Cohomologia Local: No˘c~oes B asicas e Aplica˘c~oes...Santiago, Charles, Gl aucia (a gigante de Itabaianinha), Renata (a menina sorridente), Elismara, Gerl^andia, Junio, Dalton (o

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPEDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

Cohomologia Local: Noções Básicas eAplicações

Diego Alves da Costa

Orientador: Zaqueu Alves Ramos

São Cristóvão, 2017.

.

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPEDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

Cohomologia Local: Noções Básicas eAplicações

Dissertação apresentada ao Departamento de Matemática da Uni-

versidade Federal de Sergipe, como parte dos requisitos para ob-

tenção do t́ıtulo de Mestre em Matemática.

Diego Alves da Costa

Orientador: Zaqueu Alves Ramos

São Cristóvão, 2017.

Agredecimentos

Primeiramente, começo agradecendo aos dois responsáveis por minha existência e

formação do meu caráter: meu pai, José Alves da Costa, que atualmente mora no céu

do meu coração, e minha mãe, Gilvande dos Santos Carvalho, essa mulher guerreira,

bondosa e honesta que me serve de fonte de inspiração. Sou muito grato a minha

(grande) famı́lia, minhas irmãs Graciela, Irene, Ivete, Jaque, ao meu irmão Carlos, e

a minha namorada Franckline Juliana (que por razões óbvias, digamos um axioma na

teoria da minha vida, também é parte da famı́lia, assim como minha sogrinha Dona

Jeane e minha cunhas Kaliane (ou Maria, como prefere ser chamada) cabelo de fuá)

por todo amor, carinho, compreensão e exemplo de vida que me passa, fazendo-me

melhorar a cada dia.

Num segundo instante, gostaria de agradecer aos professores do DMA-UFS, que

me ajudarem bastante, incentivaram e me ensinaram muito (e eu aprendi boa parte)

durante esses meus sete anos de jornada acadêmica e de vida. Em especial, agraceço

ao professor Zaqueu, que dentre várias razões que o fazem merecer este destaque,

digo: ele foi o cara que acreditou em mim na matemática até quando eu já nem

mais acreditava. Também agradeço aos professores Danilo Dias, Marcelo, Wilberclay,

Arlúcio, Almir, Paulo, Gerson, Fábio, Bruno, André, Disson, Evilson, Ivante, Gastão,

Giovana, Filipe, Hassan, João Paulo, José Anderson, Naldisson, Lúcia, Angelo, Lucas,

Kalasas, Débora, Adriano e Allyson. Claro, não poderia deixar de mencionar o profes-

sor Ricardo Burity, que juntamente com o professor André e meu orientador professor

Zaqueu, fizeram parte da banca da defesa desta dissertação, todos esses (assim como

o professor Danilo Dias) foram importantes na elaboração deste trabalho.

Por último, e não menos importantes, agradeço aos meus colegas de turmas e/ou

amigos que a UFS me trouxe e também aos que a vida me presentou: Geivison (meu

grande amigo), Michael Douglas (Maicon, Douglas ou Michael), meu nobre Professor

de karatê Anselmo Vieira, Jonison, Pablo (Pablio), Mozer Ramos (Mozão), Josenaldo

5

(Juninho), Danilo Rezende, Rafael, Izabela, Franciele, Sosténes, Júlio(Zúlio), Cris,

Taiane (Goidinha), Igor Chagas, Elias Neto, Alan’s (Gois e Marcos), Natã, Diego (o

gordinho) Cardoso, Valdy, Diego Kleber, Ginaldão (o galiego), Ricardo (Ricardão)

Alexandre (Bombadão), Thaisa, Thalita (a menina mais fofa que já conheci, especial-

mente especial), Mari, Alice, aos amigos do Rugby (Ronne, Ramires, Iagão e etc...),

Wendell’s (Barros e Bomfim), Rodrigo, Adjon (Adzon), Thomaz, Jonathan Cruz,

Adeilson, João Paulo, Jadson, Danilo Santana, Nyo, Janderson, Jonhatan Ruan, Jo-

seph (Iozep), Rosi, Leane, Thamires, Cleberton (parceiro de Wendell Barros), Tiago

Santiago, Charles, Gláucia (a gigante de Itabaianinha), Renata (a menina sorridente),

Elismara, Gerlândia, Júnio, Dalton (o alemão), Timóteo, Tone Ramos (não é o autor

da globo: menos pelos e mais charme). Sou feliz por todos (citado e não citados, vide

o próximo parágrafo para a posśıvel desculpa) terem feito parte da minha trajetória

e grato pelo que fizeram (e farão, creio eu, kkkk) por mim.

Desculpe aos não citados, minha memória é péssima como devem saber.

Agredeço muito à CAPES pelo apoio financeiro.

A todos um forte abraço e

OBRIGADJIUUUU.

6

Resumo

O objetivo dessa dissertação é introduzir a noção de cohomologia local bem como

algumas de suas aplicações. Inicialmente, realizamos um breve apanhado sobre as

principais ferramentas homológicas utilizadas no trabalho, tais como: homologia de

um complexo, isomorfismo de complexos, resoluções injetivas, funtores derivados, etc.

Em seguida, detalhamos propriedades dos módulos injetivos no contexto de anéis

Noetherianos. Finalmente, apresentamos formas variadas de definir cohomologia local

e mostramos como essa noção é utilizada para investigar o posto aritmético de um

ideal.

Palavras Chave: Cohomologia local, módulo injetivo, posto aritmético, módulo

Cohen-Macaulay.

7

Abstract

The purpose of this dissertation is to introduce the notion of local cohomology as

well as some of its applications. Initially, we performed a brief review on the main

homological tools used in this work, such as: homology of a complex, isomorphism of

complexes, injective resolutions, derived functors, etc. Next, we detail properties of

the injective modules in the context of Noetherian rings. Finally, we present different

ways of defining local cohomology and we show how this notion is used to investigate

the arithmetical rank of an ideal.

Keywords: Local cohomology, injective module, arithmetical rank, Cohen-Macaulay

module.

8

Lista de śımbolos

Śımbolo Descrição

AssR(M) conjunto dos primos associados do R-módulo M

alt(I) altura do ideal I

ara(I) Posto aritmético do ideal I

cd(I) dimensão cohomológica do ideal I

depth (M) Profundidade do módulo M

HomR(M,N) R-módulo dos homomorfismos R-lineares de M em N

Frac(R) anel total de frações do anel R

1A aplicação identidade de um conjunto A

ZR(M) conjunto dos divisores de zero de Mker (ϕ) núcleo do homomorfismo ϕ

Im(ϕ) imagem do homomorfismo ϕ

`(R) Comprimento do anel R

ΓI funtor de I-torção com respeito ao ideal I

H iI i-ésimo funtor de cohomologia local com respeito ao ideal I

lim−→

Mλ limite direto de um sistema direto F = {Mλ, fλµ}ΛC(x̄,M)• Complexo de Čech de M com respeito a x̄

9

Sumário

1 Elementos de Álgebra Homológica e módulos injetivos 14

1.1 Complexos e cocomplexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2 Módulos Injetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.2.1 Mergulhando módulos arbitrários em módulos injetivos . . . . 20

1.2.2 Extensões essenciais e envelopes injetivos . . . . . . . . . . . . 26

1.3 Funtor derivado à direita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2 Módulos injetivos em anéis Noetherianos 33

2.1 O Caso Noetheriano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.2 O envelope injetivo do corpo residual de um anel local . . . . . . . . 44

2.3 O envelope injetivo do corpo residual de um anel Artiniano local . . . 48

2.4 Módulos com c.c.d e a dualidade de Matlis . . . . . . . . . . . . . . . 51

3 O funtor de cohomologia Local 58

3.1 Os funtores de I-torção de cohomologia local . . . . . . . . . . . . . . 58

3.2 Limites diretos e o funtor de cohomologia local . . . . . . . . . . . . . 60

3.3 Complexo de Čech e o funtor de cohomologia local . . . . . . . . . . . 71

4 Aplicações 80

4.1 Grade e anéis Cohen Macaulay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.2 Posto aritmético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5 Apêndice 92

5.1 Topologia de Zariski e conexidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

5.2 Lema da esquiva, five lemma e a sequência de Mayer Vietoris . . . . . 94

5.3 Álgebra multilinear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.4 Noções básicas de teoria das categorias . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

10

5.4.1 Definição de categoria e exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . 96

5.4.2 Funtores e transformações naturais . . . . . . . . . . . . . . . 99

5.5 A exatidão do funtor HomR(−,M) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

11

Introdução

A origem da noção de cohomologia local é atribúıda a Alexander Grothendieck,

que a utilizou num contexto geométrico para provar teoremas do tipo Lefschetz. Com

o passar dos tempos, esse conceito mostrou-se bastante prof́ıcuo, sendo aplicado em

diversas áreas e problemas. Como um exemplo mais concreto de uma situação onde

cohomologia local é aplicada, citamos o problema do posto aritmético. Tal problema

consiste em, dado um ideal J de um anel noetheriano R, deseja-se saber qual a

quantidade mı́nima de elementos necessários para gerar J a menos de radical, isto é,

deseja-se encontrar

ara(J) = min{r ∈ N; ∃ a1, ..., ar ∈ R para os quais

√J =

√(a1, ..., ar)

}.

A noção de cohomologia permite-nos dar uma resposta precisa a questões deste tipo,

como será visto no caṕıtulo 4 desta dissertação.

Como tipicamente ocorre com temas matemáticos mais avançados e/ou especia-

lizados, a quantidade de referências para um estudo inicial sobre cohomologia local

é demasiadamente rara. Nesse trabalho, temos como um dos objetivos iniciar uma

referência que seja útil a futuros estudantes que desejam adentrar em tal assunto.

A seguir, descreveremos brevemente o que acontecerá em cada caṕıtulo.

No caṕıtulo 1 iniciamos fazendo uma ligeira discussão sobre complexos e apresen-

tamos os módulos injetivos, que são os módulos que se destacam por ter a proprie-

dade de exatidão do funtor Hom na primeira variável. Conclúımos que todo módulo

pode ser imerso em um módulo injetivo, especificamente, em seu envelope injetivo,

e através de tal noção deduzimos que todo módulo possui uma resolução injetiva.

De posse dessa última informação, finalizamos o caṕıtulo definindo funtor derivado à

direita.

No caṕıtulo 2, buscamos entender melhor os módulos injetivos sobre anéis Noethe-

rianos, explorando mais propriedades sobre tais. Investigamos os envelopes injetivos

12

de um módulo sobre um anel Noetheriano e nos aprofundamos nos envelope injetivo

do corpo residuail de um anel Noetheriano local e também o envelope injetivo do

corpo residuail de um anel Artiniano local. Neste caṕıtulo nos deparamos com fatos

importantes (e ao mesmo tempo interessantes), como por exemplo, o fato do envelope

injetivo de um módulo sobre um anel Noehteriano R comutar com somas diretas e

ser isomorfo a soma direta de envelopes injetivos de módulos do tipo R/P, onde P é

um ideal primo de R, sendo que, para tal decomposição existe um tipo de unicidade

dada pelo Teorema 2.1.8. Para o envelope injetivo E do corpo residual de uma anel

Noetheriano local (R,m, k), vemos que ele é invariante com respeito a completamento

(i.e, ER(k) ∼= ER̂(k)) e que é isomorfo a HomR(R,E). Além disso, podemos enxerga-locomo sendo a união ER/mt(k) onde m é o único ideal maximal de R. Para o envelope

injetivo E do corpo residual de um anel Artiniano local (R,m, k), conclúımos que

ele tem o mesmo comprimento (finito) de R e obtemos uma classifição para os anéis

locais que são injetivos quando olhados como módulos sobre si mesmo. Terminamos

o caṕıtulo apresentando mais algumas propriedades sobre envelopes injetivos e com a

célebre dualidade de Matlis, a qual nos revela que, a categoria dos R-módulos que sa-

tisfazem a condição da cadeia ascendente é antiequivalente a categoria dos R-módulos

que satisfazem a condição da cadeia descendente.

No terceiro caṕıtulo abordarmos três formas de definir o funtor de cohomologia

local, primeiramente o definimos através do funtor covariante e exato à esquerda de

I-torção. Na sequência, fazemos um estudo sobre a noção de limites diretos, e con-

clúımos que o i-ésimo funtor de cohomologia local com respeito ao ideal I pode ser

definindo como o limite direto lim−→

ExtiR(R/In,−), onde {In}N é uma famı́lia inversade ideais cofinal com {In}N. Posteriormente, observamos que o funtor de cohomo-logia local com respeito ao ideal I pode ser obtido ao consideramos a homologia do

complexo de Čech com respeito ao geradores dos ideal I.

No último caṕıtulo, aplicando a noção de cohomologia local, definimos o grade

de um ideal em um R-módulo em função do funtor de cohomologia, e calculamos de

maneira precisa o posto aritmético e aritmético homogêneo para alguns ideais.

13

Caṕıtulo 1

Elementos de Álgebra Homológica

e módulos injetivos

O objetivo deste caṕıtulo é apresentar a linguagem preliminar necessária para a

compreensão da noção de cohomologia local. Seria demasiadamente longo, e possivel-

vemente fora de propósito, apresentar as demonstrações de todos os resultados aqui

presentes. Por esse motivo, parte dos teoremas contidos nesse trecho do texto serão

apenas enunciados e as demonstrações serão remetidas às referências.

1.1 Complexos e cocomplexos

Definição 1.1.1. Seja R um anel. Um complexo de R-módulos é uma sequência de

R-módulos e homomorfismos

C• : · · ·∂i+2−→ Ci+1

∂i+1−→ Ci∂i−→ · · ·

tal que ∂i ◦ ∂i+1 = 0 para cada i. A homologia de C• em Ci é o R-módulo

HiC• := ker (∂i)/Im(∂i+1).

Os homomorfismos ∂i são chamados de diferenciais do complexo C•. Os elementos

de Im(∂i+1) e de ker (∂i) são chamados, respectivamente, de fronteira e ciclos de C•

Dizemos que o complexo C• é exato em Ci se HiC• = 0. Dizemos que o complexo C•

é exato se ele for exato em cada Ci.

Frequentemente lidaremos com situações em que Ci = 0 para todo i > 0 ou i < 0.

14

Exemplo 1.1.2. Dado um homomorfismo de R-módulos f : M → N temos o com-plexo exato

0 −→ ker (f) ι−→M f−→ N π−→ N/f(M) −→ 0 −→ 0 −→ . . .

Exemplo 1.1.3. Seja R um anel. Consideremos os homomorfismos f : R → R4

definido por f(x) = (x, x, x, x) e g : R4 → R2 dado por g(x, y, z, w) = (z − x,w − x).Temos o seguinte complexo

0 −→ R f−→ R4 g−→ R2 −→ 0 −→ 0 −→ · · ·

O complexo acima não é exato pois, como podemos observar diretamente, (0, 1, 0, 0)

pertence a ker (g) mas não está em Im(f).

Temos uma definição análoga a definição de complexo, obtida ao inverter a or-

denação dos ı́ndices, de descrescente para crescente.

Definição 1.1.4. Seja R um anel. Um cocomplexo de R-módulos é uma sequência

de R-módulos e homomorfismos

C• : · · · ∂i−2−→ Ci−1 ∂

i−1−→ Ci ∂

i

−→ Ci+1 ∂i+1

−→ · · ·

tal que ∂i ◦ ∂i−1 = 0 para cada i. A cohomologia de C• em Ci é o R-módulo

H iC• := ker (∂i)/ Im(∂i−1).

Definição 1.1.5. Sejam

C• : · · ·∂i+2−→ Ci+1

∂i+1−→ Ci∂i−→ · · ·

e

D• : · · ·δi+2−→ Di+1

δi+1−→ Diδi−→ · · ·

complexos de R-módulos. Um morfismo de complexos ϕ : C• → D• é uma sequência

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de morfismos {ϕn : Cn → Dn}n∈Z tal que o seguinte diagrama é comutativo:

· · · ∂i+2 // Ci+1∂i+1 //

ϕi+1

��

Ci∂i //

ϕi

��

· · ·

· · ·δi+2// Di+1 δi+1

// Di δi// . . .

De maneira análoga se define morfismo de cocomplexo.

1.2 Módulos Injetivos

Conforme explicado no Apêndice dessa dissertação, ao fixarmos um R-módulo E

podemos considerar o funtor contravariante HomR(−, E). Para cada R-módulo M, ofuntor HomR(−, E) faz corresponder o R-módulo HomR(M,E), formado por todosos mapas R-lineares de M em E, e, para cada mapa R-linear f : M → N, fazcorresponder o mapa R-linear Hom(f, E) : HomR(N,E)→ HomR(M,E) dado por

Hom(f, E)(g) = g ◦ f

Também observamos no Apêndice que o funtor contravariante HomR(−, E) é exatoà esquerda, ou seja, para toda sequência exata de R-módulos 0→M ι→ N π→ Q→ 0a sequência

0→ HomR(Q,E)π∗→ HomR(N,E)

ι∗→ HomR(M,E)

é exata, onde ι∗ = Hom(ι, E) e π∗ = Hom(π,E). Diante disso, podemos nos perguntar

se o funtor também é exato á direita, ou seja, se ι∗ é sobrejetor (recordemos que um

funtor exato a direita e a esquerda é dito simplesmente de funtor exato). No exemplo

abaixo veremos que a exatidão a direita pode falhar.

Exemplo 1.2.1. O funtor HomZ(−,Z) não é exato. Para tanto, consideremos asequência exata

0 −→ Z ι−→ Q π−→ Q/Z −→ 0,

onde ι : Z −→ Q é a inclusão e π : Q→ Q/Z é a projeção canônica. Consideremos asequência

HomZ(Q/Z,Z)π∗−→ HomZ(Q,Z)

ι∗−→ HomZ(Z,Z) −→ 0.

Afirmamos que ι∗ = HomR(ι,Z) não é sobrejetor. Suponhamos por absurdo que ι∗

16

fosse sobrejetor. Então existiria f ∈ HomZ(Q,Z) tal que 1Z = ι∗(f) = f ◦ ι. Logo,

2 · f(

1

2

)= f

(2 · 1

2

)= f(1) = f(ι(1)) = 1Z(1) = 1

o que é um absurdo, pois f(

12

)∈ Z.

Os módulos que se destacam pelo fato do funtor HomR(−, E) ser exato são cha-mados de injetivos. Na proposição a seguir listamos algumas caracterizações para um

módulo ser injetivo

Proposição 1.2.2. Seja E um R-módulo. As seguintes condições são equivalentes:

(a) E é injetivo.

(b) Para qualquer inclusão ι : M ↪→ N de R-módulos, o homomorfismo R-linearι∗ = HomR(ι, E) : HomR(N,E)→ HomR(M,E) é sobrejetor.

(c) Se M é um submódulo de um módulo N, então todo mapa R-linear de M para

E pode ser estendido a um mapa R-linear de N → E.

(d) Para cada ideal I de R e homomorfismo de R-módulos ϕ : I → E, ϕ se estendea um homomorfismo R→ E.

Prova. (a)⇒(b) Dada a inclusão ι : M ↪→ N , consideremos a sequência exata

0→M ι→ N π→ N/M → 0.

Como HomR(−, E) é exato, temos a sequência exata

HomR(N,E)ι∗→ HomR(M,E)→ 0.

Dáı obtemos que ι∗ é sobrejetor.

(b)⇒(a) Consideremos 0 → M f→ N g→ Q → 0 uma sequência exata. ComoHomR(−, E) é exato a esquerda, resta-nos somente verificar que f ∗ = HomR(f, E) ésobrejetor. Para tanto, notemos que f = f̄ ◦ ι, onde f̄ : M → Im f é o isomorfismodado por f̄(x) = f(x) e ι : Im f ↪→ N é a inclusão natural. Como funtores preservamisomorfismos e ι∗ é sobrejetor por hipótese, segue que f ∗ = ι∗◦f̄ ∗ é também sobrejetor,como desejado.

17

(b)⇒(c) Seja M um submódulo de N e ι : M ↪→ N o mapa inclusão. Dadoϕ ∈ HomR(M,E), como por hipótese, ι∗ é sobrejetor, existe g ∈ HomR(N,E) tal queϕ = g ◦ ι. Claramente, g é uma extensão de ϕ a um mapa R-linear N → E.

(c)⇒(b) Consideremos a inclusão deR-módulos ι : M ↪→ N.Dado ψ ∈ HomR(M,E),por hipótese existe g ∈ HomR(N,E) tal que ψ = g|M , isto é, ψ = g ◦ ι. Portanto, ι∗ ésobrejetor.

(c)⇒(d) Esta implicação segue diretamente da hipótese e do fato de I ser umsubmódulo de R.

(d)⇒(c) Suponhamos M um submódulo de um módulo N e f : M → E ummapa R-linear. Devemos mostrar que é posśıvel estender f para N . Definimos a

seguinte relação de ordem parcial no conjunto dos mapas R-lineares g : M ′ → E,onde M ′ é submódulo de N : dados g′′ : M ′′ → E e g′ : M ′ → E, dizemos queg′′ ≤ g′ se M ′′ ⊂ M ′ e g′′ = g′|M ′′ . Assim, g′′ e g′ coincidem no domı́nio menor ondeambos estão definidos. Notemos que o conjunto dos mapas ≥ que f (i.e, extensõesde f para um submódulo M ′ ⊂ N com M ⊂ M ′) tem a propriedade de toda cadeiater um limite superior. De fato, dada a cadeia {fα : Mα → E;α ∈ L}, temos que{Mα;α ∈ L} é uma cadeia de submódulos. Definimos g :

⋃α∈L

Mα → E como segue:

dado x ∈⋃α∈L

Mα, escolha β ∈ L tal que x ∈ Mβ, e então defina g(x) = fβ(x).

Verifica-se sem dificuldades que g é R-linear e que é um limite superior para a cadeia

de mapas considerada. Então pelo Lema de Zorn, existe uma extensão maximal

para f , seja f ′ : M ′ → E tal extensão. Se M ′ = N então a demonstração acaba.Suporemos o contrário e obteremos uma contradição estendendo mais f ′. Se M ′ 6= N ,escolhamos x ∈ N −M ′. Assim, é suficiente demonstrar que f ′ se estende a M ′+Rx.Consideremos o ideal I = {i ∈ R; ix ∈M ′} e ϕ : I → E o mapa R-linear dado porϕ(i) = f ′(ix). Por hipótese, existe ψ : R → E tal que ψ|I = ϕ. Temos o mapaR-linear

γ : M ′ ⊕R→ E, (u, r) 7→ γ(u, r) := f ′(u) + ψ(r)

e a sobrejeção R-linear

ξ : M ′ ⊕R→M ′ +Rx, (u, r) 7→ ξ(u, r) := u+ rx.

Afirmamos que ker (ξ) ⊂ ker (γ). De fato, se (u, r) ∈ ker (ξ) temos u + rx = 0. Dáı

18

segue que u = −rx, ou seja, r ∈ I. Assim,

γ(u, r) = f ′(u) + ψ(r) = f ′(−rx) + ϕ(r) = f ′(−rx) + f ′(rx) = f ′(0) = 0.

Portanto, além do isomorfismo

ξ̄ :M ′ ⊕Rker (ξ)

→M ′ +Rx, (u, r) + ker (ξ) 7→ ξ(u, r),

temos o homomorfismo induzido

γ̄ :M ′ ⊕Rker (ξ)

→ E, (u, r) + ker (ξ) 7→ γ(u, r).

Afirmamos que γ̄◦ξ̄−1 : M+Rx→ E estende f ′. Com efeito, dadom ∈M ′ ⊂M ′+Rx,temos:

γ̄ ◦ ξ̄−1(m) = γ̄ ◦ ξ̄−1(ξ(m, 0)) = γ̄ ◦ ξ̄−1(ξ̄((m, 0) + ker (ξ))

= γ̄((m, 0) + ker (ξ)) = γ(m, 0) = f ′(m)

Temos então a contradição desejada, o que conclui a demonstração.

Vejamos algumas propriedades inerentes aos módulos injetivos.

Proposição 1.2.3. Seja E um R-módulo injetivo. Então:

(a) Se M é um R-módulo contendo E então M ∼= E ⊕ (M/E).

(b) Dada uma injeção de R-módulos ϕ : N → M e um homomorfismo α : N → Eexiste um homomorfismo β : M → E tal que α = β ◦ ϕ.

(c) Se N é um somando direto de E então N também é injetivo.

Prova. (a) Consideremos o mapa inclusão ι : E ↪→M e a sequência exata

0→ E ι→M π→M/E → 0.

Seja 1E : E → E o mapa identidade de E. Como E ⊂ M e E é injetivo, 1E admiteuma extensão j : M → E. Facilmente se verifica que j ◦ ι = 1E. Assim, a sequênciaexata considerada cinde e portanto M ∼= E ⊕ (M/E).

19

(b) Como ϕ é injetor, podemos considerar a sequência exata

0→ N ϕ→M π→M/ϕ(N)→ 0.

Assim, ao aplicarmos HomR(−, E), que é exato por hipótese, obtemos que o mapaϕ∗ = HomR(ϕ,E) : HomR(M,E) → HomR(N,E) é sobrejetor; donde, segue o dese-jado.

(c) Escrevamos E = N⊕M. Seja Q ⊂ Q′ uma inclusão de R-módulos e ϕ : Q→ Num mapa R-linear. Mostraremos que ϕ admite uma extensão a um mapa R-linear

Q′ → N . Para tanto, considermos o homomorfismo inclusão ι : N → E e a projeçãonatural π : E = N ⊕M → N . Como E é injetivo, podemos estender ι ◦ϕ : Q→ E aum mapa R-linear f : Q′ → E. Afirmamos que π ◦ f : Q′ → N é uma extensão paraϕ. De fato, dado q ∈ Q, temos

π ◦ f(q) = π(ι ◦ ϕ(q)) = π(ϕ(q)) = ϕ(q),

pois ϕ(q) ∈ N. Portanto, N é injetivo.

1.2.1 Mergulhando módulos arbitrários em módulos injetivos

Definição 1.2.4. Um módulo E sobre um domı́nio R é diviśıvel se uma (e portanto

as duas) das condições equivalentes abaixo é satisfeita:

(a) rE = E para todo r ∈ R− {0} /

(b) Para todo m ∈ E e r ∈ R− {0} existe n ∈ E tal que rn = m.

A próxima proposição explica a relação entres o módulos diviśıveis e injetivos no

contexto dos domı́nios de integridade

Proposição 1.2.5. Sobre um domı́nio R, qualquer módulo injetivo é div́ısivel. Sobre

um domı́nio principal, um módulo é injetivo se, e somente se é diviśıvel.

Prova. Suponhamos M injetivo e sejam m ∈M e r ∈ R−{0} . Desejamos encontrarn ∈ M tal que rn = m. Consideremos o homomorfismo g : Rr → M dado porbr 7→ bm. Como M é injetivo, podemos estender g a um homomorfismo f : R→ M.Então m = g(r) = f(r) = rf(1). Para concluir o desejado basta tomarmos n = f(1).

Suponhamos agora que M seja um módulo diviśıvel sobre um domı́nio principal

R. Sejam I um ideal de R e ϕ : I → M um homomorfismo. Como R é domı́nio

20

principal I = (a), onde a ∈ R. Se a = 0 então o homomorfismo nulo R → M éuma extensão para ϕ. Suponhamos então a 6= 0. Como R é diviśıvel, existe n ∈ Mtal que ϕ(a) = an. Definamos ψ : R → M dado por ψ(b) = bn. notemos queψ(a) = an = ϕ(a). Assim ψ e ϕ coincidem em (a), de modo que ψ é uma extensão

para ϕ. Portanto, M é injetivo.

Claro que a imagem homomorfa de um módulo diviśıvel é também diviśıvel. Em

particular, Q/Z é um Z-módulo diviśıvel (pois Q também o é). Usaremos o fatode Q/Z ser injetivo para construir mais módulos injetivos sobre outros anéis. Antesnecessitamos de resultados preliminares.

Dado um homomorfismo f : M → N de C-módulos e um C-módulo V , temos omapa C-linear

f ∗ : HomC(N, V )→ HomC(M,V ), g 7→ g ◦ f.

A partir dáı, podemos construir outro mapa C-linear

f ∗∗ : HomC(HomC(M,V ), V )→ HomC(HomC(N, V ), V ), g 7→ g ◦ f ∗.

Agora, consideremos R uma C-álgebra e fixemos o C-módulo V . Para cada R-módulo

M , temos o mapa

θM : M → HomC(HomC(M,V ), V )u 7→ θM(u) : HomC(M,V )→ V

onde θM(u) é dado pela lei g 7→ g(u). Iremos denotar HomZ(M,Q/Z) por M∗ e (M∗)∗

por M∗∗. O funtor exato contravariante HomZ(−,Q/Z) será denotado por −∗.

Lema 1.2.6. Com as notações estabelecidas acima, para cada Z-módulo A, o homo-morfismo θA = θ : A→ A∗∗ é injetivo. Se A é um R-módulo então o mapa A→ A∗∗

é R-linear. Além disso, para cada mapa R-linear f : A1 → A2 temos o seguintedigrama comutativo

A∗∗1f∗∗ // A∗∗2

A1

θA1

OO

f // A2

θA2

OO

Prova. Seja A um Z-módulo, para concluir a injetividade de θA mostraremos queker (θA) = {0}. Dado a ∈ A − {0}, encontraremos f ∈ HomZ(A,Q/Z) tal que

21

θA(a)(f) = f(a) 6= 0.

O Z-submódulo Za de A gerado por a é isomorfo a Z ou ao módulo Zn (dependendoda sobrejeção natural ξ : Z → Za ser injetora ou não). Afirmamos que em ambosos casos existe uma sobrejeção ψ : Za → Zn. De fato, se ξ não for injetor temos oisomorfismo induzido ξ̄ : Zn → Za e, assim, basta considerarmos ψ = ξ̄−1. Caso ξseja injetor fazemos ψ = π ◦ ξ−1, onde π : Z→ Zn é a projeção canônica.

Por outro lado, Zn pode ser mergulhado em Q/Z através do homomorfismo injetorϕ : Zn → Q/Z dado por ā 7→ a/n. Assim, temos o mapa g = ϕ ◦ ψ : Za → Q/Z.Como Za ⊂ A e Q/Z é um Z-módulo injetivo, podemos estender g a um mapaZ-linear f : A→ Q/Z. Afirmamos que f(a) 6= 0. De fato, se ξ não é injetor temos:

f(a) = ϕ(ψ(a)) = ϕ(ξ̄−1(a)) = ϕ(1̄) = 1/n 6= 0.

Por outro lado, se ξ é injetor temos:

f(a) = ϕ(ψ(a)) = ϕ(π(ξ−1(a))) = ϕ(π(1)) = ϕ(1̄) = 1/n 6= 0.

Mostraremos agora que o diagrama enunciado é comutativo. Desejamos mostrar

que θA2f = f∗∗θA1 , que nada mais é que uma igualdade de funções com domı́nio A1.

Assim, dado um elemento arbitrário m ∈ A1 devemos mostrar que vale a igualdade(θA2f)(m) = (f

∗∗θA1)(m), isto é θA2(f(m)) = f∗∗(θA1(m)) = θA1(m)f

∗. De fato,

dado ψ ∈ A∗2, temos:

(θA1(m)f∗)(ψ) = θA1(m)(f

∗(ψ)) = θA1(m)(ψf) = (ψf)(m) = ψ(f(m)) = θA2(f(m))(ψ).

O que conclui a demonstração.

Lema 1.2.7. Sejam R uma C-álgebra, M,N módulos sobre R e Q um C-módulo.

Dado um mapa C-bilinear B : M × N → Q tal que B(ru, v) = B(u, rv) para todor ∈ R, existe um único mapa C-linear f : M ⊗R N → Q tal que f(u⊗R v) = B(u, v)para todo u ∈M e todo v ∈M .

Prova. Consideremos os mapas canônicos ψ : M × N → M ⊗R N e ϕ : M × N →M⊗CN. Claramente, ambos são C-bilineares. Pela propriedade de produto tensorial,existe um único mapa C-linear f : M ⊗C N →M ⊗R N tal que o diagrama abaixo é

22

comutativo

M ×Nϕ

��

ψ //M ⊗R N

M ⊗C N

f88

Notemos que

f(u⊗C v) = f(ϕ(u, v)) = ψ(u, v) = u⊗R v.

Denotemos por Σ o C-submódulo de M ⊗C N gerado por todos os elementos(ru) ⊗C v − u ⊗C (rv), onde u ∈ M , v ∈ N e r ∈ R. Afirmamos que ker f = Σ. Defato, dado um gerador (ru)⊗C v − u⊗C (rv) de Σ temos

f((ru)⊗C v − u⊗C (rv)) = (ru)⊗R v − u⊗R (rv) = 0.

Por outro lado, suponhamosn∑i=1

ui ⊗C vi ∈ ker f. Então,

n∑i=1

ui ⊗R vi = 0.

Assim, pelo Lema 5.3.4 existem u′j ∈M e aij ∈ R tais que:

m∑j=1

aiju′j = ui e

n∑i=1

aijvi = 0.

Desse modo, temos as seguintes igualdades:

n∑i=1

ui ⊗C vi =n∑i=1

(m∑j=1

aiju′j

)⊗C vi =

n∑i=1

m∑j=1

(aiju′j)⊗C vi

0 =

(m∑i=1

u′j

)⊗C

(n∑i=1

aijvi

)=

n∑i=1

m∑j=1

u′j ⊗C (aijvi)

Dessas igualdades obtemos

n∑i=1

ui ⊗C vi =n∑i=1

m∑j=1

((aiju

′j)⊗C vi − u′j ⊗C (aijvi)

)∈ Σ.

Uma vez que f é claramente um homomorfismo sobrejetor, temos o C-isomorfismo

induzido

23

f̄ :M ⊗C N

Σ→M ⊗R N.

Agora, seja B : M × N → Q como nas hipóteses do Lema. Pela propriedade doproduto tensorial, existe um único C-homomorfismo B̄ : M ⊗C N → Q tal que odiagrama

M ×Nϕ

��

B // Q

M ⊗C NB̄

::

é comutativo. Assim,

B̄((ru)⊗C v − u⊗C (rv)) = B̄((ru)⊗C v)− B̄(u⊗C (rv)) = B(ru, v)−B(u, rv) = 0.

Com isso, temos Σ ⊂ ker B̄. Pelo primeiro teorema dos isomorfismos, existe um únicohomomorfismo C-linear ζ : M⊗CN

Σ→ Q tal que ζ ◦π = B̄, onde π : M ⊗CN → M⊗CNΣ

é a projeção canônica. O lema segue então das unicidades de ζ e B̄ e do isomorfismo

induzido f̄ .

Teorema 1.2.8 (Adjunticidade dos funtores tensor e hom). Sejam ϕ : C → Rum homomorfismo de anéis, M e N dois R-módulos e Q um C-módulo. Então

existe um isomorfismo natural HomC(M ⊗R N,Q) → HomR(M,HomC(N,Q)) comoR-módulos: Os dois lados são isomorfos como funtores nas três variáveis M,N,Q.

Prova. Dado um C-homomorfismo f : M ⊗RN → Q, seja θ(f) : M → HomC(N,Q)dado por θ(f)(u) = Bf,u, onde Bf,u(v) = f(u⊗R v). Afirmamos que θ é linear. Comefeito, para qualquer u ∈M e v ∈ N , temos

θ(f + g)(u)(v) = Bf+g,u(v) = (f + g)(u⊗R v) = f(u⊗R v) + g(u⊗R v)

= Bf,u(v) +Bg,u(v) = θ(f)(u)(v) + θ(g)(u)(v)

= [θ(f)(u) + θ(g)(u)] (v).

Donde segue que θ(f+g) = θ(f)+θ(g). Agora, dado r ∈ R e um C-homomorfismo

24

f : M ⊗R N → Q , para qualquer u ∈M e v ∈ N é verdade que:

θ(rf)(u)(v) = Brf,u(v) = (rf))(u⊗R v) = f(r(u⊗R v)) = f((ru)⊗R v)

= f((ru)⊗R v) = θ(f)(ru)(v) = [rθ(f)] (u)(v)

Logo, θ(rf) = rθ(f) e portanto θ é R-linear.

Por outro lado, dado um R-homomorfismo g : M → HomC(N,Q), definimos omapa C-bilinear Bg : M ⊗R N → Q dado por Bg(u, v) = g(u)(v). Notemos queBg(ru, v) = g(ru)(v) = [r · g(u)] (v) = g(u)(rv) = Bg(u, rv). Seja

Λ : HomR(M,HomC(N,Q))→ HomC(M ⊗R N,Q),

onde para g ∈ HomR(M,HomC(N,Q)), definimos Λ(g) : M ⊗RN → Q como sendo oúnico mapa C-linear tal que Λ(g)(u⊗R v) = Bg(u, v). Com alguns cálculos verifica-seque θ e Λ são um o inverso do outro, e que além disso, tais isomorfismos se tratam

de isomorfismos naturais de funtores.

Um R-módulo F é dito plano se o funtor −⊗R F é exato. Uma classe grande deR-módulos planos são os módulos livres (uma referência para maiores detalhes sobre

módulo planos é [4, Chapter 6]). À luz dessa noção e das considerações acima podemos

deduzir o resultado abaixo, o qual proporciona uma vasta coleção de exemplos de

módulos injetivos

Corolário 1.2.9. Seja R uma C-álgebra. Se F é um R-módulo plano e W um C-

módulo injetivo então HomC(F,W ) é um R-módulo injetivo.

Prova. Em virtude do isomorfismo natural

HomR(M,HomC(F,W )) ∼= HomC(M ⊗R F,W ),

podemos pensar o funtor Hom(−,HomC(F,W )) como sendo a composição dos fun-tores − ⊗R F seguido por HomC(−,W ). Como F é R-plano, o primeiro funtor éexato, já o segundo funtor é exato pois W é C-injetivo. Logo, a composição é exata

e portanto HomC(F,W ) é R-injetivo.

Finalmente, podemos enunciar o principal resultado dessa seção. Abaixo W de-

notará o Z-módulo injetivo Q/Z, enquanto que o funtor exato HomZ(−,W ) serádenotado por −∗.

25

Teorema 1.2.10. Sobre um anel comutativo R, qualquer R-módulo pode ser imerso

em um R-módulo injetivo.

Prova. Seja M um R-módulo, consideremos o R-módulo livre F = Rcard(HomZ(M,W ))

e a sobrejeção R-linear óbvia ϕ : F → HomZ(M,W ). Como F é livre, segue que Fé R-plano, logo pelo corolário anterior F ∗ = HomZ(F,W ) é um R-módulo injetivo.

Aplicando o funtor exato HomZ(−,W ) a sobrejeção ϕ : F → M∗, obtemos umainjeção ψ : M∗∗ → F ∗. Todavia, como visto no Lema 1.2.6, temos uma injeçãoj : M →M∗∗. Logo, a composição ϕ ◦ j : M → F ∗ é uma injeção, isto é, M pode serimerso no R-módulo injetivo F ∗.

1.2.2 Extensões essenciais e envelopes injetivos

Proposição 1.2.11. Sejam R um anel e h : M → N um homomorfismo injetor deR-módulos, então as seguintes condições são equivalentes:

(a) Qualquer submódulo não nulo de N tem interseção não nula com h(M).

(b) Qualquer elemento não nulo N tem um múltiplo em h(M) diferente de zero.

(c) Para todo R-homomorfismo ϕ : N → Q tal que ϕ ◦ h é injetor temos que ϕ éinjetor.

Prova. (a)⇒(b) Dado n ∈ N − {0} , consideremos o submódulo não nulo Rn de N .Por hipótese, existe n′ 6= 0 tal que n′ ∈ h(M) ∩ Rn. Assim, em particular, n′ é ummúltiplo não nulo de n em h(M).

(b)⇒(a) Sejam N ′ um submódulo não nulo de N e n′ ∈ N ′ − {0} . Por hipótese,existe rn′ ∈ h(M)− {0} . Desse modo, N ′ ∩ h(M) 6= {0} como desejado.

(a)⇒(c) Se ϕ não fosse injetor então kerϕ seria um modulo não nulo deN , de modoque h(M) ∩ kerϕ 6= {0}. Logo, existiria m ∈ M tal que h(m) 6= 0 e h(m) ∈ kerϕ.Uma vez que h é injetor, m 6= 0. Dessa forma, m é um elemento não nulo em ker (ϕ◦h).Logo, ϕ ◦ h não seria injetor.

(c)⇒(a) Sejam W um submódulo não nulo de N e π : N → N/W a projeçãocanônica. Como kerπ = W 6= {0}, π não é injetor. Assim, usando a hipóteseconclúımos que π ◦ h não é injetor. Logo, existe m ∈ M − {0} tal que π(h(m)) = 0.Em particular, h(m) 6= 0, pois h é injetor. Assim, h(m) é um elemento não nulo deW ∩ h(M) = ker π ∩ h(M). Portanto, W ∩ h(M) 6= 0 como queŕıamos mostrar.

26

Definição 1.2.12. Um homomorfismo injetor h : M → N de R-módulos é umaextensão essencial se uma (e portanto todas) das condições equivalentes da proposição

acima é satisfeita.

Proposição 1.2.13. Sejam M ,N e Q módulos sobre um anel R. Então:

(a) Se M ⊂ N ⊂ Q então, M ⊂ Q é essencial se, e somente se, M ⊂ N e N ⊂ Qsão também extensões essenciais.

(b) Se M ⊂ N e {Ni}i é uma famı́lia de submódulos de N contendo M tal que,⋃i

Ni = N , então M ⊂ N é essencial se, e somente se, M ⊂ Ni é essencial

para cada i.

(c) O mapa identidade é uma extensão essencial.

(d) Se M ⊂ N então existe um submódulo maximal N ′ de N tal que M ⊂ N ′ éessencial.

Prova. Primeiramente, notemos que o item (c) é óbvio e S ⊂ T ser essencial significaque para qualquer submódulo não nulo T ′ de T temos S ∩ T ′ 6= {0}.

(a) Suponhamos M ⊂ Q essencial. Dado um submódulo não nulo N ′ de N , temosem particular que N ′ é um submódulo não nulo de Q e assim M ∩ N ′ 6= {0}. LogoM ⊂ N é essencial. Agora, seja Q′ um submódulo não nulo de Q. Como, por hipóteseM ∩Q′ 6= {0} e M ⊂ N , segue que N ∩Q′ 6= {0}. Assim, N ⊂ Q é essencial.

Por outro lado, se M ⊂ N e N ⊂ Q são extensões essenciais, dado um submódulonão nulo Q′ de Q temos N ∩Q′ 6= {0}. Logo N ∩Q′ é um submódulo não nulo de N ,de modo que M ∩Q′ = M ∩ (N ∩Q′) 6= {0}. Portanto M ⊂ Q é essencial.

(b) Suponhamos M ⊂ N essencial, e seja N ′i um submódulo não nulo de Ni,claramente N ′i é um submódulo de N e por maior razão M ∩Ni 6= {0}. Logo M ⊂ Nié essencial.

Agora, suponhamos M ⊂ Ni essencial para cada i. Seja N ′ um submódulo nãonulo de N , como N =

⋃i

Ni, existe j tal que N′ ∩ Nj 6= {0} e assim N ∩ Nj é um

submódulo não nulo de Nj. Uma vez que a extensão M ⊂ Nj é essencial, obtemosM ∩N ′ ⊃M ∩ (N ′ ∩Nj) 6= {0}. Portanto M ⊂ N é essencial.

(d) Seja C a coleção dos submódulos Q de N tais que a extensão M ⊂ Q é essencial.A coleção considerada é não vazia pois N ∈ C. Agora, dada uma cadeia {Qi}i emC, pelo item (b) o submódulo Q =

⋃i

Qi de N é uma extensão essencial de M , isto

27

é, Q é um cota superior para cadeia dada. Portanto, pelo Lema de Zorn, existe um

submódulo maximal N ′ de N tal que M ⊂ N ′ é essencial.

Exemplo 1.2.14. Seja R um domı́nio. O corpo de frações de R é uma extensão

essencial de R como R-módulos. De fato, consideremos o homomorfismo natural

ι : R→ Frac(R), r 7→ r/1.

Dado s/t ∈ Frac(R) − {0} temos s/1 6= 0/1 e t · (s/t) = s/1, isto é, s/t tem ummúltiplo não nulo em ι(R).

Exemplo 1.2.15. Sejam (R,m, k) um anel local e N um R-módulo tal que cada

elemento de N é anulado por um potência de m. Definimos o socle de N por

Soc(N) = AnnN(m) = {n ∈ N |αn = 0 para qualquerα ∈ m} .

Afirmamos que Soc(N) ⊂ N é uma extensão essencial. Com efeito, dado n ∈ N−{0},consideremos o menor inteiro positivo t tal que mtn = {0}. Assim mt−1n ⊂ Soc(N),e pela minimalidade de t temos que mt−1n contém um múltiplo não nulo de n, o que

conclui o afirmado.

Na situação da Proposição 1.2.13(d) diremos que N ′ é uma extensão essencial

maximal dentro de M . Se M ⊂ N é uma extensão essencial e N não admite extensãoessencial própria, dizemos que N é uma extensão essencial maximal de M . Não é claro

que extensões essenciais maximais existem em absoluto sentido. Todavia, veremos a

seguir que elas existem. Iremos deduzir isto a partir do fato de que qualquer módulo

pode ser imerso em um módulo injetivo.

Proposição 1.2.16. Seja R um anel. Então:

(a) Um R-módulo é injetivo se, e somente se, não tem extensões essenciais próprias.

(b) Seja M um R-módulo contido em R-módulo injetivo E. Se E ′ é uma extensão

essencial maximal de M dentro de E, então E ′ não admite extensão essencial

própria. Em particular, E ′ é uma extensão essencial maximal de M (em abso-

luto sentindo). Além disso, E ′ é um módulo injetivo (donde segue que E ′ é um

somando direto de E).

(c) Se M ⊂ E e M ⊂ E ′ são duas extensões essenciais maximais de M , entãoexiste um isomorfismo de E para E ′ que é o mapa identidade em M .

28

Prova. (a) Suponhamos M um R-módulo injetivo e M ⊂ N uma extensão essencial.Então, pela Proposição 1.2.3(a), podemos escrever N = M ⊕ W . Como M ⊂ Né essencial e W ∩M = {0}, só resta a W ser o módulo nulo de N , logo M = N .Portanto, M não admite extensões essenciais próprias.

Reciprocamente, suponhamos que M é um R-módulo que não admite extensões

essenciais próprias. Sabemos que existe um R-módulo injetivo E contendo M. Consi-

deremos a coleção C dos submódulos Q de E tais que Q∩M = {0}. Tal coleção é nãovazia pois contém ao menos o módulo nulo. Além disso, é facilmente verificado que

toda cadeia nessa coleção possui uma cota superior. Assim, pelo Lema de Zorn, existe

um elemento maximal N em C. Consideremos a projeção canônica π : E → E/N eι : M → E a inclusão natural. Afirmamos que f = π ◦ ι : M → E/N é essencial.Primeiramente, notemos que f é injetora. Com efeito,

f(a) = f(b)⇒ π(a) = π(b)⇒ ā = b̄⇒ a− b ∈M ∩N = {0} ⇒ a = b.

Agora, seja Q um submódulo não nulo de E/N. Então, existe um subḿodulo E ′

de E contendo N estritamente tal que Q = E ′/N . Notemos que

Q ∩ f(M) = (E ′/N) ∩ π(M) = (E ′/N) ∩ ((M +N)/N) = (E ′ ∩ (M +N))/N

Para concluir que f é uma extensão essencial devemos mostrar que Q∩ f(M) 6= {0},o que equivale a E ′ ∩ (M +N) 6= N . Temos

E ′ ∩ (M +N) ⊇ (E ′ ∩M) + (E ′ ∩N) = E ′ ∩M +N.

Devido a inclusão de módulos N ( E ′ ⊂ E e a maximalidade de N em C, segue queE ′ ∩M 6= {0}, isto é, existe x 6= 0 em E ′ ∩M. Claramente x 6∈ N , pois do contráriox ∈M ∩N = {0} . Logo N ( E ′ ∩ (M +N), como desejado.

Como M não admite extensões essencias próprias, segue que f é um isomorfismo.

Assim, f(M) = (M + N)/N = E/N e dáı obtemos E = M + N. Uma vez que

M ∩N = {0}, temos E = M ⊕N . Por fim, como E é injetivo, segue pela Proposição1.2.3 (c) que M é injetivo.

(b) Seja E ′ uma extensão maximal de M dentro do módulo injetivo E. Mostra-

remos que E ′ não admite extensões essenciais próprias. Suponhamos por absurdo

que ι : E ′ ↪→ Q seja uma extensão essencial própria. Como E é injetivo, a inclusãoE ′ ↪→ E pode ser extendida a um mapa R-linear ϕ : Q → E. Claramente, ϕ ◦ ι = ι

29

é injetivo. Como ι : E ′ ↪→ Q é extensão essencial, segue que ϕ é injetivo. Afirmamosque E ′ = ϕ(E ′) ( ϕ(Q) é uma extensão essencial. De fato, se P é um submódulonão nulo de ϕ(Q), então ϕ−1(P ) é um submódulo não nulo de Q, pois ϕ é injetor.

Agora, como E ′ ( Q é essencial, é verdade que ϕ−1(P ) ∩ E ′ 6= {0}, o que implicaϕ(ϕ−1(P )) ∩ ϕ(E ′) 6= {0}. Uma vez que ϕ(ϕ−1(P )) ⊂ P e ϕ(E ′) = E ′, segue queP ∩ E ′ = {0}. Temos então as extensões essenciais M ⊂ E ′ e E ′ ( ϕ(Q), de modoque, ϕ(Q) seria uma extensão essencial de M dentro de E, o que entraria em con-

tradição com a maximalidade de E ′. Portanto E ′ não admite extensões essenciais

próprias.

(c) Primeiramente notemos que E e E ′ não admitem extensões essenciais próprias,

logo pelo item (a), E e E ′ são injetivos. Dito isto, podemos estender o mapa inclusão

j : M ↪→ E ′ a um mapa R-linear ϕ : E → E ′. Consideremos a inclusão ι : M ↪→ E.Percebe-se facilmente que ϕ ◦ ι é justamente a inclusão j : M → E, que claramente éinjetor. Como ι : M ↪→ E é uma extensão essencial maximal, segue que ϕ : E → E ′

é também injetor. Uma vez que E ∼= ϕ(E) é injetivo e ϕ(E) ⊂ E ′, segue queE ′ = ϕ(E) ⊕ E ′′. Observemos que E ′′ ∩ M = E ′′ ∩ ϕ(M) ⊂ E ′′ ∩ ϕ(E) = {0},como M ⊂ E ′ é extensão essencial, só resta a E ′′ ser o submódulo nulo de E ′. Dáı,E ′ = ϕ(E) e portanto ϕ é o isomorfismo desejado.

Se M → E é uma extensão essencial maximal de M sobre R, nos referiremos a Ecomo envelope injetivo de M e escreveremos E = ER(M) ou simplesmente E = E(M)

quando não houver risco de confusão. Uma vez que podemos mergulhar qualquer R-

módulo em um outro R-módulo injetivo, o item (b) da proposição acima nos garante

que qualquer R-módulo possui um envelope injetivo, já o item (c) nos garante que

tal envelope é único a menos de isomorfismo. Também vimos que se M ⊂ E, ondeE é injetivo, então M tem uma extensão essencial maximal dentro de E que também

é uma extensão maximal (em absoluto sentido) de M. Assim, M ⊂ E(M) ⊂ E, demodo que podemos pensar E como E(M)⊕E ′, onde E ′ é um outro módulo injetivo.

Discussão: Dado um R-módulo M podemos formar uma resolução injetiva como

segue:

0 //M � // E0

ρ0 //

��

E1

��

ρ1 // E2ρ2 // . . . // Ej

ρj // . . .

E0/M+ �

88

E1/ρ0(E0), �

99 ,

30

onde cada mapa N ↪→ Q significa que Q é o envelope injetivo de N e o diagramaacima comuta. Evidentemente a resolução injetiva que nos referimos é a que está

expressa na primeira linha do diagrama, o restante do diagrama serve para esclarecer

ao leitor como tal resolução injetiva é construida.

Definição 1.2.17. Dizemos que uma resolução injetiva

0→M → E0 ρ0−→ E1 ρ1−→ E2 ρ2−→ · · · → Ej ρj−→ · · ·

é uma resolução injetiva minimal se M → E0 é um envelope injetivo e para cadai ≥ 0, ρi(Ei) ⊂ Ei+1 é um envelope injetivo.

A discussão feita acima mostra que resoluções minimais existem. Facilmente se

verifica que duas resoluções injetivas minimais são isomorfas como complexos.

1.3 Funtor derivado à direita

Seja F um funtor covariante, aditivo e exato à esquerda sobre a categoria dos

R-módulos. Seja M um R-módulo e

E• : 0→M → E0 → E1 → · · ·

uma resolução injetiva de M. Ao aplicarmos o funtor F em E• obtemos o seguinte

complexo de R-módulos

FE• : 0→ F (E0)→ F (E1)→ · · ·

Para cada n ≥ 0 definimos RnF (A) := Hn(FE•). Estes módulos RnF (A) não depen-dem da resolução injetiva escolhida (ver [8, Section 6.2]).

Seja α : M → N um homomorfismo de R-módulos. Consideremos

E• : 0→M → E0 → E1 → · · ·

e

G• : 0→ N → G0 → G1 → · · ·

resoluções injetivas de M e N. Por [8, Section 6.2] existe um morfismo de complexos

ϕ : E• → G• tal que o seguinte diagrama é comutativo:

31

0 //M

α

��

// E0

ϕ0

��

// E1 //

ϕ1

��

. . .

0 // N // G0 // G1 // . . .

Assim, para cada n ≥ 0, temos um mapa Hn(F (ϕ)) : RnF (M) → RnF (N)induzido por ϕn. Estes mapas Hn(F (ϕ)) também independem das resoluções injetivas

de M e N (ver [8, Section 6.2]).

Temos finalmente o seguinte resultado:

Teorema 1.3.1. Seja F um funtor covariante, aditivo e exato à esquerda sobre a

categoria dos R-módulos. Então, para cada inteiro n ≥ 0, RnF é um funtor aditivocovariante na categoria dos R-módulos.

Prova. Ver [8, Section 6.2]

Definição 1.3.2. Seja F um funtor covariante, aditivo e exato à esquerda sobre a

categoria dos R-módulos. Para cada inteiro n ≥ 0 chamamos RnF de n-ésimo funtorderivado à direita de F.

Exemplo 1.3.3. Seja F o funtor exato à esquerda HomR(M,−), o funtor derivadoà direita RnF é denotado por ExtnR(M,−), ou simplesmente Extn(M,−) quando oanel R estiver claro.

32

Caṕıtulo 2

Módulos injetivos em anéis

Noetherianos

Neste caṕıtulo retornaremos aos módulos injetivos. Focaremos nossas atenções

para módulos injetivos sobre anéis Noetherianos, para tais, veremos algumas propri-

edades e investigaremos mais o fundo seus envelopes injetivos. Dedicaremos duas

seções aos casos especiais e importantes, dos envelopes injetivos do corpo residual

de um anel Noetheriano local e Artiniano local. Encerraremos este caṕıtulo com a

notável dualidade de Matlis, a qual nos revela que, a categoria dos R-módulos que sa-

tisfazem a condição da cadeia ascendente é antiequivalente a categoria dos R-módulos

que satisfazem a condição da cadeia descendente.

2.1 O Caso Noetheriano

Proposição 2.1.1. Sejam M um R-módulo finitamente gerado e {Ni}i uma famı́lia(possivelmente infinita) de R-módulos. Então, HomR(M,

⊕i

Ni) e⊕i

HomR(M,Ni)

são R-módulos isomorfos. Em geral existe uma injeção do lado direito para o lado

esquerdo.

Prova. Cada inclusãoNj ⊂⊕i

Ni induz um homomorfismo R-linear HomR(M,Nj) ⊂

HomR(M,⊕i

Ni). É fácil ver que a soma dos submódulos obtidos desta forma é

na verdade uma soma direta dentro de HomR(M,⊕i

Ni). Isso explica a injeção⊕i

HomR(M,Nj) ⊂ HomR(M,⊕i

Ni).

33

Queremos agora mostrar que o mapa definido acima é sobrejetor. Sejam m1, ...,mh

os geradores de M e consideremos ϕ : M → HomR(M,⊕i

Ni). Como cada ϕ(mv) tem

entradas não nulas somente em uma quantidade finita de Ni’s, segue que existe uma

conjunto finito de ı́ndices i1, ..., ir tais que cada ϕ(mv) ∈r⊕s=1

Nis ⊂⊕i

Ni. Portanto,

ϕ(M) ⊂r⊕s=1

Nis , isto é, ϕ ∈ HomR(M,r⊕s=1

Nis). Uma vez que HomR(M,−) comuta

com somas diretas finitas, segue o desejado.

Corolário 2.1.2. Seja R um anel Noetheriano. Então a soma direta de uma famı́lia

arbitrária {Ei}i de R-módulos injetivos é também um módulo injetivo.

Prova. Notemos inicialmente que é suficiente demonstrarmos que se I é um ideal de

R então

Ψ : HomR(R,⊕i

Ei)→ HomR(I,⊕i

Ei), f 7→ f ◦ ι,

onde ι : I ↪→ R é a inclusão natural, é sobrejetor. De fato, diante de tal sobrejeção,dado um mapa R-linear ϕ : I →

⊕i

Ei , existe f ∈ HomR(R,⊕i

Ei) tal que ϕ = f ◦ ι.

Claramente f é uma extensão de ϕ a um mapa R-linear R→⊕i

Ei e assim teŕıamos

a injetividade do R-módulo⊕i

Ei.

Como R e I são R-módulos finitamente gerados, temos

⊕i

HomR(R,Ei) ∼= HomR(R,⊕i

Ei) e⊕i

HomR(I, Ei) ∼= HomR(I,⊕i

Ei).

Uma vez que cada Ei é um R-injetivo, cada mapa HomR(R,Ei) → HomR(I, Ei) ésobrejetor. Dáı segue a sobrejetividade de Ψ.

Proposição 2.1.3. Seja {Mi}i uma famı́lia arbitrária de módulos sobre um anelNoetheriano R, então E(

⊕i

Mi) ∼=⊕i

E(Mi).

Prova. Pelo corolário anterior, já sabemos que⊕i

E(Mi) é um módulo injetivo.

Resta mostrarmos que⊕i

E(Mi) é uma extensão essencial de⊕i

Mi. Com efeito,

dado x 6= 0 em⊕i

E(Mi), sejam {xk1, . . . , xkn} as coordenadas não nulas de x. Como

a extensão Mk1 ⊂ E(Mk1) é essencial, existe a1 ∈ R tal que a1xk1 ∈ M1 − {0} . Ser1xkj = 0 para todo j > 1 então a1x ∈

⊕i

Mi−{0}, caso contrário, seja r ∈ {2, ..., n}

o menor ı́ndice para o qual a1xkr 6= 0. Pelo fato da extensão Mkr ⊂ E(Mkr) seressencial, podemos escolher ar ∈ R tal que ara1xkr ∈ Mr − {0}, se ara1xj = 0 para

34

todo j > r então ara1x ∈⊕i

Mi − {0}, caso contrário, repetimos o processo e, uma

vez que, a quantidade dos xki’s é finita, obteremos a ∈ R tal que ax ∈⊕i

Mi − {0} .

Como sabemos, se R é um anel Noetheriano e M um R-módulo, então

AssR(M) = {P ∈ Spec(R) | R/P pode ser imerso em M} .

Também sabemos que se M 6= {0} então AssR(M) é um conjunto não vazio.

Proposição 2.1.4. Seja E um módulo (não nulo) injetivo sobre um anel Noetheriano

R. Então E é uma soma direta de módulos injetivos da forma ER(R/P ), onde P é

um ideal primo de R.

Prova. Sabemos que AssR(E) é não vazio. Logo, existem P ∈ Spec(R) e x ∈E − {0} tais que P = 0 : x. Assim, Rx é um submódulo de E isomorfo a R/P e,consequentemente, E(Rx) é um submódulo de E isomorfo a E(R/P ). Pelo Lema de

Zorn é posśıvel escolher uma famı́lia maximal {Ei}i de submódulos Ei ⊂ E tais que:

(1) Ei ∼= E (R/Pi), para algum ideal primo Pi de R.

(2) A soma direta dos Ei é uma soma direta interna (isto é, a interseção dos Ei’s

com qualquer soma direta finita de outros Ej é nula).

Seja F a soma dos módulos da famı́lia escolhida (que possui o formato desejado).

Mostraremos que E = F . Pelo corolário anterior, sabemos que F é injetivo, de modo

que podemos escrever E = F ⊕ E ′. Mostraremos que se E ′ não fosse o módulo nuloele teria um submódulo da forma E ′′ = E(R/P ), o que geraria uma contradição, pois

podeŕıamos usar E ′′ para aumentar a suposta famı́lia maximal {Ei}i. Suponhamosque exista x ∈ E ′ − {0} . Então, Rx é um módulo não nulo. Logo, podemos escolherP ∈ Ass(Rx). Assim, temos o mergulho R/P ∼= Rx ⊂ E ′ e, uma vez que E ′ é injetivo(pois é somando direto de um módulo injetivo), segue pela Proposição 1.2.16.(b) que

E(R/P ) ⊂ E ′. Desse modo, obtemos a contradição desejada.

Para decomposição de módulos injetivos como na proposição anterior, veremos

adiante um tipo de unicidade. Antes porém, estudaremos os módulos E(R/P ) mais

de perto.

Lema 2.1.5. Se N ⊂ M uma extensão essencial de R-módulos sobre um anel No-etheriano R então AssR(M) = AssR(N).

35

Prova. A inclusão AssR(N) ⊂ AssR(M) é óbvia. Se P ∈ AssR(M), então P = 0 : xpara algum x ∈ M − {0} . Como a extensão N ⊂ M é essencial, é verdade queRx ∩N 6= {0} e dáı

∅ 6= AssR(Rx ∩N) ⊂ AssR(Rx) = AssR(R/P ) = {P} .

Portanto, {P} = AssR(Rx ∩N) ⊂ AssR(N).

Lema 2.1.6. Sejam R um anel Noetheriano, P um ideal primo de R e E o envelope

injetivo de R/P. Então E também tem estrutura de RP -módulo.

Prova. Seja F o corpo de frações de R/P e consideremos F ⊂ E(F ) um envelopeinjetivo de F. Como R/P ⊂ F é uma extensão essencial (pois F é o corpo de frações deR/P ), segue que R/P ⊂ E(F ) é essencial. Uma vez que E(F ) não admite extensõesessenciais próprias podemos identificar E como sendo E(F ).

Dado r ∈ R− P, consideremos o mapa multiplicação de r em F

µF : F → F, x 7→ rx.

Como ZR(F ) = P, segue que ker (µF ) = {0}. Consideremos agora o mapa de multi-plicação de r em E

µE : E → E, y 7→ ry.

Claramente, {0} = ker (µF ) = ker (µE) ∩ F. Como E é uma extensão essencial de F ,segue que ker (µE) = {0}. Assim, rE é um submódulo injetivo de E contendo F ,donde E = rE ⊕G. Observemos que F ∩G ⊂ rE ∩G = {0} e, uma vez que F ⊂ Eé essencial, obtemos G = {0} ; dáı, rE = E. Mostraremos que com isso podemos dara E uma estrutura de RP -módulo. Primeiramente lembramos que AssR(E) = {P},pois R/P ⊂ E é essencial e Ass(R/P ) = {P} . Logo,

ZR(E) =⋃

Q∈AssR(E)Q = P.

Agora, dados r ∈ R − P e m ∈ E, pelo que vimos acima, existe m′ ∈ E para o qualm = rm′. Afirmamos que tal escrita é única. Com efeito, suponhamos m = rm′ =

rm′′. Então, r(m′ −m′′) = 0 e, como r 6∈ P = ZR(E), devemos ter necessariamentem′−m′′ = 0, isto é, m′ = m′′. Definimos a multiplicação • : RP ×E → E do seguintemodo: dados a/b ∈ RP e m ∈ E fazemos

36

(a/b) •m := am′,

onde m′ é o único elemento em E tal que m = bm′. Esta operação está bem definida.

De fato, sejam m ∈ E e a1/b1 = a2/b2 ∈ RP . Sejam m1 e m2 os (únicos) elementosde E tais que m = b1m1 = b2m2. Devemos mostrar que (a1/b1) • m = (a2/b2) • m,ou seja, a1m1 = a2m2. Ora, existe u ∈ R − P tal que ua1b2 = ua2b1. Dáı temosua1b2m2 = ua2b1m2, ou seja,

ua1m = ua2b1m2. (2.1)

Por outro lado, a igualdade m = b1m1 implica em

ua1m = ua1b1m1. (2.2)

De (2.1) e (2.2) segue ub1(a1m1 − a2m2) = 0. Como ub1 6∈ P = ZR(E), obtemosa1m1 = a2m2 como queŕıamos.

Proposição 2.1.7. Sejam R um anel Noetheriano, P um ideal primo de R e E o

envelope injetivo de R/P. Então:

(a) O conjunto AnnEP := {m ∈ E; P ·m = 0} é isomorfo ao corpo de frações Fde R/P .

(b) E é uma extensão maximal de F sobre RP , de modo que E é um envelope

injetivo de F sobre RP . Em resumo, ER(R/P ) ∼= ERP (RP/PP ).

(c) Qualquer elemento de E é anulado por uma potência de P e AssR(E) = {P}.O anulador de qualquer elemento de E é P -primário.

(d) HomRP (F,EP )∼= F , enquanto que para um ideal primo Q diferente de P , temos

HomRP (F,E(R/Q)P ) = 0.

Prova. (a) Como vimos no lema anterior, E possui uma estrutura de RP -módulo e

podemos identificá-lo como sendo o envelope injetivo de F . Assim, E é um módulo

sobre RP que contém uma cópia de F = RP/PP .

Com simples cálculos, verifica-se que o anulador de P em E é o mesmo que o

anulador de PP em E, e assim podemos considerá-lo como um F -espaço vetorial V ,

37

onde a multiplicação por escalar é dada por (α + PP , v) 7→ α • v. Notemos queF ⊂ V ⊂ E pois, dado α + PP ∈ F e β ∈ PP temos

β · (α + PP ) = αβ + PP = 0 + PP .

Assim, V = F ⊕ F ′. Como F ⊂ E é extensão essencial, F ⊂ V também é essencial.Logo, F ′ = {0} pois F∩F ′ = {0}. Portanto, V = F e com isso conclúımos o desejado.

(b) Como F ⊂ E é uma extensão essencial de R-módulos, segue que F ⊂ Etambém é uma extensão essencial de RP -módulos. Com efeito, seja x ∈ E − {0},então existe α ∈ R tal que 0 6= αx ∈ F , isto é, 0 6= αx = α

1x ∈ F . Suponhamos que

E tenha uma extensão essencial M como RP -módulo e seja m ∈ M − {0} . Entãopodemos escolher r ∈ R, a ∈ R − P e e ∈ E tal que r

a•m = e 6= 0. Por definição,

e = rm′, onde m = am′; logo, ae = arm′ = ram′ = rm. Uma vez que e 6= 0e a 6∈ ZR(E), temos rm = ae 6= 0. Assim E ⊂ M é uma extensão essencial deR-módulos e portanto E = M.

(c) Já vimos que AssR(E) = {P}. Dado x ∈ E − {0}, então R 6= I = 0 :R x,assim 0 6= R/I ∼= Rx ⊂ E. Logo, ∅ 6= AssR(R/I) ⊂ AssR(E) = {P}. Portanto,AssR(R/I) = {P}, isto é, I é P -primário. Agora dado m ∈ E, é claro que se m = 0então ele é anulado por P. Se m 6= 0, então 0 :R m é P -primário. Dáı,

√0 :R m = P

e uma vez que R é Noetheriano, podemos escolher n ∈ N tal que P nm = {0} .(d) Para a primeira parte desse item, notemos que EP ∼= E. Para verificar esse

isomorfismo, consideremos a aplicação ω : E → EP dado por m 7→ m/1. É imediatoobservar que ω é um homomorfismo. Suponhamos m ∈ ker (ω). Então, m/1 = 0/1.Dessa forma, existe u ∈ R − P tal que um = 0. Como u 6∈ P = ZR(E), segue quem = 0. Logo, ker (ω) = {0}, ou seja, ω é injetor. Para mostrar a sobrejetividade deω, suponha m/q ∈ EP . Como q ∈ R − P, existe m′ ∈ E tal que qm′ = m, isto é,ω(m′) = m′/1 = m/q. Portanto, ω é um isomorfismo como queŕıamos demonstrar.

Sabemos que se T é um anel e N é um T -módulo, então HomT (N,N) ∼= N atravésdo isomorfismo dado por ϕ 7→ ϕ(1). Em particular, HomRP (F, F ) ∼= F . Mostrare-mos que HomRP (F,EP )

∼= HomRP (F, F ). Para tanto, consideremos a sequência exata0→ F ι→ E (onde ι é a inclusão). Então, ao aplicarmos o funtor covariante exato a es-querda HomRP (F,−), obtemos a sequência exata 0→ HomRP (F, F )

ι∗→ HomRP (F,E),o que nos informa que ι∗ é injetor. Por outro lado, dado ϕ ∈ HomRP (F,E), comoF ∼= RPPP , temos Pϕ(a) = 0, para todo a ∈ F. Desse modo, Im(ϕ) ⊂ AnnE P = F .Logo, ϕ = ι ◦ ϕ̄ = ι∗(ϕ̄), onde ϕ̄ : F → AnnE P = F é dada por ϕ̄(x) = ϕ(x).

38

Portanto,

HomRP (EP , F )∼= HomRP (E,F ) ∼= HomRP (F, F ) ∼= F.

Agora, suponhamos Q ∈ Spec(R) − {P}, como já vimos, qualquer elemento deE(R/Q) é anulado por uma potência de Q. Caso Q não esteja contido em P , seja

q ∈ Q − P. Dado xα∈ E(R/Q)P , sabemos que existe inteiro positivo n tal que

Qn(x) = 0. Dáı,x

α=qn

qnx

α=qnx

qnα=

0

qnα

e assim E(R/Q)P = 0.

Consideremos agora o caso em que Q está contido estritamente em P . De modo

geral, se S um subconjunto multiplicativo de um anel R e M é um R-módulo, sa-

bemos que existe uma correspondênca biuńıvoca entre os ideais primos de AssR(M)

que não intersectam S e o conjunto AssS−1R(S−1M) dado por I 7→ S−1I. Uma

vez que AssR(E(R/Q) = {Q} segue que AssRP (E(R/Q)P ) = {QP}. Dado umRP -homomorfismo ϕ : F → E(R/Q)P queremos mostrar que ϕ é o homomorfismonulo, o que é equivalente a mostrar que Im(ϕ) = {0}, que por sua vez, equivale aAssRP (Im(ϕ)) = ∅.

Suponhamos por absurdo que existe P ′P ∈ AssRP (Im(ϕ)), logo P ′P = 0 :RP ϕ(u).Como F ∼= RP/PP , claramente PP ⊂ P ′P 6= RP . Por outro lado, PP é o ideal ma-ximal do anel local RP , donde segue que PP = P

′P . Por fim, PP ∈ AssRP (Im(ϕ) ⊂

AssRP (E(R/Q)P ) = {QP}. Assim PP = QQ e então, pela bijeção citada no parágrafoanterior teŕıamos P = Q, que sabemos não ser verdade. Conclúımos então a demons-

tração.

Teorema 2.1.8. Sejam E um módulo injetivo sobre um anel Noetheriano R, P um

ideal primo de R e F o corpo de frações de R/P . Então o número de cópias de

E(R/P ) que aparecem em uma decomposição de E como soma direta de módulos desta

forma é dimF HomRP (F,EP ), e assim independe da decomposição escolhida. Além

disso, E(R/P ) aparece em uma decomposição de E se, e somente se P ∈ Ass(E).

Prova. Suponha que E =⊕i

E(R/Pi). Então

HomRP (F,EP )∼= HomRP (F,

⊕i

E(R/Pi)P ) ∼=⊕i

HomRP (F,E(R/Pi)P ).

Pela proposição anterior, HomRP (F,E(R/Pi)P ) é isomorfo a F se Pi = P ou igual

39

ao módulo nulo caso contrário. Assim, se J é o conjunto de ı́ndices tais que Pi = P ,

então HomRP (F,EP )∼=⊕i∈J

F , que é um espaço vetorial sobre F cuja dimensão é o

número de cópias de E(R/P ) que aparece na decomposição, como requerido.

Provaremos agora a última afirmação. Se E(R/P ) aparece em uma decomposição

de E, então {P} = Ass(E(R/P )) ⊂ Ass(E).Por outro lado, se P ∈ AssR(E) então EP 6= 0. Com efeito, existe x ∈ E − {0}

para o qual 0 :R x. Suponhamos por absurdo que x/1 = 0, então existiria t 6∈ P talque tx = 0, isto implicaria que t ∈ 0 :R x = P , o que é uma contradição. Assim,EP 6= 0, donde segue que dimF HomRP (F,EP ) 6= 0. Portanto E(R/P ) aparece numadecomposição de E.

Corolário 2.1.9. Seja M um módulo não nulo injetivo sobre um anel Noetheriano

R, então M é indecompońıvel (não pode ser escrito como soma direta a menos da

maneira trivial) se, e somente se, M é isomorfo a E(R/P ) para algum P ∈ Spec(R).

Prova. Suponhamos M isomorfo a E(R/P ), se M pudesse ser escrito como soma

direta de dois módulos não nulos, estes seriam injetivos, e assim cada um deles seria

soma direta de módulos da forma E(R/Q), com Q ∈ Spec(R). Logo teŕıamos duasdecomposições diferentes de M como soma direta de módulos da forma E(R/Q), uma

com apenas um termo, e outra com pelo menos dois termos, o que sabemos não ser

posśıvel pelo teorema anterior. Portanto M é indecompońıvel.

Por outro lado, suponhamos M um módulo não nulo, injetivo e indecompońıvel.

Uma vez que todo módulo injetivo é soma direta de módulos no formato E(R/Q), e

M é indecompońıvel, só resta a M ser isomorfo a E(R/P ) para algum P ∈ Spec(R).

O resultado anterior nos diz que existe uma correspondência bijetiva entre os

ideais primos de um anel Noetheriano R e a classe de módulos isomorfos a módulos

injetivos indecompońıveis, onde cada P ∈ Spec(R) corresponde a classe dos módulosisomorfos a E(R/P ).

Lema 2.1.10. (a) Sejam R um anel Noetheriano, S um subconjunto multiplicativo

de R e T := S−1R. Dado Q ∈ Spec(T ), seja P o único ideal em Spec(R) que nãointersecta S e tal que Q = S−1P. Então, TQ ∼= RP e QQ ∼= PP .(b) Se E = E(R/P ), onde P ∈ Spec(R) e P ∩ S = ∅ então S−1E ∼= E.

40

Prova. Temos

TQ ={

(x/a)/(y/b) | x/a ∈ S−1R e y/b 6∈ S−1P}

= {(x/a)/(y/b) | x ∈ R, a, b ∈ S e y 6∈ P} .

Consideremos ψ : RP → TQ dado por w/z 7→ (w/1)/(z/1). Primeiro verificaremos queψ está bem definida. Para isso, consideremos w/z = w′/z′. Então, existe u ∈ R − Ptal que uwz′ = uzw′. Assim, (u/1)(w/1)(z′/1) = (u/1)(w′/1)(z/1) com u/1 /∈ S−1P.Logo, (w/1)/(z/1) = (w′/1)/(z′/1) e isso conclui que ψ está bem definida. Que ψ é

um homomorfismo é imediato. Agora, suponha w/z ∈ ker (ψ). Então (w/1)/(z/1) =(0/1)/(1/1). Assim, existe u/v /∈ S−1P tal que uw/v = 0/1. Logo, existe s ∈ S(em particular, s 6∈ P ) para o qual suw = 0. Isso implica que w/1 = 0/su. Dessemodo, w/z = 0/swz. Portanto, ker (ψ) = {0} , ou seja, ψ é injetora. Para verificar asobrejetividade de ψ, considere (x/a)/(y/b) ∈ TQ (em particular, a, b, y /∈ P ). Então,

(x/a)/(y/b) = [(x/a)/(y/b)] · [(ab/1)/(ab/1)] = (xb/1)/(ya/1) = ψ (xb/ya)

e isso nos dá a sobrejetividade.

Agora, mostraremos que PP é isomorfo a QQ. Temos:

QQ ={

(x/a)/(y/b) | x/a ∈ S−1P e y/b 6∈ S−1P}

= {(x/a)/(y/b) | x ∈ P, a, b ∈ S e y 6∈ P} .

Como já sabemos que ψ é um isomorfismo, é suficiente mostrar que ψ(PP ) = QQ.

É claro que ψ(PP ) ⊂ QQ. Por fim, dado (x/a)/(y/b) ∈ QQ, como vimos acimaψ (xb/ya) = (x/a)/(y/b) e, uma vez que x ∈ P e y, a 6∈ P , segue que xb/ya ∈ PP , oque conclui a inclusão que faltava. Assim (a) está provado.

(b) Definamos o homomorfismo ϕ : E → S−1E dado por x 7→ x/1. Suponhamosx ∈ ker (ϕ). Então, x/1 = 0. Dáı, existe u ∈ S tal que ux = 0. Como u 6∈ P = ZR(E),pois AssR(E) = {P}, conclúımos que x = 0.

Agora, dado x/s ∈ S−1E, sabemos da Proposição 2.1.7 (b) que a multiplicaçãopor s é um automorfismo de E, de modo que, existe y ∈ E para o qual x = sy. Assim,x/s = y/1 = ϕ(y). Portanto, ϕ é sobrejetor.

Temos também o seguinte teorema:

Teorema 2.1.11. Sejam R um anel Noetheriano e S um subconjunto multiplicativo,

41

então:

(a) Os módulos injetivos sobre S−1R coincidem com os R-módulos injetivos E que

possuem a seguinte propriedade: Se E(R/P ) aparece como um somando de E

(i.e, se P ∈ AssR(E)) então P não intersecta S.

(b) Se E é um R-módulo injetivo então S−1E é um S−1R-módulo injetivo.

(c) Se M ⊂ N é essencial então S−1M ⊂ S−1N é essencial. Além disso, se M ⊂ E éuma extensão essencial maximal então S−1M ⊂ S−1E também é uma extensãoessencial maximal.

Prova. Cada módulo injetivo indecompońıvel sobre T = S−1R tem a forma ET (T/Q),

onde Q ∈ Spec(T ). Seja P (o único) ideal primo de R que não intersecta S e para oqual Q = S−1P. Então, pelo lema anterior sabemos que TQ ∼= RP e QQ ∼= PP . Unindoessas informações com a Proposição 2.1.7 (c), obtemos

ET (T/Q) ∼= ETQ(TQ/QQ) ∼= ERP (RP/PP ) ∼= ER(R/P ).

Assim, os indecompońıveis sobre T são precisamente os módulos ER(R/P ) onde P é

um ideal primo de R que não intersecta S. Donde, segue (a).

Para a parte (b), como E é soma direta de módulos injetivos indecompońıveis,

basta mostrar que a afirmação vale para módulos do tipo E = E(R/P ), pois a

soma direta de módulos injetivos é um módulo injetivo. Se S não intersecta P então

S−1E ∼= E pelo lema anterior, e o resultado segue diretamente de (a). Por outrolado, se S intersecta P , como qualquer elemento de E = E(R/P ) é anulado por uma

potência de P , segue que S−1E = 0. Com efeito, consideremos q ∈ P ∩ S, dadoms∈ S−1E, em particular m ∈ E e assim existe n ∈ N tal que P nm = 0, logo

m

s=qn

qn· ms

=qnm

qns=

0

qns.

(c) Seja n/s um elemento não nulo de S−1N e Q ∈ AssS−1R(S−1Rn). TemosQ = S−1P , onde P ∈ AssR(Rn), e P ∩ S = ∅. Consideremos αn ∈ Rn tal queP = 0 :R αn (em particular, αn 6= 0). Como a extensão M ⊂ N é essencial, existeu ∈ R para o qual u(αn) ∈M − {0}, dáı

y =uα

1· n

1=uαn

1∈ S−1M.

42

É verdade que y 6= 0. De fato, se y = 0 existiria v ∈ S tal que vu(αn) = 0. Assim,vu ∈ 0 :R αn = P , mas v ∈ S e S ∩ P = ∅, logo devemos ter u ∈ P = 0 :R αn. Dáıu(αn) = 0, o que é uma contradição. Portanto,

suα

1· ns

= y ∈ S−1M − {0}

e dáı concluimos que a extensão S−1M ⊂ S−1N é essencial.Suponhamos agora que M ⊂ E seja uma extensão essencial maximal. Uma vez

que E não admite extensões essenciais próprias, segue pela Proposição 1.2.16(a) que E

é um R-módulo injetivo. Logo, pelo visto em (b), S−1E é um S−1R-módulo injetivo,

de modo que S−1E não admite extensões essenciais próprias. Portanto, a extensão

essencial S−1M ⊂ S−1E é maximal.

Teorema 2.1.12. Seja M um módulo finitamente gerado sobre um anel Noetheriano

R e

0→ E0 → E1 → · · · → Ei → · · ·

uma resolução injetiva minimal de M . Então para cada ideal primo de R, o número

de cópias de E(R/P ) que ocorrem em uma decomposição de Ei é finita, este número

é igual a dimF ExtiRP

(F,MP ) (o número dimF ExtiRP

(F,MP ) é geralmente denotado

por µi(P,M) e é chamado de i-ésimo número de Bass de M com respeito a P ).

Prova. Usando o fato do funtor localização ser exato e o teorema anterior, ao loca-

lizarmos em P a resolução injetiva minimal dada, obteremos uma resolução minimal

0→ G0 δ0−→ · · · δi−→ Gi → · · ·

de MP sobre RP , onde Gj = (Ej)P . Suponhamos E

i =⊕j

E(R/Pj). Então,

Gi =⊕j

E(R/Pj)P . (2.3)

Como E(R/P )P ∼= E(R/P ) (ver Lema 2.1.10), o número de cópias de E(R/P ) queaparecem na decomposição de Ei coincide com o número de cópias de E(R/P )P ∼=E(RP/PP ) que aparecem na decomposição de G

i. Notemos que

(RP )PP∼= RP e (PP )PP ∼= PP .

43

Dáı, pelo Teorema 2.1.8, o número de cópias de E(RP/PP ) em (2.3) é dimF HomRP (F,Gi).

Por outro lado, os módulos ExtiRP (F,MP ) são por definição as homologias do com-

plexo

· · ·δ∗i−1−→ Hom(F,Gi)

δ∗i−→ Hom(F,Gi+1)δ∗i+1−→ · · · .

Assim, para mostrar o resultado é suficiente mostrar que todos os mapas δ∗i do com-

plexo acima são nulos (pois isso implica ExtiRP (F,MP ) = Hom(F,Gi)).

Consideremos f ∈ HomRP (F,Gi) e y = α + PP ∈ F . Se f(y) = 0 entãoδi(f(y)) = 0. Caso f(y) 6= 0, como Im(δi−1) ⊂ Gi é essencial, existe β ∈ RP talque β · f (α + PP ) ∈ Im(δi−1) − {0}. Observamos que β 6∈ PP , pois do contrárioβ · f (α + PP ) = f (αβ + PP ) = f(0 + PP ) = 0. Desse modo, β + PP admite uminverso γ + PP em RP/PP . Como Im(δi−1) ⊂ ker (δi), temos:

0 = δi (β · f (α + PP )) = δi (f ((β + PP ) (α + PP ))) .

O que implica

0 = γ · δi (f ((β + PP ) (α + PP ))) = δi (f ((γ + PP ) (β + PP ) (γ + PP ))) .

Donde segue

0 = δi (f ((1 + PP ) (α + PP ))) = δi (f (α + PP )) .

Portanto, δ∗i = 0 como desejado.

2.2 O envelope injetivo do corpo residual de um

anel local

Começamos esta seção fazendo uma breve revisão sobre o completamento de um

anel R. Lembremos que, se R é um anel e m um ideal de R, definimos o completamento

m-ádico (ou simplesmente, completamento) de R, como sendo o seguinte subanel de∏i∈N

R/mi

R̂ :=

{(g1 + m, g2 + m

2, . . .)∈∏i∈N

R/mi | gj ≡ gi(mod mi

)para todo j > i

}.

44

Temos o seguinte mapa natural

η : R→ R̂, g 7→(g + m, g + m2, . . .

).

Abaixo resumimos algumas informações sobre completamentos que serão úteis

para nossa discussão

Proposição 2.2.1. Sejam m um ideal de um anel R e R̂ o completamento m-ádico

de R. Então:

(a) O núcleo do homomorfismo natural η é o ideal⋂i∈N

mi.

(b) Seja mtR̂ a extensão de mt a R̂ pelo homomorfismo η. Então, para cada t ∈ N,R̂/mtR̂ ∼= R/mt. Em particular, para cada elemento α ∈ R̂ existe um elementor ∈ R tal que α− η(r) ∈ mtR̂.

Prova. Ver [4, Chapter 7]).

Considere M um R-módulo tal que cada elemento é anulado por alguma potência

de m. Mediante o item (b) da proposição acima podemos conferir a um tal módulo

estrutura de R̂-módulo. Para isso, dados α ∈ R̂ e x ∈ M consideramos mt tal quemtx = 0 e r ∈ R tal que α − η(r) ∈ mtR̂. Com isso, definimos αx := rx. Por outrolado, devido ao homomorfismo η, um R̂-módulo, também tem uma estrutura de R-

módulo, induzida por η. Assim, se M é um módulo sobre um anel local (R,m, k), que

tem a propriedade adcional de qualquer elemento seu ser anulado por uma potência

de m, então conjunto dos R-submódulos de M coincide com o conjunto de seus R̂-

submódulos, também não é dif́ıcil notar que HomR(M,M) = HomR̂(M,M). Em

particular, os R-submódulos de ER(k), coincidem com o conjunto dos R̂-submódulos

de ER(k).

Doravante, fixaremos (R,m, k) um anel Noetheriano local com ideal maximal m e

corpo de reśıduos k = R/m. Pela Proposição 2.2.1 (a) e o teorema da interseção de

Krull temos que nessa situação η : R→ R̂ é um homomorfismo injetor. Diremos queo anel local (R,m, k) é completo se η for um isomorfismo.

Teorema 2.2.2. Seja (R,m, k) um anel local. Um extensão essencial maximal de k

sobre R é também uma extensão essencial de k sobre R̂, isto é, ER(k) ∼= ER̂(k).

Prova. Já sabemos que ER(k) pode ser visto como um R̂-módulo. Como os R-

submódulos de ER(k) coincidem com os seus R̂-submódulos, segue que a extensão k ⊂

45

ER(k) é um R̂-extensão essencial. Assim, temos as seguintes R̂-extensões essenciais

k ⊂ ER(k) ⊂ ER̂(ER(k)).

Uma vez que k ⊂ ER̂(ER(k)) é uma R̂-extensão essencial, e ER̂(ER(k)) não admiteextensões essenciais próprias, temos que ER̂(ER(k)) é um R̂-envolope injetivo para k,

isto é, ER̂(k)∼= ER̂(ER(k)).

Notemos agora que ER(k) ⊂ ER̂(ER(k)) é R̂-essencial, e como sabemos os R-submódulos de ER̂(ER(k)) coincidem com os seus R̂-submódulos, segue que ER(k) ⊂ER̂(ER(k)) é uma extensão R-essencial. Mas, ER(k) não admite R-extensões essen-

ciais próprias, donde obtemos que ER(k) = ER̂(ER(k))∼= ER̂(k)

O teorema acima nos diz que é suficiente entendermos ER(k) quando (R,m, k) é

um anel completo.

Lembramos que, como visto no Corolário 1.2.9, temos o seguinte resultado.

Lema 2.2.3. Se R → S é um homomorfismo de anéis, E injetivo sobre R e F ummódulo S-plano, então HomR(F,E) (que tem uma estrutura de S-módulo induzida

por F ) é um S-módulo injetivo. Em particular, se E é um R-módulo injetivo, então

HomR(S,E) é um S-módulo injetivo.

O ponto central do lema acima, é o fato dos funtores HomS(−,HomR(F,E)) eHomR(− ⊗S F,E) serem isomorfos, advindo da adjunticidade de ⊗ e Hom. Como−⊗S F e HomR(−, E) são exatos, a sua composição HomR(−⊗S F,E) também o é,e isto implica que HomS(−,HomR(F,E)) é um funtor exato. Logo, HomR(F,E) é S-injetivo. A partir dáı, podemos mergulhar módulos arbitrários em módulos injetivos

como vimos no Teorema 1.2.10.

Teorema 2.2.4. Seja ξ : (R,m, k)→ (S, n, h) um homomorfismo local de anéis locaise suponha que S seja um módulo finito sobre a imagem de R. Seja E o envelope

injetivo de k sobre R. Então HomR(S,E) é um envelope injetivo de h sobre S.

Prova. Como S é finitamente gerado sobre ξ(R), temos que ξ(R) ⊂ S é uma extensãointeira de anéis. Também temos que ξ(R) é anel local com ideal maximal mξ(R).

Primeiramente, veremos que mS é n-primário. Para isso, é suficiente mostrar que

n é o único ideal primo de S que contém mS. Com efeito, suponha P um ideal primo

de S que contém mS. Então, mξ(R) ⊂ ξ(R)∩P. Como mξ(R) é ideal maximal de ξ(R),mξ(R) = Pξ(R)∩ P. Como a extensão ξ(R) ⊂ S é inteira e a contração Pξ(R)∩ P é

46

ideal maximal segue que P é ideal maximal de S. Logo, P = n e dáı temos que mS é

n-primário.

Observamos que como S é finitamente gerado sobre ξ(R) e R é finitamente gerado

sobre R então S é finitamente gerado sobre R. Assim, dado ϕ ∈ HomR(S,E), comocada elemento de E é anulado por uma potência de m, o valor de ϕ em cada elemento

de um conjunto gerador finito de S é anulado por uma potência mt e, consequente-

mente, ϕ é anulado por mt. Afirmamos que ϕ é anulado por uma potência de n. De

fato, como mS é n-primário, mtS = (mS)t também o é. Como n é maximal, temos√mtS = n, e assim, existe um pontêcia ns de n tal que ns ⊂ mtϕ(S), donde segue que

nsϕ(S) ⊂ mtSϕ(S) = 0, provando o que foi afirmado.

Pelo lema anterior, HomR(S,E) é S-injetivo, além disso, seu único primo associado

é n. Com efeito, dado um outro primo associado P , como cada elemento HomR(S,E)

é anulado por uma potêcia de n, temos que existe r ∈ N para o qual nr ⊂ P , euma vez que, P é primo e n é maximal, segue que P = n. Assim, HomR(S,E) deve

ser soma direta de finitas cópias do envelope injetivo de h = S/n sobre S, digamos

HomR(S,E) = ES(h)α.

Agora, uma vez que cada elemento de h é anulado por m (pois ξ(m) ⊂ n), aimagem de um mapa R-linear h→ E deve estar em AnnE(m) ∼= Rm/mm ∼= R/m = k,logo, HomR(h,E) ∼= HomR(h, k). Por outro lado, usando a estrutura de k-módulo deh (induzida por ξ), temos

HomR(h, k) ∼= HomR(h⊗k k, k) = Homk(h,HomR(k, k)) = Homk(h, k).

Notemos também que HomS(h,ES(h)) ∼= HomS(h, h), pois cada elemento de h éanulado por n e o anulador de n em ES(h) é isomorfo a h. Segue que

HomS(h,ES(h)α) ∼= HomS(h,HomR(S,E))∼= HomR(h⊗S S,E)∼= HomR(h, k)∼= Homk(h, k).

Também é verdade que

HomS(h,ES(h)α) ∼= HomS(h,ES(h))α = HomS(h, h)α = hα.

47

Logo, Homk(h, k) = hα. Considerando a dimensão dos espaços vetoriais sobre k,

obtemos dimk h = α · dimk h. Portanto α = 1 e HomR(S,E) ∼= ES(h).

Corolário 2.2.5. Sejam (R,m, k) um anel local, S um outro anel local que é imagem

homomorfa de R (isto é, S ∼= R/I) e denotemos E = ER(k). Então o anulador de Iem E (que é isomorfo a HomR(R/I,E)) é um envelope injetivo de k sobre S.

Prova. Como o único ideal maximal de S é m/I, segue que seu corpo residual é

(R/I)/(m/I) ∼= R/m = k.

Logo, pelo teorema anterior, HomR(R/I,E) é um envelope injetivo de k sobre S.

Usando o Corolário 2.2.5, obtemos uma informação que nos será útil sobre a

estrutura de ER(k). O conjunto de elementos em E = ER(k) que são anulados por

mt (AnnE(mt)) pode ser identificado com ER/mt(k), pois

AnnE(mt) = HomR(R/m

t, E) ∼= ER/mt(k).

Mas cada elemento de E é anulado por alguma potência de m. Assim, podemos

pensar E com sendo a união dos módulos ER/mt(k).

2.3 O envelope injetivo do corpo residual de um

anel Artiniano local

Teorema 2.3.1. Seja (R,m, k) um anel Artiniano local. Então E = ER(K) é um

módulo de comprimento finito, e seu comprimento é igual ao comprimento de R.

Prova. Primeiramente notemos que `(R) é finito, pois R é Artiniano e Noetheriano

(Lembre da notação estabelecida para (R,m, k)). Usaremos indução sobre o compri-

mento `(R) de R. Se `(R) = 1 então R = k e assim, E = ER(k) = Ek(k) = k = R.

Logo, `(E) = `(R).

Agora, suponhamos que R tem comprimento maior que 1. Como R é Artiniano

e local, existe uma potência de m que se anula, escolhamos x ∈ m − {0} na maiorpotência não nula de m. Claramente mx = 0 e, uma vez que m é conjunto de todos

elementos não inversveis de R, segue que Rx ∼= R/m. Consideremos então a seguintesequência exata

0→ Rx→ R→ R′ → 0,

48

onde R′ = R/Rx, que é um anel local comprimento `(R) − 1. Denotaremos porn = m/xR o único ideal maximal de R′ e seu corpo residual será denotado por h.

Como E é injetivo e HomR(R,E) ∼= E (pelo Corolário 2.2.5), temos a sequência exata

0→ HomR(R′, E)→ E → HomR(Rx,E)→ 0.

Mas, como Rx ∼= R/m, segue

Hom(Rx,E) ∼= Hom(R/m, E) ∼= AnnEm ∼= Rm/mm ∼= R/m.

Por outro lado, HomR(R′, E) ∼= ER′(h). Dáı, pela hipotése indutiva

`(HomR(R′, E)) = `(ER′(h)) = `(R

′) = `(R)− 1

e, portanto,

`(E) = `(HomR(Rx,E)) + `(HomR(R′, E)) = `(R/m) + `(R)− 1 = `(R).

Na sequência, observamos que:

Lema 2.3.2. Seja (R,m, k) um anel Artiniano local e denotemos o funtor HomR(−, E)por −∨, onde E = ER(k). Então para qualquer módulo M de comprimento finito te-mos `(M∨) = `(M).

Prova. Primeiramente notemos que, k∨ = HomR(R/m, E) ∼= AnnEm ∼= Rm/mm ∼=R/m ∼= k. Se `(M) = 1 então M ∼= R/m = k, donde segue que `(M) = `(k) =`(k∨) = `(M∨).

Agora suponhamos que M tem comprimento maior que 1. Podemos construir

uma sequência exata 0 → Q → M → N → 0, onde `(N) = `(M) − 1. Aplicando ofuntor exato −∨, obtemos a sequência exata 0 → N∨ → M∨ → Q∨ → 0. Por fim,usando a hipótese de indução, segue

`(M∨) = `(Q∨) + `(N∨) = `(Q) + `(N) = `(M).

Teorema 2.3.3. Seja (R,m, k) um anel Artiniano local e E = ER(k). Então o mapa

49

ϕ : R→ HomR(E,E), que associa cada r ∈ R ao homomorfismo multiplicação por rem E, é um isomorfismo.

Prova. Pelo lema anterior, HomR(E,E) tem o mesmo comprimento que E, que

por sua vez, sabemos ser igual ao comprimento de R pelo Teorema 2.3.1. Assim,

`(R) = `(HomR(E,E)).

Suponhamos x ∈ ker (ϕ), então xE = 0. Logo, HomR(R/xR,E) ∼= AnnE(xR) =E. Pelo Corolário 2.2.5, HomR(R/xR,E) é um envelope injetivo de k sobre R/xR.

Dáı

`(R) = `(ER(k)) = `(ER/xR(k) = `(R/xR) = `(R)− `(xR).

Logo, `(xR) = 0, isto é, x = 0.

Agora, observemos que R ∼= ϕ(R), donde

`(HomR(E,E)) = `(R) = `(ϕ(R)).

Pontanto, ϕ(R) = HomR(E,E).

O resultado a seguir classifica os anéis locais que são injetivos como módulos sobre

si mesmo

Teorema 2.3.4. Um anel local (R,m, k) é injetivo como um módulo sobre si mesmo

se, e somente se, a dimensão de Krull de R é zero e o socle de R é um k-espaço

vetorial unidimensional. Além disso, R = ER(k) neste caso.

Prova. Suponhamos que R é um R-módulo injetivo. Primeiramente vejamos que,

como R é um anel local então ele é indecompońıvel como módulo sobre si mesmo.

Com efeito, se R = S ⊕ T , claramente não podemos ter T = R = S. Sem perda degeneralidade podemos supor que S 6= R. Suponhamos por absurdo S 6= 0, então Tobrigatoriamente deve ser diferente de R, pois S ∩ T = {0} . Mas, como (R,m, k)é local, teŕıamos que S, T ⊂ m. Assim, S ⊕ T ⊂ m, o que é um absurdo. LogoS = 0, como desejado. Agora, pelo Corolário 2.1.9, temos R = E(R/P ), para algum

P ∈ Spec(R). Como m é único maximal de R, claramente P ⊂ m. Afirmamos queP = m. Suponhamos por absurdo que existe α ∈ m − P. Como a multiplicação emE(R/P ) ∼= R é um automorfismo, teŕıamos em particular, que α seria invert́ıvel e,portanto, não poderia pertencer a m. Logo, R ∼= E(R/m) = E e Soc(R) ∼= Soc(E) =AnnE(m). Mas, pela Proposição 2.1.7, temos

AnnE(m) = Rm/mm = R/m = k.

50

Assim, Soc(R) é um k-espaço vetorial unidimensional. Agora, como R ∼= E(R/m),cada elemento de R é anulado por uma potência de m, em particular, a identidade

de R é anulado por uma potência de m, isto é, m é nilpotente, digamos mt = 0.

Suponhamos Q,Q′ ∈ Spec(R), com Q ⊂ Q′. Novamente, usando o fato de (R,m, k)ser local, devemos ter Q′ ⊂ m. Dáı, dado α ∈ Q segue que αt = 0, donde obtemosα ∈ Q. Logo, Q = Q′ e a dimensão de Krull de R é zero.

Reciprocamente, se a dimensão de krull de R é zero e Soc(R) é um k-espaço unidi-

mensional. Usando a primeira hipotése e o fato de ser R ser Noetheriano, conclúımos

que R é Artiniano. Usando a segunda hipotése temos Soc(R) ∼= k.Do Exemplo 1.2.15 e do isomorfismo Soc(R) ∼= k, temos que k ⊂ R é essencial,

dáı, ER(k) ∼= ER(R). Como R é Artiniano, o Teorema 2.3.1 nos garante que `(R) =`(ER(R)) e portanto R = ER(R) ∼= ER(k).

Nosso próximo objetivo é mostrar que o Teorema 2.3.3 é válido para um anel

completo local. Isso e

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