LIJNVORMIG ONDERSTEUNDE PLATEN EN VLOEREN IN GESCHOORDE CONSTRUCTIES.

IN N RICHTING OVERSPANNEN

VLOER

MEERZIJDIG OPGELEGD

PLAAT

STAR / VEREND ONDERSTEUND.

vrij zwevend

vrij opgelegd

volledig ingeklemd

gedeeltelijk ingeklemd

vrij opgelegd

tweezijdig vrij opgelegde plaat met twee vrij zwevende randen vrij opgelegd

vierzijdig vrij opgelegde plaat

vierzijdig volledig ingeklemde plaat

vierzijdig gedeeltelijk ingeklemde plaat

vrij opgelegd

vrij zwevend

symmetrielijn vrij zwevend

driezijdig vrij opgelegde plaat met n vrij zwevende rand

puntvormig ondersteunde plaat met vrij zwevende randen

puntvormig ondersteunde plaat, met vrij zwevende randen volledig ingeklemd (symmetrielijn)

plaat tweezijdig vrij opgelegd met twee vrij zwevende randen volledig ingeklemd en een puntvormige ondersteuning

UITWERKING REKENVOLGORDE RANDVOORWAARDEN o De vloer kan bij de oplegging al dan niet verdraaien, afhankelijk van de wringstijfheid van de oplegging Vrije oplegging Volledige inklemming Gedeeltelijke inklemming Toevallige inklemming

o De vloer kan bij de oplegging al dan niet doorbuigen, afhankelijk van de buigstijfheid van de oplegging. - De oplegging buigt niet door 'star' ondersteund - De oplegging buigt door 'verend' ondersteund - De lijnvormige oplegging ontbreekt 'puntvormig' ondersteund (valt buiten het kader van dit college)

THEORETISCHE OVERSPANNING

o Voor de theoretische overspanning l bij vloeren geldt: - overspanningen met scharnierende opleggingen: l is de h.o.h. afstand van de scharnieren. - overspanningen met niet scharnierende opleggingen: l is de dagmaat L, aan elke zijde vermeerderd met de helft van de opleglengte. - uitkragingen: l is de lengte buiten de oplegging, vermeerdert met de helft van de opleglengte. - Vloeren die met wanden raamwerken vormen: l is de h.o.h. afstand van de systeemlijnen.

Opleglengte: Vloerplaten: a1 = 40 + 0,004 L Dakplaten: a1 = 30 + 0,004 L

SCHATTEN VAN VLOERDIKTE Voldoen aan: Eis m.b.t. geluidisolatie (massa) Eis m.b.t. doorbuiging (slankheidseis)

umax =- umax = 0,004L - b = 1m1 en d = 1,1d - qrep = 12 kN/m2

5 qrep l 4 384 E'b I

- E'b = 5000 N/mm2 ( = 5106 kN/m2 )

qrep l 4 5 0,004 l = 1 384 E'b 12 (1,1)3l / d = 24

l d=3

0,034 E'b qrep

BEREKENEN VAN BELASTINGEN EN BELASTINGCOMBINATIES - Analoog aan berekeningen voor balken - Belastingen zijn oppervlaktebelastingen in kN/m2, aangeduid met 'p'. Omdat we rekenen met een vloerstrook van 1m1 breed, kunnen we rekenen met een lijnbelasting q in kN/m2 welke gelijk is aan: 1p

BEPALEN VAN DE KRACHTSVERDELING Afhankelijk van de randvoorwaarden: - in n richting lijnvormig ondersteunde vloeren mogen als ligger worden beschouwd ( 'balk' van n meter breed) en kunnen dus ook met de momentcofficintentabel berekend worden.azwevende randx 100 0

b10 00

l l

- Vloeren die in twee richtingen dragen (platen) en / of verend zijn ondersteund, kunnen berekend worden m.b.v. tabellen (VBC en GTB) - Computerprogrammatuur (EEM, etc.)

BEREKENEN VAN DE WAPENING

- Analoog aan berekeningen voor balkengegeven Mu (kN/m), b (m), d (m)

bereken

Mu in kN/m 2 2 bd

zoek tabel voor gekozen sterkteklasse

lees

0 af

bij gekozen staalsoort

bereken As met As =

0 bd

10 4 mm 2

CONTROLEREN VAN DE SCHEURWIJDTE - Analoog aan berekeningen voor balken

CONTROLEREN VAN DE DOORBUIGING - Grafieken en tabellen - Vereenvoudigde methodes (bijv. -methode) - M - - diagram - Computerprogrammatuur (denk aan de E-modulus !!)

CONTROLEER DE DWARSKRACHT - Analoog aan berekeningen voor balken met b = 1000 mm. - Zwaar belaste vloeren kunnen dwarskrachtproblemen geven, zodat 'opgebogen' wapeningsstaven nodig zijn. Probeer dit te vermijden.

DETAILLERINGSREGELS - Raadpleeg VBC en GTB t.b.v. het correct toepassen van wapening etc.

DETAILLERING VLOERWAPENING

betondekking: milieuklasse 1 milieuklasse 2 milieuklasse 3 t.m. 5 nabehandeld oppervlak oncontroleerbaar f 'ck < 25 N/mm2 15 mm 25 mm 30 mm + 5 mm + 5 mm + 5 mm

min.afstand hoofdwapening: 25 mmk3

_ grootste zeefmaat D 4

max. afstand hoofdwapening h.o.h.: 2h bij max. veldmomenten 250 mm steunpuntsmoment toevallig inkl. mom. 4h bij afnemend moment 500 mm

voorzien van een onder- en bovennet _ met een maaswijdte < 250 mm max. afstand verdeelwapening: 4h 500 mm

laagaanduiding: buitenste laag (boven) 2e laag van buiten 2e laag van buiten buitenste laag (onder) minimum k in mm FeB 500staven wapeningsnetten

driehoek wijst naar hart plaat betondekking op hoofdwapening _ _ k < 25mm dekking > k _ k > 25mm dekking > 1,5 k

FeB 500 5 5

hoofdwapening verdeelwapening

6 5

_ h > 250 mm

_ h > 80 mm

VLOEREN DIE IN TWEE RICHTINGEN DRAGEN: PLATEN

a

b

wand

kolom

balk verdikte strook

c

e

kolom

kolom

d

kolomkop

kolomplaat

kolomkop + plaat

WAPENINGSMOMENTEN: - mxx = mxx mxy - myy = myy myx mxx = het buigend moment per lengte in de x-richting myy = het buigend moment per lengte in de y-richting mxy = het wringend moment per lengte (myx = mxy ) In doorsneden waar mxx en myy maximaal zijn (veldmidden en t.p.v. inklemmingen), zijn de wringende momenten mxy gelijk aan 0: - mxx = mxx - myy = myy Bij vrije opleggingen zijn de wringende momenten niet te verwaarlozen.

WAPENINGSSTROKEN Het wapeningsverloop mag geschematiseerd worden tot stroken met constante wapening. Het gemiddelde wapeningsmoment moet in de doorsnede met het maximale moment worden bepaald door de oppervlakte van het wapeningsmomentvlak te delen door de strookbreedte. In de VBC en GTB zijn voor een groot aantal platen de op deze wijze bepaalde wapeningsmomenten gegeven voor randstroken en middenstroken.

VOORWAARDEN VOOR HET GEBRUIK VAN VBC-tabel 18: De kleinste waarde van (f;gG + f;qQm) op een veld mag niet kleiner zijn dan de grootste waarde van 0,6 (f;gG + f;qQe) op een ander veld. De kleinste waarde van (f;gG + f;qQe) op een veld mag niet kleiner zijn dan de grootste waarde van 0,8 (f;gG + f;qQe) op een ander veld. De kleinste overspanning in de beschouwde richting van een liggerveld mag niet kleiner zijn dan 0,8 maal de grootste overspanning in die richting van een ander liggerveld.

PLATEN DIE GEDEELTELIJK ZIJN INGEKLEMD: De maatgevende momenten moeten worden bepaald door superpositie van de momenten in twee gelijkmatig verdeelde platen, waarvan n volledig is ingeklemd en de ander vrij is opgelegd. Volledig ingeklemde plaat: pd Vrij opgelegde plaat: (1-)pd De grootte van moet evenredig zijn met de mate van inklemming.

WAPENINGSVERDELING:

De wapening per lengte mag over de strookbreedte niet variren. De hoeveelheid veldwapening in een randstrook moet tenminste de helft zijn van de hoeveelheid van de naastliggende middenstrook. De hoeveelheid steunpuntswapening in de randstrook moet gelijk zijn aan de hoeveelheid in de naastliggende middenstrook. In de lengterichting moet tenminste de helft van de wapening doorlopen tot voorbij de dag van de oplegging. In de hoeken tussen vrij opgelegde zijden moet aan de boven- en onderzijde, in beide richtingen, een wapening worden aangebracht gelijk aan de grootste veldwapening in een middenstrook. Deze wapening moet tenminste doorlopen tot 0,3 lx vanaf de ondersteuningen. Wapening t.b.v. toevallig inklemmingsmoment: - Voor liggers en platen die als ligger worden beschouwd: 1/3 van het aangrenzende veldmoment. - Voor rechthoekige platen, aan drie of vier zijden ondersteund: 1/2 van het aangrenzende veldmoment.

WAPENINGSVERDELING VBC

alx

blx 0,25 lx randstrook 0,50 lx middenstrook msy 0,25 lx randstrook

_ 0,25 ly (> 0,5 lx)

randstrook

msx

_ > 0,5 m vy

m vy

_ 0,5 ly (< ly - lx)

middenstrook

_ 0,5 m vx > msx

mvx

_ > 0,5 mvx

ly

_ > verankerings lengte randstrook msx _ > 0,5 mvx

_ 0,25 ly (< 0,5 lx)

0,3 lx

mvy

mvx

_ > 0,5 m vy

msx

_ > verankerings lengte m

_ > 0,5 mvy

msy

msy

_ > 0,5 mvx

sy

wringwapening kruisnet onder en boven 0,3 lx

kruisnet onder en boven

_ > 0,5 m vy

wringwapening 0,3 lx

0,3 lx

GEDRAG VAN DE PLAAT BIJ TOENEMENDE BELASTING

a

b

c

d

A

e doorsnede Aqd

lx _l 12

x

ly - lx ly

_l 1

2 x

_l 12

x

_l 1

2 x

Krachtsverdeling in vierzijdig star ondersteunde, vrij opgelegde plaat onder toenemende belasting.

Bij geringe belasting is de plaat ongescheurd en gedraagt zich lineairelastisch. Bij verder belasten: a. Ontstaan van de eerste buigtrekscheuren b. In bepaalde gebieden breiden de scheuren zich steeds verder uit, terwijl andere vlakken ongescheurd blijven. c. In de gescheurde stroken gaat de wapening vloeien. Wordt de belasting nog verder opgevoerd, dan ontstaat er een

aaneengesloten vloeilijnenpatroon. De plaat wordt als het ware in vier delen gedeeld, gescheiden door lijnvormige vloeischarnieren, de zogenaamde vloeilijnen. De plaat kan geen extra belasting meer opnemen en staat op het punt van bezwijken er is een bezwijkmechanisme gevormd.

d. Vereenvoudigen we het vloeipatroon tot rechte lijnen, dan ontstaat een 'enveloppevormig' bezwijkpatroon. e. Bezwijkmechanisme van de middenstrook.

f. aaneengesloten vloeilijnenpatroon. De plaat wordt als het ware in vier delen gedeeld, gescheiden door lijnvormige vloeischarnieren, de zogenaamde vloeilijnen. De plaat kan geen extra belasting meer opnemen en staat op het punt van bezwijken er is een bezwijkmechanisme gevormd.

g. Vereenvoudigen we het vloeipatroon tot rechte lijnen, dan ontstaat een 'enveloppevormig' bezwijkpatroon. h. Bezwijkmechanisme van de middenstrook.

T.p.v. de vloeischarnieren is het moment maximaal. Waar het moment maximaal is, is de dwarskracht nul. de vloeilijnen vormen als het ware de scheidingslijnen die aangeven naar welke ondersteuning de gelijkmatig verdeelde belasting wordt afgedragen.

Belastingafdracht in x-richting: 50%aly

75%bly

83%cly

lx

ly lx = 1

ly lx = 2

ly lx = 3

PLAAT WAARVAN TWEE AANGRENZENDE RANDEN ZIJN INGEKLEMD:

tg tg =1

= 1,67 tg = 0,6

tg

= 1,67 tg = 0,6 tg =1

De belastingvlakken die afdragen naar de ingeklemde randen zijn groter inklemmingen trekken meer belasting naar zich toe. Voor gelijkwaardige randen (beide randen ingeklemd of vrij opgelegd) geldt: - tg = 1 - tg = 1 Zijn de randen in een hoek niet gelijkwaardig, dan geldt: - tg = 0,6 - tg = 1,67 De vloeilijnen geven aan naar welke ondersteuning de belasting wordt afgedragen, zodat de oplegreacties van de plaat op de randen kunnen worden bepaald.

DE KORTE RICHTING IS DE HOOFDDRAAGRICHTING:

umidden

4 5 qx l4 5 qy ly x = = 384 EIx 384 EIy

Als EIx = EIy

qxlx4 = qyly4

qx ly q =l y x

4

Bijbehorende momenten: Mx = 1/8 qxlx2 My = 1/8 qyly2

Mx q x l2 x = 2 My qy l y

qx l y = qy l x

4

l4 l2 l2 Mx y y x = 4 2 = 2 My lx ly l x

WAPENINGSOVERZICHT:

vw hw ll hw vw ll ll vw hw ll vw hwhw vw Asvx Astx Assx = hoofdwapening = verdeelwapening = As veld x-richting = As toevallig inklemmingsmoment x-richting = As steunpunt x-richting1 A 2 3 6-250

6-300

6-250

6-300

10-300

6- 250

10-300 8-300

8-300 6-300 6-300 8-150

8-300 6-300 10-300 8-300

B

vw 6-250

vw 6- 250

vw

SCHEMA WAPENING VOOR VIERZIJDIG STAR ONDERSTEUNDE PLATEN, MONOLIET VERBONDEN MET HUN ONDERSTEUNING.

a0,25 ly _ < 0,5 lxa b

_ > 0,5 Asvx Asvx 0,10 lx2

a

_ > 0,5 Asvx

_ > 0,5 Asvx 0,25 lx1 0,25 lx1

_ > 0,5 Asvx 0,25 lx2 0,25 lx2

A ssy

A ssy

c

d

c

0,25 lx2

0,10 lx3 0,10 lx3 0,10 lx3 A svy 0,50 lx lx3 < lx2 lx3 _ > 0,5 A svy 0,25 lx

0,25 ly _ < 0,5 lx

0,20 lx1 0,25 lx2 Astx veld alsa

0,25 lx2 Assx 0,25 lx2 0,25 lx2 veld als A ssx _ > 0,5 Asvyb

ly2

0,25 lx1 0,25 lx1

Assy

a

b

Assy

a

ly3

0,20 lx1

0,20 lx2

Asty

Asty

0,25 lx lx1 lx2 > lx1 lx2

_ > 0,5 Asvy

0,10 lx1

0,5 ly ly - lx

Asvx

0,10 lx1

0,10 lx2

ly1

Asvy 0,10 lx3

_ > 0,5 A svx

LIJNVORMIG VEREND ONDERSTEUNDE PLATEN

Schematisering:vrij opgelegd symmetrielijn

verend opgelegd

vierzijdig vrij opgelegde, verende ondersteunde plaat

vierzijdig volledig ingeklemde verend ondersteunde plaat

tweezijdig volledig ingeklemde verend ondersteunde plaat met twee vrij opgelegde randen

vrij zwevend (niet ondersteund) vrij opgelegd, star ondersteund volledig ingeklemd, star ondersteund volledig ingeklemd, vrij zwevend (symmetrielijn) vrij opgelegd, verend ondersteund volledig ingeklemd, verend ondersteund puntvormig ondersteund

tweezijdig volledig ingeklemde verend ondersteunde plaat met twee vrij volledig ingeklemde vrij zwevende randen (symmetrielijn)

Mogelijke vloeilijnpatronen in een vierzijdig verend ondersteunde plaat:

a

b

c

d

Invloed van de veerstijfheid op de ondersteuning:ahoofddraagrichting

b

c

hoofddraagrichting

9m

6m

HOE STIJF MOET EEN ONDERSTEUNING ZIJN OM TE KUNNEN SPREKEN VAN EEN STARRE ONDERSTEUNING?? alleen dan kan gebruik gemaakt worden van de tabellen voor star ondersteunde platen. Om de mate van ondersteuning te bepalen is onderzoek verricht aan een groot aantal platen, opgelegd op ondersteuningen met verschillende buigstijfheden. De vloer vormt n geheel met de balk. In het midden van de balk ontstaan drukspanningen boven in de balk, maar ook in de aangrenzende delen van de vloer meewerkende breedte. De balk wordt geschematiseerd als een T- of -balk.EIvy by = 0,5 lx + 0,5 l'x randbalk h0 h bx = 0,5 ly + 0,5 l'y l'y bex b 1 bw b2 h0 h bw

EIvx

EIbx

EIby lx l'x

ly

bex

de mate van ondersteuning wordt dus niet alleen bepaald door uitsluitend de stijfheid van de balk. (rho) is de cofficint die de verhouding aangeeft van de buigstijheid tussen balk en vloer.

=

EI ( b )alk EI ( v )loer

In de x-richting: x In de y-richting: y

Het kwadratisch oppervlaktemoment I wordt: Ib 1/12 beh03 Ib = kwadratisch oppervlaktemoment van T- of -balk, inclusief meewerkende breedte (GTB-tabel 5.4a) h0 = totale hoogte van de flens van de T- of -balk (plaatdikte) be = meewerkende flensbreedte: T-balk: be = bw + b1 + b2 -balk: be = bw + b1 b1 = 0,1L aan de zijde van b1 b2 = 0,1L aan de zijde van b2

Balkstijfheden: - EIbx = Eb(Ibx 1/12 bex h03) - EIby = Eb(Iby 1/12 bey h03)

Veldstijfheden: - EIvx = Eb1/12 bx h03 - EIvy = Eb1/12 by h03 by = lx + lx bx = ly + ly

Voor waarden < < 16 en variabele waarden ly / lx zijn lineair elastische berekeningen uitgevoerd. Conclusie: 8: momentenverdeling komt overeen met die van star ondersteunde platen (volledig ondersteund). 1/8 : momentenverdeling komt overeen met die van puntvormig ondersteunde platen (niet ondersteund).1

/8 < < 8 verend ondersteund.

Indien y 8 en EIbx EIby mag de plaat ook als vierzijdig star ondersteund beschouwd worden (y 8 en x < 8).

STARRE ONDERSTEUNING DOOR WAND OF BALK MET 8:

a

b

c

scharnier

star

vrij opgelegd

volledig ingeklemd

gedeeltelijk ingeklemd

ONDERSTEUNING MET 1/8 GEEN ONDERSTEUNING: Resultaat: vlakke plaatvloer op kolommen

a

b

c

Zwevende rand

volledig ingeklemd

gedeeltelijk ingeklemd

VERENDE ONDERSTEUNING MET 1/8 < < 8:

a

b

c

scharnier

veer

vrij opgelegd

volledig ingeklemd

gedeeltelijk ingeklemd

Indien gebruik gemaakt wordt van GTB-tabellen 8.27 t/m 8.38 moet genterpoleerd worden. Het is duidelijk dat in de constructie een zekere herverdeling zal plaatsvinden: beperk de herverdeling tot 5 10% wapen de velden nooit te zuinig

DOORBUIGING VAN VLOEREN VORMEN VAN DOORBUIGING: utot = de totale doorbuiging. = uel + ukr uel ukr = de onmiddellijke, dus tijdsonafhankelijk optredend doorbuiging t.g.v. de veranderlijke belasting. = de tijdsafhankelijke doorbuig t.g.v. kruip. (toenemende vervorming bij gelijkblijvende belasting)

ubij

= de bijkomende doorbuiging. = utot uon

uon = de onmiddellijk, dus tijdsonafhankelijk optredende doorbuiging tengevolge van de permanente belasting.

ueind = de doorbuiging in de eindtoestand. = utot uze uze = zeeg ( bewust gemaakte opwaartse ronding in de constructie t.b.v. compensatie van de doorbuiging).

IN REKENING TE BRENGEN BELASTINGEN:

0,6Qm

60% van de momentane veranderlijke belasting wordt geacht permanent aanwezig te zijn.

EISEN M.B.T. DE DOORBUIGING:

BEREKENEN VAN DE DOORBUIGING

ALGEMENE METHODE (M - - DIAGRAM) METHODE MET DE EQUIVALENTE BUIGSTIJFHEID (EI)REP. COMPUTER (E.E.M)

a. ALGEMENE METHODE:

Mrep = moment t.g.v. de representatieve waarde van de belasting prep. tot = el + kr el kr = de kromming die bepaald wordt door het snijpunt van Mrep in het M--diagram voor kortdurende belasting. = de kromming die bepaald wordt door de afstand tussen het snijpunt van Mmom in de M--diagrammen voor kortdurende en langdurende belasting. = moment t.g.v. de representatieve waarde van de permanente belasting pg.

Mg

on = de kromming die bepaald wordt door het snijpunt van Mg met het M--diagram voor kortdurende belasting.

EI0 en EI bepalen uit M - - diagram voor de bruikbaarheidsgrenstoestand.

Randvoorwaarden bepalen (vrij opgelegd, inklemming, etc.).

doorbuiging uitrekenen: bijv. tweezijdig vrij opgelegde plaat met q-belasting:

4 5 qrep l u tot = 384 EI 4 5 qg l uon = 384 EI0

2 5 Mrep l = = 48 EI 2 5 Mg l = 48 EI0

5 48

tot l 2

=

5 48

on l2

Voor vloeren die over meerdere steunpunten doorlopen moeten we rekening houden met EI-waarden in het veld en boven het steunpunt.

CUR-rapport 115:

u=k

1 5k ( st + v ) l2 48 1 + k= de verhouding tussen het gemiddelde linker en rechter steunpuntsmoment en het veldmoment:1 k=2

Mst links + Mst rechts Mv

st v l

= het gemiddelde van de steunpuntskrommingen: (st l + st r) = de kromming in het veld. = de theoretische overspanning.

Bijvoorbeeld: tweezijdig volledig ingeklemde vloer:

Mst l = Mst r = 1/12 ql2 Mveld = 1/24 ql2 k=2

u=

1 52 ( st + v ) l2 48 1 + 2

1 48

( st + v ) l2

Voor vierzijdig lijnvormig ondersteunde platen die berekend mogen worden met de VBC- en GTB-tabellen kan de doorbuigingsformule ook worden ontleend aan deze tabellen:

b. METHODE MET DE EQUIVALENTE BUIGSTIJFHEID

Gebruik maken van een representatieve waarde van de buigstijheid: (EI)rep (EI)rep = EbI - Eb = de elasticiteitsmodulus volgens VBC-tabel - I = kwadratisch oppervlaktemoment van de ongescheurd en ongewapend gedachte doorsnede. 1 /12 bh3 rechthoekige doorsnede = reductiefactor waarin de invloed van het al dan niet gescheurd zijn, de invloed van de korte- en langeduurbelasting en de invloed van de wapening is verwerkt.

-

VBC-tabel 35:

Factoren 1 t/m 4 voor FeB500:

REKENVOORBEELD

Voorbeeld 22: