國立臺北師範學院學報，第十七卷第一期（九十三年三月）519～534 國立臺北師範學院 519

兩種不同拋物線軌跡

對籃球投籃動作之運動學探討

翁梓林、謝志鍵*

摘 要 本研究目的是在探討兩種不同拋物線軌跡在籃球投籃動作上之相關運動學

參數的差異比較；另外，檢驗經由影片分析法所求得之投擲速度其精確度為何？

受試對象為國立台北師範學院體育學系甲組籃球隊學生共十名。本實驗以一部

JVC 攝影機沿受試者矢狀面繞橫軸進行 2D 原地投籃動作之拍攝，拍攝頻率為30Hz，影片擷取後以 Silicon Coach vision-6.0 版動作分析系統予以數位化，以獲得相關投籃運動學參數，並應用拋射體公式求出投擲速度之參數值。實驗結果

以 T-test 檢定兩種不同投籃拋物線軌跡在運動學上之差異，顯著水準α定為.05；且以拋射體公式作為效標，將影片分析法求得之投擲速度參數值，使用估計標

準誤來檢驗其精確度。經實驗結果予以討論後得到以下結論： 一、 兩種不同拋物線軌跡之投籃動作在上臂角、投射角、投擲速度、拋物

線頂點、入射角、飛行時間等參數上均達顯著差異。 二、 以拋射體公式作為效標，經由影片分析法所求得之兩種不同拋物線軌

跡的投擲速度參數值，其精確度極高。 三、 以罰球線投籃分析中所示，高拋物線投籃之投射角不在最佳投射角範

圍內，而一般拋物線投籃之投射角則在最佳投射角範圍內。 四、 一般拋物線投籃的入射角及投擲速度較小，命中率較高。

關鍵字：上臂角、投擲速度、投射角、飛行時間、拋物線頂點、入射角

* 翁梓林：國立臺北師範學院體育學系副教授

謝志鍵：國立臺北師範學院體育學系碩士班研究生

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兩種不同拋物線軌跡

對籃球投籃動作之運動學探討

翁梓林、謝志鍵*

壹、問題背景 關於「投籃」（shooting），科學定義上有文獻指出投籃就是從投籃者的手到

籃圈中心之特定距離內，結合無數條不同的軌跡，而每一條軌跡均由不同的投籃

速度與投擲角度結合而成的。因此，要如何成功投進籃框，就必須要有效控制投

擲速度與角度，亦即速度失誤之上下限（margin for error in speed）及角度失誤之上下限（margin for error in angle），而這兩種失誤上下限的分析需要相當精確的數學運算，繁雜的數學運算則需借助電腦來完成（劉碧華譯，民 81）。

國、內外學者曾針對投籃提出以下相關論點：有一研究針對拍攝籃球員兩分

線投籃出手動作，結果發現二分跳投球的離手速度為 7.7±1.5m/s，角度為 50.6±4.8度（張英智、黃長福 民 83）；男子籃球選手在 4.25 公尺（罰球線）原地投籃之出手瞬間速度平均 7.1m/s（Elliott, 1992）；對一位出手高度 2.13 公尺的投籃者而言，站在罰球線上時，其最佳投射角（angle of release）範圍是在 49 度至 55 度之間（Hay, 1973）。另外，在入射角的部份更有學者提出相關論點：當籃球以拋射線投出，入射角小於 33 0 時，球無法入框（許樹淵，民 71）；更有學者詳細地指出當入射角（angle of entry）在 32.43 0~90 0 的範圍內，籃球可以直接入框，而隨著入射角的減少，在入網時的誤差界限（margin for error）也會有所減少（Hay, 1973）。以上兩位學者所提入射角微小的差異是來自於籃球規則允許下（直徑22.8~23.8 公分），利用正弦定理計算時所代入的直徑值相異所致。

投籃是籃球比賽中最主要的得分技巧，其方式主要區分方式為單手定位投

籃、單手跳投兩種（古吉雄，民 86）。但文獻中似乎在投籃方式上，對拋物線軌

* 翁梓林：國立臺北師範學院體育學系副教授

謝志鍵：國立臺北師範學院體育學系碩士班研究生

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跡的大小未能有明確的規範，本研究擬將依照投籃拋物線的幅度大小，區分成一

般拋物線投籃及高拋物線投籃兩種。 在籃球比賽中，當矮小身材的後衛切人籃下在沒有防守球員趨前防守時，一

般會以正常拋物線將球投進；但當在禁區時遭遇長人防守時，為了要閃躲封阻，

球員會本能地將投籃拋物線提高。而在這種高拋軌跡投籃的方式下是否在上臂

角、投射角、投擲速度上皆異於一般軌跡投籃，以提高拋物線頂點而躲避封阻?另外，高拋投籃是否在命中率上會有所提昇呢?以上的問題皆值得進行探討。其實投籃動作本身就包含了線性及非線性的運動軌跡，如何在投籃者及投籃拋物線

上研究相關參數的變化，而進行量化的分析，這些均是本研究所要探討的重點。

再者，以動作分析系統來量化運動學參數，不免出現人為及隨機上之誤差，因此

本實驗擬將拋射體公式作為本研究之效標，以檢驗由影片分析所求得之投擲速度

精確度為何？環顧近幾年國內外對於投籃之相關研究不在少數，然而對高拋軌跡

投籃的相關參數研究上卻尚未有學者提出。基於上述之問題背景，本研究擬以兩

種不同拋物線軌跡的投籃動作，去探討相關運動學參數之差異；並建構高拋物線

投籃在生物力學上之運動學參數，以作為教學及訓練上之參考。

貳、研究目的 基於上述的問題背景，本研究之具體研究目的有： （一）兩種不同拋物線軌跡投籃動作在上臂角、投擲速度、投射角、拋物線

頂點、入射角、飛行時間等運動學參數上是否有顯著的差異? （二）兩種不同拋物線投籃在命中率上之差異，並探討其原因為何? （三）以拋射體公式作為效標，檢驗經由影片分析法所求之兩種不同拋物線

軌跡投籃的投擲速度其精確度為何?

參、實驗方法與步驟 本章主要在探討整個實驗之方法與步驟，擬分成一、受試者基本資料與地

點，二、實驗儀器與場地設備，三、實驗方法與步驟，四、資料處理與主要參數

之定義，五、統計分析，等五個部份加以介紹。

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一、受試對象與地點

本研究是以國立台北師範學院體育學系甲組籃球隊學生十名為受試對象，其

基本資料如表 1 所示。本實驗於 2003 年 4 月 2 日經預備測試後，2003 年 4 月 9日在國立台北師範學院體育館正式施測完成。

表 1 受試者基本資料表(N=10) 年齡(yrs) 身高(cm) 體重(kg)

21±1.2 177.4±2.7 67.7±5.1

二、實驗儀器與場地佈置

（一）儀器設備

本實驗所使用之儀器包括 JVC 數位式攝錄影機乙部（GR-DVL9800）、打光燈一組、反光球數個、皮尺、Silicon Coach vision-6.0 版動作分析軟體等工具。本實驗所使用的儀器設備，主要是以生物力學測量方法為依據，去分析兩種不同拋

物線軌跡之投籃動作相關參數的差異。 （二）場地佈置

14 公尺

打光燈

高速攝影機

受試者

黑色大布幕

圖 1 實驗場地佈置圖

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如圖 1 所示，將一黑色大布幕垂直吊於籃球場旁，在罰球線圓弧直徑兩端內側貼上反光球作為基準點（3.5 公尺），以作為數位化的標準。受試者腳尖前緣緊貼罰球線進行投球動作，距受試者 14 公尺處架設乙台攝影機，沿受試者矢狀面繞橫軸進行 2D 原地投籃動作之拍攝，拍攝頻率為 30Hz，並在攝影機右後方架設打光燈乙台。

三、實驗方法與步驟

在實驗未正式開始之前，先向受試者講解實驗流程及示範投籃動作，並在受

試者身上四個關範點（腕、肘、肩、髖）貼上反光球，如圖 2，作為數位化的依據。實驗開始後每一位受試者共投 20 球，前 10 球以一般拋物線軌跡投擲，後 10球則要求將拋物線拉至最高來投擲，且均以命中籃框為主要目的。

圖 2 關節點之反光球黏貼位置

四、資料處理及主要參數之定義

（一）資料處理

將實驗結束後拍攝的影片以擷取卡擷取至電腦上儲存，進入 Siliocon Coach軟體作數位化的分析，以求得本實驗所需的原始資料（raw data）。唯在數位化過程中，由於分析軟體無法自動量化籃球的中心點，且投擲速度參數值必須再將位

移除以單位時間，導致投擲速度參數值產生較大的誤差，而如何將誤差作有效地

控制，因此擬將拋物體公式（如公式一）所求投擲速度 Vo 作為效標，用來檢驗

肩

肘

腕

肩

髖

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影片分析法所求之投擲速度精確度為何？而影片分析中所求得之投擲速度，是將

同一影片畫面中有關投擲速度參數值作 12 次的量化，去除最大及最小值後的 10筆參數值平均後作為其投擲速度之依據 。

而將上述所得 Vo 之參數值由另一拋射體公式（如公式二），反推兩種投籃之水平距離 S（公尺），以求得兩種不同拋物線軌跡投籃之直接命中籃框與非命中籃框的水平距離。

H=Vo sinθ×T-1/2×g×T2----------公式(一)

S= Vo cosθ×T----------公式(二)

H：出手瞬間籃球中心至籃框中心之垂直位移(m) S：出手瞬間籃球中心至籃框中心之水平位移(m) Vo：投擲速度(m/s) 、θ ：投擲角(o) 、 T：飛行時間(s) （二）主要參數之定義

1. 上臂角（angle of upper arms）：完成投籃動作瞬間以肩關節為支點，連結肘關節與肩關節之水平夾角。在分析軟體上點選完成投籃動作瞬間之畫面，以肩

關節為支點，連結肘關節與肩關節之反光球點，即可顯示上臂角之數值，如圖 3。

圖 3 上臂角之示意圖

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2. 投擲速度（initial speed of release）：出手瞬間球投擲之初速度。連結出手瞬間兩個畫面球中心，即可顯示位移，再將位移值除以單位時間，即得出投擲速

度值，如圖 4。

圖 4 投擲速度之示意圖

3. 投射角（angle of release）：投擲速度之水平夾角。連結出手瞬間的兩個畫面之球中心即可得投射角值，如圖 5。

圖 5 投射角之示意圖

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4. 飛行時間（the time of projection）：球離手自入框之飛行過程所需之時間。點選出手瞬間畫面，將之設定為起始畫面，再點選入框瞬間畫面，即可顯示出飛

行之時間值，如圖 6。

圖 6 飛行時間之示意圖

5. 拋物線頂點（the apex of projection）：球離手至入框瞬間拋物線飛行過程之最高點。選點球離手至入框瞬間飛行拋物線之最高點的畫面，以直線連結球中

心至地面之垂直距離，如圖示 7。

圖 7 拋物線頂點之測量圖

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6. 入射角（angle of entry）：入框瞬間之水平夾角。連結入框瞬間兩畫面球中心，即可在畫面上顯示入射角之值，如圖 8。

圖 8 入射角之示意圖

7. 垂直位移（vertical displacement）：出手瞬間籃球中心至籃框中心之垂直位移。分別由分析軟體上測量出出手瞬間籃球中心至地面之垂直距離 H1（如圖 9），及籃框高度 H2，則垂直距離 H=H2－H1。

圖 9 垂直位移 H1 之示意圖

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8. 水平位移（horizontal displacement）：出手瞬間籃球中心至籃框中心之水平位移。分別由實際場地測量出籃框中心至罰球線之水平距離 D1，再由分析軟體上點選出手瞬間籃球中心至罰球線之水平距離 D2（如圖 10），則水平距離 D=D1－D2。

圖示 10 水平位移 D2 之示意圖

五、統計分析

本實驗採相依樣本，自變項為兩種不同拋物線軌跡投籃動作，依變項為上臂

角、投擲速度、投射角、飛行時間、拋物線頂點、入射角、命中率，統計分析採

t-test 來檢定其差異，顯著水準α定為. 05。另外，以拋射體公式作為效標，將影片分析法所求得之投擲速度參數值，以估計標準誤（S.E.E）來檢驗其精確度。並將兩種不同投籃法之直接命中籃框與非命中籃框的水平位移，以描述統計來解釋其

投籃相關參數之差異。

肆、結果與討論 本研究經由資料處理後得到相關的運動學參數，茲分成（一）將拋射體公式

作為效標，以估計標準誤檢驗影片分析法求得之投擲速度精確度為何？（二）兩

種不同拋物線軌跡投籃動作之相關參數值是否達顯著差異？（三）影響一般拋物

線投籃是否直接命中籃框的相關投籃參數值之分析？（四）影響高拋物線投籃是

兩種不同拋物線軌跡對籃球投籃動作之運動學探討 529

否直接命中籃框的相關投籃參數值之分析？等四個部份來加以討論。 （一）以拋射體公式作為效標，使用估計標準誤檢驗影片分析法所求得之投

擲 速 度 ， 一 般 拋 物 線 投 籃 及 高 拋 物 線 投 籃 之 估 計 標 準 誤 分 別 為 .406m/s及.400m/s，結果顯示其精確度極高。

（二）如表 2 所示，兩種不同拋物線軌跡投籃在上臂角、投射角、飛行時間、拋物線頂點、入射角、投擲速度等六個運動學參數上皆達顯著差異（p

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表 3 一般拋物線投籃之相關投籃參數比較表

直接命中籃框 非命中籃框

投擲速度(m/s) 7.12± 0.06 7.23± 0.12

投射角(度) 52.05±3.03 48.32±13.94

水平位移(m) 4.16± 0.07 4.08± 0.27

入射角(度) 43.76±4.77 44.01±5.62

球數(球) 73 27

（四）如表 4 所示，高拋物線投籃直接命中籃框之投擲速度（平均 7.66m/s）略大於非命中籃框之投擲速度（平均 7.53m/s），且標準差相當，顯示其穩定性相當；命中籃框之投射角（平均 59.38 O）小於非命中籃框之投射角（平均 60.45 O），且標準差相當，顯示其穩定性亦相當，但較不易掌控；命中籃框之水平位移與由

軟體所求得之水平位移相等，且標準差 8 公分在入框餘隙 10 公分範圍內，而非命 中 籃 框 之 水 平 位 移 則 與 由 拋 射 體 公 式 所 求 得 之 水 平 位 移 相 差 10 公 分（4.16-4.06m），且標準差 33 公分亦不在入框餘隙範圍內；而兩者入射角則相當。相較於一般投籃法，其直接命中籃框的球數為 73，高拋物線投籃法之直接命中籃框球數僅有 57，相較之下，高拋投籃之命中球數少了 16 球。

表 4 高拋物線投籃法之相關投籃參數比較表

直接命中籃框 非命中籃框

投擲速度（m/s） 7.66±0.06 7.53± 0.04

投射角(度) 59.38±2.92 60.45±2.48

水平位移(m) 4.16± 0.08 4.06± 0.33

入射角(度) 52.43±2.97 52.81±2.10

球數(球) 57 43

伍、結論與建議 經由結果予以討論後得到以下六點結論與建議： （一）兩種不同拋物線軌跡投籃在上臂角、投射角、投擲速度、拋物線頂

點、入射角、飛行時間等參數上均達顯著差異。

兩種不同拋物線軌跡對籃球投籃動作之運動學探討 531

（二）以拋射體公式作為效標，經由影片分析法所求得之兩種不同拋物線

軌跡的投擲速度參數值，其精確度極高。

（三）以罰球線投籃分析中所示，高拋物線投籃之投射角不在最佳投射角

範圍內，而一般拋物線投籃法投射角則在最佳投射角範圍內。

（四）採一般拋物線投籃時，較小的投擲速度可以獲得較佳之命中率。

（五）高拋物線軌跡投籃的入射角較大，於入網時有較大的誤差界限，理

論上命中率應較一般拋物線投籃高，但實驗結果恰巧相反，歸納原因為投擲速

度及投射角無顯著差異，顯示在投擲時不易掌控投籃技巧，導致投籃水平距離

不足或過大。

（六）體育教師及教練可將高拋物線投籃納入教學或訓練內容中，使學習

者熟練其投籃技巧，以掌握適當的投擲速度及投擲角度，而提高命中籃框的機

率。

參考文獻

古吉雄（民 86）。籃球絕技圖解手冊。台北市：輕舟。 許樹淵（民 86）。運動生物力學。台北市：合記。 張英智、黃長福（民 83）。籃球跳投之運動學分析。中華民國大專院校八十三學年度體

育學術研討會，國立中正大學主辦，477-489。 Elliott, B. C., ＆ White, E. (1992). A kinematic comparison of the mail and female

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Hay, J.G. (1973). The biomechanics of sports techniques (3rd ed). New Jersey: Englewood Cliffs.

Brancazio, J. P. (1992). 運動科學-物理定律與最佳成績表現（劉碧華譯）。台北市：財團法人徐亨體育文化基金會。

Journal of National Taipei Teachers College, Vol.17, No.1 532

Kinematic Analysis About Two Different Projective Trajectory of Shooting on Basketball

Tzu-lin Wong & Chih-chien Hsieh*

ABSTRACT The purpose of this research was to compare and analyze the dissimilarities

between two different projective trajectory of shooting on basketball in kinematics, and to check the precision of initial speed of film analysis. The subjects were composed of ten elite basketball players who major in physical education of National Taipei Teachers College (age 21 ± 1.2yrs,tall 177 ± 2.7cm,weight 67.7 ± 5.1kg).

The performance of the subjects was filmed by JVC digital video (30Hz) and to be analyzed on two dimensions in sagittal plane and horizontal axis. These devices were used to document the primary parameters, including horizontal angle of upper arms, initial speed of release, angle of release, the time of projection, the apex of projection, angle of entry and so on. The data were digitized by Silicon Coach vision-6.0; to obtain the parameter of initial speed of release, the projective formula were used. T-test was applied to the parameters to estimate the differences between the two different projective trajectory of shooting, and the level of significance α is .05.With the projective formula, according to the standard error of estimate, the precision of the initial speed of release by film analysis was examined. Finally, the various factors about the horizontal displacement of these two different projective-shooting whether it target or not were compared. Results showed: (1) the parameters of two different projective trajectory of shooting are significant; (2) according to the projective formula, the parameters of the initial speed of release from the filming analysis were extremely precise; (3) on free-shooting, the angles of release on the higher projective-shooting

* Tzu-lin Wong: Associate Professor, Department of physical Education, National Taipei

Teachers College Chih-chien Hsieh: Graduate student, Department of physical Education, National Taipei

Teachers College

Kinematic Analysis About Two Different Projective Trajectory of Shooting on Basketball

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were not within the range of optimum angles of release. On the contrary, the angles of release on the normal projective-shooting were within; and (4) the angle of entry about the higher projective-shooting was much more than the other one, but the percentage of free-shooting was much lower﹒It was because the initial speed of release and angle

of release of the higher projective-shooting can not be handled easily, so the horizontal displacement was either more or less than it is from the center of basketball to the center of basket.

Key words: angle of upper arms, initial speed of release, angle of release, the time of projection, the apex of projection, angle of entry

Journal of National Taipei Teachers College, Vol.17, No.1 534

Kinematic Analysis About Two Different Projective Trajectory of Shooting on BasketballABSTRACT