyết hàm ngẫu nhiên và các phươ ng pháp của lý thuyết điều khiển tự động



10

hay k ỹ thuật vô tuyến gắn chặt vớ i nhau, khó tách biệt ra đượ c. Ngoài ra, ở đây chưa phản ánh đượ c nhữngkhía cạnh hết sức quan tr ọng khi ứng dụng lý thuyết này vào khí tượ ng thuỷ văn học.

Cuốn sách này nhằm hướ ng tớ i những độc giả có kiến thức toán đượ c trang bị ở mức giáo trình toáncao cấ p dành các tr ườ ng đại học chuyên ngành khí tượ ng thuỷ văn. Trong khi trình bày, nếu buộc phải

dùng đến những phươ ng pháp và khái niệm ít quen thuộc, thì chúng sẽ đượ c diễn giải một cách ngắn gọn(ví dụ, một số dẫn liệu từ lý thuyết các phươ ng trình tích phân, một vài khái niệm của đại số tuyến tính,hàm delta v.v...).

Vì một số chuyên gia khí tượ ng thuỷ văn chưa có đủ kiến thức về lý thuyết xác suất, trong chươ ng 1sẽ khái quát những kiến thức cơ bản của lý thuyết xác suất mà sau này dùng đến khi trình bày lý thuyếthàm ngẫu nhiên. Việc trình bày chi tiết các vấn đề này đã có trong các sách giáo khoa về lý thuyết xác suất,chẳng hạn trong cuốn giáo trình nổi tiếng của E.S. Ventxel [4]. Độc giả nào đã quen vớ i lý thuyết xác suấtcó thể bỏ qua chươ ng này.

Nội dung trình bày trong sách không nhằm bao quát đầy đủ lý thuyết hàm ngẫu nhiên, mà chủ yếu chỉ xét những khía cạnh nào của lý thuyết có ứng dụng r ộng rãi trong khí tượ ng thuỷ văn học. Ngoài ra, tác giả chủ yếu tậ p trung trình bày sao cho đơ n giản và dễ hiểu, không bị gò bó bở i yêu cầu về sự chặt chẽ toàn

diện về mặt toán học.Cuốn sách gồm hai phần. Phần thứ nhất trình bày cơ sở lý thuyết hàm ngẫu nhiên, trong đó bên cạnh

việc xét các quá trình ngẫu nhiên một chiều, đã chú ý nhiều đến các tr ườ ng ngẫu nhiên không gian. Phầnthứ hai xét một số bài toán khí tượ ng, thuỷ văn đượ c giải bằng các phươ ng pháp của lý thuyết hàm ngẫunhiên. Tuy nhiên hoàn toàn không đặt ra mục tiêu tổng quan hệ thống tất cả những công trình nghiên cứugiải đã quyết các bài toán khí tượ ng thuỷ văn bằng phươ ng pháp lý thuyết hàm ngẫu nhiên. Những tổngquan như vậy về ứng dụng lý thuyết hàm ngẫu nhiên trong khí tượ ng thuỷ văn có thể tìm thấy trong nhiềucông trình của các tác giả trong và ngoài nướ c [5, 18, 20, 14, 45, 9, 57...].

Trong cuốn sách này chỉ lựa chọn một số bài toán khí tượ ng và thuỷ văn tiêu biểu cho phép minhhoạ sự ứng dụng các phươ ng pháp cơ bản của lý thuyết hàm ngẫu nhiên đã trình bày trong phần đầu củacuốn sách. Và ở đây tậ p trung chủ yếu vào các vấn đề phươ ng pháp luận.

Tác giả hy vọng cuốn sách sẽ giúp đông đảo các nhà khí tượ ng thuỷ văn l ĩ nh hội những ý tưở ng và phươ ng pháp cơ bản của lý thuyết các hàm ngẫu nhiên và ứng dụng chúng vào thực tiễn của khí tượ ng thủyvăn học.

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơ n tớ i N.A. Bagrov, O.A. Đrozđov và M.I. Iuđin, những ngườ i đã cónhững góp ý quý giá về nội dung và cấu trúc cuốn sách. Tác giả đặc biệt cám ơ n L.S. Ganđin đã đọc toànvăn bản thảo và nêu ra nhiều nhận xét giúp tác giả lưu ý khi chuẩn bị xuất bản.



11

PHẦN 1 - CƠ SỞ LÝ THUYẾT HÀM NGẪU NHIÊN

Chương 1

MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT XÁC SUẤT

1.1 ĐẠI LƯỢ NG NGẪU NHIÊN VÀ LUẬT PHÂN BỐ

Đại lượ ng ngẫu nhiên là đại lượ ng mà khi tiến hành một loạt phép thử trong cùng một điều kiện như nhau có thể mỗi lần nhận đượ c giá tr ị này hoặc giá tr ị khác hoàn toàn không biết tr ướ c đượ c.

Ngườ i ta chia đại lượ ng ngẫu nhiên thành hai dạng là đại lượ ng ngẫu nhiên r ờ i r ạc và đại lượ ng ngẫunhiên liên tục. Đại lượ ng ngẫu nhiên r ờ i r ạc là đại lượ ng ngẫu nhiên mà mọi giá tr ị có thể của nó có thể liệtkê ra đượ c, tức là có thể đánh số thứ tự bằng tậ p số tự nhiên. Ngượ c lại, đại lượ ng ngẫu nhiên liên tục làđại lượ ng ngẫu nhiên mà mọi giá tr ị có thể của nó phủ đầy một đoạn của tr ục số, và do đó không thể đánhsố đượ c.

Ví dụ về đại lượ ng ngẫu nhiên r ờ i r ạc là số điểm khi gieo con xúc xắc. Đại lượ ng ngẫu nhiên này vớ imỗi lần thí nghiệm có thể nhận một trong sáu giá tr ị: 1, 2, 3, 4, 5 hoặc 6.

Đại lượ ng ngẫu nhiên sẽ đượ c xem là r ờ i r ạc nếu nó chỉ có thể nhận hoặc giá tr ị nguyên, hoặc giá tr ị

hữu tỷ. Khi đó tậ p các giá tr ị có thể của đại lượ ng ngẫu nhiên là vô hạn.Đại lượ ng ngẫu nhiên liên tục là đại lượ ng ngẫu nhiên mà trong k ết quả thí nghiệm có thể nhận bất k ỳ

giá tr ị số thực nào trên một khoảng hoặc một vài khoảng nào đó. Ví dụ nhiệt độ không khí, áp suất khôngkhí hoặc độ lệch của chúng so vớ i trung bình chuẩn nhiều năm, các thành phần của vectơ vận tốc gió cóthể coi là đại lượ ng ngẫu nhiên liên tục.

Sai số của các dụng cụ đo có thể xem là đại lượ ng ngẫu nhiên. Thông thườ ng, các sai số này sẽ là đạilượ ng ngẫu nhiên dạng liên tục. Ta qui ướ c ký hiệu các đại lượ ng ngẫu nhiên bằng các chữ hoa: A, B, C, X,

Y... còn các giá tr ị có thể của chúng là các chữ in thườ ng tươ ng ứng: a, b, c, x, y...

Giả sử đại lượ ng ngẫu nhiên r ờ i r ạc X có thể nhận các giá tr ị x1 , x2 ,..., xn vớ i xác suất p1 , p2 ,..., pn.

Khi đã liệt kê đượ c mọi giá tr ị mà đại lượ ng ngẫu nhiên có thể có và cho tr ướ c xác suất mà mỗi giá tr ị

của nó nhận, ta hoàn toàn xác định đượ c đại lượ ng ngẫu nhiên đó.

Hệ thức xác lậ p mối liên hệ giữa các giá tr ị có thể của đại lượ ng ngẫu nhiên và xác suất tươ ng ứngcủa chúng gọi là luật phân bố của đại lượ ng ngẫu nhiên.

Đối vớ i đại lượ ng ngẫu nhiên r ờ i r ạc, luật phân bố có thể cho dướ i dạng bảng mà một hàng là các giátr ị có thể có của đại lượ ng ngẫu nhiên xi, và một hàng khác là xác suất tươ ng ứng pi.

x1 x2 x3 … xn

p1 p2 p3 … pn



12

Khi đó số lượ ng các giá tr ị có thể của đại lượ ng ngẫu nhiên có thể là hữu hạn hoặc vô hạn, còn tổngcác xác suất ở hàng thứ hai của bảng, giống như tổng các xác suất của nhóm đầy đủ các sự kiện xung khắc, bằng 1.

∑=1

i p .

Đối vớ i đại lượ ng ngẫu nhiên liên tục không thể lậ p bảng tươ ng tự như vậy, vì không thể liệt kê đượ ccác giá tr ị của nó. Ngoài ra, như chúng ta có thể thấy sau này, xác suất để cho đại lượ ng ngẫu nhiên liêntục nhận một giá tr ị cụ thể bằng không, mặc dù khi đó xác suất mà nó nhận một giá tr ị bất k ỳ trong khoảngvô cùng bé xung quanh giá tr ị đó khác không.

Để đặc tr ưng đầy đủ cho đại lượ ng ngẫu nhiên, cả loại r ờ i r ạc lẫn loại liên tục, ngườ i ta sử dụng luật phân bố tích phân, cũng còn gọi là hàm phân bố.

Luật phân bố tích phân F(x) của đại lượ ng ngẫu nhiên X đượ c định ngh ĩ a là xác suất để cho đại lượ ngngẫu nhiên X nhận giá tr ị nhỏ hơ n một số x nào đó:

( ) ( ) x X P x F <= , (1.1.1)

ở đây P ( X < x ) là ký hiệu xác suất của sự kiện X<x.

Nếu xem đại lượ ng ngẫu nhiên X như là vị trí của điểm trên tr ục số, thì giá tr ị của hàm F(x) có ngh ĩ alà xác suất để điểm này nằm bên trái điểm x. Sự lý giải hình học như vậy làm rõ các tính chất sau đây củahàm phân bố:

1) F(x) là hàm không giảm theo đối số, ngh ĩ a là vớ i x2 > x1 thì F(x2 ) ≥ F(x1 );

2) F( −∞ ) = 0 là xác suất của sự kiện bất khả;

3) F(+∞ ) = 1 là xác suất của sự kiện tất yếu.

Đối vớ i đại lượ ng ngẫu nhiên r ờ i r ạc, giá tr ị hàm phân bố F(x) là tổng xác suất pi của mọi giá tr ị cóthể xi nhỏ hơ n x, tức là:

∑<

== x x

i

i

) x X ( P ) x( F (1.1.2)

Từ đó thấy r ằng, đồ thị hàm phân bố của đại lượ ng ngẫu nhiên r ờ i r ạc là đườ ng bậc thang có các điểmgián đoạn tại xi, và giá tr ị đột biến ở các điểm đó bằng pi = P(X=xi ).

Trên hình 1.1 biểu diễn đồ thị hàm phân bố đại lượ ng ngẫu nhiên là số điểm xuất hiện khi gieo conxúc xắc. Trong tr ườ ng hợ p này mỗi một giá tr ị trong số các giá tr ị từ 1 đến 6 tươ ng ứng vớ i cùng xác suất

p=1/6.

Đồ thị hàm phân bố của đại lượ ng ngẫu nhiên liên tục mà các giá tr ị có thể của nó lấ p đầy mộtkhoảng [a,b] nào đó thườ ng là một đườ ng cong liên tục tăng từ 0 đến 1 (hình 1.2).

Hình 1.1 Hình 1.2

Tuy nhiên, có thể đưa ra những ví dụ về đại lượ ng ngẫu nhiên mà giá tr ị có thể của nó lấ p đầy hoàntoàn một khoảng nào đó, nhưng đồ thị hàm phân bố lại có điểm gián đoạn. Đại lượ ng ngẫu nhiên như vậygọi là đại lượ ng ngẫu nhiên dạng hỗn hợ p. Đại lượ ng ngẫu nhiên dạng hỗn hợ p trên thực tế hiếm khi gặ p.



13

Sau này ta sẽ gọi đại lượ ng ngẫu nhiên mà hàm phân bố của nó liên tục và khả vi là đại lượ ng ngẫunhiên liên tục.

Khi đã biết hàm phân bố có thể xác định đượ c xác suất để đại lượ ng ngẫu nhiên nhận giá tr ị trongkhoảng cho tr ướ c.

Ta hãy xác định xác suất P(a≤ X<b) là xác suất mà đại lượ ng ngẫu nhiên X nhận giá tr ị lớ n hơ n hoặc bằng a và nhỏ hơ n b.

Xác suất P(X<b) để cho đại lượ ng ngẫu nhiên nhận giá tr ị nhỏ hơ n b có thể coi như tổng xác suất củahai sự kiện xung khắc

)b X <≤+<=< P(aa) P(X b) P(X . (1.1.3)

Từ đó:

( ) ( ) ( )a F b X P )b X −=<<=≤≤ F(b)a X P- P(a (1.1.4)

Như vậy, xác suất mà đại lượ ng ngẫu nhiên nhận giá tr ị trong khoảng cho tr ướ c, hoặc như ngườ i tathườ ng nói là xác suất mà đại lượ ng ngẫu nhiên r ơ i vào khoảng cho tr ướ c, bằng số gia của hàm phân bố

trên khoảng đó.Bây giờ ta xét đại lượ ng ngẫu nhiên liên tục X và thu hẹ p khoảng, cho b tiến đến a. Khi đó, do tính

liên tục của hàm phân bố, F(b) sẽ tiến đến F(a). Như vậy, khi lấy giớ i hạn đẳng thức (1.1.4), vế trái choxác suất đại lượ ng ngẫu nhiên X nhận giá tr ị a, còn vế phải dần đến 0. Rõ ràng, đối vớ i đại lượ ng ngẫunhiên liên tục, xác suất nhận một giá tr ị cụ thể bất k ỳ nào đó bằng 0.

Đối vớ i đại lượ ng ngẫu nhiên liên tục có thể viết công thức (1.1.4) để tính xác suất r ơ i vào mộtkhoảng của đại lượ ng ngẫu nhiên dướ i dạng

F(b) F(a)b) X P(a −=<< . (1.1.5)

Đối vớ i đại lượ ng ngẫu nhiên liên tục, hàm phân bố của nó liên tục và khả vi nên có thể sử dụng đạohàm của hàm phân bố vớ i tư cách là luật phân bố, đượ c ký hiệu bằng f(x)

x ) x( F ) x x( F lim ) x( ' F ) x( f

x Δ−Δ+==

→Δ 0(1.1.6)

và gọi đượ c là luật phân bố vi phân hay mật độ phân bố.

Mật độ phân bố là đạo hàm của hàm không giảm của F(x) nên nó là hàm không âm, tức là f(x) ≥ 0 vớ imọi x.

Biểu diễn hàm phân bố F(x) qua mật độ phân bố f(x) r ồi lấy tích phân đẳng thức (1.1.6) trong khoảngtừ −∞ đến x, ta nhận đượ c

( )∞−−=∫∞−

F dx ) x( f x

F(x) (1.1.7)

Vì F( −∞ ) = 0, nên:

∫∞−

= x

dx ) x( f ) x( F (1.1.8)

Từ các công thức (1.1.6) và (1.1.8) ta thấy r ằng hàm phân bố và mật độ phân bố biểu diễn đượ c quanhau và do đó đối vớ i đại lượ ng ngẫu nhiên liên tục chỉ cần một trong hai hàm phân bố hoặc hàm mật độ làđủ để đặc tr ưng cho nó.

Ta hãy biểu diễn xác suất r ơ i vào khoảng cho tr ướ c (a,b) của đại lượ ng ngẫu nhiên qua mật độ phân bố.

Sử dụng (1.1.5) và (1.1.8), ta đượ c:



14

∫ ∫ ∫∞− ∞−

=−=−=<<b a b

a

dx ) x( f dx ) x( f dx ) x( f )a( F )b( F )b X a( P (1.1.9)

Từ đó thấy r ằng, xác suất r ơ i trong khoảng (a,b) cho tr ướ c của đại lượ ng ngẫu nhiên bằng diện tích

hình thang cong giớ i hạn bở i đồ thị hàm f(x) (đượ c gọi là đườ ng cong phân bố), tr ục 0x và các đườ ng thẳng x = a, x = b (hình 1.3).

Giả sử trong (1.1.9) đặt a = −∞ và b = +∞ , ta nhận đượ c:

∫∞

∞−

==+∞<<−∞ dx ) x( f ) X ( P 1 (1.1.10)

tức là tổng diện tích nằm dướ i đườ ng cong phân bố bằng 1.

Để tích phân xác định trong (1.1.10) hội tụ, điều kiện cần là ( ) 0=−∞→

x f lim x

và ( ) 0=+∞→

x f lim x

, có

ngh ĩ a là trong tr ườ ng hợ p đại lượ ng ngẫu nhiên X có thể nhận các giá tr ị trong khoảng vô hạn thì tr ục 0x

phải là tiệm cận của đườ ng cong phân bố về cả hai hướ ng.

Ta lấy một điểm x tuỳ ý và một đoạn phần tử dx k ế cận nó (xem hình 1.3). Đại lượ ng f(x)dx gọi là xácsuất phần tử, vớ i độ chính xác đến vô cùng bé bậc cao hơ n, nó xác định xác suất r ơ i của đại lượ ng ngẫunhiên trên đoạn phần tử đó.

1.2. CÁC ĐẶC TR Ư NG SỐ CỦA ĐẠI LƯỢ NG NGẪU NHIÊN

Luật phân bố của đại lượ ng ngẫu nhiên là đặc tr ưng đầy đủ nhất của nó. Tuy nhiên, không phải lúcnào cũng có thể xác định đượ c luật phân bố, thông thườ ng ngườ i ta chỉ sử dụng một số đặc tr ưng số biểuthị những nét cơ bản của đườ ng cong phân bố của đại lượ ng ngẫu nhiên. Đó là các mômen phân bố vớ i bậckhác nhau.

Mômen gốc bậc k của đại lượ ng ngẫu nhiên r ờ i r ạc X là mk [ X ] có dạng tổng:

[ ] i

i

k ik p x X m ∑= (1.2.1)

vớ i xi là các giá tr ị có thể của đại lượ ng ngẫu nhiên, còn pi là xác suất tươ ng ứng của chúng.

Đối vớ i đại lượ ng ngẫu nhiên liên tục, phép lấy tổng theo các giá tr ị r ờ i r ạc xi đượ c thay bằng phéplấy tích phân theo toàn bộ các giá tr ị của đối số liên tục x. Khi đó xác suất pi đượ c thay bằng xác suất phầntử f(x)dx.

Như vậy, đối vớ i đại lượ ng ngẫu nhiên liên tục:

[ ] dx ) x( f x X m k k ∫

∞

∞−

= (1.2.2)

Mômen gốc bậc nhất [ ] X m1 là k ỳ vọng toán học của đại lượ ng ngẫu nhiên X và đượ c ký hiệu là

[ ] X M hoặc m x.

Đối vớ i đại lượ ng ngẫu nhiên r ờ i r ạc:

[ ] i

i

i p x X M ∑= (1.2.3)

Đối vớ i đại lượ ng ngẫu nhiên liên tục:

[ ] dx ) x( f x X M ∫∞

∞−

= (1.2.4)

Mômen gốc bậc k là k ỳ vọng toán học của đại lượ ng ngẫu nhiên luỹ thừa k , tức là:



15

[ ] k k X M X m = (1.2.5)

Độ lệch của đại lượ ng ngẫu nhiên X khỏi k ỳ vọng toán học của nó đượ c gọi là đại lượ ng ngẫu nhiên

qui tâm và ký hiệu bở io

X

x

o

m X −= X (1.2.6)

Mômen trung tâm bậc k của đại lượ ng ngẫu nhiên X là μk [ X ], là mômen gốc bậc k của đại lượ ng ngẫunhiên qui tâm:

[ ] ( )[ ]k x

k oo

k k m X M X M X m X −=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=μ (1.2.7)

Mômen trung tâm bậc k là k ỳ vọng toán học của đại lượ ng ngẫu nhiên qui tâm luỹ thừa k .


[ ] i

k

xi ip )m x( X M −=

∑(1.2.8)


[ ] dx ) x( f )m x( X k xk ∫

∞

∞−

−=μ (1.2.9)

Mômen trung tâm bậc nhất luôn luôn bằng không. Thật vậy, đối vớ i đại lượ ng ngẫu nhiên liên tục:

[ ] [ ] =−=−=μ ∫∞

∞−

dx ) x( f )m x( m X M X x x1

0=−=−= ∫∫ ∞

∞−

∞

∞− x x x mmdx ) x( f mdx ) x( xf


[ ] 01 =−=−=−=μ ∑∑∑ x xi

i xi

iii

i xi mm pm p x p )m x( X

Các mômen gốc là các mômen của đườ ng cong phân bố so vớ i tr ục tung. Mômen trung tâm là mômencủa đườ ng cong phân bố so vớ i tr ục đi qua tr ọng tâm của đườ ng cong đó.

Mômen trung tâm bậc hai đượ c gọi là phươ ng sai của đại lượ ng ngẫu nhiên và ký hiệu là D[ X ] hay D

x.

[ ] ( )22 x x m X M X D −=μ= (1.2.10)

Phươ ng sai là k ỳ vọng toán học của bình phươ ng độ lệch của đại lượ ng ngẫu nhiên khỏi k ỳ vọng toánhọc của nó.


[ ] i x

i

i p )m x( X D 2−= ∑ (1.2.11)


[ ] dx ) x( f )m x( X D x

∫

∞

∞−

−= 2 (1.2.12)



16

Phươ ng sai của đại lượ ng ngẫu nhiên đặc tr ưng cho sự phân tán, tản mạn của đại lượ ng ngẫu nhiênxung quanh k ỳ vọng toán học. Phươ ng sai có thứ nguyên là bình phươ ng thứ nguyên của đại lượ ng ngẫunhiên. Để có đượ c đặc tr ưng phân tán cùng thứ nguyên vớ i đại lượ ng ngẫu nhiên ngườ i ta sử dụng độ lệch bình phươ ng trung bình, bằng căn bậc hai của phươ ng sai và đượ c ký hiệu là [ ] X σ hoặc xσ

x x D=σ

Mômen trung tâm bậc ba dùng để đặc tr ưng cho tính bất đối xứng của phân bố. Nếu đườ ng cong phân bố là đối xứng đối vớ i k ỳ vọng toán học thì mọi mômen trung tâm bậc lẻ bằng không. Thực vậy, ví dụ đốivớ i đại lượ ng ngẫu nhiên liên tục, từ (1.2.9) ta có:

[ ] dx ) x( f )m x( X k xk ∫

∞

∞−

++ −=μ 12

12 .

Thay biến y = x − m x trong tích phân, khi đó:

[ ] =+=μ ∫∞

∞−+ dy )m y( yf X xk 12 dy )m y( yf dy )m y( yf x x ∫∫

∞

∞−+++

0

0

.

Trong tích phân đầu tiên, khi thay y = − z, ta đượ c:

[ ] dy )m y( yf dz ) zm( zf X x xk ∫∫∞∞

+ ++−−=μ00

12 =

000

=++−−= ∫∫∞∞

dx )m x( xf dx ) xm( xf x x

vì hàm f(x) đối xứng đối vớ i m x:

( ) ( ) x−=+ x x m f xm f

Để đặc tr ưng cho tính bất đối xứng, ngườ i ta chọn một mômen đầu tiên trong số những mômen trungtâm bậc lẻ khác không, tức là μ 3. Ngoài ra, để có một đại lượ ng vô thứ nguyên đặc tr ưng cho tính bất đốixứng của phân bố, ngườ i ta dùng đại lượ ng:

33

σ

μ=S , (1.2.13)

gọi là hệ số bất đối xứng.

Mômen trung tâm bậc bốn đặc tr ưng cho sự nhọn của đỉnh, sự dốc đứng của đườ ng cong phân bố, đặc

tr ưng đó gọi là độ nhọn và đượ c xác định theo công thức:

344 −

σ

μ= E . (1.2.14)

Đối vớ i loại phân bố thườ ng gặ p là phân bố chuẩn, như sẽ thấy trong mục 1.5, μ4/σ4=3, có ngh ĩ a là E=0.

Đối vớ i các đườ ng cong phân bố nhọn hơ n đườ ng cong phân bố chuẩn thì E>0; còn tù hơ n thì E<0 (hình 1.4).



17

Hình 1.3

Hình 1.4

Giữa mômen gốc và mômen trung tâm có quan hệ sau:2122 mm −=μ ,

312133 23 mmmm +−=μ ,

4

1

2

121344364 mmmmmm −+−=μ . (1.2.15)

Biểu thức thứ nhất thuận tiện cho việc tính phươ ng sai, các biểu thức thứ hai và ba thuận tiện khi tínhđộ bất đối xứng và độ nhọn của phân bố.

Chẳng hạn, ta sẽ chứng minh đẳng thức thứ nhất trong (1.2.15) đối vớ i đại lượ ng ngẫu nhiên liên tục:

∫∫∫∞

∞−

∞

∞−

+∞

∞−

+−=−=μ dx ) x( xf mdx ) x( f xdx ) x( f )m x( x x 2222

212

222

2 2 mmmmmdx ) x( f m x x x −=+−=+ ∫∞

∞−

.

Ta hãy xét các luật phân bố và các đặc tr ưng số của chúng thườ ng gặ p nhất trong thực tế.

1.3. LUẬT PHÂN BỐ POATXÔNG

Một trong những luật phân bố phổ biến nhất của đại lượ ng ngẫu nhiên r ờ i r ạc là luật phân bố Poatxông.

Về phươ ng diện toán học, luật Poatxông đượ c biểu diễn bở i:

,!m

ae )m X ( P

ma−== (1.3.1)

ở đây P(X=m) là xác suất mà đại lượ ng ngẫu nhiên X nhận giá tr ị bằng số nguyên m. Có thể diễn giải về đại lượ ng ngẫu nhiên X tuân theo luật phân bố Poatxông như sau:

Giả sử theo thờ i gian, một sự kiện A nào đó xảy ra nhiều lần. Ta sẽ xem số lần xuất hiện sự kiện nàytrong suốt khoảng thờ i gian cho tr ướ c [t 0 , t 0+T ] như là một đại lượ ng ngẫu nhiên.

Đại lượ ng ngẫu nhiên này sẽ tuân theo luật phân bố Poatxông khi các điều kiện sau đây đượ c thựchiện:

1. Xác suất r ơ i của số sự kiện cho tr ướ c vào khoảng thờ i gian đang xét phụ thuộc vào số sự kiện vàđộ dài của khoảng thờ i gian T , nhưng không phụ thuộc vào điểm đầu t o của nó. Điều đó có ngh ĩ a là các sự kiện phân bố theo thờ i gian vớ i mật độ trung bình như nhau, tức là k ỳ vọng toán học của số sự kiện trongmột đơ n vị thờ i gian bằng hằng số.



18

2. Xác suất của số lần xuất hiện sự kiện đã cho trong khoảng [t o , t o+T ] không phụ thuộc vào số lần vàthờ i điểm xuất hiện sự kiện tr ướ c thờ i điểm t o, điều đó có ngh ĩ a là có sự độc lậ p tươ ng hỗ giữa số lần xuấthiện sự kiện trong các khoảng thờ i gian không giao nhau.

3. Xác suất xuất hiện hai hay nhiều sự kiện trong khoảng thờ i gian yếu tố [t, t+Δt ] r ất bé so vớ i xác

suất xuất hiện một sự kiện trong đó.

Ta xác định k ỳ vọng toán học và phươ ng sai đại lượ ng ngẫu nhiên X phân bố theo luật Poatxông.

Theo (1.2.3) k ỳ vọng toán học đượ c xác định dướ i dạng:

∑∑∑∞

=

−−

∞

=

−∞

= −===

1

1

00 1m

ma

m

m

a

mm x

)!m(

aae

!m

amempm (1.3.2)

Chuỗi số trong (1.3.2) là chuỗi Macloren đối vớ i hàm ea, do đó:

aeaem aa x == − . (1.3.3)

Như vậy, tham số a trong công thức (1.3.1) là k ỳ vọng toán học của đại lượ ng ngẫu nhiên tuân theo

luật Poatxông.Theo (1.2.15), phươ ng sai của đại lượ ng ngẫu nhiên X đượ c xác định dướ i dạng:

=−=−= −∞

=

∞

=∑∑ 2

0

22

0

2 a!m

aema pm D

ma

mm

m x

[ ] =−−

+−=−−

= ∑∑∞

=

−−

∞

=

−− 2

1

12

1

1

111

1a

)!m(

a )m( aea

)!m(

amae

m

ma

m

ma

2

1

1

1

1

111 a

)!m(

a

)!m(

a )m( ae

m

m

m

ma −

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−+

−−= ∑∑

∞

=

−∞

=

−− (1.3.4)

Mỗi thành phần trong tổng vô hạn (1.3.4) là chuỗi Macloren đối vớ i hàm e

a

, nó có thể đượ c viết dướ idạng ,

!k

a

k

k

∑∞

= 0

từ đó (1.3.4) tr ở thành:

( ) aaeaeae D aaa x =−+= − 2 . (1.3.5)

Do đó, phươ ng sai của đại lượ ng ngẫu nhiên phân bố theo luật Poatxông bằng chính k ỳ vọng toán họccủa nó.

1.4. LUẬT PHÂN BỐ ĐỀU

Đại lượ ng ngẫu nhiên liên tục đượ c gọi là có phân bố đều nếu mọi giá tr ị có thể của nó nằm trong mộtkhoảng nào đó và mật độ phân bố trên khoảng ấy không đổi.

Mật độ phân bố đều đượ c cho bở i công thức:

⎪⎩

⎪⎨⎧

<

<<−=

b>xhoÆca xkhi

b xakhiab ) x( f

0

1(1.4.1)

Đườ ng cong phân bố có dạng như trên hình 1.5.

Hàm f(x) có các tính chất của mật độ phân bố. Thật vậy, f(x)≥ 0 vớ i mọi x, và:

1=−

=∫ ∫∞

∞−

b

aab

dxdx ) x( f .

Ta xác định hàm phân bố F(x):



19

∫∞− ⎪

⎩

⎪⎨

⎧

>

<<−−

<

== x

b xkhi

b xakhiab

a xa xkhi

dx ) x( f ) x( F

1

0

(1.4.2)

Đồ thị hàm phân bố đượ c biểu diễn trên hình 1.6.

Ta xác định các đặc tr ưng số của phân bố đều. K ỳ vọng toán học bằng

∫∫+

=−

==∞

∞−

b

a

x

ba xdx

abdx ) x( xf m

2

1. (1.4.3)

Mômen trung tâm bậc k bằng:

dx )ba

x( ab

k b

a

k 2

1 +−

−=μ ∫ . (1.4.4)

Thay biến t ba

x =+

−2

trong tích phân (1.4.4) ta nhận đượ c:

dt t ab

ab

ab

k k ∫

−

−−

−=μ

2

2

1(1.4.5)

Từ đó nhận thấy r ằng, tất cả các mômen trung tâm bậc lẻ bằng không: μ 2l-1 = 0, l =1,2,... giống như tích phân của hàm lẻ trong khoảng đối xứng.

Mômen trung tâm bậc chẵn bằng:

,... ,l , )l (

)ab( dt t ab l

l

ab

l l 21122

22

22

0

22 =−

−=−=μ ∫

−

(1.4.6)

Vớ i l = 1 ta nhận đượ c giá tr ị của phươ ng sai:

. )ab(

D x 12

2

2−

=μ= (1.4.7)

Hình 1.5

Hình 1.6

Từ đó độ lệch bình phươ ng trung bình là:

32

ab D x x

−==σ (1.4.8)

Độ bất đối xứng của phân bố S=0, vì μ 3=0. Độ nhọn của phân bố bằng



20

21380

1443

4

4

44 ,

)ab(

. )ab( E −=−

−

−=−

σ

μ= (1.4.9)

1.5. LUẬT PHÂN BỐ CHUẨ N

Trên thực tế thườ ng gặ p nhất là các đại lượ ng ngẫu nhiên mà mật độ phân bố của chúng có dạng:

2

2

2

2

1 σ

−−

πσ=

)a x(

e ) x( f . (1.5.1)

Luật phân bố đặc tr ưng bở i (1.5.1) r ất phổ biến, nên đượ c gọi là luật phân bố chuẩn, còn đại lượ ngngẫu nhiên có mật độ phân bố đó đượ c gọi là đại lượ ng ngẫu nhiên phân bố chuẩn.

Trong nhiều hiện tượ ng tự nhiên và k ỹ thuật, một quá trình đang xét là k ết quả tác động tổng hợ p củahàng loạt các nhân tố ngẫu nhiên. Khi đó, đại lượ ng ngẫu nhiên đặc tr ưng bằng số của quá trình đang xét làtổng của một chuỗi các đại lượ ng ngẫu nhiên mà mỗi đại lượ ng ngẫu nhiên trong chuỗi tuân theo một luật phân bố nào đó. Nếu đại lượ ng ngẫu nhiên là tổng của một số lớ n các đại lượ ng ngẫu nhiên độc lậ p hoặc phụ thuộc yếu, và mỗi đại lượ ng ngẫu nhiên thành phần đóng góp một tỷ tr ọng không lớ n lắm so vớ i tổngchung, thì luật phân bố của đại lượ ng ngẫu nhiên tổng là chuẩn hoặc gần chuẩn, không phụ thuộc vào phân bố của các đại lượ ng ngẫu nhiên thành phần.

Điều này rút ra từ định lý nổi tiếng của Liapunov: nếu đại lượ ng ngẫu nhiên X là tổng của các đại

lượ ng ngẫu nhiên độc lậ p X 1 , X 2 ,..., X n , ∑=

=n

i

i X X 1

và thoả mãn điều kiện:

[ ][ ]

01

33 =

σ

μ∑=∞→

n

i

i

n X

X lim , (1.5.2)

thì khi n→∞ , luật phân bố của đại lượ ng ngẫu nhiên X tiến đến luật chuẩn.

Điều kiện (1.5.2) phản ánh sự tiến dần đến không của tỷ số giữa tổng các mômen trung tâm tuyệt đối bậc ba [ ]i X 3μ của các đại lượ ng ngẫu nhiên X i và lậ p phươ ng độ lệch bình phươ ng trung bình của đại

lượ ng ngẫu nhiên tổng cộng X khi tăng dần số các số hạng, và đặc tr ưng cho sự nhỏ tươ ng đối của từng số hạng ngẫu nhiên trong tổng chung.

Đườ ng cong phân bố của luật phân bố chuẩn trên hình 1.7 có tên là lát cắt Ơle, hay đườ ng cong

Gauxơ . Đườ ng cong phân bố này đối xứng qua đườ ng thẳng x=a và có cực đại bằngπσ 2

1tại điểm x =

a.

Để xác định ý ngh ĩ a của các tham số a và σ, ta tính k ỳ vọng toán học và phươ ng sai của đại lượ ng

ngẫu nhiên X có phân bố chuẩn:( )

∫∞+

∞−

σ

−−

πσ= dx xem

a x

x

2

2

2

2

1(1.5.3)

Đổi biến trong tích phân (1.5.3):

t a x

=σ

−

2(1.5.4)

ta đượ c:

∫

+∞

∞−

−+σ= dt e )at ( m t

x

22

2

1 =

∫∫

+∞

∞−

−+∞

∞−

−

π+

π

σdt e

adt te t t

222(1.5.5)



21

Tích phân thứ nhất trong (1.5.5) bằng không vì đó là tích phân của hàm lẻ trên miền giớ i hạn đối

xứng, tích phân thứ hai là tích phân Poatxông đã biết, bằng π . Từ đó m x=a, tức là tham số a trong hàm

(1.5.1) là k ỳ vọng toán học của đại lượ ng ngẫu nhiên.

Tiế p theo:

( )( )

∫∞+

∞−

σ

−−

−πσ

= dxea x D

a x

x

2

2

22

2

1, (1.5.6)

Sử dụng phép đổi biến (1.5.4) trong tích phân (1.5.6) ta đượ c:

∫+∞

∞−

−

π

σ= dt et D t

x

2222

. (1.5.7)

Lấy tích phân từng phần (1.5.7) ta đượ c:2σ= x D (1.5.8)

Do đó, tham số σ là độ lệch bình phươ ng trung bình của đại lượ ng ngẫu nhiên. Tham số a chỉ vị trítâm đối xứng của đườ ng cong phân bố, thay đổi a có ngh ĩ a là dịch chuyển tâm này dọc theo tr ục 0 x. Tham

số σ xác định tung độ đỉnh đườ ng cong phân bố, bằngπσ 2

1. Tr ị số σ càng nhỏ thì đỉnh càng cao, tức là

đườ ng cong phân bố càng nhọn.

Như vậy, mật độ xác suất của luật phân bố chuẩn đượ c xác định bở i hai tham số là k ỳ vọng toán họccủa đại lượ ng ngẫu nhiên và độ lệch bình phươ ng trung bình hoặc phươ ng sai của nó.

Ta tính mômen trung tâm của phân bố chuẩn:

( )

( )

∫

∞+

∞−

σ

−−

−πσ=μ dxea x

a x

k

k

2

2

2

2

1

, (1.5.9)

Sử dụng phép đổi biến (1.5.4) vào tích phân ta nhận đượ c:

( )∫∞+

∞−

−

π

σ=μ dt et t k

k

k

22, (1.5.10)

Lấy tích phân từng phần ta có:

( )( )∫∞+

∞−

−−

π

σ−=μ dt et

k t k

k

k

22

2

21, (1.5.11)

Vì: ( ) ∫∞+

∞−

−−

−

−π

σ=μ dt et t k

k

k 22

2

2 2 , (1.5.12)

nên ta nhận đượ c công thức truy hồi:

( ) 221 −μσ−=μ k k k , (1.5.13)

Vì μo=1 và μ1=0 đối vớ i bất k ỳ đại lượ ng ngẫu nhiên nào, nên tất cả các mômen trung tâm bậc lẻ của phân bố chuẩn bằng không. Đối vớ i các mômen trung tâm bậc chẵn ta có:

( ) l l !!l ...;; 2

24

42

2 123 σ−=μσ=μσ=μ

Từ đó thấy r ằng, đối vớ i phân bố chuẩn, độ bất đối xứng và độ nhọn bằng không:



22

,S 033 =

σ

μ= , E 03

44 =−

σ

μ=

Ta hãy tính xác suất r ơ i vào khoảng (α , β ) của đại lượ ng ngẫu nhiên phân bố chuẩn. Theo (1.1.5) ta có

( )( )

∫β

α

σ−−

πσ=β<<α dxe X P

a x2

22

2

1(1.5.14)

Thay (1.5.4) vào ta đượ c:

( ) ∫σ

−β

σ

−α

−

π=β<<α

2

2

21

a

a

t dt e X P (1.5.15)

Hàm

( ) ∫ −π

=Φ x

t dxe x

0

22 (1.5.16)

đượ c gọi là hàm Laplas.

Từ đẳng thức (1.5.15) có thể biểu diễn xác suất r ơ i vào khoảng (α ; β ) qua hàm Laplas:

( ) =

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

π−

π=β<<α ∫∫

σ

−α

−σ

−β

−2

0

2

0

22 22

2

1

a

t

a

t dt edt e X P

= ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

⎟⎟ ⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛

σ

−α

Φ−⎟⎟ ⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛

σ

−β

Φ 222

1 aa

(1.5.17)

Hàm Laplas có các tính chất sau:

1. ( ) 00 =Φ ;

2. ( ) 12

0

2=

π=∞Φ ∫

∞− dt e t ;

3. ( ) ( ) x x Φ−=−Φ .

Thực vậy:

( ) ∫

−−

π=−Φ

xt

dt e x0

22

Thay t = − u ta có:

( ) ( ) xdue x

xu Φ−=

π−=−Φ ∫ −

0

22

Nếu tính xác suất r ơ i trong khoảng đối xứng qua k ỳ vọng toán học (a-h, a+h), thì

( ) =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

σ

−−Φ−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

σ

−+Φ=+<<−

222

1 ahaahaha X ha P



23

= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

σ−Φ−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

σΦ

222

1 hh = ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

σΦ

2

h(1.5.18)

Hàm phân bố của đại lượ ng ngẫu nhiên X phân bố chuẩn đượ c xác định dướ i dạng:

( )( )

∫∞−

σ−−

πσ=

x a x

dxe x F 2

2

2

2

1 =

= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛

σ

−Φ+=

π+

π ∫∫σ

−

∞−

−

∞−

−

21

2

111 2022 a xdt edt e

a x

t t (1.5.19)

Đồ thị của F(x) đượ c biểu diễn trên hình 1.8. Điểm x =α tươ ng ứng vớ i F(x) = 1/2.

1.6. LUẬT PHÂN BỐ R ƠLE VÀ MĂCXOEN

Đại lượ ng ngẫu nhiên X đượ c gọi là tuân theo luật phân bố R ơ le nếu hàm mật độ phân bố có dạng:

( )

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

<

≥σ

=σ

−

00

02

2

22

xkhi

xkhie x

x f

x

(1.6.1)

Trong mục 1.11 sẽ chỉ ra r ằng modul của vectơ ngẫu nhiên phân bố chuẩn hai chiều có các độ lệch bình phươ ng trung bình của các thành phần bằng nhau và các k ỳ vọng bằng không là đại lượ ng ngẫu nhiêncó luật phân bố R ơ le. Đồ thị hàm (1.6.1) có dạng như trên hình 1.9. Theo (1.1.8), hàm phân bố (hình 1.10) bằng:

( ) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

<≥−= σ

−

0001

2

2

2

xkhi xkhie x F

x

(1.6.2)

Ta hãy xác định đặc tr ưng số của phân bố R ơ le:

∫∞

σ−

σ=

0

222

2

2

1dxe xm

x

x (1.6.3)

Sau khi lấy tích phân từng phần ta nhận đượ c:

∫∞

σ−

∞

σ−

+−=0

2

0

2 2

2

2

2

dxe xem

x x

x (1.6.4)

Số hạng thứ nhất trong (1.6.4) bằng 0, số hạng thứ hai sau khi thay biến t x σ= 2 sẽ dẫn đến tích

phân Poatxông. Từ đó:

σπ

=σ= ∫∞

−

22

0

2dt em t

x (1.6.5)

Theo (1.2.12), phươ ng sai bằng:

2

0

2

2

2 22

2

1 2

2

σ⎟

⎠

⎞⎜

⎝

⎛ π−=⎟

⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ σ

π−

σ

= ∫∞

σ−

dx xe x D

x

x (1.6.6)



24

Tươ ng tự, nếu sử dụng các đẳng thức thứ hai và thứ ba trong (1.2.15) và sau khi tính các tích phântươ ng ứng ta nhận đượ c giá tr ị của mômen trung tâm bậc ba và bậc bốn của phân bố:

( ) 33 2

3 σπ

−π=μ (1.6.7)

42

4 4

38 σ⎟

⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ π−=μ (1.6.8)

Từ (1.2.13) và (1.2.14) ta nhận đượ c giá tr ị của độ bất đối xứng và độ nhọn đối vớ i phân bố R ơ le:

( )630

44

32

22

23

33

3

,S ≈π−

ππ−

−π=

σ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ π−

σπ

−π= (1.6.9)

( ) 3034

332 42

42

, E −≈−σπ−σπ−= (1.6.10)

Hình 1.7 Hình 1.8

Hình 1.9 Hình 1.10

Từ đây thấy r ằng đườ ng cong phân bố R ơ le không đối xứng qua k ỳ vọng toán học. Điểm cực đại gọilà mode của phân bố, nằm phía trái k ỳ vọng toán học. Giá tr ị âm của độ nhọn chỉ ra r ằng đườ ng cong phân

bố R ơ le có đỉnh bằng phẳng hơ n so vớ i phân bố chuẩn tươ ng ứng (khi cùng giá tr ị σ). Nếu vectơ ngẫu nhiên ba chiều tuân theo luật phân bố chuẩn có các độ lệch bình phươ ng trung bình

của các thành phần bằng nhau còn k ỳ vọng toán học bằng không, thì có thể chỉ ra r ằng modul của vectơ ấylà một đại lượ ng ngẫu nhiên có mật độ phân bố bằng:

( )

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

<

≥πσ

=σ

−

00

02 2

2

22

2

xkhi

xkhie x

x f

x

(1.6.11)

Hàm f (x) như trên đượ c gọi là luật phân bố Măcxoen. Ví dụ, phân bố của vận tốc các phân tử khí tuântheo luật Măcxoen. Đồ thị hàm (1.6.11) đượ c biểu diễn trên hình 1.11.

Giống như phân bố R ơ le, phân bố Măcxoen cũng đượ c xác định bở i một tham số σ.



25

Tươ ng tự như đã làm đối vớ i phân bố R ơ le, có thể nhận các biểu thức sau đối vớ i hàm phân bố và đặctr ưng số của phân bố Măcxoen:

( )

⎪⎪

⎩

⎪

⎪

⎨

⎧

<

≥⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

σ−

⎟ ⎠

⎞

⎜⎝

⎛

σΦ

=

σ−

00

022

2

2

xkhi

xkhie x x

x F

x

(1.6.12)

σπ

=2

2 xm (1.6.13)

283 σ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ π

−= x D (1.6.14)

1.7. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢ NG NGẪU NHIÊN VÀ LUẬT PHÂN BỐ CỦA CHÚNG

Khi giải quyết nhiều bài toán ngườ i ta thườ ng gặ p tình huống là k ết quả thí nghiệm đượ c mô tả không phải chỉ bở i một, mà là một số đại lượ ng ngẫu nhiên. Ví dụ, hình thế synop phụ thuộc vào nhiều đại lượ ngngẫu nhiên như nhiệt độ không khí, áp suất, độ ẩm...

Trong các tr ườ ng hợ p này ta sẽ nói r ằng có một hệ các đại lượ ng ngẫu nhiên. Các tính chất của hệ đạilượ ng ngẫu nhiên không đượ c mô tả hết bở i những tính chất của các đại lượ ng ngẫu nhiên riêng r ẽ, chúngcòn bao hàm cả những mối quan hệ tươ ng hỗ giữa các đại lượ ng ngẫu nhiên của hệ.

Chúng ta sẽ xem hệ hai đại lượ ng ngẫu nhiên như là các tọa độ của điểm ngẫu nhiên trên mặt phẳng,còn hệ ba đại lượ ng ngẫu nhiên như là tọa độ của điểm ngẫu nhiên trong không gian ba chiều. Một cáchtươ ng tự, hệ n đại lượ ng ngẫu nhiên sẽ đượ c xem như tọa độ của điểm ngẫu nhiên trong không gian n

chiều.Cũng có thể xét hệ đại lượ ng ngẫu nhiên như các thành phần của vectơ ngẫu nhiên trên mặt phẳng,

trong không gian ba chiều hoặc n chiều. Tươ ng ứng vớ i điều này, các giá tr ị ngẫu nhiên xi , yi của hệ các đạilượ ng ngẫu nhiên X và Y sẽ đượ c biểu diễn hoặc dướ i dạng các điểm N i,j có các toạ độ ( xi , y i), hoặc dướ idạng bán kính véctơ r i,j của các điểm đó (hình 1.12).

Ta xét các luật phân bố của hệ hai đại lượ ng ngẫu nhiên.

Hàm phân bố của hệ hai đại lượ ng ngẫu nhiên X và Y là xác suất thực hiện đồng thờ i các bất đẳngthức X<x, Y<y

( ) ( ) yY , x X P y , x F <<= (1.7.1)

Về mặt hình học, F(x,y) là xác suất r ơ i của điểm ngẫu nhiên (X,Y) vào một hình vuông không giớ i hạnnằm ở góc trái bên dướ i có đỉnh là điểm (x,y) (hình 1.13).

Hàm phân bố có các tính chất sau đây:

1. F(x,y) là hàm không giảm, ngh ĩ a là nếu x x 1 2 > thì ( ) y ,1 2 x F y) , F(x ≥ , còn nếu y y 1 2 > thì

( )1 y , x F ) y F(x, 2 ≥ .



26

Hình 1.11

Hình 1.12

Thực vậy, chẳng hạn khi dịch chuyển biên phải của hình vuông (tăng x) ta không thể giảm xác suấtr ơ i vào nó.

2. Vì các sự kiện X<−∞ và Y<−∞ là những sự kiện bất khả, nên

( ) ( ) ( ) 0=−∞∞−=−∞=∞− , F , x F y , F .

3. Vì các sự kiện X<+∞ , Y<+∞ là những sự kiện chắc chắn, nên

( ) ( ) ( ) ( ) x F x X P Y , x X P , x F 1=<=+∞<<=+∞ ,

vớ i F 1(x) là hàm phân bố của đại lượ ng ngẫu nhiên X .

Một cách tươ ng tự:

( ) ( ) y F y , F 2=∞+ ,

vớ i F 2(y) hàm phân bố của đại lượ ng ngẫu nhiên Y .

4. ( ) 1=+∞∞+ , F .

Ta hãy xác định xác suất r ơ i của điểm ngẫu nhiên vào một hình chữ nhật có các cạnh song song vớ icác tr ục toạ độ.

Hình 1.13

Hình 1.14

Xét hình chữ nhật R giớ i hạn bở i các đườ ng thẳng x=α , x= β , y=γ , y=δ . Các biên trái và biên dướ ithuộc hình chữ nhật, còn các biên phải và biên trên thì không.

Sự kiện điểm ngẫu nhiên N(X,Y) r ơ i vào trong hình chữ nhật R, tức N ∈ R, tươ ng đươ ng vớ i việc cácsự kiện α ≤ X ≤ β , γ ≤ Y ≤ δ đồng thờ i xảy ra.

Xác suất r ơ i vào trong hình chữ nhật R bằng xác suất r ơ i vào trong hình vuông có đỉnh ( β , δ ) tr ừ đixác suất r ơ i vào hình vuông có đỉnh ( α ,δ ), tr ừ đi xác suất r ơ i vào hình vuông đỉnh ( β , γ ), cộng vớ i xác suấtr ơ i vào hình vuông đỉnh ( α , γ ), ngh ĩ a là

( ) ( ) ( ) ( ) ( )γα+γβ−δα−δβ=∈ , F , F , F , F R N P (1.7.2)

Sau đây, ta đưa vào khái niệm mật độ phân bố của hệ hai đại lượ ng ngẫu nhiên.



27

Giả sử có hệ hai đại lượ ng ngẫu nhiên liên tục X và Y . Lấy trên mặt phẳng điểm (x,y) và một hình chữ nhật nhỏ RΔ k ề sát nó có các cạnh là Δ x và Δ y.

Xác suất r ơ i của điểm ngẫu nhiên N(X,Y) vào trong hình vuông RΔ theo (1.7.2) bằng:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y , x F y , x x F y y , x F y y , x x F R N P +Δ+−Δ+−Δ+Δ+=∈ Δ (1.7.3)

Chia xác suất này cho diện tích hình chữ nhật Δ x.Δ y và lấy giớ i hạn khi Δ x→ 0 và Δ y→ 0, ta nhậnđượ c mật độ xác suất tại điểm (x,y).

Giả thiết r ằng hàm F(x,y) khả vi hai lần, khi đó:

=ΔΔ

+Δ+−Δ+−Δ+Δ+

→Δ→Δ y x

) y , x( F ) y , x x( F ) y y , x( F ) y y , x x( F lim

y x

00

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡Δ

−Δ+−

ΔΔ+−Δ+Δ+

Δ →Δ→Δ x

) y , x( F ) y , x x( F

x

) y y , x( F ) y y , x x( F lim

ylim

x y 00

1

= y x

) y , x( F y

x

) y , x( F

x

) y y , x( F

lim y ∂∂

∂=Δ

∂

∂−

∂

Δ+∂

→Δ

2

0(1.7.4)

Hàm

( ) y x

) y , x( F y , x f

∂∂∂

=2

(1.7.5)

đượ c gọi là mật độ phân bố của hệ. Về mặt hình học, có thể biểu diễn hàm hai biến y) f(x, này như là một

mặt trong không gian và đượ c gọi là mặt phân bố. Hàm y) f(x, không âm vì nó là giớ i hạn của tỷ số giữa

hai đại lượ ng không âm là xác suất r ơ i vào hình chữ nhật và diện tích hình chữ nhật. Biểu thức y)dxdy f(x, đượ c gọi là yếu tố xác suất của hệ hai đại lượ ng ngẫu nhiên. Yếu tố xác suất là xác suất r ơ i

vào trong hình chữ nhật yếu tố RΔ tiế p giáp điểm (x,y). Xác suất r ơ i của điểm N(X,Y) vào một miền D bất k ỳ đượ c xác định dướ i dạng tích phân hai lớ p:

( ) ∫∫=∈ ) D(

dxdy ) y , x( f D N P (1.7.6)

Trong tr ườ ng hợ p nếu miền D là hình chữ nhật R, thì:

( ) ∫ ∫β

α

δ

γ

=∈ dxdy ) y , x( f R N P (1.7.7)

Khi sử dụng công thức (1.7.7), ta có thể biểu diễn hàm phân bố F(x,y) qua mật độ phân bố f(x,y)

( ) ∫ ∫∞− ∞−

= x y

dxdy ) y , x( f y , x F (1.7.8)

Vì xác suất r ơ i trên toàn mặt bằng 1, nên:

∫ ∫+∞

∞−

+∞

∞−

=1dxdy ) y , x( f (1.7.9)

Về mặt hình học, xác suất r ơ i vào trong miền D là thể tích hình lăng tr ụ đượ c giớ i hạn bở i miền D ở phía dướ i, còn phía trên là mặt phân bố (hình 1.15)



28

Để tích phân xác định ∫ ∫+∞

∞−

+∞

∞−

=1dxdy ) y , x( f hội tụ, thì điều kiện cần là mặt phân bố phải tiệm cận tớ i

mặt x0y theo mọi hướ ng.

Khi biết hàm phân bố của hệ hai đại lượ ng ngẫu nhiên, có thể xác định hàm phân bố của mỗi đạilượ ng ngẫu nhiên trong đó:

)+∞= F(x,(x) F 1 (1.7.10)

( ) ) y ,+∞= F( y F 2 (1.7.11)

Ta hãy biểu diễn mật độ phân bố của từng đại lượ ng ngẫu nhiên qua mật độ phân bố của hệ:

∫ ∫∞−

+∞

∞−

=+∞= x

dxdy ) y , x( f ) F(x,(x) F 1 (1.7.12)

Nhưng mật độ phân bố là đạo hàm của hàm phân bố, khi đó

( ) ∫+∞

∞−=′= dy ) y , x( f ) x( F x f 11 (1.7.13)

( ) ∫+∞

∞−

=′= dx ) y , x( f ) y( F y f 22 (1.7.14)

Luật phân bố của một đại lượ ng ngẫu nhiên của hệ vớ i điều kiện đại lượ ng ngẫu nhiên thứ hai nhậnmột giá tr ị xác định gọi là luật phân bố có điều kiện.

Luật phân bố có điều kiện sẽ đượ c ký hiệu dướ i dạng:

f(x/y) − luật phân bố đại lượ ng ngẫu nhiên X vớ i điều kiện Y=y

f(y/x)− luật phân bố đại lượ ng ngẫu nhiên Y vớ i điều kiện X=x.

Xác suất r ơ i trong hình chữ nhật yếu tố RΔ , bằng y)dxdy f(x, , có thể biểu diễn như là tích xác suất

r ơ i vào dải I, bằng (x)dx f 1 và xác suất r ơ i vào dải II, bằng f(x/y)dy , vớ i điều kiện đã xảy ra sự kiện r ơ i

vào dải I (hình 1.16).

Từ đó:

f(y/x)dy(x)dx f y)dxdy f(x, 1= (1.7.15)

Giản ướ c cho dxdy, ta có:

(x)f(y/x) f y) f(x, 1= (1.7.16)

Tươ ng tự có thể thu đượ c đẳng thức:

(y)f(x/y) f y) f(x, 2= (1.7.17)


Từ đó có thể biểu diễn luật phân bố có điều kiện qua mật độ phân bố của hệ dướ i dạng:



29

( )

∫∞+

∞−

==

dx ) y , x( f

) y , x( f

) y( f

) y , x( f y / x f

2

(1.7.18)

( )

∫∞+

∞−

==dy ) y , x( f

) y , x( f ) x( f ) y , x( f x / y f

1(1.7.19)

Các đại lượ ng ngẫu nhiên X và Y đượ c gọi là độc lậ p nếu luật phân bố của một trong chúng không phụ thuộc vào việc đại lượ ng ngẫu nhiên kia nhận giá tr ị nào.

Đối vớ i các đại lượ ng ngẫu nhiên độc lậ p:

(x) f f(x/y) 1= (1.7.20)

(y) f f(y/x) 2= (1.7.21)

Nếu X không phụ thuộc Y , thì Y cũng không phụ thuộc X .

Thật vậy, từ các đẳng thức (1.7.16) và (1.7.17) ta thấy r ằng nếu (x) f f(x/y) 1= thì (y) f f(y/x) 2= .

Ta có đị nh lý sau:

Để các đại lượ ng ngẫu nhiên X và Y độc lậ p, điều kiện cần và đủ là đẳng thức sau đượ c thực hiện:

(y) f (x) f y) f(x, 21= , (1.7.22)

tức là mật độ phân bố của hệ bằng tích mật độ phân bố của các đại lượ ng ngẫu nhiên thành phần của hệ.

Một cách tươ ng tự, có thể xác định đượ c luật phân bố của hệ n đại lượ ng ngẫu nhiên.

Hàm phân bố của hệ n đại lượ ng ngẫu nhiên X 1 , X 2 ,..., X n là xác suất để thực hiện đồng thờ i n bấtđẳng thức X i<xi , i= 1,2,...,n.

) x X ,..., x X , x P(X ) x ,..., x , F(x nn 2 211n 21 <<<= (1.7.23) Nếu tồn tại đạo hàm riêng hỗn hợ p của hàm F(x1 ,x2 ,...,xn ) đượ c lấy lần lượ t theo từng đối số:

( )n

nn

n x... x x

) x ,..., x , x( F x ,..., x , x f

∂∂∂∂

=21

2121 (1.7.24)

thì nó đượ c gọi là mật độ phân bố của hệ các đại lượ ng ngẫu nhiên liên tục (X 1 , X 2 ,..., X n ).

Ta sẽ nhận đượ c hàm phân bố của mỗi đại lượ ng ngẫu nhiên của hệ, nếu trong hàm phân bố của hệ ta đặttất cả các biến còn lại bằng +∞ .

( ) ( )+∞+∞= ,..., , x F x F 111 (1.7.25)

Hàm phân bố của hệ con (X 1 , X 2 ,...,X k ) nhận đượ c từ hệ có dạng:

( ) ( )+∞+∞= ,..., , x ,..., x , x F x ,..., x , x F k k k ,.., , 212121 (1.7.26)Mật độ phân bố của mỗi đại lượ ng của hệ nhận đượ c bằng cách tích phân mật độ của hệ trong khoảng

vô hạn theo các biến còn lại.

( ) ∫ ∫+∞

∞−

+∞

∞−

= nn dx...dx ) x ,..., x , x( f ... x f 22111 (1.7.27)

Mật độ phân bố của hệ con (X 1 , X 2 ,...,X k ) đượ c xác định dướ i dạng:

( ) ∫ ∫+∞

∞−

+∞

∞−+= nk nk k ,..., , dx...dx ) x ,..., x , x( f ... x ,..., x , x f 1212121 (1.7.28)

Luật phân bố có điều kiện của hệ con (X 1 , X 2 ,...,X k ) là luật phân bố đượ c tính vớ i điều kiện các đạilượ ng còn lại (X k+1 ,..., X n ) đã nhận các giá tr ị xác định xk+1 , ..., xn:



30

) x ,..., x( f

) x ,..., x , x( f ) x ,..., x / x ,..., x , x( f

nk n ,....,k

nnk k

11

21121

+++ = (1.7.29)

Các đại lượ ng ngẫu nhiên X 1 , X 2 ,...,X n đượ c gọi là độc lậ p nếu luật phân bố của mỗi hệ con không phụ thuộc vào việc các đại lượ ng ngẫu nhiên còn lại nhận giá tr ị nào.

Đối vớ i các đại lượ ng ngẫu nhiên độc lậ p:

) x( f )... x( f ) x( f ) x ,..., x , x( f nnn 221121 = (1.7.30)

Hàm phân bố của hệ đượ c biểu diễn qua mật độ phân bố dướ i dạng:

( ) ∫ ∫ ∫∞− ∞− ∞−

=1 2

212121

x x x

nnn

n

dx...dxdx ) x ,..., x , x( f ... x ,..., x , x F (1.7.31)

Xác suất r ơ i của điểm ngẫu nhiên N(X 1 , X 2 ,...,X n ) trong giớ i hạn miền D− n chiều đượ c xác định dướ idạng:

( ) ∫∫=∈ nn

) D(

dx...dxdx ) x ,..., x , x( f ... D N P 2121 (1.7.32)

1.8. CÁC ĐẶC TR Ư NG SỐ CỦA HỆ CÁC ĐẠI LƯỢ NG NGẪU NHIÊN

Mômen gốc s ,k m bậc k+s của hệ hai đại lượ ng ngẫu nhiên (X,Y) là k ỳ vọng toán học của tích k X và

sY : sk

s ,k Y X M m = (1.8.1)

Mômen trung tâm s ,k μ , bậc k+s là k ỳ vọng toán học của tícho

k X .o sY . Ở đây

o

X vào

Y là các đại

lượ ng ngẫu nhiên qui tâm.

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=μ

o s

ok

s ,k Y . X M (1.8.2)

Đối vớ i các đại lượ ng ngẫu nhiên r ờ i r ạc ta có:

∑∑=i j

j ,i s j

k i s ,k p y xm (1.8.3)

( ) ( )∑∑ −−=μi j

j ,i s

y jk

xi s ,k pm ym x (1.8.4)

trong đó ( ji ji, yY , x X P p === .

Đối vớ i các đại lượ ng ngẫu nhiên liên tục:

∫ ∫+∞

∞−

+∞

∞−

= dxdy ) y , x( f y xm sk s ,k (1.8.5)

( ) ( )∫ ∫+∞

∞−

+∞

∞−

−−=μ dxdy ) y , x( f m ym xs

yk

x s ,k (1.8.6)

Số k+s đượ c gọi là bậc của mômen. Cũng giống như đối vớ i một đại lượ ng ngẫu nhiên, các mômencủa hệ đại lượ ng ngẫu nhiên không phải là những đặc tr ưng bao quát đầy đủ, tuy nhiên chúng xác định mộtloạt các tính chất quan tr ọng của hệ.



31

Các mômen bậc nhất m1,0 và m0,1 là k ỳ vọng toán học của các đại lượ ng ngẫu nhiên thành phần củahệ.

[ ] xo

, m X M XY M m ===01 (1.8.7)

[ ] yo , mY M Y X M m ===10 (1.8.8)

Về mặt hình học, đây là các toạ độ của điểm trung bình mà các điểm ngẫu nhiên N(X,Y) phân tánxung quanh nó.

Ta hãy xét các mômen trung tâm bậc hai của hệ:

[ ] X D X M Y X M

ooo

o

, =⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=μ 22

02 (1.8.9)

[ ]Y DY M Y X M

oooo

, =⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=μ 22

20 (1.8.10)

Đây là phươ ng sai của các đại lượ ng ngẫu nhiên, chúng đặc tr ưng cho sự phân tán của các điểm ngẫunhiên theo hướ ng các tr ục toạ độ.

Mômen trung tâm hỗn hợ p bậc hai đượ c gọi là mômen tươ ng quan hay mômen liên hệ của các đạilượ ng ngẫu nhiên và bằng:

( ) ( )[ ] xy y x

oo

, RmY m X M Y X M =−−=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=μ 11

11 (1.8.11)

Đối vớ i các đại lượ ng ngẫu nhiên r ờ i r ạc:

( ) ( )∑∑ −−=i j

j ,i y j xi xy pm ym x R (1.8.12)


( ) ( )∫ ∫+∞

∞−

+∞

∞−

−−= dxdy ) y , x( f m ym x R y x xy (1.8.13)

Đối vớ i các đại lượ ng ngẫu nhiên độc lậ p thì 0 R y x, = .

Thực vậy, từ (1.7.22):

=−−= ∫∫∞−

dxdy ) y( f ) x( f )m y )( m x( R y x xy 21

[ ] [ ] 01121 =μμ=−−= ∫∫

∞

∞−

∞

∞−Y X dy ) y( f )m y( dx ) x( f )m x( y x

Từ đó thấy r ằng, nếu 0 R y x, ≠ , thì X và Y là những đại lượ ng phụ thuộc.

Đại lượ ng:

y x

xy xy

Rr

σσ= (1.8.14)

đượ c gọi là hệ số tươ ng quan của các đại lượ ng ngẫu nhiên X và Y .

Đối vớ i các đại lượ ng ngẫu nhiên độc lậ p thì 0r xy = . Điều ngượ c lại sẽ không đúng, tức là

0r xy = là điều kiện cần để X và Y độc lậ p, nhưng chưa phải là điều kiện đủ.



32

Các đại lượ ng ngẫu nhiên X và Y có 0r xy = đượ c gọi là các đại lượ ng ngẫu nhiên không tươ ng quan

vớ i nhau.

Từ tính độc lậ p của đại lượ ng ngẫu nhiên suy ra tính không tươ ng quan của chúng.

Vớ i tư cách là các đặc tr ưng số của hệ, từ n đại lượ ng ngẫu nhiên X 1 , X 2 ,..., X n ta nhận đượ c n k ỳ vọngtoán họci xm , i = 1,2,...,n của các đại lượ ng ngẫu nhiên ban đầu, n phươ ng sai

i x D của chúng và n(n− 1)

mômen tươ ng quan ji x x R :

ji ji x j xi x x m X m X M R −−= (1.8.15)

Phươ ng saii x

D có thể đượ c xem như mômen tươ ng quan của đại lượ ng ngẫu nhiên X i vớ i chính nó,

có ngh ĩ a là:

( )2iiii xi x x x m X M R D −== (1.8.16)

Để thuận tiện ta sắ p xế p các mômen tươ ng quan dướ i dạng ma tr ận vuông và gọi là ma tr ận tươ ng

quan của hệ các đại lượ ng ngẫu nhiên (X 1 , X 2 ,..., X n ).

ij

nnnn

n

n

R

R... R R

............

R... R R

R... R R

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

21

22221

11211

(1.8.17)

Từ định ngh ĩ a mômen tươ ng quan ta thấy r ằng:

ji x x

o

i

o

j

o

j

o

i x xij R R X X M X X M R Ri j ji

==⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡== (1.8.18)

Vì vậy có thể chỉ cần điền một nửa trên của ma tr ận tươ ng quan tính từ đườ ng chéo chính.

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

nn

n

n

ij

R

......

R... R

R... R R

R222

11211

(1.8.19)

Trong tr ườ ng hợ p khi các đại lượ ng ngẫu nhiên X 1 , X 2 ,..., X n không tươ ng quan, ma tr ận tươ ng quancó dạng:

⎟⎟⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛

=

nn

ij

R......

... R

... R

R0

00

22

11

(1.8.20)

Ma tr ận như vậy gọi là ma tr ận đườ ng chéo.

Thay cho các mômen tươ ng quan ngườ i ta thườ ng sử dụng các hệ số tươ ng quan

ji

ji

ji x x

x x

x xij

Rr r

σσ== (1.8.21)

và chúng lậ p thành ma tr ận tươ ng quan chuẩn hoá mà các phần tử trên đườ ng chéo chính của nó bằng đơ nvị, 1=

ji x xr



33

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

1

1

1

2

112

......

r ...

r ...r

r n

n

ij (1.8.22)

1.9. CÁC ĐỊ NH LÝ VỀ ĐẶC TR Ư NG SỐ

Đối vớ i các đặc tr ưng số của đại lượ ng ngẫu nhiên, những định lý sau đây là đúng:

1. K ỳ vọng toán học của đại l ượ ng không ng ẫ u nhiên bằ ng chính nó.

Đại lượ ng không ngẫu nhiên c có thể đượ c coi như một đại lượ ng ngẫu nhiên có một giá tr ị có thể c,mà đại lượ ng ngẫu nhiên nhận nó vớ i xác suất bằng 1.

Từ đó:

[ ] cc.1c M == (1.9.1)

2. Phươ ng sai của đại l ượ ng không ng ẫ u nhiên bằ ng không.[ ] ( ) ( ) 0c-c M m-c M c D c === 22 (1.9.2)

3. N ế u c là đại l ượ ng không ng ẫ u nhiên, thì:

[ ] [ ] X cM cX M = , (1.9.3)

[ ] [ ] X DccX D 2= , (1.9.4)

tức là có thể đưa đại lượ ng không ngẫu nhiên ra ngoài dấu k ỳ vọng toán học và có thể đưa đại lượ ng khôngngẫu nhiên ra ngoài dấu phươ ng sai nhưng sau đó lấy bình phươ ng của nó.

Ta tiến hành phép chứng minh đối vớ i đại lượ ng ngẫu nhiên liên tục.

[ ] [ ] X cM dx ) x( xf cdx ) x( cxf cX M === ∫∫+∞

∞−

+∞

∞−,

[ ] ( ) ( ) ( ) [ ] X Dcm X M ccmcX M mcX M cX D x xcx22222 =−=−=−=

Lấy căn bậc hai cả hai vế (1.9.4), đối vớ i độ lệch bình phươ ng trung bình ta nhận đượ c:

[ ] [ ] X ccX σ=σ (1.9.5)

tức là có thể đưa đại lượ ng không ngẫu nhiên ra ngoài dấu độ lệch bình phươ ng trung bình.

4. K ỳ vọng toán học của t ổ ng một số các đại l ượ ng ng ẫ u nhiên bằ ng t ổ ng các k ỳ vọng toán học của chúng.

Định lý này đượ c g ọi là định lý cộng của k ỳ vọng toán học.

Ta sẽ chứng minh nó cho tr ườ ng hợ p hai đại lượ ng ngẫu nhiên liên tục:

[ ] =+=+ ∫ ∫+∞

∞−

+∞

∞−

dxdy ) y , x( f ) y x( Y X M

= ∫ ∫ ∫∫+∞

∞−

+∞

∞−

+∞

∞−

+∞

∞−

+ dxdy ) y , x( yf dxdy ) y , x( xf =

= ∫ ∫∫ ∫+∞

∞−

+∞

∞−

+∞

∞−

+∞

∞−

+ dxdy ) y , x( f ydxdy ) y , x( f x =

= [ ] [ ]Y M X M dy ) y( yf dx ) x( xf +=+ ∫∫

+∞

∞−

+∞

∞− 21(1.9.6)



34

5. Phươ ng sai của t ổ ng hai đại l ượ ng ng ẫ u nhiên bằ ng t ổ ng các phươ ng sai của chúng cộng vớ i hai l ầnmômen t ươ ng quan.

[ ] [ ] [ ] xy RY D X DY X D 2++=+ (1.9.7)

Ta ký hiệu:

)mY ( )m X ( Y X Z , Z Y X y x

ooo

−+−=+==+ , (1.9.8)

khi đó:

[ ] =⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=+

22

ooo

Y X M Z M Y X D

[ ] [ ] xy

oooo

RY D X DY X M Y M X M 2222 ++=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

Cũng có thể chứng minh công thức:[ ] [ ] [ ] xy RY D X DY X D 2−+=− (1.9.9)

Tươ ng tự, khi sử dụng công thức đối vớ i bình phươ ng của tổng nhiều số hạng, ta nhận đượ c côngthức tính phươ ng sai của tổng n đại lượ ng ngẫu nhiên.

[ ] ∑∑∑<==

+=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

ji x x

n

ii

n

ii ji

R X D X D 211

(1.9.10)

Vì [ ]ii x xi R X D = nên có thể viết công thức này dướ i dạng:

∑∑∑= ==

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ n

i

n

j

x x

n

i

i ji R X D

1 11

(1.9.11)

Đối vớ i các đại lượ ng ngẫu nhiên không tươ ng quan, 0= ji x x R khi i≠ j nên công thức đượ c viết lại

như sau:

[ ]∑∑==

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ n

ii

n

ii X D X D

11

, (1.9.12)

tức là phươ ng sai của tổng các đại lượ ng ngẫu nhiên không tươ ng quan bằng tổng các phươ ng sai củachúng. Định lý này đượ c gọi là định lý cộng phươ ng sai.

6. Đố i vớ i k ỳ vọng toán học của tích các đại l ượ ng ng ẫ u nhiên, công thứ c sau là đ úng:

[ ] [ ] [ ] xy RY M . X M XY M += . (1.9.13)Mômen tươ ng quan có thể đượ c biểu diễn dướ i dạng:

( ) =−= m- X M R x xy ymY

[ ] [ ] [ ] =+−−= y x y x mm X M mY M m XY M

[ ] [ ] [ ]Y M . X M XY M −= (1.9.14)

từ đó suy ra công thức (1.9.13).

Đối vớ i các đại lượ ng ngẫu nhiên không tươ ng quan thì 0= xy R , do đó, từ (1.9.13) ta nhận đượ c

định lý tích k ỳ vọng toán học

[ ] [ ] [ ]Y M . X M XY M = . (1.9.15)



35

Tổng quát hoá định lý này cho n đại lượ ng ngẫu nhiên chỉ đúng khi chúng là các đại lượ ng ngẫunhiên độc lậ p.

1.10. LUẬT PHÂN BỐ CHUẨ N CỦA HỆ CÁC ĐẠI LƯỢ NG NGẪU NHIÊN

Xét hệ hai đại lượ ng ngẫu nhiên − vectơ ngẫu nhiên hai chiều (X,Y). Ngườ i ta nói r ằng hệ này có luật phân bố chuẩn nếu mật độ phân bố có dạng:

( ) ×−σπσ

=212

1

r y , x f

y x

( )( ) ( )

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

σ

−+

σσ

−−−

σ

−

−−×

2

2

2

2

2

2

12

1

y

y

y x

y x

x

xm y )m y )( m x( r m x

r exp (1.10.1)

Vì có thể xem (X,Y) như là một điểm ngẫu nhiên trên mặt phẳng, nên luật này đượ c gọi là luật phân bố chuẩn trên mặt phẳng. Hàm (1.10.1) phụ thuộc vào 5 tham số: m x , m y , σ x , σ y , r.

Ta hãy làm sáng tỏ ý ngh ĩ a của các tham số đó. Ta sẽ chỉ ra r ằng m x và m y là các k ỳ vọng toán học[ ] X M và [ ]Y M của các đại lượ ng ngẫu nhiên X và Y , σ x và σ y là độ lệch bình phươ ng trung bình của

chúng, còn r là hệ số tươ ng quan của các đại lượ ng ngẫu nhiên X và Y , tức là r = r xy.

Muốn vậy, ta tìm mật độ phân bố của từng đại lượ ng ngẫu nhiên của hệ.

( )( )∫∫

∞+

∞−

∞+

∞− ⎩⎨⎧

×−

−−σπσ

==221

12

1

12

1

r exp

r dy ) y , x( f x f

y x

( ) ( )dy

m y )m y )( m x( r m x

y

y

y x

y x

x

x

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

σ

−+

σσ

−−−

σ

−×

2

2

2

2 2(1.10.2)

Thực hiện phép đổi biến sau cho tích phân (1.10.2):

um x

x

x =σ

−

2, v

m y

y

y =σ

−

2(1.10.3)

ta nhận đượ c:

( ) ( )∫+∞

∞− ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ +−

−−

−πσ= dvvruvu

r exp

r x f

x

22221 2

1

1

12

1(1.10.4)

Sau khi đưa vào các ký hiệu:

2

2

22 111

1

r

uC ,r

ru B ,r A −=−=−= (1.10.5)

ta đưa tích phân (1.10.4) về tích phân đã biết:

A

B AC

)C Bv Av( e A

dve

22 2

−−∞+

∞−

−−− π=∫ (1.10.6)

K ết quả nhận đượ c là:

( )2

2

21

2

1 x

x )m x(

x

e x f σ

−−

σπ= (1.10.7)

Từ (1.10.7) ta thấy r ằng đại lượ ng ngẫu nhiên X tuân theo luật phân bố chuẩn, hơ n nữa:



36

[ ] [ ] X D , X M m x x =σ= (1.10.8)

Tươ ng tự đối vớ i f 2(y) ta có:

( )2

2

222

1 y

y )m y(

y

e y f σ

−−

σπ= (1.10.9)

Tính mômen tươ ng quan R xy:

∫ ∫+∞

∞−

+∞

∞−

=−−= dxdy ) y , x( f )m y )( m x( R y x xy

( )∫ ∫∞+

∞−

∞+

∞− ⎩⎨⎧

×−

−−−−σπσ

22 12

1

12

1

r exp )m y )( m x(

r y x

y x

( ) ( )dxdy

m y )m y )( m x( r m x

y

y

y x

y x

x

x

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

σ

−

+σσ

−−

−σ

−× 2

2

2

2 2(1.10.10)

Lấy tích phân biểu thức (1.10.10) ta nhận đượ c:

y x xy r R σσ= (1.10.11)

Từ đó thấy r ằng r chính là hệ số tươ ng quan r xy.

Như vậy, mật độ phân bố chuẩn của hệ hai đại lươ ng ngẫu nhiên X và Y hoàn toàn đượ c xác định bở icác k ỳ vọng toán học m x và m y của các đại lượ ng ngẫu nhiên đã cho và ma tr ận tươ ng quan

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ =

y

xy xij D

R D R (1.10.12)

Như vậy, đối vớ i phân bố chuẩn, các đặc tr ưng số − k ỳ vọng toán học và ma tr ận tươ ng quan là cácđặc tr ưng đầy đủ của hệ.

Nếu các đại lượ ng ngẫu nhiên của hệ có phân bố chuẩn ( X,Y ) không tươ ng quan vớ i nhau, tức là r =

r xy = 0, thì

( )

( ) ( )

( ) ( ) y f . x f e y , x f y

y

x

xm ym x

y x21

22 2

2

2

2

2

1=

σπσ=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

σ

−+

σ

−−

(1.10.13)

và đây là điều kiện độc lậ p của hệ.

Như vậy, từ tính không tươ ng quan của các đại lượ ng ngẫu nhiên của hệ có phân bố chuẩn ta suy ratính độc lậ p của chúng. Đối vớ i các đại lượ ng ngẫu nhiên có phân bố chuẩn, điều kiện không tươ ng quanvà điều kiện độc lậ p là tươ ng đươ ng nhau.

Ta xét mặt đượ c xác định bở i mật độ phân bố chuẩn:

( )

( ) ( )⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

σ

−+

σ

−−

σπσ=

2

2

2

2

22

2

1 y

y

x

xm ym x

y x

e y , x f , (1.10.14)

cho tr ườ ng hợ p các đại lượ ng ngẫu nhiên X và Y độc lậ p. Mặt này có dạng đồi mà đỉnh nằm tại điểm(m x ,m y ) (hình 1.17).

Cắt mặt phân bố này bở i các mặt phẳng song song vớ i mặt x0y, ta nhận đượ c các elip.



37

Thực vậy, khi cho ( ) const y , x f =λ= 2 , ta có:

( ) ( ) 22

2

2

2

22λ=

σ

−+

σ

−

y

y

x

xm ym x

(1.10.15)

Phươ ng trình (1.10.15) là phươ ng trình hình chiếu của elip trên mặt x0y. Đó là họ các elip đồng dạngcó tâm tại điểm (m x , m y ), có các tr ục đối xứng là các đườ ng thẳng song song vớ i các tr ục 0x và 0y. Tại mọiđiểm của mỗi elip như vậy, mật độ phân bố không đổi, nên chúng đượ c gọi là các elip mật độ phân bố đềuhay là elip phân tán.

Có thể chỉ ra r ằng, sẽ nhận đượ c một bức tranh tươ ng tự ngay cả đối vớ i phân bố chuẩn trong tr ườ nghợ p tổng quát, khi mà r ≠ 0, nhưng trong tr ườ ng hợ p này các tr ục đối xứng của elip không song song vớ icác tr ục toạ độ.

Các tr ục đối xứng này đượ c gọi là các tr ục phân tán chính. Bằng cách chuyển gốc toạ độ tớ i điểm (m x ,

m y) và quay các tr ục toạ độ cho đến khi trùng vớ i các tr ục phân tán chính có thể dẫn luật phân bố chuẩn vớ ir ≠ 0 về dạng chính tắc.

( ) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

σ

η+

σ

ξ−

ηξ

ηξ

σπσ=ηξ

2

2

2

2

22

2

1e , f , (1.10.16)

trong đó σξ, ση đượ c gọi là độ lệch bình phươ ng trung bình chính.

Như vậy, chúng ta đã thay thế vectơ ngẫu nhiên phân bố chuẩn có các thành phần (X,Y) phụ thuộc lẫnnhau bở i vectơ phân bố chuẩn khác (ξ,η) mà các thành phần của nó độc lậ p vớ i nhau.

Thông thườ ng, khi xét luật phân bố chuẩn trên mặt phẳng, ta cố gắng chọn tr ướ c các tr ục toạ độ 0x và0y sao cho chúng trùng vớ i các tr ục phân tán chính.

Khi đó, xác suất r ơ i vào hình chữ nhật R (hình 1.14) có các cạnh song song vớ i tr ục phân tán chínhđượ c xác định theo công thức (1.7.6) và sẽ bằng:

( )

( ) ( )

∫ ∫β

α

δ

γ

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

σ

−+

σ

−−

σπσ=∈ dxdye R N P

y

y

x

xm ym x

y x

2

2

2

2

22

2

1=

=

( ) ( )

∫ ∫β

α

δ

γ

σ

−−

σ

−−

πσπσdyedxe y

y

x

xm y

y

m x

x

2

2

2

2

22

2

1

2

1=

= ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

σ

−γ

Φ−⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

σ

−δ

Φ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎟⎟ ⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛

σ

−α

Φ−⎟⎟ ⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛

σ

−β

Φ y

y

y

y

x

x

x

xmm

.

mm

22224

1

(1.10.17)

Bây giờ ta xét hệ n đại lượ ng ngẫu nhiên (X 1 , X 2 , ... X n ). Hệ này đượ c gọi là có phân bố chuẩn nếunhư mật độ phân bố của nó có dạng:

( )

∑ ∑= = σ

−

σ

−−

πσσσ=

n

i

n

k k

k k

i

iiik

m x.

m x D

D

nn

n e D...

) x ,..., x , x( f 1 12

1

21

212

1(1.10.18)

trong đó D là định thức của ma tr ận tươ ng quan chuẩn hoá:



38

1

1

1

2

121

......

r ...

r ...r

r n

n

k i

x x

x x x x

x x = (1.10.19)

ik D là phần phụ đại số của phần tử k i x xr trong định thức D.

Từ (1.10.18) thấy r ằng, mật độ phân bố n chiều đối vớ i luật chuẩn phụ thuộc vào n k ỳ vọng toán học,

n độ lệch bình phươ ng trung bình (phươ ng sai) và2

1 )n( n −hệ số tươ ng quan.

Nếu các đại lượ ng ngẫu nhiên X 1 , X 2 , ... , X n độc lậ p thì mật độ phân bố bằng:

== ) x( f )... x( f ) x( f ) x ,..., x , x( f nnn 221121

=

( )

∑=

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

σ

−−

σσσπ

n

i i

ii m x

n / n

e

...

1

2

2

1

212

2

1(1.10.20)

Công thức này nhận đượ c từ công thức tổng quát (1.10.18) khi 0=k i x xr trong tr ườ ng hợ p i ≠ k và

1=k i x xr vớ i i = k . Khi đó D=1 , Dik =0 khi i ≠ k, Dik =1 khi i = k.

Tr ườ ng hợ p riêng, khi n = 3 ta nhận đượ c luật phân bố chuẩn trong không gian.

Trong tr ườ ng hợ p này ma tr ận tươ ng quan có dạng:

1

1

1

32

3121

x x

x x x x

x x r

r r

r k i

= (1.10.21)

Mật độ phân bố chuẩn ba chiều phụ thuộc vào 9 tham số m1 , m2 , m3 , σ1, σ2, σ3 , 323121 x x x x x x r ,r ,r . Đốivớ i phân bố chuẩn 3 chiều, thay cho elíp phân tán là elipxôit phân tán. Khi hướ ng các tr ục toạ độ theo cáctr ục chính của elipxôit phân tán ta nhận đượ c hệ thống các phân bố của ba đại lượ ng ngẫu nhiên độc lậ p(ξ,η,ζ).

Trong tr ườ ng hợ p này mật độ phân bố sẽ có dạng:

( )

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

σ

ζ+

σ

η+

σ

ξ−

ζηξ

ζηξ

σσσπ=ζηξ

2

2

2

2

2

2

2

1

232

1e ) , ,( f

/ (1.10.22)

trong đó σξ, ση, σζ là các độ lệch bình phươ ng trung bình chính.

1.11. LUẬT PHÂN BỐ CỦA HÀM CÁC ĐỐI SỐ NGẪU NHIÊN

1) Luật phân bố của hàm một đối số ngẫu nhiên

Giả sử có đại lượ ng ngẫu nhiên liên tục X có mật độ phân bố f(x) và một đại lượ ng ngẫu nhiên khác Y ,liên hệ vớ i nó bở i sự phụ thuộc hàm

( ) X Y ϕ= , (1.11.1)

vớ i ϕ là hàm liên tục, khả vi.

Yêu cầu tìm mật độ phân bố của đại lượ ng ngẫu nhiên Y .

Tr ướ c hết, ta giả thiết r ằng hàm ( ) x y ϕ= đơ n điệu, khi đó nó có hàm ngượ c duy nhất: ( ) y x ψ= .

Thêm vào đó, từ điều kiện:



39

dx+≤< oo x X x .

chắc chắn suy ra r ằng y0<Y ≤ y0+dy và ngượ c lại. Ở đây y0= ϕ (x0 )

Hình 1.17

Hình 1.18

Do đó xác suất của các bất đẳng thức bằng nhau:

( ) ( )dy yY y P dx x X x P oooo +≤<=+≤< (1.11.2)

Giả sử mật độ phân bố của đại lượ ng Y là g(y), khi đó từ các đồ thị f(x) và g(y) (hình 1.18 a và b) ta

nhận thấy r ằng xác suất( ) xoo S dx x X x P =+≤< (1.11.3)

bằng diện tích phía dướ i đườ ng cong y = f(x), còn xác suất

( ) yoo S dy yY y P =+≤< (1.11.4)

là diện tích phía dướ i đườ ng cong g(y) x =

Vớ i dx, dy đủ nhỏ ta có:

( ) ( )dy y g S ,dx x f S y x == , (1.11.5)

khi đó

g(y)dy f(x)dx = (1.11.6)và do vậy:

( ) ( ) ( )[ ] ( ) y' . y f dx / dy

x f y g ψψ==1

(1.11.7)

Vì f(x)≥ 0, g(y)≥ 0, nên trong công thức này cần lấy giá tr ị tuyệt đối ) y( ψ′

( ) ( )[ ] ) y( y f y g ψ′ψ= . (1.11.8)

Nếu hàm ( ) x y ϕ= không đơ n điệu thì hàm ngượ c ( ) y x ψ= có thể đa tr ị, tức là có một vài

nhánh: ( ) ( ) ( ) ynψ=ψ=ψ= x ,..., y x , y x n 211 2 .

Khi đó từ sự kiện:dy yY y oo +≤< , (1.11.9)

dẫn đến một trong các khả năng xung khắc tươ ng hỗ:

111 dx x X x oo +<< hoặc 222 dx x X x oo +<< ...

hoặc non

on dx x X x +<< (1.11.10)

Khi đó theo định lý cộng xác suất ta có:

( ) ( ) ( ) +++<<++<<=+≤< ...dx x X x P dx x X x P dy yY y P oooooo 222111

( )non

on dx x X x P +<< (1.11.11)

hoặc ( ) ( ) ( ) nn 2 211 dx x f ...dx x f dx x f g(y)dy +++= (1.11.12)



40

Trong tr ườ ng hợ p khi ( ) y x ψ= là hàm đa tr ị, ta nhận đượ c công thức đối vớ i g(y):

( )dy

dx ) x( f ...

dy

dx ) x( f

dy

dx ) x( f y g n

n+++= 22

11 , (1.11.13)

tức là:

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) y. y f ... y. y f y. y f y g ' nn

' ' ψψ++ψψ+ψψ= 2211 (1.11.14)

Các ví d ụ:

1. Giả sử X và Y có quan hệ phụ thuộc tuyến tính:

baX Y += (1.11.15)

Trong tr ườ ng hợ p này hàm ngượ c là đơ n tr ị

( ) ( )bY a

Y X −=ψ=1

(1.11.16)

Đạo hàm hàm ngượ c bằng:( )

a y'

1=ψ (1.11.17)

Từ đó, thế (1.11.16) và (1.11.17) vào công thức (1.11.8) đối vớ i g(y) ta nhận đượ c

( ) ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=

a

b y f

a y g

1(1.11.18)

Như vậy, khi biến đổi tuyến tính đại lượ ng ngẫu nhiên, đườ ng cong phân bố của nó dịch chuyển mộtlượ ng b và thay đổi tỷ lệ dọc theo tr ục toạ độ là a lần.

Khi đó, ta nhận đượ c quy luật phân bố của hàm tuyến tính của đối số tuân theo phân bố chuẩn (1.5.1)

dướ i dạng

( )

[ ]22

2

2

2

22

2

1

2

1 x

x

x

x

a

)bam( y

x

ma

b y

x

ea

ea

y g σ

+−−

σ

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−

−

σπ=

σπ= (1.11.19)

Đây là quy luật phân bố chuẩn vớ i các tham số

x y a σ=σ ,

bamm x y +=

2. Giả sử các đại lượ ng ngẫu nhiên X và Y liên hệ vớ i nhau bở i sự phụ thuộc bậc hai 2 X Y = .

Trong tr ườ ng hợ p này mỗi một giá tr ị của Y (Y luôn dươ ng) tươ ng ứng vớ i hai giá tr ị của đại lượ ngngẫu nhiên X :

( ) ( ) Y Y X ,Y Y X −=ψ==ψ= 2211

Hàm ngượ c là hàm hai tr ị, cho nên theo (1.11.14) ta có:

( ) ( ) ( ) ) y( x f ) y( x f y g 2211 ψ′+ψ′= (1.11.20)

Vì:

y ) y( ,

y ) y(

2

1

2

121 −=ψ′=ψ′ (1.11.21)

nên



41

( )( ) ( )[ ]

⎪⎩

⎪⎨

⎧

<

>−+=

00

02

1

ykhi

ykhi y f y f y y g (1.11.22)

Đặc biệt, khi đối số X tuân theo luật phân bố chuẩn (1.5.1) thì mật độ phân bố của đại lượ ng ngẫunhiên Y sẽ có dạng:

( )

( ) ( )

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

<

>

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+σπ=

σ

−−−

σ

−−

00

022

1 2

2

2

2

22

ykhi

ykhiee y y g

x

x

x

x m ym y

x(1.11.23)

Nếu k ỳ vọng toán học bằng không, m x = 0 thì:

( )⎪⎪⎩

⎪⎪

⎨

⎧

<

>σπ=

σ−

00

02

1 22

ykhi

ykhie y y g

x

y

x (1.11.24)

2) Luật phân bố của hàm hai đối số ngẫu nhiên

Giả sử có hệ hai đại lượ ng ngẫu nhiên liên tục (X,Y) có mật độ phân bố f(x,y). Và giả sử đại lượ ngngẫu nhiên Z , liên hệ vớ i X và Y bở i mối phụ thuộc hàm

( )Y , X ϕ= Z .

Yêu cầu tìm quy luật phân bố của đại lượ ng ngẫu nhiên Z .

Ta xây dựng đồ thị hàm ( ) y , x z ϕ= . Đây là một mặt nào đó trong không gian (hình 1.19).

Ta xác định hàm phân bố của đại lượ ng Z

( ) ( ) ( )[ ] zY , X P z Z P zG <ϕ=<= . (1.11.25)

Bất đẳng thức ϕ( X,Y ) < z sẽ đượ c thoả mãn vớ i mọi điểm của mặt z = ϕ( x,y) nằm dướ i mặt phẳng Q song song vớ i mặt x0y, và cách nó một khoảng bằng z.

Mặt phẳng này cắt mặt z = ϕ( x,y) theo một đườ ng cong L nào đó. Chiếu đườ ng cong L này lên mặt phẳng x0y, nó giớ i hạn một miền D nào đó.

Hình 1.19

Xác suất để cho ϕ( X,Y ) < z bằng xác suất r ơ i của điểm ( X,Y ) vào trong miền D trên mặt phẳng x0y đượ c xác định bở i bất đẳng thức ϕ( x,y) < z. Xác suất này đượ c biểu diễn bở i tích phân hai lớ p theo miền D.

∫∫ ) D(

dxdy ) y , x( f

Như vậy, hàm phân bố của đại lượ ng ngẫu nhiên Z có dạng:

( )

∫∫ <ϕ

= ) z ) y , x( (

dxdy ) y , x( f zG (1.11.26)



42

Để nhận đượ c mật độ phân bố g(z) cần tìm đạo hàm của hàm (1.11.26) theo z

( ) ( ) zG z g = (1.11.27)

Rõ ràng, miền phân tích [ϕ (x,y)<z] có thể là miền đa liên thuộc mặt phẳng x0y, trong đó bất đẳng

thức ϕ (x,y)<z đượ c thực hiện.Ví d ụ: Xét hàm phân bố của modul vectơ phân bố chuẩn hai chiều mà hình chiếu của nó lên các tr ục

toạ độ X và Y là các đại lượ ng ngẫu nhiên độc lậ p có k ỳ vọng toán học bằng m x và m y, và phươ ng sai đều bằng σ x.

Đại lượ ng ngẫu nhiên cần tìm Z sẽ liên hệ vớ i các đại lượ ng ngẫu nhiên X và Y bở i mối phụ thuộchàm:

22 Y X Z += (1.11.28)

Đại lượ ng ngẫu nhiên Z không âm, vì vậy mật độ phân bố của nó sẽ bằng không khi z<0.

Vì X và Y là các đại lượ ng ngẫu nhiên độc lậ p có phân bố chuẩn nên mật độ phân bố chung f(x,y) có

dạng (1.11.14).Theo (1.11.26) ta nhận đượ c hàm phân bố của đại lượ ng ngẫu nhiên Z dướ i dạng:

( )( ) ( )[ ]

∫∫<+

−+−σ

−

πσ=

) z y x(

m ym x

dxdye zG y x

22

2222

1

22

1(1.11.29)

Miền tích phân là miền trong hình tròn tâm ở gốc toạ độ và bán kính bằng z.

Ta chuyển tích phân hai lớ p về toạ độ cực bằng cách sử dụng các công thức

ϕρρ=ϕρ=ϕρ= d d dxdy , sin y ,cos x (1.11.30)

Khi đó ta nhận đượ c:

( )( ) ( )[ ]

∫ ∫π −ϕ+−ϕ

σ−

ϕρρπσ

=2

0 0

2

1

2

222

2

1 z m sin zmcos z

d d e zG y x

(1.11.31)

Lấy vi phân biểu thức này theo z ta nhận đượ c mật độ phân bố của đại lượ ng ngẫu nhiên Z .

( )

( ) ( )[ ]

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

<

>ϕπσ= ∫

π −ϕ+−ϕσ

−

00

02

1 2

0

2

1

2

222

zkhi

zkhid e z g

y x m sin zmcos z

(1.11.32)

Ta hãy biến đổi hàm dướ i dấu tích phân:

( ) ( ) =−ϕ+−ϕ 22 y x m sin zmcos z

( ) 222 2 y x y x mm sinmcosm z z ++ϕ+ϕ−= (1.11.33)

Ký hiệu:

θ=θ==+ sinm

m ,cos

m

m ,mmm

y x y x

222 (1.11.34)

khi đó

x

y

m

marctg =θ (1.11.35)

như vậy ta nhận đượ c



43

( ) ( ) ( )θ−ϕ−+=−ϕ+−ϕ cos zmm zm sin zmcos z y x 22222 (1.11.36)

Thế (1.11.36) vào (1.11.32) ta nhận đượ c:

( ) 02

2

022

22

22

>ϕπσ= ∫

π

σ

θ−ϕ−

σ

+−

zkhid ee z

z g

)cos( zmm z

(1.11.37)

Làm phép thay thế u=θ−ϕ (1.11.38)

ta nhận đượ c

( ) 02

2

0

22

22

22

>πσ

= ∫θ−π

σ−

σ

+−

zkhiduee z

z g ucos

zmm z

(1.11.39)

Tích phân trong công thức (1.11.39)

∫ θ−π ⎟⎟ ⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛

σ−

π2

0

2

21 due

ucos

izm

i

là hàm Bessel loại I bậc 0 đối số ảo ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ σ2

imz J o hoặc hàm Bessel loại II đối số thực ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ σ2

mz I o .

Như vậy, ta có

( )

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

<

>⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ σπσ=

σ

+−

00

02 22

2

22

zkhi

zkhimz

I e z

z g o

m z

(1.11.40)

Hàm nhận đượ c gọi là hàm R ơ le suy r ộng. Các đặc tr ưng số của nó, như k ỳ vọng toán học và phươ ngsai, đượ c xác định đượ c theo các công thức:

2

2

42

2

12

2

2

2

2

2

42421

2σ

−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

σσ+⎟

⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

σ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

σ+

πσ=

m

o z em

I mm

I m

m (1.11.41)

2222 z z mm D −+σ= (1.11.42)

Đối vớ i tr ườ ng hợ p k ỳ vọng toán học bằng 0, m x = m y =0, biểu thức (1.11.29) đượ c viết lại dướ i dạng

( ) =

πσ

= ∫∫<+

σ

+−

) z y x(

y x

dxdye zG

22

2

22

22

2

1

2

2

2

2

22

0 0

22

12

1 σ−π

σ

ρ−

−=ϕρρπσ

= ∫ ∫ z

z

ed d e (1.11.43).

Từ đó, theo (1.11.27), ta nhận đượ c mật độ phân bố g(z) dướ i dạng:

( )

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

<

>σ

=σ

−

00

02

2

22

zkhi

zkhie z

z g

z

(1.11.44)

Đây là quy luật phân bố R ơ le đã đượ c xét ở mục 1.6.



44

1.12. HÀM ĐẶC TR Ư NG

Hàm đặc tr ưng g(t) của đại lượ ng ngẫu nhiên X là k ỳ vọng toán học của đại lượ ng ngẫu nhiên phứceitX

( ) itX e M t g = , (1.12.1)

ở đây, 1−=i .

Nếu X là đại lượ ng ngẫu nhiên r ờ i r ạc thì

( ) ∑=

=n

k

k itx

pet g k

1

(1.12.2)

Nếu X là đại lượ ng ngẫu nhiên liên tục thì

( ) ∫+∞

∞−

= dx ) x( f et g itx (1.12.3)

Công thức (1.12.3) biến đổi hàm f(x) đối số x thành hàm g(t) đối số t là phép biến đổi Fourier hàm f(x).

Như vậy, hàm đặc tr ưng của đại lượ ng ngẫu nhiên liên tục là phép biến đổi Fourier hàm mật độ phân bố của nó.

Các tính chấ t của hàm đặc tr ư ng

1. Nếu g x(t) là hàm đặc tr ưng của đại lượ ng ngẫu nhiên X , thì hàm đặc tr ưng của đại lượ ng ngẫu nhiên

aX Y = (1.12.4)

bằng

( ) ( )at gt g x y = (1.12.5)

Thực vậy,

( ) ( ) ( )at g e M e M t g x X at iitY

y === (1.12.6)

2. Hàm đặc tr ưng của tổng các đại lượ ng ngẫu nhiên độc lậ p bằng tích các hàm đặc tr ưng của từnghạng tử.

Nếu X 1 , X 2 , ..., X n là các đại lượ ng ngẫu nhiên độc lậ p có các hàm đặc tr ưng:

)t ( g ),...,t ( g ),t ( g n x x x 21

(1.12.7)

và giả sử

∑==

n

k k X X 1 (1.12.8)

Ta sẽ chứng minh r ằng:

( ) ∏=

=n

k

x x )t ( g t g k

1

(1.12.9)

Thật vậy, khi sử dụng định lý tích k ỳ vọng toán học đối vớ i các đại lượ ng ngẫu nhiên độc lậ p, ta nhậnđượ c:

[ ] ∏∏∏===

==⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=∑=

n

k

x

n

k

itX n

k

itX X it

x )t ( g e M e M e M )t ( g k

k k

n

k k

111

1 (1.12.10)



45

3. Giá tr ị của hàm đặc tr ưng bằng đơ n vị khi t=0:

( ) 10 == ∫+∞

∞−

dx ) x( f g .

Vì hàm đặc tr ưng g(t) của đại lượ ng ngẫu nhiên liên tục là biến đổi ngượ c Fourier của mật độ phân bố f(x) nên, như đã biết từ lý thuyết biến đổi Fourier, có thể nhận đượ c mật độ phân bố f(x) như là biến đổiFourier tr ực tiế p hàm g(t)

( ) ∫+∞

∞−

−

π= dt )t ( g e x f itx

2

1

Như vậy, khi biết mật độ phân bố f(x) ta có thể xác định duy nhất một hàm đặc tr ưng, ngượ c lại, nếu biết hàm đặc tr ưng, có thể xác định một cách duy nhất mật độ phân bố.

Khi đó trong nhiều tr ườ ng hợ p, sử dụng hàm đặc tr ưng thuận lợ i hơ n so vớ i mật độ phân bố.

M ố i liên hệ gi ữ a hàm đặc tr ư ng và mômen của đại l ượ ng ng ẫ u nhiên

Khi biết hàm đặc tr ưng g(t), dễ dàng xác định đượ c các mômen phân bố của đại lượ ng ngẫu nhiên.Ta khai triển hàm eitX thành chuỗi Macloren

( )∑∞

=

=0k

k k

itX X !k

it e (1.12.11)

Thay (1.12.11) vào (1.12.1) ta nhận đượ c chuỗi:

( )( ) ( ) [ ]∑∑

∞

=

∞

=

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

00 k

k k

k

k k

X M !k

it X

!k

it M t g (1.12.12)

Nhưng K X M là mômen gốc bậc k (m K ) của đại lượ ng ngẫu nhiên X . Từ đó ta nhận đượ c khai triển

chuỗi hàm đặc tr ưng

( ) ∑∞

=

=0k

k k k

t !k

mit g (1.12.13)

Như vậy, có thể tìm đượ c tất cả các mômen gốc của đại lượ ng ngẫu nhiên bằng cách khai triển hàmđặc tr ưng thành chuỗi Macloren đối vớ i tham số t .

Ta biểu diễn hàm đặc tr ưng theo công thức khai triển tổng quát thành chuỗi Macloren:

( ) ∑∞

= =

=0 0

1

k

k

t

k

k

t dt

)t ( g d

!k t g (1.12.14)

Só sánh (1.12.13) và (1.12.14) ta nhận đượ c biểu thức đối vớ i mômen của đại lượ ng ngẫu nhiên:

0

1

=

=t

k

k

k k dt

)t ( g d

im (1.12.15)

Một cách tươ ng tự, có thể biểu diễn các mômen trung tâm của đại lượ ng ngẫu nhiên qua hàm đặctr ưng.

Khi biểu diễn đại lượ ng ngẫu nhiên X dướ i dạng:

x

o

m X X += (1.12.16)

vớ io

X là đại lượ ng ngẫu nhiên qui tâm, ta nhận đượ c:



46

( ) [ ]⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

==⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ + o

x

o

x x

o

X it itm X it itmm X it

itX e M eee M e M e M t g (1.12.17)

Khai triểno

X it e thành chuỗi Macloren, ta đượ c

( ) ( ) ( )∑∑∑∞

=

∞

=

∞

=

μ=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

000 k k

k

k

ok

k

k

ok

k X it

!k

it X M

!k

it X

!k

it M e M

o

(1.12.18)

Thế (1.12.18) vào (1.12.17) ta nhận đượ c

( )( )

∑∞

=

− μ=0k

k

k itm

!k

it et g x (1.12.19)

Do đó, khi khai triển Macloren hàm ( ) xitmet g

− ta nhận đượ c tất cả các mômen trung tâm của đại

lượ ng ngẫu nhiên.

Khai triển ( ) xitmet g

− theo công thức khai triển tổng quát chuỗi Macloren:

( )[ ]

∑= =

−− =

n

k

k

t

k

itmk itm

t dt

)t ( g ed

!k et g

x x

0 0

1(1.12.20)

So sánh (1.12.19) và (1.12.20), ta nhận đượ c:

[ ]0

1

=

−

=μt

k

itmk

k k dt

)t ( g ed

i

x

(1.12.21)

Ví d ụ: Nhờ hàm đặc tr ưng ta sẽ tìm đượ c các mômen của phân bố chuẩn.Giả sử đại lượ ng ngẫu nhiên X tuân theo quy luật phân bố chuẩn (1.5.1). Ta sẽ tìm hàm đặc tr ưng của

nó.

( )

( )

∫∫∞+

∞−

σ−

σ++

σ−∞+

∞−

σ

−−

σπ=

σπ= dxedxeet g x

x

x

x

x x

x m xmitx

x

x

m x

itx

x

2

2

22

2

2

2

222

2

1

2

1(1.12.22)

Có thể đưa tích phân (1.12.22) về tích phân đã biết:

A

B AC

C Bx Ax e A

dxe

22 2

−−∞+

∞−

−+− π=∫ (1.12.23)

ký hiệu

2

2

2

2

2 222

1

x

x

x

x x

x

mC ,

mit B , A

σ=

σ

+σ=

σ= (1.12.24)

Khi đó

( ) 2

22 x

xt

itm

et g

σ−

= (1.12.25)

Theo (1.12.15), mômen gốc bậc nhất bằng:



47

x x

t

mei

im

dt

)t ( dg

im ===

=

0

01

1(1.12.26)

Ta tìm các mômen trung tâm của phân bố:

( ) 222222 x x

x x x

t t itmitmitm

eeet g eσ−σ−−− == (1.12.27)

Khai triển hàm này thành chuỗi Macloren, nhận đượ c:

( ) ( ) ∑∑∞

=

∞

=

− σ=

σ−=

0

222

0

22

221

k

k

k

k x

k

k

k

k

k xk itm

t !k

it

!k t g e x (1.12.28)

Từ đó có:

012 =μ −k (1.12.29)

và

!k

i

)!k (

ik

k x

k

k

k

22

22

2

2 σ=μ (1.12.30)

hay

k xk k

!k

)!k ( 22

2

2σ=μ , (k=1,2,...) (1.12.31)

Đặc biệt, 22 xσ=μ , 4

4 3 xσ=μ

Các công thức nhận đượ c là các công thức tính tr ực tiế p mômen của phân bố chuẩn ở mục 1.5.

Tuy nhiên phươ ng pháp sử dụng hàm đặc tr ưng đơ n giản hơ n nhiều.

Hàm đặc tr ư ng của véc t ơ ng ẫ u nhiên

Hàm đặc tr ưng của hệ n đại lượ ng ngẫu nhiên (X 1 , X 2 ... X n ) hoặc vectơ ngẫu nhiên n chiều là hàm n

tham số t 1 , t 2 ,… , t n, đượ c xác định bở i công thức:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=∑=

n

k k k X t i

n e M )t ,...,t ,t ( g 121 (1.12.32)

Đối vớ i hệ các đại lượ ng ngẫu nhiên liên tục, đây là phép biến đổi Fourier n chiều của mật độ phân bố f(x1 ,x2 .... xn )

∫ ∫+∞

∞−

+∞

∞−

++= nn ) xt ... xt ( i

n dx...dxdx ) x ,..., x , x( f e... )t ,...,t ,t ( g nn212121

11 (1.12.33)

Tươ ng tự như tr ườ ng hợ p một chiều, mật độ phân bố f(x1 ,x2 .... xn ) là biến đổi Fourier n lần đối vớ ihàm đặc tr ưng g(t 1 , t 2 ,… , t n )

= ) x ,..., x , x( f n21

( ) ∫ ∫+∞

∞−

+∞

∞−

++−

π= nn

) xt ... xt ( i

ndt ...dt dt )t ,...,t ,t ( g e... nn

212111

2

1(1.12.34)

Đối vớ i hệ các đại lượ ng ngẫu nhiên phân bố chuẩn (X 1 , X 2 ,..., X n ) có mật độ phân bố (1.10.20), hàmđặc tr ưng )t ,...,t ,t ( g n21 đượ c tính theo công thức (1.12.33) có dạng

∑∑==

+−

=

n

j j j

n

k , jk j jk t mit t R

n e )t ,...,t ,t ( g 112

1

21 (1.12.35)



48

trong đó m j là k ỳ vọng toán học của đại lượ ng ngẫu nhiên X j , R jk là mômen tươ ng quan của các đại lượ ngngẫu nhiên X j và X k .

Nếu các đại lượ ng ngẫu nhiên X 1 , X 2 ,..., X n độc lậ p vớ i nhau thì hàm đặc tr ưng n chiều của chúng bằng tích các hàm đặc tr ưng của từng đại lượ ng ngẫu nhiên trong đó.

∏=

=n

k

k xn )t ( g )t ,...,t ,t ( g k

121 (1.12.36)

Nhờ hàm đặc tr ưng nhiều chiều có thể xác định đượ c mômen hỗn hợ p của phân bố của hệ các đạilượ ng ngẫu nhiên (vectơ ngẫu nhiên) theo công thức

= ) x ,..., x , x( m nk ,...,k ,k n 2121

01

1

1

1

121

===

+++++−

∂∂

∂=

n

n

nn

t ...t

k n

k n

k ...k )k ...k k (

t ...t

)t ,...,t ( g i (1.12.37)



49

Chương 2

HÀM NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TR Ư NG CỦA CHÚNG

2.1. ĐỊ NH NGHĨA HÀM NGẪU NHIÊNĐại lượ ng ngẫu nhiên là đại lượ ng mà khi tiến hành một loạt các phép thử trong cùng những điều

kiện như nhau có thể mỗi lần nhận đượ c giá tr ị này hay giá tr ị khác không biết tr ướ c đượ c cụ thể.

Giả thiết r ằng, k ết quả thí nghiệm không phải là một số mà là một hàm nào đó của một hay nhiều đốisố. Một hàm mà k ết quả của mỗi lần thí nghiệm đượ c tiến hành trong những điều kiện như nhau, có thể cócác dạng khác nhau, không biết tr ướ c đượ c cụ thể, đượ c gọi là hàm ngẫu nhiên. Khi đó hàm không ngẫunhiên thu đượ c do k ết quả của mỗi thí nghiệm đượ c gọi là thể hiện của hàm ngẫu nhiên. Mỗi lần lặ p lại thínghiệm ta lại nhận đượ c một thể hiện mớ i. Như vậy có thể xem hàm ngẫu nhiên như là tậ p tất cả các thể hiện của nó. Cách tiế p cận thống kê như vậy r ất thuận lợ i khi nghiên cứu nhiều quá trình vật lý, k ỹ thuật,sinh học v.v... Đặc biệt, khái niệm hàm ngẫu nhiên phản ánh r ất tốt thực chất của các quá trình khí tượ ng

thuỷ văn.Tính chất đặc tr ưng của khí quyển là chuyển động r ối nhiễu loạn gây nên sự biến động mạnh của các

yếu tố khí tượ ng cả theo thờ i gian lẫn không gian. Các xung r ối mạnh xảy ra cả trong các quá trình qui môlớ n cũng như trong các chuyển động qui mô nhỏ. Sự tồn tại của r ối dẫn tớ i những điều kiện ban đầu khôngcòn quy định một cách đầy đủ diễn biến của quá trình, do đó các thí nghiệm tiến hành trong cùng nhữngđiều kiện bên ngoài như nhau sẽ dẫn đến các k ết quả khác nhau.

Giả sử vào cùng một ngày, một giờ của mỗi năm trong một khoảng thờ i gian nào đó, ta đo nhiệt độ không khí tại một điểm cho tr ướ c trong khí quyển. Vớ i mỗi lần đo như vậy ta nhận đượ c nhiệt độ như làhàm của thờ i gian T(t). Các hàm nhận đượ c khi lặ p lại thí nghiệm sẽ khác nhau. Mỗi hàm T i(t) nhận đượ c ở thí nghiệm i có thể đượ c xem như một thể hiện riêng, còn tậ p tất cả các hàm thu đượ c cho chúng ta tậ p hợ p

các thể hiện quan tr ắc của hàm ngẫu nhiên.Tươ ng tự, các yếu tố khí tượ ng khác như áp suất, các thành phần của vectơ vận tốc gió, v.v... cũng có

thể đượ c xem như là các hàm ngẫu nhiên của thờ i gian và toạ độ không gian.

Trên hình 2.1 biểu diễn các đườ ng cong phụ thuộc vào thờ i gian của thành phần v ĩ hướ ng của vectơ gió nhận đượ c từ các số liệu quan tr ắc thám không.

Từng đườ ng cong trên hình 2.1 là một thể hiện của hàm ngẫu nhiên. Nếu cố định thờ i điểm t=t o vàvạch một đườ ng thẳng vuông góc vớ i tr ục hoành, thì nó sẽ cắt mỗi thể hiện tại một điểm. Các điểm giao làcác giá tr ị của một đại lượ ng ngẫu nhiên mà ngườ i ta gọi là lát cắt của hàm ngẫu nhiên ứng vớ i giá tr ị củađối số t=t o.

Xuất phát từ đó có thể đưa ra một định ngh ĩ a khác về hàm ngẫu nhiên: Hàm ngẫu nhiên của đối số t là

hàm X(t) mà giá tr ị của nó tại mỗi tr ị số của đối số t=t o (mỗi một lát cắt tươ ng ứng vớ i t=t o) là một đạilượ ng ngẫu nhiên.

Hình 2.1



50

Ta sẽ ký hiệu hàm ngẫu nhiên bằng các chữ cái lớ n kèm theo đối số ( ) ( ) ,...,t Y ,t X còn các thể hiện

của nó là các chữ cái nhỏ ( ) ( ) )t ( x ,...,t x ,t x n21 , vớ i các chỉ số nêu rõ lần thí nghiệm mà thể hiện trên nhận

đượ c. Lát cắt của hàm ngẫu nhiên tại giá tr ị đối số t o đượ c ký hiệu là ( )ot X .

Đối số t có thể nhận một giá tr ị thực bất k ỳ trong khoảng hữu hạn hoặc vô hạn đã cho, hoặc chỉ là cácgiá tr ị r ờ i r ạc nhất định. Trong tr ườ ng hợ p thứ nhất, X(t) đượ c gọi là quá trình ngẫu nhiên, còn trong tr ườ nghợ p thứ hai nó đượ c gọi là dãy ngẫu nhiên.

Thuật ngữ hàm ngẫu nhiên bao hàm cả hai khái niệm trên. Đối số của hàm ngẫu nhiên không nhấtthiết phải là thờ i gian. Chẳng hạn, có thể xét nhiệt độ không khí như là hàm ngẫu nhiên của độ cao. Hàmngẫu nhiên có thể phụ thuộc không chỉ vào một biến mà có thể phụ thuộc vào vài biến. Hàm ngẫu nhiêncủa vài đối số gọi là tr ườ ng ngẫu nhiên.

Ví dụ, trong khí tượ ng học ngườ i ta xét tr ườ ng nhiệt độ, tr ườ ng gió, tr ườ ng áp suất, tức là nhiệt độ, ápsuất hay vectơ gió đượ c xem như là hàm ngẫu nhiên của 4 đối số: 3 toạ độ không gian và 1 tọa độ thờ igian. Khi đó tr ườ ng ngẫu nhiên có thể vô hướ ng như trong các tr ườ ng hợ p tr ườ ng nhiệt độ và tr ườ ng ápsuất hoặc tr ườ ng véc tơ như tr ườ ng gió, khi mà mỗi thể hiện của nó là một hàm vectơ .

Các quá trình khí tượ ng thuỷ văn là các hàm của đối số liên tục, vì vậy chúng ta sẽ không đề cậ p đếnlý thuyết của chuỗi ngẫu nhiên, mà chỉ xét các quá trình ngẫu nhiên của một đối số liên tục và các tr ườ ngngẫu nhiên như là hàm ngẫu nhiên của một vài đối số liên tục. Khi đó ta sẽ gọi quá trình một chiều là hàmngẫu nhiên hay quá trình ngẫu nhiên, không phân biệt giữa các thuật ngữ đó.

2.2. CÁC QUI LUẬT PHÂN BỐ QUÁ TRÌNH NHẪU NHIÊN

Như ta đã thấy tr ướ c đây, đại lượ ng ngẫu nhiên đượ c hoàn toàn xác định nếu biết hàm phân bố của nó

( ) ( ) x X P x F <= (2.2.1)

Hệ các đại lượ ng ngẫu nhiên đượ c xác định nếu biết hàm phân bố của nó

( ) ( )nnn x X ,..., x X , x X P x ,..., x , x F <<<= 221121 (2.2.2)Quá trình ngẫu nhiên ( )t X có thể đượ c xét như là tậ p hợ p tất cả các lát cắt của nó mà mỗi một lát cắt

là một đại lượ ng ngẫu nhiên. Khi cố định các giá tr ị của đối số t 1 , t 2 ,..., t n chúng ta nhận đượ c n lát cắt củaquá trình nhẫu nhiên.

( ) ( ) ( )nn t X X ,...,t X X ,t X X === 2211

Khi đó, một cách gần đúng, quá trình ngẫu nhiên có thể đượ c đặc tr ưng bở i hàm phân bố của hệ cácđại lượ ng ngẫu nhiên nhận đượ c.

( ) ( )nnnn x X ,..., x X , x X P x ,..., x , x F <<<= 221121 (2.2.3)

Rõ ràng, hàm phân bố này sẽ đặc tr ưng cho quá trình ngẫu nhiên càng đầy đủ hơ n, nếu các giá tr ị của

đối số t i càng phân bố gần nhau, số lát cắt n có đượ c càng lớ n.Xuất phát từ đó, quá trình ngẫu nhiên ( )t X đượ c coi như đã cho tr ướ c nếu đối vớ i mỗi giá tr ị t , hàm

phân bố của đại lượ ng ngẫu nhiên ( )t X đã đượ c xác định

( ) ( )[ ] xt X P t , x F 1 <= , (2.2.4)

và đối vớ i mỗi cặ p hai giá tr ị t 1 và t 2 của đối số t , hàm phân bố của hệ các đại lượ ng ngẫu nhiên( ) ( )2211 t X X ,t X X == đượ c xác định

( ) ( )221121212 x X , x X P t ,t ; x , x F <<= (2.2.5)

Nói chung, vớ i mọi n giá tr ị bất k ỳ t 1 , t 2 ,..., t n của đối số t , hàm phân bố n chiều của hệ các đại lượ ng ngẫunhiên ( )11 t X X = , ( )22 t X X = ,…, ( )nn t X X = đượ c xác định

( ) ( )nnnnn x X ,..., x X , x X P t ,t ,t ; x ,..., x , x F <<<= 22112121 (2.2.6)



51

Hàm ( )t ; x F 1 đượ c gọi là hàm phân bố một chiều của quá trình ngẫu nhiên, nó đặc tr ưng cho qui luật

phân bố của mỗi một lát cắt của nó, nhưng không giải đáp đượ c vấn đề về sự phụ thuộc lẫn nhau giữa cáclát cắt khác nhau.

Hàm ( )21212 t ,t ; x , x F đượ c gọi là hàm phân bố hai chiều của quá trình ngẫu nhiên, nó cũng không

phải là đặc tr ưng bao quát của quá trình ngẫu nhiên.

Để đặc tr ưng đầy đủ quá trình ngẫu nhiên cần phải cho tất cả các hàm phân bố nhiều chiều.

Đối vớ i các hàm ngẫu nhiên liên tục, mỗi lát cắt của nó là một đại lượ ng ngẫu nhiên liên tục, có thể sử dụng qui luật phân bố vi phân nhiều chiều để đặc tr ưng cho hàm ngẫu nhiên. Nếu ( )t ; x F 1 có đạo hàm

riêng theo x

( )t ; x f x

)t ; x( F 1

1 =∂

∂(2.2.7)

thì nó đượ c gọi là mật độ phân bố một chiều hay qui luật phân bố vi phân một chiều của hàm ngẫu nhiên.

Qui luật phân bố vi phân một chiều ( )t ; x f 1 là qui luật phân bố vi phân của đại lượ ng ngẫu nhiên - lát

cắt của hàm ngẫu nhiên ứng vớ i giá tr ị t cho tr ướ c.Qui luật phân bố vi phân nhiều chiều của hàm ngẫu nhiên cũng đượ c xác định một cách tươ ng tự.

Nếu tồn tại đạo hàm riêng hỗn hợ p của hàm phân bố n chiều

n

nnnn

x... x x

)t ,...,t ,t ; x ,..., x , x( F

∂∂∂∂

21

2121 = )t ,...,t ,t ; x ,..., x , x( f nnn 2121 , (2.2.8)

thì nó đượ c gọi là mật độ phân bố n chiều của quá trình ngẫu nhiên.

Hàm phân bố và mật độ phân bố cần thoả mãn điều kiện đối xứng, tức là cần phải như nhau vớ i mọicách chọn các giá tr ị của đối số t 1 ,...,t n.

Vớ i mọi hoán vị i1 , i2 ,...,in từ các số 1, 2,..., n, các hệ thức sau đây phải đượ c thực hiện:

)t ,...,t ,t ; x ,..., x , x( F nn iiiiiin 2121 = )t ,...,t ,t ; x ,..., x , x( F nnn 2121 (2.2.9)

)t ,...,t ,t ; x ,..., x , x( f nn iiiiiin 2121

= )t ,...,t ,t ; x ,..., x , x( f nnn 2121 (2.2.10)

Như đã chỉ ra trong mục 1.7, từ hàm phân bố và mật độ phân bố của hệ n đại lượ ng ngẫu nhiên có thể nhận đượ c hàm phân bố của mọi hệ con của nó. Vì vậy, nếu đã biết hàm phân bố hoặc mật độ phân bố n chiều thì cũng chính là cho tr ướ c tất cả các hàm phân bố và mật độ phân bố bậc thấ p hơ n.

Đặc tr ưng hàm ngẫu nhiên bằng việc cho tr ướ c các qui luật phân bố nhiều chiều, phần lớ n trong ứngdụng thực tiễn, là không thể, do tính phức tạ p của việc xác định thực nghiệm các qui luật phân bố nhiềuchiều, cũng như do sự cồng k ềnh, khó khăn khi sử dụng để giải các bài toán ứng dụng.

Vì vậy, thay cho các qui luật phân bố nhiều chiều, trong đa số tr ườ ng hợ p ngườ i ta giớ i hạn bằng cách

cho những đặc tr ưng riêng của các qui luật này, tươ ng tự như trong lý thuyết đại lượ ng ngẫu nhiên, thaycho qui luật phân bố ngườ i ta sử dụng các đặc tr ưng số của chúng.

2.3. CÁC ĐẶC TR Ư NG CỦA QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN

Để đặc tr ưng cho quá trình ngẫu nhiên, cũng như các đại lượ ng ngẫu nhiên, ngườ i ta sử dụng cácmômen phân bố.

Mômen bậc i1 + i2 + ... + in của quá trình ngẫu nhiên là k ỳ vọng toán học của tích các luỹ thừa tươ ngứng của các lát cắt khác nhau của quá trình ngẫu nhiên

)t ,...,t ,t ( m n21i ,...,i ,i n21= [ ] [ ] [ ]{ }ni

nii

)t ( X ... )t ( X )t ( X M 2121 (2.3.1)

Mômen bậc nhất:



52

( ) ( )[ ] ( )t mt X M t m x==1 (2.3.2)

là k ỳ vọng toán học của quá trình ngẫu nhiên.

K ỳ vọng toán học của quá trình ngẫu nhiên là một hàm không ngẫu nhiên ( )t m x mà giá tr ị của nó vớ i

mỗi t bằng k ỳ vọng toán học của lát cắt tươ ng ứng.K ỳ vọng toán học ( )t m x hoàn toàn xác định bở i quy luật phân bố bậc nhất

)t ( m x = ∫+∞

∞−

dx )t ; x( xf 1 (2.3.3)

Mômen gốc bậc hai có thể có hai dạng: mômen bậc hai đối vớ i cùng một lát cắt của quá trình ngẫunhiên

)t ( m ,02 = [ ]{ }2 )t ( X M (2.3.4)

và mômen hỗn hợ p bậc hai đối vớ i hai lát cắt khác nhau

)t ,t ( m , 2111 = [ ] )t ( X )t ( X M 21 (2.3.5)Mômen 02 ,m phụ thuộc vào một giá tr ị đối số t , mômen hỗn hợ p 11 ,m phụ thuộc vào hai giá tr ị t 1 và

t 2 của đối số t .

Bên cạnh các mômen gốc, ngườ i ta còn xét các mômen trung tâm của quá trình ngẫu nhiên.

Hiệu giữa quá trình ngẫu nhiên và k ỳ vọng của nó

( ) ( )t mt X )t ( X x

o

−= (2.3.6)

đượ c gọi là quá trình ngẫu nhiên qui tâm.

Mômen trung tâm của quá trình ngẫu nhiên ( )t X là mômen gốc bậc tươ ng ứng của quá trình nhẫu

nhiên qui tâm )t ( X o

Mômen trung tâm bậc nhất bằng không

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) 01 =−=−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=μ t mt mt mt X M t X M t x x x

o

.

Mômen trung tâm bậc hai có dạng:

)t ( ,02μ = [ ]{ }22

)t ( m )t ( X M )t ( X M x

o

−=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡(2.3.7)

)t ,t ( , 2111μ = =⎥⎦⎤⎢

⎣⎡ )t ( X )t ( X M oo

21

= [ ][ ]{ } )t ( m )t ( X )t ( m )t ( X M x x 2211 −− (2.3.8)

Mômen trung tâm )t ( ,02μ là hàm của đối số t , vớ i mỗi giá tr ị t cố định, nó là phươ ng sai của lát cắt

tươ ng ứng của quá trình ngẫu nhiên. Hàm không ngẫu nhiên của đối số t này

( ) [ ]2 )t ( m )t ( X M t D x x −= (2.3.9)

đượ c gọi là phươ ng sai của quá trình ngẫu nhiên.

Mômen trung tâm )t ,t ( , 2111μ là hàm của hai đối số t 1 và t 2, vớ i mỗi cặ p hai giá tr ị t 1 và t 2 , đó là

mômen quan hệ hay mômen tươ ng quan giữa các lát cắt tươ ng ứng của quá trình ngẫu nhiên.



53

Hàm không ngẫu nhiên của hai đối số t 1 và t 2

)t ,t ( R x 21 = [ ][ ]{ } )t ( m )t ( X )t ( m )t ( X M x x 2211 −− (2.3.10)

đượ c gọi là hàm tươ ng quan của quá trình ngẫu nhiên X(t).

Rõ ràng, khi t 1 = t 2 = t thì ( ) ( )t Dt ,t R x x = , tức là vớ i các giá tr ị của đối số như nhau thì hàm tươ ngquan tr ở thành phươ ng sai.

Khi sử dụng qui luật phân bố vi phân hai chiều của hàm ngẫu nhiên, có thể viết lại hàm tươ ng quan )t ,t ( R x 21 :

)t ,t ( R x 21 = [ ][ ]∫ ∫+∞

∞−

+∞

∞−

−− 21212122211 dxdx )t ,t ; x , x( f )t ( m x )t ( m x x x (2.3.11)

Từ định ngh ĩ a hàm tươ ng quan )t ,t ( R x 21 thấy r ằng, nó đối xứng đối vớ i các đối số

)t ,t ( R x 21 = )t ,t ( R x 12 (2.3.12)

Thay cho hàm tươ ng quan, có thể sử dụng hàm tươ ng quan chuẩn hoá )t ,t ( r x 21 đượ c xác định dướ idạng

)t ,t ( r x 21 = )t ( )t (

)t ,t ( R

x x

x

21

21

σσ, (2.3.13)

trong đó ( ) )t ( Dt x x =σ đượ c gọi là độ lệch bình phươ ng trung bình của hàm ngẫu nhiên.

Vớ i mỗi cặ p giá tr ị t 1 và t 2, hàm tươ ng quan chuẩn hoá )t ,t ( r x 21 là hệ số tươ ng quan của hai lát cắt

tươ ng ứng của hàm ngẫu nhiên.

Cho tr ướ c mômen bậc nhất và bậc hai, tức là k ỳ vọng toán học và hàm tươ ng quan của quá trình ngẫunhiên, mà không cho các đặc tr ưng đầy đủ của nó, cũng đã xác định đượ c hàng loạt tính chất của quá trình

ngẫu nhiên.Tại mỗi giá tr ị cố định của đối số t , k ỳ vọng toán học ( )t m x xác định tâm phân bố của mỗi lát cắt của

quá trình ngẫu nhiên.

Hàm tươ ng quan )t ,t ( R x 21 , tr ở thành phươ ng sai khi các giá tr ị của đối số như nhau t 1 = t 2 = t , đặc

tr ưng cho tính tản mát của các giá tr ị ngẫu nhiên của lát cắt đã cho xung quanh tâm phân phối.

Vớ i các giá tr ị t 1 và t 2 khác nhau, hàm tươ ng quan đặc tr ưng cho mức độ phụ thuộc tuyến tính giữamỗi cặ p các lát cắt của quá trình ngẫu nhiên.

Do đó, khi giải quyết nhiều bài toán ứng dụng, chỉ cần biết hai mômen này - k ỳ vọng toán học và hàmtươ ng quan của quá trình ngẫu nhiên, là đủ.

Phần lý thuyết hàm ngẫu nhiên dựa trên các đặc tr ưng này đượ c gọi là lý thuyết tươ ng quan của hàmngẫu nhiên.

Đối vớ i các quá trình ngẫu nhiên phân bố chuẩn thườ ng gặ p trong thực tế, k ỳ vọng toán học và hàmtươ ng quan là các đặc tr ưng bao quát của quá trình ngẫu nhiên.

Quá trình ngẫu nhiên đượ c gọi là có phân bố chuẩn nếu mọi hệ các lát cắt ( ) ( ) ( )nt X ,...,t X ,t X 21 của

nó đều tuân theo quy luật phân bố chuẩn của hệ các đại lượ ng ngẫu nhiên.

Mật độ phân bố của hệ các đại lượ ng ngẫu nhiên phân bố chuẩn đượ c xác định duy nhất bở i các k ỳ vọng toán học và ma tr ận tươ ng quan của hệ đại lượ ng ngẫu nhiên (xem mục 1.10).

Vì k ỳ vọng toán học của các lát cắt của quá trình ngẫu nhiên là tr ị số của k ỳ vọng toán học ( )t m x tại

các giá tr ị cố định của đối số t còn các phần tử của ma tr ận tươ ng quan là giá tr ị hàm tươ ng quan )t ,t ( R x 21



54

khi cố định cặ p hai đối số của nó, nên k ỳ vọng toán học và hàm tươ ng quan của quá trình ngẫu nhiên hoàntoàn xác định mọi mật độ phân bố n chiều của quá trình ngẫu nhiên phân bố chuẩn.

Ngày nay, lý thuyết hàm ngẫu nhiên đã đượ c xây dựng khá đầy đủ và nhờ nó đã có thể giải quyếthàng loạt bài toán ứng dụng quan tr ọng. Lý thuyết tươ ng quan cho phép xác định cấu trúc thống kê của các

quá trình và các tr ườ ng khí tượ ng, thuỷ văn, giải quyết các bài toán dự báo những quá trình này và nhiều bài toán khác.

Trong thống kê toán học, khi xác định k ỳ vọng toán học và các mômen tươ ng quan của các đại lượ ngngẫu nhiên theo số liệu thực nghiệm, theo định luật số lớ n, thay cho các giá tr ị của chúng là trung bìnhtheo mọi giá tr ị của đại lượ ng ngẫu nhiên

[ ] ∑=

==n

ii x x

n X M m

1

1(2.3.14),

[ ] ∑=

−−−

=−−=n

i

yi xi y x xy )m y )( m x( n

)mY )( m X ( M R11

1(2.3.15)

ở đây, n là số tr ị số của đại lượ ng ngẫu nhiên.

Việc lấy trung bình tươ ng tự theo tậ p hợ p tất cả các thể hiện đượ c tiến hành khi xác định k ỳ vọngtoán học và hàm tươ ng quan của hàm ngẫu nhiên:

( ) ∑=

=n

i

i x )t ( xn

t m1

1(2.3.16),

[ ][ ]∑=

−−−

=n

i xi xi x )t ( m )t ( x )t ( m )t ( x

n )t ,t ( R

1221121 1

1(2.3.17)

trong đó, n là số lượ ng các thể hiện.

Từ đó, để xác định các đặc tr ưng của hàm ngẫu nhiên, thay cho toán tử lấy k ỳ vọng toán học, trongcác tài liệu thườ ng sử dụng toán tử trung bình hoá đượ c ký hiệu bở i

( ) )t ( X t m x = (2.3.18)

[ ][ ] )t ( X )t ( X )t ( X )t ( X )t ,t ( R x 221121 −−= (2.3.19)

ở đây, đườ ng gạch ngang phía trên mỗi đại lượ ng là ký hiệu lấy trung bình đại lượ ng này theo tậ p hợ p tấtcả các thể hiện của hàm ngẫu nhiên.

Ta hãy xét xem các đặc tr ưng của quá trình ngẫu nhiên thay đổi như thế nào khi thêm vào nó mộthàm không ngẫu nhiên.

Giả sử

( ) ( ) ( )t t X t Y ϕ+= (2.3.20)trong đó ( )t ϕ là hàm không ngẫu nhiên.

Theo định lý cộng k ỳ vọng toán học:

( ) ( ) ( )t t mt m x y ϕ+= (2.3.21)

Ta hãy xác định hàm tươ ng quan của quá trình ngẫu nhiên ( )tY

)t ( m )t ( Y )t ( m )t ( Y M )t ,t ( R y y y 221121 −−= =

= )t ( )t ( m )t ( )t ( X )t ( )t ( m )t ( )t ( X M y y 22221111 ϕ−−ϕ+ϕ−−ϕ+ =

= )t ,t ( R )t ( m )t ( X )t ( m )t ( X M x y y 212211 =−− (2.3.21)



55

như vậy, rõ ràng khi thêm vào một hạng tử không ngẫu nhiên, hàm tươ ng quan của quá trình ngẫu nhiênkhông thay đổi.

Sử dụng tính chất này, thông thườ ng, thay cho chính quá trình ngẫu nhiên ngườ i ta xét quá trình ngẫunhiên qui tâm.

Khi nghiên cứu các quá trình khí tượ ng thuỷ văn, k ỳ vọng toán học nhận đượ c bằng cách trung bìnhhoá theo mọi thể hiện của quá trình ngẫu nhiên, là chuẩn khí hậu của quá trình đã cho. Đó có thể là chuẩntrung bình ngày, tháng hoặc nhiều năm, v.v., phụ thuộc vào tính chất của quá trình nghiên cứu. Sự thay đổicủa quá trình đượ c đặc tr ưng bở i độ lệch của thể hiện của quá trình so vớ i chuẩn và gọi là dị thườ ng.

Điều quan tâm lớ n nhất khi nghiên cứu thống kê các quá trình ngẫu nhiên là đặc tr ưng của các dị thườ ng này. Chẳng hạn, trong dự báo ta quan tâm đến độ lệch của yếu tố cần xét so vớ i chuẩn, tức là yếu tố đó sẽ lớ n hơ n hay nhỏ hơ n chuẩn khí hậu.

Từ đó, thông thườ ng ngườ i ta xét các quá trình ngẫu nhiên qui tâm vớ i k ỳ vọng toán học bằng 0. Khiđó hàm tươ ng quan của quá trình qui tâm trùng vớ i hàm tươ ng quan của quá trình ban đầu.

2.4. HỆ CÁC QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN. HÀM TƯƠ NG QUAN QUAN HỆ

Thông thườ ng ta xét đồng thờ i một vài quá trình ngẫu nhiên. Khi đó, ngoài các đặc tr ưng của mỗi quátrình ngẫu nhiên, chủ yếu cần xem xét mối quan hệ giữa các quá trình khác nhau.

Chẳng hạn, khi nghiên cứu các hiện tượ ng thờ i tiết đòi hỏi phải xét đồng thờ i một loạt các quá trìnhngẫu nhiên, như sự thay đổi của nhiệt độ không khí, áp suất, độ ẩm, v.v...

Tươ ng tự như hệ các đại lượ ng ngẫu nhiên, có thể xét hệ n quá trình ngẫu nhiên như là vectơ ngẫunhiên n chiều phụ thuộc vào đối số t , mà mỗi một quá trình ngẫu nhiên đượ c xem là hình chiếu của vectơ này trên tr ục toạ độ đã cho.

Do sự cồng k ềnh và không có khả năng ứng dụng thực tế nên các qui luật phân bố nhiều chiều của hệ các quá trình ngẫu nhiên sẽ không đượ c mô tả, chúng ta sẽ giớ i hạn ở hai mômen đầu tiên mà chúng đượ csử dụng trong lý thuyết tươ ng quan.

Mômen gốc bậc nhất trùng vớ i k ỳ vọng toán học các quá trình ngẫu nhiên tươ ng ứng.

Mômen trung tâm bậc hai có thể có hai dạng. Dạng thứ nhất, có thể xét mômen trung tâm bậc hai đốivớ i hai lát cắt của cùng một quá trình ngẫu nhiên, nó sẽ là hàm tươ ng quan của mỗi quá trình ngẫu nhiêncủa hệ.

Dạng thứ hai, có thể xét mômen trung tâm bậc hai đối vớ i một lát cắt tươ ng ứng vớ i giá tr ị đối số t 1 của một quá trình ngẫu nhiên của hệ, còn lát cắt của quá trình thứ hai tươ ng ứng vớ i giá tr ị đối số t 2.

Mômen trung tâm này đượ c gọi là hàm tươ ng quan quan hệ giữa hai quá trình ngẫu nhiên đã cho. Ngườ i ta cũng còn dùng tên khác, là hàm tươ ng quan lẫn nhau.

Xét hệ hai quá trình ngẫu nhiên ( )t X và ( )t Y . Trong lý thuyết tươ ng quan các đặc tr ưng của nó sẽ là:K ỳ vọng toán học ( )t m x và ( )t m y , hàm tươ ng quan R x(t 1 ,t 2 ) và R y(t 1 ,t 2 ), và hàm tươ ng quan quan hệ

( ) [ ] )t ( m )t ( Y )t ( m )t ( X M t ,t R y x xy 221121 −−= (2.4.1)

Hàm tươ ng quan quan hệ (2.4.1) đặc tr ưng cho mức độ phụ thuộc tuyến tính giữa các lát cắt ( )1t X và

( )2t Y . Khi t 1 = t 2, hàm tươ ng quan quan hệ sẽ đặc tr ưng cho mức độ phụ thuộc tuyến tính của các lát cắt

tươ ng ứng vớ i cùng một giá tr ị đối số của các quá trình ngẫu nhiên ( )t X và ( )t Y .

Hàm tươ ng quan của mỗi quá trình ngẫu nhiên đặc tr ưng cho mức độ quan hệ giữa các lát cắt củacùng một quá trình, đôi khi còn đượ c gọi là hàm tự tượ ng quan.



56

Hàm tươ ng quan quan hệ ( )21 t ,t R xy không đối xứng đối vớ i các đối số của chúng, tuy nhiên nó có

tính chất là không thay đổi khi chuyển vị đồng thờ i cả đối số và chỉ số.

Thực vậy, từ (2.4.1) rõ ràng:

( ) ( )1221 t ,t Rt ,t R yx xy = (2.4.2)

Dễ ràng chứng minh đượ c r ằng hàm tươ ng quan quan hệ không thay đổi khi thêm vào mỗi hàm ngẫunhiên các hạng tử không ngẫu nhiên, cho nên có thể tính nó khi sử dụng hàm ngẫu nhiên qui tâm.

Khi cố định các giá tr ị đối số t 1 và t 2 thì ( )21 t ,t R xy là mômen quan hệ giữa hai đại lượ ng ngẫu nhiên

( )1t X và ( )2t Y , vì vậy

)t ( )t ( )t ,t ( R y x xy 2121 σσ≤ (2.4.3)

Thay cho hàm tươ ng quan quan hệ ta xét đại lượ ng vô thứ nguyên, gọi là hàm tươ ng quan quan hệ chuẩn hoá.

)t ,t ( r xy 21 = )t ( )t (

)t ,t ( R y x

xy

2121

σσ (2.4.4)

Theo (2.4.3)

121 ≤ )t ,t ( r xy (2.4.5)

Khi cố định các giá tr ị t 1 và t 2, hàm tươ ng quan quan hệ chuẩn hoá )t ,t ( r xy 21 là hệ số tươ ng quan của

các đại lượ ng ngẫu nhiên ( )1t X và ( )2t Y .

Nếu hàm tươ ng quan quan hệ đồng nhất bằng không thì các quá trình ngẫu nhiên đượ c gọi là khôngliên hệ hay không tươ ng quan.

Cũng như đối vớ i đại lượ ng ngẫu nhiên, điều kiện không tươ ng quan là điều kiện cần nhưng không phải là điều kiện đủ để các quá trình ngẫu nhiên độc lậ p. Nó chỉ đặc tr ưng cho sự không phụ thuộc tuyếntính giữa chúng.

Nếu có hệ n quá trình ngẫu nhiên ( ) ( ) ( )t X ,...,t X ,t X n21 thì, để đặc tr ưng cho hệ này, trong lý thuyết

tươ ng quan cần phải cho n k ỳ vọng toán học )t ( mi x , n hàm tươ ng quan )t ,t ( R

i x 21 và2

1 )n( n −hàm

tươ ng quan quan hệ )t ,t ( R ji x x 21 . Do (2.4.2), chỉ cần cho các hàm tươ ng quan quan hệ đối vớ i các cặ p chỉ

số xi , x j, vớ i i < j là đủ, vì

)t ,t ( R ji x x 21 = )t ,t ( R

i j x x 12 (2.4.6)

Xét tr ườ ng hợ p khi quá trình ngẫu nhiên( )t Z là tổng của hai quá trình ngẫu nhiên khác

( )t X và

( )t Y ,

( ) ( ) ( )t Y t X t Z += (2.4.7)

Ta tìm k ỳ vọng và hàm tươ ng quan của quá trình ngẫu nhiên ( )t Z .

Vớ i mỗi giá tr ị t cố định, theo tính chất k ỳ vọng của tổng các đại lượ ng ngẫu nhiên, ta nhận đượ c

( ) ( ) ( )t mt mt m y x z += (2.4.8)

Tính hàm tươ ng quan ( )21 z t ,t R

[ ] [ ] )t ( Y )t ( X )t ( m )t ( Y )t ( m )t ( X )t ( m )t ( Z )t ( Z oo

y x z

o

+=−+−=−= . (2.4.9)

Từ đó



57

)t ,t ( R z 21 =

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ )t ( Y )t ( X )t ( Y )t ( X M )t ( Z )t ( Z M

oooooo

221121 =

=

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡+

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡+

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡+

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡ )t ( X )t ( Y M )t ( Y )t ( X M )t ( Y )t ( Y M )t ( X )t ( X M

oooooooo

21212121

= )t ,t ( R )t ,t ( R )t ,t ( R )t ,t ( R yx xy y x 21212121 +++ (2.4.10)

Như vậy, để xác định k ỳ vọng toán học của tổng hai quá trình ngẫu nhiên cần biết k ỳ vọng toán họccủa cả hai quá trình.

Để xác định hàm tươ ng quan của tổng hai quá trình ngẫu nhiên cần biết hàm tươ ng quan của mỗi quátrình thành phần và hàm tươ ng quan quan hệ của các quá trình đó. Trong tr ườ ng hợ p khi các quá trình ngẫunhiên ( )t X và ( )t Y không liên hệ, 0 )t ,t ( R 21 xy = , 0 )t ,t ( R 21 yx = thì (2.4.10) có dạng

)t ,t ( R z 21 = )t ,t ( R x 21 + )t ,t ( R y 21 (2.4.11)

Các công thức này có thể đượ c tổng quát hoá cho tr ườ ng hợ p tổng của n hạng tử

( ) ∑=

=n

ii )t ( X t Z

1

(2.4.12)

khi đó

)t ( m z = ∑=

n

i x )t ( m

i1

(2.4.13)

)t ,t ( R z 21 = ∑=

n

i

x )t ,t ( Ri

121 + ∑

<

n

ji x x )t ,t ( R

ji 21 (2.4.14)

Trong tr ườ ng hợ p tất cả các quá trình ngẫu nhiên đôi một không liên hệ ta có

)t ,t ( R z 21 = ∑=

n

i

x )t ,t ( Ri

121 . (2.4.15)

Khi cộng hàm ngẫu nhiên ( )t X vớ i đại lượ ng ngẫu nhiên Y , ta có thể xét đại lượ ng ngẫu nhiên này

như là hàm ngẫu nhiên không thay đổi theo đối số t .

Trong tr ườ ng hợ p này ( ) y y mt m = , còn )t ,t ( R y 21 = y y D )t ,t ( R = . Khi đó công thức (2.4.8) đượ c

viết lại dướ i dạng

( ) ( ) y x z mt mt m += . (2.4.16)

Khi hàm ngẫu nhiên ( )t X không liên hệ vớ i đại lượ ng ngẫu nhiên Y , công thức (2.4.10) đượ c viết lại

dướ i dạng )t ,t ( R z 21 = y x D )t ,t ( R +21 , (2.4.17)

2.5. QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN DỪ NG

Các quá trình ngẫu nhiên mà những tính chất thống kê của chúng trên thực tế không thay đổi theo đốisố là những quá trình đơ n giản nhất cho việc nghiên cứu và mô tả thống kê. Các quá trình như vậy đượ cgọi là dừng.

Thuật ngữ dừng xuất hiện khi nghiên cứu các hàm ngẫu nhiên thờ i gian và đặc tr ưng cho các tínhchất của chúng không thay đổi theo thờ i gian. Đối vớ i các quá trình ngẫu nhiên mà đối số của chúng không phải thờ i gian mà là biến khác, chẳng hạn, khoảng cách, thuật ngữ đồng nhất là tự nhiên hơ n. Tuy nhiên,



58

thuật ngữ dừng đượ c thừa nhận đối vớ i hàm ngẫu nhiên một biến không phụ thuộc vào tính chất của biếnnày.

Thuật ngữ đồng nhất đượ c áp dụng cho tr ườ ng ngẫu nhiên, khi đặc tr ưng cho tính chất đồng nhất củachúng trong không gian, còn tính dừng của tr ườ ng đượ c hiểu là các tính chất thống kê của nó không thay

đổi theo thờ i gian. Ta sẽ định ngh ĩ a chính xác hơ n khái niệm dừng.Quá trình ngẫu nhiên ( )t X đượ c gọi là dừng nếu tất cả các qui luật phân bố hữu hạn chiều của nó

không thay đổi khi thêm vào mọi giá tr ị của đối số vớ i cùng một số, tức là nếu tất cả chúng chỉ phụ thuộcvào sự sắ p xế p các giá tr ị của đối số vớ i nhau mà không phụ thuộc vào chính các giá tr ị này.

Như vậy, quá trình ngẫu nhiên ( )t X là dừng nếu vớ i mọi n và mọi to, đẳng thức sau đây đượ c thực

hiện

)t ,...,t ,t ; x ,..., x , x( f nnn 2121 =

= )t t ,...,t t ,t t ; x ,..., x , x( f onoonn +++ 2121 (2.5.1)

Do đó, mật độ phân bố là bất biến đối vớ i phép dịch chuyển gốc tính của đối số t .

Cụ thể, đối vớ i mật độ phân bố một chiều ( )t ; x f 1 của quá trình ngẫu nhiên dừng, khi đặt t o = − t ta

nhận đượ c

( ) ( ) ( ) ( ) x f ; x f t t ; x f t ; x f 111 0 ==−= (2.5.2)

tức là mật độ phân bố một chiều không phụ thuộc vào t , nó như nhau đối vớ i mọi lát cắt của quá trình ngẫunhiên.

Khi t o = − t 1 mật độ phân bố hai chiều đượ c đưa về dướ i dạng

( ) ( )( ) ( )τ=−=

=−=

; x , x f t t ; x , x f

t t ,; x , x f t ,t ; x , x f

21212212

1221221212 0

(2.5.3)

tức là mật độ phân bố hai chiều phụ thuộc vào không phải cả hai đối số t 1 , t

2 mà chỉ phụ thuộc vào một đốisố là hiệu của chúng τ = t 2− t 1. Từ đó, theo (2.5.2), đối vớ i quá trình ngẫu nhiên dừng ta nhận đượ c

( ) const mdx ) x( xf t m x x === ∫+∞

∞−1 (2.5.4)

ngh ĩ a là k ỳ vọng toán học của quá trình ngẫu nhiên dừng không phụ thuộc vào đối số t và là một đại lượ ngkhông đổi.

Theo (2.5.3) và (2.5.4),

)t ,t ( R x 21 = ∫ ∫+∞

∞−

+∞

∞−

τ−− 2121221 dxdx ); x , x( f )m x )( m x( x x = )( R x τ (2.5.5)

Như vậy, hàm tươ ng quan của quá trình ngẫu nhiên dừng là hàm chỉ của một đối số τ = t 2− t 1.

Các điều kiện (2.5.4) và (2.5.5) đượ c thực hiện đối vớ i mọi quá trình dừng, như vậy đó là những điềukiện cần của tính dừng. Tuy nhiên, chúng không phải là điều kiện đủ đối vớ i quá trình dừng, có ngh ĩ a làđiều kiện đó chưa đảm bảo để thực hiện điều kiện (2.5.1) khi n ≥ 3.

Trong lý thuyết tươ ng quan của hàm ngẫu nhiên, ngườ i ta không sử dụng qui luật phân bố nhiềuchiều mà chỉ sử dụng hai mômen phân bố đầu tiên, khi đó việc thực hiện các điều kiện (2.5.4) và (2.5.5) làđiều hết sức cốt yếu, nó làm đơ n giản hoá r ất nhiều việc mô tả các quá trình ngẫu nhiên và giải quyết đượ cnhiều bài toán.

Vì vậy, trong lý thuyết tươ ng quan, ngườ i ta tách ra lớ p các quá trình ngẫu nhiên mà các điều kiện(2.5.4) và (2.5.5) đượ c thoả mãn, tức là đối vớ i chúng k ỳ vọng toán học là đại lượ ng không đổi, còn hàmtươ ng quan là hàm chỉ của một đối số.



59

Các quá trình như vậy đượ c gọi là dừng theo ngh ĩ a r ộng. Sau này, khi nghiên cứu lý thuyết tươ ngquan hàm ngẫu nhiên, nếu nói đến tính dừng ta sẽ hàm ý là dừng theo ngh ĩ a r ộng.

Đối vớ i các quá trình ngẫu nhiên có phân bố chuẩn, tính dừng theo ngh ĩ a r ộng tươ ng đươ ng vớ i tínhdừng theo ngh ĩ a hẹ p, vì tất cả các mật độ phân bố n chiều trong tr ườ ng hợ p này hoàn toàn đượ c xác định

bở i k ỳ vọng toán học và hàm tươ ng quan của quá trình ngẫu nhiên. Và do đó, sự không phụ thuộc của k ỳ vọng và hàm tươ ng quan vào việc chọn gốc tính của đối số t dẫn đến tính bất biến của mật độ phân bố n chiều của quá trình ngẫu nhiên có phân bố chuẩn.

Từ tính chất đối xứng của hàm tươ ng quan (2.3.12) suy ra

( ) ( )τ−=τ x x R R (2.5.6)

tức là hàm tươ ng quan của quá trình ngẫu nhiên dừng là hàm chẵn. Từ đó cũng có thể nói hàm tươ ng quanchỉ phụ thuộc vào giá tr ị tuyệt đối của hiệu t 2 − t1, tức là xem 12 t t −=τ .

Đối vớ i quá trình ngẫu nhiên dừng ( )t X , phươ ng sai

( ) ( ) ( )0 x x x Rt ,t Rt D == , (2.5.7)tức phươ ng sai cũng là một đại lượ ng không đổi, không phụ thuộc vào đối số t . Nó nhận đượ c từ hàmtươ ng quan ( )τ x R khi τ = 0.

Theo (2.3.12), hàm tươ ng quan chuẩn hoá của quá trình dừng đượ c xác định dướ i dạng

)( R

)( R

D

)( R )( r

x

x

x

x x 0

τ=

τ=τ (2.5.8)

Đặc biệt

10

00 ==

)( R

)( R )( r

x

x x (2.5.9)

Ta hãy xét hệ các quá trình ngẫu nhiên ( ) ( ) ( )t X ,...,t X ,t X n21 . Hệ này đượ c gọi là dừng theo ngh ĩ a

r ộng nếu mỗi một quá trình ngẫu nhiên ( )t X i là dừng theo ngh ĩ a r ộng, ngoài ra, các hàm tươ ng quan quan

hệ )t ,t ( R ji x x 21 là hàm chỉ của một đối số τ = t 2 − t 1, tức là

)t ,t ( R ji x x 21 = )( R

ji x x τ . (2.5.10)

Hệ như vậy cũng còn đượ c gọi là dừng và liên hệ dừng.

Đối vớ i hệ như vậy, từ tính chất của hàm tươ ng quan quan hệ (2.4.2) ta đượ c

)( R ji x x τ = )( R

ji x x τ− (2.5.11)

Từ những điều đã trình bày ta thấy r ằng, tính dừng của hàm ngẫu nhiên đã làm đơ n giản đi một cáchđáng k ể việc mô tả thống kê nó. Trong khuôn khổ lý thuyết tươ ng quan điều đó cho phép vạch ra các phươ ng pháp toán học khá hữu hiệu giải quyết các vấn đề biến đổi hàm ngẫu nhiên dừng và dự báochúng,...

Đối vớ i các hàm không dừng, việc giải quyết các vấn đề đó gặ p r ất nhiều khó khăn. Vì vậy, tr ướ c khixét bất k ỳ một hàm ngẫu nhiên nào xảy ra trong thực tế, ta phải xét trên quan điểm có thể cho r ằng nó làdừng.

Đối vớ i các quá trình xảy ra trong khí quyển và thuỷ quyển, giả thiết về tính dừng của chúng đượ cthoả mãn tươ ng đối tốt trong khoảng thờ i gian hoặc khoảng cách không lớ n. Khi tăng khoảng thay đổi củađối số, tính dừng bị phá huỷ. Khi đó, do biến trình ngày (năm) của các yếu tố khí tượ ng và các nhân tố hệ thống khác, mà dẫn đến việc k ỳ vọng toán học thay đổi theo sự thay đổi của đối số. Vì vậy nhiều khi tính



60

dừng theo ngh ĩ a hàm tươ ng quan không phụ thuộc vào gốc tính toán, trên thực tế, vẫn đượ c bảo toàn, nếukhông chính xác thì cũng là xấ p xỉ cho phép nào đó.

Trong tr ườ ng hợ p này, thay cho chính quá trình ngẫu nhiên, hợ p lý hơ n ta xét quá trình ngẫu nhiênqui tâm, tức là độ lệch của nó khỏi k ỳ vọng toán học

)t ( m )t ( X )t ( X x

o

−=

Khi đó, có thể xem quá trình ngẫu nhiên qui tâm là dừng vớ i k ỳ vọng toán học không đổi bằng 0.Hàm tươ ng quan của quá trình ngẫu nhiên qui tâm và quá trình ngẫu nhiên ban đầu trùng nhau như đã chỉ ra trong mục 2.3.

Khi nghiên cứu cấu trúc thống kê các quá trình khí quyển và thuỷ quyển, thông thườ ng nhất là cácquá trình ngẫu nhiên dừng có hàm tươ ng quan đượ c xấ p xỉ bở i các dạng hàm sau đây:

1) ( ) 02 >ασ=τ τα− ,e R (hình 2.2)

2) ( ) 022 >ασ=τ ατ− ,e R (hình 2.3)

3) 02 >αβτσ=τ τα− ,cose )( R (hình 2.4)

4) ( ) 022 >αβτσ=τ ατ− ,cose R (hình 2.5)

5) ( ) 002 >β>α⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ τβ

βα

+βτσ=τ τα− , , sincose R (hình 2.6)

6) ( )

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

τ>τ

τ≤τ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ττ

−σ=τ

o

oo

khi

khi

R

0

12

(hình 2.7)

Các hình sau biểu diễn đồ thị các hàm tươ ng quan đối vớ i τ > 0. Do tính chẵn của các hàm này, ta sẽ có tươ ng ứng các đườ ng cong đối xứng đối vớ i tr ục tung.

Từ các hình 2.2, 2.3, 2.7 ta thấy r ằng giá tr ị của hàm tươ ng quan giảm khi τ tăng, tức là mối liên hệ tươ ng quan giữa các lát cắt của hàm ngẫu nhiên giảm theo sự tăng của khoảng cách giữa chúng.

Các đườ ng cong trên hình 2.4 và 2.5 có dạng dao động điều hoà vớ i biên độ giảm dần. Dạng cácđườ ng cong này nói lên tính có chu k ỳ trong cấu trúc của hàm ngẫu nhiên. Việc nhận đượ c các giá tr ị âmcủa ( )τ R trên khoảng biến đổi của τ chỉ ra mối quan hệ nghịch biến giữa các lát cắt của hàm ngẫu nhiên,

tức là độ lệch khỏi k ỳ vọng toán học ở lát cắt này dươ ng tươ ng ứng vớ i độ lệch âm ở lát cắt khác.

Hình 2.2 Hình 2.3



61

Hình 2.4 Hình 2.5

Hình 2.6 Hình 2.7

Hình 2.8

Đối vớ i tất cả các tr ườ ng hợ p đã nêu, hàm tươ ng quan dần tớ i không khi τ dần tớ i vô hạn. Thực tế,tính chất này thườ ng đượ c thoả mãn đối vớ i tất cả các hàm ngẫu nhiên thườ ng gặ p trong khí tượ ng thuỷ văn.

Ngoại tr ừ tr ườ ng hợ p khi mà trong cấu trúc của hàm ngẫu nhiên có thành phần là một đại lượ ng ngẫunhiên không đổi. Trong tr ườ ng hợ p này hàm tươ ng quan sẽ chứa một hạng tử là hằng số, bằng phươ ng saicủa đại lượ ng ngẫu nhiên này. Khi ∞→τ thì ( )τ R sẽ dần đến phươ ng sai này. Ví dụ như, đối vớ i tr ườ ng

hợ p 3 đồ thị sẽ có dạng như trên hình 2.8.

Một vấn đề xuất hiện là, có phải mọi hàm chẵn đều có thể là hàm tươ ng quan của quá trình ngẫunhiên dừng hay không ?

Hàm ( )t f mà đối vớ i nó bất đẳng thức sau đây đúng đối vớ i mọi n số thực na ,...,a ,a 21 và mọi giá tr ị

của đối số nt ,...,t ,t 21 đượ c gọi là xác định dươ ng:

∑∑= =

≥−n

i

n

j ji ji )t t ( f aa

1 1

0 (2.5.12)

Ta xét tổng kiểu như vậy đối vớ i hàm tươ ng quan ( )τ x R

∑∑= =

−n

i

n

j ji x ji )t t ( Raa

1 1

= ∑∑= =

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡n

i

n

j ji j

o

i

o

aa )t ( X )t ( X M 1 1

=

= 0

2

1

≥

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥

⎦

⎤⎢

⎣

⎡∑=

n

i

i

o

i )t ( X a M (2.5.13)



62

Tổng (2.5.13) không âm giống như k ỳ vọng toán học của đại lượ ng không âm. Do đó, hàm tươ ngquan là xác định dươ ng. Từ đó thấy r ằng, một hàm chỉ có thể là hàm tươ ng quan của quá trình ngẫu nhiêndừng khi nó xác định dươ ng.

Điều ngượ c lại cũng đúng vì mọi hàm xác định dươ ng là hàm tươ ng quan đối vớ i một quá trình ngẫu

nhiên dừng nào đó.

Có thể chỉ ra r ằng, tất cả các hàm đượ c xét trên các hình 2.2−2.7 đều xác định dươ ng.

Đối vớ i hàm tự tươ ng quan, như chúng ta đã thấy, giá tr ị cực đại bằng phươ ng sai của quá trình ngẫunhiên đạt đượ c khi τ = 0.

Đối vớ i hàm tươ ng quan quan hệ của hai quá trình ngẫu nhiên, điều đó không phải luôn luôn xảy ra.Thực vậy, ảnh hưở ng của một quá trình lên quá trình khác có thể xảy ra vớ i độ tr ễ nào đó. Chẳng hạn, sự nung nóng tầng bình lưu do bức xạ mặt tr ờ i chỉ xảy ra sau một thờ i gian τ nào đó. Trong tr ườ ng hợ p này,giá tr ị của mômen quan hệ giữa các lát cắt của các quá trình này sau khoảng thờ i gian τ , lớ n hơ n so vớ imômen quan hệ giữa các lát cắt tại cùng thờ i điểm của các quá trình đó. Sự tr ễ này có thể là nguyên nhâncủa tính không đối xứng của hàm tươ ng quan quan hệ đối vớ i đối số τ , tức là

)( R )( R xy xy τ−≠τ .

2.6. TÍNH EGODIC CỦA QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN DỪ NG

Cho đến nay chúng ta đã xác định đượ c các đặc tr ưng của hàm ngẫu nhiên, như k ỳ vọng toán học vàhàm tươ ng quan, bằng cách lấy trung bình theo tậ p hợ p tất cả các thể hiện. Tuy nhiên có thể có phươ ng pháp lấy trung bình khác nếu chúng ta có một thể hiện vớ i độ dài đủ lớ n. Nếu mối liên hệ giữa các lát cắtkhác nhau của quá trình ngẫu nhiên giảm nhanh thì có thể xem các phần của thể hiện không phụ thuộc lẫnnhau và có thể xét chúng như là tậ p hợ p các thể hiện. Đươ ng nhiên, chỉ có thể xét phươ ng pháp này đối vớ ihàm ngẫu nhiên dừng, vì đối vớ i hàm không dừng các tính chất thống kê thay đổi theo đối số, và các đoạn

riêng biệt của thể hiện không thể xem là những thể hiện khác nhau như k ết quả của các lần thí nghiệmtrong cùng những điều kiện như nhau.

Đối vớ i quá trình ngẫu nhiên dừng, k ỳ vọng toán học (giá tr ị trung bình) không phụ thuộc vào đối số,vì vậy có thể xác định giá tr ị của nó như là trung bình số học của tất cả các giá tr ị của thể hiện đã cho màkhông cần chia thể hiện thành các phần riêng biệt. Trong tr ườ ng hợ p này k ỳ vọng toán học đượ c xác định bở i công thức

∫=T

x dt )t ( xT

m

0

1(2.6.1)

trong đó T là khoảng lấy trung bình.

Tươ ng tự, hàm tươ ng quan ( )τ x R cũng đượ c xác định như là trung bình số học của tích[ ][ ] x x m )t ( xm )t ( x −τ+−

theo tất cả các giá tr ị của thể hiện đã cho bằng công thức

[ ][ ]∫τ−

−τ+−τ−

=τT

x x x dt m )t ( xm )t ( xT

)( R

0

1(2.6.2)

Một vấn đề xuất hiện là các giá tr ị này có tiệm cận vớ i giá tr ị tươ ng ứng nhận đượ c bằng cách lấytrung bình trên toàn tậ p hợ p hay không ? Câu tr ả lờ i là điều đó sẽ xảy ra không phải đối vớ i mọi hàm dừng.

Ngườ i ta nói r ằng, hàm ngẫu nhiên có tính egodic là hàm mà đối vớ i nó, các đặc tr ưng nhận đượ c bằng cách lấy trung bình theo một thể hiện có thể tiến dần đến các đặc tr ưng tươ ng ứng nhận đượ c bằng

việc lấy trung bình theo tậ p tất cả các thể hiện vớ i xác suất tuỳ ý gần bằng đơ n vị khi tăng khoảng lấy trung



63

bình T . Các hàm ngẫu nhiên có tính egodic là các hàm mà mỗi thể hiện của chúng có cùng một số tính chấtthống kê. Nếu các thể hiện riêng biệt có những đặc tính của mình, ví dụ như dao động xung quanh các giátr ị trung bình khác nhau, thì giá tr ị trung bình nhận đượ c theo một thể hiện có thể khác nhiều so vớ i trung bình theo tậ p hợ p tất cả các thể hiện.

Điều kiện toán học của tính egodic của hàm ngẫu nhiên dừng đã đượ c phát biểu.Cụ thể là hàm tươ ng quan ( )τ x R tiến đến không khi τ tiến đến vô hạn đối vớ i k ỳ vọng toán học là

điều kiện đủ cho tính egodic. Điều kiện này thườ ng thoả mãn đối vớ i mọi hàm ngẫu nhiên gặ p trong thựctế. Tuy nhiên, nó sẽ không đượ c thực hiện nếu trong thành phần của hàm ngẫu nhiên có chứa một đạilượ ng ngẫu nhiên nào đó như là một hằng số cộng.

Thực vậy, giả sử hàm ngẫu nhiên ( )t Z là tổng của quá trình ngẫu nhiên dừng ( )t X và một đại lượ ng

ngẫu nhiên có k ỳ vọng toán học bằng 0 không liên hệ vớ i nó. Khi đó, theo (2.4.17), xảy ra đẳng thức sau:

( ) ( ) y x x D R R +τ=τ ,

và ( )τ z R sẽ không tiến tớ i 0, mà tiến tớ i một số dươ ng y D nào đó khi ∞→τ , thậm chí cả khi điều kiện

0=τ∞→τ

)( Rlim x đượ c thoả mãn.

Trong tr ườ ng hợ p này, theo (2.4.16), ta có

( ) ( ) ( )t mmt mt m x y x z =+= . (2.6.3)

Mỗi một thể hiện ( )t zi , tại mọi giá tr ị đối số t , sẽ chứa một hằng số cộng bằng giá tr ị yi của đại lượ ng

ngẫu nhiên Y , tức là

iii y )t ( x )t ( z += (2.6.4)

vì vậy, giá tr ị trung bình nhận đượ c bằng việc lấy trung bình theo thể hiện này bằng

i x z ymm += (2.6.5)

sẽ khác vớ i giá tr ị thực zm một đại lượ ng yi.

Khi xác định các đặc tr ưng của quá trình ngẫu nhiên có tính egodic theo một thể hiện thì độ dài củakhoảng lấy trung bình hết sức quan tr ọng. Vì các đặc tr ưng nhận đượ c bằng việc trung bình hoá theo mộtthể hiện gần như trùng vớ i các đặc tr ưng thống kê thực của chúng chỉ khi khoảng lấy trung bình tăng lênvô hạn, nên khi chỉ quan tr ắc trong một khoảng nhỏ của đối số thay đổi, có thể sẽ nhận đượ c các đặc tr ưngcần tìm vớ i sai số lớ n không cho phép.

Taylor [33] đã chỉ ra r ằng, đối vớ i phươ ng sai của hiệu giữa giá tr ị thực của k ỳ vọng toán học của quátrình ngẫu nhiên ( )t X có dạng đã nói và giá tr ị nhận đượ c bằng cách lấy trung bình theo một thể hiện vớ i

T đủ lớ n, công thức xấ p xỉ sau đây là đúng

)( RT T D x 02 1≈ , (2.6.6)

trong đó T là khoảng lấy trung bình, còn T 1 là đại lượ ng, gọi là thờ i gian tươ ng quan, đượ c xác định theocông thức

∫∞

ττ=0

1 0

1d )( R

)( RT x

x

. (2.6.7)

Như vậy, để xác định chắc chắn các đặc tr ưng cần tìm, cần phải lấy khoảng trung bình hoá lớ n hơ nnhiều lần so vớ i thờ i gian tươ ng quan T 1.



64

Điều kiện egodic đối vớ i hàm tươ ng quan đượ c phát biểu phức tạ p hơ n. Trên thực tế, thông thườ ngkhông kiểm tra đượ c sự thoả mãn của chúng, vì vậy ngườ i ta thườ ng phán đoán tính egodic xuất phát từ bản chất vật lý của quá trình.

Tính egodic có ý ngh ĩ a thực tế lớ n, vì nhờ nó việc xác định các đặc tr ưng thống kê không đòi hỏi phải

có số thể hiện lớ n. Khi nghiên cứu cấu trúc thống kê các yếu tố khí tượ ng, hoàn toàn không phải lúc nàocũng có thể thực hiện đượ c việc lặ p lại các thí nghiệm nhiều lần trong những điều kiện như nhau.

Còn một điều phức tạ p nữa trong thuỷ văn, ví dụ như số liệu dòng chảy năm của sông có thể chỉ làmột thể hiện.

Nếu có một vài thể hiện độ dài như nhau, là k ết quả của các lần thí nghiệm trong cùng một điều kiện,

thì khi sử dụng tính egodic, có thể nhận đượ c các đặc tr ưng thống kê bằng cách lấy trung bình theo mỗi thể

hiện, và sau đó lấy giá tr ị trung bình số học của chúng sẽ đượ c giá tr ị cần tìm. Nếu độ dài các thể hiện khác

nhau thì cần phải tiến hành lấy trung bình có tr ọng số đối vớ i mỗi thể hiện.

2.7. HÀM CẤU TRÚC

Để đặc tr ưng cho quá trình ngẫu nhiên dừng, bên cạnh hàm tươ ng quan ngườ i ta còn xét hàm cấu trúc B( τ ) mà nó đượ c xác định bở i k ỳ vọng toán học của bình phươ ng hiệu các lát cắt của quá trình ngẫu nhiêntươ ng ứng vớ i các giá tr ị của đối số t và t+τ

( ) [ ]2 )t ( X )t ( X M B x −τ+=τ (2.7.1)

Từ định ngh ĩ a thấy r ằng, hàm cấu trúc không âm, ( ) 0≥τ x B .

Có thể biểu diễn hàm cấu trúc qua hàm tươ ng quan

( ) [ ]2 )m )t ( X ( )m )t ( X ( M B x x x −−−τ+=τ =

= [ ]2 xm )t ( X M −τ+ + [ ]2 xm )t ( X M − −

−2 [ ][ ]{ } x x m )t ( X m )t ( X M −−τ+ =

= ( ) ( )[ ]τ− x x R R 02 .(2.7.2)

Từ (2.7.2) và tính chất của hàm tươ ng quan ta nhận đượ c:

( ) 00 = x B , (2.7.3)

( ) ( )τ=τ− x x B B (2.7.4)

tức là hàm cấu trúc của quá trình ngẫu nhiên dừng là hàm chẵn.

Đối vớ i quá trình ngẫu nhiên, nếu thoả mãn điều kiện

0=τ∞→τ

)( Rlim x (2.7.5)

thì từ (2.7.2) ta có2202 x x x )( R )( Blim σ==τ

∞→τ

Ký hiệu )( B )( Blim x x ∞=τ∞→τ

, khi (2.7.5) thoả mãn ta viết lại (2.7.2) dướ i dạng

)( R )( B )( B x x x τ−∞=τ 2 , (2.7.6)

từ đó có thể biểu diễn hàm tươ ng quan qua hàm cấu trúc

[ ] )( B )( B )( R x x x τ−∞=τ2

1(2.7.7)

Như vậy vớ i điều kiện (2.7.5), mà trên thực tế nó thườ ng thoả mãn, khi biết hàm cấu trúc trên khoảng

vô hạn của đối số, ta có thể xác định đượ c hàm tươ ng quan theo hàm cấu trúc.



65

Thực tế ta không bao giờ có bản ghi thể hiện của quá trình ngẫu nhiên trên khoảng vô hạn. Tuy nhiêntrong nhiều tr ườ ng hợ p, hàm cấu trúc đạt khá nhanh đến giá tr ị mà khi tăng hơ n nữa khoảng τ , giá tr ị nàythay đổi cũng không đáng k ể.

Giá tr ị đó đượ c xem là )( B x ∞ , đôi khi nó đượ c gọi là giá tr ị bão hoà của hàm cấu trúc. Giữa hàm

cấu trúc và hàm tươ ng quan xảy ra hệ thức

2

2

1 x x x )( B )( R σ=τ+τ (2.7.8)

Trên hình 2.9 minh hoạ hệ thức này đối vớ i quá trình ngẫu nhiên dừng có hàm tươ ng quan (hình 2.2)là

τα−σ=τ e )( R x2

Vì hàm cấu trúc đượ c biểu diễn qua hàm tươ ng quan nên đối vớ i quá trình ngẫu nhiên dừng có tínhegodic, hàm cấu trúc cũng có thể đượ c xác định theo một thể hiện có độ dài đủ lớ n bằng công thức:

[ ]∫

τ−

−τ+τ−=τ

T

x dt )t ( x )t ( xT )( B0

21

(2.7.9)

Nếu hàm ngẫu nhiên là dừng và có số thể hiện đủ lớ n đảm bảo mô tả đượ c các tính chất của nó mộtcách chắc chắn trên tất cả các khoảng biến đổi của đối số, thì có thể xác định hàm tươ ng quan tr ực tiế ptheo các số liệu thực nghiệm.

Tuy nhiên trong nhiều tr ườ ng hợ p, tốt hơ n cả nên sử dụng hàm cấu trúc.

Hình 2.9

Tính dừng của các quá trình khí tượ ng thực thườ ng mang tính chất địa phươ ng, nó chỉ đượ c bảo toàntrên khoảng thay đổi không lớ n lắm của đối số.

Khi nghiên cứu cấu trúc qui mô vừa, và đặc biệt là qui mô lớ n, của các quá trình này, tính dừng (đồngnhất) của chúng chỉ có thể đượ c chấ p nhận vớ i mức độ gần đúng nhất định. Khi đó, k ỳ vọng toán học của

hàm ngẫu nhiên không phải là hằng số. Việc xác định hàm tươ ng quan đối vớ i các quá trình như vậy có thể mắc phải sai số lớ n khi giá tr ị của đối số nhỏ.

Những biến đổi chậm chạ p của chính quá trình không ảnh hưở ng đến hàm cấu trúc khi độ lớ n củahiệu các giá tr ị đối số t nhỏ. Vì vậy, tính không đồng nhất của các nhiễu động sóng dài không ảnh hưở ng rõr ệt đến độ chính xác của việc tính ( )τ B khi giá tr ị τ nhỏ. Nói chung, những sai số hệ thống, mà chúng bảo

toàn giá tr ị của mình trong suốt chu k ỳ dài lớ n hơ n τ , không ảnh hưở ng đến đại lượ ng ( )τ x B , vì chúng bị

khử bỏ khi tính hiệu x(t+τ ) − x(t).

Nếu không sử dụng trung bình thống kê thực mà sử dụng trung bình theo thể hiện, tức là lại xảy ra saisố hệ thống, thì việc sử dụng hàm cấu trúc sẽ tốt hơ n khi xử lý theo một thể hiện. Hàm cấu trúc đượ c tínhtheo các thể hiện riêng biệt không chứa sai số hệ thống này vì khi tính toán ngườ i ta không dùng giá tr ị



66

trung bình theo thể hiện. Đây là tr ườ ng hợ p việc chỉnh lý đượ c tiến hành theo tậ p hợ p thống kê trên một số các thể hiện không lớ n lắm.

Như vậy trong nhiều tr ườ ng hợ p, việc sử dụng hàm cấu trúc cho phép làm giảm ảnh hưở ng của tínhkhông đồng nhất của quá trình và sai số hệ thống đến độ chính xác của các đặc tr ưng của hàm ngẫu nhiên

đượ c tính toán theo số liệu thực nghiệm.

Tuy nhiên, những ưu việt của hàm cấu trúc là đáng k ể chỉ khi giá tr ị của tham số τ nhỏ. Khi tính hàmtươ ng quan qua hàm cấu trúc, tr ướ c hết độ chính xác không tăng lên, vì tất cả sai số nằm trong giá tr ị bãohoà của hàm cấu trúc.

2.8. GIỚI HẠ N CỦA QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN

Ta định ngh ĩ a khái niệm giớ i hạn của quá trình ngẫu nhiên ( )t X khi đối số t dần tớ i giá tr ị t o nào đó.

Nếu )t ( f là hàm không ngẫu nhiên thì, như đã biết, số A đượ c gọi là giớ i hạn của hàm )t ( f khi

ot t → , nếu vớ i mọi 0>ε tồn tại một số 0>δ sao cho vớ i mọi t mà δ<− ot t , thì bất đẳng thức

ε<− A )t ( f thoả mãn. Điều này có ngh ĩ a r ằng đối vớ i mọi t đủ gần ot , những giá tr ị tươ ng ứng của )t ( f sẽ gần vớ i A tuỳ ý.

Đối vớ i hàm ngẫu nhiên, một đại lượ ng ngẫu nhiên nào đó mà chuỗi các lát cắt của hàm ngẫu nhiênsẽ hội tụ tại đó khi t tiến tớ i ot , sẽ là giớ i hạn. Khi đó có thể nói về sự tiến dần của một đại lượ ng ngẫu

nhiên đến một đại lượ ng ngẫu nhiên khác chỉ là về trung bình theo tất cả các giá tr ị của chúng.

Ta sẽ xem r ằng đại lượ ng ngẫu nhiên Y là giớ i hạn của hàm ngẫu nhiên ( )t X khi ot t → nếu giớ i hạn

của k ỳ vọng toán học của bình phươ ng hiệu của chúng tiến tớ i không

[ ] 02 =−→

Y )t ( X M limot t

(2.8.1)

Ở đây giớ i hạn cũng đượ c hiểu theo ngh ĩ a thông thườ ng, vì k ỳ vọng toán học là hàm không ngẫunhiên. Như vậy, ta sẽ gọi đại lượ ng ngẫu nhiên Y là giớ i hạn của hàm ngẫu nhiên ( )t X khi t tiến tớ i ot nếu

vớ i mọi 0>ε tìm đượ c một 0>δ sao cho vớ i mọi giá tr ị t mà δ<− ot t , bất đẳng thức

[ ] ε<− 2Y )t ( X M thoả mãn. Vậy ngườ i ta gọi giớ i hạn vừa định ngh ĩ a là giớ i hạn theo ngh ĩ a bình

phươ ng trung bình.

Nhiều khi để phân biệt giớ i hạn của hàm ngẫu nhiên, đượ c hiểu là giớ i hạn bình phươ ng trung bình,vớ i giớ i hạn thông thườ ng của hàm không ngẫu nhiên, ngườ i ta ký hiệu )t ( X

ot t →l.i.m. . Sau này chúng ta sẽ

sử dụng ký hiệu lim thông thườ ng, nhưng hiểu theo ngh ĩ a nêu ở trên.

Ta sẽ gọi hàm ngẫu nhiên ( )t X là liên tục tại điểm 0t nếu giớ i hạn của nó khi ot t → là lát cắt

)t ( X o , ngh ĩ a là )t ( X )t ( X lim ot t o =→ , tươ ng đươ ng vớ i việc xảy ra đẳng thức

[ ] 02 =−→

)t ( X )t ( X M lim ot t o

(2.8.2)

2.9. ĐẠO HÀM CỦA HÀM NGẪU NHIÊN

Ta nói r ằng quá trình ngẫu nhiên ( )t X khả vi tại điểm ot nếu tồn tại một đại lượ ng ngẫu nhiên

)t ( Y o sao cho

)t ( Y t

)t ( X )t t ( X lim o

oo

t =

Δ−Δ+

→Δ 0(2.9.1)



67

Theo định ngh ĩ a giớ i hạn của hàm ngẫu nhiên, điều này có ngh ĩ a là vớ i mọi 0>ε sẽ tìm đượ c một

0>δ sao cho vớ i δ<Δt , bất đẳng thức sau thoả mãn:

ε<

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡ =

Δ

−Δ+2

)t ( Y

t

)t ( X )t t ( X M o

oo (2.9.2)

Đại lượ ng ngẫu nhiên )t ( Y o gọi là đạo hàm của quá trình ngẫu nhiên ( )t X tại điểm 0t và đượ c ký

hiệu bằng

.dt

)t ( dX )t ( Y

ot t o == (2.9.3)

Nếu quá trình ngẫu nhiên khả vi tại mọi giá tr ị t của khoảng nào đó, thì đạo hàmdt

)t ( dX )t ( Y = cũng

sẽ là quá trình ngẫu nhiên của đối số t .

Định ngh ĩ a này về đạo hàm của hàm ngẫu nhiên tươ ng tự như định ngh ĩ a về đạo hàm của hàm không

ngẫu nhiên, chỉ khác là giớ i hạn đượ c hiểu như giớ i hạn bình phươ ng trung bình.Giả sử hàm ngẫu nhiên ( )t X có k ỳ vọng toán học )t ( m x và hàm tươ ng quan )t ,t ( R x 21 . Ta sẽ xác

định k ỳ vọng toán học )t ( m y và hàm tươ ng quan )t ,t ( R y 21 của đạo hàmdt

)t ( dX )t ( Y = :

[ ] =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡Δ

−Δ+==

→Δ t

)t ( X )t t ( X lim M )t ( Y M )t ( mt

y0

.dt

)t ( dm

t

)t ( m )t t ( mlim

t

)t ( X )t t ( X M lim x x x

t t =

Δ−Δ+

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡Δ

−Δ+=

→Δ→Δ 00(3.9.4)

Như vậy, k ỳ vọng toán học của đạo hàm của hàm ngẫu nhiên bằng đạo hàm của k ỳ vọng toán học của

hàm ngẫu nhiên đó.Ta xác định )t ,t ( R y 21 :

; )t ( Y )t ( Y M )t ,t ( Roo

y ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= 2121 (2.9.5)

và =−= )t ( m )t ( Y )t ( Y y

o

=Δ

−Δ+−

Δ−Δ+

=→Δ→Δ t

)t ( m )t t ( mlim

t

)t ( X )t t ( X lim x x

t t 00

[ ] [ ]=

Δ

−−Δ+−Δ+=

→Δ t

)t ( m )t ( X )t t ( m )t t ( X lim x x

t 0

dt

)t ( X d

t

)t ( X )t t ( X lim

ooo

t =

Δ−Δ+

=→Δ 0

(2.9.6)

Thế (2.9.6) vào (2.9.5), ta nhận đượ c

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

Δ−Δ+

⎪⎩

⎪⎨

⎧

Δ−Δ+

=→Δ→Δ 2

222

01

111

021

21 t

)t ( X )t t ( X lim

t

)t ( X )t t ( X lim M )t ,t ( R

oo

t

oo

t y

[ ]{ −Δ+−Δ+Δ+ΔΔ

=

→Δ→Δ

)t ,t t ( R )t t ,t t ( Rt t

lim x x

t

t 2112211

210

0

1

21



68

[ ]}=−Δ+− )t ,t ( R )t t ,t ( R x x 21221

21

212

2

21

2

211

10

1

1 t t

)t ,t ( R

t

)t ,t ( R

t

)t ,t t ( R

t lim x x x

t ∂∂∂

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

∂∂

−∂

Δ+∂Δ

=→Δ

(2.9.7)

Như vậy, hàm tươ ng quan của đạo hàm của hàm ngẫu nhiên bằng đạo hàm hỗn hợ p cấ p hai của hàmtươ ng quan của chính hàm ngẫu nhiên.

Ta sẽ xét phép tính đạo hàm đối vớ i quá trình ngẫu nhiên dừng ( )t X . Trong tr ườ ng hợ p này k ỳ vọng

toán học xm là hằng số, do đó

,dt

dm x 0= (2.9.8)

tức là k ỳ vọng toán học của đạo hàm của quá trình ngẫu nhiên dừng bằng không.

Hàm tươ ng quan là hàm một đối số 12 t t ),( R x −=ττ , từ đó

=⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

∂

∂τ

∂τ

τ∂

∂

∂

=∂∂

τ∂

= 1221

2

21 t

)( R

t t t

)( R

)t ,t ( R

x x

y

2

2

2 τ

τ−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡τ

τ∂∂

−=d

)( Rd

d

)( dR

t x x , (2.9.9)

tức là hàm tươ ng quan của đạo hàm của quá trình ngẫu nhiên dừng bằng đạo hàm cấ p hai lấy ngượ c dấucủa hàm tươ ng quan một đối số τ của chính quá trình ngẫu nhiên đó.

Từ đó thấy r ằng hàm tươ ng quan của đạo hàm của quá trình ngẫu nhiên dừng cũng chỉ phụ thuộc vàomột đối số ,τ tức là )( R )t ,t ( R y y τ=21 , như vậy, đạo hàm của hàm ngẫu nhiên dừng cũng là hàm dừng.

Chúng ta đã xác định những đặc tr ưng của đạo hàm của hàm ngẫu nhiên trong điều kiện giả định nó

khả vi.Có thể chỉ ra r ằng điều kiện cần và đủ để hàm ngẫu nhiên khả vi là tồn tại đạo hàm của k ỳ vọng toán

học và đạo hàm riêng hỗn hợ p cấ p hai của hàm tươ ng quan của nó tại t 1 = t 2 (tồn tại đạo hàm cấ p hai củahàm tươ ng quan tại τ = 0 đối vớ i hàm ngẫu nhiên dừng ) [21]. Từ đó, suy ra không phải mọi hàm ngẫunhiên đều khả vi.

Ví dụ, hàm ngẫu nhiên có hàm tươ ng quan dạng

02 >ασ=τ τα− ,e )( R x (2.9.10)

là hàm không khả vi.

Thực vậy,

⎪⎩

⎪⎨⎧

<τασ

>τασ−=τ

ατ

ατ−

.e

,e )( R x

0

02

2

khi

khi(2.9.11)

Ta thấy r ằng tại điểm τ = 0 đạo hàm )( R x τ′ bị gián đoạn, vì đạo hàm bên phải điểm này bằng

ασ− 2 , còn đạo hàm bên trái bằng ασ2 . Do đó, đạo hàm cấ p hai )( R ' ' x τ tại điểm τ = 0 không tồn tại.

Ta sẽ tìm các đặc tr ưng của đạo hàm của một số quá trình ngẫu nhiên dừng.

Giả sử quá trình ngẫu nhiên có hàm tươ ng quan có dạng

1. 022 >ασ=τ ατ− ,e )( R x (2.9.12)

Hàm tươ ng quan của đạo hàm của quá trình ngẫu nhiên này bằng



69

222 212 ατ−ατ−ασ=τ e )( )( R y (2.9.13)

Tại τ = 0 ta có

ασ= 220 )( R y (2.9.14)

Vậy quá trình ngẫu nhiên X(t) là khả vi.

Phươ ng sai của đạo hàm Y(t) khi đó phụ thuộc không những vào phươ ng sai của quá trình ngẫu nhiên X(t), mà còn vào hệ số α đặc tr ưng cho mức độ giảm hàm tươ ng quan )( R x τ khi đối số τ tăng.

2. ; ,cose )( R x 02 >αβτσ=τ τα− (2.9.15)

Trong tr ườ ng hợ p này đạo hàm của hàm tươ ng quan bị gián đoạn tại τ = 0 và do đó đạo hàm cấ p haikhông tồn tại.

Do đó quá trình ngẫu nhiên X(t) có hàm tươ ng quan dạng như vậy không khả vi.

3. ; ,cose )( R x

022 >αβτσ=τ ατ− (2.9.16)

,e ) sincos( )( R' x

222 ατ−βτβ+βτατσ−=τ (2.9.17)

[ ] 2442 2222 ατ−βταβτ−βττα−α+βσ=τ−=τ e sincos )( )( R )( R ' '

x y (2.9.18)

Tại τ = 0 ta có

).( )( R y22 20 β+ασ= (2.9.19)

Quá trình ngẫu nhiên X(t) khả vi, phươ ng sai của đạo hàm của quá trình này phụ thuộc không chỉ vào phươ ng sai của X(t), mà còn vào các hệ số α và β quy định dạng hàm tươ ng quan )( R x τ .

4. ; , , sincose )( R x 00

2

>β>α⎟⎟ ⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛

βτβ

α

+βτσ=τ

τα−

(2.9.20)

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

<τ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ βτ

βα

−βτσ

>τ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ βτ

βα

+βτσ

=τατ

ατ−

. sincose

, sincose

)( R x

0

0

2

2

khi

khi

(2.9.21)

Từ đó

=τ−=τ )( R )( R ' ' x y

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨

⎧

τβτα+βτββ

β+ασ

τβτα−βτβββ+α

σ=

ατ

ατ−

0.> khi

0,> khi

e ) sincos(

e ) sincos(

222

22

2

(2.9.22)

Có thể viết )( R y τ dướ i dạng một biểu thức

) sincos( e )( R y τβα−βτββ

β+ασ=τ τα−

222 . (2.9.23)

Khi 0=τ thì ).( )( R D y y2220 β+ασ== (2.9.24)

Vậy hàm ngẫu nhiên ( )t X có hàm tươ ng quan dạng như trên là hàm khả vi.



70

Chúng ta sẽ xác định tiế p hàm tươ ng quan quan hệ )t ,t ( R xy 21 giữa hàm ngẫu nhiên ( )t X và đạo

hàm của nódt

)t ( dX )t ( Y = .

Theo (2.4.1) ta có[ ] =−−= )t ( m )t ( Y )t ( m )t ( X M )t ,t ( R y x xy 221121

[ ] [ ] . )t ( m )t ( X dt

d )t ( m )t ( X M x x

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−= 222

11 (2.9.25)

Đổi chỗ phép tính lấy vi phân và phép lấy k ỳ vọng toán học và ký hiệu đạo hàm bằng đạo hàm riêngtheo biến 2t , vì biến 1t đượ c xem như đại lượ ng không đổi, có thể viết

[ ] [ ]{ }=−−∂∂

= )t ( m )t ( X )t ( m )t ( X M t

)t ,t ( R x x xy 22112

21

).t ,t ( Rt

x 212∂

∂= (2.9.26)

Đặc biệt đối vớ i hàm ngẫu nhiên dừng ( )t X

,d

)( dR )t t .( R

t )t ,t ( R

t x

x x ττ

=−∂∂

=∂∂

122

212

(2.9.27)

trong đó 12 t t −=τ .

Từ đó thấy r ằng hàm tươ ng quan quan hệ giữa hàm ngẫu nhiên dừng và đạo hàm của nó là hàm mộtđối số τ , tức là hàm ngẫu nhiên dừng và đạo hàm của nó là những hàm liên hệ dừng.

Hàm tươ ng quan quan hệ giữa hàm ngẫu nhiên dừng và đạo hàm của nó bằng đạo hàm của hàm tươ ngquan của chính hàm ngẫu nhiên.

2.10. TÍCH PHÂN CỦA HÀM NGẪU NHIÊN

Giả sử quá trình ngẫu nhiên ( )t X đượ c cho trên đoạn [ ]b ,a . Chia đoạn này thành n phần bở i các

điểm bt ,t ,t a n == ...,10 và lậ p tổng ∑=

Δn

k

k k t )t ( X 1

, trong đó )t ( X k là lát cắt của quá trình ngẫu nhiên tại

k t t = , còn .t t t k k k 1−−=Δ

Tươ ng tự như định ngh ĩ a tích phân của hàm không ngẫu nhiên, ta sẽ gọi giớ i hạn bình phươ ng trung

bình của tổng tích phân này khi đại lượ ng λ , là hiệu lớ n nhất trong số các hiệu k t Δ , tiến tớ i không, là tích phân xác định của hàm ngẫu nhiên ( )t X trên đoạn [ ]b ,a và ký hiệu bằng

∑∫=→λ

Δ=n

k k k

b

a

t )t ( X limdt )t ( X 10

(2.10.1)

Tích phân xác định của hàm ngẫu nhiên, giống như giớ i hạn của tổng các đại lượ ng ngẫu nhiên, làmột đại lượ ng ngẫu nhiên. Nếu giớ i hạn này tồn tại và không phụ thuộc vào cách thức chia đoạn [ ]b ,a bở i

các điểm kt , thì hàm ngẫu nhiên ( )t X gọi là khả tích trên đoạn [ ]b ,a .

Có thể chứng minh r ằng muốn cho tồn tại tích phân đã nêu chỉ cần tồn tại tích phân của k ỳ vọng toánhọc của hàm ngẫu nhiên ( )t X và tích phân hai lớ p của hàm tươ ng quan của nó [21].

Bây giờ ta xét tích phân vớ i cận trên biến thiên của hàm ngẫu nhiên ( )t X



71

∫ ττ=t

d )( X )t ( Y

0

(2.10.2)

Tích phân này là một hàm ngẫu nhiên )t ( Y mớ i. Chúng ta sẽ xác định k ỳ vọng toán học )t ( m y và

hàm tươ ng quan )t ,t ( R y 21 của hàm ngẫu nhiên )t ( Y khi xem r ằng các đặc tr ưng tươ ng ứng của ( )t X đãđượ c cho tr ướ c:

∑∑=→Δ=→Δ

τΔτ=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡τΔτ=

n

k k k x

t

n

k k k

t y )( mlim )( X lim M )t ( m

k k 1010. (2.10.3)

Tổng cuối cùng là tổng tích phân đối vớ i hàm không ngẫu nhiên )( m x τ , do đó

∫ ττ=t

x y d )( m )t ( m

0

(2.10.4)

Vì

∫ =−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ τ+τ=−=

t

o

y x

o

y

o )t ( mdt )( m )( X )t ( m )t ( Y )t ( Y

∫∫ ττ=−+ττ=t o

y y

t o

,d )( X )t ( m )t ( md )( X

00

(2.10.5)

nên

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ττττ=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡= ∫ ∫

1 2

0 02121

t t oooo

y d )( X d )( X M )t ( Y )t ( Y M )t ,t ( R

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ττττ= ∫ ∫

1 2

0212

01

t ot o

d d )( X )( X M

∫ ∫∫ ∫ ττττ=ττ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ττ=

1 21 2

0 02121

021

021

t t

x

t t oo

d d ) ,( Rd d )( X )( X M . (2.10.6)

Như vậy, k ỳ vọng toán học của tích phân của quá trình ngẫu nhiên bằng tích phân của k ỳ vọng toánhọc của chính quá trình đó. Hàm tươ ng quan của tích phân của quá trình ngẫu nhiên bằng tích phân hai lớ pcủa hàm tươ ng quan của chính quá trình đó lấy theo cả hai đối số.

Nếu )t ( X là một hàm ngẫu nhiên dừng thì const,== x x m )t ( m )t t ( R )t ,t ( R x x 1221 −= .

Khi đó

∫ =τ=t

x x y t md m )t ( m

0

, (2.10.7)

tức k ỳ vọng toán học )t ( m y phụ thuộc vào t .

∫ ∫ τττ−τ=1 2

0 0211221

t t

x y d d )( R )t ,t ( R (2.10.8)

Biểu thức ở vế phải trong (2.10.8) phụ thuộc riêng biệt vào cả 1t và 2t , chứ không phải chỉ phụ thuộc

vào hiệu hai giá tr ị đó.

Do đó tích phân của hàm ngẫu nhiên dừng không có tính chất dừng.



72

Ngườ i ta còn xem xét tích phân của quá trình ngẫu nhiên )t ( X dạng

∫ ττϕ=b

a

,dt )( X ) ,t ( )t ( Y (2.10.9)

trong đó ) ,t ( τϕ là hàm không ngẫu nhiên.

Tích phân này đượ c cũng xác định như là giớ i hạn bình phươ ng trung bình của tổng tích phân

)t ( Y )( X ) ,t ( limn

k

k k k k

=τΔττϕ∑=→τΔ 10

(2.10.10)

và đượ c gọi là tích phân của hàm ngẫu nhiên vớ i hàm tr ọng lượ ng ) ,t ( τϕ .

Cũng hoàn toàn như vậy đối vớ i tích phân cận trên biến thiên, ta sẽ tìm )t ( m y và )t ,t ( R y 21 :

∫ τττϕ=b

a

x y d )( m ) ,t ( )t ( m (2.10.11)

∫ ∫ τττττϕτϕ=b

a

x

b

a

y d d ) ,( R ) ,t ( ) ,t ( )t ,t ( R 2121221121 (2.10.12)

2.11. CÁC HÀM NGẪU NHIÊN PHỨ C

Để đơ n giản hoá việc tính toán, trong phần trình bày tiế p theo sẽ sử dụng các hàm ngẫu nhiên phức để xem xét các hàm ngẫu nhiên thực mà từ tr ướ c đến giờ chúng ta đã phân tích, và trong thực tế cũng chỉ cócác hàm ngẫu nhiên thực. Hàm ngẫu nhiên thực đượ c xem như tr ườ ng hợ p riêng của hàm ngẫu nhiên phức.

Ta sẽ gọi hàm có dạng dướ i đây là hàm ngẫu nhiên phức

)t ( iY )t ( X )t ( Z += (2.11.1)

trong đó )t ( X và )t ( Y là những hàm ngẫu nhiên thực.Hàm ngẫu nhiên thực ở đây đượ c xem như tr ườ ng hợ p riêng của hàm phức vớ i 0= )t ( Y .

Ta sẽ xác định các đặc tr ưng của hàm ngẫu nhiên phức − bao gồm k ỳ vọng toán học, phươ ng sai, hàmtươ ng quan − sao cho đối vớ i những hàm ngẫu nhiên thực (khi 0= )t ( Y ), những đặc tr ưng này trùng vớ i

những đặc tr ưng đã đưa ra tr ướ c đây. Ta sẽ gọi hàm không ngẫu nhiên )t ( m z định ngh ĩ a dướ i đây là k ỳ

vọng toán học của hàm ngẫu nhiên phức

)t ( im )t ( m )t ( m y x z += (2.11.2)

Phươ ng sai của hàm ngẫu nhiên phức )t ( D z là k ỳ vọng toán học của bình phươ ng modul độ lệch của

hàm ngẫu nhiên so vớ i k ỳ vọng toán học của nó:2

)t ( m )t ( Z M )t ( D z z −= (2.11.3)

Vì

[ ] )t ( m )t ( Y i )t ( m )t ( X )t ( m )t ( Z y x z −+−=− (2..11.4)

nên

[ ] [ ]222 )t ( m )t ( Y )t ( m )t ( X )t ( m )t ( Z y x z −+−=− (2.11.5)

Khi đó

[ ] +−= 2 )t ( m )t ( X M )t ( D x z



73

[ ]{ } )t ( D )t ( D )t ( m )t ( Y M y x y +=−+ 2 (2.11.6)

Từ đây thấy r ằng phươ ng sai của hàm ngẫu nhiên phức là một hàm thực.

Đối vớ i hàm thực thì 0= )t ( D y , do đó

)t ( D )t ( D x z = .

Hàm tươ ng quan của hàm ngẫu nhiên phức là hàm không ngẫu nhiên dạng

[ ]{ } )t ( m )t ( Z )t ( m )t ( Z M )t ,t ( R * z

* z z 221121 −−= (2.11.7)

Dấu (*) có ngh ĩ a là lấy đại lượ ng liên hiệ p phức.

Khi t t t == 21 , hàm tươ ng quan tr ở thành phươ ng sai

[ ]{ }=−−= )t ( m )t ( Z . )t ( m )t ( Z M )t ,t ( R * z

* z z

[ ] )t ( D )t ( m )t ( Z M z z =−= 2 (2.11.8)

Hàm tươ ng quan của hàm ngẫu nhiên phức có thể đượ c biểu thị qua những đặc tr ưng của các phầnthực và phần ảo của nó. Nếu ký hiệu

)t ( m )t ( Y )t ( Y

)t ( m )t ( X )t ( X

y

o

x

o

−=

−=

ta có

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+= )t ( Y i )t ( X )t ( Y i )t ( X M )t ,t ( R

oooo

z 221121

+⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

= )t ( Y )t ( Y M )t ( X )t ( X M

oooo

2121 +

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+ )t ( Y )t ( X M )t ( X )t ( Y M i

oooo

2121

)t ,t ( R )t ,t ( Ri )t ,t ( R )t ,t ( R xy yx y x 21212121 −++= (2.11.9)

trong đó )t ,t ( R xy 21 là hàm tươ ng quan quan hệ của các hàm ngẫu nhiên )t ( X và )t ( Y .

Nếu các phần thực và ảo của hàm ngẫu nhiên phức không tươ ng quan lẫn nhau, tức là021 = )t ,t ( R xy , thì

)t ,t ( R )t ,t ( R )t ,t ( R y x z 212121

+= (2.11.10)

Nếu phần thực và phần ảo của hàm ngẫu nhiên phức là các hàm ngẫu nhiên dừng và liên hệ dừng, thì

z z m )t ( m = và z z D )t ( D = là những đại lượ ng không đổi, còn )t t ( R )t ,t ( R z z 1221 −= chỉ phụ thuộc vào

một tham số 12 t t −=τ .

Ta sẽ gọi hàm ngẫu nhiên phức )t ( Z vớ i những tính chất const= zm và )( R )t ,t ( R z z τ=21 là hàm

ngẫu nhiên dừng theo ngh ĩ a r ộng.

Đối vớ i hàm tươ ng quan )t ,t ( R z 21 , tính chất sau đượ c thoả mãn

)t ,t ( R )t ,t ( R * z z 1221 = (2.11.11)

tức là việc hoán vị các đối số trong hàm tươ ng quan sẽ cho biểu thức liên hợ p phức vớ i biểu thức ban đầu.

Đặc biệt, đối vớ i hàm phức dừng, đẳng thức sau đượ c thoả mãn



74

)( R )( R * z z τ=τ− ,

đối vớ i hàm thực, đẳng thức này biểu thị tính chẵn

)( R )( R z z τ=τ− .

Hàm tươ ng quan quan hệ )t ,t ( R z z 2121 của hệ hai hàm ngẫu nhiên phức )t ( Z 1 và )t ( Z 2 đượ c xác

định dướ i dạng

[ ]{ } )t ( m )t ( Z )t ( m )t ( Z M )t ,t ( R * z

* z z z 22211121 2121

−−= (2.11.12)

Đối vớ i hàm )t ,t ( R z z 2121

, hệ thức sau thoả mãn

)t ,t ( R )t ,t ( R * z z z z q 1221 221

= (2.11.13)

Hệ các hàm ngẫu nhiên phức )t ( Z 1 và )t ( Z 2 đượ c gọi là hệ dừng theo ngh ĩ a r ộng nếu như ngoài

tính dừng theo cùng ngh ĩ a của từng hàm, hệ còn thoả mãn

)( R )t t ( R )t ,t ( R z z z z z z τ=−= 212121 1221 (2.11.14)Vớ i những hàm như vậy sẽ thoả mãn hệ thức )( R )( R *

z z z z τ−=τ1221

, và biểu thức này, đối vớ i các hàm

thực, sẽ có dạng

)( R )( R z z z z τ−=τ1221

.

2.12. TR ƯỜ NG NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TR Ư NG CỦA NÓ

Bên cạnh những quá trình ngẫu nhiên đã xét trên đây là những hàm ngẫu nhiên một đối số, trong khítượ ng thủy văn r ất hay gặ p những hàm ngẫu nhiên của một số biến độc lậ p mà ngườ i ta gọi là nhữngtr ườ ng ngẫu nhiên.

Ta sẽ xét tr ườ ng ngẫu nhiên )t , z , y , x( U , trong đó x, y, z là những toạ độ của điểm không gian, còn t là thờ i gian.

Có thể xem x, y, z, t như các toạ độ của một vectơ bốn chiều nào đó )t , z , y , x( ρr

và ký hiệu tr ườ ng

ngẫu nhiên một cách đơ n giản dướ i dạng )( U ρr

.

Tươ ng tự như đối vớ i các quá trình ngẫu nhiên, tr ườ ng ngẫu nhiên có thể đượ c xem như tậ p hợ p tấtcả các thể hiện của nó, hay như tậ p hợ p tất cả các lát cắt của nó, khi hiểu lát cắt của tr ườ ng ngẫu nhiên làmột đại lượ ng ngẫu nhiên nhận đượ c tại những tr ị số xác định của tất cả các đối số, tức là vớ i giá tr ị xácđịnh của vectơ ρ

r.

Thể hiện của tr ườ ng ngẫu nhiên, k ết quả nhận đượ c của một lần thí nghiệm, sẽ là một hàm không

ngẫu nhiên. Khi đó, bằng cách thay thế đơ n giản t thành ρ

r

, tất cả các công thức đối vớ i các hàm phân bố n chiều, các mômen gốc và mômen trung tâm đã xét ở mục 2.2 và 2.3 đối vớ i các quá trình ngẫu nhiên sẽ đượ c mở r ộng sang cho các tr ườ ng ngẫu nhiên.

Ta sẽ gọi hàm phân bố n chiều của tr ườ ng ngẫu nhiên )( U )t , z , y , x( U ρ=r

là hàm phân bố của hệ

các đại lượ ng ngẫu nhiên ),( U U 11 ρ=r

),( U U 22 ρ=r

..., ),( U U nn ρ=r

tức là

)uU ,uU ,uU ( P

) , ,;u ,u ,u( F

nn

nnn

<<<=

=ρρρ

...,

...,..,

2211

2121rrr

(2.12.1)

Để đặc tr ưng đầy đủ cho tr ườ ng ngẫu nhiên, cần biết tất cả các hàm phân bố n chiều của nó.

Nếu tồn tại đạo hàm riêng hỗn hợ p của các hàm phân bố ) , ,;u ,u ,u( F nnn ρρρrrr

...,.., 2121 , thì chúng

đượ c gọi là mật độ phân bố n chiều của tr ườ ng ngẫu nhiên ) , ,;u ,u ,u( f nnn ρρρ

rrr

...,.., 2121



75

) , ,;u ,u ,u( f nnn ρρρrrr

...,.., 2121n

nnnn

u...uu

) , ,;u ,u ,u( F

∂∂∂ρρρ∂

=21

2121rrr

...,...,(2.12.2)

Cũng như đối vớ i các quá trình ngẫu nhiên, trong thực tế hiếm khi xác định đượ c các hàm phân bố

hoặc mật độ phân bố n chiều, vì vậy để đặc tr ưng cho các tr ườ ng ngẫu nhiên chủ yếu, ngườ i ta sử dụng cácmômen phân bố.

Ta sẽ gọi k ỳ vọng toán học của tích n luỹ thừa tươ ng ứng vớ i các lát cắt của tr ườ ng ngẫu nhiên tại n điểm trong miền không−thờ i gian là mômen gốc n điểm của tr ườ ng ngẫu nhiên )t , z , y , x( U )( U =ρ

rbậc

ni...ii +++ 21

) , ,( m ni ,i ,i nρρρrrr ..., ..., 2121

[ ] [ ] [ ] nin

ii )( U ... )( U . )( U M ρρρ=

rrr21

21 (2.12.3)

Mômen bậc nhất

[ ] )( m )( U M )( m u ρ=ρ=ρrrr

1 (2.12.4)

đượ c gọi là k ỳ vọng toán học của tr ườ ng ngẫu nhiên.

Độ lệch của tr ườ ng ngẫu nhiên so vớ i k ỳ vọng toán học của nó đượ c gọi là tr ườ ng ngẫu nhiên quytâm

)( m )( U )( U u

o

ρ−ρ=ρrrr

(2.12.5)

Các mômen gốc của tr ườ ng ngẫu nhiên quy tâm )( U o

ρr

đượ c gọi là các mômen trung tâm của tr ườ ng

)( U ρr

) , ,( ni ,i ,i nρρρμrrr ..., ..., 2121

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ρ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ρ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ρ=

ni

n

oi

oi

o

)( U ... )( U . )( U M rrr

21

21 (2.12.6)

Mômen trung tâm một điểm bậc hai

[ ] )( D )( m )( U M )( uu ρ=ρ−ρ=ρμrrrr 2

2 (2.12.7)

đượ c gọi là phươ ng sai của tr ườ ng ngẫu nhiên.

K ỳ vọng toán học và phươ ng sai của tr ườ ng ngẫu nhiên là những hàm không ngẫu nhiên của các toạ độ điểm của miền không − thờ i gian:

).t , z , y , x( D )( D

),t , z , y , x( m )( m

uu

uu

=ρ

=ρr

r

Mômen trung tâm hai điểm bậc hai

[ ] [ ]{ } ) ,( R

)( m )( U )( m )( U M ) ,(

u

uu ,

21

22112111

ρρ==ρ−ρρ−ρ=ρρμ rr

rrrrrr

(2.12.8)

đượ c gọi là hàm tươ ng quan của tr ườ ng ngẫu nhiên.

Hàm tươ ng quan ( )21 ρρrr

, Ru cũng là hàm của toạ độ 2 điểm của miền không−thờ i gian

)t , z , y , x;t , z , y , x( R ) ,( R uu 2222111121 =ρρrr

Hàm tươ ng quan của tr ườ ng ngẫu nhiên có tất cả những tính chất như hàm tươ ng quan của quá trìnhngẫu nhiên. Ví dụ như, hàm tươ ng quan của tr ườ ng ngẫu nhiên cũng thoả mãn tính chất đối xứng

) ,( R ) ,( R uu 1221 ρρ=ρρrrrr

.



76

Khi giá tr ị của các đối số vectơ như nhau ρ=ρ=ρrrr

21 , hàm tươ ng quan biến thành phươ ng sai của

tr ườ ng ngẫu nhiên

)( D ) ,( R uu ρ=ρρrrr

(2.12.9)

Ngườ i ta cũng xét hàm tươ ng quan chuẩn hoá của tr ườ ng ngẫu nhiên

)( D )( D

) ,( R ) ,( r

uu

uu

21

2121

ρρ

ρρ=ρρ rr

rrrr

(2.12.10)

mà đối vớ i mỗi một cặ p điểm cố định 1ρr

và 2ρr

, nó là hệ số tươ ng quan giữa các lát cắt của tr ườ ng ngẫu

nhiên ứng vớ i các điểm đó.

Những mômen đã xét gọi là mômen không − thờ i gian. Hàm tươ ng quan không − thờ i gian có thể đặctr ưng cho sự liên hệ giữa các giá tr ị của tr ườ ng ngẫu nhiên ở hai điểm khác nhau của không gian và tạinhững thờ i điểm khác nhau. Ngoài những mômen không − thờ i gian, ngườ i ta còn xét các mômen thờ i gianvà mômen không gian riêng biệt.

Khi xác định các mômen thờ i gian, các toạ độ điểm không gian của tr ườ ng đượ c xem là cố định vàchỉ nghiên cứu sự biến thiên của tr ườ ng theo thờ i gian tại điểm cố định đã cho của không gian. Trongtr ườ ng hợ p này chúng ta đề cậ p tớ i quá trình ngẫu nhiên.

Khi xét các mômen không gian, ngườ i ta cố định điểm thờ i gian và nghiên cứu tr ườ ng ngẫu nhiên tạithờ i điểm đã cho. Trong tr ườ ng hợ p này tr ườ ng ngẫu nhiên là hàm ngẫu nhiên của toạ độ các điểm khônggian.

Vì các quá trình ngẫu nhiên đã đượ c xét ở trên, bây giờ ta chỉ nghiên cứu chi tiết hơ n về các tr ườ ngngẫu nhiên không gian.

2.13. TR ƯỜ NG NGẪU NHIÊN ĐỒ NG NHẤT VÀ ĐẲ NG HƯỚ NG

Khi nghiên cứu các quá trình ngẫu nhiên ta đã thấy r ằng điều kiện dừng là một điều kiện r ất quantr ọng, làm giảm nhẹ việc mô tả quá trình ngẫu nhiên.

Đối vớ i các tr ườ ng không gian, những điều kiện tươ ng tự là điều kiện đồng nhất và đẳng hướ ng.

Tr ườ ng ngẫu nhiên gọi là đồng nhất nếu tất cả các quy luật phân bố n chiều không thay đổi khi dịchchuyển hệ điểm n , , ρρρ

rrr...,21 theo cùng một vectơ , tức là, nếu các hàm phân bố (mật độ phân bố) không

thay đổi khi thay thế các lát cắt tươ ng ứng vớ i các điểm n , , ρρρrrr

...,21 bằng những lát cắt tươ ng ứng vớ i các

điểm 00201 ρ+ρρ+ρρ+ρrrrrrr

n , , ..., , vớ i mọi vectơ 0ρr

bất k ỳ.

Đối vớ i tr ườ ng ngẫu nhiên đồng nhất

);u( f );u( f 0111111 ρ+ρ=ρrrr

(2.13.1)

) ,;u ,u( f ) ,;u ,u( f 020121221212 ρ+ρρ+ρ=ρρ

rrrrrr

(2.13.2)Khi đặt 10 ρ−=ρ

rrta nhận đượ c

)u( f );u( f );u( f 1111111 ==ρ 0r

(2.13.3)

);u ,u( f ) ,;u ,u( f 1221221212 ρ−ρ=ρρrrrr

(2.13.4)

Và vì

const===ρ=ρ ∫∫∞

∞−

∞

∞−uu mdu )u( uf du );u( uf )( m 11

rr(2.13.5)

[ ] [ ] =ρρρ−ρ−=ρρ

∫ ∫

∞

− ∞2121212221121 dudu ) ,;u ,u( f )( mu )( mu ) ,( R uuu

rrrrrr



77

=ρ−ρ−= ∫ ∫∞

− ∞2112211 dudu );u ,u( f mu( u

rr )m-(u ) u 2

,l ),l ( R )( R uu 1212 ρ−ρ==ρ−ρ=rrrrrr

(2.13.6)

nên đối vớ i tr ườ ng ngẫu nhiên đồng nhất, k ỳ vọng toán học là một đại lượ ng không đổi um , không phụ

thuộc vào các toạ độ điểm của tr ườ ng, còn hàm tươ ng quan )l ( R ) ,( R uu

rrr=ρρ 21 chỉ phụ thuộc vào hiệu

các vectơ 12 ρ−ρ=rrr

l .

Có thể gọi điều kiện đồng nhất đã nêu của tr ườ ng ngẫu nhiên, tươ ng tự vớ i điều kiện dừng, là tínhđồng nhất nghiêm ngặt. Tr ườ ng ngẫu nhiên mà k ỳ vọng toán học là đại lượ ng không đổi và hàm tươ ng

quan chỉ phụ thuộc vào một đối số vectơ − hiệu các vectơ l r

, đượ c gọi là tr ườ ng đồng nhất theo ngh ĩ ar ộng.

Tr ườ ng ngẫu nhiên đồng nhất đượ c gọi là đẳng hướ ng nếu tất cả các quy luật phân bố n chiều khôngthay đổi đối vớ i mọi phép quay hệ điểm )( N ),( N ),( N nn ρρρ

rrr ...,2211 xung quanh một tr ục bất k ỳ đi qua

gốc toạ độ và khi phản xạ gươ ng những điểm đó so vớ i một mặt phẳng bất k ỳ đi qua gốc toạ độ.

Như vậy, đối vớ i tr ườ ng đồng nhất và đẳng hướ ng, những mật độ phân bố n chiều ) , ,; ,u ,u( f nn ρρρ

rrr ...,u..., n 2121 không thay đổi khi dịch chuyển song song, quay và phản xạ gươ ng hệ điểm

)( N ),( N ),( N nn ρρρrrr

...,2211 . Khi đó, hàm tươ ng quan ) ,( Ru 21 ρρrr

phải có cùng một giá tr ị đối vớ i cặ p

điểm bất k ỳ )( N 11 ρr

và )( N 22 ρr

mà đối vớ i chúng modul của hiệu 12 ρ−ρ=rr

l như nhau, vì những cặ p

điểm như vậy luôn luôn có thể đượ c chậ p vào vớ i nhau nhờ phép dịch chuyển song song, quay và phản xạ gươ ng.

Do đó, hàm tươ ng quan của tr ườ ng đồng nhất và đẳng hướ ng là hàm của một đối số vô hướ ng

12 ρ−ρ=rr

l , là khoảng cách giữa các điểm )( N 11 ρr

và )( N 22 ρr

. Đôi khi ngườ i ta chấ p nhận điều kiện

này làm định ngh ĩ a cho tính đẳng hướ ng của tr ườ ng. Như vậy đối vớ i tr ườ ng đồng nhất và đẳng hướ ng, k ỳ vọng toán học là đại lượ ng không đổi

uu m )( m =ρr

, còn hàm tươ ng quan )l ( R ) ,( R uu =ρρ 21rr

là hàm của một đối số vô hướ ng l, là khoảng cách

giữa hai điểm, trong đó

212

212

21212 ) z z( ) y y( ) x x( l −+−+−=ρ−ρ=

rr(2.13.7)

Bên cạnh những tr ườ ng ngẫu nhiên đồng nhất trong toàn không gian ba chiều, có thể xét các tr ườ ngchỉ đồng nhất trên một đườ ng thẳng hay trong một mặt phẳng nào đó, mà đối vớ i chúng tất cả những mậtđộ phân bố n chiều không thay đổi khi dịch chuyển song song toàn bộ n điểm đi một khoảng bằng độ lớ nvectơ 0ρ

rsong song vớ i đườ ng thẳng hay mặt phẳng đã cho.

Tươ ng tự, có thể xét các tr ườ ng đẳng hướ ng không phải trong toàn không gian ba chiều mà chỉ trongmột mặt phẳng nào đó.

Nhiều công trình nghiên cứu về cấu trúc các tr ườ ng khí tượ ng đã chỉ ra sự biến đổi khác biệt đáng k ể của các yếu tố khí tượ ng theo phươ ng ngang và phươ ng thẳng đứng.

Vì vậy, khi nghiên cứu cấu trúc thống kê các tr ườ ng khí tượ ng quy mô vừa và lớ n, giả thiết về sự gầnđồng nhất và đẳng hướ ng chỉ có thể chấ p nhận đượ c đối vớ i tr ườ ng hai chiều theo phươ ng ngang. Khi đó,giả thiết r ằng chỉ có tr ườ ng ngẫu nhiên quy tâm, tức tr ườ ng độ lệch của yếu tố khí tượ ng đang xét so vớ i k ỳ vọng toán học của nó, là đồng nhất còn không thể xem chính k ỳ vọng toán học là không đổi.

Giống như đối vớ i quá trình ngẫu nhiên dừng, nếu tr ườ ng ngẫu nhiên đồng nhất và đẳng hướ ng cótính egodic thì k ỳ vọng toán học và hàm tươ ng quan của nó có thể tìm đượ c bằng cách lấy trung bình theo

một thể hiện cho trên miền không gian đủ lớ n.



78

Trong tr ườ ng hợ p này, k ỳ vọng toán học xác định theo công thức

∫∫∫= ) D(

u dxdydz ) z , y , x( uv

m1

(2.13.8)

trong đó D là miền không gian trên đó thực hiện lấy trung bình, v là thể tích của miền đó.Đối vớ i tr ườ ng phẳng

∫∫= ) D(

u dxdy ) y , x( uS

m1

(2.13.9)

trong đó S là diện tích miền phẳng D.

Có thể viết những công thức tươ ng tự để nhận hàm tươ ng quan )l ( Ru bằng cách lấy trung bình theo

một thể hiện

[ ][ ]dxdydzm ) z , y , x( um ) z , y , x( uv

)l ( R u

) D(

uu −ζ+η+ξ+−= ∫∫∫

11

1(2.13.10)

Miền 1 D ở đây phải đượ c chọn sao cho các điểm ) z , y , x( ζ+η+ξ+ không đượ c vượ t ra khỏi miền

D (v1 là thể tích miền D1).

Ngườ i ta nói tr ườ ng đồng nhất đẳng hướ ng có tính egodic, nếu k ỳ vọng toán học và hàm tươ ng quan,nhận đượ c bằng cách lấy trung bình theo một thể hiện nhờ các công thức (2.13.8), (2.13.10), có thể tiếngần tớ i những đặc tr ưng tươ ng ứng nhận đượ c bằng phép lấy trung bình theo tậ p hợ p tất cả các thể hiện,khi tăng vô hạn đườ ng kính miền, vớ i xác suất tuỳ ý gần đến đơ n vị. Trong thực tế thườ ng không thể thựchiện lấy trung bình theo không gian các tr ườ ng ngẫu nhiên khí tượ ng, vì các thể hiện chỉ đượ c ghi ở một số nhỏ các điểm r ờ i r ạc.

Để đặc tr ưng cho tr ườ ng đồng nhất đẳng hướ ng, bên cạnh hàm tươ ng quan, còn sử dụng hàm cấu trúc)(l Bu

[ ]{ }2 )( U )l ( U M )l ( Bu ρ−+ρ=rrr

(2.13.11)

Giống như đối vớ i quá trình ngẫu nhiên, hàm cấu trúc của tr ườ ng ngẫu nhiên đượ c xác định đơ n tr ị qua hàm tươ ng quan dướ i dạng

[ ] )l ( R )( R )l ( B uuu −= 02 (2.13.12)

Đối vớ i tr ườ ng đồng nhất đẳng hướ ng hàm cấu trúc là hàm của một đối số vô hướ ng l l r

= .

Nếu 0=∞→

)l ( Rlim ul

, có thể biểu diễn hàm tươ ng quan qua hàm cấu trúc dướ i dạng

[ ] )l ( B )( B )l ( R uuu −∞=21 (2.13.13)

Cũng như trong tr ườ ng hợ p quá trình ngẫu nhiên dừng hoàn toàn, đối vớ i tr ườ ng ngẫu nhiên đồng

nhất hoàn toàn, việc sử dụng hàm tươ ng quan hay hàm cấu trúc không có gì khác biệt.

Tuy nhiên, để đặc tr ưng cho tr ườ ng ngẫu nhiên mà tính đồng nhất chỉ là gần đúng, đôi khi sử dụng

hàm cấu trúc sẽ tốt hơ n, như đã nhận xét ở mục 2.7.

Đặc biệt, điều này xảy ra khi khảo sát cấu trúc không gian quy mô vừa và lớ n của các tr ườ ng khí

tượ ng, khi mà những khác biệt về dòng năng lượ ng mặt tr ờ i đến, tính chất chuyển động trên đại dươ ng và

lục địa và những nhân tố khác phá huỷ tính đồng nhất của tr ườ ng.



79

Tuy nhiên, khi đó cần lưu ý r ằng, không phải bao giờ cũng nhận đượ c các giá tr ị của hàm cấu trúc )l ( Bu theo số liệu thực nghiệm tại những khoảng l khá lớ n để có thể chấ p nhận làm “giá tr ị bão hoà” của

hàm cấu trúc )( Bu ∞ .

2.14. TR ƯỜ NG VÉCTƠ NGẪU NHIÊNBây giờ ta xét tr ườ ng ngẫu nhiên vectơ không gian, đượ c cho bở i đại lượ ng ngẫu nhiên vectơ :

).( U ) z , y , x( U ρ=rrr

Ta chọn hệ toạ độ đề các và ký hiệu )( X ρrr

, )( Y ρrr

, )( Z ρrr

là các hình chiếu của )( U ρrr

trên các tr ục toạ

độ tươ ng ứng. Khi đó tr ườ ng ngẫu nhiên vectơ có thể đượ c xét như là hệ ba tr ườ ng ngẫu nhiên vô hướ ng.

Bằng cách như vậy, qui luật phân bố của tr ườ ng vectơ ngẫu nhiên )( U ρrr

sẽ là hàm phân bố ba chiều

của ba tr ườ ng ngẫu nhiên vô hướ ng.

Tr ườ ng vectơ )( U ρrrđượ c gọi là đồng nhất và đẳng hướ ng nếu tất cả mật độ phân bố 3n chiều của nó

là bất biến đối vớ i phép dịch chuyển song song hệ các điểm ( ) ( ) ( )nn N ,..., N , N ρρρrrr

2211 cũng như khi quayvà phản xạ gươ ng, chúng kèm theo việc quay đồng thờ i và phản xạ gươ ng hệ toạ độ trong đó các thành phần vectơ đượ c lấy.

Trong định ngh ĩ a này ta giả thiết r ằng, tất cả hệ các điểm ( )ii N ρ đượ c quay hoặc phản xạ gươ ng

cùng vớ i một hệ toạ độ cố định chứa chúng. Khi đó, mọi hình chiếu của vectơ ρr

i trong hệ toạ độ cũ và mớ i

trùng nhau.

Về mặt hình học, điều kiện đồng nhất và đẳng hướ ng của tr ườ ng vectơ có ngh ĩ a là nếu hệ toạ độ liênk ết chặt vớ i hệ thống các điểm N 1 , N 2 ,..., N n , thì mật độ phân bố 3n chiều của hình chiếu của tr ườ ng trêncác tr ục của hệ toạ độ này không thay đổi đối vớ i mọi sự dịch chuyển, quay, và phản xạ gươ ng của hệ này.

Đối vớ i tr ườ ng vectơ đồng nhất, đẳng hướ ng, k ỳ vọng toán học của vectơ )( U ρrr

bằng 0,

( ) 0=ρU M .

Thực vậy, đối vớ i tr ườ ng đồng nhất, ( )ρU M là một vectơ không đổi, còn đối vớ i tr ườ ng đẳng

hướ ng, vectơ này cũng không thay đổi khi quay, tức là nó nhất định phải bằng 0.

Tính đồng nhất và tính đẳng hướ ng của tr ườ ng vectơ đặt những điều kiện xác định lên các hàm tươ ng

quan của hình chiếu vectơ )( U ρrr

trên các tr ục toạ độ và lên hàm tươ ng quan quan hệ giữa các hình chiếu

khác nhau của nó.

Giả sử ( )ρr

X , ( )ρr

Y , ( )ρr

Z là các hình chiếu của vectơ )( U ρrr

trên các tr ục toạ độ của hệ tọa độ x0yz

nào đó.

Khi đó có thể đặc tr ưng tr ườ ng vectơ bở i ba hàm tươ ng quan: ) ,( R ), ,( R ), ,( R z y x 212121 ρρρρρρ

rrrrrr,

và ba hàm tươ ng quan quan hệ:

). ,( R ), ,( R ), ,( R yz xz xy 212121 ρρρρρρrrrrrr

Đối vớ i tr ườ ng đồng nhất và đẳng hướ ng, tất cả các hàm này là hàm chỉ của một đối số vô hướ ng

12 ρ−ρ=rr

l , là khoảng cách giữa các điểm ( )1ρ1 N và ( )2ρ 2 N .

Ta chọn hệ toạ độ x0yz như sau: Đặt gốc toạ độ vào điểm N 1, tr ục 0x hướ ng dọc theo vectơ N 1 N 2, haitr ục còn lại 0y và 0z nằm trong mặt phẳng vuông góc vớ i nó (hình 2.10 ).

Các hàm tươ ng quan và hàm tươ ng quan quan hệ đối vớ i tr ườ ng đồng nhất đẳng hướ ng không thay

đổi vớ i mọi phép quay hệ toạ độ.



80

Ta quay hệ toạ độ 1800 quanh tr ục N 1 x, khi đó hướ ng của các tr ục N 1 y và N 1 z bị thay đổi sang hướ ngngượ c lại, từ đó ta nhận đượ c:

),l ( R )l ( R xy xy −=

),l ( R )l ( R xz xz −= (2.14.1)có ngh ĩ a là:

. )l ( R )l ( R xz xy 0== (2.14.2)

Nhờ phép phản xạ gươ ng đối vớ i mặt xN 1 z ta có thể chuyển tr ục N 1 y về N 1 z và N 1 z về N 1 y, khi đó:

),l ( R )l ( R yz yz −= (2.14.3)

tức là:

. )l ( R yz 0= (2.14.4)

Nhờ phép quay quanh tr ục N 1 x, có thể chuyển N 1 y sang N 1 z, khi đó:

).l ( R )l ( R z y = (2.14.5)Từ đó thấy r ằng trong hệ toạ độ đượ c chọn, các hàm tươ ng quan quan hệ bằng 0, còn hàm tự tươ ng

quan thoả mãn điều kiện (2.14.5). Như vậy, có thể đặc tr ưng cho tr ườ ng vectơ đồng nhất đẳng hướ ng bở ihai hàm tươ ng quan:

( ) ( )[ ] ),l ( G X X M )l ( R x =ρρ= 21rr

(2.14.6)

( ) ( )[ ] ),l ( F Y Y M )l ( R y =ρρ= 21rr

(2.14.7)

ở đây ρ X là hình chiếu của tr ườ ng vectơ )( U ρrr

theo hướ ng vectơ 21 N N l =r

, còn (ρY là hình chiếu của

tr ườ ng này theo một hướ ng nào đó vuông góc vớ i vectơ l r

.Hàm ( )l R x thườ ng đượ c ký hiệu bở i ( )l G và

gọi là hàm tươ ng quan dọc của tr ườ ng vectơ , còn hàm ( )l R y

đượ c ký hiệu bở i ( )l F và gọi là hàm tươ ng

quan ngang. Đối vớ i tr ườ ng vectơ ngẫu nhiên ngườ i ta cũng đưa vào khái niệm hàm cấu trúc dọc và ngang.Hàm cấu trúc dọc ( )l Bτ là k ỳ vọng toán học của bình phươ ng hiệu các giá tr ị hình chiếu của tr ườ ng vectơ

đồng nhất đẳng hướ ng tại các điểm ( )1ρ1 N và ( )2ρ 2 N theo hướ ng vectơ N 1 N 2.

( ) ( )[ ] . X X M )l ( B2

12 ρ−ρ=τ (2.14.8)

Hàm cấu trúc ngang ( )l Bn là k ỳ vọng toán học của bình phươ ng hiệu các giá tr ị hình chiếu của

tr ườ ng tại các điểm N 1 và N 2 trên mặt vuông góc vớ i vectơ N 1 N 2.

( ) ( )[ ] .Y Y M )l ( Bn2

12 ρ−ρ= (2.14.9)

Hình 2.10



81

Chương 3

PHÂN TÍCH ĐIỀU HOÀ QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN DỪ NG VÀ TR ƯỜ NGNGẪU NHIÊN ĐỒNG NHẤT

Đối vớ i hàm không ngẫu nhiên, phân tích điều hoà đượ c ứng dụng hết sức r ộng rãi. Phân tích điềuhoà là biểu diễn các hàm tuần hoàn dướ i dạng chuỗi Fourier, còn hàm không tuần hoàn đượ c biểu diễndướ i dạng tích phân Fourier.

Ta biết r ằng nếu một hàm tuần hoàn f(t) có chu k ỳ 2T thoả mãn điều kiện Diricle thì có thể khai triểnnó thành chuỗi Fourier dạng phức:

,eC )t ( f k

t T

k i

k ∑∞

−∞=

π

= (3.0.1)

trong đó các hệ số Fourier k C đượ c xác định theo công thức:

.dt e )t ( f T

C

T

T

t T

k

ik ∫

−

π

−=21 (3.0.2)

Công thức (3.0.1) cho phép biểu diễn hàm ( )t f dướ i dạng tổng vô hạn các dao động điều hoà vớ i tần

số T

k k

π=ω và biên độ k C .

Dãy số phức k C đượ c gọi là dãy phổ hay phổ của hàm ( )t f . Các số phức k C có thể đượ c biểu diễn

dướ i dạng:

.eC C k ik k

ψ= (3.0.2)

Dãy số thực k C đượ c gọi là phổ biên độ của hàm ( )t f , còn dãy số k ψ là phổ pha của nó.

Phổ chỉ ra r ằng, trong hàm đã cho có những dao động loại nào, tức là cấu trúc bên trong của nó ra

sao. Vì trong tr ườ ng hợ p đang xét, các tần số nhận những giá tr ị r ờ i r ạcT

k k

π=ω , nên hàm dạng (3.0.1)

đượ c gọi là hàm có phổ r ờ i r ạc.

Tươ ng tự, nếu hàm không chu k ỳ ( )t f đượ c cho trên toàn tr ục số thực thoả mãn điều kiện Diricle và

khả tích tuyệt đối, tức là đối vớ i nó tích phân ∫∞

∞−

dt )t ( f tồn tại, thì có thể biểu diễn nó dướ i dạng tích phân

Fourier:

.d e )( F )t ( f

t i

∫

∞

∞−

ω

ωω= (3.0.3)

ở đây:

.dt e )t ( f )( F t i∫∞

∞−

ω−

π=ω

2

1(3.0.4)

Các công thức (3.0.3) và (3.0.4) đượ c gọi là công thức biến đổi Fourier. Công thức (3.0.4) gọi là côngthức biến đổi Fourier tr ực tiế p, còn (3.0.3) là công thức biến đổi Fourier ngượ c.

Trong công thức (3.0.3), tổng (3.0.1) theo các giá tr ị r ờ i r ạc của tần số đượ c thay thế bở i tích phântheo mọi tần số, còn các hệ số không đổi k C đượ c thay bở i hàm ( )ω F của đối số liên tục ω .



82

Ý ngh ĩ a của hàm ( )ω F là ở chỗ, hạng tử ( ) ωω ω d e F t i trong tích phân (3.0.3) trùng vớ i khoảng tần số

nhỏ ( ω , ω + d ω ), tức ( ) ωω d F là biên độ tươ ng ứng vớ i khoảng tần số đã cho. Do đó, ( )ω F là mật độ biên

độ. Hàm ( )ω F đượ c gọi là mật độ phổ của hàm ( )t f , còn hàm dạng (3.0.3) là hàm có phổ liên tục.

Như vậy, chúng ta thấy r ằng tươ ng ứng vớ i hàm có phổ r ờ i r ạc là dãy phổ các số phức k C của nó;tươ ng ứng vớ i hàm ( )t f có phổ liên tục là một hàm khác, đó là mật độ phổ ( )ω F của nó.

Từ các công thức (3.0.1), (3.0.2) hay (3.0.3), (3.0.4) suy ra r ằng khi đã cho hàm ( )t f , chúng ta có thể

xác định một cách duy nhất phổ (mật độ phổ) của nó, và ngượ c lại, nếu cho phổ (mật độ phổ) ta có thể xácđịnh duy nhất một hàm ( )t f .

Trong nhiều tr ườ ng hợ p, ví dụ như khi giải các phươ ng trình vi phân tuyến tính, thuận tiện hơ n,ngườ i ta sử dụng mật độ phổ của hàm đang xét thay cho chính hàm đó.

Ta hãy xét việc ứng dụng công cụ khai triển phổ đối vớ i các hàm ngẫu nhiên dừng và các tr ườ ngđồng nhất và đẳng hướ ng.

3.1. CÁC QUÁ TRÌNH DỪ NG CÓ PHỔ R ỜI R ẠC

Giả sử r ằng có thể biểu diễn quá trình ngẫu nhiên dừng ( )t X trên khoảng [− T, T ] dướ i dạng chuỗi vô

hạn các dao động điều hoà vớ i các tần số khác nhauT

k k

π=ω và các biên độ ngẫu nhiên k X .

.e X )t ( X k

t ik

k ∑∞

−∞=

ω= (3.1.1)

Ta sẽ xem r ằng, k ỳ vọng toán học của quá trình ngẫu nhiên bằng 0, 0= xm . Nếu không như vậy ta sẽ

xét quá trình ngẫu nhiên qui tâm. Khi đó hiển nhiên r ằng, k ỳ vọng toán học của tất cả các đại lượ ng ngẫunhiên k X phải bằng 0.

Ta hãy làm sáng tỏ các đại lượ ng ngẫu nhiên k X cần thoả mãn điều kiện nào để cho hàm ngẫu nhiên

( )t X có dạng (3.1.1) là dừng theo ngh ĩ a r ộng, tức là để cho hàm tươ ng quan ( )t ,t R x τ+ của nó chỉ phụ

thuộc vào một đối số τ và không phụ thuộc vào t .

Theo định ngh ĩ a hàm tươ ng quan của một hàm ngẫu nhiên phức (2.11.7) ta có:

[ ] )t ( * X )t ( X M )t ,t ( R x τ+=τ+ (3.1.2)

Theo (3.1.1), có thể viết:

( ).e X )t ( X

k

t ik

k ∑ τ+ω=τ+ (3.1.3)

.e* X )t ( * X l

t il

lk ∑ ω−= (3.1.4)

Đặt (3.1.3) và (3.1.4) vào (3.1.1) ta nhận đượ c:

( ) =⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=τ+ ∑∑ ω−τ+ω

l

t il

k

t ik x

k k e* X e X M )t ,t ( R

( )[ ] =⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

= ∑∑ ω−τ+ω

k l

t t il k

l k e* X X M

[ ]

( )[ ]

∑∑ω−τ+ω

= k l

t t i

l k

l k

e* X X M (3.1.5)



83

Để cho hàm tươ ng quan )t ,t ( R x τ+ không phụ thuộc vào t , nhất thiết tổng kép trong vế phải của

(3.1.5) chứa các số hạng của biểu thức ( )[ ]t t i l k eω−τ+ω không phụ thuộc vào t , tức khi k = l . Do đó, để cho

hàm ngẫu nhiên ( )t X là dừng thì điều kiện sau đây cần phải đượ c thực hiện:

[ ] 0=l k * X X M khi k ≠ l . (3.1.6)Điều kiện (3.1.6) có ngh ĩ a là các đại lượ ng ngẫu nhiên k X phải đôi một không tươ ng quan vớ i nhau.

Vớ i điều kiện (3.1.6), công thức (3.1.5) đượ c viết dướ i dạng:

( ) [ ]∑ τω=τk

ik k x .e* X X M R k (3.1.7)

Các đại lượ ng [ ]k k * X X M là phươ ng sai của đại lượ ng ngẫu nhiên X . Ký hiệu chúng bằng k D , khi

đó ta nhận đượ c:

( ) ∑∞

−∞=

τω=τ

k

ik x .e D R k (3.1.8)

Để tồn tại hàm tươ ng quan thì chuỗi (3.1.8) phải hội tụ, tức là chuỗi:

∑∑∞

−∞=

∞

−∞=

τω =k

k k

ik . De D k (3.1.9)

hội tụ.

Ta giả thiết r ằng, có thể khai triển quá trình ngẫu nhiên dừng thành chuỗi (3.1.1) mà không nói gì đếnđiều kiện khai triển này. Khi đó ta nhận đượ c các biên độ ngẫu nhiên X k là những đại lượ ng ngẫu nhiênkhông tươ ng quan vớ i nhau, còn hàm tươ ng quan đượ c xác định dướ i dạng chuỗi (3.1.8).

Nhà toán học Xô viết E. E. Sluskii đã chứng minh r ằng, mọi quá trình ngẫu nhiên dừng có hàm tươ ng

quan dạng (3.1.8) có thể đượ c biểu diễn dướ i dạng (3.1.1) và ngượ c lại.Đối vớ i quá trình ngẫu nhiên dừng, phổ là phân bố phươ ng sai của biên độ ngẫu nhiên theo các tần số

k ω .

Vì chuỗi (3.1.9) phải hội tụ, cho nên số hạng tổng quát của nó phải dần đến 0, tức là khi tăng tần số

k ω thì giá tr ị phươ ng sai tươ ng ứng phải tiến đến 0.

Phổ của quá trình ngẫu nhiên có thể đượ c biểu thị dướ i dạng đồ thị, vớ i tr ục hoành đặt các giá tr ị biênđộ, còn tr ục tung là phươ ng sai tươ ng ứng của chúng (hình 3.1).

Hình 3.1

Các hàm ngẫu nhiên dừng dạng (3.1.1) đượ c gọi là các quá trình ngẫu nhiên có phổ r ờ i r ạc.

Phươ ng sai quá của trình ngẫu nhiên x D nhận đượ c bằng cách đặt τ = 0 vào công thức (3.1.8).

( ) ∑∞

−∞=

==k

k x x . D R D 0 (3.1.10)

Do đó, phươ ng sai của hàm ngẫu nhiên bằng tổng của chuỗi tạo thành từ tất cả các tung độ phổ.

Quá trình ngẫu nhiên dừng dạng (3.1.1) có thể phức, cũng có thể thực. Quá trình (3.1.1) là thực nếu

mỗi k trong tổng (3.1.1) tươ ng ứng vớ i một cặ p hai số hạng phức τωk ik e X và τω− k ik e X .



84

Khi đó

( ) ( )∑∞

=

τω−τω +=0k

ik

ik .e X e X t X k k (3.1.11)

Nếu viết k X dướ i dạng:

2222k k *

k k k

k

Bi

A X ,

Bi

A X +=−= (3.1.12)


( )

( ) t sin Bt cos At sinit cos B

i A

t sinit cos B

i A

e X e X

k k k k k k k k

k k k k i

k i

k k k

ω+ω=ω−ω⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++

+ω+ω⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=+ τω−τω

22

22(3.1.13)

Đặt (3.1.13) vào (3.1.11) ta đượ c quá trình ngẫu nhiên dừng thực:

( ) ( )∑∞

=

ω+ω=0k

k k k k t sin Bt cos At X (3.1.14)

trong đó k A và k B là các đại lượ ng ngẫu nhiên thực có k ỳ vọng toán học bằng không.

Tr ườ ng hợ p riêng, khi áp dụng điều kiện (3.1.6) cho hai hạng tử khác nhau τωk ik e X và τω− k i*

k e X , ta

nhận đượ c:

( ) [ ] 0==⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

k k

**k k X X M X X M (3.1.15)

Từ đó ta có:

[ ]

[ ] [ ] [ ]{ } 024

1

22

22

2

=−−=

=⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎣⎡ ⎟

⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ −=

k k k k

k k k k

B AiM B M A M

Bi A M X X M

(3.1.16)

Đồng nhất bằng không cả phần thực và phần ảo, ta nhận đượ c:

k k k d B M A M == 22 (3.1.17)

[ ] 0=k k B A M (3.1.18)

tức là các đại lượ ng ngẫu nhiên k A và k B không tươ ng quan vớ i nhau và có cùng phươ ng sai. Từ đẳng

thức (3.1.6) ta nhận đượ c tính không tươ ng quan đôi một của các đại lượ ng l k l k B , B , A , A khi k ≠ l.

Ta biểu diễn k D qua k d

[ ] =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −==2222k k k k

k k k

Bi

A Bi

A M * X X M D

[ ] [ ]{ }24

1 22 k k k

d B M A M =+= (3.1.19)

Khi đó công thức đối vớ i hàm tươ ng quan (3.1.8) đượ c viết lại dướ i dạng:

[ ] ∑∑∞

=

∞

=

τω−τω τω=+=τ00

22k

k k

k

iik x cos

d ee D )( R k k (3.1.20)

tức là



85

∑∞

=

τω=τ0k

k k x cosd )( R (3.1.21)

Đối vớ i quá trình ngẫu nhiên thực, các tần số k ω và k ω− tươ ng ứng vớ i cùng biên độ k D , do vậy,

phổ của quá trình ngẫu nhiên thực đối xứng qua tr ục tung (hình 3.1) và có thể chỉ cần xây dựng nó chonhững giá tr ị tần số dươ ng.

3.2. CÁC QUÁ TRÌNH DỪ NG CÓ PHỔ LIÊN TỤC

Không phải mọi quá trình dừng đều là quá trình có phổ r ờ i r ạc. Tuy nhiên có thể chỉ ra r ằng bất k ỳ quá trình dừng nào cũng có thể đượ c biểu diễn như là giớ i hạn của dãy các quá trình có phổ r ờ i r ạc dạng(3.1.1).

Ta xét hàm ngẫu nhiên ( )ωΦ , khi xem r ằng trong khoảng tần số 1−ω−ω=ωΔ k k k , số gia của nó

( ) ( ) ( )1−ωΦ−ωΦ=ωΔΦ k k k (3.2.1)

bằng tổng các biên độ ngẫu nhiên k X trong khoảng này.

Một cách gần đúng, coi tần số trong khoảng k ωΔ không đổi và bằng k ω , trên cơ sở (3.1.1) ta có thể

viết đẳng thức gần đúng:

( ) ( ) ,et X k

k t i k ∑ ωΔΦ≈ ω (3.2.2)

ở đây tổng đượ c lấy theo mọi khoảng tần số k ωΔ .

Bây giờ ta sẽ tăng vô hạn số tần số ωk trong (3.2.2), giảm vô hạn hiệu giữa chúng. Lấy giớ i hạn tanhận đượ c

( ) ( ) ,d et X t i∫∞

∞−

ω ωΦ= (3.2.3)

trong đó, vế phải là tích phân Fourier − Stiltex, và dướ i dấu tích phân không phải là số gia của đối số như trong tích phân Riman, mà là số gia của hàm ( )ωΦd .

Biểu diễn quá trình ngẫu nhiên dừng ( )t X dướ i dạng tích phân Stiltex theo công thức (3.2.3) đượ c

gọi là khai triển phổ của nó.

Ta xác định hàm tươ ng quan của quá trình ngẫu nhiên biểu diễn theo công thức (3.2.3).

Đối vớ i quá trình ngẫu nhiên dừng (3.1.1), hàm tươ ng quan đượ c xác định bở i công thức (3.1.8).Công thức này biểu diễn hàm không ngẫu nhiên ( )τ x R dướ i dạng chuỗi Fourier. Khi đó, nếu khai triển

(3.1.1) của quá trình ngẫu nhiên ( )t X đượ c tiến hành trên khoảng biến đổi [− T, T ] của đối số t , thì khoảng

biến đổi của đối số τ = t 2 − t 1 sẽ là đoạn [− 2T, 2T ]. Do đó, công thức (3.1.8) là khai triển hàm tươ ng quan ( )τ x R trong khoảng [− 2T, 2T ].

Khi đó, các hệ số Fourier k D của khai triển này đượ c xác định theo công thức:

( )T

k ,d e R

T D k

T

T

i xk

k

24

1 2

2

π=ωττ= ∫

−

τω− (3.2.4)

Ký hiệu hiệu giữa hai tần số lân cận là k ωΔ thì

( ).

T T

k

T

k k k k 22

1

21π

=−π

−π

=ω−ω=ωΔ − (3.2.5)

Khi đó công thức (3.1.8) có thể viết dướ i dạng:



86

( ) .e DT

Rk

k t i

k xk ∑

∞

−∞=

ω ωΔπ

=τ2

(3.2.6)

Ta đưa vào hàm

( ) ( ) .d e RS

T

T

t i x

T x

k ∫−

ω− ττπ

=ω2

221 (3.2.7)

Chỉ số T nói lên r ằng, hàm phụ thuộc vào khoảng T . Theo (3.2.4) và (3.2.5) ta có

( ) . D

S k

k k

T x ωΔ

=ω (3.2.8)

Điều đó chứng tỏ ( )k T xS ω là mật độ trung bình của phươ ng sai trên đoạn k ωΔ .

Thế (3.2.8) vào (3.2.6), ta đượ c

( ) ( ) .eS Rk

k t i

k T x x

k ∑∞

−∞=

ω ωΔω=τ (3.2.9)

Nếu T →∞ , còn k ωΔ → 0 thì khi lấy giớ i hạn, tổng tích phân (3.2.9) sẽ tr ở thành tích phân

( ) ( ) .d eS Rt i

x xk ∫

∞

∞−

ω ωω=τ (3.2.10)

Công thức (3.2.10) là khai triển hàm tươ ng quan thành tích phân Fourier. Khai triển như vậy có thể thực hiện đượ c nếu tích phân tuyệt đối của hàm ( )τ x R thoả mãn điều kiện

( ) .d R x ∞<ττ∫∞

∞−

(3.2.11)

Khi đó, chuyển qua giớ i hạn, công thức (3.2.7) sẽ có dạng

( ) ( ) .d e RS t i x x ∫

∞

∞−

ω− ττπ

=ω2

1(3.2.12)

Hàm ( )ω xS là giớ i hạn của mật độ phươ ng sai trung bình ( )k T

xS ω khi k ωΔ dần đến 0, tức là biểu

thị mật độ phươ ng sai của hàm ngẫu nhiên ( )t X khi cho tr ướ c tần số ω. Hàm này đượ c gọi là mật độ phổ

của hàm ngẫu nhiên dừng ( )t X . Mật độ phổ là hàm không âm của tần số.

Các công thức (3.2.10) và (3.2.12) chỉ ra r ằng hàm tươ ng quan ( )τ x R và mật độ phổ ( )ω xS là biến

đổi Fourier lẫn nhau. Do đó, biến đổi Fourier đối vớ i hàm tươ ng quan của quá trình ngẫu nhiên dừng phảilà hàm không âm vớ i mọi giá tr ị tần số ω.

Năm 1934, A. Ia. Khintrin đã chứng minh r ằng mỗi một hàm, là biến đổi ngượ c Fourier từ một hàmkhông âm, là hàm tươ ng quan của một quá trình ngẫu nhiên dừng nào đó.

Khi đặt τ = 0 vào công thức (3.2.10), ta nhận đượ c biểu thức đối vớ i phươ ng sai của hàm ngẫu nhiên.

( ) ( ) .d S R D x x x ∫∞

∞−

ωω== 0 (3.2.13)

Từ đó thấy r ằng, nếu hàm ngẫu nhiên ( )t X có phươ ng sai hữu hạn, thì hàm ( )ω xS là khả tích. Hàm

( ) ( ) .d S F x x ∫ω

∞−

ωω=ω (3.2.14)



87

đượ c gọi là hàm phổ hay phổ tích phân của hàm ngẫu nhiên dừng.

Tại những giá tr ị ω nào đó, mật độ phổ có thể tr ở nên vô hạn nhưng vẫn còn khả tích ở lân cận cácgiá tr ị này.

Từ các công thức (3.2.10) và (3.2.12) ta thấy r ằng, khi biết hàm tươ ng quan có thể tìm đượ c mật độ phổ và ngượ c lại. Tuy nhiên, như ta sẽ thấy sau này, trong nhiều tr ườ ng hợ p, sử dụng mật độ phổ sẽ thuậntiện hơ n.

Thay cho mật độ phổ ( )ω xS ngườ i ta thườ ng xét mật độ phổ chuẩn hoá ( )ω x s

( )( )

( )

( ).

D

S

d S

S s

x

x

x

x x

ω=

ωω

ω=ω

∫∞

∞−

(3.2.15)

Hàm tươ ng quan chuẩn hoá và mật độ phổ chuẩn hoá cũng là biến đổi Fourier lẫn nhau và đượ c xácđịnh bở i các công thức:

( ) ( ) .d e sr t i x x ∫∞

∞−

ω ωω=τ (3.2.16)

( ) ( ) .d er s t i x x ∫

∞

∞−

ω− ττπ

=ω2

1(3.2.17)

Theo công thức (3.2.12) ta có

( ) ( ) .d e RS i x x ∫

∞

∞−

ωτ ττπ

=ω−2

1(3.2.18)

Đối vớ i quá trình ngẫu nhiên thực, khi cho τ =− τ' và để ý đến tính chẵn của ( )τ x R , ta nhận đượ c

( ) ( ) =ττ−π

−=ω− ∫−∞

∞+

ωτ− ' d e' RS ' i x x 2

1

( ) ( ).S ' d e' R x' i

x ω=ττπ

= ∫∞

∞−

ωτ−

2

1(3.2.19)

Từ đó thấy r ằng đối vớ i quá trình ngẫu nhiên thực, ( )ω xS cũng là hàm chẵn, tính thực của nó suy ra

từ tính thực của ( )τ x R .

Do tính chẵn của ( )τ x R và ( )ω xS , đối vớ i quá trình ngẫu nhiên thực có thể viết

( ) ( ) .d cosS R x x ∫∞

ωωτω=τ0

2 (3.2.20)

( ) ( ) .d cos RS x x ∫∞

τωττπ

=ω0

1(3.2.21)

Ta có thể viết các công thức tươ ng tự đối vớ i hàm tươ ng quan chuẩn hoá ( )τ xr và mật độ phổ chuẩn

hoá ( )ω x s của quá trình ngẫu nhiên thực

( ) ( ) .d cos sr x x ∫∞

ωωτω=τ0

2 (3.2.22)



88

( ) ( ) .d cosr s x x ∫∞

τωττπ

=ω0

1(3.2.23)

Đối vớ i quá trình ngẫu nhiên có phổ r ờ i r ạc, phổ gián đoạn của phươ ng sai đượ c thay thế bằng phổ

liên tục vớ i mật độ phươ ng sai ( )ω xS . Hàm ( )ω xS có thể đượ c biểu diễn bằng đồ thị (hình 3.2).

Vì ( ) ( ) .d S R D x x x ∫∞

ωω==0

20 (3.2.24)

nên phươ ng sai bằng hai lần diện tích giớ i hạn bở i đườ ng cong ( )ω xS đượ c xây dựng đối vớ i ω ≥ 0, hoặc

bằng diện tích giớ i hạn bở i đườ ng cong ( )ω xS đượ c xây dựng trên toàn khoảng ( −∞ , +∞ ).

Nếu xây dựng đồ thị mật độ phổ chuẩn hoá thì diện tích nằm dướ i nó bằng 1 bở i vì:

( ) ( ) .d sr x x 10 =ωω= ∫∞

∞−

(3.2.25)

Hình 3.2

Đối vớ i hệ các quá trình ngẫu nhiên dừng và liên hệ dừng ( ) ( ) ( )t X ,...,t X ,t X n21 , ngoài mật độ phổ

của mỗi quá trình ( )ωi xS , ngườ i ta còn xét mật độ phổ quan hệ ( )ω

ji x xS , là biến đổi Fourier lẫn nhau vớ i

các hàm tươ ng quan quan hệ tươ ng ứng ( )τ ji x x R .

( ) ( ) .d eS R i x x x x ji ji ∫

∞

∞−

ωτ ωω=τ (3.2.26)

( ) ( ) .d e RS i x x x x ji ji ∫

∞

∞−

ωτ− ττπ

=ω2

1(3.2.27)

Ta sẽ xác định các mật độ phổ của các quá trình ngẫu nhiên dừng đã xét trong mục 2.5.

1. Giả sử quá trình ngẫu nhiên dừng ( )t X có hàm tươ ng quan chuẩn hoá

( ) 0>α=τ τα− ,e R x . (3.2.28)

Theo (3.2.17), khi đó mật độ phổ chuẩn hoá đượ c xác định dướ i dạng

( ) ( ) ( ) =⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

τ+τπ

=τπ

=ω ∫∫∫∞

τω+α−

∞−

τω−α∞

∞−

ωτ−τα−

0

0

2

1

2

1d ed ed ee s iii

x

( )22

11

2

1

ω+απ

α=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ω+α

+ω−απ

=ii

(3.2.29)

Đây là một hàm chẵn, đạt giá tr ị cực đại bằngπα1

khi tần số 0=ω .

Ta hãy xét sự phụ thuộc vào tham số α của hàm tươ ng quan và mật độ phổ tươ ng ứng vớ i nó.

Trên hình 3.3a, b biểu diễn các đồ thị ( )τr và ( )ω s tươ ng ứng vớ i các giá tr ị α = 0,5; 1; 3.



89

Từ hình 3.3a thấy r ằng, khi tăng tham số α, hàm tươ ng quan giảm nhanh hơ n, tức là vớ i cùng mộtkhoảng τ, mối quan hệ tươ ng quan giữa các lát cắt ( )t X và ( )τ+t X của hàm ngẫu nhiên giảm khi α tăng.

Trong mục 2.6, ta gọi đại lượ ng 1T trong công thức (2.6.7) là thờ i gian tươ ng quan. Đối vớ i tr ườ ng

hợ p đang xét

( ) ∫∞

ατ−

α=τ=τ

01

1d eT (3.2.30)

tức là đại lượ ng 1/ α là thờ i gian tươ ng quan, đặc tr ưng cho tốc độ tắt dần của mối liên hệ tươ ng quan.

Việc so sánh các đườ ng cong trên hình 3.3b chỉ ra r ằng, vớ i các giá tr ị α bé, mật độ phổ giảm nhanhkhi tăng tần số ω, tức là các tần số nhỏ có giá tr ị chiếm ưu thế trong phổ của quá trình ngẫu nhiên. Khi α tăng, mật độ phổ thay đổi đều đặn hơ n, giảm chậm hơ n khi tần số tăng. Đối vớ i các giá tr ị α lớ n, khi tăngω, mật độ phổ giảm r ất chậm, hầu như không đổi và bằng ( )0 s trên một dải tần số khá lớ n.

Quá trình ngẫu nhiên mà mật độ phổ của nó không đổi trong mọi dải tần số ( ) ( ) const s s x x ==ω 0 ,

đượ c gọi là ồn tr ắng, tươ ng tự vớ i ánh sáng tr ắng, mà ở đó thành phần phổ dườ ng như đồng nhất. Về mặtvật lý, quá trình như vậy là không có thực, vì phươ ng sai ( )∫

∞

∞−

ωω= d S D x x của nó tr ở thành vô hạn.

Hình 3.3

Tuy nhiên, có thể xét nó như là tr ườ ng hợ p tớ i hạn của quá trình ngẫu nhiên thực có dạng đang xétkhi cho α dần tớ i vô hạn. Thông thườ ng, một cách gần đúng, quá trình ngẫu nhiên mà mật độ phổ của nóthay đổi ít trên một dải tần số đủ lớ n đượ c xem như ồn tr ắng khi bỏ qua các tần số lớ n.

2. ( ) 02

>α=τ ατ− ,er (3.2.31)

Khi đó

( ) .d eed ee s

i

i

∫∫ ∞−

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ αω

+τα−α

ω−∞

∞−

ωτ−ατ− τπ

=τπ

=ω0

24

222

2

1

2

1(3.2.32)

Bằng phép đổi biến, tích phân cuối cùng đượ c đưa về tích phân Poatxông, bằng π . Từ đó

( ) αω

−

πα=ω 4

2

2

1e s (3.2.33)

Trên hình 3.4 a,b biểu diễn các đồ thị ( )τr và ( )ω s đối vớ i α = 0,5; 1 và 3.

Từ hình 3.4 thấy r ằng, tính chất phụ thuộc của ( )τr và ( )ω s về mặt định tính cũng giống như trong

ví dụ tr ướ c, chỉ có dạng đườ ng cong bị thay đổi.

3. ( ) 0>αβτ=τ τα− ,coser . (3.2.34)



90

Biểu diễn βτcos qua hàm mũ theo công thức Euler

( )βτ−βτ +=βτ ii eecos2

1(3.2.35)

Khi đó

( ) ( ) =⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡τ+

π=ω ∫

∞

∞−

ωτ−βτ−βττα−d eeee s iii

2

1

2

1

( ) ( )

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡τ

π+τ

π= ∫∫

∞

∞−

τβ+ω−τα−∞

∞−

τβ−ω−τα−d eed ee ii

2

1

2

1

2

1. 3.2.36)

Tươ ng tự như (3.2.29), ta nhận đượ c

( )( )[ ] ( )[ ] =

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

β+ω+απ

α+

β−ω+απ

α=ω

22222

1 s

( ) ( ) 222222

222

222222

222

44 βω−β+α+ω

ω+β+απα

=ωα+β−α−ω

ω+β+απα

= (3.2.37)

Trong tr ườ ng hợ p này, hàm tươ ng quan và mật độ phổ đượ c xác định bở i hai tham số α và β. Tham

số α xác định mức độ suy giảm nhanh của biên độ dao động của hàm tươ ng quan, tham số β xác định chu

k ỳ của quá trình dao động đó.

Ta sẽ làm sáng tỏ tính chất phụ thuộc của hàm tươ ng quan và mật độ phổ tươ ng ứng của nó vào mối

quan hệ của các tham số đó.

Trên hình 3.5 a,b biểu diễn đồ thị các hàm ( )τr và ( )ω s cho 3 tr ườ ng hợ p:

1) α = 0,5; β = 2 (đườ ng cong I);

2) α = 1; β = 1 (đườ ng cong II);

3) α = 2; β = 0,5 (đườ ng cong III).

Hình 3.4

Từ hình 3.5 thấy r ằng, khi giá tr ị của tỷ số α/β bé (đườ ng cong I, α/β=0,25), đồ thị hàm tươ ng quangần vớ i dao động điều hoà tần số ω. Trong tr ườ ng hợ p này, mật độ phổ có cực đại biểu hiện rõ khi ω = β,trong phổ của quá trình ngẫu nhiên có các tần số chiếm ưu thế gần vớ i tần số β.



91

Hình 3.5

I) α=0,5, β=2; II) α=1, β=1; III) α=2, β=0,5

Việc tăng α/β làm đẩy nhanh sự tắt dần của hàm tươ ng quan, cực đại của mật độ phổ tr ở nên ít rõ nét

hơ n. Vớ i các giá tr ị α/β lớ n (đườ ng cong III, α/β=4), hàm tươ ng quan trên thực tế chỉ khác 0 tại những tr ị

số τ không lớ n. Trong tr ườ ng hợ p này, khi tăng tần số ω, mật độ phổ thay đổi chậm, gần vớ i giá tr ị ban đầu( )0 s trên một dải tần số lớ n.

4. ( ) 02 >αβτ=τ ατ− ,coser (3.2.38)

Thay βτ cos theo (3.2.35), ta có

( )( ) ( )

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

π+τ

π=ω ∫∫

∞

∞−

τβ+ω−ατ−∞

∞−

+ατ− τβ−ωdt ed e s ii 22

2

1

2

1

2

1(3.2.39)

Sử dụng ví dụ 2, ta nhận đượ c

( )( ) ( )

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡+

πα=ω α

β+ω−

αβ−ω

−44

22

4

1ee s (3.2.40)

Trên hình 3.6 a,b đã biểu diễn các đồ thị ( )τr và ( )ω s vớ i các giá tr ị α và β như trên hình 3.5.

Tính chất phụ thuộc của hàm tươ ng quan và mật độ phổ vào các tham số, về định tính, giống như ở vídụ 3.

5. ( ) 00 >β>α⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ τβ

βα

+βτ=τ τα− , , sincoser (3.2.41)

Khi thay τ β sin bằng hàm mũ theo công thức Euler

( )τβ−τβ −=τβ iiee

i sin

2

1(3.2.42)

ta nhận đượ c

( ) +τβτπ

=ω ∫∞

∞−

τα−d cose s

2

1

( ) ( )

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

τπ

−τπβ

α+ ∫∫

∞

∞−

ωτ−τβ+ω−∞

∞−

ωτ−τβ−ω−d ed e

i

iiiiii

2

1

2

1

2(3.2.43)

Hạng thứ nhất là ( )ω s trong ví dụ 3, các hạng trong ngoặc nhọn là ( )ω s trong ví dụ 1, nhận đượ c khi

thay α tươ ng ứng bằng α−iβ và α+iβ. Từ đó ta đượ c



92

( )( )

+βω−β+α+ω

ω+β+απα

=ω222222

222

4 s

( ) ( ) =⎪⎭

⎪

⎬

⎫

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

β+α+ω

α

+β−α+ω

α

βπ+ 22222

4

iii

= ( ) ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

ωα+β−α+ω

β+απα

22222

22

4

2(3.2.44)

Đồ thị các hàm ( )τr và ( )ω s đượ c dẫn ra trên hình 3.7a,b đối vớ i các giá tr ị α, β như trên hình 3.5.

6. ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

τ≥τ

τ≤τ≤ττ

−=τ

0

000

01r (3.2.45)

Coi quá trình ngẫu nhiên là thực, ta có thể tính mật độ phổ theo công thức (3.2.23).

( ) ∫τ

τωτ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ττ

−π

=ω0

0 0

11

d cos s (3.2.46)

Sử dụng công thức tích phân theo từng phần, ta nhận đượ c

( ) ( )00

21

1ωτ−

τπω=ω cos s (3.2.47)

Giá tr ị ( )0 s cần đượ c xét như là giớ i hạn của ( )ω s khi ω tiến dần tớ i 0.

( ) ( )π

τ=ωτ−

τπω=

→ω 21

10 0

00

20coslim s (3.2.48)

Trên hình 3.8 a,b biểu diễn đồ thị các hàm ( )τr và ( )ω s vớ i các giá tr ị của tham số τ0 = 1, 2, 3.

Từ hình 3.8 thấy r ằng, sự thay đổi của mật độ phổ theo tần số là một quá trình dao động: ( )ω s nhận

các giá tr ị cực tiểu

( ) 0=ω s vớ i 212

0

,k ,k

=τ

π=ω ...

và đạt các giá tr ị cực đại giảm theo sự tăng của tần số ω.

Hình 3.6

I) α=0,5, β=2; II) α=1, β=1; III) α=2, β=0,5

Khi tăng tham số τ0, các giá tr ị cực đại tươ ng đối của mật độ phổ cũng tăng và thể hiện ưu thế rõ néthơ n trong phổ của quá trình ngẫu nhiên tại các tần số r ờ i r ạc riêng biệt, nhất là khi tần số ω = 0.



93

Trong tất cả các tr ườ ng hợ p đã xét, các mật độ phổ ( )ω s là những hàm không âm vớ i mọi giá tr ị tần

số ω. Do đó, theo định lý Khintrin, hàm ( )τr , biến đổi ngượ c Fourier của chúng, thật sự là hàm tươ ng quan

của các quá trình ngẫu nhiên dừng.

7. Xét hàm:

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

τ>τ

τ≤ττ

τ−

=τ

0

020

2

0

1

khi

khir (3.2.49)

Ta sẽ làm sáng tỏ xem nó có thể là hàm tươ ng quan của một quá trình ngẫu nhiên dừng nào đó không.

Ta tìm mật độ phổ đối vớ i nó theo công thức (3.2.14).

( ) ∫τ

τωτ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

τ

τ−

π=ω

0

020

2

11

d cos s (3.2.50)

Sử dụng hai lần công thức tích phân từng phần, ta đượ c:

( ) ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ωττ−ωτωτπω

=ω 00020

2

11cos sin s (3.2.51)

Đồ thị các hàm ( )τr và ( )ω s dẫn ra trên hình 3.9a,b.

Trong tr ườ ng hợ p này, mật độ phổ không phải là hàm không âm vớ i mọi ω, do đó ( )τr không thể là

hàm tươ ng quan của quá trình ngẫu nhiên dừng.

Hình 3.7

I) α=0,5, β=2; II) α=1, β=1; III) α=2, β=0,5

3.3. PHÂN TÍCH ĐIỀU HOÀ TR ƯỜ NG NGẪU NHIÊN ĐỒ NG NHẤT

Tươ ng tự như quá trình ngẫu nhiên dừng, có thể biểu diễn tr ườ ng ngẫu nhiên đồng nhất( ) ( ) z , y , xU U =ρ dướ i dạng tích phân Fourier - Stiltex

( ) ∫ Φ=ρ→ρ )k ( d eU )k ( i

rr(3.3.1)

Ở đây các sóng phẳng )k ( ie

→ρ đóng vai trò dao động điều hoà, trong đó ρ

rr.k là tích vô hướ ng của

vectơ k r

và vectơ ρr

. Tích phân đượ c tr ải trên toàn không gian của vectơ sóng k r

.

Giả thiết r ằng, k ỳ vọng toán học của tr ườ ng bằng không, còn hàm tươ ng quan ( )l Ru

rgiảm khá nhanh

trên khoảng vô hạn sao cho



94

∫ ∞<l d )l ( Ru

rr(3.3.2)

và bằng cách lậ p luận tươ ng tự như đã xét trong mục 3.2 cho tr ườ ng hợ p ba chiều, ta có thể viết hàm tươ ngquan dướ i dạng

( ) ∫→

= k d )k ( S el R u )kl ( i

u

rrr(3.3.3)

trong đó k d r

là yếu tố thể tích trong không gian sóng, còn hàm ( )k S u

r đượ c gọi là mật độ phổ ba chiều, nó

phải là một hàm không âm.

Hình 3.8

Hình 3.9

Hàm tươ ng quan là biến đổi ngượ c Fourier ba chiều của mật độ phổ. Từ đó, giống như phép biến đổiFourier đối vớ i hàm tươ ng quan, có thể xác định mật độ phổ theo công thức

( )∫

→−

π= l d )l ( Rek S u

)kl ( iu

rrr

38

1(3.3.4)

Trong tr ườ ng hợ p ( )ρr

U là tr ườ ng đồng nhất đẳng hướ ng, hàm tươ ng quan là hàm của đối số vô

hướ ng 12 ρ−ρ=rr

l . Khi đó dễ dàng tính đượ c tích phân trong công thức (3.3.4) khi chuyển về toạ độ cầu.

Ta biểu diễn tích vô hướ ng l .k rr

dướ i dạng

l .k rr

= ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ^

l .k coskl rr

(3.3.5)

Hướ ng hệ toạ độ cầu sao cho góc giữa các vectơ k r

và l r

trùng vớ i một toạ độ cầu − góc θ. Khi đó

( ) ∫

→−

π= l d )l ( Rek S u

)kl ( i

u

rr

38

1

=

= ∫ ∫ ∫∞ ππ

θ− ϕθθπ 0

2

0 0

238

1dl d d sinl )l ( Re u

cosikl (3.3.6)

Bằng phép thay biến t cos =θ trong tích phân hai lớ p ta nhận đượ c

=θθπ=ϕθθ ∫∫ ∫π

θ−ππ

θ−

0

2

0 0

2 d sined d sine cosikl cosikl

= )kl sin( kl

dt e iklt π=π ∫

−

− 42

1

1

. (3.3.7)



95

Đặt (3.3.7) vào (3.3.6) ta đượ c

∫∞

π=

0

222

1dl l )l ( R

kl

)kl sin( )k ( S uu

r(3.3.8)

Từ đó thấy r ằng, mật độ phổ của tr ườ ng đồng nhất đẳng hướ ng là hàm của một đối số vô hướ ng k .

∫∞

π=

0

222

1dl l )l ( R

kl

)kl sin( )k ( S uu (3.3.9)

Đối vớ i tr ườ ng đồng nhất đẳng hướ ng, khi sử dụng phươ ng pháp tươ ng tự để tính tích phân (3.3.3), tanhận đượ c

∫∞

π=0

24 dk k )k ( S kl

)kl sin( )l ( R uu (3.3.10)

Vì mật độ phổ phải là hàm không âm, nên các hàm tươ ng quan ( )l Ru của tr ườ ng đồng nhất đẳng

hướ ng chỉ có thể là những hàm sao cho tích phân (3.3.9) không âm vớ i mọi k ≥ 0.Đối vớ i tr ườ ng đồng nhất đẳng hướ ng trên mặt phẳng, các công thức cho hàm tươ ng quan ( )l Ru và

mật độ phổ ( )l S u đượ c biểu thị như những phép biến đổi Fourier lẫn nhau theo các công thức

∫→

= k d )k ( S e )l ( R u )kl ( i

u

r(3.3.11)

∫→

−

π= l d )l ( Re )k ( S u

)kl ( iu

r

24

1(3.3.12)

ở đây, k d r

và l d r

là các yếu tố diện tích.

Khi chuyển về toạ độ cực và hướ ng tr ục cực theo vectơ k r

, ta nhận đượ c

ϕ= coskl l .k rr , (3.3.13)

từ đó

∫ ∫π∞

ϕ− ϕπ

=2

0 024

1ldld )l ( Re )k ( S u

cosikl u (3.3.14)

Vì

)kl ( J d e ocosikl =ϕ

π ∫π

ϕ−2

02

1(3.3.15)

là hàm Bessel loại I bậc 0, nên (3.3.14) đượ c viết dướ i dạng

∫∞

π=

02

1ldl )l ( R )kl ( J )k ( S uou (3.3.16)

Ở đây, ( ) ( )2122

12 y y x xl −+−= .

Tươ ng tự, ta nhận dượ c

∫∞

π=0

2 kdk )k ( S )kl ( J )l ( R uou . (3.3.17)

Để cho hàm ( )l Ru là hàm tươ ng quan của tr ườ ng đồng nhất đẳng hướ ng trên mặt phẳng thì tích phân

(3.3.16) cần phải không âm vớ i mọi k ≥ 0.



96

Ta hãy xét một vài ví dụ tính mật độ phổ.

1. Giả sử hàm tươ ng quan của tr ườ ng đồng nhất đẳng hướ ng ba chiều có dạng

( )02 >ασ= α−

,el Rl

(3.3.18)

Khi đó mật độ phổ đượ c xác định theo công thức (3.3.9)

( ) ∫∞

α−

π

σ=

02

2

2dl )kl sin( l e

k k S l . (3.3.19)

Ta xét tích phân

∫∞

α−=0

dl )kl sin( l e J l (3.3.20)

Sử dụng phươ ng pháp tích phân từng phần, ta đượ c

∫∫∞

α−∞

α−α

+α

=00

1 dl )kl cos( l ek dl )kl sin( l e J l l (3.3.21)

Sử dụng phươ ng pháp tươ ng tự cho tích phân

∫∞

α−=0

1 dl )kl cos( l e J l (3.3.22)

ta có

∫∫∞

α−∞

α−

α−

α=

001

1dl )kl sin( l e

k dl )kl cos( l e J l l (3.3.23)

Đặt (3.3.23) vào (3.3.21) ta đượ c

J k

dl )kl cos( ek

dl )kl sin( e J l l

2

2

02

2

0

1

α−

α+

α= ∫∫

∞α−

∞α− . (3.3.24)

Từ đó

∫∞

α−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡α

+α+

α=

022

dl )kl cos( k

)kl sin( ek

J l (3.3.25)

Sử dụng hai lần phươ ng pháp tích phân từng phần cho (3.3.25), ta nhận đượ c

( )2

22

2

α+

π=

k

k J (3.3.26)

Đặt (3.3.26) vào (3.3.19) cuối cùng ta đượ c

( )( )222

2

α+π

ασ=

k k S (3.3.27)

Mật độ phổ (3.3.27) không âm vớ i mọi giá tr ị của k , do đó hàm (3.3.18) có thể là hàm tươ ng quan củatr ườ ng ngẫu nhiên ba chiều. Đồ thị của mật độ phổ (3.3.27) đượ c biểu diễn trên hình 3.10).

2. R(l) = 022 >ασ α− ,e l . (3.3.28)

Mật độ phổ trong tr ườ ng hợ p này đượ c xác định dướ i dạng



97

( )( )

α−∞

α−

πα

σ=

π

σ= ∫ 4

23

2

02

22

2

82

k

/

l edl )kl sin( l ek

k S (3.3.29)

Hàm (3.3.29) cũng là hàm không âm vớ i mọi k , do đó hàm (3.3.28) có thể là hàm tươ ng quan của

tr ườ ng ngẫu nhiên ba chiều. Đồ thị mật độ phổ (3.3.29) đượ c biểu diễn trên hình 3.11.

3. Đối vớ i hàm

( ) 002 >β>αβσ= α− , ,l cosel R

l (3.3.30)

mật độ phổ bằng

( ) =βπ

σ= ∫

∞α−

02

2

2ldl )kl sin( l cose

k k S l

( )2424

22224

2

2

2

22

bak k

b )ba( bk k

++

−++

π

ασ= (3.3.31)

trong đó 2222 β+α=β−α= b ,a .

Đồ thị ( ) kS đượ c biểu diễn trên hình 3.12.

Hình 3.10Hình 3.11

I) α=0.5, β=2; II) α=1, β=1;

III) α=2, β=0.5

Hình 3.12

I) α=0.5, β=2; II) α=1, β=1;

III) α=2, β=0.5

Trong tr ườ ng hợ p này, ( ) 0≥k S vớ i mọi k ≥0 chỉ khi bất đẳng thức 22 3β>α hay β>α 3 đượ c

thoả mãn, và do đó, chỉ khi β>α 3 thì hàm Ru(l) mớ i có thể là hàm tươ ng quan của tr ườ ng ngẫu nhiên ba

chiều.

Như đã nêu trong mục 3.2, hàm ( ) βτσ=τ τα−cose R 2 vớ i mọi α>0 và β>0 có thể là hàm tươ ng

quan của quá trình ngẫu nhiên dừng (tr ườ ng đồng nhất). Hàm tươ ng quan của tr ườ ng ngẫu nhiên đồng nhất

đẳng hướ ng ba chiều (hoặc hai chiều) ( )l R khi thay thế l = τ luôn luôn có thể là hàm tươ ng quan của quátrình ngẫu nhiên dừng (tr ườ ng đồng nhất một chiều), vì tại tất cả mọi điểm của đườ ng thẳng y = z = 0,tr ườ ng đồng nhất đẳng hướ ng ba chiều là tr ườ ng đồng nhất một chiều.

Như đã nêu ở ví dụ cuối cùng, điều ngượ c lại sẽ không xảy ra, tức là nếu hàm ( )τ R là hàm tươ ng

quan của tr ườ ng đồng nhất một chiều thì không thể suy ra đượ c r ằng, một hàm, là hàm của khoảng cáchgiữa các điểm, có thể là hàm tươ ng quan của tr ườ ng hai hoặc ba chiều.



98

Chương 4

BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN DỪ NG

4.1. BIẾ N ĐỔI HÀM NGẪU NHIÊN BẰ NG TOÁN TỬ TUYẾ N TÍNHGiả sử hàm ( )t ϕ nhận đượ c từ hàm ( )t f bằng cách thực hiện một số phép toán nào đó và L là ký

hiệu qui ướ c các phép toán này, tức là L là qui tắc, theo đó hàm ( )t f biến đổi thành ( )t ϕ . Trong toán học,

ngườ i ta gọi qui tắc, theo nó một tậ p hàm đượ c ánh xạ sang một tậ p hợ p hàm khác, là toán tử. Ta sẽ nóir ằng, hàm ( )t ϕ là k ết quả tác dụng toán tử L lên hàm ( )t f , tức là

( ) ( ){ }t f Lt =ϕ . (4.1.1)

Trong k ỹ thuật vô tuyến và các ứng dụng k ỹ thuật khác, ngườ i ta thườ ng gọi hàm ( )t f là tác dụng lối

vào, hàm ( )t ϕ là tín hiệu ra, còn L là toán tử của hệ làm biến đổi tác dụng lối vào. Toán tử L đượ c gọi là

tuyến tính, nếu nó thoả mãn hai điều kiện sau:

1. ( ){ } ( ){ } x f cL xcf L = (4.1.2)

tức là k ết quả tác dụng toán tử lên tích của hàm ( )t f và một thừa số không đổi c bằng tích của thừa số đó

vớ i k ết quả tác dụng toán tử đó lên ( )t f .

2. ( ) ( ){ } ( ){ } ( ){ }t f Lt f Lt f t f L 2121 +=+ (4.1.3)

tức là k ết quả tác dụng toán tử lên tổng hai hàm bằng tổng k ết quả tác dụng toán tử lên mỗi hàm riêng biệt.

Toán tử không thoả mãn các điều kiện trên gọi là toán tử phi tuyến.

Ví dụ, toán tử vi phân là toán tử tuyến tính vì nó thoả mãn các đẳng thức

( ){ } ( ){ }t f

dt

d ct cf

dt

d 11 =

và

( ) ( ){ } ( ){ } ( ){ }t f dt

d t f

dt

d t f t f

dt

d 2121 +=+ .

Toán tử lấy tích phân là toán tử tuyến tính. Toán tử nhận đượ c khi tác dụng liên tiế p một số toán tử tuyến tính cũng là toán tử tuyến tính. Toán tử lấy k ỳ vọng toán học của hàm ngẫu nhiên là toán tử tuyếntính.

Ví dụ về toán tử phi tuyến là phép toán nâng lên luỹ thừa, toán tử lấy phươ ng sai hàm ngẫu nhiên.

Nếu hàm ngẫu nhiên ( )t Y là k ết quả tác dụng của một toán tử tuyến tính L bất k ỳ lên hàm ngẫu nhiên

( )t X có k ỳ vọng toán học ( )t m x

và hàm tươ ng quan ( )21

t ,t R x

, tức là

( ) ( ){ }t X Lt Y = (4.1.4)

thì

( ) ( ){ }t m Lt m x y = (4.1.5)

( ) ( ) ( ) ( ){ }212121 t ,t R L Lt ,t R x

t t y = (4.1.6)

ngh ĩ a là ( )t m y nhận đượ c bằng cách tác dụng toán tử L lên ( )t m x , ( )21 t ,t R y nhận đượ c bằng cách tác

dụng hai lần toán tử L lên hàm ( )21 t ,t R x , đầu tiên theo đối số thứ nhất t 1, sau đó theo đối số thứ hai t 2.

Thực vậy,

( ) ( ){ }[ ]t X L M t m y = (4.1.7)



99

Toán tử L tác dụng lên biến t , toán tử tìm k ỳ vọng toán học tiến hành lấy trung bình tung độ của hàmngẫu nhiên (khi cố định t ) theo tậ p hợ p tất cả các giá tr ị có thể của đại lượ ng ngẫu nhiên ( )t X , cũng là

toán tử tuyến tính. Vì vậy, có thể đổi chỗ tr ật tự tác dụng của các toán tử M và L cho nhau, tức là( ) ( )[ ]{ } ( ){ }t m Lt X M Lt m x y == , và điều đó đã chứng minh cho đẳng thức (4.1.5).

Tiế p theo

( ) ( ) ( ) ( ) ( )221121 t mt Y t mt Y M t ,t R y y y −−= =

( ) ( ){ } ( ) ( ){ }( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ){ }( )221121211 t m Lt X Lt m Lt X L M x

t t x

t t −−= =

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]{ }221121 t mt X t mt X L L M x x

t t −−= =

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ][ ]{ }221121 t mt X t mt X M L L x x

t t −−= =

( ) ( ) ( ){ }2121 t ,t R L L x

t t = .

Các công thức đã trình bày trong chươ ng 2 đối vớ i k ỳ vọng toán học và hàm tươ ng quan của đạo hàm

và tích phân của hàm ngẫu nhiên là các tr ườ ng hợ p riêng của (4.1.5) và (4.1.6).Việc biết ( )t D x là chưa đủ để nhận đượ c phươ ng sai ( )t D y của quá trình ngẫu nhiên ( )t Y . Tr ướ c hết

cần phải tìm hàm tươ ng quan ( )21 t ,t R y theo công thức (4.1.6), sau đó thế vào nó t 1 = t 2 = t .

Để tìm các đặc tr ưng của hàm ngẫu nhiên, là k ết quả tác dụng toán tử phi tuyến lên hàm ngẫunhiên ( )t X , thì biết ( )t m x và ( )21 t ,t R x cũng chưa đủ, vì trong tr ườ ng hợ p này, qui luật phân bố của hàm

( )t X đóng một vai trò quan tr ọng. Đối vớ i các toán tử phi tuyến, có thể nhận đượ c những k ết quả tươ ng

đối đơ n giản nhưng chỉ trong một số tr ườ ng hợ p riêng.

Trong tr ườ ng hợ p tác dụng toán tử tuyến tính lên hàm ( )t X có qui luật phân bố chuẩn, hàm ngẫu

nhiên ( ) ( ){ }t X Lt Y = cũng tuân theo qui luật phân bố chuẩn, bở i vì do tính chất tuyến tính của toán tử L,

hàm ( )t Y có thể chỉ nhận đượ c nhờ tổ hợ p tuyến tính của một số hữu hạn hoặc vô hạn các tung độ của

hàm ( )t X . Nhưng từ lý thuyết xác suất ta biết r ằng, tổ hợ p tuyến tính các đại lượ ng ngẫu nhiên phân bố

chuẩn phụ thuộc hoặc độc lậ p đều tuân theo qui luật phân bố chuẩn.

Do vậy, trong tr ườ ng hợ p ( )t X là hàm ngẫu nhiên tuân theo qui luật phân bố chuẩn, thì ( )t Y cũng

tuân theo qui luật phân bố chuẩn và các đặc tr ưng ( )t m y , ( )21 t ,t R y tìm đượ c hoàn toàn xác định nó.

Nếu X(t) không phải là hàm ngẫu nhiên phân bố chuẩn, thì Y(t) cũng sẽ không có cùng qui luật phân bố vớ i X(t). Qui luật phân bố chuẩn cũng sẽ không đượ c bảo toàn nếu toán tử L không tuyến tính.

4.2. BIẾ N ĐỔI TUYẾ N TÍNH DƯỚI DẠ NG PHỔ

Ta hãy biểu diễn phép biến đổi tuyến tính dướ i dạng phổ. Muốn vậy, ta sử dụng khái niệm hàm deltaDirac, một hàm đượ c sử dụng r ộng rãi trong toán học.

Hàm delta ( )t δ là hàm có các tính chất sau:

1) ( )⎩⎨⎧

=∞

≠=δ

0

00

t

t t (4.2.1)

tức là ( )t δ bằng không vớ i mọi giá tr ị t khác không, còn tại điểm t = 0 thì tăng lên vô hạn.

2) Tích phân hàm delta trên toàn miền vô hạn bằng đơ n vị

( ) 1=δ

∫

∞

∞−

dt t (4.2.2)



100

Hàm delta không phải là hàm theo ngh ĩ a thông thườ ng, mà là một hàm tượ ng tr ưng nào đó. Theongh ĩ a chính xác, hàm có các tính chất (4.2.1) và (4.2.2) không tồn tại. Tuy nhiên có thể xét hàm δ(t) theomột ngh ĩ a nào đó giống như giớ i hạn của hàm thông thườ ng.

Ta lấy hàm Gauss làm ví dụ

( ) 2

2

2

2

1 σ−

σπ=

t

et f ,

đối vớ i hàm này, hệ thức (4.2.2) đượ c thoả mãn.

Hình 4.1

Ta sẽ giảm đại lượ ng σ xuống, khi đó đồ thị của hàm sẽ nhọn hơ n (trong nguyên bản viết là đồ thị

giãn ra − ND) (hình 4.1), giá tr ị cực đại ( )σπ

=2

10 f sẽ tăng, còn miền giá tr ị khác không của hàm thu

hẹ p lại. Lấy giớ i hạn khi σ→ 0, ta nhận đượ c hàm có tính chất của hàm delta.

Sử dụng khái niệm giớ i hạn này có thể biểu diễn hàm delta dướ i dạng tích phân. Tươ ng ứng vớ i mục1.12, mật độ phân bố của đại lượ ng ngẫu nhiên phân bố chuẩn có thể đượ c biểu diễn như là phép biến đổi

ngượ c Fourier hàm đặc tr ưng của nó. Theo (1.12.25), hàm này có dạng ( ) 2

22σω−

=ω e g . Do tính chẵn của

hàm này nên ta có đẳng thức

∫∞

∞−

σω−ω−σ

−ω

π=

σπd eee t i

t

22

22

2

2

2

1

2

1(4.2.3)

Lấy giớ i hạn hai vế đẳng thức (4.2.3) khi σ → 0 ta nhận đượ c biểu diễn tích phân hàm delta

∫∞

∞−

ω− ωπ

=δ d e )t ( t i

2

1(4.2.4)

Nếu xét hàm delta của đối số t − τ , vớ i τ là một số xác định, thì

( )⎩⎨⎧ τ=∞ τ≠=τ−δ t

t t 0 (4.2.5)

( ) 1=τ−δ∫∞

∞−

dt t (4.2.6)

Đối vớ i mọi hàm ( )t f bất k ỳ liên tục tại t = τ , ta có đẳng thức

( ) ( ) ( )t f d t f =ττ−δτ∫∞

∞−

(4.2.7)

Điều này đượ c suy ra một cách đơ n giản như sau, mặc dù không thật chặt chẽ: Vì ( )τ−δ t khác 0 chỉ

khi t = τ , nên tích phân (4.2.7) khác 0 chỉ trong khoảng [ ]ε+ε− t ,t , vớ i ε > 0 bé tuỳ ý. Từ đó:



101

( ) ( ) ( ) ( )∫∫ε+

ε−

∞

∞−

ττ−δτ=ττ−δτt

t

d t f d t f

( ) ( ) ( ) ( ) ( )t f d t t f d t t f

t

t =ττ−δ=ττ−δ= ∫∫

∞

∞−

ε+

ε−

Ký hiệu ( )τ ,t g là k ết quả tác dụng toán tử tuyến tính L nào đó lên hàm delta ( )τ−δ t tại điểm τ cố

định

( ) ( ){ }τ−δ=τ t L ,t g . (4.2.8)

Nhờ hàm ( )τ ,t g này, ta sẽ biểu thị k ết quả tác dụng toán tử L đã cho lên hàm ( )t f bất k ỳ cho trên

đoạn [a,b].

Tác dụng toán tử tuyến tính L lên hai vế đẳng thức (4.2.7), ta đượ c

( ){ } ( ) ( )

∫τττ=

b

a

d f ,t g t f L (4.2.9)

Như vậy, hàm ( ) ( ){ }t f Lt =ϕ , là k ết quả tác dụng toán tử tuyến tính L lên hàm ( )t f , có thể đượ c biểu

diễn dướ i dạng

( ) ( ) ( )∫ τττ=ϕb

a

d f ,t g t (4.2.10)

Hàm ( )τ ,t g , là k ết quả tác dụng toán tử L lên hàm delta ( )τ−δ t , đượ c gọi là hàm tr ọng lượ ng.

(Trong k ỹ thuật vô tuyến ngườ i ta gọi nó là hàm chuyển xung).

Nếu hàm ( )t f đượ c cho trong khoảng vô hạn ( −∞ , +∞ ) thì có thể viết

( ) ( ) ( )∫∞

∞−

τττ=ϕ d f ,t g t (4.2.11)

Trong tr ườ ng hợ p riêng, nếu toán tử L là dừng thì hàm tr ọng lượ ng chỉ phụ thuộc vào hiệu t − τ. Khiđó có thể viết

( ) ( ) ( )∫∞

∞−

τττ−=ϕ d f t g t (4.2.12)

Tích phân (4.2.12) đượ c gọi là tích phân chậ p của hàm ( )t f và ( )t g .

Ký hiệu ( )ω f S và ( )ωϕS là biến đổi Fourier (mật độ phổ) tươ ng ứng của các hàm ( )t f và ( )t ϕ . Khi

đó ta có:

( ) ( )∫∞

∞−

ω ωω= d eS t f t i f (4.2.13)

( ) ( )∫∞

∞−

ωϕ ωω=ϕ d eS t t i (4.2.14)

Đặt các biểu thức trên vào (4.2.12), ta nhận đượ c

( ) ( ) ( )∫ ∫∫∞

∞−

∞

∞−

ωτ∞

∞−

ωϕ τ

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ωωτ−=ωω d d eS t g d eS i

f t i (4.2.15)

Thay đổi thứ tự lấy tích phân trong tích phân hai lớ p và làm phép đổi biến t − τ =τ1, ta đượ c



102

( ) ( ) ( )∫ ∫∫∞

∞−

∞

∞−

ωτ−ω∞

∞−

ωϕ ω

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ττω=ωω d d e g eS d eS

it i f

t i11

1 (4.2.16)

Ký hiệu ( )ωG là biến đổi Fourier (mật độ phổ) của hàm tr ọng lượ ng ( )t g

( ) ( )∫∞

∞−

ω−

π=ω dt et g G t i

2

1(4.2.17)

Tích phân trong móc vuông (4.2.16) bằng 2πG( ω ), từ đó có thể viết

( ) ( ) ( )[ ]∫∞

∞−

ωϕ =ωωπω−ω 02 d eG.S S t i

f (4.2.18)

Điều này chứng tỏ r ằng, biến đổi ngượ c Fourier hàm ( ) ( ) ( )ωπω−ωϕ G.S S f 2 bằng 0, và do đó

đẳng thức sau cần đượ c thoả mãn

( ) ( ) ( )ωπω=ωϕ G.S S f 2 . (4.2.19)

Hàm ( ) ( ) ( )∫∞

∞−

ω−=ωπ=ω dt et g G L t i2 (4.2.20)

đượ c gọi là hàm truyền của toán tử tuyến tính L. Từ đó có thể viết (4.2.19) dướ i dạng

( ) ( ) ( )ωω=ωϕ LS S f (4.2.21)

Như vậy, mật độ phổ ( )ωϕS , k ết quả của việc tác dụng toán tử tuyến tính L lên hàm ( )t f , bằng tích

mật độ phổ ( )ω f S của hàm ( )t f và hàm truyền ( )ω L của toán tử.

4.3 MẬT ĐỘ PHỔ CỦA PHÉP BIẾ N ĐỔI TUYẾ N TÍNH QUÁ TRÌNH NGẪU

NHIÊN DỪ NGBây giờ ta xét quá trình ngẫu nhiên dừng ( )t X có k ỳ vọng toán học bằng 0 và hàm tươ ng quan ( )t R x

cho tr ướ c. Và giả sử một quá trình ngẫu nhiên ( )t Y khác là k ết quả tác dụng toán tử tuyến tính dừng L lên

quá trình ngẫu nhiên ( )t X

( ) ( ){ }t X Lt Y = . (4.3.1)

Khi đó ta có thể biểu diễn quá trình ngẫu nhiên ( )t Y dướ i dạng

( ) ( ) ( )∫∞

∞−

τττ−= d X t g t Y (4.3.2)

vớ i ( )τ−t g là hàm tr ọng lượ ng.Thật vậy, mỗi thể hiện ( )t yi của quá trình ngẫu nhiên ( )t Y , k ết quả tác dụng toán tử L lên hàm

không ngẫu nhiên ( )t xi , là thể hiện tươ ng ứng của quá trình ngẫu nhiên ( )t X , và do đó đối vớ i chúng hệ

thức (4.3.2) là đúng, khi đó nó cũng đúng đối vớ i tậ p tất cả các thể hiện.

Trong tr ườ ng hợ p toán tử tuyến tính L đượ c cho dướ i hình thức một bộ biến đổi thực nào đó, thìnguyên tắc cần thoả mãn là khả năng thực hiện đượ c về mặt vật lý, mà theo đó phản ứng của bộ biến đổilên tác dụng lối vào không thể xuất hiện tr ướ c khi bắt đầu có tác động xảy ra, tức là hàm tr ọng lượ ng

( )τ−t g cần phải đồng nhất bằng 0 khi t < τ.

Xuất phát từ đó, đối vớ i bộ biến đổi thực, công thức (4.3.2) cần phải viết dướ i dạng



103

( ) ( ) ( )∫∞−

τττ−=t

d X t g t Y (4.3.3)

Thực hiện phép đổi biến t − τ =τ1 , ta đượ c

( ) ( ) ( )∫∞ ττ−τ=0

d t X g t Y (4.3.4)

vớ i ( ) 0=t g khi t < 0.

Ta xác định hàm tươ ng quan quá trình ngẫu nhiên ( )t Y .

( ) ( ) ( )[ ]== 2121 t Y t Y M t ,t y R

( ) ( ) ( ) ( ) =⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ττ−τ

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ττ−τ= ∫∫

∞∞

20

22210

111 d t X g d t X g M

( ) ( ) ( ) ( )[ ] =τ⎪⎭⎪⎬⎫

⎪⎩⎪⎨⎧ ττ−τ−ττ= ∫ ∫

∞ ∞

01

02221121 d d t X t X M g g

( ) ( ) ( ) 10

2121220

1 τττ+τ−−ττ= ∫∫∞∞

d d t t R g g x (4.3.5)

Từ đó thấy r ằng, hàm tươ ng quan ( )21 t ,t y R chỉ phụ thuộc vào hiệu t 2 − t 1 =τ , tức là ( )t Y là quá trình

ngẫu nhiên dừng theo ngh ĩ a r ộng.

( ) ( ) ( ) ( ) 10

21220

1 τττ+τ−τττ=τ ∫∫∞∞

d d R g g x x R (4.3.6)

Ta xác định mật độ phổ của quá trình ngẫu nhiên ( )tY

( ) ( ) =ττπ

=ω ∫∞

∞−

ωτ− d e R i y2

1 yS

( ) ( ) ( ) ττττ+τ−τττπ

= ∫∫∫∞∞∞

∞−

ωτ− d d d R g g e xi

012122

012

1(4.3.7)

Thay đổi thứ tự tích phân trong tích phân ba lớ p và làm phép đổi biến τ − τ2 + τ1 = t , ta nhận đượ ctích của ba tích phân một lớ p

( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫

∞

∞−ω−

∞

ωτ−

∞

ωτ ττττπ=ω dt et Rd e g d e g t i xii

022

011 21

2

1 yS . (4.3.8)

Khi đó thừa số ( ) ( )ω=π ∫

∞

∞−

ω− x

t i x S dt et R

2

1là mật độ phổ quá trình ngẫu nhiên ( )t X .

Tích phân ( ) ( )ωττ∫∞

ωτ− L=

022

2 d e g i là hàm truyền của toán tử L.

Vì hàm tr ọng lượ ng chỉ nhận các giá tr ị thực, nên tích phân ( ) ( )ωττ∫∞

ωτ * L=

011

1d e g i là đại lượ ng

liên hợ p phức của hàm truyền. Như vậy, công thức (4.3.8) có thể viết dướ i dạng:



104

( ) ( ) ( ) ( )ωωωω x y S* L L=S (4.3.9)

hay

( ) ( ) ( )ωωω x 2

y S L=S (4.3.10)

Do vậy, mật độ phổ của k ết quả biến đổi quá trình ngẫu nhiên dừng ( )t X nhờ toán tử tuyến tính dừng

L bằng tích mật độ phổ của quá trình ngẫu nhiên và bình phươ ng modul hàm truyền của toán tử.

4.4. NGHIỆM DỪ NG CỦA PHƯƠ NG TRÌNH VI PHÂN TUYẾ N TÍNH CÓ HỆ SỐ HẰ NG SỐ

Để làm ví dụ cho toán tử tuyến tính ta xét phươ ng trình vi phân tuyến tính có hệ số hằng số

( ) ( ) ( )( ) =++++

−

−

− t yadt

t dya.....

dt

t yd a

dt

t yd a

n

n

nn

n

n 011

1

1

( ) ( ) ( )

( )t xbdx

t dx

b.....dt

t xd

bdt

t xd

b m

m

mm

m

m 011

1

1 ++++= −

−

− (4.4.1)

Như đã biết từ lý thuyết phươ ng trình vi phân tuyến tính có vế phải, nghiệm tổng quát của phươ ngtrình (4.4.1) bằng tổng của nghiệm tổng quát )t ( y của phươ ng trình thuần nhất tươ ng ứng và một nghiệm

riêng bất k ỳ của phươ ng trình không thuần nhất. Nghiệm )t ( y xác định dao động tự do hay dao động

riêng của quá trình đang xét, không phụ thuộc vào hàm ( )t x . Trên thực tế thườ ng gặ p những quá trình ổn

định, trong đó dao động tự do tắt dần theo thờ i gian.

Nếu xét một thờ i điểm khá xa so vớ i thờ i điểm ban đầu, khi các dao động tự do trên thực tế khôngcòn tồn tại, ta có thể đặt )t ( y = 0. Khi đó, bài toán dẫn tớ i việc tìm dao động cưỡ ng bức ( )t y gây nên bở i

( )t x . Ngườ i ta gọi quá trình như vậy là ổn định để phân biệt vớ i quá trình chuyển tiế p mà ở đó còn tồn tại

dao động tự do.Ta ký hiệu toán tử vi phân bằng chữ cái p, tức là

n

nn

dt

d p....., ,

dt

d p ,

dt

d p ===

2

22 . (4.4.2)

Khi đó có thể viết phươ ng trình (4.4.1) dướ i dạng ký hiệu

( ) ( ) =++++ −− t ya pa... pa pa o

nn

nn 1

11

( ) ( )t xb pb... pb pb om

mm

m ++++= −− 1

11 (4.4.3)

Đặt

( ) p Aa pa... pa pa nonnnn =++++ −− 111

( ) p Bb pb... pb pb mom

mm

m =++++ −− 1

11 (4.4.4)

ta có thể viết (4.4.3) dướ i dạng ký hiệu gọn hơ n

( )( )( )

( )t x p A

p Bt y

n

m= (4.4.5)

Biểu thức ) p( A

) p( B

n

m là toán tử phươ ng trình vi phân (4.4.1) đượ c viết dướ i dạng ký hiệu. Có thể nói

r ằng hàm ( )t y là k ết quả tác dụng toán tử đó lên hàm ( )t x . Vì phươ ng trình vi phân tuyến tính có hệ số

không đổi thoả mãn nguyên lý chồng chất, tức là nếu ( )t x là tổng của một số hàm thì nghiệm ( )t y bằng



105

tổng các nghiệm của mỗi hạng tử riêng r ẽ, nên toán tử đang xét là tuyến tính. Và khi đó, từ những điều đãtrình bày ở mục 4.2, có thể tìm nghiệm ( )t y , k ết quả của việc tác dụng toán tử tuyến tính (4.4.5) lên hàm

( )t x , theo công thức (4.2.12) dướ i dạng:

( ) ( ) ( )∫∞

∞−τττ−= d xt g t y , (4.4.6)

nếu biết tr ướ c hàm tr ọng lượ ng ( )τ−t g , là nghiệm của phươ ng trình vi phân (4.4.1), trong đó hàm delta

( )τ−δ t đóng vai trò là ( )t x .

Như vậy, để tìm nghiệm ( )t y của phươ ng trình (4.4.1) cần tìm nghiệm của phươ ng trình:

( )( )( )

( )τ−δ=τ− t p A

p Bt g

n

m (4.4.7)

đối vớ i mọi giá tr ị t khi τ cố định và đặt hàm ( )τ−t g tìm đượ c vào (4.4.6).

Thuận tiện hơ n sẽ tìm nghiệm ( )t y dướ i dạng phổ khi sử dụng công thức liên hệ (4.2.21) giữa mật độ

phổ của các hàm ( )t x và ( )t y . Khi đó cần phải tìm hàm truyền ( )ω L của toán tử ) p( A

) p( B

n

m .

Để tìm hàm truyền ( )ω L , ta xem ( )t x là dao động điều hoà

( ) t iet x ω= (4.4.8)

Khi đó, theo (4.4.6), nghiệm ( )t y đượ c viết dướ i dạng

( ) ( ) ( ) ( ) =ττ=ττ−= ∫∫∞

∞−

τ−ω∞

∞−

ωτ d e g d et g t y t ii

( ) ( )ω=ττ= ω

∞

∞−

ωτ−ω ∫ Led e g e t iit i (4.4.9)

Ta thay (4.4.8) và (4.4.9) vào (4.4.1).

Vì :

( ) t ik t i

k

k

eiedt

d ωω ω= (4.4.10)

( )[ ] ( ) ( ) t ik t i

k

k

e Li Ledt

d ωω ωω=ω (4.4.11)

nên ta có :

( ) ( ) ( ) ( ) =ω+ω++ω+ω ω−−

t io

nn

nn e Laia...iaia 1

11

( ) ( ) ( ) t io

mm

mm ebib...ibib ω−

− +ω++ω+ω= 11

1 (4.4.12)

Từ đó ta nhận đượ c biểu thức đối vớ i hàm truyền

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 01

11

011

1

aia...iaia

bib...ibib L

nn

nn

mm

mm

+ω++ω+ω

+ω++ω+ω=ω

−−

−− (4.4.13)

Khi sử dụng ký hiệu (4.4.4) có thể viết

( )( )( )ω

ω=ω

i A

i B L

n

m (4.4.14)



106

Như vậy, để xác định hàm truyền, thay cho toán tử vi phân p, cần phải đặt vào toán tử phươ ng trình vi phân đại lượ ng iω.

Khi thay biểu thức tìm đượ c của hàm truyền vào (4.2.21), ta nhận đượ c biểu thức đối vớ i mật độ phổ ( )ω yS của nghiệm phươ ng trình vi phân

( )( )( )

( )ωωω

=ω xn

m y S

i A

i BS (4.4.15)

trong đó ( )ω xS là mật độ phổ của hàm ( )t x .

Bây giờ ta xét tr ườ ng hợ p khi ( )t x trong phươ ng trình (4.1.4) là quá trình ngẫu nhiên dừng ( )t X có

k ỳ vọng toán học bằng 0 và hàm tươ ng quan là ( )τ x R . Ta sẽ xác định hàm tươ ng quan của quá trình ngẫu

nhiên ( )t Y là nghiệm của phươ ng trình (4.4.1).

Vì Y(t) là k ết quả tác dụng toán tử tuyến tính ) p( A

) p( B

n

m lên hàm ngẫu nhiên dừng ( )t X , nên từ những

điều đã trình bày trong mục 4.3, ( )t Y cũng là hàm ngẫu nhiên dừng. Khi đó, giữa mật độ phổ của các hàmngẫu nhiên ( )t X và ( )t Y , xảy ra hệ thức (4.3.10).

Đặt giá tr ị tìm đượ c của hàm truyền của phươ ng trình vi phân (4.4.14) vào (4.3.10) ta đượ c

( )( )( )

( )ωωω

=ω xn

m y S

i A

i BS

2

. (4.4.16)

Khi biết mật độ phổ ( )ω yS , ta có thể tìm đượ c hàm tươ ng quan ( )τ y R của hàm ngẫu nhiên ( )tY

theo công thức

( ) ( )

∫

∞

∞−

ωτ ωω=τ d eS R i

y y

(4.4.17)

Các ví d ụ :

1. Vớ i những giả thiết nhất định, chuyển động một chiều (hình chiếu trên tr ục cho tr ướ c) trong mặt phẳng ngang của phần tử trong dòng khí có thể đượ c mô tả bở i phươ ng trình

( )( ) ( )t F t bv

dt

t dvm =+ (4.4.18)

ở đây ( )t v là hình chiếu của xung vận tốc phần tử trên tr ục đã cho, còn ( )t F là hình chiếu của lực tác

động lên phần tử do ảnh hưở ng của r ối khí quyển, thành phần ( )t bv đặc tr ưng cho lực ma sát.

Nếu chia (4.4.18) cho khối lượ ng phần tử m, thì phươ ng trình đượ c viết dướ i dạng

( )( ) ( )t F t v

dt

t dv1=α+ (4.4.19)

Phươ ng trình (4.4.19) là phươ ng trình Lanjeven.

Ta sẽ cho r ằng lực ( )t F 1 là hàm ngẫu nhiên dừng của thờ i gian mà mật độ phổ của nó ( )ω f S có thể

nhận giá tr ị hằng số, tức là "ồn tr ắng".

( ) const cS f ==ω (4.4.20)



107

Như ta đã chỉ ra (xem mục 3.2, ví dụ 1), mật độ phổ không thể hằng số trên toàn dải tần số, vì nếuvậy phươ ng sai của quá trình ngẫu nhiên tr ở nên vô hạn. Giả thiết r ằng mật độ phổ có dạng đườ ng cong(hình 4.2) ít thay đổi trong một khoảng [− T, T ] nào đó và một cách gần đúng có thể xem nó là hằng số.

Khi tần số ω tiến đến vô hạn, ( )ωS tiến đến 0 r ất nhanh, đảm bảo tính hội tụ của tích phân

( )∫∞

∞−

ωω d S .

Hình 4.2

Ta tìm hàm tươ ng quan của quá trình ngẫu nhiên ( )t V , là nghiệm của phươ ng trình (4.4.9) ở chế độ ổn định.

Muốn vậy, ta xác định hàm truyền của phươ ng trình (4.4.9) khi viết nó dướ i dạng ký hiệu

( ) ( )t F p

t V 11

α+= . (4.4.21)

Đối vớ i phươ ng trình (4.4.21), hàm truyền đượ c viết dướ i dạng

( )α+ω

=ωi

L1

. (4.4.22)

Từ đó ta nhận đượ c mật độ phổ S v( ω ) của nghiệm V(t) dướ i dạng

( ) ( )ωα+ω

=ω f v S i

S

21

(4.4.23)

hay

( )22 α+ω

=ωc

S v . (4.4.24)

Từ công thức (4.4.24) thấy r ằng, ( )ωvS giảm khi ω tăng, và dải tần số lớ n, ở đó tr ị số ( )ω f S khác

giá tr ị c mà ta đã thừa nhận, điều này không quan tr ọng.

Khi biết mật độ phổ ( )ωvS ta có thể tìm đượ c hàm tươ ng quan ( )τv R .Trong ví dụ 1, mục 3.2 ta đã thấy r ằng mật độ phổ

( )( )22

2

α+ωπ

ασ=ωS

tươ ng ứng vớ i hàm tươ ng quan

( ) τα−σ=τ e R 2

So sánh vớ i (4.4.24) ta thấy c=π

ασ 2

, từ đóα

π=σ

c2 , ta nhận đượ c hàm tươ ng quan của nghiệm

phươ ng trình (4.4.19) dướ i dạng



108

( ) τα−

απ

=τ ec

Rv (4.4.25)

Trong mục 2.9, ta đã chứng tỏ r ằng quá trình ngẫu nhiên có hàm tươ ng quan dạng (4.4.25) là khôngkhả vi cho nên cần làm chính xác ý ngh ĩ a của phươ ng trình (4.4.19). Tính không khả vi của quá trình ( )t V

là hệ quả của việc do ta nhận ( )t F là "ồn tr ắng" có mật độ phổ không đổi.

Trong tr ườ ng hợ p này, cách giải chính xác hơ n là xét nghiệm phươ ng trình (4.4.19) như là giớ i hạncủa một dãy nghiệm nào đó của phươ ng trình này vớ i vế phải dừng mà mật độ phổ của chúng tiến đến mộthằng số.

2. Ta xét nghiệm dừng của phươ ng trình vi phân

( ) ( )( ) ( )t F t yk

dt

t dy

dt

t yd =+α+ 2

2

2

2 (4.4.26)

Phươ ng trình dạng (4.4.26) mô tả nhiều quá trình dao động vật lý. Đặc biệt, phươ ng trình (4.4.26) mô

tả chuyển động Brown của các phần tử. Trong tr ườ ng hợ p này ( )t y là tọa độ phần tử tại thờ i điểm t ;

dt

dyα2 là ma sát nhớ t, gây nên sự cản tr ở chuyển động của phần tử, α>0; yk 2 − lực đàn hồi; ( )t F − lực

xáo tr ộn đượ c xác định bở i sự dao động của số lượ ng các va chạm phân tử.

Giả sử r ằng, lực ( )t F là quá trình ngẫu nhiên dừng có mật độ phổ không đổi ( ) cS f =ω . Theo

(4.4.14), hàm truyền của phươ ng trình (4.4.26) có dạng

( )( ) αω+ω−

=+ωα+ω

=ωik k ii

L2

1

2

12222

(4.4.27)

Theo (4.4.16), mật độ phổ của quá trình ngẫu nhiên dừng ( )t Y , nghiệm của phươ ng trình (4.4.26),

đượ c xác định dướ i dạng

( )( ) ( )2222

2

2222

1

αω+ω−=

αω+ω−=ω

k

cc

ik S y (4.4.28)

Bằng cách ký hiệu

πασ

=β+α=22

222 2 k c ,k (4.4.29)

có thể viết biểu thức (4.4.28) dướ i dạng

( ) 222222

222

4

2

ωα+β−α−ω

β+α

π

ασ=ω )( S y (4.4.30)

Mật độ phổ này (như đã chỉ ra trong mục 3.2, ví dụ 5) tươ ng ứng vớ i hàm tươ ng quan

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ τβ

βα

+βτσ=τ τα− sincose )( R y

2 . (4.4.31)

Từ (4.4.29), biểu diễn β và σ qua các hệ số của phươ ng trình

22 α−=β k ,2

2

2 k

c

α

π=σ , (4.4.32)

ta viết hàm tươ ng quan (4.4.31) dướ i dạng



109

( )22 k

c R y

α

π=τ

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ τα−

α−

α+τα−τα− 22

22

22 k sink

k cose (4.4.33)

Quá trình ngẫu nhiên ( )t Y có hàm tươ ng quan dạng (4.4.31) là khả vi. Tuy nhiên có thể chỉ ra r ằng

nó không tồn tại đạo hàm bậc hai. Vì vậy, cần xét nghiệm của phươ ng trình (4.4.26) theo cách như đã chỉ ra đối vớ i phươ ng trình (4.4.19).



110

Chương 5

NỘI NGOẠI SUY VÀ LÀM TR Ơ N HÀM NGẪU NHIÊN

5.1. ĐẶT BÀI TOÁNTa hãy xét một vài bài toán thườ ng gặ p trong khí tượ ng thuỷ văn.

1. N goại suy

Giả sử có một thể hiện x(t) của quá trình ngẫu nhiên X(t) trên khoảng biến đổi nào đó của tham số [a,t ] xảy ra tr ướ c thờ i điểm t. Giả thiết r ằng đã biết các đặc tr ưng của quá trình ngẫu nhiên X(t) gồm k ỳ vọng toán học và hàm tươ ng quan của nó. Yêu cầu dự báo giá tr ị x(t+T) của thể hiện này tại thờ i điểm tiế ptheo t+T nào đó, T>0. Ngườ i ta gọi đại lượ ng T là lượ ng ngắm đón.

Bài toán này đượ c gọi là bài toán ngoại suy quá trình ngẫu nhiên. Do giả thiết r ằng thể hiện x(t) đượ cxác định chính xác, không có sai số đo, nên bài toán này đượ c gọi là bài toán ngoại suy thuần tuý.

2. Làm tr ơ n Giả sử thể hiện x(t) của quá trình ngẫu nhiên X(t) đượ c xác định nhờ k ết quả thực nghiệm, trên

khoảng biến đổi [a,t ] của tham số t , vớ i sai số y(t) là thể hiện của quá trình ngẫu nhiên Y(t), tức là do thựcnghiệm ta nhận đượ c thể hiện z(t) = x(t) + y(t), vớ i x(t) là giá tr ị thực của thể hiện, y(t) là sai số đo. Giả thiết r ằng đã biết các đặc tr ưng của các quá trình ngẫu nhiên X(t) và Y(t), như k ỳ vọng toán học, hàm tươ ngquan và hàm tươ ng quan quan hệ. Yêu cầu xác định giá tr ị thực của thể hiện x(t) tại thờ i điểm t nào đó, cóngh ĩ a là tách nó ra khỏi sai số đo.

Bài toán này gọi là bài toán làm tr ơ n (lọc) quá trình ngẫu nhiên. Nó xuất hiện, chẳng hạn, khi tách cáctín hiệu hữu ích trên nền nhiễu trong k ỹ thuật vô tuyến, trong đó ngườ i ta gọi giá tr ị thực là các tín hiệuhữu ích, còn sai số làm méo tín hiệu đượ c gọi là nhiễu hay ồn.

Trong khí tượ ng thuỷ văn, bài toán này nảy sinh về cơ bản giống như bài toán loại bỏ sai số đo khichỉnh lý các số liệu thực nghiệm. Khi đó, có sự khác nhau cơ bản giữa bài toán làm tr ơ n số liệu thựcnghiệm và bài toán tách tín hiệu trong k ỹ thuật vô tuyến. Trong k ỹ thuật vô tuyến, và nói chung, trong lýthuyết hệ điều khiển tự động, ngườ i ta giả thiết r ằng, nếu tín hiệu đi qua một thiết bị đượ c sử dụng để làmtr ơ n tín hiệu thì ở thờ i điểm t nào đó, chỉ có những giá tr ị của tín hiệu tr ướ c thờ i điểm này đi qua, màkhông thể tính đến những giá tr ị về sau của nó. Vấn đề ở chỗ cái gọi là nguyên lý “nhân quả” về mặt vật lýcủa hệ. Khi đó, để nhận đượ c giá tr ị x(t) phải tiến hành làm tr ơ n thể hiện z(t) trên khoảng [a,t ] nào đó xảyra tr ướ c thờ i điểm này.

Khi làm tr ơ n các số liệu thực nghiệm bằng cách tiến hành tính toán thuần tuý, không sử dụng cácthiết bị vật lý, chúng ta sẽ không bị phụ thuộc vào các điều kiện này và có thể sử dụng tất cả các giá tr ị củathể hiện z(t) đã có để làm tr ơ n, tức là giá tr ị cần tìm x(t) tại thờ i điểm t có thể đượ c xác định bằng cách làmtr ơ n các giá tr ị của thể hiện z(t) trên toàn đoạn [a,b].

3. N goại suy có làm tr ơ n

Bài toán ngoại suy gắn liền chặt chẽ vớ i việc làm tr ơ n vì trên thực tế, ta luôn luôn nhận đượ c thể hiệncủa quá trình ngẫu nhiên mà ta quan tâm có chứa cả sai số đo trong đó. Khi đó, bài toán ngoại suy quátrình ngẫu nhiên là ở chỗ vớ i thể hiện đã có trên đoạn [a,t ]

y(t) x(t) z(t) +=

phải dự báo đượ c giá tr ị của thể hiện x(t) tại thờ i điểm 0T T,t >+ . Bài toán này đượ c gọi là bài toán

ngoại suy có làm tr ơ n. Khi 0T < thì bài toán gọi là nội suy có làm tr ơ n.

Trên thực tế, bài toán nội suy thườ ng xuất hiện trong các tr ườ ng hợ p giá tr ị thực nghiệm của thể hiện

z(t) của quá trình ngẫu nhiên đượ c cho thành một chuỗi những giá tr ị r ờ i r ạc của đối số



111

t ,...,t ,t n 21 trong khoảng [a,b] nào đó, và yêu cầu xác định giá tr ị của thể hiện x(t) tại các thờ i điểm

trong khoảng này. Khi không có sai số đo y(t) , nó đượ c gọi là bài toán nội suy thuần tuý, khi có sai số đo

thì đó là bài toán nội suy có làm tr ơ n.

Khi nội suy các số liệu thực nghiệm bằng cách tiến hành tính toán thuần tuý, ta cũng có thể sử dụngtất cả các giá tr ị đã cho của thể hiện z(t) , cả tr ướ c và sau thờ i điểm t .

Có thể xét các bài toán nội, ngoại suy và làm tr ơ n như một bài toán chung, xác định giá tr ị thực củathể hiện x(t) tại giá tr ị tham số t o nào đó theo các giá tr ị đã biết của thể hiện y(t) x(t) z(t) += trên khoảng

[a,b] nào đó.

Phát biểu toán học của bài toán ngoại suy (nội suy) và làm tr ơ n như sau. Cho biết thể hiện

y(t) x(t) z(t) += (5.1.1)

trên khoảng biến đổi của tham số [a,b] nào đó, ( )t x và ( )t y là thể hiện của các quá trình ngẫu nhiên ( )t X

và ( )t Y có các k ỳ vọng toán học, hàm tươ ng quan, hàm tươ ng quan quan hệ cho tr ướ c. Ta sẽ cho r ằng, k ỳ

vọng toán học ( )t m x và ( )t m y bằng 0. (Trong tr ườ ng hợ p ngượ c lại ta sẽ xét các quá trình ngẫu nhiên qui

tâm tươ ng ứng).

Yêu cầu xác định giá tr ị ( )ot x cuả thể hiện ( )t x tại thờ i điểm t 0. Đối vớ i tr ườ ng hợ p ngoại suy

T bto += , vớ i 0T > .

Tươ ng tự, t 0 = b cho tr ườ ng hợ p làm tr ơ n.

Vì ta đang xét hàm ngẫu nhiên nên điều ta quan tâm là tìm phươ ng pháp giải bài toán sao cho nhậnđượ c k ết quả tốt nhất từ tậ p hợ p tất cả các thể hiện theo ngh ĩ a nào đó, tức là tìm một toán tử sao cho khi tácdụng lên tậ p các thể hiện ( )t z sẽ cho giá tr ị tốt nhất của thể hiện ( )ot x theo ngh ĩ a nào đó.

Nếu ký hiệu toán tử cần tìm là L, ta có thể viết

( ){ } t Z L ) X(t

o= (5.1.2)

hay

( ) ( ){ } t X L ) X(to t Y += (5.1.3)

Tr ướ c hết, cần xác định tiêu chuẩn chất lượ ng của nghiệm bài toán đặt ra là gì. Trong khuôn khổ lýthuyết xác suất chỉ có thể đánh giá chất lượ ng của toán tử trên phươ ng diện thống kê − trung bình theo toàn bộ tậ p thể hiện có thể của hàm ngẫu nhiên.

Ký hiệu δ là hiệu giữa giá tr ị thực X(t o ) và giá tr ị nhận đượ c theo công thức (5.1.2),

( ) ( ){ }t Z Lt X o −=δ (5.1.4)

Có thể gọi toán tử L là tốt nhất nếu nó làm cho giá tr ị trung bình của một hàm đượ c chọn nào đó của

hiệu δ tr ở nên cực tiểu, ví dụ như k ỳ vọng toán học của modul hiệu.Thuận tiện hơ n, từ quan điểm toán học, tiêu chuẩn chất lượ ng là làm cực tiểu k ỳ vọng toán học của

bình phươ ng hiệu

( ) ( ){ }[ ] 22 t Z Lt X M M o −=δ (5.1.5)

Ta sẽ gọi toán tử L là tối ưu nếu nó làm cho biểu thức (5.1.5) tr ở thành cực tiểu, và công thức (5.1.2)tươ ng ứng vớ i nó là công thức ngoại suy (nội suy) hoặc làm tr ơ n tối ưu.

Trên thực tế hiện nay, ta thừa nhận lờ i giải của bài toán đã nêu khi có những giớ i hạn sau mà chúng tasẽ còn tiế p tục xét sau này:

1) Toán tử L là tuyến tính và dừng, tức không phụ thuộc vào đối số t ;

2) Các quá trình ngẫu nhiên ( )t X và ( )tY là dừng và liên hệ dừng;



112

Vớ i các giả thiết đã nêu, bài toán đang xét đượ c gọi là bài toán nội, ngoại suy và làm tr ơ n tuyến tínhtối ưu quá trình ngẫu nhiên dừng. Lần đầu tiên bài toán này đượ c A. N. Komogorov [10] đề xuất và giảiquyết. Tư tưở ng đó đượ c phát triển tiế p trong công trình của N. Viner [32].

Phươ ng pháp giải bài toán đã nêu phụ thuộc vào khoảng mà trên đó thể hiện ( )t z đượ c cho là vô hạn

hay hữu hạn.

Ta sẽ xét từng tr ườ ng hợ p riêng biệt, trong đó, đối vớ i tr ườ ng hợ p khoảng hữu hạn, ta sẽ xem r ằng thể hiện đượ c cho tại một số hữu hạn các giá tr ị r ờ i r ạc của tham số t. Điều này thườ ng xuyên xảy ra trong thựctế đo đạc khí tượ ng thuỷ văn.

5.2. NỘI, NGOẠI SUY TUYẾ N TÍNH TỐI Ư U VÀ LÀM TR Ơ N HÀM NGẪU NHIÊN CHO TRÊN MỘT SỐ ĐIỂM HỮ U HẠ N

Ta bắt đầu xét từ tr ườ ng hợ p khi đã biết chỉ một số hữu hạn giá tr ị của thể hiện cuả quá trình ngẫunhiên dừng, tức là biết các giá tr ị của thể hiện z(t) tại các thờ i điểm t 1 , t 2 ,..., t n ( t 1 < t 2 < ... < t n ).

Nếu xem các giá tr ị này là k ết quả đo đạc có chứa sai số, ta có thể viết

n.1,2,..., k ), y(t ) x(t ) z(t k k k =+= (5.2.1)

Ở đây x(t k ) là giá tr ị thực của thể hiện tại thờ i điểm t k còn y(t k ) là sai số đo. Ta sẽ xem các quá trìnhngẫu nhiên X(t) và Y(t) là dừng và liên hệ dừng, còn các đặc tr ưng của chúng, như k ỳ vọng toán học, hàmtươ ng quan và hàm tươ ng quan quan hệ là đã biết.

Không làm mất tính tổng quát, có thể cho k ỳ vọng toán học bằng 0 khi chuyển về xét các hàm quitâm tươ ng ứng.

Có thể viết giá tr ị cần tìm x(t 0 ), k ết quả của việc tác dụng toán tử tuyến tính lên tất cả các giá tr ị z(t k ), dướ i dạng tổ hợ p tuyến tính

( ) ( )∑= α=

n

k k k t zt x

10 (5.2.2)

trong đó αk là các hệ số hằng số.

Bài toán dẫn đến việc tìm giá tr ị của các hệ số α1, α2,..., αn sao cho đại lượ ng

( ) ( ) ( )⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡α−=ααασ ∑

=

2

1021

2k

n

k k nn t Z t X M ..., , (5.2.3)

nhận giá tr ị nhỏ nhất.

Như đã biết, điều kiện cần để cực tiểu hàm n biến là các đạo hàm riêng theo từng biến phải bằng

không.Từ đó suy ra r ằng α1, α2,..., αn phải là nghiệm của hệ phươ ng trình

( ).n ,..., ,k ,

..., ,

k

nn 210212

==∂α

ααα∂σ(5.2.4)

Ta biến đổi biểu thức (5.2.3)

( ) ( ) ( ) ( )[ ] =⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+α−=ααασ ∑

=

2

1021

2n

k k k k nn t Y t X t X M ..., ,

( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]{ }++α−= ∑=

n

k k ok ok t Y t X M t X t X M t X M 10

2

2



113

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]{∑∑= =

++αα+n

k

n

j jk jk jk t Y t X M t X t X M

1 1

( ) ( ) =++ jk jk t Y t Y M t X t Y M

( ) ( ) ( )[ ]+−+−α−= ∑=

n

k k o xyk o xk x t t Rt t R R

1

20

( ) ( )[∑∑= =

+−+−αα+n

k

n

j

k j yk j x jk t t Rt t R1 1

k j yxk j xy t t Rt t R −+−+ (5.2.5)

Lấy đạo hàm riêng vế phải (5.2.5) theo αk và đồng nhất bằng 0, ta nhận đượ c hệ phươ ng trình:

( ) ( ) +−+−− k o xyk o x t t Rt t R

( ) ( ) ( ) ( )][ 01

=−+−+−+−α+ ∑=

n

jk j yxk j xyk j yk j x j t t Rt t Rt t Rt t R , (5.2.6)

.n ,..., ,k 21=

Đổi dấu, ta nhận đượ c hệ để xác định các hệ số α k

( ) ( ) −−+− k o xyk o x t t Rt t R

( ) ( ) ( ) ( )[ ] 01

=−+−+−+−α− ∑=

n

jk j yxk j xyk j yk j x j t t Rt t Rt t Rt t R , (5.2.7)

.n ,..., ,k 21=

Điều kiện (5.2.7) là điều kiện cần để hàm ( )nn ,..., , ααασ 21

2

đạt cực tr ị. Có thể chứng minh r ằng vớ icác giá tr ị n ,..., , ααα 21 là nghiệm của hệ (5.2.7) thì hàm (5.2.3) thật sự đạt giá tr ị nhỏ nhất, có ngh ĩ a là

điều kiện (5.2.7) cũng là điều kiện đủ.

Như vậy về nguyên tắc, bài toán nội, ngoại suy tuyến tính hoặc làm tr ơ n trong tr ườ ng hợ p đang xétđượ c đưa về việc giải hệ phươ ng trình (5.2.7) để tìm các giá tr ị n ,..., , ααα 21 và đặt vào công thức (5.2.2).

Để tính đượ c sai số bình phươ ng trung bình ) ,..., ,( nn ααασ 212 của phép nội, ngoại suy tối ưu hay

làm tr ơ n, khi đã tìm đượ c các giá tr ị n ,..., , ααα 21 ta nhân từng hạng tử của (5.2.7) vớ i αk và cộng các k ết

quả lại, ta đượ c

[ ]=−+−+−+−αα∑ ∑= =

n

k

n

j

k j yxk j xyk j yk j x jk )t t ( R )t t ( R )t t ( R )t t ( R

1 1

( ) ( )[ ]∑=

−+−α=n

k

k xyk xk t t Rt t R1

00 (5.2.8)

Thế vào (5.2.5) ta nhận đượ c

( ) ( ) ( ) ( )[ ]∑=

−+−α−=ααασn

k

k xyk xk xnn t t Rt t R R..., ,1

00212 0 (5.2.9)

Khi số giá tr ị quan tr ắc của thể hiện ( )t z lớ n, tức là khi số điểm n lớ n, bài toán dẫn đến việc giải hệ

(5.2.7) vớ i số phươ ng trình lớ n, điều đó tr ở nên r ất khó khăn, thậm chí ngay cả khi sử dụng máy tính điệntử. Trong tr ườ ng hợ p này, thông thườ ng để thuận tiện hơ n, một cách gần đúng xem r ằng thể hiện ( )t z



114

đượ c cho tại mọi giá tr ị của đối số t xảy ra tr ướ c thờ i điểm t 0 và sử dụng phươ ng pháp đượ c trình bày trongmục 5.3.

Ta xét các tr ườ ng hợ p riêng của bài toán tổng quát đã nêu.

1. Không có sai số đ o. N ội ngoại suy thuần tuý :Trong tr ườ ng hợ p riêng, khi ( ) ( )k k t xt z = là các giá tr ị chính xác của thể hiện ( )t x đượ c xác định

không chứa sai số, tức là khi ( ) 0≡k t y , và do đó

0≡τ≡τ )( R )( R xy y (5.2.10)

hệ (5.2.7) đượ c viết dướ i dạng

n ,... ,k , )t t ( R )t t ( R k j x

n

j jk x 210

10 ==−α−− ∑

=

(5.2.11)

Vì hàm tươ ng quan là xác định dươ ng nên định thức của hệ (5.2.11) khác không, và do đó hệ luônluôn có nghiệm. Sai số bình phươ ng trung bình của phép ngoại suy tối ưu trong tr ườ ng hợ p này đượ c xácđịnh bằng cách đặt các giá tr ị α1, α2, ..., αn tìm đượ c vào công thức :

),t t ( R )( R ) ,.... ,( k x

n

k

k xnn −α−=ααασ ∑=

01

212 0 (5.2.12)

Công thức này cũng nhận đượ c từ (5.2.9) khi cho ( ) 0≡τ xy R .

Sử dụng (5.2.8) và điều kiện (5.2.10), ta có thể nhận đượ c biểu thức sai số bình phươ ng trung bìnhdướ i dạng khác

).t t ( R )( R ) ,.... ,( k j x

n

k j

n

jk xnn −αα−=ααασ ∑∑

= =1 121

2 0 (5.2.13)

Vì hàm tươ ng quan ( )τ x R là xác định dươ ng nên dạng toàn phươ ng trong biểu thức (5.2.13) không

âm

01 1

≥−αα∑∑= =

)t t ( R k j x

n

k j

n

jk (5.2.14)

Do đó, sai số bình phươ ng trung bình của phép ngoại suy tối ưu không vượ t quá phươ ng sai của hàmngẫu nhiên ( )t X .

Để làm thướ c đo sai số nội, ngoại suy, thuận tiện hơ n là sử dụng đại lượ ng vô thứ nguyên ε n , bằng tỷ

số của sai số trung bình bình phươ ng 2nσ và phươ ng sai của hàm ngẫu nhiên ( )0 x x R D = ,

),t t ( r D

k xn

k k

x

nn −α−=σ=ε ∑

=0

1

2 1 (5.2.15)

trong đó ( )t r x là hàm tươ ng quan chuẩn hoá của hàm ngẫu nhiên ( )t X . Các hệ số αk nhận đượ c theo

phươ ng pháp nội, ngoại suy tối ưu là các tr ọng số thể hiện phần đóng góp của các giá tr ị ( )k t x vào tổng

(5.2.2).

Các tr ọng số này phụ thuộc vào mức độ quan hệ giữa các giá tr ị ( )k t x vớ i nhau và mức độ quan hệ

của chúng vớ i giá tr ị đượ c xấ p xỉ ( )ot x .

Ta xét một vài tr ườ ng hợ p giớ i hạn.



115

a) Giả sử lát cắt ( )ot X của quá trình ngẫu nhiên, trên thực tế, không liên hệ vớ i các lát cắt của nó tại

các thờ i điểm t k , tức là có thể xem

. )t t ( R k x 00 =− (5.2.16)

Khi ngoại suy, điều đó sẽ xảy ra trong tr ườ ng hợ p nếu lượ ng ngắm đón T đượ c chọn lớ n đến mức saocho lát cắt của quá trình ngẫu nhiên tại thờ i điểm t 0 = t n + T không liên hệ vớ i các lát cắt của nó tại các thờ iđiểm t k . Trong tr ườ ng hợ p này hệ (5.2.11) đượ c viết dướ i dạng

.n ,.... ,k , )t t ( R k j

n

j x j 210

0

==−α∑=

(5.2.17)

Vì định thức của hệ thuần nhất này khác 0, nên nó chỉ có nghiệm bằng 0 là 021 =α==α=α n... ,

tức là trong tr ườ ng hợ p này, phươ ng pháp ngoại suy tối ưu cho giá tr ị bằng k ỳ vọng toán học của hàm ngẫu

nhiên 0= xm . Khi đó theo (5.2.13), sai số bình phươ ng trung bình của phép ngoại suy 2nσ bằng phươ ng

sai hàm ngẫu nhiên.

b) Giả sử lát cắt của hàm ngẫu nhiên tại các thờ i điểm t k và t j không quan hệ vớ i nhau, nhưng có quanhệ vớ i lát cắt tại thờ i điểm t 0.

Khi nội suy, tr ườ ng hợ p này có thể tươ ng ứng vớ i tr ườ ng hợ p các lát cắt liền k ề nhau ( )1−k t X và

( )k t X của quá trình ngẫu nhiên khi hiệu 1−− k k t t lớ n, trên thực tế 2 lát cắt liền k ề nhau không quan hệ vớ i

nhau, nhưng có quan hệ vớ i giá tr ị nội suy ( )0t X , ở đây k k t t t <<− 01 . Khi đó hệ (5.2.11) đượ c viết dướ i

dạng

.n ,.... ,k ),t t ( R )( R k xk k 210 0 =−=α (5.2.18)

Từ đó

),t t ( r

)( R

)t t ( Rk x

x

k xk −=

−=α 0

0

0

(5.2.19)

tức là các tr ọng số k α bằng hệ số tươ ng quan giữa các lát cắt của hàm ngẫu nhiên tại các thờ i điểm t 0 và t k .

Tr ọng số của giá tr ị x(t k ) càng lớ n thì x(t k ) càng liên hệ chặt chẽ vớ i giá tr ị x(t o ).

2. Có sai số đ o, như ng sai số không t ươ ng quan vớ i nhau và không quan hệ vớ i giá tr ị thự c của đạil ượ ng đượ c đ o:

Ta xét một tr ườ ng hợ p quan tr ọng trong thực tế, khi sai số đo Y(t) tại các giá tr ị khác nhau của đối số t không tươ ng quan vớ i nhau, tức R y( τ ) ≡ 0 khi τ ≠ 0, và các sai số này không tươ ng quan vớ i các giá tr ị thựccủa đại lượ ng đượ c đo, tức hàm tươ ng quan quan hệ R xy( τ )≡ 0 vớ i mọi τ. Trong tr ườ ng hợ p này, công thức(5.2.5) đối vớ i sai số bình phươ ng trung bình của phép ngoại suy 2

nσ đượ c viết dướ i dạng

+−α−=αααασ ∑=

)t t ( R )( R )... , ,( k x

n

k

k xnn 01

3212 20

. )( R )t t ( Rn

k yk k j

n

k

n

j x jk ∑∑∑

== =

α+−αα+1

2

1 1

0 (5.2.20)

Khi đó hệ (5.2.7) để xác định các hệ số αk có dạng

, )( R )t t ( R )t t ( R yk k j

n

j x jk x 00

10 =α−−α−− ∑

=

k=1,2,...,n (5.2.21)

Nhân các hạng tử của (5.1.21) vớ i αk và cộng các k ết quả lại, ta đượ c



116

. )( R )t t ( R )t t ( Rn

k k

n

k

n

j yk j x jk k

n

k

xk ∑∑∑∑== ==

α+−αα=−α1

2

1 10

1

0 (5.2.22)

Thế (5.2.22) vào (5.2.20), ta nhận đượ c công thức đối vớ i sai số bình phươ ng trung bình của phép

nội, ngoại suy tối ưu

).t t ( R )( R ) ,... ,( k

n

k

xk xnn −α−=ααασ ∑=

01

212 0 (5.2.23)

hay

. )( R )t t ( R )( R ) ,... ,( n

k k yk j

n

k x

n

j jk xnn ∑∑∑

== =

α−−αα−=ααασ1

2

1 121

2 00 (5.2.24)

Công thức (5.2.23) trùng vớ i dạng công thức (5.2.12) cho tr ườ ng hợ p không có sai số đo. Nó không

chỉ rõ ảnh hưở ng của sai số đo đến đại lượ ng sai số 2nσ , tuy nhiên ảnh hưở ng này là có, vì các hệ số αk xác

định từ hệ (5.2.21) phụ thuộc vào phươ ng sai của sai số đo ( )0 y y R D = .

Trong công thức (5.2.24), ảnh hưở ng của sai số đo đượ c thể hiện qua cả ảnh hưở ng của nó đến các hệ số αk cũng như biểu hiện một cách tr ực tiế p qua các hạng tử cuối cùng.

Có thể chứng minh r ằng, sai số bình phươ ng trung bình của phép ngoại suy 2nσ tăng lên khi phươ ng

sai sai số D y tăng, còn các tr ọng số αk thay đổi sao cho tổng bình phươ ng của chúng giảm, tức là sai số đosẽ làm giảm độ chính xác của phép nội, ngoại suy tối ưu.

Tuy nhiên khi nội, ngoại suy tối ưu có làm tr ơ n, tức là khi xác định các tr ọng số αk có tính đến sai số

đo theo công thức (5.2.21), đại lượ ng sai số 2nσ nhận đượ c sẽ bé hơ n so vớ i khi ta tiến hành nội ngoại suy

thuần tuý theo công thức (5.2.11) và bỏ qua việc tính đến sai số đo.

5.3. NGOẠI SUY TUYẾ N TÍNH TỐI Ư U VÀ LÀM TR Ơ N QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN CHO TRÊN KHOẢ NG VÔ HẠ N

Giả sử các giá tr ị thể hiện z(t) của quá trình ngẫu nhiên X(t) , đượ c xác định vớ i sai số ngẫu nhiên

y(t) cũng là thể hiện của quá trình ngẫu nhiên Y(t) , đã đượ c biết tr ướ c trên khoảng vô hạn xảy ra tr ướ c

giá tr ị đã cho của đối số, tức là thể hiện y(t) x(t) z(t) += cho tr ướ c trên khoảng ( )t ,∞− .

Trên thực tế điều này có ngh ĩ a là thể hiện z(t) đượ c cho trên một khoảng biến đổi đủ lớ n của đối số,

lớ n hơ n khoảng mà trên đó mối liên hệ tươ ng quan giữa các lát cắt của quá trình ngẫu nhiên đã hoàn toànlụi tắt.

Giống như tr ướ c đây, ta xem các quá trình ngẫu nhiên X(t) và Y(t) là dừng và liên hệ dừng, có k ỳ

vọng toán học bằng 0, cho tr ướ c các hàm tươ ng quan R x( τ ), R y( τ ) và các hàm tươ ng quan quan hệ R xy( τ ), R yx( τ ).

Yêu cầu xác định giá tr ị x(t+T) sao cho k ỳ vọng toán học của bình phươ ng hiệu σ2 giữa các giá tr ị thực và giá tr ị dự báo tr ở nên cực tiểu.

Tươ ng ứng vớ i những điều đã trình bày trong mục 4.2, có thể biểu diễn giá tr ị cần tìm x(t+T) là k ếtquả tác dụng toán tử tuyến tính lên hàm z(t) (5.1.2), dướ i dạng

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]∫∫∞∞

ττ−+τ−τ=ττ−τ=+00

d t yt x g d t z g T t x (5.3.1)

Bài toán dẫn đến việc lựa chọn hàm tr ọng lượ ng g(t) để cho đại lượ ng 2σ sau đây đạt cực tiểu:



117

( ) ( ) ( )⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ττ−τ−+=σ ∫

∞ 2

0

2 d t Z g T t X M (5.3.2)

Trong đó, hàm tr ọng lượ ng phụ thuộc lượ ng ngắm đón T .Ta biến đổi (5.3.2)

( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] +ττ−+τ−+=σ ∫∞

0

22 2 d t Z T t X M g T t X M

( ) ( ) ( ) ( )[ ] =ττ−τ−τττ+ ∫∫∞∞

02212

011 d t Z t Z M g d g

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫∞∞∞

ττ−ττττ+ττ+τ−=0

21220

110

20 d R g d g d T R g R z xz x (5.3.3)

Trong đó

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]{ }=+τ+=τ+=τ t Y t X t X M t Z t X M R xz

( ) ( )τ+τ= xy x R R (5.3.4)

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]{ }=+τ++τ+=τ+=τ t Y t X t Y t X M t Z t Z M R z

( ) ( ) ( ) ( )τ+τ+τ+τ= y yx xy x R R R R (5.3.5)

Ta hãy xác lậ p điều kiện cần và đủ mà hàm tr ọng lượ ng g(t) phải thoả mãn để cho σ2 đạt cực tiểu.

Giả sử hàm g(t) làm cho σ2 đạt cực tiểu, khi đó nếu trong (5.3.3) thay cho g(t) là hàm

( ) ( ) ( )t at g t g α+=1 (5.3.6)

trong đó a là một số thực bất k ỳ, còn ( )tα là một hàm tuỳ ý, thì đại lượ ng 2σ chỉ có thể tăng lên.

Do vậy, khi đó 2σ đượ c xét như là hàm của đối số a, đạt cực tiểu khi a = 0, tức đạo hàm của nó theo

a phải bằng 0 khi a = 0.

Thay (5.3.6) vào (5.3.3) ta đượ c

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) +ττ+τα+τ−=σ ∫∞

0

2 20 d T Ra g Ra xz x

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )

∫∫

∞∞

=ττ−ττα+ττα+ττ+0

21222110

1 d Ra g a g d z

( ) ( ) ( )[ ] ( ) +ττ+τα+τ−= ∫∞

0

20 d T Ra g R xz x

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[∫∫∞∞

+ττα+ττα+τττ+0

2112210

1 g a g a g g d

( ) ( ) ( ) 221212 ττ−ττατα+ d Ra z (5.3.7)

Khi lấy vi phân dướ i dấu tích phân (5.3.7) theo tham số a, ta nhận đượ c



118

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) +ττ−ττττα+ττ+τα−=

σ∫∫∫∞∞∞

01121

022

0

2

2 d R g d d T Rda

ad z xz

( ) ( ) ( ) 002122

011 ∫∫

∞∞

=ττ−ττττα+ d R g d z (5.3.8)

Thay 1τ bằng 2τ , còn 2τ bằng 1τ vào tích phân cuối cùng, do tính chẵn của hàm tươ ng quan nên

đẳng thức (5.3.8) đượ c viết dướ i dạng

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0220

11210

220

∫∫∫∞∞∞

=ττ−ττττα+ττ+τα− d R g d d T R z xz (5.3.9)

hay

( ) ( ) ( ) ( ) 00 0

=⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ττ−τ−τ+τα∫ ∫

∞ ∞

dt d t R g T R z xz (5.3.10)

Vì đẳng thức (5.3.10) đúng vớ i mọi hàm α(t), nên đẳng thức sau cần thoả mãn

( ) ( ) ( ) 00

=ττ−τ−τ+ ∫∞

d t R g T R z xz , vớ i mọi t ≥ 0 (5.3.11)

Như vậy điều kiện (5.3.11) là điều kiện cần để cho σ2 đạt cực tiểu. Ta chứng minh r ằng điều kiện nàycũng là đủ. Muốn vậy ta viết (5.3.7) dướ i dạng

+ττ−τ−=σ ∫∞

d )T ( R )( g )( R )a( xz x

0

2 20

+ττττττ+ −

∞ ∞

∫ ∫ 21120

20

1 d d )( R )( g )( g z

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ττ−τ+τ+−α+ ∫ ∫

∞ ∞

dt d )t ( R )( g )T ( R )t ( a z xz

0 0

2

.d d )( R )( )( a z 21120

20

12 τττττατα+ −

∞ ∞

∫ ∫ (5.3.12)

Theo (5.3.3), ba hạng tử đầu tiên trong (5.3.12) là giá tr ị σ2(0), hạng thứ tư sẽ bằng 0 khi điều kiện(5.3.11) đượ c thực hiện, tích phân hai lớ p cuối cùng có thể viết dướ i dạng:

2

0

22112

02

01

2

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ττ−τα=τττττατα ∫∫ ∫

∞−

∞ ∞d )t ( Z )( M ad d )( R )( )( a z (5.3.13)

Từ đó thấy r ằng, vế phải (5.3.13) là một số không âm, có thể ký hiệu bằng A2. Do đó, khi điều kiện(5.3.11) đượ c thực hiện, đẳng thức (5.3.12) đượ c viết dướ i dạng

222 0 A )( )a( +σ=σ (5.3.14)

tức là k ỳ vọng toán học của bình phươ ng sai số 2σ chỉ có thể tăng lên khi thay hàm tr ọng lượ ng g(t) , thoả

mãn điều kiện (5.3.11), bở i một hàm bất k ỳ khác. Do vậy, nếu hàm tr ọng lượ ng g(t) thoả mãn điều kiện

(5.3.11), thì 2σ thực sự đạt cực tiểu.



119

Như vậy, bài toán tìm hàm tr ọng lượ ng g(t) đảm bảo 2σ cực tiểu tươ ng đươ ng vớ i bài toán tìm hàm

tr ọng lượ ng g(t) là nghiệm của phươ ng trình tích phân (5.3.11). Phươ ng trình tích phân này đượ c gọi là

phươ ng trình Winer −Hopf, các tác giả lần đầu tiên khảo sát phươ ng trình dạng này.

Hàm tr ọng lượ ng g(t) , nghiệm của phươ ng trình Winer −Hopf, đượ c gọi là hàm tr ọng lượ ng tối ưu,còn công thức (5.3.1), khi thay hàm tr ọng lượ ng tối ưu g(t) vào, đượ c gọi là công thức ngoại suy tối ưu có

làm tr ơ n.

Khi T=0 ta nhận đượ c công thức làm tr ơ n tối ưu. Ta sẽ xác định sai số bình phươ ng trung bình σ2 của phép ngoại suy tối ưu.

Viết (5.3.3) dướ i dạng

×⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ττ−τ−τ+−=σ ∫ ∫

∞ ∞

0 0

2 20 d )t ( R )( g )T ( R )( R z xz x

210 0

1221 τττ−τττ−× ∫ ∫∞ ∞

d d )( R )( g )( g dt )t ( g z (5.3.15)

Đối vớ i hàm tr ọng lượ ng tối ưu, do (5.3.11), hạng thứ hai triệt tiêu, từ đó

.d d )( R )( g )( g )( R x 210

220

212 0 τττ−τττ−=σ ∫ ∫

∞ ∞

(5.3.16)

Ta biến đổi tích phân hai lớ p trong (5.3.16), muốn vậy ta ký hiệu mật độ phổ của quá trình ngẫu nhiên Z(t) là S z( ω ), khi đó hàm tươ ng quan R z( τ2− τ1 ) có thể viết dướ i dạng

ωω=τ−τ ∫∞

∞−

τ−τωd )( S e )( R z

)( i z

1212 (5.3.17)

Khi đó

=τττ−τττ∫ ∫∞ ∞

21120 0

21 d d )( R )( g )( g z

=ττωωττ= ∫∫ ∫∞

∞−

τ−τω∞ ∞

210 0

2112 d d d )( S e )( g )( g z )( i

.d )( S d )( g ed )( g e zii ωω

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡ττ

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡ττ= ∫ ∫∫

∞

∞−

∞ωτ

∞ωτ−

22

0

211

0

1 (5.3.18)

Theo (4.2.22), tích phân

)( Ld e )( g i ω=ττ ωτ−∞

∫0

(5.3.19)

là hàm truyền tươ ng ứng vớ i hàm tr ọng lượ ng g(t) , ta sẽ gọi nó là hàm truyền tối ưu.

Tươ ng tự, tích phân

)( * Ld e )( g i ω=ττ ωτ∞

∫0

(5.3.20)

là liên hợ p phức của hàm truyền tối ưu. Từ đó, (5.3.18) đượ c viết dướ i dạng



120

.d )( S )( Ld d )( R )( g )( g z z ωωω=τττ−τττ ∫∫ ∫∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

2211221 (5.3.21)

Thế (5.3.21) vào (5.3.16) ta nhận đượ c công thức đối vớ i sai số bình phươ ng trung bình của phép

ngoại suy tối ưu

ωωω−=σ ∫∞

∞−

d )( S )( L )( R z x22 0 = [ ] ,d )( S )( L )( S z x ωωω−ω∫

∞

∞−

2(5.3.22)

trong đó S x( ω ) là mật độ phổ quá trình ngẫu nhiên X(t). Theo (5.3.5) và do tính chất tuyến tính của phép biến đổi Fourier, mật độ phổ S z( ω ) đượ c biểu diễn qua các mật độ phổ S x( ω ), S y( ω ) của các quá trình ngẫunhiên X(t), Y(t) và mật độ phổ quan hệ S xy( ω ) của chúng dướ i dạng

)( S )( S )( S )( S )( S y yx xy x z ω+ω+ω+ω=ω (5.3.23)

Tươ ng tự theo (5.3.4), mật độ phổ quan hệ S xz đượ c biểu diễn dướ i dạng

)( S )( S S xy x xz ω+ω= (5.3.24)

Các phươ ng pháp giải phươ ng trình Winer −Hopf (5.3.11) đượ c trình bày trong các mục 5.4, 5.5 và5.6.

Đơ n giản nhất, phươ ng trình này đượ c giải cho tr ườ ng hợ p thể hiện của quá trình ngẫu nhiên z(t) đượ c cho tại mọi giá tr ị t , tức là cho trên toàn khoảng vô hạn ( −∞ , +∞ ). Nghiệm phươ ng trình (5.3.11) đốivớ i tr ườ ng hợ p này đượ c dẫn ra trong mục 5.4.

Tr ườ ng hợ p ngoại suy hay làm tr ơ n thể hiện z(t) chỉ vớ i các giá tr ị của đối số t xảy ra tr ướ c thờ i điểmt dẫn tớ i phươ ng trình (5.3.11) chỉ đượ c thoả mãn vớ i các giá tr ị không âm của đối số. Khi t<0, hàm tr ọnglượ ng g(t) nhất thiết phải bằng 0.

Ta xét hai phươ ng pháp giải phươ ng trình (5.3.11) đối vớ i tr ườ ng hợ p thườ ng gặ p nhất trong thực tế,

khi các hàm tươ ng quan R x( τ ), R y( τ ) và hàm tươ ng quan quan hệ R xy( τ ) có mật độ phổ hữu tỷ.Phươ ng pháp thứ nhất dựa trên cơ sở sử dụng lý thuyết hàm biến phức đượ c trình bày ở mục 5.5.

Phươ ng pháp giải thứ hai (xem 5.6) dựa trên cơ sở biểu diễn hàm tươ ng quan có phổ hữu tỷ dướ i dạng tổngcác số mũ.

Trong tr ườ ng hợ p tổng quát, khi mật độ phổ không phải là các hàm hữu tỷ của tần số ω, lờ i giải sẽ r ất phức tạ p và ta sẽ không xem xét ở đây.

Trên thực tế, ngườ i ta xấ p xỉ hàm tươ ng quan nhận đượ c theo các số liệu thực nghiệm bằng các biểuthức giải tích. Khi đó, nếu sử dụng chúng vào mục đích ngoại suy tối ưu hay làm tr ơ n thì nên chọn biểuthức xấ p xỉ hàm có phổ hữu tỷ hoặc hàm tươ ng quan đượ c xấ p xỉ gần đúng vớ i hàm có phổ hữu tỷ, chẳnghạn, biểu diễn chúng dướ i dạng tổng các số mũ.

5.4. LÀM TR Ơ N QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN CHO TRÊN KHOẢ NG VÔ HẠ N(−∞,+∞)

Khi làm tr ơ n quá trình ngẫu nhiên mà thể hiện của nó đượ c cho trên khoảng ( −∞ ,+∞ ), thì giá tr ị làmtr ơ n đượ c tìm dướ i dạng

( ) ∫+∞

∞−

ττ−τ= d )t ( z )( g t x . (5.4.1)

Trong tr ườ ng hợ p này, tích phân ở biểu thức dướ i dấu tích phân trong (5.3.10) đượ c lấy trên toànkhoảng (−∞ ,+∞ ), và do đó, phươ ng trình (5.3.11) cần thoả mãn vớ i mọi giá tr ị của đối số t . Khi đó T=0 và

phươ ng trình (5.3.11) đượ c viết dướ i dạng



121

)t ( Rd )t ( R )( g xz z =ττ−τ∫+∞

∞−

(5.4.2)

Ta biểu diễn R z(t − τ ) và R xz(t) qua mật độ phổ S z( ω ) và mật độ phổ quan hệ S xz( ω ):

∫+∞

∞−

τ−ω ωω=τ− d )( S e )t ( R z )t ( i

z (5.4.3)

∫+∞

∞−

ω ωω= d )( S e )t ( R xzt i

xz (5.4.4)

Thay (5.4.3) và (5.4.4) vào (5.4.2) ta nhận đượ c

∫∫ ∫+∞

∞−

ω+∞

∞−

+∞

∞−

τ−ω ωω=τ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ωωτ d )( S ed d )( S e )( g xz

t i z

)t ( i (5.4.5)

Thay đổi thứ tự tích phân trong tích phân hai lớ p, viết lại (5.4.5) dướ i dạng

0=ω⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ττω−ω∫ ∫

+∞

∞−

+∞

∞−

ωτ−ω d d )( g e )( S )( S e i z xz

t i (5.4.6)

Để ý đến biểu thức (4.2.20) đối vớ i hàm truyền L( ω ), ta đượ c

[ ] 0=ωωω−ω∫+∞

∞−

ω d )( L )( S )( S e z xzt i (5.4.7)

Điều đó chứng tỏ r ằng, phép biến đổi Fourier hàm )( L )( S )( S z xz ωω−ω đồng nhất bằng không, do

đó đẳng thức sau đượ c thoả mãn

0=ωω−ω )( L )( S )( S z xz (5.4.8)

Như vậy, hàm truyền tối ưu L( ω ) đượ c xác định dướ i dạng

)( S

)( S )( L

z

xz

ωω

=ω (5.4.9)

Biểu diễn S xz( ω ) và S z( ω ) qua mật độ phổ của các quá trình ngẫu nhiên X(t), Y(t) và mật độ phổ quanhệ của chúng theo (5.3.24) và (5.3.23) ta viết (5.4.9) dướ i dạng

)( S )( S )( S )( S

)( S )( S )( L

y yx xy x

xy x

ω+ω+ω+ω

ω+ω=ω (5.4.10)

Khi biết hàm truyền tối ưu L( ω ), theo (4.2.20) ta sẽ tìm đượ c hàm tr ọng lượ ng tối ưu g(t) như là biến

đổi Fourier của L( ω ) chia cho 2π

( ) ∫+∞

∞−

ω ωωπ

= d )( Let g t i

2

1(5.4.11)

Đặt hàm tr ọng lượ ng tối ưu tìm đượ c vào (5.4.1), ta nhận đượ c công thức làm tr ơ n tối ưu.

Trên thực tế, thườ ng gặ p những tr ườ ng hợ p có thể xem sai số đo không tươ ng quan vớ i giá tr ị thựccủa đại lượ ng đượ c đo. Trong tr ườ ng hợ p này R xy( τ ) = R yx( τ ) ≡ 0, do đó S xy( ω ) = S yx( ω ) ≡ 0, và các côngthức (5.3.23), (5.3.24) đượ c viết dướ i dạng

S xy( ω ) = S x( ω ) (5.4.12)

S z( ω ) = S x( ω ) + S y( ω ) (5.4.13)

Khi đó, công thức (5.4.10) để xác định hàm truyền đượ c viết như sau



122

)( S )( S

)( S )( L

y x

x

ω+ωω

=ω (5.4.14)

Trong tr ườ ng hợ p này, khi thay (5.4.13) và (5.4.14) vào (5.3.22), ta nhận đượ c sai số bình phươ ng

trung bình của phép làm tr ơ n tối ưu

∫+∞

∞−

ωω+ω

ωω=σ d

)( S )( S

)( S )( S

y x

y x2 (5.4.15)

Từ đó thấy r ằng, chỉ có thể tách hoàn toàn hàm ngẫu nhiên X(t) ra khỏi sai số đo Y(t) khi S x( ω )S y( ω ) =

0, tức là khi phổ của chúng không bị phủ lên nhau.

5.5. NGOẠI SUY VÀ LÀM TR Ơ N HÀM NGẪU NHIÊN CHO TRÊN KHOẢ NG(−∞,T ) NHỜ SỬ DỤ NG PHƯƠ NG PHÁP CỦA LÝ THUYẾT HÀM BIẾ N PHỨ C

Ta biểu diễn hàm tươ ng quan R xz(t+τ ) và R z(t − τ ) qua các mật độ phổ tươ ng ứng khi đưa vào phươ ngtrình (5.3.11)

∫+∞

∞−

τ+ω ωω=τ+ d )( S e )t ( R xz )t ( i

xz (5.5.1)

∫+∞

∞−

τ−ω ωω=τ− d )( S e )t ( R z )t ( i

z (5.5.2)

Ta biểu diễn hàm tr ọng lượ ng g(τ) qua hàm truyền L(ω)

( ) ∫+∞

∞−

ωτ ωωπ

=τ d )( Le g i

2

1. (5.5.3)

Đặt (5.5.1), (5.5.2), (5.5.3) vào (5.3.11) ta đượ c

−τ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ωωωω

π ∫ ∫∫∞ +∞

∞−

τ−ω+∞

∞−

ωτ

02

1d d )( S ed )( Le z

)t ( ii

00 ≥=ωω− ∫+∞

∞−

+ω t khi ,d )( S e xz )T t ( i (5.5.4)

Khi thay đổi thứ tự tích phân ta viết (5.5.4) dướ i dạng

−⎪⎩

⎪⎨⎧

ω⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡τωω

π∫ ∫ ∫∞

∞−

∞+

∞−

∞τω−ωω

10

111

2

1d d e )( S )( Le )( i

zt i

} 00 ≥=ωω− +ω t khi ,d )( S e xz )T t ( i (5.5.5)

Theo tính chất của hàm Delta (4.2.4) ta có

)( d e)( i

10

1

2

1ω−ωδ=τ

π ∫∞

τω−ω (5.5.6)

Khi đó, theo tính chất của hàm Delta (4.2.7), tích phân bên trong của (5.5.5) bằng

)( S )( Led )( )( S )( Le zt i

zt i ωω=ωω−ωδωω ω

+∞

∞−

ω∫ 1111 (5.5.7)

Như vậy, (5.5.5) có dạng



123

[ ] 00 ≥=ωω−ωω∫+∞

∞−

ωω t khi ,d )( S e )( S )( Le xzT i

zt i (5.5.8)

Ta sẽ xét vế trái của (5.5.8) như một hàm f(t) nào đó

( ) [ ]∫+∞

∞−

ωω ωω−ωω= d )( S e )( S )( Let f xzT i

zt i (5.5.9)

Hàm này là biến đổi ngượ c Fourier của hàm :

( ) ( ) )( S e )( S L F xzT i

z ω−ωω=ω ω (5.5.10)

Do đó, F( ω ) là biến đổi Fourier của hàm f(t). Theo (5.5.8), hàm f(t) này đồng nhất bằng không khi t ≥

0.

Trong lý thuyết biến đổi Fourier, định lý sau đây đã đượ c chứng minh:

Giả sử f(t) là một hàm khả tích, đồng nhất bằng không trên khoảng ( 0 ,+∞ ) và có biến đổi Fourier

( ) ∫∞

∞−

ω−π

=ω dt )t ( f e F t i

21 .

Khi đó F( ω ) là giá tr ị trên tr ục thực của hàm giải tích biến phức bị chặn F( ζ ) trong nửa mặt phẳng phía trên, vớ i

λ+ω=ζ i

Nếu hàm F( ζ ) là hàm giải tích biến phức bị chặn ở nửa mặt phẳng phía trên thì biến đổi ngượ cFourier giá tr ị F( ω ) của nó trên tr ục thực bằng không trên khoảng ( 0 ,∞ ), f(t) = 0.

Nếu thay khoảng ( 0 ,∞ ) bằng khoảng ( − ∞ ,0 ) và thay nửa mặt phẳng phía trên bằng nửa mặt phẳng phía dướ i ta sẽ nhận đượ c một định lý tươ ng tự.

Theo định lý này, hàm (5.5.10) là giá tr ị trên tr ục thực của hàm giải tích F( ζ ) bị chặn ở nửa mặt phẳng phía trên.

Trong đa số các bài toán ứng dụng, các quá trình ngẫu nhiên là những quá trình có phổ hữu tỷ, tức làmật độ phổ của chúng là hàm phân thức hữu tỷ của tần số ω. Hàm phân thức hữu tỷ chẵn biến thực ω cóthể biểu diễn dướ i dạng tích của hai hàm S 1(ω) và S 2(ω) , trong đó hàm thứ nhất S 1(ω) là giá tr ị trên tr ụcthực của hàm biến phức giải tích, bị chặn không có không điểm ở nửa mặt phẳng phía trên ζ = ω +

iλ , còn S 2(ω) là giá tr ị trên tr ục thực của hàm biến phức giải tích, bị chặn và không có không điểm ở nửamặt phẳng dướ i.

Thực vậy, giả sử

( ) )( Q

)( P S

ω

ω=ω

trong đó ) P( ω và )Q( ω là các đa thức có hệ số thực của ω.

Ta khai triển tử thức và mẫu thức thành các nhân tử tuyến tính. Ta gộ p các nhân tử của tử thức vàmẫu thức mà chúng sẽ bằng không ở nửa mặt phẳng dướ i vào một hàm ( )ω1S , và gộ p tất cả các nhân tử

còn lại của tử thức và mẫu thức thành ( )ω2S và do ( )ωS là hàm chẵn, còn các hệ số của đa thức ) P( ω và

)Q( ω là thực nên các nhân tử tạo thành ( )ω2S là các đại lượ ng liên hợ p phức của các nhân tử trong

( )ω1S , tức là chúng chỉ biến thành không ở nửa mặt phẳng trên. Tươ ng ứng vớ i điều đó ta biểu diễn hàm

phổ dướ i dạng

( ) ( ) ( )ωω=ω 21 S S S z , (5.5.11)



124

trong đó ( )ω1S không có không điểm và cực điểm ở nửa mặt phẳng trên, ( )ω2S không có không điểm và

cực điểm ở nửa mặt phẳng dướ i. Đặt (5.5.11) vào (5.5.10)

( ) ( ) ( ) ( ) )( S eS S L F xzT i ω−ωωω=ω ω

21 (5.5.12)

và chia cho ( )ω1S ta đượ c

)( S

)( S e )( S )( L

)( S

)( F xzT i

ωω

−ωω=ωω ω

12

1

(5.5.13)

Hàm( )( )ωω

1S

F giải tích và bị chặn ở nửa mặt phẳng phía trên, vì trên đó hàm F (ω) là giải tích và bị

chặn, còn ( )ω1S không có không điểm và cực điểm.

Do đó, theo phần hai của định lý, biến đổi ngượ c Fourier của hàm này bằng không trên khoảng ( 0 ,∞ ),

tức là do (5.5.13) ta có

00121 ≥=ω⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

ω

ω

−ωω=ωω

ω

∫∫

∞

∞−

ωω∞

∞−

ω

t khi ,d e )( S

)( S

e )( S )( Ld e )( S

)( F t i xzT it i

(5.5.14)

Từ đó ta nhận đượ c

01

2 ≥ωωω

=ωωω ∫∫∞

∞−

+ω∞

∞−

ω t khi ,d e )( S

)( S d e )( S )( L )T t ( i xzt i (5.5.15)

Hàm ( )ω L giống như hàm truyền của hệ khả d ĩ thực, mà ta giả thiết nó ổn định, có thể có nghiệm của

mẫu thức chỉ trong nửa mặt phẳng trên, do đó nó không có cực điểm trong nửa mặt phẳng dướ i.

Như vậy, hàm ( ) ( )ωω 2S L giải tích, bị chặn ở nửa mặt phẳng dướ i, do đó nhờ định lý đã dẫn, biến đổi

ngượ c Fourier của nó bằng không

002 <=ωωω=ϕ ∫∞

∞−

ω t khi ,d e )( S )( L )t ( t i (5.5.16)

Khi đó, nếu lấy biến đổi Fourier của hàm ϕ(t) ta nhận đượ c

( ) ( ) ∫∞

∞−

ω−ϕπ

=ωω dt e )t ( S L t i

2

12 =

= ∫ ∫∞

∞−

ω∞

∞−

ω− ωωωπ

dt d e )( S )( Let it i

11211

2

1(5.5.17)

Nhưng theo công thức (5.5.15), khi t ≥ 0, tích phân bên trong của (5.5.17) có thể thay thế bở i vế phảicủa (5.5.15)

( ) ( ) ∫ ∫∞

∞−

+ω∞

∞−

ω− ωωω

=ωωπ dt d e )( S

)( S eS L )T t ( i xzt i

111

12

12 (5.5.18)

Từ đó ta nhận đượ c công thức đối vớ i hàm truyền tối ưu

( ) ∫ ∫∞

∞−

+ω∞

∞−

ω− ωωω

ωπ=ω dt d e

)( S

)( S e

)( S L )T t ( i xzt i

111

1

2

1

2

1(5.5.19)

Khi biết hàm truyền ( )ω L , ta tìm đượ c hàm tr ọng lượ ng ( )t g như là biến đổi ngượ c Fourier của

( )ω L theo (5.4.12) chia cho 2π.



125

Tươ ng ứng vớ i những điều đã trình bày, để xác định hàm truyền tối ưu ( )ω L trong tr ườ ng hợ p mật

độ phổ hữu tỷ cần phải làm như sau :

1. Xác định các mật độ phổ ( )ω xzS và ( )ω zS .

2. Biểu diễn ( )ω zS dướ i dạng tích của hai hàm ( )ω1S và ( )ω2S ( ( ) ( ) ( )ωω=ω 21 S S S z ), trong đó( )ω1S không có không điểm và điểm k ỳ dị trong nửa mặt phẳng trên, còn ( )ω2S không có không điểm và

điểm k ỳ dị trong nửa mặt phẳng dướ i.

Muốn vậy, trong mật độ phổ ( ) )( Q

)( P S z ω

ω=ω , phải khai triển tử thức và mẫu thức thành các nhân tử

tuyến tính. Gộ p các nhân tử của tử thức và mẫu thức mà chúng biến thành không ở nửa mặt phẳng dướ ivào hàm ( )ω1S , còn những nhân tử còn lại gộ p vào ( )ω2S .

3. Xác định hàm truyền theo công thức (5.5.19). Khi tính theo công thức (5.5.19), để thuận tiện ta sử dụng các công thức:

Nếu b > 0 thì

[ ] ⎪⎩

⎪⎨

⎧

<

>−=

+−ω

ωπ

+−∞

∞−

ω

∫00

01

2

1 1

t khi

,t khiet )!n(

i

)iba(

d et )iba( in

n

n

t i

(5.5.20)

Nếu b < 0 thì

[ ] ⎪⎩

⎪⎨

⎧

>

<−=

+−ω

ωπ

+−∞

∞−

ω

∫00

01

2

1 1

t khi

,t khiet )!n(

i

)iba(

d et )iba( in

n

n

t i

(5.5.21)

A.M. Iaglom [28] đã chứng minh đượ c r ằng trong nhiều tr ườ ng hợ p có thể tìm hàm truyền tối ưu( )ω L không cần tiến hành tính theo công thức (5.5.19) mà sử dụng tính chất dừng của hàm đưa vào đẳng

thức (5.5.10).

Trên đây ta đã xác định r ằng :

1. Hàm ( )ω F là hàm giải tích, bị chặn trong nửa mặt phẳng trên,

2. Hàm ( )ω L không có không điểm và cực điểm ở nửa mặt phẳng dướ i,

3. Như đã thấy từ công thức (5.3.22), tích phân không k ỳ dị sau phải hội tụ

∫∞

∞−

ωωω d )( S )( L z2

(5.5.22)

Như ta sẽ chỉ ra trong các ví dụ, khi sử dụng điều kiện thứ ba này có thể tìm đượ c hàm truyền tối ưu.

Các ví d ụ

1. Ta xét tr ườ ng hợ p ngoại suy thuần tuý khi trên khoảng ( −∞ ,t) có một thể hiện của quá trình ngẫunhiên X(t) mà hàm tươ ng quan có dạng

( ) τα−=τ De R x (5.5.23)

Trong tr ườ ng hợ p này không có sai số đo và theo (5.3.4)

( ) ( ) ( )τ=τ=τ x xz z R R R .

Mật độ phổ ( )ω xS tươ ng ứng vớ i hàm tươ ng quan (5.5.23), như đã chỉ ra trong mục 3.2, ví dụ 1, có

dạng



126

)(

D )( S x 22 α+ωπ

α=ω (5.5.24)

Do đó,

( ) ( ) )(

D )( S S S x xz z 22 α+ωπ

α=ω=ω=ω (5.5.25)

Công thức (5.5.10) đượ c viết lại dướ i dạng

( ) T ie )( L F ω−ω=ω )(

D22 α+ωπ

α=

π

α D

)i )( i(

e )( L T i

α+ωα−ω−ω ω

(5.5.26)

Theo điều kiện 1, hàm ( )ω F phải giải tích trong nửa mặt phẳng trên. Nhưng mẫu thức vế phải

(5.5.26) có không điểm tại ω = iα ở nửa mặt phẳng trên, do đó, tử thức của vế phải cũng phải có khôngđiểm tại ω = iα , không điểm này đượ c rút gọn vớ i không điểm của mẫu thức.

Như vậy, cần thoả mãn điều kiệnT )i( i

e )i( Lα

−α = 0, (5.5.27)Từ đó

T e )( L α−=ω (5.5.28)

Từ điều kiện 1 và 2 suy ra r ằng hàm ( )ω L nói chung không thể có điểm k ỳ dị hữu hạn. Thực vậy,

hàm ( )ω F giải tích trong nửa mặt phẳng trên, tức là vế phải của (5.5.26), cũng có ngh ĩ a là hàm ( )ω L phải

giải tích ở nửa mặt phẳng trên. Còn từ điều kiện 2 suy ra r ằng, ( )ω L cũng không có điểm k ỳ dị ở nửa mặt

phẳng dướ i.

Để thực hiện điều kiện 3, cần đặt hàm ( )ω L bằng hằng số. Khi đó, tích phân không k ỳ dị (5.5.22) hội

tụ

∫∞

∞−

ωωω d )( S )( L z2

= ∫∞

∞−

ωωω d )( S )( L z2

= D )( L2ω (5.5.29)

Như vậy, có thể lấy hàm truyền tối ưu là

( ) const e L T ==ω α− , (5.5.30)

Theo (5.4.12), hàm tr ọng lượ ng g(t) tươ ng ứng vớ i hàm truyền này đượ c xác định dướ i dạng

( ) ∫∞

∞−

ω ωωπ

= d )( Let g t i

2

1= ∫

∞

∞−

ωα− ωπ

d ee t iT

2

1= ( )t e T δα− (5.5.31)

Khi đó, theo tính chất của hàm Delta (4.2.7), công thức ngoại suy tối ưu (5.3.1) đượ c viết dướ i dạng

( ) ∫∞

α− ττδτ−=+0

d )( )t ( xeT t x T = ( )t xe T α− (5.5.32)

Từ đó thấy r ằng, trong tr ườ ng hợ p ngoại suy thuần tuý quá trình ngẫu nhiên có hàm tươ ng quan dạng(5.5.23), để dự báo tối ưu thể hiện tại thờ i điểm t+T, chỉ cần biết giá tr ị của nó tại thờ i điểm t . Việc biết giátr ị của thể hiện ở tất cả các thờ i điểm tr ướ c không thể làm cho dự báo tốt hơ n. Nếu tăng giá tr ị của lượ ng

ngắm đón T thì đại lượ ng T e α− bị giảm đi và sẽ dần tớ i không khi T →∞ .

Như vậy, khi T →∞ , giá tr ị đoán tr ướ c tối ưu x(t + T) sẽ tiến tớ i k ỳ vọng toán học của quá trình ngẫunhiên và bằng không.

Theo (5.3.22), sai số bình phươ ng trung bình của dự báo σ2 đượ c xác định dướ i dạng





128

Mẫu thức của vế phải (5.5.42) có không điểm ở nửa mặt phẳng trên tại α+β=ω i và α+β−=ω i .

Vì biểu thức 222 β+α+ω tại các không điểm này khác không nên tại các giá tr ị này của ω, hàm

( ) T ie L ω−ω cần phải bằng không. Từ đó ta đượ c

( ) T )i( T )i( i eei L β−α−α+β ==α+β , (5.5.43)

( ) T )i( T )i( i eei L β+α−α+β− ==α+β− , (5.5.44)

Hàm ( )ω F có không điểm tại 22 β+α± i , trong đó điểm 22 β+αi nằm ở nửa mặt phẳng trên,

do đó hàm ( )ω L chỉ có thể có cực điểm đơ n tại ω =22 β+αi , có ngh ĩ a là hàm ( ) ⎟

⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ β+α−ωω 22i L

cần phải nguyên, tức là nó không thể có điểm k ỳ dị hữu hạn.

Để thực hiện điều kiện 3, cần phải cho hàm này là hàm tuyến tính, tức là đặt

( ) B Ai L +ω=⎟

⎠

⎞⎜

⎝

⎛ β+α−ωω 22 , (5.5.45)

Từ đó

( )22 β+α−ω

+ω=ω

i

B A L (5.5.46)

Sử dụng điều kiện (5.5.43) và (5.5.44), ta nhận đượ c hệ để xác định các hệ số A và B:

( ) Bi Aeie T iT +α+β=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ β+α−α+β βα− 22

( ) Bi Aeie T iT +α+β−=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ β+α−α+β− β−α− 22 (5.5.47)

Khi giải hệ này ta đượ c:

T eT sinT cos A α−⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ β

ββ+α

+β=22

, (5.5.48)

22 β+α= i B ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ β−β

βα−β+α

T cosT sin22

T e α − , (5.5.49)

Khi đã tìm đượ c các giá tr ị A và B, hợ p lý hơ n ta biểu diễn hàm truyền tối ưu (5.5.46) dướ i dạng

( ) 22

22

β+α+ω

−β+α

−=ω i

iB A

A L = ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

ββ

α−β+α

+β T sinT cos

22T

eα−

−

T sini

ββ

β+αα−β+α

β+α+ω−

2222

22

2. T e α− (5.5.50)

Theo (5.4.12), ta tìm đượ c hàm tr ọng lượ ng tối ưu

( ) ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ β

βα−β+α

−β= T sinT cost g 22

−ωπ ∫

∞

∞−

ωα− d ee t iT

2

1





130

Trong tr ườ ng hợ p này, công thức (5.5.10) đượ c viết dướ i dạng

( )[ ][ ]

×α+β−ωα+β+ω

−ωπ

α=ω

ω

)i( )i(

e )( L D F

T i2

[ ][ ] )i( )i(

)(

α−β−ωα−β+ωβ+α× 22 (5.5.59)

Tiến hành lậ p luận như trong ví dụ 2, ta nhận đượ c hàm truyền tối ưu dướ i dạng

( ) T T eT sini

eT sinT cos L α−α−

ββω

+⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ β

βα

+β=ω (5.5.60)

Theo (5.4.12), ta tìm đượ c hàm tr ọng lượ ng tối ưu

( ) ×⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ β

βα

+β= T sinT cost g

∫∫∞

∞−

ωα−∞

∞−

ωα− ωωπβ

β+ωπ

× d eie.T sin

d ee t iT t iT

21

21 (5.5.61)

Tích phân

( )t ' d ei t i δ=ωωπ ∫

∞

∞−

ω

2

1(5.5.62)

là đạo hàm của hàm Delta. Từ đó, ta có thể viết hàm tr ọng lượ ng tối ưu dướ i dạng

( ) )t ( e.T sin

)t ( eT sinT cost g T

T δ′β

β+δ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ β

βα

+β=α−

α− (5.5.63)

Thay hàm tr ọng lượ ng tìm đượ c vào (5.3.1) ta nhận đượ c công thức ngoại suy tối ưu

( ) )t ( xe.T sin

)t ( xeT sinT cosT t xT

T ′β

β+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ β

βα

+β=+α−

α− (5.5.64)

Vì

)t ( xd )( )t ( x ′=ττδ′τ−∫∞

0

(5.5.65)

Từ công thức (5.5.64) thấy r ằng, giá tr ị ngoại suy x(t+T) phụ thuộc vào chính giá tr ị của thể hiện x(t) tại thờ i điểm t cũng như phụ thuộc cả vào đạo hàm x’(t) của nó tại thờ i điểm này.

Sai số bình phươ ng trung bình của phép ngoại suy trong tr ườ ng hợ p vừa xét đượ c xác định dướ i dạng

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ β

βα

+β−=σ α−2

22 1 T sinT cose D T (5.5.66)

4. Xét tr ườ ng hợ p ngoại suy có làm tr ơ n khi cho thể hiện z(t) = x(t) + y(t) trên khoảng ( −∞ , t) vớ i saisố đo y(t).

Ta sẽ xem r ằng các quá trình ngẫu nhiên X(t) và Y(t) không tươ ng quan lẫn nhau và có các hàm tươ ngquan

( ) τα−=τ 11e D R x (5.5.67)



131

( ) τα−=τ 22e D R y (5.5.68)

Các mật độ phổ tươ ng ứng vớ i chúng đượ c mô tả bở i các công thức

( )

( ) 212

1

212

11

α+ω=

α+ωπ

α=ω

c DS

x(5.5.69)

( )( ) 2

22

222

222

α+ω=

α+ωπ

α=ω

c DS y (5.5.70)

Tươ ng ứng vớ i (5.3.23) và (5.3.24) ta tìm đượ c mật độ phổ ( )ω xS và mật độ phổ quan hệ ( )ω xzS :

( ) ( )ω=ω x xz S S (5.5.71)

( ) ( ) ( )( )( )2

222

12

223

α+ωα+ω

β+ω=ω+ω=ω

cS S S y x z (5.5.72)

trong đó

( )221131 α+απ

= D Dc , 212211

12212 ααα+αα+α=β

D D

D D (5.5.73)

Công thức (5.5.10) đượ c viết dướ i dạng

( ) )i )( i )( i )( i(

)i )( i( ce )( c )( L F

T i

2211

22122

3

α−ωα+ωα−ωα+ωα−ωα+ω−β+ωω

=ωω

(5.5.74)

Mẫu thức của vế phải trong (5.5.74) có không điểm ở nửa mặt phẳng trên tại ω = iα1 và ω = iα2. Vìhàm ( )ω F giải tích ở nửa mặt phẳng trên nên tử thức cũng phải có không điểm tại các điểm này để chúng

có thể đượ c rút gọn vớ i các không điểm của mẫu thức.

Do đó, cần thoả mãn các đẳng thức

)( ec ) )( i( Lc T 21

221

21

213

1 α−α=α−βα α− ,

022

22 =α−βα ) )( i( L (5.5.75)

Từ đó ta đượ c

T e

c

c )i( L 1

21

2

21

22

3

11

α−

α−β

α−α=α (5.5.76)

( ) 22 0 α≠β=α khi ,i L . (5.5.77)

Hàm ( )ω L giải tích ở nửa mặt phẳng dướ i, còn ở nửa mặt phẳng trên, nó chỉ có thể có các cực điểm

mà chúng không phải là cực điểm của hàm ( )ω F , tức là vớ i chúng, hàm ( )( )22

β+ωω L không thể có cựcđiểm. Điểm ω = iβ là điểm duy nhất như vậy, tức là ( )ω L có thể có cực điểm ω = iβ , do đó hàm

( )( )β−ωω i L là nguyên. Để thoả mãn điều kiện 3 ta giả thiết nó là hàm tuyến tính

( )( ) B Ai L +ω=β−ωω , (5.5.78)

từ đó

( )β−ω

+ω=ω

i

B A L (5.5.79)

Thay (5.5.76) và (5.5.77) vào (5.5.78) ta xác định đượ c các hệ số A và B từ hệ phươ ng trình

02 =+α B Ai



132

)( i

B Aie

c

c T

β−α+α

=α−β

α−α α−

1

121

2

21

22

3

1 1 (5.5.80)

từ đó

T ecc A 1

1

21

3

1 α−β+α

α+α= ,

T e

c

ci B 1

1

21

3

12

α−

β+αα+α

α−= (5.5.81)

Thay (5.5.81) vào (5.5.79) ta nhận đượ c hàm truyền tối ưu

( ) T e

i

i

c

c L 12

1

21

3

1 α−

ω+βω+α

β+αα+α

=ω (5.5.82)

Theo (5.4.12), ta tìm đượ c hàm tr ọng lượ ng tối ưu dướ i dạng

( ) =ωω+βω+α

πβ+αα+α

= ∫

∞

∞−

ωα−d i

ieec

ct g

t iT

21

2131 2

11

[ ]t T e )( )t ( e

c

c β−α− β−α+δβ+α

α+α= 2

1

21

3

1 1 . (5.5.83)

Công thức ngoại suy tối ưu có làm tr ơ n sẽ có dạng

( ) =+T t x

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ττ−β−α+

β+αα+α

α+αα

= ∫∞

β−α−

02

1

21

2211

11 1 d )t ( xe )( )t ( xe D D

D t T (5.5.84)

Sai số bình phươ ng trung bình của phép ngoại suy có làm tr ơ n trong tr ườ ng hợ p trên đượ c xác địnhnhư sau:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

β+αα+α

α+αα−=σ α− T

e ) )( D D(

)( D D 1

212211

22111

12 1 (5.5.85)

5.6. NGOẠI SUY VÀ LÀM TR Ơ N QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN KHI BIỂU DIỄ NHÀM TƯƠ NG QUAN DƯỚI DẠ NG TỔ NG CÁC HÀM MŨ

Đối vớ i các quá trình ngẫu nhiên mà hàm tự tươ ng quan và hàm tươ ng quan quan hệ của chúng có thể biểu diễn dướ i dạng tổng các hàm mũ thì phươ ng pháp giải phươ ng trình Viner −Hopf [17] có thể khôngđòi hỏi phải sử dụng lý thuyết hàm biến phức.

Các hàm ngẫu nhiên, mà hàm tươ ng quan của chúng đượ c biểu diễn dướ i dạng tổng các hàm mũ, lànhững hàm có mật độ phổ hữu tỷ.

Thực vậy, nếu

( ) ∑ τα−=k

k xk e Dt R , (5.6.1)

thì mật độ phổ có dạng

( ) =ττωτπ

=ω ∫∞

0

2d cos )( RS x x



133

∑∑ ∫ α+ω

απ

=ττωπ

=∞

τα−

k k

k k

k k

Dd cose D k

220

22(5.6.2)

Có thể chỉ ra r ằng, mọi hàm tươ ng quan có thể đượ c xấ p xỉ, vớ i độ chính xác tuỳ ý, bằng một chuỗi

có các thành phần là các hàm mũ.Cụ thể, hàm tươ ng quan đượ c biểu diễn qua các hàm mũ là tổng có dạng

( ) τβ=τ ∑ τα−k

k

k cose D R k = [ ]∑ τβ−α−τβ+α− +k

)i( )i( k k k k k ee D

2(5.6.3)

Giả sử tất cả các hàm tươ ng quan đưa vào phươ ng trình Viner − Hopf đượ c biểu diễn dướ i dạng tổngcác hàm mũ:

∑ τα−=τi

i xieS )( R , (5.6.4)

∑ τβ−=τ

i

i yie N )( R ; (5.6.5)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

<τ

>τ

=τ∑

∑τγ

τδ−

0

0

,eG

,e H

)( R

i

i

ii

xyi

i

(5.6.6)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

<τ

>τ

=τ∑

∑τδ

τγ−

0

0

,e H

,eG

)( R

i

i

ii

yxi

i

(5.6.7)

Thay (5.6.4) - (5.6.7) vào công thức (5.3.4), (5.3.5) ta đượ c

∑∑ τβ−τα− +=τi

ii

i xzii e N eS )( R , (5.6.8)

∑∑∑∑ τβ−τδ−τγ−τα− +++=τi

ii

ii

ii

i ziiii e N e H eGeS )( R . (5.6.9)

Trong công thức (5.6.8) ta chỉ xét τ ≥ 0 vì phươ ng trình Viner − Hopf chỉ đượ c xét đối vớ i các giá tr ị không âm của t .

Có thể viết lại các công thức (5.6.8) và (5.6.9) khi hợ p hai tổng vào một

01

≥τ=τ ∑=

τ− ,eC )( R

p

k

ck xz

k ; (5.6.10)

∑∑=

τ−

=

τ− +=τm

j

b

j

p

k

ck z

jk e BeC )( R11

(5.6.11)

Ở đây p và m là số các hạng chung trong tổng k ết hợ p tươ ng ứng.

Ta sẽ tìm hàm tr ọng lượ ng g(t) dướ i dạng

),t ( Ae A )t ( g N

s

t a s

s δ+= ∑=

−

1

(5.6.12)

trong đó δ(t) là hàm Delta.

Số N và cả các hệ số s A và sa đượ c xác định từ phươ ng trình Viner −Hopf (5.3.11).



134

Thay (5.6.10), (5.6.11) và (5.6.12) vào phươ ng trình (5.3.11) và yêu cầu sao cho nó thoả mãn đồngnhất tại mọi giá tr ị không âm của đối số t :

∫ ∑∑∑∑∞

=

τ−−

=

τ−−

=

τ−

=

+− τ

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢

⎣

⎡τδ+=

0 1111

d e BeC )( Ae AeC m

j

t b

j

p

k

t ck

N

s

a s

p

k

)T t ( ck

jk sk =

= ∫∑ ∑∫∑ ∑∞

=

τ−

=

τ−−∞

=

τ−

=

τ−− τ+τ0 1 10 1 1

d ee B Ad eeC A N

s

am

j

t b

j s

N

s

a p

k

t ck s

s j sk +

+ =ττδ+ττδ ∫ ∑∫ ∑∞

=

τ−−∞

=

τ−−

0 10 1

d )( e B Ad )( eC Am

j

t b

j

p

k

t ck

jk

4321 J J J J +++= , (5.6.13)

[ ] [ ]∑ ∑ ∫∫= =

∞τ−+τ−τ−+τ−

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡τ+τ=

N

s

p

k t

)t ( cat

)t ( cak s d ed eC A J k sk s

1 1 0

1 =

∑ ∑= =

+−−−−−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+−

−−

−

N

s

p

k

t )ac(

sk

t c

sk

t ct )ca( t c

sk k s

sk k k k sk eac

eac

eeeac

C A1 1

111

= ∑ ∑= =

−−⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−

−

N

s

p

k

t a

k s

k t c

sk k s

sk eca

ce

acC A

1 122

21(5.6.14)

Bằng cách tươ ng tự, khi tính 2 J ta đượ c

∑ ∑= =

−−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−−

−=

N

s

m

j

t a

j s

j jt b

j s

j s

s j eba

b Be

ba

B A J

1 1222

2(5.6.15)

Ta tính 3 J

=ττδ= ∑ ∫=

∞τ−−

p

k

t ck d )( eC A J k

1 03

∑ ∫∫=

∞τ−−τ−−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ττδ+ττδ=

p

k t

)t ( ct

t ck d )( ed )( eC A k k

1 0

(5.6.16)

Tích phân thứ hai trong (5.6.16) bằng không vì δ (t) = 0 khi τ ≠ 0. Trong tích phân thứ nhất, thựchiện phép đổi biến t − τ = z, trên cơ sở tính chất của hàm Delta (4.2.7), ta đượ c

=−δ= ∑ ∫=

− p

k

t zck dz ) zt ( eC A J k

1 03

∑∑ ∫=

−

=

∞− =−δ=

p

k

t ck

p

k

zck

k k eC Adz ) zt ( eC A11 0

(5.6.17)

Bằng cách tính tươ ng tự đối vớ i 4 J , ta đượ c

∑=

−=

m

j

t b

j je B A J

14 (5.6.18)

Đặt (5.6.14)−(5.6.18) vào (5.6.13) ta nhận đượ c



135

=∑=

+− p

k

)T t ( ck

k eC 1

∑ ∑= =

−−

⎢⎢⎣

⎡

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−

−

N

s

p

k k s

t ak k

sk

t ck

sca

ecC

ac

eC A

sk

1 122

2+

+ ⎥⎥⎦

⎤

⎟⎟⎟ ⎠

⎞

⎜⎜⎜⎝

⎛

−−−∑=

−−m

j j s

t a

j j

j s

t b

j

baeb B

bae B

s j

1222 + ⎜⎜

⎝

⎛

∑=−

p

k

t ck

k eC A1

+ ⎟⎟ ⎠

⎞

∑=−

m

j

t b j je B

1. (5.6.19)

Đẳng thức (5.6.19) cần phải đượ c thoả mãn đồng nhất vớ i mọi giá tr ị t dươ ng. Muốn vậy, các điềukiện sau đây phải đượ c thực hiện

1. Các hệ số trong t a se− ở vế phải cần phải bằng không. Từ đó

∑∑== −

+−

m

j j s

j j p

k k s

k k

ba

b B

ca

cC

122

122

= 0, s = 1,2,..., N. (5.6.20)

Ta đã nhận đượ c hệ N phươ ng trình để xác định a1 , a2 ,..., a N . Do đó, có thể tìm các chỉ số mũ đưa vàotrong đẳng thức (5.6.12) như là nghiệm của hàm

( ) ∑∑== −

+−

=m

j j

j j p

k k

k k

b z

b B

c z

cC z P

122

122

(5.6.21)

Trong đó chỉ lấy các nghiệm có phần thực dươ ng. Trong tr ườ ng hợ p tổng quát, số các nghiệm như vậy sẽ là m+p− 1, do đó N trong công thức (5.6.12) có thể lấy bằng m+p− 1.

2. Các hệ số trongt b je

−ở vế phải cần phải bằng không, còn các hệ số trong t ck e

− ở vế phải cần phải

bằng T ck

k eC − . Từ đó, sau khi xác định a s theo công thức (5.6.21), ta nhận đượ c hệ phươ ng trình để xác

định A1 , A2 ,...,Am+p− 1.

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

==+−

==+−

−

=

=

∑

∑

p ,..., ,k ,e Aca

A

m ,..., , j , Aba

A

T c N

s k s

s

N

s j s

s

k 21

210

1

1(5.6.22)

Tất cả những điều đã trình bày có thể dùng đượ c khi mà hàm P(z) không có nghiệm bội. Trongtr ườ ng hợ p có nghiệm bội, cần phải biến đổi biểu thức (5.6.12), vì trong tr ườ ng hợ p ngượ c lại, hệ (5.6.22)sẽ không tươ ng thích. Chẳng hạn, nếu al là nghiệm bội hai của hàm (5.6.21), tức là al =al+1, thì hai thành

phần tươ ng ứng vớ i nó trong biểu thức (5.6.12) cần thay bằng ( ) τ−+ τ+τ l a

l l e A A 1 .

Khi đó phươ ng trình thứ l của (5.6.20) đượ c viết dướ i dạng

( ) ( )0

12221

222=

−+

−∑∑

==

m

j jl

j j p

k k l

k k

ba

b B

ca

cC , (5.6.23)

còn những phươ ng trình còn lại đượ c giữ nguyên không thay đổi. Khi đó, thành phần của tổng có hệ số Al trong các phươ ng trình (5.6.22) đượ c viết dướ i dạng

( )2k l

l

ca

A

−hay

( )2 jl

l

ba

A

−.

Phươ ng pháp đã xét ở đây bao gồm như sau:

1) Các hàm tươ ng quan đượ c xấ p xỉ bở i các công thức (5.6.10) và (5.6.11),

2) Thành lậ p hàm P(z) theo công thức (5.6.21) và tìm nghiệm có phần thực dươ ng a s của nó,



136

3) Lậ p hệ phươ ng trình (5.6.22), giải hệ này ta nhận đượ c các hệ số A s và A,

4) Tìm hàm tr ọng lượ ng g(t) theo công thức (5.6.12),

5) Theo công thức (5.3.1) tìm giá tr ị chưa biết x (t + T).

Khi đó, phươ ng sai sai số của phép xấ p xỉ, đượ c xác định theo công thức (5.3.3) sau khi đã thay thế (5.6.10), (5.6.11), (5.6.12) vào và thực hiện việc tính tích phân, đượ c viết dướ i dạng

( ) ∑∑ ∑=

−

= =

− −+

−=σ p

k

T ck

N

s

p

k

T c

k s

k s x

k k eC Aeca

C A R

11 1

2 0 (5.6.24)

Các ví d ụ

1. Ta xét tr ườ ng hợ p ngắm đón thuần tuý khi có thể hiện x(t) trên khoảng ( −∞ , t) của quá trình ngẫunhiên X(t) có hàm tươ ng quan

( ) τα−=τ De R x . (5.6.25)

Trong tr ườ ng hợ p này, theo (5.3.4) và (5.3.5)

( ) ( ) ( ) τα−=τ=τ=τ De R R R x z xz . (5.6.26)

Khi đó phươ ng trình Viner −Hopf đượ c viết dướ i dạng

( ) 00

≥ττ−τ=+ ∫∞

t ,d )t ( R )( g T t R x x (5.6.27)

Theo (5.6.12), hàm tr ọng lượ ng g(t) sẽ đượ c tìm dướ i dạng

( ) )t ( Ae At g N

s

t a s

s δ+= ∑=

−

1

(5.6.28)

Vì tổng trong các đẳng thức (5.6.10) và (5.6.11) chỉ có một hạng tử, tức là p = 1, m = 0, nên hàm(5.6.21), mà nó có thể có số nghiệm không lớ n hơ n p+m− 1, sẽ không có nghiệm, tức là N=0. Khi đó hàmtr ọng lượ ng đượ c viết dướ i dạng

( )t δ= A g(t) . (5.6.29)

Từ đẳng thức (5.6.22) ta đượ c

T e A α−= (5.6.30)

Từ đó, hàm tr ọng lượ ng tối ưu có dạng

( ) ( )t et g T δ= α− (5.6.31)

Khi đó, theo (5.6.24), phươ ng sai sai số của dự báo, đượ c xác định dướ i dạng( ) ( )T T T

x e D Dee R α−α−α− −=−=σ 22 10 (5.6.32)

Ta nhận đượ c chính k ết quả như trong ví dụ 1 mục 5.5.

2. Xét tr ườ ng hợ p ngắm đón thuần tuý khi quá trình ngẫu nhiên X(t) có hàm tươ ng quan

( ) βτ=τ τα−cos De R x . (5.6.33)

Ta viết ( )τ x R dướ i dạng

( ) [ ]τβ+α−τβ−α− +=τ )i( )i( x ee

D R

2(5.6.34)

Trong tr ườ ng hợ p này



137

( ) ( ) [ ]τβ+α−τβ−α− +=τ=τ )i( )i( z xz ee

D R R

2(5.6.35)

là tổng của hai hạng tử, tức p=2, m=0. Khi đó N=p+m− 1=1, còn hàm tr ọng lượ ng sẽ có dạng

( ) )t ( Ae At g t a

δ+=− 1

1 (5.6.36)Hàm (5.6.21) đượ c viết dướ i dạng

( )( ) ( ) ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

β+α−

β+α+

β−α−

β−απ

=22222 i z

i

i z

i D z P =

= ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

β+α+β−α−

β+α−α

2222222

2222

2 )( )( z z

)( z D (5.6.37)

Hàm này có nghiệm dươ ng duy nhất 22 β+α= z , từ đó cho phép tìm a1 trong biểu thức hàm tr ọng

lượ ng.

Để xác định các hệ số A1 và A ta sử dụng hệ (5.6.22) dướ i dạng

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

=+β+α−β+α

=+β−α−β+α

β+α−

β−α−

T )i(

T )i(

e A )i(

A

,e A )i(

A

22

1

22

1

(5.6.38)

Giải hệ này ta đượ c

T sine A T ββ

⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ β+αα−β+α

= α−

2222

1

2(5.6.39)

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ β

β

α−β+α+β= α− T sinT cose A T

22

(5.6.40)

Cuối cùng hàm tr ọng lượ ng có dạng

( ) +⎪⎩

⎪⎨

⎧

ββ

⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ β−α−β+αα

= β+α− T Te sint g

2222222

+T e )t ( T sinT cos α−

⎪⎭

⎪⎬⎫δ⎥⎥

⎦

⎤⎢⎢

⎣

⎡ ββ

α−β+α+β 22 (5.6.41)

K ết quả nhận đượ c này chính là k ết quả trong ví dụ 2 mục 5.5.



138

Chương 6

XÁC ĐỊNH CÁC ĐẶC TR Ư NG CỦA HÀM NGẪU NHIÊN THEO SỐ LIỆUTHỰ C NGHIỆM

6.1 CÁC ĐẶC TR Ư NG THỐ NG KÊ CỦA HÀM NGẪU NHIÊN

Ở chươ ng 2, chúng ta đã thấy r ằng trong lý thuyết tươ ng quan, ngườ i ta lấy k ỳ vọng toán học và hàmtươ ng quan làm đặc tr ưng của hàm ngẫu nhiên. Ta sẽ xét phươ ng pháp xác định các đặc tr ưng này theo số liệu thực nghiệm. Trong đó cần nhớ r ằng, khi sử dụng các số liệu thực nghiệm, ta không bao giờ giả thiếtcó tậ p hợ p tất cả các thể hiện có thể của hàm ngẫu nhiên, mà chỉ có một số hữu hạn các thể hiện, là một phần nào đó trong tậ p tổng thể.

Vì vậy, các đặc tr ưng của hàm ngẫu nhiên đượ c xác định theo tậ p mẫu này mang tính chất ngẫu nhiênvà có thể khác vớ i những đặc tr ưng thực xác định theo toàn bộ tậ p tổng thể các thể hiện. Những đặc tr ưngnhận đượ c theo số liệu thực nghiệm gọi là những đặc tr ưng thống kê hay ướ c lượ ng thống kê. Khác vớ i giá

tr ị thực của k ỳ vọng toán học )t ( m và hàm tươ ng quan )t ,t ( R 21 , ta sẽ ký hiệu các đặc tr ưng thống kê

tươ ng ứng dướ i dạng )t ,t ( R~

),t ( m~ 21 .

Có thể xét hàm ngẫu nhiên như tậ p hợ p tất cả các lát cắt của nó. Xuất phát từ đó, có thể đưa việc xácđịnh các đặc tr ưng thống kê của hàm ngẫu nhiên về việc xác định các đặc tr ưng tươ ng ứng của hệ các đạilượ ng ngẫu nhiên.

Giả sử do k ết quả thực nghiệm ta nhận đượ c n thể hiện )n , ,i( )t ( X i ..., 21= của quá trình ngẫu

nhiên )t ( X trên khoảng T t t t +≤≤ 00 (hình 6.1).

Ta sẽ chia khoảng này thành m phần bằng nhau bở i các điểm T t ,t ,t ,t m +− 0110 ..., . Đối vớ i mỗi giá

tr ị của đối số jt )m , , j( ...,21= ta nhận đượ c một lát cắt của quá trình ngẫu nhiên )t ( X X j j = là một

đại lượ ng ngẫu nhiên, tức là ta nhận đượ c hệ m đại lượ ng ngẫu nhiên. Và thay cho các đặc tr ưng thống kêcủa quá trình ngẫu nhiên ta sẽ xét những đặc tr ưng tươ ng ứng của hệ các đại lượ ng ngẫu nhiên này.

Theo mục 1.8, những đặc tr ưng đó là: k ỳ vọng toán học của các đại lượ ng ngẫu nhiên

)t ( m~ X m~ j x j = (6.1.1)

là những giá tr ị thống kê của k ỳ vọng toán học của quá trình ngẫu nhiên tại các giá tr ị r ờ i r ạc của đối số t j,và ma tr ận tươ ng quan

⎟⎟

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

mm

m

m

l , j

R~......

R~

... R~

R~

... R~

R~

R~ 222

11211

. (6.1.2)

Các phần tử của ma tr ận tươ ng quan (6.1.2) là mômen tươ ng quan thống kê giữa các lát cắt của quá trìnhngẫu nhiên, ứng vớ i các giá tr ị của đối số jt và l t , tức là các giá tr ị thống kê của hàm tươ ng quan của quá trình

ngẫu nhiên tại những giá tr ị r ờ i r ạc của đối số jt và l t

)t ,t ( R~

R~

l j xl , j = .

Theo luận điểm của thống kê toán học (chẳng hạn, xem [8]), ngườ i ta xem trung bình số học của n giátr ị hiện có của đại lượ ng ngẫu nhiên là giá tr ị thống kê của k ỳ vọng toán học



139

m , , j ),t ( xn

)t ( m~ j

n

i

i j x ..., 211

1

== ∑=

. (6.1.3)

Tươ ng tự, các giá tr ị thống kê của mômen tươ ng quan đượ c xác định theo công thức

[ ][ ] )t ( m~ )t ( x )t ( m~ )t ( xn

)t ,t ( R~ l xl in

i

j x jil j x −−−

= ∑=

11

1 (6.1.4)

Đặc biệt khi l j = , mômen tươ ng quan là giá tr ị thống kê của phươ ng sai tại lát cắt tươ ng ứng

[ ]∑=

−−

==n

i

j x ji j j x j x )t ( m~ )t ( xn

)t ,t ( R~

)t ( D~

1

2

1

1 . (6.1.5)

Các giá tr ị thống kê của hệ số tươ ng quan )t ,t ( r ~r ~l j xl , j = , là những giá tr ị thống kê của hàm tươ ng

quan chuẩn hoá )t ,t ( r ~l j x tại những giá tr ị đối số jt , l t , đượ c xác định theo công thức

)t ( ~ )t ( ~

)t ,t ( R~

)t ,t ( r ~

l x j x

l j xl j x

σσ

=

, (6.1.6)

trong đó )t ( D~

)t ( ~ x x =σ .

Phươ ng pháp vừa xét trên đây, lấy tr ị số trung bình số học theo tất cả các thể hiện có đượ c làm giá tr ị thống kê của k ỳ vọng toán học của đại lượ ng ngẫu nhiên, dựa trên cơ sở sử dụng quy luật số lớ n. Quy luậtnày phát biểu r ằng, khi số lượ ng các thí nghiệm là lớ n, vớ i xác suất gần bằng đơ n vị, có thể cho r ằng độ lệch của giá tr ị trung bình so vớ i k ỳ vọng toán học là nhỏ. Ở đây giả thiết r ằng, các thí nghiệm là độc lậ pvà đượ c tiến hành trong những điều kiện như nhau. Các thí nghiệm đượ c coi là tiến hành trong những điềukiện như nhau nếu khi thực hiện chúng có tính tớ i tậ p hợ p tất cả những tác động mà điều kiện ban đầu vànhững mối liên hệ đượ c giữ nguyên không đổi. Các thí nghiệm đượ c coi là độc lậ p nếu k ết quả của mỗi thí

nghiệm không phụ thuộc vào k ết quả của những lần thí nghiệm khác. Dướ i góc độ toán học, tính độc lậ pcủa các lần thí nghiệm khác nhau tươ ng đươ ng vớ i sự độc lậ p của luật phân bố của hàm ngẫu nhiên trongcác thí nghiệm đó, còn sự tồn tại những điều kiện bên ngoài giống nhau khi tiến hành thí nghiệm tươ ngđươ ng vớ i việc các quy luật phân bố của hàm ngẫu nhiên như nhau trong tất cả các lần thí nghiệm.

Hệ phươ ng pháp vừa xét cũng đượ c ứng dụng để xác định các đặc tr ưng thống kê của tr ườ ng ngẫunhiên.

Giả sử có n thể hiện )n ,i( )( ui ..., 2, 1=ρr

của tr ườ ng ngẫu nhiên )( U ρr

trong miền không gian D

nào đó. Ta chia miền D thành m phần bở i một tậ p hợ p các mặt phẳng song song vớ i các mặt phẳng toạ độ và phân bố cách đều nhau. Ký hiệu jρ

rlà bán kính vectơ của điểm j N , là đỉnh của các khối lậ p phươ ng

mà miền D đã đượ c chia thành. Khi đó ứng vớ i mỗi giá tr ị của đối số jρr

là một đại lượ ng ngẫu nhiên

)( U jρr

− lát cắt của tr ườ ng ngẫu nhiên tại điểm j N . Tất cả các công thức để xác định các đặc tr ưng thống kêcủa tr ườ ng ngẫu nhiên )( U ρ

r đượ c nhận từ các công thức tươ ng ứng của quá trình ngẫu nhiên )t ( X (6.1.3)

− (6.1.6) bằng cách thay thế chỉ số x thành chỉ số u , còn đối số vô hướ ng t đượ c thay bằng đối số vectơ ρr

.

Phươ ng pháp xử lý theo tậ p hợ p các thể hiện của hàm ngẫu nhiên vừa xét đòi hỏi số lượ ng lớ n các thể hiện, bở i vì như đã biết từ thống kê toán học, độ chính xác của các đặc tr ưng thống kê nhận đượ c giảm nhanh khigiảm số lượ ng thể hiện.

Vớ i số lượ ng thể hiện lớ n, việc tính toán theo công thức (6.1.3) và đặc biệt theo công thức (6.1.4) r ấtkhó khăn. Công việc này có thể đượ c thực hiện một cách hiệu quả nhờ máy tính điện tử. Ngày nay ngườ i tađã lậ p các chươ ng trình xác định k ỳ vọng toán học và ma tr ận tươ ng quan cho nhiều loại máy tính khácnhau, nhờ đó thực hiện đượ c việc xử lý các thông tin khí tượ ng thủy văn.

Thông thườ ng trong thực tế, việc đo đạc các yếu tố khí tượ ng thủy văn đượ c tiến hành không liên tục



140

đối vớ i tất cả các giá tr ị của đối số, mà chỉ tại những giá tr ị r ờ i r ạc của nó. Như vậy, khi xác định các đặctr ưng của hàm ngẫu nhiên theo số liệu thực nghiệm quan tr ắc khí tượ ng thủy văn, chúng ta có một hệ cáclát cắt đối vớ i những giá tr ị cụ thể đã cho của đối số, và chúng ta chỉ có thể thao tác vớ i hệ đó.

Trong tr ườ ng hợ p quá trình ngẫu nhiên dừng hay tr ườ ng đồng nhất đẳng hướ ng, k ỳ vọng toán học

không phụ thuộc vào đối số của hàm ngẫu nhiên, còn hàm tươ ng quan là hàm chỉ của một đối số vô hướ ng− modul của hiệu các đối số. Khi đó, việc tính toán đơ n giản hơ n nhiều, thay vì ma tr ận tươ ng quan (6.1.2)chỉ cần tính những phần tử ở hàng đầu tiên của nó, đó chính là các mômen tươ ng quan giữa các lát cắt nằmcách nhau những khoảng khác nhau của hàm ngẫu nhiên.

6.2 CÁC ĐẶC TR Ư NG THỐ NG KÊ CỦA CÁC HÀM NGẪU NHIÊN CÓ TÍNHEGODIC

Đối vớ i quá trình ngẫu nhiên dừng hay tr ườ ng đồng nhất đẳng hướ ng có tính egođic, việc lấy trung bình theo tậ p các thể hiện (xem chươ ng 2) có thể thay bằng việc lấy trung bình theo một thể hiện cho trênkhoảng biến thiên đủ lớ n của đối số.

Ta xét các phươ ng pháp xác định các đặc tr ưng thống kê của hàm ngẫu nhiên trong tr ườ ng hợ p này.Giả sử có thể hiện )t ( x của quá trình ngẫu nhiên dừng egođic )t ( X cho trên khoảng [ ]T , 0 .

Như đã trình bày trong mục 2.6, các giá tr ị của k ỳ vọng toán học và hàm tươ ng quan của quá trìnhngẫu nhiên đượ c xác định theo các công thức (2.6.1) và (2.6.2).

Trong công thức (2.6.2) có mặt giá tr ị thực của k ỳ vọng toán học xm của quá trình ngẫu nhiên. Song

trong đa số tr ườ ng hợ p, giá tr ị này chưa đượ c biết và do đó, thay cho giá tr ị thực buộc phải sử dụng giá tr ị thống kê của k ỳ vọng toán học xm~ .

Trên thực tế, chúng ta thườ ng không có biểu thức giải tích của thể hiện )t ( x mà chỉ có đồ thị biểu

diễn nó, nhận đượ c bằng các dụng cụ tự ghi, hoặc thông thườ ng nhất là bảng các giá tr ị của nó tại những tr ị

số r ờ i r ạc của đối số t .Khi đó, trong các công thức (2.6.1) và (2.6.2), các tích phân đượ c thay thế gần đúng bằng các tổng

tích phân.

Giả sử có băng ghi liên tục của thể hiện )t ( x (hình 6.2), ta chia khoảng [ ]T , 0 thành n phần bằng

nhau có độ dài t Δ và ký hiệu điểm cuối của từng đoạn là )n , , j( t jt j ...,21=Δ= .

Hình 6.1 Hình 6.2

Vì t nT Δ= , nên các công thức (2.6.1) và (2.6.2) có thể viết dướ i dạng

∑=

Δ=n

j x )t j( x

nm~

1

1, (6.2.1)

[ ] [ ][ ] x

k n

j xk x m~t )k j( xm~ )t j( x

k n )( R

~−Δ+−Δ

−=τ ∑

−

=

1

1, (6.2.2)

trong đó )m , ,k ( t k k ..., 21=Δ=τ .



141

Nếu băng ghi thể hiện không liên tục mà là r ờ i r ạc thì jt lấy bằng những giá tr ị của đối số tại đó ghi

giá tr ị của thể hiện )t ( x .

Việc xác định giá tr ị thống kê của k ỳ vọng toán học um~ và hàm tươ ng quan )l ( R~

u của tr ườ ng đồng

nhất đẳng hướ ng )( U ρ

r

theo một thể hiện cho trong miền không gian D cũng đượ c tiến hành bằng cáchtươ ng tự.

Hệ phươ ng pháp vừa xét cũng hoàn toàn đượ c áp dụng để xác định hàm cấu trúc của quá trình dừngegođic hay tr ườ ng ngẫu nhiên đồng nhất đẳng hướ ng. Công thức để xác định giá tr ị thống kê của hàm cấutrúc theo một thể hiện của hàm ngẫu nhiên )t ( X cho trên đoạn ],[ T 0 có dạng

[ ]∫τ−

−τ+τ−

=τT

x dt )t ( x )t ( xT

)( B

0

21. (6.2.3)

Khi thay thế tích phân trong (6.2.3) bằng tổng tích phân, giống như đối vớ i hàm tươ ng quan, ta cócông thức

[ ]∑−

=

−τ+−

=τ k n

j jk jk x )t ( x )t ( x

k n )( B~

1

21 . (6.2.4)

Nếu không chỉ có một thể hiện mà là một số các thể hiện của nó nhận đượ c trong những điều kiệnnhư nhau thì việc xử lý đượ c tiến hành theo phươ ng pháp trên đối vớ i từng thể hiện, sau đó lấy trung bìnhcác đặc tr ưng tính đượ c. Trong tr ườ ng hợ p này, cần nhớ r ằng giá tr ị trung bình của hàm cấu trúc, nhậnđượ c bằng cách lấy trung bình theo một bộ n thể hiện độ dài hữu hạn T , sẽ tiến tớ i giá tr ị thực khi cho

∞→n .

Còn đối vớ i hàm tươ ng quan, do khi tính nó không sử dụng giá tr ị thực mà dùng giá tr ị thống kêcủa k ỳ vọng toán học của hàm ngẫu nhiên, nên giá tr ị trung bình của nó vẫn bị sai lệch, thậm chí cả khicho ∞→n .

Thực vậy, đối vớ i hàm cấu trúc ta có

[ ] [ ] =⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−τ+τ−

=τ ∫τ−

dt )t ( X )t ( X T

M )( B~

M

T

x

0

21

[ ]{ }dt )t ( X )t ( X M T

T

∫τ−

−τ+τ−

=0

21 )( Bdt )( B

T x

T

x τ=ττ−

= ∫τ−

0

1, (6.2.5)

tức là k ỳ vọng toán học của hàm cấu trúc thống kê bằng giá tr ị thực của nó.

Nếu các giá tr ị thống kê của hàm tươ ng quan đượ c xác định theo từng thể hiện độ dài T có sử dụnggiá tr ị thống kê của k ỳ vọng toán học của hàm ngẫu nhiên, thì

[ ] [ ] [ ] =⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−τ+−τ−

=τ ∫τ−

dt m~ )t ( X m~ )t ( X T

M )( R~

M

T

x x x

0

1

[ ] [ ]{ } =−τ+−τ−

= ∫τ−

dt m~ )t ( X m~ )t ( X M T

T

x x

0

1

[ ] [ ]{ } −−τ−τ−

= ∫τ−T

x x dt mt X mt X M T

0

1 )+( )(

[ ][ ]{ } −−τ−

τ−

− ∫τ−T

x x x dt mt X mm~ M

T 0

1 )+(



142

[ ][ ]{ } +−−τ−

− ∫τ−T

x x x dt mt X mm~ M T

0

1 )(

( )[ ]∫

τ−

−τ−

+T

x xdt mm~ M

T 0

21. (6.2.6)

Hạng thứ nhất trong (6.2.6) bằng giá tr ị thực của hàm tươ ng quan )( R x τ . Thế các giá tr ị thống kê

xm~ vào những số hạng còn lại của (6.2.6), sau một số biến đổi ta nhận đượ c biểu thức

[ ] [ ] +ττ−τ+ττ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ττ

−τ−

−τ=τ ∫ 1110

112

d )( TR )( RT )T (

)( R )( R~

M x x

T

x x

[ ] 10

11121

ττ−τ+ττ−τ+τ−

+ ∫τ

d )( R )( R )T ( T )T (

x x (6.2.7)

Từ đó thấy r ằng, k ỳ vọng toán học của giá tr ị thống kê của hàm tươ ng quan, mà giá tr ị trung bình của

nó lấy theo tất cả các thể hiện sẽ tiến tớ i đó khi ∞→n , không trùng vớ i giá tr ị thực của hàm tươ ng quan.Khi 0→τ , từ (6.2.7) ta nhận đượ c công thức cho k ỳ vọng toán học của phươ ng sai thống kê của hàmngẫu nhiên khi tính giá tr ị của nó bằng cách lấy trung bình theo từng thể hiện độ dài T có sử dụng giá tr ị thống kê của k ỳ vọng toán học

[ ] [ ] ∫ τττ−−==T

x x x x d )( R )T ( T

D D~

M )( R~

M

02

20 . (6.2.8)

Từ (6.2.8) thấy r ằng, thậm chí khi số thể hiện để lấy trung bình các giá tr ị thống kê của phươ ng saitiến tớ i vô hạn và khi khoảng ghi thể hiện T hữu hạn thì phươ ng sai trung bình vẫn sẽ khác biệt vớ i giá tr ị thực của phươ ng sai một đại lượ ng phụ thuộc vào T và bằng

∫ τττ−=α

T

x d )( R )T ( T 0

22 . (6.2.9)

Bằng việc xử lý số liệu thực nghiệm như trên, ta nhận đượ c các giá tr ị thống kê của hàm tươ ng quantại những tr ị số r ờ i r ạc của đối số. Để có thể sử dụng tiế p hàm tươ ng quan khi nghiên cứu thống kê các quátrình và các tr ườ ng khí tượ ng thủy văn, thuận tiện hơ n nên sử dụng biểu thức giải tích của hàm tươ ng quannhư là hàm của đối số liên tục. Có thể nhận đượ c hàm như vậy bằng cách xấ p xỉ các giá tr ị tính đượ c bở icác biểu thức giải tích khi sử dụng các phươ ng pháp toán học quen thuộc. Khi chọn biểu thức giải tích để xấ p xỉ hàm tươ ng quan cần nhớ r ằng điều kiện cần về tính dừng của quá trình ngẫu nhiên hay tính đồngnhất của tr ườ ng ngẫu nhiên là điều kiện không âm của phổ. Vì vậy chỉ có thể chọn những hàm nào có phổ không âm làm hàm xấ p xỉ.

Trong chươ ng 3 đã xét chi tiết một số hàm và đã chỉ ra những hàm nào có thể dùng làm hàm tươ ng

quan của quá trình ngẫu nhiên dừng hay tr ườ ng ngẫu nhiên đồng nhất. D ĩ nhiên những hàm này chưa baoquát đượ c tất cả các hàm có phổ không âm mà chúng có thể là hàm tươ ng quan, song như nhiều nghiên cứuđã chỉ ra, những hàm đó thườ ng cho k ết quả khá phù hợ p vớ i số liệu thực nghiệm khi xấ p xỉ giá tr ị thốngkê của hàm tươ ng quan của các quá trình và tr ườ ng khí tượ ng thủy văn.

Khi chọn các biểu thức xấ p xỉ, nên dựng đồ thị các mômen tươ ng quan nhận đượ c và xem xét tínhchất phụ thuộc của nó vào đối số, so sánh đồ thị này vớ i đồ thị các hàm tươ ng quan đã xét ở chươ ng 3. Những chỉ dẫn tỉ mỉ về các phươ ng pháp xấ p xỉ và độ chính xác của chúng đã đượ c xét trong các sáchchuyên khảo và chúng ta sẽ dừng vấn đề này ở đây.6.3 ĐỘ CHÍNH XÁC XÁC ĐỊ NH CÁC ĐẶC TR Ư NG THỐ NG KÊ CỦA HÀM

NGẪU NHIÊN

Do nhiều nguyên nhân làm ảnh hưở ng tớ i độ chính xác, các đặc tr ưng thống kê của hàm ngẫu nhiên



143

xác định theo số liệu thực nghiệm là những đặc tr ưng gần đúng và có thể khác nhiều so vớ i giá tr ị thực của

k ỳ vọng toán học và hàm tươ ng quan. Ta sẽ xét ảnh hưở ng của những nhân tố khác nhau tớ i độ chính xác

của việc xác định các đặc tr ưng thống kê.

Để đơ n giản cho việc tính toán, ta sẽ tiến hành nghiên cứu độ chính xác đối vớ i quá trình ngẫu nhiên.

Vớ i tr ườ ng ngẫu nhiên, tính chất nghiên cứu và các k ết luận sẽ tươ ng tự.

1. Ảnh hưở ng của sai số trong số liệu ban đầu

Các số liệu thực nghiệm đượ c sử dụng khi xử lý không tránh khỏi có chứa những sai số phụ thuộc

vào độ chính xác của phươ ng pháp quan tr ắc và các dụng cụ đo.

Ta sẽ cho r ằng sai số đo là một quá trình ngẫu nhiên )t ( Y có k ỳ vọng toán học )t ( m y và hàm tươ ng

quan )t ,t ( R y 21 .

Khi đó mỗi thể hiện )t ( zi của quá trình ngẫu nhiên )t ( X nhận đượ c do thí nghiệm sẽ là tổng của

giá tr ị thực của thể hiện )t ( xi và sai số đo )t ( yi

)t ( y )t ( x )t ( z iii += . (6.3.1)

Trong tr ườ ng hợ p này, tươ ng ứng vớ i (6.1.3), giá tr ị thống kê của k ỳ vọng toán học )t ( m~ z sẽ bằng

[ ] )t ( m~ )t ( m~ )t ( y )t ( xn

)t ( m~ j y j x

n

i

ji ji j z +=+= ∑=1

1. (6.3.2)

Vì trong tr ườ ng hợ p đang xét, ta chỉ quan tâm tớ i ảnh hưở ng của sai số đo nên ta sẽ coi số thể hiện đủ

lớ n sao cho các đặc tr ưng thống kê của quá trình đượ c xét không khác biệt so vớ i giá tr ị thực tươ ng ứng.

Khi đó có thể viết (6.3.2) dướ i dạng

)t ( m )t ( m )t ( m~ j y j x j z += , (6.3.3)

tức là sai số của giá tr ị thống kê của k ỳ vọng toán học bằng k ỳ vọng toán học của sai số đo.Theo (6.1.4), ta sẽ xác định giá tr ị thống kê của hàm tươ ng quan dướ i dạng

[ ][ ]∑=

=−−−

=n

il zl i j z jil j z )t ( m~ )t ( z )t ( m~ )t ( z

n )t ,t ( R

~

11

1

[ ]×−−+−

= ∑=

n

i

j y j x ji ji )t ( m )t ( m )t ( y )t ( xn 11

1

=−−+× )t ( m )t ( m )t ( y )t ( x l yl xl il i

= )t ,t ( R )t ,t ( R l j yl j x + + )t ,t ( R )t ,t ( R l j yxl j xy + (6.3.4)

Trong thực tế quan tr ắc khí tượ ng thủy văn, thông thườ ng ngườ i ta thừa nhận r ằng sai số đo khôngliên quan vớ i giá tr ị thực của đại lượ ng đượ c đo và các sai số ứng vớ i những giá tr ị khác nhau của đối số không liên hệ vớ i nhau, tức là

, )t ,t ( R )t ,t ( R l j yxl j xy 0== (6.3.5)

⎪⎩

⎪⎨⎧

=σ

≠=

.l j )t (

,l j )t ,t ( R

j yl j y

khi

khi

2

0(6.3.6)

Khi đó công thức (6.3.5) đượ c viết dướ i dạng

⎪⎩

⎪⎨⎧

=σ+σ

≠=

.l j )t ( )t (

,l jt ,t R )t ,t ( R

~

j y j x

l j x

l j z hik

khi )(

22(6.3.7)



144

Từ công thức (6.3.7) suy ra r ằng, trong tr ườ ng hợ p đang xét, sai số đo không ảnh hưở ng tớ i giá tr ị thống kê của hàm tươ ng quan của quá trình ngẫu nhiên khi l j t t ≠ , nhưng làm tăng giá tr ị thống kê của

phươ ng sai )t ( ~ j zσ , nhận đượ c từ (6.3.7) khi l j t t = , lên một lượ ng bằng phươ ng sai của sai số đo

)t ( j y

σ .

Khi đó, theo (6.1.6), giá tr ị thống kê của hàm tươ ng quan chuẩn hoá đượ c xác định như sau

)t ( ~ )t ( ~

)t ,t ( R~

)t ,t ( r ~

l z j z

l j zl j z σσ

= . )t ( )t ( )t ( )t (

)t ,t ( R

l yl x j y j x

l j x

2222 σ+σσ+σ= (6.3.8)

Từ (6.3.8) thấy r ằng, sai số đo làm giảm giá tr ị thống kê của hàm tươ ng quan chuẩn hoá.Đối vớ i các quá trình ngẫu nhiên dừng )t ( Y ),t ( X , hàm tươ ng quan phụ thuộc vào một tham số

jl t t −=τ , còn các phươ ng sai 22 y x ,σσ là những đại lượ ng không đổi, khi đó (6.3.8) đượ c viết thành

dạng

22 y x

x z

)( R )( r ~ σ+σ

τ=τ . (6.3.9)

Chia tử thức và mẫu thức của (6.3.9) cho 2 xσ , ta có

δ+τ=τ

1

1 )( r )( r ~

x z , (6.3.10)

trong đó )( r x τ là giá tr ị thực của hàm tươ ng quan chuẩn hoá, còn2

2

x

y

σ

σ=δ .

Khi 0→τ , hàm tươ ng quan chuẩn hoá tiến tớ i đơ n vị, do đóδ+

→τ1

1 )( r ~

z , và điều này cho phép

xác định đại lượ ng δ .

Ta sẽ dựng đồ thị hàm )( r ~ z τ , bắt đầu từ giá tr ị 0τ=τ và ngoại suy nó đến điểm 0=τ . Nếu 0τ nhỏ

thì có thể tiến hành ngoại suy bằng phươ ng pháp đồ thị. Ngoài ra, cũng có thể thực hiện điều đó bằng cáchxấ p xỉ hàm )( r ~

z τ bằng biểu thức giải tích, sau đó tính giá tr ị của biểu thức này tại 0=τ . Sử dụng đẳng

thức (6.3.10), ta xác định đượ c đại lượ ng

)( r ~ z 0

11 =δ+ . (6.3.11)

Bây giờ những giá tr ị bị hạ thấ p của hàm tươ ng quan chuẩn hoá thống kê có thể đượ c hiệu chỉnh lạikhi nhân chúng vớ i đại lượ ng δ+1 vừa tìm đượ c.

Để hiệu chỉnh giá tr ị bị tăng của phươ ng sai thống kê, cần phải lấy giá tr ị nhận đượ c của 2 z~σ chia cho

δ+1 theo công thức

δ+σ

=σ1

22 z x

~. (6.3.12)

Giá tr ị thống kê của hàm cấu trúc )( B z τ đượ c xác định

[ ] =τ−τ+−

=τ ∑=

n

i

ii z )( z )t ( zn

)( B~

1

2

1

1

[ ] =−−τ++τ+

−

= ∑=

n

i

iiii )t ( y )t ( x )t ( y )t ( x

n 1

2

1

1



145

. )( R )( R )( R )( R )( B )( B yx xy xy xy y x τ−τ−++τ+τ= 002 (6.3.13)

Cũng dựa trên giả thiết về tính không tươ ng quan giữa sai số đo và các đại lượ ng đượ c đo và tínhkhông tươ ng quan vớ i nhau giữa sai số tại những thờ i điểm t khác nhau, ta nhận đượ c

2

2 y x z )( B )( B~

σ+τ=τ . (6.3.14)

Như vậy giá tr ị thống kê của hàm cấu trúc bị tăng lên một lượ ng bằng hai lần phươ ng sai của sai số.

Vì 00 = )( B x nên 220 y z )( B~

σ= . Từ đây có thể tìm đượ c đại lượ ng 22 yσ bằng cách ngoại suy đồ thị

hàm cấu trúc )( B~ z τ đến điểm 0=τ . Sau khi xác định đượ c 2

yσ , có thể hiệu chỉnh các giá tr ị nhận đượ c

của hàm cấu trúc bằng cách tr ừ chúng cho 22 yσ .

Hàm cấu trúc chuẩn hoá đượ c xác định theo công thức

)( R

)( B

)( B

)( B )( b

z

z

z

z z 02

τ=

∞τ

=τ . (6.3.15)

Do đó, giá tr ị thống kê của hàm cấu trúc chuẩn hoá đượ c xác định theo công thức

δ+δ+τ

=σ+σ

σ+τσ=

σ+σ

σ+τ=τ

122

22

22

222

22

22

2 )( b )( b )( B

)( b~ x

y x

y x x

y x

y x z . (6.3.16)

Công thức này đặc tr ưng cho sự sai lệch của hàm cấu trúc gây nên bở i sai số đo.

Chúng ta đã xét ảnh hưở ng của sai số đo trong số liệu ban đầu đến độ chính xác của các đặc tr ưngthống kê tính đượ c bằng phươ ng pháp lấy trung bình theo tậ p hợ p các thể hiện. Các sai số đo cũng ảnhhưở ng đúng như vậy đến độ chính xác của các đặc tr ưng thống kê của hàm ngẫu nhiên dừng egođic khinhững đặc tr ưng này đượ c xác định bằng cách lấy trung bình theo một thể hiện vớ i độ dài đủ lớ n.

2. Ảnh hưở ng của sự hạn chế số lượ ng các thể hiện

Khi xác định các đặc tr ưng thống kê của hàm ngẫu nhiên bằng cách lấy trung bình theo tậ p các thể hiện, chúng ta chỉ có một số lượ ng hạn chế các thể hiện, thườ ng là không lớ n.

Như đã biết trong thống kê toán học, độ chính xác của việc xác định các đại lượ ng này phụ thuộc vàosố lượ ng thể hiện. Đối vớ i những đại lượ ng ngẫu nhiên phân bố gần chuẩn, sai số bình phươ ng trung bình

r σ của hệ số tươ ng quan đượ c xác định theo công thức

1

1 2

−

−=σ

n

r r , (6.3.17)

trong đó r là giá tr ị thực của hệ số tươ ng quan, n là số lượ ng các quan tr ắc độc lậ p. Từ công thức này tathấy r ằng, đại lượ ng r σ phụ thuộc đáng k ể vào giá tr ị của hệ số tươ ng quan.

Ký hiệu

1

1 2

−

−=

σ=γ

nr

r

r r , (6.3.18)


- vớ i 90 ,r = thì 1

20

−=γ

n

, ,

- vớ i 50 ,r = thì1

51

−=γ

n

, ,



146

- vớ i 10 ,r = thì1

99

−=γ

n

, .

Điều này cho thấy, giá tr ị thống kê của các hệ số tươ ng quan đối vớ i các cặ p lát cắt của hàm ngẫunhiên liên hệ chặt chẽ vớ i nhau là tin cậy hơ n so vớ i tr ườ ng hợ p các lát cắt liên hệ yếu.

Đối vớ i những quá trình ngẫu nhiên gặ p trong khí tượ ng thủy văn, mối liên hệ tươ ng quan thườ ng giảmkhá nhanh khi tham số τ tăng.

Như vậy, các giá tr ị )( R τ nhận đượ c theo số liệu thực nghiệm sẽ chính xác hơ n vớ i những tr ị số τ

nhỏ và ít tin cậy khi τ lớ n. Xuất phát từ đó, khi xấ p xỉ các giá tr ị nhận đượ c của hàm tươ ng quan )( R τ

bằng biểu thức giải tích cần phải đạt đượ c sự phù hợ p tốt giữa các giá tr ị thực nghiệm và giá tr ị làm tr ơ n tạinhững τ không lớ n, nếu cho r ằng sự sai lệch tại những tr ị số τ lớ n chủ yếu là do ngẫu nhiên.

Đối vớ i những hàm ngẫu nhiên dừng, các giá tr ị của hàm tươ ng quan có thể đượ c chính xác hoá bằng

cách tính chúng cho những tr ị số τ giống nhau lấy trên những đoạn khác nhau của khoảng biến thiên củađối số t , và sau đó lấy trung bình chúng. Trong tr ườ ng hợ p này sai số bình phươ ng trung bình của chúng

sẽ giảm. Mức độ giảm của sai số này càng đáng k ể nếu các lát cắt của hàm ngẫu nhiên trên những đoạn củakhoảng biến thiên t , mà trên đó ta tính các tr ị số )( r τ để lấy trung bình, càng ít liên hệ vớ i nhau.

Khi để ý đến điều đó, cần lặ p lại việc tính toán )( r τ qua các khoảng biến thiên đủ lớ n của tham số t

sao cho mối liên hệ tươ ng quan giữa các lát cắt trong những khoảng đó tr ở nên không đáng k ể.

Nếu các hệ số tươ ng quan tham gia vào phép lấy trung bình đượ c tính trên những đoạn thực tế độc lậ p

vớ i nhau, thì như đã biết, sai số bình phươ ng trung bình r σ sẽ giảm đi k lần, vớ i k là số giá tr ị )( r τ

đem lấy trung bình. Bây giờ ta sẽ xét sai số xuất hiện khi xác định các đặc tr ưng thống kê bằng cách lấy

trung bình theo một thể hiện.

3. Ảnh hưở ng của sự hạn chế khoảng ghi thể hiện

Khi xác định các đặc tr ưng thống kê của hàm ngẫu nhiên dừng có tính egođic bằng cách lấy trung

bình theo một thể hiện sẽ xuất hiện sai số do chúng ta chỉ có một bản ghi thể hiện trên một khoảng biến

thiên hữu hạn nào đó của đối số mà không phải trên toàn bộ khoảng vô hạn.

Khi đó, mỗi đặc tr ưng thống kê sẽ là một đại lượ ng ngẫu nhiên và ta quan tâm tớ i mức độ sai lệch có

thể của đại lượ ng này khỏi giá tr ị thực của nó. Vì vậy, đươ ng nhiên ta sẽ lấy bình phươ ng trung bình độ

lệch của các giá tr ị có thể của đặc tr ưng thống kê so vớ i giá tr ị thực làm thướ c đo độ chính xác của đặc

tr ưng thống kê này.

Giả sử giá tr ị thực của đặc tr ưng là a, còn giá tr ị thống kê của nó nhận đượ c bằng việc lấy trung bình

theo một thể hiện là một trong những giá tr ị có thể của đại lượ ng ngẫu nhiên A~

, khi đó để làm thướ c đo độ

chính xác ngườ i ta dùng đại lượ ng

( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −=σ

2a A

~ M . (6.3.19)

Khi xác định giá tr ị thống kê của k ỳ vọng toán học xm~ bằng cách lấy trung bình theo một thể hiện của

hàm ngẫu nhiên )t ( X cho trên khoảng [ ]T , 0 , theo (2.6.1) thì đại lượ ng (6.3.19) sẽ đượ c xác định dướ i dạng

=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−=σ ∫

2

0

2 1 T

xm mdt )t ( X T

M



147

[ ][ ] =⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−−= ∫ ∫ 210 0

212

1dt dt mdt )t ( X mdt )t ( X

T M

T T

x x

∫ ∫ −=

T T

x ,dt dt )t t ( RT 02112

02

1

(6.3.20)

trong đó xm là giá tr ị thực của k ỳ vọng toán học của hàm ngẫu nhiên )t ( X , còn )( R )t t ( R x x τ=− 12 là

hàm tươ ng quan của nó. Ta biến đổi tích phân hai lớ p trong (6.3.20)

.dt dt )t t ( Rdt dt )t t ( R J

T T

x

T T

x ∫ ∫∫ ∫⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−=−=

01

0212

0 02112 (6.3.21)

Thay biến τ=− 12 t t ở tích phân bên trong

∫ ∫ ⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ττ=

−

−

T t T

t

x dt d )( R J

0

1

1

(6.3.22)

và lấy tích phân từng phần, ta đượ c

∫∫∫ −−τττ−ττ=T

x

T

x

T

x dt )t T ( tRd )( Rd )( RT J

000

. (6.3.23)

Sau khi thay τ=− t T trong tích phân cuối cùng của (6.3.23)

∫ τττ−=T

x d )( R )T ( J

0

2 . (6.3.24)

Thế (6.3.24) vào (6.3.20), cuối cùng ta có

ττ⎟ ⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ τ−=σ ∫ d )( RT T

T

xm

0

2 12 . (6.3.25)

Từ (6.3.25) thấy r ằng độ lệch bình phươ ng trung bình mσ , đặc tr ưng cho độ chính xác của việc xác

định giá tr ị thống kê của k ỳ vọng toán học, phụ thuộc vào khoảng lấy trung bình T và phụ thuộc vào dạngcủa hàm tươ ng quan )( R x τ .

Ví dụ, đối vớ i hàm ngẫu nhiên )(t X có hàm tươ ng quan

τα−=τ e D )( R x x , (6.3.26)

( )⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡ −α

−α

=τ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ τ−

α=σ α−ατ−∫ T x

T x

m eT T

Dd e

T T

D1

11

21

2

0

2 . (6.3.27)

Từ đó thấy r ằng, đại lượ ng 2mσ phụ thuộc vào tích T α . Vớ i những giá tr ị αT lớ n, công thức xấ p xỉ

sau đây sẽ đúng

T

D xm α

≈σ22 (6.3.28)

hay

T D x

m

α≈

σ 2. (6.3.29)

Công thức (6.3.29) cho thấy r ằng, tỷ tr ọng tươ ng đối của độ lệch bình phươ ng trung bình của sai số, xác

định giá tr ị thống kê của k ỳ vọng toán học của hàm ngẫu nhiên )t ( X so vớ i độ lệch bình phươ ng trung bình



148

của nó x x D=σ , tỷ lệ nghịch vớ i căn bậc hai của khoảng lấy trung bình T . Từ (6.3.29), vớ i tr ị số α đã

cho, có thể tìm đượ c độ dài cần thiết của khoảng T khi cho tr ướ c sai số tươ ng đối cho phép x

m

σσ

.

Khi xác định giá tr ị thống kê của hàm tưươ ng quan )( R~ x τ bằng cách lấy trung bình theo một thể

hiện của hàm ngẫu nhiên )t ( X cho trên khoảng [ ]T , 0 , theo (2.6.2), đại lượ ng (6.3.19) sẽ đượ c xác định

dướ i dạng

[ ] =τ−τ=τσ22

)( R )( R~

M )( x x R

[ ] [ ]⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡τ−−τ+−

τ−= ∫

τ− 2

0

1

)( Rdt m )t ( X m )t ( X T

M x x

T

x . (6.3.30)

Đối vớ i tr ườ ng hợ p hàm ngẫu nhiên dừng phân phối chuẩn, bằng cách biến đổi biểu thức (6.3.30), ví

dụ như trong [16] đã thực hiện, có thể nhận đượ c công thức gần đúng để tính )( R τσ2

[ ]∫∞

ττ−ττ+τ+ττ−

≈τσ0

111122 2

d )( R )( R )( RT

)( x x x R . (6.3.31)

Công thức này đúng đối vớ i những giá tr ị T lớ n và vớ i những giá tr ị τ mà tại đó )( R τ còn có giá tr ị

đáng k ể.

Sử dụng công thức (6.3.31) có thể nhận đượ c giá tr ị )( R τσ2 đối vớ i hàm ngẫu nhiên có hàm tươ ng

quan (6.3.26) dướ i dạng

[ ]ατ−ατ++τ−α

≈τσ 22 211 e )( )T (

D )( x

R . (6.3.32)

Đặc biệt vớ i 0=τ , ta đượ c công thức gần đúng đối vớ i độ lệch bình phươ ng trung bình của phươ ngsai thống kê

T

D x D α

≈σ2 . (6.3.33)

Từ đó thấy r ằng tỷ số giữa Dσ và độ lệch bình phươ ng trung bình xσ của hàm ngẫu nhiên tỷ lệ

nghịch vớ i căn bậc hai của khoảng lấy trung bình T .

4. Ảnh hưở ng của phép thay thế tích phân bằng tổng tích phân

Như đã chỉ ra ở trên, khi xác định các đặc tr ưng thống kê của hàm ngẫu nhiên bằng cách lấy trung bình theo một thể hiện sẽ xuất hiện sai số do tích phân xác định trong các công thức (2.6.1) và (2.6.2) bị

thay thế bằng tổng tích phân (6.2.1) và (6.2.2).Theo (6.3.19), độ lệch bình phươ ng trung bình mσ , đặc tr ưng cho độ chính xác của việc xác định k ỳ

vọng toán học thống kê, đượ c xác định dướ i dạng

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−=σ ∑

=

2

1

2 1 n

j x jm m )t ( X

n M

[ ] =+−⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡= ∑∑

==

2

1

2

12

21 x

n

j j

xn

j j m )t ( X M

n

m )t ( X M

n



149

[ ] =+−= ∑ ∑= =

2

1 12

21 x

n

j x

xn

k k j mnm

n

m )t ( X )t ( X M

n

[ ][ ]{ }=−−=

∑ ∑= =

n

j xk x j

n

k

m )t ( X m )t ( X M n 1 12

1

∑∑= =

−=n

j jk

n

k x )t t ( R

n 1 12

1. (6.3.34)

Khi phân chia khoảng lấy trung bình T ra làm n phần bằng nhau thì ,n

T k t k =

n

T jt j = , do đó

, ) jk ( n

T ) jk ( t t jk Δ−=−=− (6.3.35)

trong đón

T =Δ .

Sử dụng (6.3.35), có thể viết (6.3.34) dướ i dạng

[ ]∑∑= =

Δ−=σn

j

n

k xm ) jk ( R

n 1 12

2 1. (6.3.36)

Theo công thức này, khi biết hàm tươ ng quan của quá trình ngẫu nhiên )( R x τ , có thể ướ c lượ ng

đượ c đại lượ ng mσ ứng vớ i bướ c chia Δ đã chọn, hoặc nếu cho tr ướ c đại lượ ng mσ cho phép có thể chọn

đượ c bướ c chia tươ ng ứng vớ i nó.

Cụ thể, đối vớ i hàm tươ ng quan (6.3.26) đại lượ ng 2mσ tính theo công thức (6.3.36) sẽ bằng [16]

( )( )

⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣

⎡ −−

Δ−−

Δ+Δ=σ α−

Δ

ΔΔα

T xm e

e

e

T eT T D 1

12

112

22

2222 . (6.3.37)

Từ đây thấy r ằng, độ lệch bình phươ ng trung bình của giá tr ị thống kê của k ỳ vọng toán học so vớ igiá tr ị thực của nó phụ thuộc vào khoảng lấy trung bình T và bướ c chia Δ của khoảng đó khi thay thế tích phân xác định bằng tổng tích phân.

Trong công thức (6.3.37), khi giảm vô hạn bướ c chia, tức là khi )n( ∞→→Δ 0 :

,eT

lim ,T

limΔα

=−

Δ=

ΔΔα→Δ→Δ

2

1

120

00

( ) .T e

e

T lim

22

2

0

2

1

2

α=

−αΔ

Δα

Δα

→Δ

Từ đó

( )⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡ −α

−α

=σ α−

→Δ

T xm e

T T

Dlim 1

112

0. (6.3.38)

Từ (6.3.38) thấy r ằng, khi giá tr ị bướ c chia Δ nhỏ, đại lượ ng mσ sẽ giảm khi T α tăng.

Vớ i những giá tr ị Δ đủ nhỏ và T α đủ lớ n, ta có công thức gần đúng

T

D xm α

≈σ . (6.3.39)

Tươ ng ứng vớ i (6.3.19) và (6.2.2), độ lệch bình phươ ng trung bình của giá tr ị thống kê của hàm tươ ngquan so vớ i giá tr ị thực của nó do việc thay thế tích phân bằng tổng tích phân đượ c xác định theo công thức

[ ] =τ−τ=σ 22 )( R )( R~ M x x R



150

[ ]⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡τ−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+−− ∑

−

=

2

1

1 )( Rm )

n

T k t ( X m )t ( X

k n M x

k n

j x j x j (6.3.40)

Khi sử dụng phươ ng pháp đơ n giản hoá chính biểu thức (6.3.40) và cả cho biểu thức (6.3.30) mà(6.3.40) chỉ khác vớ i nó ở chỗ tích phân trong đó đượ c thay bằng tổng tích phân, có thể nhận đượ c côngthức gần đúng đối vớ i hàm ngẫu nhiên phân bố chuẩn

⎩⎨⎧

+⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−

≈σn

T k R )( R

k nx x R222 0

1

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ + ∑=

n

j x x x

n

T k

n

T j R

n

T k

n

T j R

n

T j R

1

222 . (6.3.41)

Công thức này đúng đối vớ i khoảng lấy trung bình T khá lớ n và vớ i những tr ị số của k mà ở đó hàm

tươ ng quan⎟ ⎠

⎞

⎜⎝

⎛

n

T k R

xvẫn còn đạt giá tr ị đáng k ể.

Đối vớ i quá trình ngẫu nhiên có hàm tươ ng quan (6.3.26), đại lượ ng 2 Rσ , tính theo công thức

(6.3.41), bằng [16]

2 Rσ ≈ ( )

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

++−

+−

Δα−Δ−Δα−

Δα−k k x kee

e

e

k n

D 222

22

211

1. (6.3.42)

Đặc biệt khi 0=k , ta nhận đượ c công thức gần đúng đối vớ i độ lệch bình phươ ng trung bình của

phươ ng sai thống kê

Δα−

Δα−

−

+×≈σ

2

2

1

12

e

e

n

D x D . (6.3.43)

Có thể nhận đượ c các công thức tươ ng tự đối vớ i độ lệch bình phươ ng trung bình 2 Bσ , xuất hiện do

sự hạn chế khoảng lấy trung bình T của thể hiện cũng như do việc thay thế tích phân bằng tổng tích phân,của giá tr ị thống kê hàm cấu trúc so vớ i giá tr ị thực của nó. Các công thức này và những ướ c lượ ng tươ ngứng đối vớ i quá trình ngẫu nhiên có hàm tươ ng quan (6.3.26) đượ c trình bày, chẳng hạn, trong công trình[1].

Ví d ụ

Ta sẽ minh họa hệ phươ ng pháp đã trình bày bằng ví dụ chỉnh lý thống kê số liệu gió cao không trênmực 250 mb, đượ c quan tr ắc bằng bóng thám không trong thờ i k ỳ từ tháng 9/1957 đến tháng 4/1959 ở Avakuni (Nhật Bản). Tr ườ ng vectơ vận tốc gió trên mực này đượ c xem là tr ườ ng ngẫu nhiên vectơ phẳng.

Có tất cả 86 lần thả bóng đượ c tiến hành, tức là có 86 thể hiện của tr ườ ng ngẫu nhiên. Độ dài thờ igian các lần thả bóng khác nhau, dài nhất là 92 giờ . Đại lượ ng vectơ vận tốc gió đượ c ghi vớ i thờ i đoạn 6giờ một, tức là có 15 lát cắt của tr ườ ng ngẫu nhiên.

Tại thờ i điểm ban đầu máy thám không ở vị trí điểm )( N oo ρr

của mặt phẳng, sau thờ i gian t nó dịch

chuyển đến điểm )( N ρr

, tức là ta sẽ xét tr ườ ng ngẫu nhiên trong miền không−thờ i gian. Do đó các đặc

tr ưng thống kê của nó, như k ỳ vọng toán học và hàm tươ ng quan, là hàm của toạ độ không gian và thờ igian.

Nhiều công trình nghiên cứu tr ườ ng gió chứng tỏ r ằng, trong giớ i hạn của khoảng cách và khoảngthờ i gian xảy ra ở tr ườ ng hợ p trên đây, tr ườ ng gió trong mặt phẳng ngang thực tế có thể xem là đồng nhất

và đẳng hướ ng vớ i độ chính xác chấ p nhận đượ c. Vì vậy (xem mục 2.14), có thể đặc tr ưng nó bằng hai



151

hàm tươ ng quan: hàm tươ ng quan dọc )( G 1 và hàm tươ ng quan ngang )( F 1 . Đối vớ i tr ườ ng gió có thể

lấy thành phần v ĩ hướ ng của vectơ gió, mà ta ký hiệu là )( U ρr

, làm thành phần dọc, còn thành phần kinh

hướ ng )( V ρr

của nó làm thành phần ngang.

Như vậy, bài toán đượ c đưa về việc tìm k ỳ vọng toán học và hàm tươ ng quan của các thành phầnkinh hướ ng và v ĩ hướ ng của vectơ gió.

Ở mỗi thể hiện, thành phần kinh hướ ng và v ĩ hướ ng đượ c tính cho tất cả các thờ i điểm ghi vectơ gió,tức là vớ i thờ i khoảng 6 giờ .

Vì quá trình dịch chuyển của bóng thám không qua các khoảng thờ i gian này không đượ c ghi lại, nênchúng ta qui ướ c sẽ chỉ xét thờ i gian như là một tham số, mặc dù trên thực tế các hàm tươ ng quan thống kêlà hàm của hai tham số − khoảng thờ i gian 12 t t −=τ và tươ ng ứng vớ i nó là khoảng cách giữa các điểm

12 ρ−ρ=rr

l , tức là chúng là hàm tươ ng quan không − thờ i gian.

Để có khái niệm tr ực quan về tính chất của hàm ngẫu nhiên đang xét, trên hình 6.3 biểu diễn một vàithể hiện của thành phần gió v ĩ hướ ng. Trên hình, các giá tr ị r ờ i r ạc của từng thể hiện đã đượ c nối lại bằng

các đườ ng liền nét.Dạng của các đườ ng cong không mâu thuẫn vớ i giả thiết về tính đồng nhất và egođic của hàm ngẫu

nhiên đượ c xét. Chúng có dạng dao động ngẫu nhiên xung quanh giá tr ị trung bình chung, hơ n nữa cả biênđộ trung bình và đặc điểm của các dao động này không biểu hiện sự biến đổi đáng k ể theo thờ i gian. Ngoàira, điều đó khẳng định dạng hàm tươ ng quan nhận đượ c khi xử lý.

Những tính toán do G. A. Degtiapenko thực hiện trên máy tính điện tử “Uran”. Trong đó chươ ngtrình đượ c lậ p có tính đến độ dài khác nhau của các thể hiện riêng biệt.

K ỳ vọng toán học và phươ ng sai đượ c tính cho từng giá tr ị tham số t theo các công thức (6.1.3),

(6.1.5) bằng cách lấy trung bình theo số các lát cắt thực có của thể hiện.

Trong bảng 6.1 đã dẫn ra giá tr ị k ỳ vọng toán học um~ và độ lệch bình phươ ng trung bình uσ~ đối vớ i

từng lát cắt của thành phần v ĩ hướ ng. Từ bảng thấy r ằng, um~ không phải là đại lượ ng không đổi mà có tính

chu k ỳ nào đó, tức là tính dừng chỉ có thể đượ c chấ p nhận vớ i gần đúng nhất định. Các giá tr ị uσ~ cũng

khác nhau đôi chút.

Hình 6.3

Để loại bỏ sai số một cách chính xác hơ n, ở đây đã tính các hàm cấu trúc và hàm tươ ng quan tách biệtnhau theo số liệu thực nghiệm.

Tất cả các thể hiện (các lần thả bóng) đã đượ c chia thành ba nhóm theo giá tr ị của tốc độ gió: I − 50km/h; II − 50 – 100 km/h và III − trên 100 km/h.

Các hàm cấu trúc và hàm tươ ng quan đượ c xác định riêng biệt cho từng thể hiện theo các công thức(6.2.17) và (6.2.6), sau đó lấy trung bình theo tất cả các thể hiện của từng nhóm.



152

Bảng 6.1

t (giờ) 6 12 18 24 30 36 42 48

um~ (m/s) 2,0 2,7 -2,2 -2,2 3,0 1,7 -2,6 -1,5

uσ~

(m/s)16 15 13 15 14 13 11 12

t (giờ) 54 60 66 72 78 84 90

um~ (m/s) 2,4 2,0 -2,6 -2,2 -0,8 0,4 0,3

uσ~ (m/s) 13 9 8 13 11 8 11

Trên hình 6.4 đưa ra hàm cấu trúc đã trung bình hoá của thành phần v ĩ hướ ng. Từ hình vẽ thấy r ằng,giá tr ị lớ n nhất của các hàm cấu trúc đạt đượ c tại 30=τ giờ . Tiế p theo đó ta thấy hàm cấu trúc giảm. Sự

giảm này đượ c giải thích bở i sự hiện diện của tính chu k ỳ trong cấu trúc của hàm ngẫu nhiên.

Từ hình 6.4 cũng thấy r ằng, các giá tr ị của hàm cấu trúc nhận đượ c bị sai lệch. Nếu kéo dài chúng đến

điểm 0=τ thì giá tr ị nhận đượ c sẽ khác không. Những tr ị số ngoại suy )( B~

0 này có giá tr ị bằng hai lần

phươ ng sai sai số trong số liệu ban đầu và chúng phải đượ c tr ừ bỏ khỏi các giá tr ị của hàm cấu trúc. Chínhnhững giá tr ị này đượ c sử dụng để chỉnh lý các hàm tươ ng quan thu đượ c. Khi đó, giả thiết r ằng tại các giátr ị τ nhỏ, hàm cấu trúc chính xác hơ n.

Hình 6.4 Hình 6.5 Các hàm tươ ng quan của thành phần v ĩ hướ ng đượ c biểu diễn trên hình 6.5. Từ hình vẽ thấy r ằng, các

hàm tươ ng quan )( R~

u τ dần tớ i 0 khi ∞→τ , điều đó xác nhận giả thiết về tính egođic của hàm ngẫu nhiên.

Các đồ thị của hàm tươ ng quan tươ ng ứng vớ i nhóm thứ nhất và nhóm thứ hai của những lần thả bóng (khi tốc độ gió nhỏ hơ n 100 km/h), làm gợ i nhớ tớ i đồ thị hàm

22 ατ−σ=τ e )( R .

Đồ thị của hàm tươ ng quan đối vớ i tốc độ gió trên 100 km/h làm gợ i nhớ đến đồ thị hàm

βτσ=τ ατ− cose )( R 2 .



153

PHẦN 2 - MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÍ TƯỢ NG VÀ

THỦY VĂN GIẢI BẰNG CÁC PHƯƠ NG PHÁP LÝ

THUYẾT HÀM NGẪU NHIÊN

Chương 7

NGHIÊN CỨ U CẤU TRÚC THỐNG KÊ CÁC TR ƯỜ NG KHÍ TƯỢ NG

7.1 NHẬ N XÉT CHUNG VỀ CẤU TRÚC CÁC TR ƯỜ NG KHÍ TƯỢ NG

Đặc điểm của khí quyển là tính chất chuyển động r ối hỗn loạn. Các tr ườ ng yếu tố khí tượ ng r ất linhđộng. Sự phụ thuộc của các giá tr ị tức thờ i của tr ườ ng vào tọa độ không gian và thờ i gian r ất phức tạ p. Hơ nnữa, những giá tr ị đó, khi quan tr ắc trong cùng những điều kiện như nhau, mỗi lần chúng lại một khác. Dođó, không thể mô tả các tr ườ ng này theo kiểu cho những giá tr ị tức thờ i tại từng điểm không gian và tạitừng thờ i điểm.

Để nghiên cứu cấu trúc các tr ườ ng yếu tố khí tượ ng thì quan điểm lý thuyết xác suất là hợ p lý. Theoquan điểm này, mỗi tr ườ ng đượ c xem như một tr ườ ng ngẫu nhiên và để mô tả nó sẽ sử dụng các phươ ng pháp của lý thuyết hàm ngẫu nhiên.

Cơ sở của quan điểm này là không xem xét những đặc điểm của các giá tr ị tức thờ i riêng lẻ, mà khảosát một số tính chất trung bình của tậ p hợ p thống kê các thể hiện của tr ườ ng ứng vớ i một tậ p những điềukiện bên ngoài nhất định nào đó.

Như ta đã thấy ở chươ ng 6, khi xác định bằng thực nghiệm các đặc tr ưng thống kê của tr ườ ng ngẫunhiên, giả thiết đượ c đưa ra là tồn tại một tậ p hợ p thể hiện nào đó của nó ứng vớ i những điều kiện thínghiệm như nhau, hoặc tồn tại một thể hiện của tr ườ ng trong miền không gian, thờ i gian đủ lớ n đối vớ itr ườ ng hợ p tr ườ ng đồng nhất có tính egodic.

Ta sẽ xét vấn đề thu nhận tậ p hợ p thống kê các thể hiện đối vớ i các tr ườ ng khí tượ ng.

Về nguyên tắc, các tr ườ ng khí tượ ng không bao giờ lặ p lại vớ i cùng những điều kiện bên ngoài.Trong khả năng của mình, nhà khí tượ ng không bao giờ có đượ c một tậ p hợ p thống kê các hành tinh hoàn

toàn tươ ng tự Trái Đất, vì vậy, nói một cách chính xác, các tr ườ ng khí tượ ng có thể đượ c gọi là các tr ườ ngngẫu nhiên theo ngh ĩ a của lý thuyết hàm ngẫu nhiên chỉ là quy ướ c.

Trong khí tượ ng học, một quá trình thống nhất thườ ng đượ c chia làm nhiều phần, và chính các phầnnày đượ c quy ướ c chấ p nhận là các thể hiện khác nhau, tức là, ngườ i ta sử dụng những quan tr ắc đượ c tiếnhành ở những miền không gian khác nhau hoặc tại những thờ i điểm khác nhau vớ i tư cách là các thể hiệncủa tr ườ ng ngẫu nhiên. Khi đó, ngườ i ta chấ p nhận những quan tr ắc đã từng đượ c thực hiện ở những miềnkhông gian hay trong những khoảng thờ i gian tươ ng tự nhau theo một ngh ĩ a nào đó như là các thể hiệntươ ng ứng vớ i những điều kiện bên ngoài như nhau, những quan tr ắc này có thể đượ c sử dụng để xử lýthống kê.

Trong lý thuyết hàm ngẫu nhiên, ta gọi những tình huống, trong đó, các quy luật phân bố của tr ườ ng

ngẫu nhiên đượ c bảo toàn, là những tình huống tươ ng ứng vớ i những điều kiện bên ngoài như nhau. Trên



154

thực tế, thườ ng không biết tr ướ c các quy luật phân bố đó. Vì vậy, sự lựa chọn các tình huống tươ ng tự đượ c tiến hành dựa theo kinh nghiệm hàng ngày của nhà khí tượ ng và các k ết quả nghiên cứu tr ướ c đó.

Trong từng tr ườ ng hợ p cụ thể, kiến thức nhận đượ c về cấu trúc của tr ườ ng đượ c xét phụ thuộc vàoviệc chọn các tình huống tươ ng tự để lấy trung bình ra sao. Một yêu cầu khác đối vớ i tậ p các thể hiện là

tính độc lậ p của các thể hiện riêng biệt. Nếu các thể hiện liên quan chặt chẽ vớ i nhau, thì tất cả chúng sẽ chứa r ất ít thông tin mớ i so vớ i mỗi một thể hiện trong chúng, và do đó, tăng số lượ ng thể hiện trongtr ườ ng hợ p này không làm chính xác thêm một cách đáng k ể các đặc tr ưng thống kê.

Xuất phát từ những đòi hỏi trên và bản chất vật lý của các quá trình khí tượ ng, có thể nêu ra một số điểm cơ bản cần phải tính đến khi gộ p các số liệu thực nghiệm vào một tậ p hợ p thống kê.

Khi chọn các thờ i điểm ứng vớ i những tình huống tươ ng tự, phải xuất phát từ sự tồn tại biến trìnhngày và năm của các yếu tố khí tượ ng. Sự hiện diện của biến trình ngày dẫn đến có thể xem các thờ i điểmứng vớ i một thờ i gian nhất định trong ngày là tươ ng tự. Do có biến trình năm, không thể coi những thờ iđiểm ứng vớ i các mùa khác nhau trong năm là những tình huống tươ ng tự. Nói đúng ra, chỉ có thể coinhững thể hiện nhận đượ c trong cùng một ngày, một giờ của từng năm là tươ ng tự. Tuy nhiên thực tế điều

này bất lợ i, vì khi đó ta sẽ chỉ có thể làm việc vớ i một tậ p r ất nhỏ các thể hiện, việc lấy trung bình theo tậ pnày sẽ không đảm bảo cho việc nhận các đặc tr ưng thống kê đủ tin cậy. Do đó, trong thực tế, ngườ i tathườ ng nhóm tất cả những thể hiện không phải ứng vớ i một ngày, mà ứng vớ i một khoảng nào đó của năm,ví dụ một tháng hay một mùa, vào làm một tậ p, tức là nhóm vào một tậ p tất cả những thể hiện có đượ c nhờ quan tr ắc trong nhiều năm, ứng vớ i thờ i gian nhất định của ngày và mùa khảo sát. Muốn cho các thể hiệnđộc lậ p, phải chọn khoảng thờ i gian giữa các quan tr ắc đủ lớ n. Ví dụ, đượ c biết r ằng trong một ngày ápsuất không khí biến đổi ít, vậy có sự phụ thuộc đáng k ể giữa các tr ị số của nó tại những thờ i điểm khácnhau trong ngày. Mối phụ thuộc này duy trì rõ r ệt cả trong hai ngày tiế p sau, do đó khi chọn tậ p thể hiệncủa tr ườ ng áp suất thườ ng ngườ i ta sử dụng những quan tr ắc cách nhau không ít hơ n ba ngày.

Ngoài việc tính tớ i biến trình ngày và năm, khi gộ p các thể hiện vào thành một tậ p thống kê, có thể

tiến hành phân loại bổ sung các số liệu thực nghiệm theo một số dấu hiệu đặc biệt. Chẳng hạn, khi nghiêncứu tr ườ ng gió, ngườ i ta phân chia các thể hiện tươ ng ứng vớ i những điều kiện hoàn lưu khác nhau, ví dụ như tách riêng những dòng xiết, hoặc phân lớ p các thể hiện theo độ lớ n tốc độ gió v.v... Ngay cả trongnghiên cứu tr ườ ng áp suất (địa thế vị), đôi khi ngườ i ta cũng tiến hành phân chia theo dạng hoàn lưu.

Khi gộ p các tậ p không gian tươ ng tự, tức các thể hiện nhận đượ c ở những điểm địa lý khác nhau,ngườ i ta xuất phát từ chỗ những điểm đó phải thuộc các vùng khí hậu giống nhau.

Khi nghiên cứu cấu trúc không gian các tr ườ ng khí tượ ng, vấn đề hết sức quan tr ọng là phải tuânthủ những điều kiện đồng nhất đẳng hướ ng của tr ườ ng. Điều này gây nên những hạn chế nhất định về độ r ộng không gian của tr ườ ng đượ c nghiên cứu. A.N. Kolmogorov [11] đã chỉ ra r ằng, trong dòng r ốithực, mà nói chung là không đồng nhất và không đẳng hướ ng, có thể tách ra một phạm vi, trong đó tínhđồng nhất, đẳng hướ ng của các tr ườ ng khí tượ ng đượ c thoả mãn một cách gần đúng. Những tr ườ ng như vậy gọi là đồng nhất và đẳng hướ ng địa phươ ng.

Tùy thuộc vào quy mô của các tr ườ ng đượ c khảo sát, trong khí tượ ng học, ngườ i ta chia ra các cấutrúc qui mô vi mô, qui mô vừa và qui mô v ĩ mô.

Cấu trúc vi mô mô tả đặc điểm của tr ườ ng trong khoảng từ vài phần milimét đến vài tr ăm mét. Trongkhoảng này tính đồng nhất và đẳng hướ ng địa phươ ng thoả mãn theo cả ba chiều.

Cấu trúc thống kê qui mô vừa mô tả những đặc điểm của tr ườ ng trong khoảng từ một kilômét đếnhàng chục kilômét. Trong khoảng này biểu lộ rõ sự khác nhau giữa các phươ ng thẳng đứng và phươ ngngang. Tính đồng nhất và đẳng hướ ng chỉ thoả mãn một cách gần đúng theo phươ ng ngang.

Cấu trúc thống kê v ĩ mô mô tả sự thay đổi và những mối liên hệ tươ ng hỗ khi qui mô không gian cỡ

hàng tr ăm kilômét hoặc lớ n hơ n. Các quá trình v ĩ mô liên quan tớ i những quá trình vận động khí quyển



155

mang tính chất synop và thậm chí có tính chất toàn cầu, bản chất vật lý của chúng căn bản khác vớ i nhữngthăng giáng r ối hỗn loạn quy mô nhỏ.

Trong nhiều tr ườ ng hợ p việc xem xét các quá trình v ĩ mô như các quá trình ngẫu nhiên và mô tả chúng tươ ng tự vớ i các quá trình quy mô nhỏ vẫn tỏ ra thuận tiện. Khi đó trao đổi r ối v ĩ mô đượ c xét giống

như một loại của quá trình qui mô nhỏ. Tuy nhiên, sự tươ ng tự này có tính chất hình thức. Trong phạm vinày các điều kiện đồng nhất đẳng hướ ng chỉ đượ c thoả mãn một cách gần đúng r ất thô trong mặt phẳngngang. Trong phạm vi r ối qui mô vừa và v ĩ mô, ta chỉ có thể nói về tính đồng nhất đẳng hướ ng đối vớ i độ lệch của các yếu tố khí tượ ng so vớ i chuẩn khí hậu, vì bản thân các chuẩn khí hậu trong những quy mô đócó thể khác nhau đáng k ể. Ở đây, thực tế không hy vọng sử dụng đượ c tính egodic, mà như đã thấy trongchươ ng 2, tính chất này cho phép xác định các đặc tr ưng thống kê dựa trên một thể hiện đủ dài, làm giảmnhẹ đáng k ể việc khảo sát tr ườ ng đồng nhất. Thực vậy, k ỳ vọng toán học của tr ườ ng khí tượ ng phụ thuộcvào toạ độ, do đó để tính các k ỳ vọng toán học không thể dùng một thể hiện, mà phải có nhiều thể hiện. Ngoài ra, khi nghiên cứu thực nghiệm cấu trúc các tr ườ ng khí tượ ng quy mô lớ n, ngườ i ta sử dụng nhữngsố liệu quan tr ắc tại các tr ạm khí tượ ng và gộ p lại thành một tậ p thống kê, số lượ ng các tr ạm này trong một

vùng không gian thườ ng không nhiều, tức là chúng ta chỉ có những giá tr ị của thể hiện tại một số ít cácđiểm gián đoạn, và do đó, việc lấy trung bình dựa theo một thể hiện sẽ không hiệu quả.

Nghiên cứu cấu trúc tr ườ ng là xác định các đặc tr ưng thống kê của nó, như k ỳ vọng toán học, hàm tươ ngquan hay hàm cấu trúc. Đó là những đặc tr ưng cần thiết khi giải quyết nhiều bài toán khác nhau.

Trên cơ sở những số liệu này, ngườ i ta tiến hành phân tích khách quan và làm tr ơ n các tr ườ ng khítượ ng cho mục đích dự báo thờ i tiết, tiến hành tối ưu hoá sự phân bố mạng lướ i tr ạm khí tượ ng, đánh giácác thành phần khác nhau trong các phươ ng trình động lực học khí quyển, giải quyết các vấn đề ngoại suysố liệu khí tượ ng v.v...

Do nhu cầu hiểu biết ngày càng tăng về cấu trúc thống kê tr ườ ng các yếu tố khí tượ ng, trong nhữngnăm gần đây đã có hàng loạt công trình về xử lý thực nghiệm khối lượ ng đồ sộ các tài liệu quan tr ắc khí

tượ ng đã tích luỹ, và những tài liệu đó đượ c dùng trong chươ ng này.Trong những công trình nghiên cứu đầu tiên, tất cả công việc tính toán đều đượ c thực hiện bằng tay,

điều này đươ ng nhiên hạn chế khối lượ ng tài liệu đưa vào xử lý và không cho phép nhận đượ c những k ếtquả đủ tin cậy. Từ năm 1963 ngườ i ta bắt đầu sử dụng r ộng rãi máy tính điện tử trong công tác này. Trongđó, phươ ng pháp sử dụng máy tính và lậ p chươ ng trình để nghiên cứu cấu trúc thống kê của các tr ườ ng khítượ ng không gian do L.X. Gandin và các tác giả khác đề xuất [42, 44] đóng vai trò quan tr ọng.

7.2 CẤU TRÚC THỐ NG KÊ CỦA TR ƯỜ NG ĐỊA THẾ VỊ

Các vấn đề nghiên cứu thực nghiệm cấu trúc tr ườ ng địa thế vị đượ c đề cậ p trong nhiều công trình[41-44, 46, 50, 75, 78-80, 86].

Việc xác định cấu trúc thống kê tr ườ ng khí tượ ng (xem mục 7.1) cần phải bắt đầu từ phân tích tài liệuthực nghiệm hiện có và qui các thể hiện ứng vớ i những tình huống tươ ng tự về một tậ p thống kê.

Khi nghiên cứu tr ườ ng áp suất, ngườ i ta coi các điểm trên địa cầu có cùng v ĩ độ và chỉ khác nhau về kinh độ là những điểm tươ ng ứng vớ i những tình huống tươ ng tự.

Các công trình nghiên cứu [41] đã chỉ ra r ằng, ở những v ĩ độ trung bình, điều kiện đồng nhất và đẳng

hướ ng đối vớ i hàm cấu trúc của tr ườ ng địa thế vị đượ c thoả mãn khá tốt. Tuy nhiên, phươ ng sai của tr ườ ng

vẫn có những biến thiên theo kinh độ. Thông thườ ng, sự phụ thuộc của các đặc tr ưng thống kê vào kinh độ

không đượ c chú ý, ngh ĩ a là tr ườ ng đượ c coi là đồng nhất theo kinh độ. Khi đó, từ những lậ p luận, ngườ i ta

cho r ằng sự phụ thuộc vào kinh độ không mạnh lắm. Hơ n nữa, giả thiết về sự đồng nhất theo kinh độ làm

giảm nhẹ r ất nhiều công việc xử lý thống kê, vì có thể coi tất cả các tr ạm quan tr ắc nằm gần một v ĩ tuyến là

tươ ng ứng vớ i các tình huống tươ ng tự và nhờ đó tăng đáng k ể số lượ ng thể hiện để lấy trung bình.



156

Trong điều kiện như vậy, đươ ng nhiên các đặc tr ưng nhận đượ c sẽ là những đại lượ ng trung bình theo

kinh độ. Trong công trình [78] đã sử dụng tài liệu quan tr ắc của 20 tr ạm khí tượ ng thuộc lãnh thổ Âu−Á

nằm gần dọc theo v ĩ tuyến 55° N trong bốn mùa đông các năm 1955−1959. Khoảng cách nhỏ nhất giữa các

tr ạm bằng 210 km và lớ n nhất gần 5500 km. Số liệu đượ c lấy từ các bản đồ phân tích vào k ỳ 3 giờ và cách

nhau ba ngày một.

Trong công trình [43] đã sử dụng số liệu quan tr ắc tại các tr ạm khí tượ ng ở các v ĩ độ trung bình trên

lãnh thổ châu Âu và một phần Tây Xibiri. Ở đây, để phát hiện sự phụ thuộc của các đặc tr ưng thống kê của

tr ườ ng vào dạng hoàn lưu, ngườ i ta đã phân dữ liệu thực nghiệm thành những tậ p thống kê riêng biệt ứng

vớ i các dạng hoàn lưu khác nhau (dạng phía tây, dạng kinh tuyến và dạng phía đông) theo sự phân loại

hoàn lưu chung của G. Ia. Vangengheim.

Ngườ i ta đã xác định đượ c r ằng, giá tr ị trung bình (chuẩn) của độ cao H khác biệt đáng k ể đối vớ i

những dạng hoàn lưu khác nhau. Sự khác biệt giữa các hàm cấu trúc đối vớ i các dạng hoàn lưu khác nhau

tỏ ra không lớ n lắm và có thể bỏ qua, tức là các hàm cấu trúc nhận đượ c theo những dạng hoàn lưu khác

nhau có thể đem lấy trung bình và sử dụng một hàm cấu trúc duy nhất cho tất cả các dạng hoàn lưu. Hàmcấu trúc độ cao mực 500 mb đượ c trung bình hoá theo tất cả các kiểu hoàn lưu trong [43] đượ c biểu diễn

trên hình 7.1 (đườ ng liền nét).

Từ đồ thị của hàm cấu trúc thống kê nhận đượ c không thể xác định một cách tin cậy tr ị số bão hoà)(∞ H B của hàm cấu trúc. Một phươ ng pháp gián tiế p ướ c lượ ng tr ị số hàm cấu trúc tại vô cùng là phươ ng

pháp xấ p xỉ giá tr ị thống kê của nó nhờ mối phụ thuộc giải tích.

Hình 7.1

Ngườ i ta đã xét một số quan hệ phụ thuộc giải tích như vậy và thấy r ằng phù hợ p hơ n cả vớ i hàm cấutrúc thống kê (xem hình 7.1, đườ ng gạch nối) là mối quan hệ phụ thuộc sau

⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ −= −

lll 5401400

311880 ,cose )( B ,

, H . (7.2.1)

Nhờ hàm cấu trúc xấ p xỉ (7.2.1) đã xác định đượ c hàm tươ ng quan tươ ng ứng

lll 540200

311880 ,cose )( R , ,

H −= . (7.2.2)

Trong công trình [78] đã tính tr ực tiế p các hàm tươ ng quan độ cao tr ườ ng địa thế vị theo số liệu thựcnghiệm.

Ở đây, sự khác biệt của hệ phươ ng pháp dùng trong [78] so vớ i các công trình tr ướ c đó là trong côngtrình này, tr ườ ng địa thế vị đượ c xem xét không phải như một tr ườ ng phẳng mà như một tr ườ ng khônggian. Vì tr ườ ng địa thế vị ba chiều có thể xem là đẳng hướ ng một cách gần đúng chỉ theo phươ ng ngangnên các hàm tươ ng quan của tr ườ ng này sẽ phụ thuộc vào ba biến − khoảng cách ngang l giữa các điểmquan tr ắc và hai độ cao (hoặc hai áp suất 1 p và 2 p ).

Vì trong khí tượ ng học sử dụng nhiều mặt đẳng áp cố định, nên biến p đã đượ c gán một loạt các tr ị số gián đoạn, và hàm ba biến ( )21 p , p , R l đã đượ c quy về một số hàm một biến ( jiij p , p , R )( R ll = nào đó

của l và các hàm này đã đượ c xác định theo các số liệu thực nghiệm. Năm mặt đẳng áp (1000, 850, 700,



157

500 và 300 mb) đã đượ c chọn và tính 15 hàm tươ ng quan )( Rij l . Khi ji = sẽ nhận đượ c các hàm tự

tươ ng quan của tr ườ ng địa thế vị )( i p H , khi −≠ ji các hàm tươ ng quan quan hệ giữa hai tr ườ ng ) p( H i

và ) p( H j .

Những giá tr ị thống kê tính đượ c của các hàm tự tươ ng quan đượ c xấ p xỉ bằng các biểu thức giải tíchdạng

lll β= α− cos De )( R H ; (7.2.3)

( )lll β= α−

0 J De )( R H . (7.2.4)

Trong chươ ng 3 ta đã thấy r ằng hàm (7.2.3) chỉ có phổ một chiều không âm tại mọi nơ i, còn mật độ phổ hai và ba chiều của nó không âm không phải tại tất cả mọi giá tr ị của các hệ số α và β , mà chỉ khi

giữa chúng có mối quan hệ nhất định, nhưng quan hệ này không thoả mãn vớ i những hàm tươ ng quanthống kê nhận đượ c. Vì vậy, nói đúng ra, hàm (7.2.3) không thể dùng làm hàm hàm tươ ng quan của tr ườ ngđồng nhất hai chiều. Có thể chỉ ra r ằng mật độ phổ hai chiều của hàm (7.2.4) là hàm dươ ng hoàn toàn, tức

là hàm này có thể dùng làm hàm tươ ng quan của tr ườ ng. Tuy nhiên, trong công trình này đã sử dụng cáchàm dạng (7.2.3) để xấ p xỉ khi tính đến sự phức tạ p của việc sử dụng mối phụ thuộc (7.2.4) và luôn luôncó thể chọn đượ c các tham số của hàm (7.2.4) sao cho đồ thị của nó gần như trùng vớ i đồ thị của hàm(7.2.3) (khi l không quá lớ n).

Ví dụ, đối vớ i 500 H đã nhận đượ c hàm tươ ng quan

lll 700235 290 ,cose )( R ,

H −= . (7.2.5)

Những giá tr ị thống kê của các hàm tươ ng quan quan hệ cũng đượ c xấ p xỉ bằng mối liên hệ (7.2.3).Việc chọn các hàm (7.2.3) để xấ p xỉ là do các hàm tươ ng quan quan hệ thống kê nhận đượ c có dạng r ấtgiống vớ i các hàm tự tươ ng quan.

Trên hình 7.2 biểu diễn các hàm tự tươ ng quan chuẩn hoá và các hàm tươ ng quan quan hệ chuẩn hoáđượ c xấ p xỉ bằng mối phụ thuộc (7.2.3) tươ ng ứng vớ i độ cao của các mặt đẳng áp 850, 500 và 300 mb.

Giá tr ị hàm tươ ng quan chuẩn hoá của tr ườ ng địa thế vị 500 H một số tác giả trên hình 7.3.

Sự khác nhau của các hàm tươ ng quan nhận đượ c có thể giải thích bở i đặc điểm của số liệu thựcnghiệm đã sử dụng, tức là bở i sự khác nhau của các vùng địa lý và mùa quan tr ắc cũng như sự hạn chế về số lượ ng các thể hiện và tính không đồng nhất của tr ườ ng.

Sự sai khác đặc biệt rõ nét khi khoảng cách l lớ n, tại đó số cặ p tr ạm đượ c dùng để xử lý ít nhất, còn

tính bất đồng nhất thể hiện mạnh nhất.

7.3. CẤU TRÚC THỐ NG KÊ CỦA TR ƯỜ NG NHIỆT ĐỘ KHÔNG KHÍ

Những số liệu thực nghiệm đầy đủ và khách quan nhất về cấu trúc v ĩ mô tr ườ ng nhiệt độ không khí có trongcác công trình [37, 38, 62].

Hình 7.2 Hình 7.3



158

Ở đây, giống như tr ườ ng địa thế vị, tr ườ ng độ lệch nhiệt độ không khí so vớ i chuẩn đượ c xem là đồngnhất và đẳng hướ ng trong mặt phẳng ngang hoặc trên một mặt đẳng áp đã cho. Do đó, các hàm tươ ng quanvà hàm cấu trúc trên mặt đã cho đượ c xem như hàm của một đối số, là khoảng cách ngang giữa các điểmquan tr ắc. Ngoài các hàm tự tươ ng quan và hàm cấu trúc, đối vớ i mỗi mặt đẳng áp chuẩn, cấu trúc không

gian còn đượ c đặc tr ưng bở i các hàm tươ ng quan và hàm cấu trúc quan hệ đối vớ i từng cặ p mặt đẳng áp.Trong các công trình [37, 38], dữ liệu ban đầu để xác định các hàm cấu trúc và hàm tươ ng quan ba

chiều của độ lệch nhiệt độ không khí so vớ i chuẩn là số liệu nhiệt độ thám không đượ c thu thậ p trong thờ igian 1957−1959 trên lãnh thổ Bắc Mỹ theo k ế hoạch của Năm Vật lý địa cầu Quốc tế.

Việc tính toán đượ c thực hiện theo các mùa, đối vớ i mỗi mùa trong số bốn mùa, sử dụng 60 thể hiện.Để làm giảm mối liên hệ thống kê giữa các thể hiện, chúng đượ c chọn cách nhau ba ngày đêm.

Mỗi thể hiện bao gồm k ết quả thám không tại 60 tr ạm.

Khoảng cách xa nhất giữa các tr ạm bằng 7500 km. Ngườ i ta đã tính các hàm cấu trúc và hàm tươ ngquan cho các mặt đẳng áp 1000, 850, 700, 500, 400, 300, 200 và 100 mb cũng như các hàm cấu trúc vàhàm tươ ng quan quan hệ đối vớ i từng cặ p mặt đẳng áp này.

Việc tính toán đượ c thực hiện theo phươ ng pháp đã trình bày trong [42].

Trong công trình [62], số liệu ban đầu đượ c sử dụng là những quan tr ắc tại 50 tr ạm khí tượ ng. Một số tr ạm nằm trên vùng Trung Âu, số còn lại ở phần lãnh thổ châu Âu của Liên Xô. Khoảng cách giữa haivùng đó nhỏ hơ n một chút so vớ i bề r ộng của mỗi vùng.

Điều đó bảo đảm số các tr ạm ở hai vùng có sự phân bố đều theo khoảng cách. Tính trung bình, mỗimùa đã sử dụng số liệu của 60 tình huống trong thờ i gian từ 1959 đến 1961. Khoảng thờ i gian giữa các k ỳ liên tiế p không ít hơ n hai ngày đêm. Các hàm tự tươ ng quan đượ c tính cho ba mực, là mặt đất, 850 và 700mb. Để loại tr ừ sai số đo đạc, tiến hành ngoại suy về 0 bằng phươ ng pháp đồ thị các hàm tươ ng quan vàhàm cấu trúc nhận đượ c và sử dụng chúng theo phươ ng pháp đã xét trong chươ ng 6.

Trên hình 7.4 biểu diễn các hàm tự tươ ng quan chuẩn hoá của nhiệt độ không khí ở các mực khácnhau cho mùa đông [38]. Trên hình 7.5 là các hàm tự tươ ng quan chuẩn hoá nhận đượ c theo bộ số liệu như trên cho mùa hè [37].

Hình 7.4 Hình 7.5

Từ các hình thấy r ằng, có sự khác nhau giữa các hàm tự tươ ng quan chuẩn hoá của nhiệt độ khôngkhí ở các mực khác nhau, mặc dù sự khác nhau này không nhiều lắm và về bản chất các đườ ng cong có nétgiống nhau. Giữa các mùa cũng có những khác biệt.

Trong bảng 7.1 biểu diễn các giá tr ị phươ ng sai tươ ng ứng của độ lệch nhiệt độ trên các mực [38].

So sánh các hàm tươ ng quan chuẩn hoá nhận đượ c trong các công trình [62] và [38] cho thấy r ằngtrên cùng một mực, chúng gần trùng nhau, đặc biệt ở những khoảng cách dướ i 1000−1500 km.

Trong khi đó phươ ng sai trong các tr ườ ng hợ p đang xét r ất khác nhau. Ví dụ, phươ ng sai nhiệt độ ở

mực 700 mb đối vớ i châu Âu bằng 24 (độ)2

, còn đối vớ i châu Mỹ là 34 (độ)2

.



159

Bảng 7.1

D (độ)2

Mực, mbMùa đông Mùa hè

1000 49 7850 45 14

700 32 8

500 23 7

400 20 8

300 13 8

200 30 14

100 18 7

Sự liên hệ giữa các giá tr ị của nhiệt độ ở các mực khác nhau của cùng một tr ạm đượ c đặc tr ưng bằng

các tr ị số của hàm tươ ng quan quan hệ đã ngoại suy về 0. Chúng đượ c trình bày trong bảng 7.2 [38].

Từ bảng 7.2 thấy r ằng, sự liên hệ chặt chẽ nhất giữa các giá tr ị nhiệt độ ở các mực k ế cận quan sát

đượ c trong tầng đối lưu. Nhiệt độ ở các lớ p trong tầng đối lưu và tầng bình lưu có tươ ng quan dươ ng. Khi

tính tươ ng quan giữa các số liệu tầng đối lưu vớ i số liệu trong tầng bình lưu, các hệ số tươ ng quan tr ở nên

âm và tăng về tr ị tuyệt đối khi các mặt đẳng áp cách xa dần đối lưu hạn.

Công trình [62] đã nhận đượ c các biểu thức xấ p xỉ giải tích của các hàm tự tươ ng quan thống kê trêncác mặt đẳng áp:

- 700 mb:

) ,( J De )( R , ,

T lll 9600

7470 960−= , (7.3.1)

- 850 mb:

) ,( J De )( R ,

,T ll

l 83005530 970−= . (7.3.2)

- mặt đất:9208250 , ,

T De )( R ll

−= , (7.3.3)

ở đây )( lγ0 J là hàm Bessel bậc không, l biểu diễn bằng 103 km.

Bảng 7.2

Mực, mb 1000 850 700 500 400 300 200 100

1000 0,67 0,36 0,47 0,45 0,34 -0,27 -0,14

850 0,67 0,47 0,68 0,57 0,29 -0,45 -0,45

700 0,56 0,74 0,48 0,43 0,28 -0,31 -0,29

500 0,51 0,55 0,72 0,94 0,53 -0,56 -0,61

400 0,49 0,53 0,68 0,99 0,67 -0,55 -0,70

300 0,21 0,43 0,54 0,75 -0,80 -0,02 -0,46

200 -0,21 -0,11 -0,14 -0,23 -0,23 -0,08 0,51

100 -0,36 -0,49 -0,64 -0,66 -0,68 -0,65 0,26

7.4 CẤU TRÚC THỐ NG KÊ TR ƯỜ NG GIÓ

Những quy luật cấu trúc tr ườ ng gió đã có trong một loạt công trình nghiên cứu lý thuyết và thực



160

nghiệm. Các công trình của A. N. Kolmogorov [11] và A. M. Obukhov [69] là những công trình nền tảngtheo hướ ng này. Trong các công trình đó, đối vớ i tr ườ ng đồng nhất và đẳng hướ ng địa phươ ng, bằng lýthuyết, đã chứng minh đượ c r ằng hàm cấu trúc của xung tốc độ gió đượ c mô tả bằng công thức

32

ll A )( Bu

= , (7.4.1)

trong đó A là hệ số tỷ lệ.

Quan hệ này đượ c gọi là “qui luật 2/3”. K ết quả xử lý thực nghiệm các số liệu thám không gió do M.B. Zavarina [52] và E. X. Xelezneva [74], và sau này do các tác giả khác [43, 56, 71, 83] thực hiện đãkhẳng định sự đúng đắn của “qui luật 2/3” trong khí quyển thực ở một vùng không gian nhất định.

Sự hạn chế về quy mô không gian, trong đó thoả mãn “qui luật 2/3”, là điều tự nhiên vì tr ườ ng gióloạn lưu thực có thể xem là đồng nhất và đẳng hướ ng chỉ đối vớ i những phạm vi không gian đủ nhỏ. Khităng dần quy mô thì tính bất đẳng hướ ng bắt đầu xuất hiện, thể hiện ở sự mất cân đối theo phươ ng ngangvà phươ ng thẳng đứng của chuyển động khí quyển thực quy mô lớ n. M. Iu. Iuđin [84] đã phân tích nhữngđiều kiện áp dụng của “qui luật 2/3” và cho biết r ằng ở ngoài vùng tác động của quy luật này, hàm cấu trúc

của xung gió đượ c mô tả bở i hệ thứcll C )( Bu = , (7.4.2)

trong đó C là hệ số tỷ lệ, tức là hàm cấu trúc của các xung gió tỷ lệ thuận vớ i khoảng cách.

Tươ ng quan (7.4.2) có tên là “qui luật bậc nhất”.

Các k ết quả xử lý thực nghiệm đã khẳng định r ằng trong khí quyển thực, “qui luật bậc nhất” đượ cthoả mãn tươ ng đối tốt trong phạm vi khoảng cách 1400500 ÷=l km. Còn đối vớ i các điều kiện r ối v ĩ mô, tính phức tạ p của các quá trình diễn ra trong đó làm cho việc nghiên cứu lý thuyết về cấu trúc của cáctr ườ ng khí tượ ng v ĩ mô gặ p khó khăn. Để tìm hiểu cấu trúc của tr ườ ng gió trong điều kiện r ối v ĩ mô, tức làvớ i những khoảng cách vài nghìn kilômét, ngườ i ta đã tiến hành xử lý thống kê các số liệu gió thám không.

Trong công trình [56] đã sử dụng nguồn dữ liệu thực nghiệm phong phú. Tr ườ ng gió theo phươ ng

ngang trên mực 500 mb đã đượ c khảo sát. Tr ườ ng này đượ c coi là đồng nhất và đẳng hướ ng. Nhờ máy tínhđiện tử, dựa theo phươ ng pháp đượ c đề xuất trong [42], tính các hàm tươ ng quan và hàm cấu trúc đối vớ iđộ lệch khỏi chuẩn của thành phần v ĩ hướ ng U và thành phần kinh hướ ng V của vectơ gió.

Đối vớ i tr ườ ng đồng nhất và đẳng hướ ng, điều kiện cần phải thoả mãn là phươ ng sai không phụ thuộcvào hướ ng và không đổi tại tất cả các điểm của tr ườ ng, tức là thoả mãn luật phân bố hình tròn, trong đó cóđiều kiện vu D D = . Nếu tính đến độ chính xác không cao của việc đo gió, thông thườ ng ngườ i ta cho r ằng

luật phân bố đượ c coi là hình tròn khiv

u

D

Dbiến thiên trong phạm vi 0,8 −1,2.

Khi tiến hành tính toán thì điều kiện này đượ c chỉ thoả mãn ở vùng nướ c Anh và bán đảoScanđinavia, nơ i thườ ng có dòng chảy xiết đi qua, các giá tr ị nhận đượ c nằm trong khoảng 0,7−1,3.

Dựa vào k ết quả tính, dựng đồ thị của các hàm tươ ng quan và hàm cấu trúc. Sai số trong dữ liệu banđầu đượ c khử bỏ bằng cách ngoại suy các hàm này về không và tr ừ đi các sai số nhận đượ c.

Trên các hình 7.6 và 7.7 biểu diễn đồ thị các hàm tươ ng quan chuẩn hoá của thành phần gió v ĩ hướ ngvà kinh hướ ng tại mực 500mb cho mùa đông và mùa hè.

Từ các hình thấy r ằng ở những khoảng cách dướ i 1000−1300 km “qui luật bậc nhất” của Iuđin thoả mãn tươ ng đối tốt. Vớ i những khoảng cách lớ n hơ n, qui luật này bị vi phạm, đồ thị các hàm tươ ng quan cóđặc tính dao động vớ i biên độ giảm dần, điều này nói lên sự hiện diện của yếu tố chu k ỳ trong các quá trìnhkhí quyển v ĩ mô.

Trong mục 2.14 đã chỉ ra r ằng, các đặc tr ưng của tr ườ ng vectơ đồng nhất là các hàm tươ ng quan dọc

và ngang. Cần lưu ý r ằng hàm tươ ng quan của các thành phần v ĩ hướ ng và kinh hướ ng nhận đượ c trong



161

công trình nhìn chung không phải là những đặc tr ưng đó. Đối vớ i những khoảng cách l không lớ n, các

cặ p tr ạm thuộc cùng một nhóm tr ạm, các hướ ng giữa chúng khác nhau, và các hàm tươ ng quan của cácthành phần U và V nhận đượ c là trung bình theo tất cả các hướ ng. Đối vớ i những khoảng cách l lớ n,

các tr ạm của từng cặ p tr ạm về cơ bản thuộc các nhóm khác nhau, tức là hướ ng giữa chúng gần vớ i hướ ng

của thành phần v ĩ tuyến, do đó, hàm tươ ng quan của thành phần U gần vớ i hàm tươ ng quan dọc củatr ườ ng, còn hàm tươ ng quan của thành phần V gần vớ i hàm tươ ng quan ngang.

Hình 7.6 Hình 7.7

7.5 CẤU TRÚC THỐ NG KÊ CỦA TR ƯỜ NG ĐỘ CAO THẢM TUYẾT VÀ SỰ TỐIƯ U HÓA CÔNG TÁC QUAN TR ẮC THẢM TUYẾT

Để đáp ứng yêu cầu của các ngành kinh tế quốc dân, trên mạng lướ i tr ạm khí tượ ng thủy văn đang tiếnhành nhiều quan tr ắc về thảm tuyết đòi hỏi công sức của nhiều ngườ i quan tr ắc. Khi đó xuất hiện vấn đề quantr ọng về phân bố hợ p lý các tr ạm quan tr ắc trên lãnh thổ.

Độ cao thảm tuyết có thể r ất khác nhau giữa các điểm chỉ cách nhau một khoảng không lớ n. Sự khácnhau về phân bố độ cao thảm tuyết trên lãnh thổ gây nên bở i sự phân bố không đồng đều của tốc độ gió tronglớ p sát đất, địa hình và điều kiện địa phươ ng, hướ ng sườ n và độ dốc, tính chất mặt đệm và những đặc điểm

của chế độ khí tượ ng. Những nhân tố trên k ết hợ p vớ i nhau tạo nên một bức tranh phân bố tuyết hết sức phức tạ p. Do đó,

các số liệu về độ cao thảm tuyết ở một điểm riêng biệt không có ý ngh ĩ a mấy, mà cần phải biết những đạilượ ng trung bình trên một diện tích nào đó. Nếu xem xét độ cao thảm tuyết như là một tr ườ ng ngẫu nhiênhai chiều ) y , x( H thì việc lấy trung bình như vậy có thể đượ c tiến hành một cách thuận tiện. Khi đó ngườ i

ta coi tr ườ ng này là đồng nhất, đẳng hướ ng và có tính egođic.

Bài toán đặt ra là từ những số liệu đo tại một số điểm quan tr ắc tuyết trên tuyến có chiều dài hạn chế,xác định giá tr ị trung bình của độ cao thảm tuyết trong một vùng r ộng hơ n một cách đáng k ể. Để đơ n giảnta sẽ xét tr ườ ng hợ p giá tr ị cần tìm có thể nhận đượ c bằng cách lấy trung bình các số liệu đo trên một tuyếnthẳng.

Giả sử trên đoạn [ ] L , 0 phân bố đều n điểm , L x , x , x n == ...,21 0 tại các điểm này tiến hành đo độ cao thảm tuyết ) x( h i và từ các số liệu đo xác định đượ c giá tr ị trung bình số học h , và nó đượ c chấ p nhận

làm độ cao trung bình của thảm tuyết tại vùng nghiên cứu.

Khi đó bài toán về độ chính xác của việc xác định giá tr ị thực của đại lượ ng cần tìm hoàn toàn tươ ng tự như bài toán về độ chính xác của việc xác định giá tr ị thống kê của k ỳ vọng toán học hàm ngẫu nhiên theochuỗi r ờ i r ạc các giá tr ị của nóđã xét trong các điểm 3 và 4 mục 6.3.

Như đã chỉ ra trong mục 6.3, ở đây xuất hiện hai loại sai số − sai số do sự hạn chế của khoảng [ ] L , 0

trên đó ghi thể hiện và sai số do thay thế việc lấy trung bình tích phân theo toàn khoảng [ ] L , 0 bằng việc

lấy trung bình theo n điểm r ờ i r ạc )n..., , ,i( xi 21= . Sai số bình phươ ng trung bình 2σ xuất hiện do hạn

chế độ dài khoảng ghi thể hiện (xem mục 6.3 điểm 3) đượ c xác định bằng công thức (6.3.25), trong tr ườ ng



162

hợ p này đượ c viết dướ i dạng

.dl )l ( R L

l

LH

L

l

∫ ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=σ 122

1 (7.5.1)

Ở đây )l ( R H là hàm tươ ng quan của độ cao thảm tuyết.

Sai số bình phươ ng trung bình 22σ xuất hiện do thay thế việc lấy trung bình tích phân bằng giá tr ị

trung bình số học tại n điểm i x cách đều nhau một khoảng Δ theo (6.3.36) đượ c viết như sau

. ) jk ( Rn

n

j

n

k H ∑∑

= =

Δ−=σ1 1

222

2. (7.5.2)

Ở đây cũng có thể sử dụng hàm cấu trúc )l ( B H , nếu tr ướ c hết biến đổi các công thức (7.5.1) và

(7.5.2) nhờ (2.7.7):

∫⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−∞

=σ L

H

H ,dl )l ( B L

l

L

)( B

0

2

1

11

2(7.5.3)

. ) jk ( Rn

)( B n

j

n

k H

H ∑∑= =

Δ−−∞

=σ1 1

222

2

2(7.5.4)

Nếu có hàm tươ ng quan hoặc hàm cấu trúc và tiến hành tính toán theo các công thức trên, có thể nhậnđượ c mối phụ thuộc của các đại lượ ng 1σ , 2σ vào độ dài khoảng và số lượ ng điểm đo, và theo đó tìm số

lượ ng điểm tối ưu, khoảng cách tối ưu giữa các điểm.

Cách tiế p cận như vậy để giải bài toán tối ưu hoá mạng lướ i quan tr ắc tuyết đã đượ c đề xuất trongcông trình của D.L. Laikhtman và R.L. Kagan [59]. Để thực hiện phươ ng pháp tính toán này đòi hỏi phảicó số liệu về cấu trúc tr ườ ng độ cao thảm tuyết. Những số liệu này nhận đượ c trong các công trình nghiên

cứu chuyên về xử lý thống kê tài liệu thực nghiệm hiện có theo các vùng khác nhau [51, 63, 76, 81].Trong công trình [51] đã xác định hàm cấu trúc không gian )l ( B H của độ cao thảm tuyết. Dữ liệu

ban đầu là những số liệu đo độ cao tuyết thực hiện ngày 5/7/1957 ở vùng tr ạm Dubrovskaja (gần 3000 số đo độ cao thảm tuyết). Toàn vùng đượ c phủ bở i các tuyến đo song song cách nhau 200 m. Tất cả có 17tuyến đo độ dài khác nhau − từ 1 đến 2 km. Trên các tuyến, độ cao thảm tuyết đượ c đo cách nhau 10 m.K ết quả tính cho thấy r ằng giá tr ị của các hàm cấu trúc trên mỗi tuyến riêng biệt r ất khác nhau.

Sự tản mạn của các hàm cấu trúc nhận đượ c có lẽ đặc tr ưng cho tính chất bất đồng nhất của phân bố độ cao thảm tuyết, mặt khác sự tản mạn đó gây nên bở i sai số đo và số lượ ng điểm đo nhỏ.

Để có đặc tr ưng tin cậy hơ n về cấu trúc của tr ườ ng đang xét, tất cả các hàm cấu trúc nhận đượ c đãđượ c lấy trung bình, và sau đó hàm cấu trúc trung bình đượ c làm tr ơ n. Hàm cấu trúc trung bình làm tr ơ n

)l ( B H đượ c dẫn ra trên hình 7.8. Hàm cấu trúc nhận đượ c đượ c mô tả tươ ng đối tốt bở i công thức321580840758 l ,

H e , , )l ( B −−= . (7.5.5)

Trong công trình [76] đã xác định các hàm cấu trúc không gian của độ cao thảm tuyết ở các vùng địalý khác nhau.

Các tài liệu tr ắc đạc tuyết đượ c tiến hành ở các vùng khác nhau của Liên Xô sau đây, đã đượ c xử lý:

1) Những đợ t khảo sát tr ắc đạc tuyết của Viện thủy văn Nhà nướ c ở tỉnh Tselinograd tại ba vùng − vùnglưu vực sông Kzưlsu, thung lũng sông Karakol và vùng tr ạm Kolutan cuối tháng 3 năm 1956;

2) Tr ắc đạc tuyết của Phòng thí nghiệm nghiên cứu khoa học thủy văn Valđai ở lưu vực sôngPolomet, tháng 2 năm 1953;



163

3) Tuyến tr ắc đạc tuyết theo tuyến tại tr ạm Oksochi trên lưu vực các sông Griđenki, mùa đông1955−1956 và 1956−1957;

4) Tr ắc đạc tuyết theo tuyến gần làng Koltushi (tỉnh Leningrad)

Các hàm cấu trúc nhận đượ c theo số liệu các tr ạm Karakul (1), Kzưlsu (2), Valđai (3), Oksochi (4),Koltushi (5), Kolutan (6) biểu diễn trên hình 7.9.

Hình 7.8 Hình 7.9

Việc phân tích hình 7.9 cho thấy sự biến động của độ cao thảm tuyết ở những vùng khác nhau r ất lớ n.Phân tích của T.S. Triphonova [76] về mối phụ thuộc của các hàm cấu trúc vào những điều kiện đặc tr ưngvùng tr ắc đạc tuyết cho phép k ết luận r ằng biến động của độ cao thảm tuyết trên lãnh thổ đượ c quy địnhtr ướ c hết bở i địa hình và tính chất của mặt đệm.

Trong công trình [59] dẫn ra những k ết quả tính sai số 1σ và 2σ khi thay thế hàm cấu trúc (7.5.5)

vào các công thức (7.5.3) và (7.5.4).

Trên hình 7.10 biểu diễn sai số bình phươ ng trung bình 1σ của việc xác định độ cao trung bình của

thảm tuyết gây nên bở i sự hạn chế của độ dài tuyến tr ắc đạc tuyết L . Trên hình 7.11 biểu diễn sai số bình phươ ng trung bình 2σ gây nên bở i sự hạn chế của số lượ ng điểm đo trên tuyến đo.

Nếu cho tr ướ c độ chính xác của việc xác định độ cao trung bình của thảm tuyết, theo hình 7.10 có thể xác định đượ c độ dài cần thiết của tuyến tr ắc đạc tuyết. Vớ i độ dài tuyến nhỏ hơ n thì độ chính xác đã chocũng không thể đạt đượ c bằng cách tăng số lượ ng quan tr ắc.

Một cách tươ ng tự, có thể xác định trên hình 7.11 số điểm đo cần thiết n. Vớ i số điểm đo nhỏ hơ n thìđộ chính xác cho tr ướ c không thể đạt đượ c bằng cách tăng độ dài tuyến tr ắc đạc tuyết. Nếu chú ý tớ i nhữngkhác biệt đáng k ể của các hàm cấu trúc độ cao thảm tuyết ở những vùng khác nhau đã phát hiện trong côngtrình [76], thì thấy r ằng chỉ có thể định ra những chỉ dẫn cụ thể về việc chọn tối ưu độ dài tuyến đo tuyết vàkhoảng cách giữa các điểm đo ứng vớ i từng vùng địa lý căn cứ vào những dẫn liệu về cấu trúc thống kêcủa độ cao thảm tuyết ở vùng đã cho.




164

Chương 8

KHAI TRIỂN QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN VÀ TR ƯỜ NG NGẪU NHIÊNTHÀNH CÁC THÀNH PHẦN TR Ự C GIAO TỰ NHIÊN

8.1 THIẾT LẬP BÀI TOÁN

Trong toán học, phươ ng pháp khai triển các hàm thành chuỗi theo một hệ hàm tr ực giao chuẩn hoá nàođó đượ c sử dụng r ộng rãi. Hệ hàm )t ( 1ϕ , )t ( 2ϕ ,..., ... ),t ( nϕ đượ c gọi là tr ực giao chuẩn hoá (tr ực chuẩn)

trên khoảng [ ]b ,a (hữu hạn hoặc vô hạn), nếu thoảmãn hệ thức

∫⎩⎨⎧

=

≠=ϕϕ

b

a

k i.k i

,k it d )t ( )t (

khi

khi

1

0(8.1.1)

Hệ hàm { } )t ( k ϕ đượ c gọi là đầy đủ nếu như một hàm )t ( f bất k ỳ cho trên khoảng [ ]b ,a , có thể

khai triển thành chuỗi Fourier theo nó

∑∞

=

ϕ=1k

k k ).t ( a )t ( f (8.1.2)

Các hằng số k a gọi là các hệ số Fourier và từ (8.1.1), (8.1.2) chúng đượ c xác định theo công thức

∫ ϕ=b

a

k k ,dt )t ( )t ( f a (8.1.3)

Tổng n số hạng đầu tiên của chuỗi (9.1.2)

∑=

ϕ=n

k

k k n ).t ( a )t ( f

1

(8.1.4)

đượ c gọi là đa thức Fourier của hàm )t ( f . Bây giờ , một cách gần đúng, nếu ta thay thế hàm )t ( f bằng

tổng (8.1.4) thì vớ i mỗi giá tr ị của đối số t xuất hiện sai số )t ( nδ bằng

).t ( f )t ( f )t ( nn −=δ (8.1.5)

Ngườ i ta gọi đại lượ ng nδ là sai số bình phươ ng trung bình của phép xấ p xỉ hàm )t ( f bằng tổng

(8.1.4) trên khoảng [ ]b ,a

[ ]∫ −=δb

a

nn dt )t ( f )t ( f 2 (8.1.6)

Từ các đa thức dạng

∑=

ϕn

k k k )t ( C

1

,

độ lệch bình phươ ng trung bình nhỏ nhất của hàm )t ( f sẽ cho một đa thức Fourier, tức là một đa thức mà

các hệ số k C là các hệ số Fourier k a . Khi đó đại lượ ng 2nδ bằng

∫ ∑=

−=δb

a

n

k k n adt )t ( f

1

222 . (8.1.7)

Thực vậy,



165

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ϕ−=δ ∫ ∑

=

b

a

n

k k k n dt )t ( C )t ( f

2

1

2

∑∑ ∫∫ ∫∑ = == =ϕϕ+ϕ−=

n

k

n

i

b

aik ik

b

a

b

ak

n

k k dt )t ( )t ( C C dt )t ( )t ( f C dt )t ( f 1 11

2

2

∫ ∑ ∑∞

= =

−−=b

a k

n

k k k k a )aC ( dt )t ( f

1 1

222 . (8.1.8)

Vế phải của (8.1.8) nhận giá tr ị nhỏ nhất bằng (8.1.7) khi ∑=

=−n

k k k )aC (

1

2 0 , tức là khi k k aC = .

Đại lượ ng 2nδ không âm, vì vậy ta có bất đẳng thức

∫∑ ≤=

b

a

n

k k dt )t ( f a 2

1

2 . (8.1.9)

Từ đó thấy r ằng, đối vớ i các hàm có bình phươ ng khả tích, tức là khi ∫b

a

dt )t ( f 2 là một số hữu hạn,

thì chuỗi ∑∞

=1

2

k k a hội tụ, hơ n nữa, bất đẳng thức sau xảy ra

∫∑ ≤∞

=

b

ak k dt )t ( f a 2

1

2 (8.1.10)

và nó đượ c gọi là bất đẳng thức Bessel.

Nếu hệ hàm { } )t ( k ϕ là đầy đủ thì đối vớ i một hàm bất k ỳ )t ( f lấy đượ c tổng bình phươ ng sẽ có

đẳng thức

∫∑ =∞

=

b

ak

k dt )t ( f a 2

1

2 (8.1.11)

và đượ c gọi là phươ ng trình khép kín.

Ngườ i ta ứng dụng việc khai triển các hàm theo những hệ hàm tr ực chuẩn khác nhau: khai triển thànhchuỗi Fourier theo hệ hàm lượ ng giác, khai triển thành chuỗi Fourier −Bessel theo hệ hàm Bessel, khai triểntheo các đa thức tr ực giao − Trebưsev, Ermit và các hệ hàm khác.

Phươ ng pháp khai triển theo hệ các hàm tr ực chuẩn cũng có thể áp dụng vào các hàm ngẫu nhiên.

Giả sử )t ( X là một hàm ngẫu nhiên xác định trên khoảng[ ]

b ,a có k ỳ vọng toán học bằng không,

0= )t ( m x , và hàm tươ ng quan cho tr ướ c )t ,t ( R x 21 , [ ] b ,at ,t ∈21 và { } )t ( k ϕ là hệ hàm tr ực chuẩn đầy

đủ. Khi đó ta biểu diễn hàm ngẫu nhiên )t ( X dướ i dạng chuỗi Fourier

∑∞

=

ϕ=1k

k k )t ( A )t ( X (8.1.12)

Các hệ số Fourier k A đượ c xác định dướ i dạng

∫ ϕ=b

a

k k dt )t ( )t ( X A (8.1.13)

là những đại lượ ng ngẫu nhiên.





167

∑∫∫=

ϕϕn

k

b

a

b

a

k k x dt dt )t ( )t ( )t ,t ( R1

212121 (8.1.21)

tr ở thành cực đại.

8.2 MỘT SỐ KIẾ N THỨ C VỀ LÝ THUYẾT PHƯƠ NG TRÌNH TÍCH PHÂN

Để tìm hệ hàm tr ực chuẩn làm cho (8.1.21) cực đại, ta sử dụng những k ết quả đã biết từ lý thuyết phươ ng trình tích phân vớ i nhân đối xứng mà chúng ta sẽ liệt kê dướ i đây và bỏ qua việc chứng minh.Trình bày chi tiết về lý thuyết này có thể tìm thấy trong một số tài liệu, ví dụ như trong [66, 24].

Xét phươ ng trình tích phân thuần nhất

∫ λϕ=ϕb

a

) x( ds ) s( ) s , x( K , (8.2.1)

trong đó hàm ) s , x( K là hàm hai biến thực cho trong hình chữ nhật λ≤≤≤≤ ;b sa ,b xa là một số nào

đó; ) x( ϕ là hàm cần tìm cho trên khoảng[ ]

b ,a .

Ta sẽ xem các hàm ) s , x( K và ) x( ϕ giớ i nội và có một số hữu hạn điểm gián đoạn, tại đó tích phân

trong (8.2.1) tồn tại.

Hàm ) s , x( K gọi là nhân của phươ ng trình tích phân. Nếu thoả mãn hệ thức

) x , s( K ) s , x( K * = , (8.2.2)

đối vớ i nhân thực, hoặc tươ ng đươ ng vớ i đẳng thức

) x , s( K ) s , x( K = , (8.2.3)

thì nhân đượ c gọi là đối xứng.

Các giá tr ị của tham số λ , tại đó phươ ng trình tích phân (8.2.1) có nghiệm không đồng nhất bằng

không, đượ c gọi là giá tr ị riêng của nhân ) s , x( K hay của phươ ng trình (8.2.1). Nếu 0λ=λ là giá tr ị riêng của phươ ng trình (8.2.1) và ) x( 0ϕ là nghiệm của phươ ng trình này khi 0λ=λ , tức là

) x( sd ) s( ) s , x( K b

a

000 ϕλ=ϕ∫ , (8.2.4)

thì hàm ) x( 0ϕ đượ c gọi là hàm riêng ứng vớ i giá tr ị riêng 0λ của nhân ) s , x( K hay của phươ ng trình

tích phân.

Có thể chỉ ra r ằng tất cả các giá tr ị riêng của nhân đối xứng là những số thực, và tất cả các hàmriêng cũng có thể coi là những hàm thực.

Các hàm riêng của nhân đối xứng, ứng vớ i những giá tr ị riêng khác nhau, tr ực giao vớ i nhau. Có thể làm cho các hàm riêng tr ở thành các hàm chuẩn hoá.

Ta quy ướ c liệt kê dãy các giá tr ị riêng theo thứ tự giá tr ị tuyệt đối giảm dần. Như vậy, nếu

......, , , , nλλλ 21 (vớ i ...... n 21 ≥λ≥≥λ≥λ ) (8.2.5)

là dãy các giá tr ị riêng của một nhân đối xứng nào đó, thì tươ ng ứng vớ i dãy này là hệ tr ực giao các hàmriêng

......, ) x( ), x( ), x( nϕϕϕ 21 (8.2.6)

Trong tr ườ ng hợ p này định lý Gilbert−Smidth khẳng định r ằng, có thể biểu diễn hàm ) x( f bất k ỳ

qua nhân ) s , x( K dướ i dạng



168

∫=b

a

ds ) s( h ) s , x( K ) x( f , (8.2.7)

trong đó ) s( h là một hàm giớ i nội nào đó có số hữu hạn điểm gián đoạn và khai triển đượ c thành chuỗi

Fourier hội tụ tuyệt đối và đều theo các hàm riêng của nhân. Do đó nếu viết chuỗi Fourier của hàm ) x( h theo các hàm riêng (8.2.6) của nhân ) s , x( K dướ i dạng

) x( h ~ ∑∞

=

ϕ1k

k k ) x( h , (8.2.8)

thì hàm ) x( f (8.2.7) đượ c khai triển thành chuỗi

∑∞

=

ϕλ=1k

k k k ) x( h ) x( f , (8.2.9)

trong đó k λ là giá tr ị riêng, còn )( xk ϕ là hàm riêng của nhân ) s , x( K .

Giả sử ) x( p và ) x( q là hai hàm giớ i nội có số hữu hạn điểm gián đoạn trên khoảng ],[ ba . Lậ p tích

phân kép

∫ ∫b

a

b

a

dxds ) s( q ) x( p ) s , x( K (8.2.10)

áp dụng định lý Gilbert-Smidth, ta đượ c

∫ ∑∞

=

ϕλ=b

a k k k k ) x( qds ) s( q ) s , x( K

1

, (8.2.11)

trong đó k q là các hệ số Fourier của hàm ) x( q khi khai triển thành chuỗi Fourier theo các hàm riêng (8.2.6),

và chuỗi ở vế phải hội tụ đều. Nhân hai vế của (8.2.11) vớ i ) x( p , lấy tích phân theo x và ký hiệu k p là những hệ số Fourier của

hàm ) x( p khi khai triển nó thành chuỗi theo các hàm riêng (8.2.6), ta nhận đượ c biểu diễn của tích phân

(8.2.10) dướ i đây:

∫ ∑∫∞

=

λ=b

a k k k k

b

a

q pdxds ) s( q ) x( p ) s , x( K 1

. (8.2.12)

Đặc biệt khi ) x( q ) x( p ≡ , ta đượ c

∫ ∑∫∞

=

λ=b

a k

k k

b

a

pdxds ) s( p ) x( p ) s , x( K

1

2 . (8.2.13)

Ta sẽ xét những tính chất cực tr ị của các hàm riêng của nhân đối xứng. Khi sắ p xế p các giá tr ị riêng

theo thứ tự giảm dần của giá tr ị tuyệt đối của chúng, theo (8.2.13) ta có

∫ ∑∫∞

=

λ≤b

a k k

b

a

pdxds ) s( q ) x( p ) s , x( K 1

21 . (8.2.14)

Theo phươ ng trình khép kín (8.1.11),

∫ ∑∞

=

=b

a k k pdx ) x( p

1

22 . (8.2.15)

Đối vớ i hàm chuẩn hoá ) x( p , tích phân trong vế trái (8.2.15) bằng đơ n vị, do đó



169

∑∞

=

=1

2 1k

k . p (8.2.16)

Từ đó, đối vớ i hàm chuẩn hoá ) x( p bất đẳng thức (8.2.14) đượ c viết dướ i dạng

∫ ∫ λ≤b

a

b

a

.dxds ) s( q ) x( p ) s , x( K 1 (8.2.17)

Trong (8.2.17) đẳng thức sẽ xảy ra khi ), x( ) x( p 1ϕ= tức là khi hàm ) x( p trùng vớ i hàm riêng

). x( 1ϕ

Thực vậy, sau khi nhân hai vế đẳng thức

( )............, n 21 ≥λ≥≥λ≥λλλλ , , , n21 (8.2.18)

vớ i ) x( 1ϕ và lấy tích phân theo x, do tính chuẩn hoá của hàm ) x( 1ϕ , ta nhận đượ c:

∫ ∫ ∫λ=ϕλ=ϕϕ

b

a

b

a

b

a

dx ) x( dxds ) s( ) x( ) s , x( K 1

2

1111. (8.2.19)

Như vậy, định lý sau đây là đúng: Trên tậ p hợ p các hàm chuẩn hoá ) x( p , tích phân

∫ ∫b

a

b

a

dxds ) s( p ) x( p ) s , x( K có cực đại bằng 1λ khi ) x( ) x( p 1ϕ= .

Bây giờ , xét tậ p hợ p các hàm chuẩn hoá )( x p tr ực giao vớ i 1−m hàm riêng đầu tiên của (8.2.6) của

nhân ) s , x( K . Khi đó trong (8.2.13), 1−m hệ số Fourier đầu tiên k p của biểu thức khai triển hàm )( x p

thành chuỗi Fourier theo các hàm (8.2.6) sẽ bằng không. Khi đó (8.2.13) đượ c viết dướ i dạng

∫ ∫ ∑∞

=

λ=b

a

b

a mk

k k pdxds ) s( p ) x( p ) s , x( K 2 . (8.2.20)

Từ đó

∫ ∫ λ≤b

a

b

a

mdxds ) s( p ) x( p ) s , x( K . (8.2.21)

Trong (8.2.21) đẳng thức đạt đượ c khi ) x( ) x( p mϕ= , tức là định lý sau đây đúng:

Trên tậ p hợ p các hàm chuẩn tắc ) x( p tr ực giao vớ i 1−m hàm riêng đầu tiên của nhân ) s , x( K ,

tích phân ∫ ∫b

a

b

a

dxds ) s( p ) x( p ) s , x( K có cực đại bằng mλ , cực đại này đạt đượ c khi ) x( ) x( p mϕ= .

8.3 TÌM CÁC THÀNH PHẦ N TR Ự C GIAO TỰ NHIÊNBây giờ tr ở lại bài toán tìm hệ các hàm { } ) x( k ϕ làm cho tổng (8.1.21) tr ở thành cực đại. Ta thấy

r ằng trên cơ sở lý thuyết đã trình bày trong mục 8.2, mỗi số hạng thứ k của nó có cực đại bằng k λ khi

chọn hàm riêng của hàm tươ ng quan )t ,t ( R x 21 ứng vớ i giá tr ị riêng k λ làm hàm )t ( k ϕ . Như vậy, vớ i tư

cách là các hàm tr ực giao tự nhiên của phép khai triển hàm ngẫu nhiên )t ( X , (8.1.17) phải lấy n hàm

riêng đầu tiên của hàm tươ ng quan )t ,t ( R x 21 tươ ng ứng vớ i n giá tr ị riêng của hàm tươ ng quan này đượ c

sắ p xế p theo thứ tự giảm dần giá tr ị tuyệt đối.

Khi đó phươ ng sai sai số của phép xấ p xỉ 2nσ đượ c xác định theo công thức



170

∫ ∑=

λ−=σb

a

n

k k xn dt )t ,t ( R

1

2 . (8.3.1)

Từ đẳng thức

∫ ∫ =ϕϕ=λb

a

b

a

k k xk dt dt )t ( )t ( )t ,t ( R 212121

[ ]k

b

a

k A Ddt )t ( )t ( X M =⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ϕ= ∫

2

(8.3.2)

thấy r ằng, các giá tr ị riêng của hàm tươ ng quan là phươ ng sai của các hệ số k A tươ ng ứng của khai triển

hàm ngẫu nhiên theo hệ các hàm riêng { } )t ( k ϕ . Do đó, các giá tr ị riêng của hàm tươ ng quan thực sự là

những số dươ ng, và dấu giá tr ị tuyệt đối trong (8.3.1) có thể bỏ đi.

Hệ phươ ng pháp đã trình bày hoàn toàn có thể áp dụng cả cho khai triển tr ườ ng ngẫu nhiên thành cácthành phần tr ực giao tự nhiên. Trong tr ườ ng hợ p này, tất cả các hàm đượ c xét như hàm của điểm )( N ρr

cho trên miền giớ i hạn nào đó vớ i số chiều đã cho. Chẳng hạn, giả sử ) z , y , x( U )( U =ρr

là tr ườ ng không

gian ngẫu nhiên xác định trong miền D , có k ỳ vọng toán học bằng không và hàm tươ ng quan ) ,( Ru 21 ρρrr

.

Ta biểu diễn tr ườ ng ngẫu nhiên )( U ρr

dướ i dạng tổng

∑=

ρϕ≈ρn

k

k k )( A )( U 1

rr, (8.3.3)

trong đó { } )( k ρϕr

là hệ hàm tr ực chuẩn đầy đủ trong miền D , tức là đối vớ i nó điều kiện sau đượ c thực

hiện

∫∫∫ ⎩⎨⎧

≠==ϕϕ

) D(

k i.k i

,k idxdydz ) z , y , x( ) z , y , x( khi khi

01 (8.3.4)

Các hệ số Fourier k A là những đại lượ ng ngẫu nhiên đượ c xác định theo công thức

∫∫∫ ϕ= ) D(

k k dxdydz ) z , y , x( ) z , y , x( U A . (8.3.5)

Trong tr ườ ng hợ p này, bài toán xấ p xỉ tr ườ ng ngẫu nhiên bở i tổng các thành phần tr ực giao tự nhiên(8.3.3) đượ c quy về việc tìm các hàm )( ),( ),( n ρϕρϕρϕ

rrr ...,21 làm cực đại tổng

ζηξζηξϕ×⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ϕζηξ∑ ∫∫∫ ∫∫∫

=

d d d ) , ,( dxdydz ) z , y , x( ) , ,; z , y , x( R k

n

k ) D( ) D(

k u1

(8.3.6)

Khi xem xét lý thuyết đã trình bày trong mục 8.2, áp dụng cho phươ ng trình tích phân

) z , y , x( d d d ) , ,( ) , ,; z , y , x( K

) D(

λϕ=ζηξζηξϕζηξ∫∫∫ , (8.3.7)

ta nhận đượ c những hàm tr ực giao tự nhiên của khai triển tr ườ ng ngẫu nhiên )( U ρr

(8.3.3) là n hàm riêng

đầu tiên của hàm tươ ng quan ) ,( Ru 21 ρρrr

tươ ng ứng vớ i n giá tr ị riêng đầu tiên của phươ ng trình (8.3.7)

đượ c sắ p xế p theo thứ tự không tăng giá tr ị của chúng. Khi đó phươ ng sai sai số của phép xấ p xỉ 2nσ đượ c

xác định theo công thức

∑∫∫∫=

λ−=σn

k k

) D(

un dxdydz ) z , y , x; z , y , x( R1

2 . (8.3.8)



171

Từ những công thức đối vớ i phươ ng sai sai số của phép xấ p xỉ (8.3.1) hay (8.3.8) thấy r ằng, độ chínhxác tăng lên khi tăng số các thành phần tr ực giao tự nhiên mà hàm ngẫu nhiên khai triển theo chúng. Tuynhiên các số n , , λλλ ...,21 phân bố theo thứ tự giảm dần, do đó số thứ tự của thành phần trong công thức

(8.1.14) hay (8.3.3) càng lớ n thì, về trung bình, tỷ tr ọng của thành phần càng nhỏ. Nếu các giá tr ị riêng

giảm khá nhanh, thì điều đó cho phép nhận những k ết quả gần đúng khi chỉ cần chú ý tớ i một số không lớ ncác thành phần. Ư u điểm cơ bản của phép khai triển theo các thành phần tr ực giao tự nhiên là ở chỗ nó tậ ptrung tối đa thông tin về hàm ngẫu nhiên vào một số không nhiều các số hạng.

Khi đánh giá độ chính xác của phép xấ p xỉ (8.1.17) bở i một số n các thành phần tr ực giao tự nhiên

đã chọn, có thể sử dụng phươ ng sai tươ ng đối của sai số xấ p xỉ

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−

=η

∫

∫b

a

b

a

n

n

dt )t ( X M

dt )]t ( X )t ( X [ M

2

2

2 . (8.3.9)

Theo (8.3.1), vớ i giá tr ị cực tiểu của 2nσ ta nhận đượ c

∫

∫ ∑=

λ−

=ηb

a

x

b

a

n

k

k x

n

dt )t ,t ( R

dt )t ,t ( R12 . (8.3.10)

Sau khi dựng đồ thị phụ thuộc của đại lượ ng nη vào số n, có thể ướ c lượ ng số các số hạng khai triển

cần thiết tuỳ theo độ chính xác đã cho của phép xấ p xỉ.

Bây giờ ta xét tr ườ ng hợ p khi không có bản ghi liên tục của hàm ngẫu nhiên màchỉ có các lát cắt của nó ở những điểm r ờ i r ạc. Điều này thườ ng xảy ra khi nghiên cứu

thực nghiệm các hàm ngẫu nhiên.

Giả sử hàm ngẫu nhiên )t ( X có k ỳ vọng toán học bằng không, đượ c cho tại một số hữu hạn điểm

mt ,t ,t ...,21 ; { } )t ( k ϕ là hệ hàm bất k ỳ, cũng đượ c cho tại các điểm mt ,t ,t ...,21 . Ta sẽ xem hàm ngẫu

nhiên )t ( X như một vectơ m chiều ) X , X , X ( X m...,21 mà mỗi thành phần của nó là một lát cắt của hàm

ngẫu nhiên )t ( X X 11 = , )t ( X X 22 = ,..., )t ( X X mm = .

Ta cũng xem các hàm )t ( k ϕ như những vectơ m chiều

) , ,(

k

m

k k k

ϕϕϕϕ ...,21

r

mà các thành phần của chúng là những giá tr ị của hàm )(t k ϕ tại các điểm it , tức là:

)t ( ),t ( ),t ( mk k mk

k k

k ϕ=ϕϕ=ϕϕ=ϕ ..., 2211 .

Ta sẽ coi các vectơ k ϕr

là tr ực giao và chuẩn hoá (tr ực chuẩn). Hai vectơ ar

)a ,...,a ,a( m21 và

br

)b ,...,b ,b( m21 đượ c gọi là tr ực giao nếu tích vô hướ ng của chúng bằng không,

∑=

==⋅m

iiibaba

1

0rr

. (8.3.11)

Vectơ arđượ c gọi là chuẩn hoá nếu độ dài của nó bằng đơ n vị



172

11

2 == ∑=

m

iiaa

r. (8.3.12)

Điều kiện tr ực chuẩn của các vectơ { }k ϕr đượ c viết dướ i dạng

∑= ⎩

⎨⎧

≠==ϕϕ

m

i

l i

k i

.l k

,l k

1 0

1

khi

khi(8.3.13)

Ta biểu diễn vectơ ngẫu nhiên X r

dướ i dạng tổ hợ p tuyến tính của các vectơ { }k ϕr

∑=

ϕ≈n

k

k k A X

1

rr, (8.3.14)

trong đó các hệ số k A là những tổ hợ p tuyến tính của các thành phần của vectơ ngẫu nhiên

∑=

ϕ=m

j

k j jk X A

1

. (8.3.15)

Đẳng thức vectơ (8.3.14) viết cho các thành phần vectơ sẽ dẫn tớ i hệ các đẳng thức

∑=

=ϕ≈n

k

k ik i m , ,i , A X

1

21 ..., . (8.3.16)

Phươ ng sai sai số của phép xấ p xỉ vectơ ngẫu nhiên X r

bở i tổng (8.3.14) đượ c xác định dướ i dạng

=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ϕ−=σ ∑ ∑

= =

m

i

n

k

k ik in A X M

1

2

1

2

=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥

⎦

⎤⎢

⎣

⎡ϕϕ+ϕ−= ∑ ∑ ∑∑

= = = =

m

i

n

k

n

k

n

l

l i

k il k

k ik ii A A A X X M

1 1 1 1

2 2

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

ϕϕ+ϕϕ−= ∑ ∑∑∑ ∑∑ ∑= = = = = = =

m

i

n

k

m

i

m

j

n

k

n

l

m

i

l i

k il k

l j

k i jii A A X X X M

1 1 1 1 1 1 1

2 2 (8.3.17)

Do (8.3.13), tổng cuối cùng trong đẳng thức (8.3.17) bằng

k j

n

k

m

i

m

j

k i ji

n

k k k

n

k

n

l

m

i

l i

k il k X X A A A A ϕϕ==ϕϕ ∑∑∑∑∑∑ ∑

= = === = = 1 1 111 1 1

. (8.3.18)

Từ đó ta nhận đượ c

k j

n

k

m

i

m

j

k iij

m

iiin R R ϕϕ−=σ ∑∑∑∑ = = == 1 1 11

2

, (8.3.19)

trong đó ij R là mômen tươ ng quan giữa các lát cắt )t ( X X ii = và )t ( X X j j = của hàm ngẫu nhiên, tức

là các phần tử của ma tr ận tươ ng quan ij R của vectơ ngẫu nhiên X r

.

Ta sẽ tìm một hệ các vectơ tr ực chuẩn { }k ϕr sao cho đại lượ ng 2

nσ nhận giá tr ị nhỏ nhất, hay nói cách

khác, tổng ba lớ p trong (8.3.19) nhận giá tr ị lớ n nhất.

Những vectơ như vậy gọi là các vectơ tr ực giao tự nhiên của vectơ ngẫu nhiên X r

, còn phép khai

triển (8.3.14) vớ i cách chọn các vectơ { }k ϕr như vậy gọi là khai triển vectơ ngẫu nhiên thành các thành

phẫn tr ực giao tự nhiên.



173

Vì hàm tươ ng quan của quá trình ngẫu nhiên là hàm xác định dươ ng, nên mỗi số hạng

∑∑= =

ϕϕ=m

i

k j

k i

m

jijk Rb

1 1

(8.3.20)

không âm, do đó, bài toán quy về việc xác định những vectơ tr ực chuẩn { }k ϕr sao cho mỗi số hạng k b

nhận giá tr ị lớ n nhất.

Ta sẽ xét hệ phươ ng trình

∑=

=λϕ=ϕm

ji jij m , ,i , R

1

21 ..., . (8.3.21)

Những giá tr ị của tham số λ tại đó hệ (8.3.21) có nghiệm ) , ,( mϕϕϕϕ ...,21

rkhác vectơ không, đượ c gọi là các giá tr ị riêng hay giá tr ị riêng của ma tr ận các hệ số

ij R của hệ này, còn các nghiệm k ϕr

nhận đượ c ứng vớ i giá tr ị riêng đã cho k λ đượ c gọi là những vectơ

riêng của ma tr ận ij R .Hệ (8.3.21) tươ ng tự (analog) như phươ ng trình tích phân (8.2.1) đã đượ c xét đối vớ i tr ườ ng hợ p thể

hiện của quá trình ngẫu nhiên đượ c ghi liên tục, ma tr ận tươ ng quan ij R của hệ (8.3.21), như đã biết, là

ma tr ận đối xứng, tươ ng tự như nhân đối xứng của phươ ng trình tích phân.

Những vectơ riêng của ma tr ận thực đối xứng tươ ng ứng vớ i những giá tr ị riêng khác nhau sẽ tr ựcgiao vớ i nhau.

Thực vậy, ta xét vectơ riêng k ϕr

và l ϕr

tươ ng ứng vớ i các giá tr ị riêng k λ và l k ,l ≠λ , ta có

∑=

=ϕλ=ϕm

j

k ik

k jij m , ,i , R

1

21 ..., , (8.3.22)

∑=

=ϕλ=ϕm

j

l il

l jij m , ,i , R

1

21 ..., . (8.3.23)

Nhân hai vế của các đẳng thức trong (8.3.22) vớ i l iϕ r ồi cộng lại và nhân từng đẳng thức trong

(8.3.23) vớ i k iϕ và cũng cộng lại:

∑∑ ∑= = =

ϕϕλ=ϕϕm

i

m

j

m

i

l i

k ik

l i

k jij R

1 1 1

, (8.3.24)

∑ ∑ ∑= = =

ϕϕλ=ϕϕm

i

m

j

m

i

l

i

k

il

k

i

l

jij R

1 1 1

. (8.3.25)

Tr ừ (8.3.25) cho (8.3.24) ta nhận đượ c

∑=

=ϕϕλ−λm

i

l i

k il k )(

1

0 . (8.3.26)

Vì 0≠λ−λ l k nên∑=

=ϕϕm

i

l i

k i

1

0 , tức là vectơ k ϕr

và l ϕr

tr ực giao.

Ta tính phươ ng sai của các tổ hợ p tuyến tính (8.3.15)



174

[ ] =⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ϕ= ∑

=

2

1

m

j

k j jk X M A D

∑∑∑∑= == =

ϕϕ=⎪⎭⎪⎬⎫

⎪⎩⎪⎨⎧ ϕϕ=

m

i

m

j

k j

k iij

m

i

m

j

k j

k i ji R X X M

1 11 1

(8.3.27)

Nếu k λ là một giá tr ị riêng của ma tr ận tươ ng quan, còn k ϕr

) ,..., ,( k m

k k ϕϕϕ 21 là vectơ riêng tươ ng

ứng vớ i nó, ta có thể viết (8.3.27) dướ i dạng

[ ] k k i

m

i

k i

m

ik

m

j

k jij

k ik R A D λ=ϕϕλ=ϕϕ= ∑∑ ∑

== = 11 1

. (8.3.28)

Từ đó thấy r ằng các giá tr ị riêng của ma tr ận tươ ng quan là phươ ng sai của các tổ hợ p tuyến tính k A .

Điều này chỉ ra r ằng các giá tr ị riêng của ma tr ận tươ ng quan là những số không âm.

Ta sắ p xế p các giá tr ị riêng của ma tr ận tươ ng quan theo thứ tự giảm dần ...≥λ≥λ≥λ321

, và giả sử

... , , , 321 ϕϕϕrrr

là những vectơ riêng tươ ng ứng vớ i chúng.

Có một định lý sau đây về tính chất cực tr ị của các giá tr ị riêng và các vectơ riêng của ma tr ận đốixứng, tươ ng tự tính chất cực tr ị của các giá tr ị riêng và hàm riêng của nhân đối xứng của phươ ng trình tích phân.

Định lý: Trên tậ p hợ p các vectơ chuẩn tắc ϕr

) ,..., ,( mϕϕϕ 21 tổng

j

m

ii

m

jij R ϕϕ∑∑

=1

(8.3.29)

có cực đại bằng giá tr ị riêng lớ n nhất 1λ của ma tr ận ij R . Cực đại này đạt đượ c khi vectơ ϕr

bằng vectơ

riêng 1ϕr

ứng vớ i giá tr ị riêng 1λ .

Trên tậ p hợ p các vectơ tr ực giao chuẩn hoá vớ i 1−n vectơ riêng đầu tiên 121 −ϕϕϕ n , ,rrr ..., của ma tr ận

ij R , tổng (8.3.29) có cực đại bằng giá tr ị riêng nλ đạt đượ c khi nϕ=ϕrr

.

Chứ ng minh: Giả sử m..., , , ϕϕϕrrr 21 là những vectơ riêng độc lậ p tuyến tính của ma tr ận ij R , khi đó

vectơ ϕr

có thể biểu diễn dướ i dạng tổ hợ p tuyến tính của chúng

mmc...cc ϕ++ϕ+ϕ=ϕrrrr 2

21

1 . (8.3.30)

Thế (8.3.30) vào (8.3.29), do tính chất tr ực giao của các vectơ riêng, ta nhận đượ c

∑∑ ∑∑∑∑= = = == =

ϕϕ=ϕϕm

i

m

j

m

k

m

l

l j

k il k ij

m

i

m

j

jiij cc R R1 1 1 11 1

∑ ∑∑= ==

ϕϕ=m

i

k j

k i

m

j

ij

m

k

k Rc1 11

2 (8.3.31)

Sử dụng (8.3.21) và điều kiện chuẩn hoá của các vectơ ϕr

, ta đượ c

[ ] 11

21

2

11

2

1

2

1 1

λ=λ≤λ=ϕλ=ϕϕ ∑∑∑∑∑∑===== =

m

k k k

m

k k

m

i

k ik

m

k k

m

i ji

m

jij ccc R (8.3.32)

Tổng (8.3.29) sẽ có giá tr ị cực đại bằng 11 ϕ=ϕλ

rr khi , vì trong tr ườ ng hợ p này

01 21 === m... =cc ,c .

Bây giờ giả sử vectơ ϕr

tr ực giao vớ i các vectơ riêng 121 −ϕϕϕ n , ,rrr ..., , khi đó trong khai triển (8.3.30)

0121 ==== −nc...cc và từ (8.3.32) ta nhận đượ c



175

nk

m

nk k

m

i ji

m

jij c R λ≤λ=ϕϕ ∑∑∑

== =

2

1 1

. (8.3.33)

Đẳng thức trong (8.3.33) đạt đượ c khi nϕ=ϕrr

.

Nếu lấy các vectơ riêng của ma tr ận tươ ng quan ij R làm hệ các vectơ { }k ϕr trong khai triển (8.3.14)

của vectơ ngẫu nhiên X r

thì phươ ng sai của sai số xấ p xỉ 2nσ sẽ đượ c xác định dướ i dạng

∑∑==

λ−=σn

k

k

n

i

iin R11

2 , (8.3.34)

trong đó k λ là các giá tr ị riêng của ma tr ận tươ ng quan.

Như vậy, vớ i tư cách là những vectơ tr ực giao tự nhiên, khi khai triển vectơ ngẫu nhiên thành tổngcủa n thành phần tr ực giao tự nhiên cần phải lấy n vectơ riêng của ma tr ận tươ ng quan ứng vớ i n giá tr ị riêng đầu tiên của nó.

Khi chọn các vectơ riêng của ma tr ận tươ ng quan làm các vectơ { }k ϕr , các hệ số khai triển k A trong

(8.3.14) đôi một không tươ ng quan.

Thực vậy,

[ ] [ ] =ϕϕ= ∑∑=

l j

k i

m

i

m

j jil k X X M A A M

1

l k R l i

m

i

k il

l i

m

j

ij

m

i

k i ≠=ϕϕλ=ϕϕ= ∑∑∑

===

khi0111

(8.3.35)

Vì các giá tr ị riêng k λ của ma tr ận tươ ng quan là phươ ng sai của các hệ số khai triển vectơ ngẫu

nhiên theo các vectơ riêng của ma tr ận tươ ng quan nên bài toán khai triển vectơ ngẫu nhiên thành tổng cácthành phần tr ực giao tự nhiên có thể đặt ra như sau. Chẳng hạn, giả sử có m giá tr ị của yếu tố khí tượ ng

m x , x , x ...,21 . Đây có thể là những giá tr ị tại m mực khác nhau hay tại m điểm khác nhau trên một mặt đẳng

áp, hay những giá tr ị tại một điểm, nhưng ở những thờ i điểm khác nhau. Các vectơ tr ực chuẩn

) , ,( k m

k k k ϕϕϕϕ ...,21r

, tức là những tổ hợ p tuyến tính của các giá tr ị của yếu tố khí tượ ng m , ,i , xi ..., 21=

dạng

∑=

ϕ=m

i

k iik x A

1

(8.3.36)

đượ c tìm sao cho phươ ng sai của những tổ hợ p tuyến tính này

[ ] k j

k i

m

i

m

jij

m

i

k iik R x M A D ϕϕ=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ϕ= ∑ ∑∑

= == 1 1

2

1

(8.3.37)

đạt cực đại.

Mỗi vectơ k ϕr

như vậy là một vectơ riêng của ma tr ận tươ ng quan ij R . Giá tr ị riêng của ma tr ận

ij R tươ ng ứng vớ i vectơ đó bằng phươ ng sai của tổ hợ p tuyến tính k A .

Ý ngh ĩ a của khai triển hàm ngẫu nhiên thành tổng các thành phần tr ực giao tự nhiên là ở chỗ, từ mộtsố lượ ng lớ n những số liệu thực nghiệm, tr ướ c hết tách ra tổ hợ p tuyến tính , A1 có độ biến thiên (phươ ng

sai) lớ n nhất. Tổ hợ p tuyến tính này tươ ng ứng vớ i vectơ riêng1

ϕ

r

ứng vớ i giá tr ị riêng lớ n nhất trong các



176

giá tr ị riêng của ma tr ận tươ ng quan. Tiế p theo, xét đến những tổ hợ p tuyến tính , Ak không tươ ng quan

vớ i , A1 và chọn lấy tổ hợ p 2 A trong số chúng có độ biến thiên lớ n nhất, v.v... Sau khi chọn đượ c một số

không lớ n những tổ hợ p như thế, độ biến thiên của tất cả các tổ hợ p tuyến tính còn lại tr ở nên nhỏ. Vì vậy,khi mong muốn mô tả phần lớ n độ biến thiên đặc tr ưng của tậ p hợ p các giá tr ị m x , x , x ...,21 , chúng ta có

thể sử dụng không phải tất cả các tổ hợ p tuyến tính , Ak mà chỉ một số tổ hợ p ứng vớ i những giá tr ị riêng

k λ lớ n nhất.

Khi đó, để đánh giá sai số mắc phải, có thể sử dụng phươ ng sai tươ ng đối của sai số

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ϕ−

=η

∑

∑ ∑

=

= =

m

i

i

m

i

k i

n

k k i

n

X M

A X M

1

2

2

1 12 (8.3.38)

để cho phươ ng sai cực tiểu phù hợ p vớ i (8.3.34) và nếu tính đến đẳng thức đã biết

∑∑==

λ=m

k k

m

iii R

11

(8.3.39)

sai số này sẽ đượ c viết dướ i dạng

∑

∑

=

=

λ

λ

−=ηm

k k

n

k k

n

1

12 1

. (8.3.40)

Đại lượ ng

∑

∑

=

=

λ

λ

=m

k k

n

k k

nd

1

1

(8.3.41)

đặc tr ưng cho phần của n thành phần tự nhiên trong phươ ng sai tổng.

Như vậy, so vớ i khai triển hàm ngẫu nhiên theo những hệ hàm hay vectơ tr ực chuẩn bất k ỳ nào khác, phép khai triển hàm ngẫu nhiên theo các thành phần tr ực giao tự nhiên đảm bảo sự giảm phươ ng sai nhanhnhất từ thành phần này đến thành phần khác.

Bài toán tìm các giá tr ị riêng và các vectơ riêng của ma tr ận là một trong những bài toán cơ bản của

đại số tuyến tính. Nếu chuyển các số hạng từ vế phải sang vế trái, có thể viết lại hệ (8.3.21) dướ i dạng

. ) R( R R

, R ) R( R

, R R ) R(

mmmmm

mm

mm

0

0

0

2211

2222121

1212111

=ϕλ−++ϕ+ϕ

=ϕ++ϕλ−+ϕ

=ϕ++ϕ+ϕλ−

...

.....................................................

...

...

(8.3.42)

Hệ các phươ ng trình thuần nhất (8.3.42) sẽ có nghiệm khác vectơ không chỉ trong tr ườ ng hợ p địnhthức của hệ bằng không, tức là ta có phươ ng trình



177

0

21

22221

11211

=

R R R

R R R

R R R

mmmm

m

m

...

............

...

...

λ−

λ−

λ−

. (8.3.43)

Phươ ng trình này đượ c gọi là phươ ng trình đặc tr ưng của ma tr ận các hệ số ij R hay phươ ng trình

tr ọng lượ ng. Khai triển định thức (8.3.43), ta có thể viết nó dướ i dạng một phươ ng trình đại số đối vớ i λ

012

21

1 =−λ−−λ−λ−λ −−−

mmmmm p p p p ... (8.3.44).

Như vậy, những giá tr ị riêng của ma tr ận ij R là các nghiệm của phươ ng trình bậc m (8.3.44), và do

đó, nói chung có m giá tr ị riêng m , , λλλ ...,21 , có thể sắ p xế p theo thứ tự giảm dần. Để xác định vectơ

riêng ) , ,( m11

211

1 ϕϕϕϕ ...,r

, tươ ng ứng vớ i giá tr ị riêng lớ n nhất 1λ , là vectơ tr ực giao tự nhiên thứ nhất

trong khai triển vectơ ngẫu nhiên (8.3.14), cần phải đặt 1λ=λ vào hệ (8.3.42) và tìm nghiệm của hệ này.

Mỗi vectơ tr ực giao tự nhiên tiế p theo n , , ϕϕϕrrr

...,32 sẽ đượ c tìm bằng cách giải hệ (8.3.42) vớ in ,..., , λλλ=λ 32 .

Những hệ số của phươ ng trình đặc tr ưng (8.3.44) là tổng của tất cả các định thức con của ma tr ận

ij R bậc i dựa trên đườ ng chéo chính. Tính tr ực tiế p các hệ số i P là công việc nặng nề và đòi hỏi r ất

nhiều thao tác.

Trong đại số tuyến tính đã xây dựng nhiều phươ ng pháp để đơ n giản hoá việc giải bài toán xác địnhcác giá tr ị riêng và các vectơ riêng của ma tr ận. Vấn đề này đượ c trình bày chi tiết trong [77]. Phần lớ n các phươ ng pháp đó bao gồm việc tính tr ướ c các hệ số của phươ ng trình đặc tr ưng, bỏ qua việc tính nhiều địnhthức con. Sau đó các giá tr ị riêng đượ c tính bằng một phươ ng pháp nào đó để tính gần đúng các nghiệm

của đa thức.Khi khai triển vectơ ngẫu nhiên thành tổng các thành phần tr ực giao tự nhiên, như chúng ta đã thấy

trên đây, thườ ng ngườ i ta giớ i hạn ở một số thành phần đầu tiên, tức là chỉ sử dụng một số vectơ riêng củama tr ận tươ ng quan tươ ng ứng vớ i những giá tr ị riêng lớ n nhất của nó. Bài toán tìm một hoặc một số giá tr ị riêng của ma tr ận và các vectơ riêng tươ ng ứng vớ i chúng trong đại số tuyến tính có tên là bài toán giá tr ị riêng bộ phận để phân biệt vớ i bài toán đầy đủ khi đòi hỏi xác định tất cả các giá tr ị riêng và các vectơ riêng của ma tr ận. Để giải bài toán bộ phận thì các phươ ng pháp lặ p là r ất hiệu quả, trong đó các giá tr ị riêng đượ c nhận như là giớ i hạn của những chuỗi số nào đó, và các thành phần vectơ riêng tươ ng ứng vớ ichúng cũng như vậy. Trong các phươ ng pháp lặ p, các giá tr ị riêng thườ ng đượ c tính tr ực tiế p mà không cầntính tr ướ c các hệ số của phươ ng trình đặc tr ưng, điều đó làm đơ n giản bài toán. Các phươ ng pháp lặ p thíchhợ p hơ n cả đối vớ i việc giải trên máy tính điện tử, do đó chúng r ất quan tr ọng.

8.4 BIỂU DIỄ N CÁC TR ƯỜ NG KHÍ TƯỢ NG DƯỚI DẠ NG TỔ NG CÁC THÀNHPHẦ N TR Ự C GIAO TỰ NHIÊN

Phươ ng pháp khai triển hàm ngẫu nhiên thành các thành phần tr ực giao tự nhiên cho phép tách ranhững đặc điểm cơ bản nhất và loại bỏ những chi tiết nhỏ từ một số lượ ng lớ n số liệu thực nghiệm; phươ ng pháp này đã đượ c ứng dụng r ộng rãi để mô tả cấu trúc thống kê các tr ườ ng khí tượ ng trong các công trìnhcủa N. A. Bagrov [35,36], A. M. Obukhov [67], M.I. Iuđin [87], L. V. Rukoves [73], G. Đ. Kuđashkin[58], A. V. Mesherskaija và N. I. Iakovleva [64,65,89,90] và các tác giả khác.

Để làm ví dụ, chúng ta xem xét khai triển profile thẳng đứng tr ườ ng địa thế vị theo các thành phầntr ực giao tự nhiên đượ c thực hiện trong công trình của L. V. Rukhoves. Số liệu thực nghiệm ban đầu đượ c

sử dụng là các giá tr ị địa thế vị trên 6 mặt đẳng áp (1000, 850, 700, 500, 300 và 200 mb) qua 3 giờ một và



178

chúng đượ c chia thành bốn tậ p: tậ p thứ nhất bao quát thờ i k ỳ 10 ngày, từ 23/1 đến 1/2/1959, tậ p thứ hai − 10 ngày, từ 15 đến 24/4/1959, tậ p thứ ba − 11 ngày, từ 6 đến 16/7/1959, tậ p thứ tư − 10 ngày, từ 20 đến29/10/1959.

Việc chọn một vài tậ p như vậy nhằm khảo sát vấn đề về độ ổn định của phép khai triển. Nếu các thành

phần tr ực giao tự nhiên nhận đượ c theo một tậ p mất tính ổn định khi chuyển sang những tậ p khác, thì việcứng dụng khai triển như vậy vào thực tế tr ở thành ít hiệu quả và không ưu việt so vớ i phép khai triển theo cáchệ hàm tr ực giao khác.

Số liệu đượ c lấy tại các điểm nút của lướ i đều trên lãnh thổ châu Âu. Mỗi mùa có không ít hơ n 990 giátr ị biến đổi ngày đêm của địa thế vị, mặc dù như trong [73], không phải tất cả các giá tr ị đều độc lậ p. Để nghiên cứu sự phụ thuộc của các hàm tr ực giao tự nhiên vào v ĩ độ, toàn bộ lãnh thổ đượ c chia thành ba vùng

theo v ĩ độ. Theo số liệu của tậ p thứ ba, tậ p có nhiều giá tr ị nhất, đã tính các ma tr ận tươ ng quan ij R cho

từng vùng trong số ba vùng, những ma tr ận tươ ng quan này mô tả mối liên hệ của biến đổi ngày đêm của địathế vị giữa các mực trên toàn bộ 6 mặt đẳng áp. Vì xét các số liệu trên 6 mực chuẩn, nên ma tr ận tươ ng quan

ij

R là ma tr ận bậc 6.

Việc tính các giá tr ị riêng và vectơ riêng đượ c thực hiện theo phươ ng pháp Jacobi, tức là đưa ma tr ậnvề dạng đườ ng chéo nhờ phép quay đơ n giản [77]. Việc tính sự biến đổi ngày đêm, ma tr ận tươ ng quan,các giá tr ị riêng và vectơ riêng đượ c thực hiện trên máy tính điện tử.

Giá tr ị các vectơ riêng của ma tr ận tươ ng quan cho ba vùng (1, 2, 3), lấy từ [73], đượ c biểu diễn trênhình 8.1. Do độ biến động của địa thế vị tăng theo v ĩ độ mà các ma tr ận tươ ng quan của các vùng khác biệtnhau một cách đáng k ể. Nhưng, như ta thấy trên hình 8.1, các vectơ riêng của những ma tr ận đó khá gầnnhau.

Hình 8.1

Để nhận định tính chất ổn định của các vectơ riêng, trên hình 8.2 đã đưa ra các giá tr ị của chúng cho mỗitậ p trong bốn tậ p của một vùng. Từ hình 8.2 thấy r ằng, đối vớ i các mùa khác nhau, hình dạng các vectơ riênggần giống nhau, đặc biệt đối vớ i hai vectơ riêng đầu tiên.

Trong bảng 8.1 đưa ra giá tr ị các giá tr ị riêng của ma tr ận tươ ng quan đối vớ i từng tậ p và các đại

lượ ng



179

∑

∑

=

=

λ

λ

=m

k

k

n

k k

nd

1

1

, (8.4.1)

đặc tr ưng cho phần đóng góp của n thành phần tr ực giao tự nhiên vào phươ ng sai của khai triển (8.3.14)vớ i 621 ..., , ,n = , tức là khi hạn chế bở i một, hai, ba, v.v... số hạng trong tổng (8.3.14).

Hình 8.2

Bảng 8.1

Tập

1 2 3 4k

k λ %d n k λ %d n k λ %d n k λ %d n

1 559,8 80,9 195,2 66,2 184,7 73,5 625,2 50,22 93,4 94,4 59,4 86,3 40,8 89,7 115,5 95,03 22,5 97,6 18,5 92,6 14,2 95,3 21,0 97,74 10,6 99,2 11,0 96,3 5,5 97,5 10,7 99,05 3,6 99,7 8,7 99,3 4,2 99,2 5,1 99,76 2,1 100 2,1 100 1,9 100 2,4 100

Từ bảng thấy r ằng hai thành phần tr ực giao tự nhiên đầu tiên tậ p trung khoảng 90% phươ ng sai tổngcộng, tức là khai triển theo các thành phần tr ực giao tự nhiên có tốc độ hội tụ cao.



180

Chương 9

NHỮ NG VÍ DỤ NGOẠI SUY TUYẾN TÍNH TỐI Ư U CÁC QUÁ TRÌNH KHÍTƯỢ NG THỦY VĂN

9.1 NGOẠI SUY TỐI Ư U DÒNG CHẢY SÔNG THEO PHƯƠ NG PHÁP I. M.ALEKHIN

I. M. Alekhin đã ứng dụng lý thuyết ngoại suy tuyến tính tối ưu các quá trình ngẫu nhiên dừng để dự báo dòng chảy sông ngòi [34]. Tác giả xem độ lệch của dòng chảy năm so vớ i chuẩn như một hàm ngẫunhiên dừng của thờ i gian cho tại những giá tr ị nguyên của đối số.

Để có thể dự báo quá trình ngẫu nhiên tại thờ i điểm 0>+ T ,T t theo các số liệu quan tr ắc trên

khoảng đo của đối số tr ướ c thờ i điểm t , thì sự tồn tại mối phụ thuộc tươ ng quan đáng k ể giữa các lát cắtcủa quá trình ngẫu nhiên là cần thiết. Có thể nhận định về sự tồn tại mối phụ thuộc này, chẳng hạn, bằngđồ thị hàm tươ ng quan. Trong [34] đã tính các hàm tươ ng quan chuẩn hoá )( r τ của độ lệch dòng chảy

năm so vớ i chuẩn cho 6 con sông phân bố trên lãnh thổ châu Âu của Liên Xô. Số liệu ban đầu để tính là số liệu lưu lượ ng nướ c trung bình năm trong 50−70 năm lấy từ "Tài liệu chế độ sông ngòi Liên Xô" và cácniên lịch thủy văn. Những ví dụ về các hàm tươ ng quan đã tính đượ c biểu diễn trên hình 9.1. (Nhữngđườ ng liền nét nhận đượ c bằng cách làm tr ơ n theo phươ ng pháp bình phươ ng tối thiểu). Từ hình 9.1, rút rak ết luận về nguyên tắc có thể dự báo dòng chảy sông, vì tươ ng quan lưu lượ ng trung bình năm trong sáutr ườ ng hợ p xem xét tỏ ra khá cao trong một dải r ộng của khoảng τ . Điều này, theo Iu. M. Alokhin, đượ cquyết định bở i hai nguyên nhân: sự điều chỉnh dòng chảy năm tạo nên mối liên hệ tươ ng quan vớ i những τ

không lớ n (không lớ n hơ n 2−3 năm), và tính chu k ỳ của dòng chảy tạo nên sự tươ ng quan biến thiên cótính tuần hoàn và làm cho tươ ng quan tắt dần chậm trong dải τ r ộng. Trong công trình [34] đã khảo sátngoại suy "thuần tuý" (không làm tr ơ n) dòng chảy năm của các con sông vớ i thờ i hạn dự báo 321 ,,=T và

5 năm. Trong đó các tính toán đượ c thực hiện bằng hai phươ ng pháp: giải tr ực tiế p hệ phươ ng trình đại số (5.2.11) (xem mục 5.2) và sử dụng lý thuyết Kolmogorov−Winer (xem mục 5.3 và 5.5).

Hình 9.1

1. Dự báo dòng chảy sông bằng cách giải trự c tiếp hệ phươ ng trình đại số

Bài toán dự báo dòng chảy sông đượ c đặt ra như sau. Có số liệu độ lệch dòng chảy năm so vớ i chuẩn )nt ( q ),t ( q ),t ( q −− ...,1 ghi đượ c trong n năm mà năm cuối cùng đượ c ký hiệu là t . Giá tr ị dự báo

)T t ( q + , vớ i −T thờ i hạn dự báo, sẽ đượ c tìm dướ i dạng tổ hợ p tuyến tính của m số trong số các số liệu

này



181

∑=

−α=+m

k

k )k t ( q )T t ( q0

. (9.1.1)

Các hệ số k α đối vớ i từng giá tr ị T đã cho, đượ c xác định từ điều kiện cực tiểu phươ ng sai sai số

ngoại suy như đã trình bày trong mục 5.2, là nghiệm của hệ phươ ng trình

∑=

=−α=+m

k qk q m , , j ), jk ( R ) jT ( R

1

21 ..., , (9.1.2)

trong đó )( Rq τ là hàm tươ ng quan của độ lệch dòng chảy năm. Số hạng tử m trong tổng (9.1.1) cần đượ c

chọn sao cho các mômen tươ ng quan ) jk ( Rq − xác định theo số liệu quan tr ắc tại n điểm phải đủ tin

cậy. Trong [34], hệ phươ ng trình (9.1.2) đượ c giải bằng phươ ng pháp Gauss [77].

Chúng ta sẽ xem xét k ết quả tính cho sông Volga tại Kubưshev. Chuỗi ban đầu của lưu lượ ng trung bìnhnăm lấy bằng các độ lệch so vớ i chuẩn trong thờ i k ỳ 1882−1935. Số hạng tử trong tổng (9.1.1) bằng 21.

Trong bảng 9.1 chỉ ra giá tr ị của các hệ số ngoại suy tối ưu k α ứng vớ i thờ i hạn dự báo 321 , ,T = và

5 năm.Để đánh giá chất lượ ng dự báo tối ưu, trên hình 9.2 đưa ra những giá tr ị thực của dòng chảy năm

(đườ ng liền nét) và những giá tr ị dự báo theo công thức (9.1.1) vớ i các hệ số ở bảng 9.1.

Từ hình 9.2 thấy r ằng, số liệu dự báo nhận đượ c theo phươ ng pháp ngoại suy tối ưu khá phù hợ p vớ inhững giá tr ị thực của dòng chảy năm.

Bảng 9.1

k T

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 0,56 −0,53 0,42 −0,22 0,03 0,08 −0,28 0,03 0,24 0,18 0,002 −0,22 0,19 −0,07 −0,28 −0,05 −0,17 0,02 0,25 0,19 0,13 0,19

3 −0,19 0,11 −0,55 0,16 −0,38 0,08 0,20 0,23 0,00 0,14 0,13

5 −0,85 −0,06 −0,52 0,53 −0,01 0,28 −0,18 0,25 −0,02 0,34 0,58

k T

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

1 0,22 0,03 0,35 −0,17 −0,29 0,22 −0,48 0,08 −0,21 0,00

2 0,08 0,34 0,14 −0,17 0,08 −0,36 −0,07 −0,15 −0,16 −0,33

3 0,35 0,20 −0,23 0,31 −0,26 −0,17 0,00 −0,28 −0,15 −0,30

5 0,01 0,28 −0,44 0,07 0,00 −0,49 −0,42 −0,52 0,32 −0,04

Các hệ số tươ ng quan giữa giá tr ị thực và dự báo bằng:030840 , , ± vớ i 1=T năm,

030840 , , ± vớ i 2=T năm,

030840 , , ± vớ i 3=T năm,

030800 , , ± vớ i 5=T năm.

Thành công của việc đưa số liệu nhiều năm vào dự báo càng thể hiện rõ nếu chúng ta nhớ lại r ằng cáchệ số tươ ng quan giữa lưu lượ ng trung bình năm của sông Volga (tại Kubưshev) vớ i 32 ,=τ và 5 năm bằng 0602 , )( r = , 0503 , )( r −= , 2305 . )( r −= (xem hình 9.1). K ết quả dự báo cho 5 con sông khác cũng

r ất khả quan.



182

Hình 9.2

2. Dự báo dòng chảy sông khi sử dụng lý thuyết Kolmogorov− Winer

Giả thiết r ằng độ lệch dòng chảy năm so vớ i chuẩn là quá trình ngẫu nhiên dừng và khoảng thờ i giancho quá trình này khá lớ n, tức là thể hiện của quá trình có thể xem là đượ c cho trên toàn khoảng tr ướ c thờ iđiểm hiện tại.

Theo lý thuyết Kolmogorov−Winer giá tr ị dự báo )T t ( q + đượ c tìm theo công thức (9.1.1), trong đó

các hệ số k α đượ c xác định bằng cách giải phươ ng trình Winer −Hopf theo phươ ng pháp đã trình bày

trong mục 5.5.

Phươ ng pháp tính toán như sau:

1) Tìm hàm tươ ng quan )( Rq τ theo chuỗi các quan tr ắc )t ( q , )t ( q 1− ,..., )nt ( q − ,

2) Tìm mật độ phổ )( S q ω theo hàm tươ ng quan )( Rq τ ,

3) Xác định hàm truyền tối ưu theo công thức (5.5.19),4) Xác định các hệ số k α như là giá tr ị của hàm tr ọng lượ ng tối ưu (5.4.11) khi thay thế t bở i k t −

trong công thức này,

5) Xác định giá tr ị cần tìm )T t ( q + theo công thức (9.1.1).

Trong chươ ng 5, chúng ta đã xét phươ ng pháp xác định hàm tr ọng lượ ng tối ưu khi cho hàm tươ ngquan của quá trình ngẫu nhiên dướ i dạng giải tích. Khi đó, giả thiết r ằng những giá tr ị thống kê của hàmtươ ng quan tính theo số liệu thực nghiệm đượ c xấ p xỉ bằng biểu thức giải tích.

Trong [34], những giá tr ị thống kê của hàm tươ ng quan đượ c xấ p xỉ bằng đườ ng gấ p khúc, ở đó, tích phân trong các công thức xác định mật độ phổ, hàm truyền và hàm tr ọng lượ ng đượ c thay thế gần đúng bằng tổng tích phân tươ ng ứng khi tính toán.

Bảng 9.2

k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

k α 0,40 0,00 0,00 −0,30 0,53 0,25 0,21 0,10 0,21 −0,14 −0,11

k 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

k α 0,14 −0,05 0,47 −0,06 −0,30 0,10 −0,06 −0,10 0,14 −0,11



183

Trong bảng 9.2 đưa ra những giá tr ị nhận đượ c của các hệ số k α đối vớ i sông Volga vớ i thờ i gian dự

báo là một năm.

Sử dụng các hệ số k α trong bảng 9.2, theo công thức (9.1.1) đã dự báo dòng chảy sông Volga tại

Kubưshev vớ i thờ i hạn dự báo 1 năm cho thờ i k ỳ 1902−1935. Trên hình 9.3 biểu diễn những số liệutính toán dự báo (đườ ng gạch nối) và giá tr ị quan tr ắc thực của độ lệch dòng chảy so vớ i chuẩn trong nhữngnăm đó (đườ ng liền nét). Từ hình vẽ thấy r ằng, số liệu tính phản ánh đúng biến trình của giá tr ị thực và khá phù hợ p vớ i chúng. Hệ số tươ ng quan của dòng chảy thực và dự báo bằng 030860 , , ± . So sánh các k ết quả

này vớ i những đánh giá dự báo nhận đượ c bằng con đườ ng giải tr ực tiế p hệ phươ ng trình (9.1.2) (xem mục 1)thấy r ằng độ chính xác của chúng xấ p xỉ như nhau.

Hình 9.3

9.2 PHÂN TÍCH PHỔ VÀ NGOẠI SUY CHỈ SỐ HOÀN LƯ U VĨ HƯỚ NG

Khi nghiên cứu các quá trình khí quyển quy mô lớ n, cần biết quy luật của mắt xích chủ yếu tronghoàn lưu chung của khí quyển, đó là hoàn lưu v ĩ hướ ng, tức là sự vận chuyển không khí từ phía tây sang phía đông gây nên bở i dòng nhiệt tớ i từ mặt tr ờ i và sự quay của Trái đất quanh tr ục.

Khi tìm hiểu các quy luật hoàn lưu, thông thườ ng ngườ i ta sử dụng một số đặc tr ưng tích phân của

các quá trình v ĩ mô. Phổ biến nhất trong các đặc tr ưng đó là chỉ số hoàn lưu v ĩ hướ ng.Chỉ số hoàn lưu v ĩ hướ ng J đượ c định ngh ĩ a như là một đại lượ ng không thứ nguyên, bằng tỷ số tốc

độ góc quay của khí quyển α và tốc độ góc quay của trái đất ω

ωα

= J . (9.2.1)

Đại lượ ng α liên hệ vớ i tốc độ dài của chuyển động khí quyển bở i hệ thức

ϕα=λ cosr ) z( v 0 , (9.2.2)

trong đó λv là tốc độ của dòng v ĩ hướ ng, −0r bán kính trung bình của Trái đất, ϕ là v ĩ độ địa lý, − z độ

cao trên mực nướ c biển.

Do tầm quan tr ọng của sự hiểu biết về những quy luật biến đổi theo thờ i gian của chỉ số hoàn lưu v ĩ hướ ng, đặc biệt cho mục đích hoàn thiện phươ ng pháp dự báo thờ i tiết hạn dài, trong nhiều công trình đãnghiên cứu cấu trúc thống kê của chỉ số hoàn lưu v ĩ hướ ng và thử nghiệm dự báo nó bằng phươ ng phápthống kê.



184

Hình 9.4

Trong các công trình [49, 53, 54, 61, 82] đã tiến hành xử lý thống kê một số lượ ng khá lớ n tài liệuthực nghiệm và tính các hàm tươ ng quan, mật độ phổ của chỉ số hoàn lưu v ĩ hướ ng.

Trên hình 9.4 biểu diễn các hàm tươ ng quan thờ i gian của chỉ số hoàn lưu v ĩ hướ ng theo [49] đối vớ icác độ cao của các mặt đẳng áp 1000, 700, 500, 300, 200 và 100mb.

Các hàm tươ ng quan đượ c tính theo giá tr ị ngày của đại lượ ng chỉ số hoàn lưu v ĩ hướ ng trong nhữngnăm quan tr ắc sau đây:

Mực, mb Năm

1000700, 500300, 200

100

1955−19601949−19601954−19561958−19601958−1960

Trên hình 9.4 nhận thấy sự phù hợ p tốt giữa những hàm tươ ng quan ở các mực 700−500 mb, và gầnđối lưu hạn (200−300 mb). Điều này cho phép sử dụng các hàm tươ ng quan lấy trung bình cho từng lớ p.Trên hình thấy rõ r ằng, thoạt đầu các hàm tươ ng quan giảm khá nhanh, sau đó có tính chất dao động ngẫunhiên. Trong đó, nhận thấy những dao động này biểu hiện tính tuần hoàn vớ i chu k ỳ trung bình khá gầnnhau ở tất cả các đườ ng cong.

Để biểu thị rõ hơ n tính tuần hoàn của các hàm tươ ng quan nhận đượ c, ngườ i ta đã tính các mật độ phổ )( S j ω theo công thức

ωττ+=ω ∑=

cos )( R )( R )( S n

i j j j

1

20 ,

ở đây T ,T π=ω 2 là chu k ỳ.

Những tính toán đượ c thực hiện vớ i 24021 ..., , ,T = ngày.

Đồ thị mật độ phổ đối vớ i các mực 1000, 500 và 200 mb từ [49] đượ c biểu diễn trên hình 9.5.



185

Hình 9.5

Sự tồn tại một loạt các cực đại thể hiện khá rõ trên các đồ thị mật độ phổ (ứng vớ i... ,T 21201412 ÷÷= ngày) chứng tỏ về tính tuần hoàn trong sự biến đổi theo thờ i gian của chỉ số hoàn

lưu v ĩ hướ ng.

Để làm rõ mức độ liên hệ của hoàn lưu trên các mặt đẳng áp khác nhau trong [82] đã tính các hàmtươ ng quan quan hệ chuẩn hoá )( r ij τ giữa các giá tr ị của chỉ số hoàn lưu v ĩ hướ ng trên các mực khác

nhau. Đồ thị của các hàm đó đượ c biểu diễn trên hình 9.6.

Những giá tr ị lớ n nhất của các hàm tươ ng quan quan hệ chuẩn hoá nhận đượ c cho các giá tr ị trên haimực ứng vớ i cùng một thờ i điểm, tức là khi .0=τ Khi đó, đại lượ ng )( r ij 0 có các tr ị số lớ n nhất trong

tầng đối lưu giữa ( 9700700500 , )( r , = ), các lớ p đối lưu hạn có mức độ liên hệ nhỏ nhất( 8700200300 , )( r , = ). Khi khoảng cách giữa các mực tăng dần thì mối liên hệ của hoàn lưu v ĩ hướ ng yếu đi.

Trong các công trình [53, 54] đã nghiên cứu cấu trúc thống kê giá tr ị trung bình tháng của chỉ số hoànlưu v ĩ hướ ng. Từ những giá tr ị của chỉ số hoàn lưu v ĩ hướ ng trung bình tháng tại mực 500 mb trong 15năm (1949−1963), đã tính hàm tươ ng quan chuẩn hoá thờ i gian )( r τ của chỉ số hoàn lưu v ĩ hướ ng. K ết

quả đượ c biểu diễn trên hình 9.7. Đặc điểm của đườ ng cong trên hình này tươ ng tự đặc điểm của các hàmtươ ng quan đối vớ i giá tr ị ngày của chỉ số hoàn lưu v ĩ hướ ng. Ở đây cũng thể hiện rõ những dao động sóngngẫu nhiên. Chu k ỳ trung bình của các dao động bằng 6−9 tháng. Sự hiện diện của tính tuần hoàn này cũngđượ c khẳng định trên đồ thị mật độ phổ giá tr ị trung bình tháng của chỉ số hoàn lưu v ĩ hướ ng [54], đượ ctrình bày trên hình 9.8.

Mối liên hệ tươ ng quan đáng k ể theo thờ i gian của các giá tr ị ngày lẫn các giá tr ị trung bình tháng củachỉ số hoàn lưu v ĩ hướ ng chứng tỏ tính đúng đắn của việc đặt bài toán dự báo thống kê chỉ số hoàn lưu v ĩ hướ ng. Việc thử nghiệm giải quyết bài toán này đã đượ c nêu ra trong các công trình [53, 54, 82].

Trong công trình [82] đã giải bài toán ngoại suy tuyến tính giá tr ị ngày của chỉ số hoàn lưu v ĩ hướ ngtrên mặt đẳng áp 700 mb, tại đó mối liên hệ tươ ng quan tỏ ra ổn định nhất.

Giá tr ị dự báo )mt ( J + vớ i thờ i hạn dự báo m ngày đã đượ c tìm theo chuỗi n giá tr ị của nó tr ướ c

thờ i điểm t theo công thức

)it ( J A )mt ( J n

ii −=+ ∑

−

=

1

0

. (9.2.3)



186

Bài toán về ngoại suy tuyến tính thuần tuý quá trình ngẫu nhiên dừng cho tại một số điểm hữu hạn đãđượ c giải theo phươ ng pháp trình bày trong mục 5.2. Các hệ số i A đượ c xác định bằng cách giải hệ

phươ ng trình dạng (5.2.11).

Những giá tr ị của các hệ số i A vớ i 30=n và thờ i hạn dự báo m bằng 1, 3 và 7 ngày đượ c biểu diễn

trên hình 9.9. Từ hình này thấy r ằng, ảnh hưở ng mạnh nhất đến đại lượ ng đượ c dự báo là các giá tr ị liềntr ướ c nó, sau đó khi 202 << i , ảnh hưở ng của quá khứ giảm nhanh, cuối cùng vớ i 2521÷=i , sự ảnh

hưở ng này lại tăng mạnh lên. Sự phân bố tr ọng lượ ng như vậy d ĩ nhiên phù hợ p vớ i sự phân bố các cực đạicủa mật độ phổ (xem hình 9.5).

Hình 9.6

Để đánh giá sự phù hợ p giữa các giá tr ị nhận đượ c bằng cách ngoại suy tuyến tính và các giá tr ị thực

của chỉ số hoàn lưu v ĩ hướ ng đã xác định sai số tuyệt đối trung bình của phép ngoại suy ∗−=ρ J J ,

trong đó ∗ J là giá tr ị ngoại suy, − J giá tr ị thực của chỉ số hoàn lưu v ĩ hướ ng.

Giá tr ị nhỏ nhất của sai số ρ nhận đượ c khi m nhỏ, tức là khi chỉ sử dụng giá tr ị của những ngày liềntr ướ c gần nhất. Khi sử dụng số lượ ng lớ n các số hạng trong công thức ngoại suy tối ưu thì độ chính xác

không những không tăng lên, mà thậm chí giảm mạnh.

Thoạt nhìn có thể tưở ng r ằng càng nhiều hệ số i A đượ c sử dụng trong công thức ngoại suy tối ưu thì

càng nhiều thông tin đượ c đưa vào để nhận giá tr ị dự báo, và giá tr ị dự báo càng đượ c xác định một cáchchính xác. Thực tế thì không phải như vậy. Các hàm tươ ng quan thực nghiệm dùng để xác định các hệ số

i A không phải là chính xác vì chúng nhận đượ c dựa theo tậ p mẫu không lớ n lắm các thể hiện. Ngoài ra, độ

chính xác của chúng còn bị giảm vì một số thể hiện riêng biệt phụ thuộc lẫn nhau.



187

Hình 9.7 Hình 9.8

Khi số lượ ng các phươ ng trình của hệ (5.2.11) lớ n, độ chính xác của việc xác định các hệ số i A có

thể bị giảm còn vì tính căn cứ thấ p của hệ này hay tính không ổn định của nó.

Vì vậy, số lượ ng các hệ số i A đượ c tính tớ i khi dự báo phải chọn đủ nhỏ so vớ i dung lượ ng mẫu. A.

M. Iaglom [88] cho r ằng khi dung lượ ng mẫu khoảng vài tr ăm giá tr ị, số hệ số i A không đượ c vượ t quá

một vài đơ n vị.

Để cắt giảm số số hạng trong công thức ngoại suy tối ưu và chọn một số không lớ n các số hạng có tỷ tr ọng lớ n nhất trong dự báo, thông thườ ng phươ ng pháp đượ c gọi là phươ ng pháp lọc tỏ ra r ất hiệu quả.Phươ ng pháp này như sau. Giả sử có n giá tr ị của thể hiện của quá trình ngẫu nhiên )t ( U tại những thờ i

điểm tr ướ c thờ i điểm :t )nt ( u ),t ( u ),t ( u 11 +−− ..., . Giá tr ị dự báo của thể hiện ở thờ i điểm mt +

đượ c tìm theo công thức

j

k

j jv A )mt ( u ∑

=

=+1

(9.2.4)

vớ i số các số hạng k không lớ n.

Khi đó vớ i tư cách là giá tr ị của 1v ngườ i ta chọn ra trong số các giá tr ị )it ( u − một giá tr ị tươ ng ứng

vớ i tr ị số lớ n nhất của hệ số tươ ng quan của 1v vớ i đại lượ ng cần dự báo. Sau đó, vớ i tư cách là 2v ngườ i

ta lấy từ trong số các giá tr ị còn lại một giá tr ị có phần đóng góp lớ n nhất vào hệ số tươ ng quan của cặ p )v ,v( 21 vớ i đại lượ ng cần dự báo, tiế p theo lấy từ trong các giá tr ị còn lại một giá tr ị 3v có phần đóng góp

lớ n nhất vào hệ số tươ ng quan của ba đại lượ ng )v ,v ,v( 321 vớ i đại lượ ng cần dự báo v.v...

Thông thườ ng, sau một vài bướ c thì phần bổ sung vào hệ số tươ ng quan chỉ còn là r ất nhỏ và thủ tụccó thể k ết thúc; số số hạng đượ c chọn khi đó sẽ không lớ n lắm. Tuy nhiên, khi sử dụng phươ ng pháp này,trong tr ườ ng hợ p có nhiều đại lượ ng ban đầu, cũng có nguy cơ ngẫu nhiên nhận đượ c những hệ số tươ ngquan tươ ng đối lớ n của các giá tr ị đượ c chọn k v do sự không chính xác của việc xác định các hệ số tươ ng

quan thực nghiệm. Khi đó dự báo theo phươ ng pháp này cũng có thể tr ở nên không hiệu quả.



188

Hình 9.9

Trong công trình [53], để dự báo chỉ số hoàn lưu v ĩ hướ ng trung bình tháng đã sử dụng lý thuyếtngoại suy tuyến tính các quá trình ngẫu nhiên dừng trình bày trong các mục 5.3 và 5.5.

Vớ i mục đích đó, hàm tươ ng quan của chỉ số hoàn lưu v ĩ hướ ng trung bình tháng xác định theo số liệu thực nghiệm đã đượ c xấ p xỉ bằng biểu thức giải tích

) sin , sin ,( ee )( R, , τσ+τσ+=τ τ−τ−

210104652 5101350 . (9.2.5)

Theo công thức (3.2.12), mật độ phổ tươ ng ứng )( S ω đã đượ c xác định dướ i dạng

[ ][ ][ ]×σ−α−ωσ−α+ωσ−α−ω

−ω−ω=ω

221

2211

2211

2

2222 83486160

)i( )i( )i(

) ,( ) ,( )( S

[ ] )( )i( 22

2221

2

1

α+ωα−α+ω× , (9.2.6)

trong đó . ,; , 465201021

=α=α

Sau đó, theo phươ ng pháp đượ c trình bày trong mục 5.5, tác giả đã tìm hàm truyền tối ưu theo côngthức (5.5.19), và tiế p theo là tìm công thức ngoại suy tuyến tính tối ưu biểu thị giá tr ị dự báo của đại lượ ngcần tìm tại thờ i điểm T t + qua giá tr ị của nó và giá tr ị của đạo hàm các bậc của nó tại thờ i điểm t .

Nếu chỉ giớ i hạn ở hai đạo hàm đầu tiên thì nhận đượ c những công thức ngoại suy tuyến tính tối ưugần đúng cho chỉ số hoàn lưu v ĩ hướ ng vớ i thờ i hạn dự báo một và hai tháng dướ i dạng

)t ( J , )t ( J , )t ( J , )t ( J ′′−′+=+ 8143000270067301 , (9.2.7)

)t ( J , )t ( J , )t ( J , )t ( J ′′−′+=+ 0690000020005702 . (9.2.8)

Khi tính các đạo hàm đã sử dụng các công thức nội suy Newton:

),t ( J )t ( J J J 1−−=Δ≈′ ).t ( J )t ( J )t ( J J J 2122 −+−−=Δ≈′′ (9.2.9)

K ết quả dự báo J vớ i thờ i hạn dự báo một tháng theo công thức (9.2.7) khá phù hợ p vớ i các giá tr ị thực. Dự báo đại lượ ng )t ( J 2+ không cho k ết quả khả quan.



189

Chương 10

MỘT SỐ VẤN ĐỀ MÔ TẢ TR ƯỜ NG TỐC ĐỘ GIÓ

10.1 HÀM TƯƠ NG QUAN CỦA TỐC ĐỘ GIÓTrong chươ ng 4 đã chỉ ra r ằng để xác định k ỳ vọng toán học và hàm tươ ng quan của biến đổi tuyến

tính hàm ngẫu nhiên dừng nào đó chỉ cần biết k ỳ vọng toán học và hàm tươ ng quan của hàm ngẫu nhiênđượ c biến đổi. Nhưng trong thực tế, thườ ng xảy ra các tr ườ ng hợ p mối liên hệ giữa các hàm ngẫu nhiênthực sự không tuyến tính. Khi đó, để nhận đượ c các đặc tr ưng của hàm ngẫu nhiên là k ết quả của phép biếnđổi phi tuyến, thì biết k ỳ vọng toán học và hàm tươ ng quan của hàm ngẫu nhiên đượ c biến đổi là chưa đủ,mà cần biết các mômen bậc cao hoặc các hàm phân bố nhiều chiều của nó. Tuy nhiên trong nhiều tr ườ nghợ p, bằng cách sử dụng những thủ thuật nhân tạo có thể biểu diễn gần đúng k ỳ vọng toán học và hàmtươ ng quan của k ết quả biến đổi phi tuyến qua những đặc tr ưng tươ ng ứng của hàm ngẫu nhiên đượ c biếnđổi.

Để làm ví dụ cho biến đổi phi tuyến quá trình ngẫu nhiên dừng, ta xét phươ ng pháp gần đúng xácđịnh hàm tươ ng quan của modul vận tốc gió nếu biết tr ướ c k ỳ vọng toán học và hàm tươ ng quan của cácthành phần của vectơ này. Thông thườ ng, vectơ gió đượ c xem như vectơ ngẫu nhiên hai chiều mà cácthành phần )t ( U x và )t ( U y của nó là những hàm ngẫu nhiên không độc lậ p vớ i nhau, tại mỗi giá tr ị t

chúng tuân theo qui luật phân bố chuẩn có phươ ng sai bằng nhau.

Có thể xác định đượ c hàm tươ ng quan của modul vectơ gió, nếu biết quy luật phân bố hai chiều )u ,u( f 21 , tức là mật độ phân bố đồng thờ i các tốc độ gió 1U và 2U lấy ở những thờ i điểm khác nhau

hay tại những điểm khác nhau trong không gian. Phươ ng pháp này đượ c A. S. Martrenko xem xét trong

công trình [60], trong đó, trên cơ sở xác định lý thuyết mật độ phân bố đồng thờ i của các modul )t ( 1U r

và

)t ( 2U r

, xác lậ p mối liên hệ giữa các hàm tươ ng quan của tr ườ ng vectơ )t ( U r

và tr ườ ng vô hướ ng )t ( U r

.

Vớ i một số giả thiết nào đó, đã nhận đượ c những công thức tươ ng đối đơ n giản, và thực tế ứng dụng đượ cđể tính các hệ số tươ ng quan cho tr ườ ng hợ p tốc độ gió trung bình gần bằng không. Nhưng thực ra, như đãnêu trong công trình [60], trong nhiều tr ườ ng hợ p tốc độ gió trung bình [ ] mU M = khác không, và giá tr ị

của chúng có thể vượ t quá phươ ng sai 2σ một cách đáng k ể. Ví dụ, trong các điều kiện điển hình đối vớ i

dòng chảy xiết thì . ,m

12422

2

÷=σ

Biểu thức đối vớ i mật độ phân bố đồng thờ i của tốc độ, nhận đượ c trong

các điều kiện đó, r ất cồng k ềnh và trên thực tế không cho phép nhận đượ c những công thức khả d ĩ để tínhcác hệ số tươ ng quan.

Chúng ta sẽ xây dựng các công thức để xác định hàm tươ ng quan tốc độ gió cho tr ườ ng hợ p giá tr ị trung bình của tốc độ gió lớ n hơ n đáng k ể so vớ i độ lệch bình phươ ng trung bình của chúng. Phươ ng pháp

này dựa trên cơ sở sử dụng hàm đặc tr ưng của hệ các đại lượ ng ngẫu nhiên có dạng đơ n giản đối vớ itr ườ ng hợ p các đại lượ ng ngẫu nhiên phân bố chuẩn.

Bài toán đượ c phát biểu như sau.

Xét vectơ ngẫu nhiên hai chiều

jiU )t ( U )t ( U )t ( y x += (10.1.1)

mà các thành phần )t ( U x và )t ( U y của nó là những hàm ngẫu nhiên dừng, phân bố chuẩn, có k ỳ vọng

toán học xm và ym , các phươ ng sai 2σ== y x D D và các hàm tươ ng quan )( R x τ và )( R y τ .

Các thành phần của vectơ đượ c coi là không phụ thuộc lẫn nhau, tức là hàm tươ ng quan quan hệ củachúng bằng không.

Yêu cầu xác định hàm tươ ng quan )( Ru τ của modul vectơ ngẫu nhiên



190

)t ( U )t ( U )t ( U y x22 += (10.1.2)

Muốn vậy, đầu tiên ta xác định hàm tươ ng quan của bình phươ ng modul

)t ( U )t ( U )t ( Z y x22 += (10.1.3)

Hiển nhiên, hàm ngẫu nhiên )(t Z không phân bố chuẩn, tuy vậy tính dừng của nó đượ c giữ nguyên.

Ta xác định hàm tươ ng quan )( R z τ

[ ][ ]{ } [ ] =−τ+=−τ+−=τ 2 z z z z m )t ( Z )t ( Z M m )t ( Z m )t ( Z M )( R

+τ++τ+= )t ( U )t ( U M )t ( U )t ( U M y x x x2222

22222 z y y x y m )t ( U )t ( U M )t ( U )t ( U M −τ++τ++ , (10.1.4)

trong đó222222222 2 y x y x y x z mm )m( )m( U M U M m ++σ=+σ++σ=+= (10.1.5)

Ta xét hệ bốn đại lượ ng ngẫu nhiên phân bố chuẩn )t ( U U ),t ( U U ),t ( U U ),t ( U U y y x x τ+==τ+== 4321 .

Hàm đặc tr ưng của hệ này, như đã biết (xem mục 1.12), có dạng

,umiuu Rexp )u ,u ,u ,u( E k

k k jk j ,k

j ,k ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+−= ∑∑==

4

1

4

14321 2

1(10.1.6)

trong đó k m là các k ỳ vọng toán học của các đại lượ ng ngẫu nhiên k U , jk R , là mômen quan hệ của các đại

lượ ng ngẫu nhiên k U và jU , là những phần tử của ma tr ận tươ ng quan j ,k R

)mU )( mU ( M R j jk k j ,k −−=

Đối vớ i hệ các đại lượ ng ngẫu nhiên đang xét, ta có:2

44332211 σ==== R R R R ;

)( R R ),( R R y x τ=τ= 3412 ;

y x mmm ,mmm ==== 4321 . (10.1.7)

Vì các hàm ngẫu nhiên )t ( U x và )t ( U y không phụ thuộc lẫn nhau, nên

. R R R R 024142313 ====

Như vậy ma tr ận tươ ng quan có dạng

⎟⎟⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎜

⎝

⎛

σ

τσσ

τσ

=

2

22

2

00

00

)( R

)( R

R y

x

j ,k . (10.1.8)

Các k ỳ vọng toán học ở vế phải công thức (10.1.4) thực chất là những mômen gốc bậc bốn của hệ cácđại lượ ng ngẫu nhiên đang xét. Những mômen này có thể tìm đượ c bằng cách lấy vi phân hàm đặc tr ưngcủa hệ

==τ+ 22

21

22 U U M )t ( U )t ( U M x x

=∂∂

∂= ==== 02

221

43214

4 4321

1uuuu

uu

)u ,u ,u ,u( E

i



191

=+++++= 22

21122111

2222

211211

212 42 mm Rmm Rm Rm R R R

422242 422 x x x x x m )( Rmm )( R +τ+σ+σ+τ= (10.1.9)

Sau khi tính bằng cách tươ ng tự những giá tr ị còn lại của các k ỳ vọng toán học và thế chúng vào công

thức (10.1.4), ta đượ c

)( Rm )( Rm )( R )( R )( R y y x x y x z τ+τ+τ+τ=τ 2222 42 (10.1.10)

Để xác định hàm tươ ng quan của hàm ngẫu nhiên )t ( U , khi biết hàm tươ ng quan của bình phươ ng

của nó )t ( Z , cần có quy luật phân bố của )t ( U tại từng giá tr ị t .

Như đã biết (xem mục 1.11), luật phân bố của modul của vectơ hai chiều 22 y x U U U += , mà các

thành phần của nó là những đại lượ ng ngẫu nhiên độc lậ p, phân bố chuẩn, có cùng phươ ng sai 2σ nhưngkhác k ỳ vọng toán học [ ] y x x m M ,mU M == yU , sẽ là hàm Releich tổng quát

⎪⎩

⎪⎨

⎧

<

>⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛

σσ= σ

+

−

.u

,umu I eu )u( f

mu

00

020

22

2

22

khi

khi (10.1.11)

Trong công thức này, 22 y x mmm += là giá tr ị trung bình của modul vectơ −⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛

σ20mu

I ;U hàm

Bessel bậc không. Khi 1>>σm

, có thể thay hàm Bessel bằng biểu thức tiệm cận của nó

....e

)( I ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +ω

+πω

≈ωω

8

11

20 (10.1.12)

Khi đó có thể viết

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++π

σ

σ= σ

−σ

+−

...um

eum

eu

)u( f

ummu

8

11

2

22

22

22

(10.1.13)

Giớ i hạn ở hai số hạng của chuỗi, ta nhận đượ c

m

u

ume )u( f

)mu

(

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ σ+

σπ≈ σ

−−

81

2

1 22 2

2

(10.1.14)

Từ công thức này thấy r ằng khi 1>>σm

, vớ i độ chính xác đến nhân tử ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ σ+

m

u

um81

2

, hàm R ơ le

tổng quát có thể thay bằng luật phân bố chuẩn

02

1 2

2

2 >σπ

= σ

−−

ue )u( f

)mu

khi

(

(10.1.15)

Hàm Releich tổng quát (10.1.11) có tính bất đối xứng thể hiện rõ vớ i những tr ị số nhỏ củaσm

, khi

tăngσ

m, tính bất đối xứng giảm. Khi 2=

σm

, hệ số bất đối xứng bằng 0.24, khi 3=σm

, hệ số bất đối xứng

chỉ bằng 0.07.

Để nâng độ chính xác, ta sẽ xấ p xỉ hàm R ơ le tổng quát (10.1.11) bằng luật phân bố chuẩn, không phải

theo công thức (10.1.15) mà dướ i dạng



192

02

1 2

2

2 >σ′π

= σ′

′−−

ue )u( f

)mu

khi

(

(10.1.16)

sau khi chấ p nhận những giá tr ị tươ ng ứng của k ỳ vọng toán học và phươ ng sai phân bố (10.1.11) làm k ỳ

vọng toán học m′ và phươ ng sai 2σ′ của nó. Như đã biết (xem mục 1.11), đối vớ i phân bố (10.1.11), k ỳ vọng toán học và phươ ng sai có dạng

[ ] =′= mu M

4

4 4

2

2

2

2

12

2

2

2

02

2

221

2σ

−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

σσ+⎟

⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

σ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

σ+

πσ=

m

em

I mm

I m

(10.1.17)

[ ] .mmu D 2222 2 ′−+σ=σ′= (10.1.18)

Trên hình 10.1 biểu diễn các đườ ng cong phân bố tính theo các công thức (10.1.11) (đườ ng cong 1),

(10.1.15) (đườ ng cong 2) và (10.1.16) (đườ ng cong 3) vớ i những giá tr ị 53, 2,1,0,=σ

m. Trên tr ục hoành

đặt các giá tr ị u, đơ n vị bằng σ , trên tr ục tung đặt )u( f .

Phân tích hình vẽ thấy r ằng khi 2≥σm

, sai số của phép xấ p xỉ phân bố (10.1.11) bằng phân bố chuẩn

(10.1.16) là r ất nhỏ. Phép xấ p xỉ bằng phân bố (10.1.15) cho k ết quả kém hơ n.

Bây giờ ta sẽ coi hàm ngẫu nhiên )t ( U tại mỗi giá tr ị t tuân theo qui luật phân bố chuẩn (10.1.16)

vớ i k ỳ vọng toán học m′ và độ lệch bình phươ ng trung bình σ′ đượ c xác định theo các công thức

(10.1.17), (10.1.18).

Hình 10.1

Tr ướ c đây, chúng ta đã nhận đượ c hàm tươ ng quan cho hàm ngẫu nhiên )t ( U )t ( Z 2= . Bây giờ chúng

ta thiết lậ p mối liên hệ giữa các hàm tươ ng quan )( R z τ và )( Ru τ . Hàm tươ ng quan )( R z τ sẽ xác định

theo công thức

( ){ }τ+−τ+−=τ t U M )t ( U )t ( U M )t ( U M )( R z2222

{ }=′+σ′−τ+×′+σ′−= )m( )t ( U )m( )t ( U M 222222

22222 )m( )t ( U )t ( U M ′+σ′−τ+= . (10.1.19)

Ký hiệu 21 U )t ( U ,U )t ( U =τ+= . Vì 1U và 2U là những đại lượ ng ngẫu nhiên phân bố chuẩn, nên

hàm đặc tr ưng của hệ hai đại lượ ng ngẫu nhiên này sẽ có dạng



193

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ++++−= )umum( i )u Ruu Ru R( exp )u ,u( E 2211

22222112

211121 2

2

1(10.1.20)

trong đó

, R R ,mmm2

221121 σ′==′== [ ] )( R )mU )( mU ( M R u τ=−−= 221112 . (10.1.21)

)( Ru τ là hàm tươ ng quan cần tìm của hàm ngẫu nhiên )t ( U .

Ta tính đại lượ ng )t ( U )t ( U M τ+22 trong công thức (10.1.19)

[ ] [ ] =∂∂

∂==τ+ == 02

221

214

422

21

2221

1uu

uu

)u ,u( E

iU U M )t ( U )t ( U M

)m( )t ( Rm )( R uu2222 42 σ′+′−′−τ= . (10.1.22)

Thế (10.1.22) vào (10.1.19), nhận đượ c42222 2242 mm )( R )( Rm )( R )( R uuu z ′−′+τ=τ′+τ=τ . (10.1.23)

Từ đó

2422

1mm )( R )( R zu ′−′−τ=τ . (10.1.24)

Thay vì )( R z τ ta thế biểu thức của nó theo (10.1.10), cuối cùng ta có

[ ] 22222 2 m )( Rm )( Rm )( R )( R )( R y y x x y xu ′−τ−τ−τ+τ=τ (10.1.25)

Hàm này có khả năng xác định hàm tươ ng quan của tốc độ gió theo giá tr ị của hàm tươ ng quan của

các thành phần vectơ gió, thuận tiện cho việc tính toán vớ i mọi tr ị số 2≥σm

.

10.2 KHIUẾCH TÁN R ỐI

Giả thiết r ằng tại điểm nào đó của dòng r ối chất lỏng hay chất khí có một tạ p chất xâm nhậ p, chẳng hạnmột số lớ n các hạt r ắn nhỏ thuốc nhuộm. Nhờ sự vận chuyển bở i các luồng xáo tr ộn hỗn loạn của dòng r ối,chất này lan truyền nhanh và nhuộm màu một thể tích lớ n. Hiện tượ ng này gọi là khuếch tán r ối. Sự khuếchtán r ối r ất phổ biến trong tự nhiên. Nó quyết định sự lan truyền trong khí quyển những con vi khuẩn và siêu vitrùng, phấn hoa, làm ô nhiễm không khí bằng khói và các chất khí do công nghiệ p và giao thông phát ra, vậnchuyển hơ i ẩm từmặt đất, phân tán các vật thể nổi trên mặt thủy vực...

Tài liệu nghiên cứu vấn đề khuếch tán r ối r ất phong phú. Trình bày chi tiết về lý thuyết khuếch tán r ối có

trong cuốn chuyên khảo của A. S. Monin và A. M. Iaglom [18]. Ở đây, chúng ta chỉ xét tóm tắt phươ ng phápmô tả khuếch tán r ối trong tr ườ ng r ối đồng nhất dừng. Để mô tả r ối một cách thuận tiện sẽ sử dụng phươ ng pháp Lagr ăng. Phươ ng pháp này theo dõi chuyển động của một phần tử xác định của chất lỏng hay khí trongdòng bắt đầu từmột thờ i điểm ban đầu nào đó.

Giả sử tại thờ i điểm ban đầu 00 =t , phần tử nằm ở gốc của hệ toạ độ cố định, còn tại thờ i điểm t nó

nằm ở điểm X r

có toạ độ ( 321 x , x , x ).

Hàm vectơ ),t ( X r

đượ c xem như hàm ngẫu nhiên của thờ i gian, có thể dùng để đặc tr ưng cho r ối.

Mối phụ thuộc vào thờ i gian của bán kính vectơ quỹ đạo của mỗi phần tử chuyển động trong dòngnhận đượ c nhờ thí nghiệm là một thể hiện của hàm ngẫu nhiên này. Ký hiệu



194

dt

)t ( d )t (

X V

rr

= (10.2.1)

là vận tốc Lagr ăng của các phần tử, ta sẽ xem vận tốc này như một hàm vectơ ngẫu nhiên đồng nhất dừng.Khi đó có thể viết

∫=t

ds ) s( )t (

0

V X rr

. (10.2.2)

Xem vận tốc trung bình (lấy trung bình theo tậ p hợ p tất cả các phần tử) bằng không, 0= )t ( M V r

.

Khi đó, k ỳ vọng toán học của hàm ngẫu nhiên )t ( X r

bằng không, 0= )t ( M X r

.

Trong tr ườ ng hợ p này, phươ ng sai của sự phân tán các phần tử )t ( i x

2σ dọc theo tr ục toạ độ i có thể

xác định theo công thức

[ ]∫ ∫∫ =

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡=σ

i t

ii

t

i x dsds ) s( V ) s( V M ds ) s( V M i

0

2121

2

0

2

0

. (10.2.3)

Đưa vào hàm[ ]

2iv

iii

)t ( V )t ( V M )( r

σ

τ+=τ (10.2.4)

gọi là hệ số r ối Lagr ăng. Đó chính là hàm tươ ng quan chuẩn hoá của thành phần iV của vectơ vận tốc

Lagr ăng dọc tr ục toạ độ i . Khi đó, có thể viết (10.2.3) dướ i dạng

∫ ∫ −σ=σt t

iv x dsds ) s s( r ii

0 02112

22 . (10.2.5)

Do tính chẵn của các hàm ),( r i τ biểu thức (10.2.5) có thể đưa về dạng

∫ τττ−σ=σt

iv x d )( r )t ( )t ( ii

0

22 2 . (10.2.6)

Sau một số biến đổi, ta nhận đượ c

∫ ∫′

ττ′σ=σt t

iv x d )( r t d )t ( ii

0 0

22 2 . (10.2.7)

Công thức (10.2.7), biểu thị sự tản mạn của các phần tử qua hệ số r ối Lagr ăng, nhận đượ c lần đầu tiên

bở i Taylor [33]. Để đặc tr ưng cho khuếch tán r ối, bên cạnh phươ ng sai )t ( i x

2σ , ngườ i ta còn dùng một đại

lượ ng khác gọi là hệ số khuếch tán r ối )t ( Di

dt

)t ( d )t ( D i x

i

2

2

1 σ=

. (10.2.8)

Hệ số này đặc tr ưng cho tốc độ biến đổi phươ ng sai phân tán của các phần tử trong dòng r ối. Tươ ngứng vớ i (10.2.7), ta có thể biểu diễn hệ số khuếch tán r ối qua hệ số r ối Lagr ăng

∫ ττσ=t

ivi d )( r )t ( Di

0

2 . (10.2.9)

Như vậy, để xác định phươ ng sai phân tán của các phần tử trong dòng r ối đồng nhất dừng hay hệ số khuếch tán r ối, cần biết hàm tươ ng quan chuẩn của các vận tốc Lagr ăng.

Taylor đã chỉ ra hai tr ườ ng hợ p tiệm cận, khi sự phụ thuộc vào dạng của hàm tươ ng quan )( r i τ của





196

Hình 10.2

Theo công thức (10.2.9), ở đây có thể biểu diễn dướ i dạng

∫ ττ=t

uu d )( R )t ( D

0

. (10.2.16)

Các giá tr ị của hệ số khuếch tán r ối của thành phần v ĩ hướ ng đã đượ c tính và biểu diễn trên hình 10.2.Phân tích hình này cho thấy r ằng, theo thờ i gian hệ số khuếch tán r ối tăng lên, đạt đến cực đại sau 30

giờ , sau đó dần tiến đến giá tr ị giớ i hạn

∫∞

ττ=∞0

d )( R )( D u .

Trên thực tế nó đạt đượ c chỉ ở khoảng 6054 ÷=τ giờ .



197

Chương 11

TÍNH MẬT ĐỘ PHỔ QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN DỪ NG. PHỔ SÓNG BIỂN

11.1 XÁC ĐỊ NH MẬT ĐỘ PHỔ THEO SỐ LIỆU THỰ C NGHIỆMTrong chươ ng 3 chúng ta đã thấy mật độ phổ )( S ω của quá trình ngẫu nhiên dừng là biến đổi

Fourier hàm tươ ng quan )( R τ của nó và có thể đượ c xác định theo công thức (3.2.12). Khi đó, cần biết sự

biến đổi của hàm tươ ng quan thực trên toàn khoảng vô hạn của đối số.Khi xác định những đặc tr ưng thống kê của quá trình ngẫu nhiên )t ( X theo số liệu thực nghiệm,

chúng ta sử dụng các thể hiện của quá trình ngẫu nhiên đượ c ghi trên một khoảng hữu hạn T nào đó theo

sự biến thiên của đối số t . Khi đó, ta có thể xác định giá tr ị thống kê của hàm tươ ng quan )( R~

τ trên

khoảng [ ]T ,T −∈τε . Đặc biệt, khi xác định hàm tươ ng quan của quá trình ngẫu nhiên dừng có tính egodic

theo một thể hiện )t ( x có độ dài T , giá tr ị thống kê của nó đượ c xác định theo công thức (2.6.2).

Như đã thấy trong chươ ng 6, do nhiều nguyên nhân, giá tr ị thống kê của hàm tươ ng quan là một hàmngẫu nhiên nào đó, và giá tr ị tính đượ c của nó, )( R

~τ , có thể khác nhiều so vớ i giá tr ị thực của hàm tươ ng

quan )( R τ và phươ ng sai sai số tăng đáng k ể khi đối số τ tăng.

Vì vậy, việc sử dụng tr ực tiế p công thức (3.2.12) và thay hàm tươ ng quan thực trong đó bằng giá tr ị thống kê của nó, thay khoảng tích phân vô hạn bằng khoảng hữu hạn, tức là công thức

∫−

ωτ− ττπ

=ωT

T

i d )( R~

e )( S ~

2

1,

là không hợ p lý, vì không tính đến những tr ị số của hàm tươ ng quan khi T >τ và những khác biệt đáng k ể

của hàm )( R~

τ so vớ i giá tr ị thực của hàm tươ ng quan, đặc biệt tại những giá tr ị τ gần các cận của khoảng

tích phân, có thể dẫn đến giá tr ị )( S ~ ω tìm đượ c sẽ r ất khác vớ i giá tr ị thực của mật độ phổ.

Một vấn đề nảy sinh là, làm thế nào để xác định giá tr ị phù hợ p nhất của mật độ phổ của quá trình ngẫunhiên đang xét trong khi không có hàm tươ ng quan thực, mà chỉ sử dụng giá tr ị thống kê của nó.

Ta xét hàm )( R~

τ , bằng giá tr ị thực của hàm tươ ng quan )( R τ khi mτ≤τ và bằng 0 khi mτ>τ .

Hàm này có thể xem như tích của hàm )( R τ vớ i hàm )( τλ

)( R )( )( R~

ττλ=τ , (11.1.1)

trong đó

⎩⎨⎧

τ>τ

τ≤τ=τλ

.

, )(

m

m

khi

khi

0

1(11.1.2)

Hàm )( R~

τ đượ c cho trên khắ p tr ục số thực. Ta sẽ tìm biến đổi Fourier của nó và xem đó là giá tr ị

gần đúng )( S ~

ω của mật độ phổ )( S ω , tức là tính )( S ~

ω theo công thức

∫∫∞

∞−

ωτ−∞

∞−

ωτ− τττλπ

=ττπ

=ω d )( R )( ed )( R~

e )( S ~ ii

2

1

2

1. (11.1.3)

Ta ký hiệu )( S ω là mật độ phổ thực của quá trình ngẫu nhiên, tức là biến đổi Fourier của hàm tươ ng

quan thực )( R τ , ký hiệu )( Q ω là biến đổi Fourier, tức là phổ, của hàm )( τλ



198

ττλπ

=ω ∫∞

∞−

ωτ− d )( e )( Q i

2

1. (11.1.4)

Theo (11.1.3), tích )( R )( ττλ là biến đổi Fourier của hàm )( S ~

ω

ωω=ττλ ∫∞

∞−

ωτ d )( S ~

e )( R )( i . (11.1.5)

Mặt khác, ta có

=ωωωω=ττλ ∫∫∞

∞−

τω∞

∞−

τω2211

21 d )( Qed )( S e )( R )( ii

122122 ω

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ωωω= ∫ ∫

∞

∞−

∞

∞−

τω+ω d d )( Qe )( S )( i .

Khi thay thế ω=ω+ω 21 ở tích phân bên trong và đổi thứ tự lấy tích phân, ta đượ c

∫ ∫∞

∞−

∞

∞−

ωτ ω⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ωω−ωω=ττλ d d )( Q )( S e )( R )( i 111 . (11.1.6)

So sánh (11.1.5) và (11.1.6) ta nhận đượ c mối liên hệ giữa mật độ phổ thực )( S ω và giá tr ị gần đúng

của nó (11.1.3)

∫∞

∞−

ωω−ωω=ω 111 d )( Q )( S )( S ~

. (11.1.7)

Từ đó thấy r ằng, )( S ~

ω chính là giá tr ị của mật độ phổ thực )( S ω đượ c lấy trung bình theo toàn

khoảng tần vớ i hàm tr ọng lượ ng )( Q 1ω−ω .Đối vớ i hàm )( τλ dạng (11.1.2), phổ )( Q ω của nó đượ c xác định dướ i dạng

∫τ

τ−

ωτ−

πωωτ

=τπ

=ωm

m

mi sind e )( Q

2

1. (11.1.8)

Như vậy, bằng cách sử dụng tích (11.1.1) làm giá tr ị thống kê của hàm tươ ng quan trong khi xác địnhmật độ phổ, chúng ta nhận đượ c không phải mật độ phổ thực )( S ω , mà giá tr ị của nó đượ c làm tr ơ n nhờ

hàm tr ọng lượ ng là phổ của hàm )( τλ . Khi đó phươ ng pháp làm tr ơ n đượ c xác định bằng cách chọn hàm

)( τλ . Từ đó nảy sinh ý tưở ng lựa chọn hàm )( τλ sao cho phép làm tr ơ n (11.1.7) là tốt nhất, tức là nó cho

giá tr ị )( S ~

ω gần nhất vớ i giá tr ị thực )( S ω .

Như vậy bài toán xác định mật độ phổ có thể phát biểu dướ i dạng sau: Giả sử có giá tr ị thống kê của

hàm tươ ng quan )( R~

τ tại T ≤τ , ta sẽ tìm giá tr ị thống kê của mật độ phổ )( S ~

ω theo công thức

∫τ

τ−

ωτ− τττλπ

=ωm

m

d )( R~

)( e )( S ~ i

2

1(11.1.9)

vớ i điều kiện phải chọn hàm )( τλ và giá tr ị mτ sao cho thoả mãn một chỉ tiêu tối ưu nào đó. Hàm )( τλ

đượ c gọi là hàm tr ọng lượ ng làm tr ơ n, còn giá tr ị mτ gọi là điểm cắt của hàm tươ ng quan.

Ý ngh ĩ a của hàm )( τλ là nhờ nó, ngườ i ta làm tr ơ n giá tr ị thống kê của hàm tươ ng quan để từ đó xác

định mật độ phổ. Như ta đã thấy, việc chọn hàm làm tr ơ n )( τλ tươ ng ứng vớ i sự làm tr ơ n phổ thực của



199

quá trình ngẫu nhiên dạng (11.1.7) vớ i hàm tr ọng lượ ng là phổ của hàm )( τλ .

Để làm tiêu chuẩn đánh giá đại lượ ng )( S ~

ω và chọn hàm làm tr ơ n tối ưu )( τλ có thể lấy sai số bình

phươ ng trung bình [ ] )( S ~

ωη , xác định theo công thức

[ ] [ ] [ ] [ ] )( S ~b )( S ~ )( S )( S ~ M )( S ~ ω+ωσ=ω−ω=ωη 2222 (11.1.10)

Trong công thức này đại lượ ng

[ ] [ ][ ] [ ] [ ] )( S ~

b )( S ~

)( S ~

M )( S ~

M )( S ~

ω−ωσ=ω−ω=ωσ 2222 (11.1.11)

là phươ ng sai của các giá tr ị )( S ~

ω , đặc tr ưng cho sự tản mạn của các giá tr ị thống kê của mật độ phổ xung

quanh k ỳ vọng toán học của nó.

Đại lượ ng

[ ] [ ] )( S )( S ~

M )( S ~

b ω−ω=ω2 (11.1.12)

đượ c gọi là độ chệch và đặc tr ưng cho sự lệch của k ỳ vọng toán học của các tr ị số thống kê )( S ~

ω khỏi giá

tr ị thực )( S ω . Độ chệch đặc tr ưng cho sự hiện diện của sai số hệ thống, vì nó mà các giá tr ị )( S ~

ω sẽ tậ p

trung không phải gần giá tr ị thực )( S ω , mà gần một giá tr ị )( S ~

M ω nào đó.

Tiêu chuẩn khác, nhờ đó có thể đánh giá độ chính xác của việc xác định đại lượ ng )( S ~

ω và chọn

hàm làm tr ơ n tối ưu )( τλ , là sai số bình phươ ng trung bình tích phân

[ ]⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

ωω−ω=ω ∫∞

∞−

d )( S )( S ~

M )( S ~

J 2 . (11.1.13)

Bài toán chọn hàm làm tr ơ n tối ưu là làm sao vớ i giá tr ị độ dài khoảng T đã cho, phải chọn một hàm )( τλ làm cho độ lớ n của tiêu chuẩn đánh giá đã chọn tr ở thành cực tiểu. Nghiệm của bài toán này phụ

thuộc nhiều vào dạng của hàm tươ ng quan thực )( R τ .

Trong công trình của E. Parzen [70] đã nhận đượ c nghiệm bài toán này ứng vớ i tiêu chuẩn (11.1.13) chohai dạng hàm tươ ng quan )( R τ .

Dạng thứ nhất gồm lớ p các hàm tươ ng quan giảm theo quy luật hàm mũ vớ i hệ số ,0>ρ tức những

hàm thoả mãn bất đẳng thứcτρ−≤τ e R )( R 0 , trong đó 0 R là một hằng số nào đó.

Ngườ i ta đã chứng minh đượ c r ằng đối vớ i những hàm tươ ng quan như vậy, các hàm làm tr ơ n sau làtối ưu:

,

u

u sin )( ,

u

uu )( ,

u

)( =τλ

⎩

⎨⎧

>

≤−=τλ

+

=τλ

khi

khi

10

11

1

1 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛

τ

τ=

m

u ,

và một số hàm khác nữa.

Dạng thứ hai các hàm tươ ng quan mà Parzen xét là lớ p các hàm giảm theo kiểu đại số, tức những hàm

có dạng r −τ trong đó 1<r vớ i những giá tr ị τ lớ n. Đối vớ i các hàm dạng này, những hàm tr ọng lượ ng

tối ưu làm cho sai số bình phươ ng trung bình tích phân cực tiểu có thể là những hàm dạng

r Bu )(

21

1

+=τλ ,

trong đó hằng số B đượ c biểu diễn qua hàm tươ ng quan thực )( R τ .

Lomnhisky và Zaremba [96] đã chứng minh r ằng hàm tr ọng lượ ng tối ưu )( τλ làm cho sai số bình

phươ ng trung bình tích phân (11.1.13) cực tiểu, có dạng



200

[ ] )( R~

D )( R

)( R )(

τ+τ

τ=τλ

2

2

. (11.1.14)

Điều này cho thấy r ằng, hàm làm tr ơ n tối ưu )( τλ phụ thuộc vào hàm tươ ng quan thực của quá trình

ngẫu nhiên đượ c khảo sát và do đó, không tồn tại một hàm làm tr ơ n duy nhất áp dụng cho tất cả các quátrình ngẫu nhiên.

Ngoài ra, vì khi xác định thực nghiệm các đặc tr ưng thống kê của quá trình ngẫu nhiên, ta chưa biếthàm tươ ng quan thực, còn giá tr ị thống kê của nó chỉ là ướ c lượ ng gần đúng, nên ta không thể sử dụng tr ựctiế p các công thức đã dẫn để xác định hàm )( τλ . Những công thức này chỉ có thể sử dụng như là công

thức định hướ ng khi chọn dạng cụ thể của hàm làm tr ơ n trong công thức (11.1.9).

Hiện nay các tác giả khác nhau đề xướ ng nhiều dạng hàm làm tr ơ n riêng biệt có những tính chất khácnhau, mô tả chi tiết về các hàm này đượ c trình bày trong các công trình [2, 25, 70, 91−97].

Phổ dụng nhất trong số đó là những hàm sau:

1. Hàm Bartlette

⎩⎨⎧

τ>τ

τ≤τ=τλ

.

, )(

m

m

khi

khi

0

1(11.1.15)

2. Hàm Bartlette biến dạng

⎪⎩

⎪⎨

⎧

τ>τ

τ≤ττ

τ−

=τλ.

, )(

m

mm

khi

khi

0

1(11.1.16)

3. Hàm Tiukey

⎪⎩⎪⎨

⎧

τ>τ

τ≤ττ

πτ+−

=τλ.

,cosaa )(

m

mm

khi

khi

0

221(11.1.17)

Tiukey đề nghị lấy hệ số 230 ,a = mà không chỉ rõ lý do chọn tr ị số đó. Parzen cho biết r ằng tr ị số 250 ,a = là tối ưu dướ i góc độ tiêu chuẩn (11.1.13).

4. Hàm Hanning

⎪⎩

⎪⎨

⎧

τ>τ

τ≤τ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

τπτ

−=τλ

.

,cos , )(

m

mm

khi

khi

0

150(11.1.18)

5. Hàm Parzen

⎪⎩

⎪⎨

⎧

τ>τ

τ≤τ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

τ

τ−=τλ

.

, )(

m

m

q

m

khi

khi

0

1(11.1.19)

vớ i ,q 1> đặc biệt Parzen đã xét hàm này vớ i .q 2=

6. Parzen cũng đã nghiên cứu hàm dạng



201

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

τ>τ

τ≤τ

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

τ

τ+=τλ

,

,

)(

m

mq

m

khi

khi

0

1

1

(11.1.20)

đối vớ i những tr ị số 1=q và .q 2=

7. Hàm Hemming

⎪⎩

⎪⎨

⎧

τ>τ

τ≤ττπτ

+=τλ

.

,cos , , )(

m

mm

khi

khi

0

460540(11.1.21)

Tất cả những hàm đã trình bày là tốt nhất theo quan điểm tối ưu hoá một tính chất nào đó trong số cáctính chất của giá tr ị thống kê của mật độ phổ.

Khi xác định giá tr ị thống kê của mật độ phổ theo công thức (11.1.9) vớ i hàm làm tr ơ n )( τλ đã chọn,

giá tr ị nhận đượ c sẽ phụ thuộc nhiều vào việc chọn đại lượ ngm

τ .

Khi chọn điểm cắt mτ của hàm tươ ng quan, cần tính đến hai loại sai số: độ chệch của ướ c lượ ng mật

độ phổ, xuất hiện khi các giá tr ị của đại lượ ng mτ nhỏ, và tính biến động đáng k ể do tậ p mẫu của các giá

tr ị )( S ~

ω tại những mτ lớ n.

Thực vậy, trong công thức (11.1.9), tại những tr ị số nhỏ của mτ , ta sử dụng giá tr ị thống kê của hàm

tươ ng quan, nó không khác nhiều lắm so vớ i giá tr ị thực, tuy nhiên ta giả thiết nó bằng 0 vớ i những giá tr ị

mτ>τ , mà tại đó hàm tươ ng quan có thể r ất khác không. Chính vì vậy chúng ta đã mắc sai số hệ thống

gây nên độ chệch của ướ c lượ ng. Tăng mτ dẫn tớ i làm giảm sai số hệ thống này, nhưng khi đó trong công

thức (11.1.9), vớ i những τ lớ n, giá tr ị thống kê )( R~

τ chúng ta sử dụng có thể khác xa so vớ i giá tr ị thực

)( R τ . Vì lý do đó, phươ ng sai của ướ c lượ ng )( S

~

ω tăng lên, đặc biệt là khi khoảng ghi thể hiện T củaquá trình ngẫu nhiên không lớ n.

Như vậy, chọn đại lượ ng mτ làm cực tiểu cả độ chệch lẫn phươ ng sai của ướ c lượ ng mật độ phổ thì

cần phải thoả mãn hai đòi hỏi mâu thuẫn nhau.

Ảnh hưở ng của đại lượ ng mτ đến dạng của giá tr ị thống kê mật độ phổ biểu lộ như sau: Tại những

giá tr ị mτ nhỏ trên đồ thị )( S ~

ω , các đỉnh mật độ phổ sẽ bị làm tr ơ n. Khi tăng dần giá tr ị của mτ , những

đỉnh đó dần lộ rõ ra, nhưng khi tiế p tục tăng mτ , do sự khác nhau giữa giá tr ị thống kê và giá tr ị thực của

hàm tươ ng quan, đồ thị )( S ~

ω sẽ không phản ánh đặc điểm của hàm )( S ~

ω mà sẽ tiến dần tớ i thể hiện của

quá trình ngẫu nhiên mà từ đó )( R~

τ đượ c xác định.

11.2 PHÂN TÍCH PHỔ SÓNG BIỂ N

Lý thuyết phổ các quá trình ngẫu nhiên dừng hiện nay đượ c sử dụng r ộng rãi khi phân tích sóng biển. Ở đây, ngườ i ta xem những dao động mực biển tại điểm xác định như là hàm ngẫu nhiên của thờ i gian. Nhữngkhảo sát thực nghiệm về sóng biển cho thấy: hàm ngẫu nhiên )t ( Z mô tả những dao động thẳng đứng của

mặt nướ c theo thờ i gian tại một điểm cố định so vớ i mực trung bình, ở một mức độ gần đúng nào đó, có thể xem như quá trình ngẫu nhiên tựa dừng, có tính egođic.

Giả định r ằng mỗi thể hiện có thể chia thành những đoạn dừng, trong phạm vi đó các đặc tr ưng xácsuất giữ nguyên không đổi, còn khi chuyển từ một đoạn dừng này sang đoạn dừng khác thì các đặc tr ưngxác suất biến đổi nhảy vọt. Tính tựa dừng của sóng thực cũng như những khó khăn k ỹ thuật trong khi thựchiện những đợ t đo sóng dài hạn dẫn tớ i chỗ để xác định các đặc tr ưng thống kê buộc phải sử dụng một





Hình 11.1

Documents

CƠ SỞ LÝ THUYẾT HÀM NGẪU NHIÊN VÀ ỨNG DỤNG TRONG KHÍ TƯỢNG THỦY VĂN