形状と厚さの同時最適化法とその応用

自由曲面シェル構造の構造形態創生法の提案

名古屋大学大学院環境学研究科都市環境学専攻

大森博司

研究の背景と目的

• 時代に適応した新しい空間構造

曲面形状のみならず厚み分布(シェル厚)も曲面構造の力学特性を規定する

意匠的な要求 構造的な可能性

複雑、不定形、ダイナミックな形態

複雑な曲面の施工・解析が可能

幾何学関数によらない自由曲面シェル

形状と厚みの同時決定問題に対する文献はあまりない

(近年では実設計への適用，複数評価指標を取り入れた形状決定手法も見られる)

• シェルの力学的に理想的な形状を求める形状決定問題は多くの例がある。

研究の背景と目的

研究の目的

力学的に合理性のある曲面形状と厚み分布の同時決定を可能とする自由曲面シェル構造の構造形態創生手法の提案

提案手法を構造位相決定問題へ応用し，形状，厚み，位相の同時決定を可能とする手法を構築

意匠的な要求 構造的な可能性

複雑、不定形、ダイナミックな形態

複雑な曲面の施工・解析が可能

幾何学関数によらない自由曲面シェル

• 時代に適応した新しい空間構造

理論準備

• 厚み分布の離散化

変断面を有する自由曲面シェル構造の弾性解析を行う

要素内任意の位置のシェル厚を各節点の位置におけるシェル厚の値を用いて表現

三角形平面シェル要素 本研究で用いる有限要素

要素内一定

理論準備

• 厚み分布の離散化

変断面を有する自由曲面シェル構造の弾性解析を行う

スプライン関数の応用であるNURBS (Non Uniform Rational B - Spline )により表現

•高自由度性を維持しながら，データ量を抑え計算負荷を低減

•自由な形状の表現，滑らかさを保ったままの局部的な修正を可能とする

曲面形状及び厚み分布をNURBSにより表現する

要素内一定

形状と厚み分布の同時決定による構造形態創生

制約条件：シェル厚，体積の増減量

設計変数 NURBSの制御点座標（形状、厚み分布）

目的関数：ひずみエネルギー

形状、厚み分布表現の自由度を損なわずに未知量の低減を図る

• 形状と厚み分布の同時決定問題

制約条件下において，高い剛性を有する曲面形状，厚み分布を同時に求める

制約条件付き単一目的同時最適化問題に帰着

解法として逐次二次計画法を採用

構造位相決定問題への応用

制約条件：シェル厚，体積の増減量

設計変数 NURBSの制御点座標（形状、厚み分布）

目的関数：ひずみエネルギー

形状、厚み分布表現の自由度を損なわずに未知量の低減を図る

• 形状，厚み分布および位相の同時決定問題

制約条件下において，高い剛性を有する曲面形状，厚み分布，構造位相を同時に求める

制約条件付き単一目的同時最適化問題に帰着

解法として逐次二次計画法を採用し最適化過程で新たな位相決定のアルゴリズムを組み込む

• 位相決定のアルゴリズムの概要

構造位相決定問題への応用

最適化過程のシェル厚に関する等値線の作成

等値線と指定値に応じて，要素の削除・付加を行う

1）予測子ステップ

2）修正子ステップ

制約条件を満足するような厚み分布に修正する

形状とシェル厚の同時最適化過程において，シェル厚が指定値より薄くなる領域が発生

「これ以上は評価指標の改善に寄与しない」とみなして領域の削除を行う。

• 位相決定のアルゴリズムの流れ 二段階の手順をとる

位相決定のアルゴリズム

• 予測子ステップ

反復段階において…

1) シェル厚に関する等値線を仮想平面内に作成

2) あらかじめ指定された基準値をもとに削除・付加

を行う

等値線による領域の削除・付加を行う

面内の座標はスプライン関数のパラメータ s,t と対応

3) 得られる位相を構成するパラメータを新たな形状

表現に用いるパラメータとして採用する。

位相決定のアルゴリズム

• 予測子ステップ

反復段階において…

1) シェル厚に関する等値線を仮想平面内に作成

2) あらかじめ指定された基準値をもとに削除・付加

を行う

面内の座標はスプライン関数のパラメータ s,t と対応

等値線による領域の削除・付加を行う

3) 得られる位相を構成するパラメータを新たな形状

表現に用いるパラメータとして採用する。

位相決定のアルゴリズム

• 予測子ステップ

反復段階において…

1) シェル厚に関する等値線を仮想平面内に作成

2) あらかじめ指定された基準値をもとに削除・付加

を行う

3) 得られる位相を構成するパラメータを新たな形状

表現に用いるパラメータとして採用する。

面内の座標はスプライン関数のパラメータ s,t と対応

等値線による領域の削除・付加を行う

• 修正子ステップ

位相決定のアルゴリズム

制約条件：シェル厚，体積の増減量

設計変数 NURBSの制御点座標の補正量（厚み分布）

目的関数：補正量(厚み分布)のノルム

最適化問題の制約条件を満たすようにNURBS制御点座標を補正する

補正によるひずみエネルギーの変動を最低限に抑えるため

数値解析例

コンクリート材料

4隅点ピン支持拘束条件

0.1m

20m

20m

シェル厚

曲率半径

スパン

解析条件

NURBSの制御点ネット FEMメッシュ分割

設計変数 ： NURBS制御点座標

ピン支持

原曲面

• 自重+鉛直分布荷重を受ける四面裁断球形シェル

シェル厚 ：下限値0.08m(位相修正を行う場合は0.02mに設定)

（曲面形状z座標、シェル厚）

シェル厚 ：上限値0.12m

数値解析例

• 形状と厚み分布の同時決定

0.12m0.08m

ひずみエネルギー

反復回数

目的関数の推移

最適解曲面の厚み分布

最適解シェル形状

• 自由端のライズが上昇し，

カテナリーアーチに変化• 厚み分布はシェル中央部で

薄く支持部・自由端で厚い

数値解析例

最大主応力・最大鉛直変位の推移

最大主応力

最大鉛直変位

曲げ抵抗型から軸力抵抗型の構造形態へ

原曲面と比較すると最大主応力，最大鉛直変位は大きく減少

反復回数

最大主応力・最大鉛直変位

• 形状と厚み分布の同時決定

数値解析例

• 形状，厚み分布および位相の同時決定

0.12m0.043m

ひずみエネルギー

反復回数

目的関数の推移

最適解曲面の厚み分布

最適解シェル形状

•形状，シェル厚に関してほぼ同様の傾向にある

数値解析例

原曲面と最適解曲面の主応力図

• 形状，厚み分布および位相の同時決定

軸力抵抗

コンプレッションリングの形成

曲げ抵抗

原曲面 最適解曲面

引張り応力が存在 全面圧縮力

まとめ

曲面構造のシェル厚を節点単位で離散化し，NURBSによる形状と厚み分布双方の制御点座標を設計変数として採用し，

とした

形状と厚み分布の同時決定による自由曲面シェル構造の構造形態創生法

の提案を行った。

更に構造位相決定問題への応用として，

形状，厚み及び位相の同時決定による構造形態創生法

を提案し，数値解析例を通して手法の有効性を検討した。

制約条件：シェル厚，体積の増減量

目的関数：ひずみエネルギー

END

歪，応力について

面内成分

面内変形要素 + 面外変形要素

平面シェル要素

面外成分

薄肉シェルの仮定厚さ方向の応力は無視

歪，応力について

薄肉である特性を生かし，二次元的に扱っている

確認問題

既往研究との比較

尾田十八，山崎光悦，坂本二郎，阿部淳平，松本政秀,シェル構造体の最大剛性設計に関する研究(板厚を設計変数とする手法とその応用),日本機械学会論文集，A編,Vol. 57, pp.1005-1010, 1991

設計変数 ：

NURBS制御点座標(厚み分布)

同一の解析条件で厚み分布を求める

未知量の比較

コンクリート材料

4隅点ピン支持拘束条件

0.1m

20m

20m

シェル厚

曲率半径

スパン

解析条件

NURBSの制御点ネット FEMメッシュ分割

設計変数 ： NURBS制御点座標

ピン支持

原曲面

• 自重+鉛直分布荷重を受ける四面裁断球形シェル

シェル厚 ： 上限値0.12m，下限値0.08m

（曲面形状z座標、シェル厚）(a) 従来の有限要素(要素内シェル厚一定)を採用 ： 207 (節点数+要素数)

(b) シェル厚を節点毎に離散化 ： 160 (節点数+節点数)

(c) 形状と厚み分布をNURBS表現 ： 32 (制御点数＋制御点数)

未知量

(節点数80，要素数127，制御点数49)