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TORINO MAGGIO 2011

COMPENDIO

DI

TRIGONOMETRIA di Bart VEGLIA

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FUNZIONI GONIOMETRICHE

§ 1 Premessa La trigonometria ha lo scopo, come dice il nome, (dal greco, trigonon = triangolo e metron = misura) di risolvere per via algebrica i triangoli, ricavandone gli elementi incogniti, conoscendo la misura di tre elementi, tra cui almeno un lato. ( Infatti due triangoli possono avere i tre angoli uguali ma i lati molto diversi ). Poiché angoli e lati di un triangolo non sono grandezze omogenee, cioè non possono essere misurate con la stessa unità di misura, gli angoli vengono sostituiti con dei segmenti orientati, le cui misure sono funzioni degli angoli. Per questi segmenti si può quindi usare la stessa unità di misura impiegata per i lati. Queste grandezze sono dette funzioni trigonometriche Innanzitutto vengono definite queste funzioni e successivamente si determinano le formule che legano le misure dei lati di un triangolo alle suddette funzioni e che permettono la risoluzione del triangolo. § 2 Angoli Un angolo è formato da due semirette,dette lati, A uscenti da un punto comune, detto vertice. Il piano su cui giacciono le due semirette è quindi O B diviso in due angoli che, sommati, costituiscono l’angolo giro. Dei due angoli, quello che non contiene i prolungamenti dei lati è detto convesso, mentre quello che contiene i prolungamenti dei lati è detto concavo. Si chiama arco di circonferenza la parte di circonferenza compresa tra due lati che formano il corrispondente angolo al centro. Pertanto una circonferenza è divisa dai lati di un angolo in due archi: AB e BA. Gli angoli, o gli archi corrispondenti, possono essere misurati in gradi, normalmente sessagesimali. Un grado corrisponde alla 360ma parte dell’angolo giro, ed è suddiviso in 60 primi, ognuno dei quali è, a sua volta, suddiviso in 60 secondi. Un’altra unità di misura degli angoli è il radiante, che A è l’angolo al centro cui corrisponde (si dice: che sottende) un arco di circonferenza, di lunghezza B B uguale al raggio della circonferenza stessa. In figura l’angolo α è un radiante perché l’arco AB è uguale al raggio r. Poiché la lunghezza della circonferenza di raggio r è 2 π r, indicando con α la misura, in gradi sessagesimali, di 1 radiante, si può scrivere la proporzione 360° : 2 π = α : r dalla quale si ricava che 1 radiante vale 57° 17’ 44” , 8…. L’angolo giro misura 2 π radianti; l’angolo piatto (che è la metà dell’angolo giro) vale π radianti; l’angolo retto misura π / 2 radianti; la metà dell’angolo retto, corrispondente a 45°, misura π / 4 radianti, e così via.

r α

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§ 3 Funzioni goniometriche (fondamentali) B c β Con riferimento alla figura a lato,vengono definite, nei § a seguenti, le funzioni goniometriche. α A b C § 3 . 1 Seno Si definisce seno dell’angolo α (sen α) il rapporto tra il cateto opposto all’angolo e l’ipotenusa sen α = BC / AB = a / c (1) § 3 . 2 Coseno Si definisce coseno dell’angolo α (cos α) il rapporto tra il cateto opposto all’angolo e l’ipotenusa cos α = AC / AB = b / c (2) § 3 . 3 Tangente Si definisce tangente dell’angolo α (tg α) il rapporto tra il cateto opposto ed il cateto adiacente, che è uguale al rapporto tra seno e coseno tg α = BC / AC = a / b = sen α / cos α (3) § 3 . 4 Cotangente Si definisce cotangente dell’angolo α (cotg α) il reciproco della tangente cotg α = AC / BC = cos α / sen α = b / a (4) § 3 . 5 Secante Si definisce secante dell’angolo α (sec α) il reciproco del coseno sec α = 1 / cos α (5) § 3 . 6 Cosecante Si definisce cosecante dell’angolo α (cosec α) il reciproco del seno cosec α = 1 / sen α (6) ************************ Tutte le funzioni sopra definite sono, come si vede, dei numeri reali relativi che dipendono esclusivamente dall’ampiezza dell’angolo considerato. § 4 Circonferenza goniometrica F G Se si considera una circonferenza con raggio unitario D (r = 1), detta circonferenza goniometrica, i rapporti del B seno e coseno, prima definiti, si semplificano, essendo r = 1 l’ipotenusa del triangolo BOC = 1, e si ha quindi, O semplicemente C E H

sen α = BC cos α = OC (7)

α

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Poiché nella figura OE, OB, GH sono = 1 e OH = FG, la tangente e la cotangente diventano tg α = BC / OC = DE / OE = DE cotg α = OC / BC = OH / GH = FG (8) In tal modo tutte le quattro funzioni trigonometriche fondamentali si sono trasformate in segmenti e pertanto possono essere misurate con la stessa unità di misura usata per i lati del triangolo. Ovviamente le suddette semplificazioni valgono soltanto nella circonferenza goniometrica che ha il raggio unitario. Nei triangoli rettangoli con l’ipotenusa diversa dall’unità occorre applicare le formule da (1) a (4) e non le (7) e le (8).. Sempre facendo riferimento alla circonferenza goniometrica, per il teorema di Pitagora dalle (7) si ricava __ BC2 + OC2 = 1 da cui sen2 α + cos2 α = 1 (9) che è una relazione fondamentale da cui si ricavano _________ _________ sen α = ± √ 1 – cos2 α e cos α = ± √ 1 – sen2 α (10) Dalla (3) si può ricavare la tg α in funzione del seno o del coseno sen α ±√ 1 – cos2 α tg α = o tg α = (11) ±√ 1 – sen2 α cos α Se è nota la tg α si possono esprimere le funzioni seno e coseno con la tg α Basta dividere la (9) per cos2 α sen2 α 1 + 1 = cos2 α cos2 α da cui si ricava 1 cos α = (12) ±√ 1 + tg2 α e sostituendo la (12) nella (3) si ottiene tg α sen α = (13) ±√ 1 + tg2 α § 5 Funzioni goniometriche inverse Sono funzioni goniometriche inverse: l’arcoseno , l’ arcocoseno e l’ arcotangente cioè gli archi (angoli) che hanno il valore della funzione goniometrica data

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Se sen α = a è arcsen a = α Ad es. sen 30° = 1/2 arcsen 1/2_ = 30° cos β = b è arccos b = β “ “ cos 45° = √ 2 /2 arccos √2/2 = 45° tg γ = c è arctg c = γ “ “ tg 45° = 1 arctg 1 = 45° Ovviamente si deduce che sen arcsen a = a e cos arccos b = b Invece, se è sen δ = d e cos δ = e da cui arcsen d = δ e arccos e = δ si deduce che sen arccos e = sen δ = d e cos arcsen d = cos δ = e § 6 Alcuni valori notevoli di seno e coseno Si può immediatamente verificare che sen 0° = sen 0 = 0 cos 0° = cos 0 = 1 sen 90° = sen ππππ/2 = 1 cos 90° = cos ππππ/2 = 0 sen 180° = sen ππππ = 0 cos 180° = cos ππππ = -1 sen 270° = sen 3 ππππ/2 = -1 cos 270° = cos 3 ππππ/2 = 0 sen 360° = sen 2 ππππ = 0 cos 360° = cos 2 ππππ = 1 Va notato che l’intervallo di variazione, sia per i l seno che per il coseno, è (-1 ; +1) § 7 Diagrammi delle funzioni trigonometriche Riportando i valori del precedente § su un piano cartesiano, si ottengono due diagrammi periodici,. con periodo 2 π, detti sinusoide, quello del seno e cosinusoide quello del coseno 1° Q 2° Q 3° Q 4° Q 1 cosinusoide 0 π /2 π 3 π / 2 2 π sinusoide -1 Il piano cartesiano su cui giace la circonferenza 2° Q 1° Q trigonometrica è suddiviso in quattro quadranti sen > 0 sen > 0

che compaiono anche nel diagramma delle cos < 0 cos > 0 sinusoidi.. Come si osserva nelle curve, il seno è > 0 nel 1° e 2° quadrante, < 0 negli altri due.. 3° Q 4° Q Il coseno è > 0 nel 1° e 4° quadrante, < 0 sen < 0 sen < 0 negli altri due. (importantissimo) cos < 0 cos > 0

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+∞∞∞∞ +∞∞∞∞ Il diagramma della tangente, anch’esso periodico, 1° Q 2° Q 3° Q 4° Q ma con periodo π, è rappresentato a fianco. Da esso risulta che la curva che rappresenta la tangente è sempre crescente. La tangente è positiva nel 1° e nel 3° quadrante, negativa negli altri due. 0 π/2 π 3 π/2 2π In corrispondenza di π/2 e di 3 π/2 la curva va all’infinito. Non esiste quindi la tg π/2 e la tg 3 π/2 § 8 Formulario per il triangolo rettangolo (importante) -∞ -∞ § 8 . 1 Valori delle funzioni trigonometriche di archi speciali

Archi Funzioni αααα° αααα Sen αααα Cos αααα Tang αααα Cotg αααα

0 0 0 1 0 Lim = ∞

9 ππππ/20

√3+√5 - √5 - √5

4

√3+√5 + √5 -√5 4

4-√10+2√5

√5 - 1

√5 - 1

4-√10+2√5

15 ππππ/12 (1/4) (√6 - √2 )

(1/4) (√6 + √2 )

2 - √3

2 + √3

18 ππππ/10

(1/4) (√5 – 1) (1/4) √10+2√5

(1/5) √25 - 10√5

√5 + 2√5

30 ππππ/6 1/2

√3 / 2

√3 / 3

√3

36 ππππ/5

(1/4)√10- 2√5

(1/4) (√5 + 1)

√5 - 2√5

(1/5)√25+10√5

45 ππππ/4

√2 / 2

√2 / 2 1 1

54 (3/10)ππππ (1/4) (√5 + 1) (1/4)√10- 2√5

(1/5)√25+10√5

√5 - 2√5

60 ππππ/3

√3 / 2 1/2

√3

√3 / 3

72 (2/5)ππππ (1/4) √10+2√5

(1/4) (√5 – 1)

√5 + 2√5

(1/5) √25 - 10√5

75 (5/12)ππππ

(1/4) (√6 + √2 ) (1/4) (√6 - √2 )

2 + √3

2 - √3

90 ππππ/2 1 0 Lim =∞ 0

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8 . 2 Funzioni goniometriche espresse mediante un a funzione nota (14) Funzione nota sen α cos α tg α_____ ________ sen α sen α sen α ±√ 1 - sen2 α −

±√ 1 - sen2 α _________ ________ ±√ 1 – cos2 α cos α ±√ I – cos2 α cos α cos α tg α 1 tg α tg α ±√ 1 + tg2 α ±√ 1 + tg2 α § 8 . 3 Funzioni goniometriche di angoli maggio ri dell’angolo giro Un angolo qualsiasi (β), maggiore dell’angolo giro (2π), può essere considerato come una somma di k angoli giro + un angolo α, cioè β° = α° + k 360° ovvero β = α + 2 k π Ad es. un angolo di 810° è uguale a 90° + 2 • 360° ossia π/2 + 2 (2 π) Se ne deduce che sen ( α + 2 k π ) = sen α cos ( α + 2 k π ) = cos α (15) e così via. § 8 . 4 Formule goniometriche di due angoli com plementari ( αααα e ππππ/2 - αααα ) Tenendo presente la circonferenza goniometrica si ottengono le formule seguenti sen ( π/2 - α ) = cos α cos ( π/2 - α ) = sen α tg ( π/2 - α ) = cotg α (16) § 8 . 5 Formule goniometriche di due angoli sup plementari ( αααα e ππππ - αααα ) sen ( π - α ) = sen α cos ( π - α ) = - cos α tg ( π - α ) = - tg α (17) § 8 . 6 Formule goniometriche di due angoli che differiscono di un angolo retto ( αααα e ππππ/2 + αααα ) sen ( π/2 + α ) = cos α cos ( π/2 + α ) = - sen α tg ( π/2 + α ) = - tg α (18) § 8 . 7 Formule goniometriche di due angoli che differiscono di un angolo piatto ( αααα e ππππ + αααα) sen ( π + α ) = - sen α cos ( π + α ) = - cos α tg ( π + α ) = tg α (19)

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§ 8 . 8 Formule goniometriche di due angoli opp osti ( αααα e - αααα ) sen ( - α ) = - sen α cos ( - α ) = cos α tg ( - α ) = - tg α (20) § 8 . 9 Formule per l’addizione degli angoli ( αααα + ββββ ) sen ( α + β ) = sen α cos β + cos α sen β cos ( α + β ) = cos α cos β - sen α sen β (21) tg α + tg β tg ( α + β ) = 1 - tg α • tg β § 8 . 10 Formule per la sottrazione degli angoli ( αααα - ββββ ) sen ( α - β ) = sen α cos β - cos α sen β

cos ( α - β ) = cos α cos β + sen α sen β (22) tg α - tg β tg ( α - β ) = 1 + tg α • tg β § 8 . 11 Formule per la duplicazione degli angol i ( 2 αααα ) Ponendo α = β nelle (21) si ottiene sen 2 α = 2 sen α cos α cos 2 α = cos2 α - sen2 α = 2 cos2 α - 1 = 1 - 2 sen2 α (23) 2 tg α tg 2 α = 1 - tg2 α Sostituendo ad α l’angolo α/2 le formule precedenti diventano sen α = 2 sen α/2 cos α/2 cos α = cos2 α/2 - sen2 α/2 = 2 cos2 α/2 - 1 = 1 - 2 sen2 α/2

(24) 2 tg α/2 tg α = 1 - tg2 α/2

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§ 8 . 12 Formule per la bisezione degli angoli Dalle formule di cos α delle (24) si ricavano le formule seguenti _________ / 1 - cos α sen α/2 = ± √ 2 _________ / 1 + cos α cos α/2 = ± √ 2 (25) __________ / 1 - cos α tg α/2 = ± √ 1 + cos α § 8 . 13 Formule per esprimere seno e coseno di un angolo αααα mediante tg αααα/2 2 tg α/2 1 - tg2 α/2 sen α = cos α = (26) 1 + tg2 α/2 1 + tg2 α/2 § 8 . 14 Formule, dette “di prostaferesi”, per l a trasformazione di somme di funzioni goniometriche in prodotti, Sostituendo, nelle (21) e (22), p = α + β e q = α - β si ricavano le formule seguenti sen p + sen q = 2 sen ½ (p + q) cos ½ (p – q) sen p - sen q = 2 cos ½ (p + q) sen ½ (p – q ) cos p + cos q = 2 cos ½ (p + q) cos ½ (p – q) cos p - cos q = - 2 sen ½ (p + q) sen ½ (p - q) (27) sen ( p ± q ) tg p ± tg q = cos p cos q sen ( q ± p) cot p ± cot q = ---------------- sen p sen q Dalle prime due delle (27) si ricava sen p + sen q tg ½ (p + q) = (28) sen p - sen q tg ½ (p –q)

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§ 8 . 15 Formule di Werner Sommando membro a membro le formule relative al seno delle (21) e (22) si ottiene sen ( α + β ) + sen ( α - β ) = 2 sen α cos β sen ( α + β ) - sen ( α - β ) = 2 cos α sen β Analogamente dalle formule relative al coseno delle (21) e (22) si ottiene cos ( α + β ) + cos ( α - β ) = 2 cos α cos β cos ( α + β ) - cos ( α - β ) = -2 sen α sen β Dalle suddette formule si ricavano le formule di Werner sen α cos β = ½ [ sen ( α + β ) + sen ( α – β )] cos α sen β = ½ [ sen ( α + β ) – sen ( α – β )] (29) sen α sen β = ½ [ cos ( α – β ) – cos ( α + β )] cos α cos β = ½ [ cos ( α – β ) + cos ( α + β )]

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TRIGONOMETRIA PIANA § 9 Premessa La trigonometria piana studia le relazioni fra gli elementi di un triangolo, basandosi sulla teoria delle funzioni goniometriche. Si esaminano prima i triangoli rettangoli e in seguito i triangoli qualunque. § 10 Relazioni tra gli elementi di un triangolo rettangolo B c β Per studiare le relazioni tra gli elementi di un triangolo a rettangolo si fa riferimento alla figura a lato α C A b Dalle (1), (2), (3) si ricavano le formule seguenti a = c sen α b = c cos α a = b tg α (30) Se β è l’angolo complementare di α (cioè β = 90 - α ) si ha a = c cos β b = c sen β b = a tg β (31) § 11 Risoluzione dei triangoli rettangoli Nei § seguenti sono riportate le formule che servono per calcolare gli elementi incogniti di un triangolo, quando sono noti alcuni elementi. Si fa riferimento alla figura del § 10 § 11 . 1 Calcolare i due angoli αααα e ββββ e l’ipotenusa c, dati i due cateti a e b Dalla terza delle (30) si ricava tg α = a / b da cui si ottiene α. E’ poi β = π/2 - α ______ L’ipotenusa si calcola mediante il teorema di Pitagora c = √ a2 + b2 § 11. 2 Calcolare il cateto b e gli angoli αααα e ββββ, dati l’ipotenusa c e il cateto a Essendo per la prima delle (7) sen α = a / c si ricava immediatamente α e quindi β = π/2 - α ______ Con il teorema di Pitagora si ricava b = √ c2 - a2

§ 11 . 3 Calcolare l’ipotenusa c, un cateto b e l’angolo ad esso opposto ββββ, dati l’altro cateto a e l’angolo (ac uto) αααα Si ha subito β = π/2 - α Dalla prima delle (30) a = c sen α si ricava l’ipotenusa c = a / sen α Il cateto b si calcola dalla terza delle (30) b = a tg α

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α

§ 11. 4 Calcolare i due cateti a e b e un a ngolo αααα, dati l’ipotenusa c e l’altro angolo (acuto) ββββ E’ α = π/2 - β I due cateti si ricavano dalle (30) Ad es, a = c sen α e b = c cos α § 12 Relazioni tra gli elementi di un triangolo qualsiasi § 12 . 1 Raggio della circonferenza circoscritta ad un triangolo Sia dato il triangolo ABC inscritto in una circonferenza di raggio R, di cui BD è il diametro. Gli angoli BAC e BDC, che sottendono lo stesso arco c A BC, sono uguali (α). B α Il triangolo BCD è rettangolo perché inscritto in una R b semicirconferenza. Vale quindi la relazione O a = BD sen α = 2 R sen α a α a D da cui R = (32) 2 sen α § 12 . 2 Teorema dei seni ( importantissimo) Poiché il ragionamento del § precedente si può ripetere per tutti gli angoli del triangolo ABC, si può scrivere a b c 2 R = = = (33) sen α sen β sen γ § 12 . 3 Teorema di Nepero Dalle (33) si ricava a : b = sen α : sen β Per una nota proprietà delle proporzioni si può scrivere a + b sen α + sen β tg ½ ( α + β ) = = per la (28) = (34) a – b sen α - sen β tg ½ ( α - β ) § 12 . 4 Teorema delle proiezioni (importantissimo) C Considerando la figura a lato si può scrivere b a c = b cos α + a cos β (35) α β che significa che: A c B ogni lato di un triangolo è la somma delle proiezioni degli altri due lati su di esso

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§ 12 . 5 Teorema di Carnot (importantissimo) A In un triangolo ABC, di cui sono noti due lati b e c α c e l’angolo compreso α, si può ricavare il terzo lato a b β con la formula γ B

a2 = b2 + c2 – 2 b c cos α (36) a C § 12 . 6 Formule di Briggs Dato un triangolo , come quello del § precedente, ricavando cos α dalla (36) e sostituendolo nella prima delle (25) si ricava ( a + b – c ) ( a – b + c ) sen α/2 = √ 4 b c (37) Poiché a + b + c = 2 p è il perimetro del triangolo, risulta a + b – c = 2 ( p – c ) e a – b + c = 2 ( p – b ) (38) Sostituendo le (38) nella (37) si ottiene ( p – b ) ( p – c ) sen α/2 = √ b c In modo analogo si ricava (39) p ( p – a ) ( p – b ) ( p – c ) cos α/2 = √ b c e tg α/2 = √ p ( p – a ) § 12 . 7 Seno di un angolo di un triangolo in fu nzione dei tre lati Dalla prima delle (24) e dalla prima e seconda delle (39) si ricava ____________________ sen α = 2 √ p ( p – a ) ( p – b ) ( p – c ) (40) b c in cui α è l’angolo compreso tra b e c. § 12 . 8 Area di un triangolo e di un parallelo gramma, dati due lati e l’angolo compreso (importante) L’area del triangolo della figura è S = c h / 2. b h

Essendo h = b sen α si ha α

S = ½ b c sen α (41) c L’area di un triangolo è uguale al semiprodotto di due lati per il seno dell’angolo compreso b Da quanto sopra si deduce L’area di un parallelogramma è uguale al prodotto α dei due lati per il seno dell’angolo compreso. c

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§ 12 . 9 Formula di Erone per calcolare l’area di un triangolo di cui sono noti i lati Dalla (40) e dalla (41) si ottiene S = √ p ( p – a ) ( p – b ) ( p – c ) (42) che è la formula di Erone Un’altra formula per il calcolo dell’area di un triangolo di cui sono noti i lati è la seguente a + b 2 c 2 c 2 a – b 2

S = √ 2 2 2 2 § 12 . 10 Raggio della circonferenza circoscritt a ad un triangolo di cui sono noti i lati Dalla (37) e dalla (42) si ricava sen α = 2 S / b c Dividendo ambo i membri per a si ha sen α / a = 2 S / a b c a b c Dalla (32) si ricava R = (43) 4 S Il raggio del cerchio circoscritto ad un triangolo di cui sono noti i lati si ottiene dividendo il

prodotto dei lati per quattro volte l’area del triangolo stesso (da ricavare con la (38) )

R si può anche calcolare con la (32) § 12 . 11 Raggio della circonferenza inscritta i n un triangolo, di cui sono noti i lati I triangoli AOB, BOC, e COA hanno per base i lati del triangolo e per altezza il raggio R della circonferenza inscritta nel triangolo stesso. A L’area S del triangolo è quindi ( a + b + c ) R S = = p R c 2 b O da cui R = S / p (44) R B a C § 13 Risoluzione di un triangolo qualunque Nei paragrafi che seguono si fa riferimento alla figura del § 11 . 5 § 13 . 1 Calcolare i tre angoli di un triangolo, dati i tre lati Si applicano le formule (39)

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§ 13 . 2 Calcolare un lato c e gli angoli adia centi αααα e ββββ di un triangolo, dati gli altri due lati a e b e l’angolo compreso γγγγ sen γ Il lato c si può calcolare con le (33) c = a sen α Per calcolare I due angoli si devono fare alcune considerazioni Poiché α + β + γ = π e quindi α + β = π - γ, dividendo entrambi i membri della uguaglianza per 2, si ottiene ½ ( α + β ) = π/2 - γ/2 Poiché, in base alla terza delle (13) è tg (π/2 - γ/2 ) = cotg γ/2, si ha tg ½ ( α + β ) = cotg γ/2 a - b Dalle (34) si ricava tg ½ ( α -β ) = cotg γ/2 a + b da cui si ottiene il valore di ( α - β ) = m Si tratta quindi di risolvere il sistema α + β = π - γ α - β = m per ricavare α e β § 13 . 3 Calcolare due lati b e c di un tria ngolo e l’angolo compreso αααα, dati il terzo lato a e gli altri due ang oli ββββ e γγγγ L’angolo è α = π - ( β + γ ) a sen β a sen γ I due lati si ricavano dalle (33) b = e c = sen α sen α § 13 . 4 Calcolare un lato c di un triangolo e due angoli ββββ e γγγγ ( di cui uno opposto a c ), dati gli altri due lati a e b e l’angolo αααα ( opposto ad a ) Il problema si risolve con le formule b sen α sen β = ( ricavata dalle (33) ) da cui si ottiene β a γ = π - ( α + β ) a sen γ c = ricavata dalle (33) sen α § 14 Altezze, bisettrici e mediane di un triango lo in funzione dei lati § 14 . 1 Altezze Se h è l’altezza, relativa al lato c, di un triangolo la cui area è quindi S = ½ c h, dalla (42) si ricava ___________________ h = 2 S / c = (2/c) √ p (p – a) (p – b) (p – c) (45) dove a, b, c sono i lati e p il semiperimetro. A

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§ 14 . 2 Bisettrici A La bisettrice dell’angolo α divide il triangolo ABC in c α/2 α/2 b due triangoli BAP e PAC le cui aree per la (41) sono d uguali a ½ c d sen (α/2) e ½ b d sen (α/2) B P a C L’area del triangolo ABC è quindi uguale a ½ d (c + b) sen α Dalla (42) e dalle (39) si ricava la bisettrice 2 d = √ b c p ( p – a ) b + c in cui a, b, c e p hanno il significato detto al § precedente § 14 . 3 Mediane La mediana m relativa al lato a, divide il triangolo ABC. A In due triangoli BAM e MAC. Applicando il teorema di Carnot ( formula 36 ) ai lati b e c dei due triangoli e sommando membro a membro c m b le due espressioni risultanti, si ricava π-δ δ B M a C b2 + c2 = 2 m2 + 1/2 a2 da cui m = 1/2 √ 2 (b2 + c2 ) - a2

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APPLICAZIONI DELLA TRIGONOMETRIA

§ 15 Calcolo di distanze ed altezze Nei § seguenti si considerano alcuni problemi pratici che si presentano in topografia, astronomia, navigazione, artiglieria, ecc che possono essere risolti mediante le formule della trigonometria, misurando direttamente alcuni dati, come le distanze (segmenti) con il metro, o gli angoli su un piano orizzontale o su uno verticale, con il teodolite. § 15 . 1 Distanza tra due punti accessibili, ma non visibili l’uno dall’altro I punti A e B non sono visibili e non sono accessibili C tra di loro ( a causa di un ostacolo, come una collina o un edificio ), ma sono visibili e accessibili dal punto C γ Per risolvere il problema della misurazione della b a distanza AB = c, si misurano le distanze a e b e l’angolo γ compreso tra a e b A questo punto si applica il teorema di Carnot A c B ( v § 12 . 5) § 15 . 2 Distanza tra due punti visibili tra di loro ma non accessibili A e B sono due punti visibili tra di loro, ma non B accessibili (ad es.per la presenza di un fiume o di una trincea nemica) c a Per misurare la distanza AB = c si deve scegliere un punto C accessibile da A , misurare la distanza AC = b e gli angoli α e γ formati dalla retta AC con le rette AB e BC α γ Il problema è simile a quello del § 13 . 3 A b C § 15 .3 Distanza tra due punti entrambi inaccess ibili, ma visibili da altri due punti visibili tra loro c B A e B sono due punti non accessibili, ( per la presenza A ad es. di un corso d’acqua) ma visibili da altri due punti C e D. Per misurare la distanza AB = c si misura la distanza a b

CD = d e gli angoli γ , δ, γ’ δ’ Utilizzando d, δ e γ’ si ricavano AD = a e AC δ ’ ( v § 13 . 3) δ’ γ -γ’ Analogamente utilizzando d, δ’ e γ si ricavano BC = b D γ’ γ e BD. Applicando il teorema di Carnot ad es.al triangolo d

ACB, di cui si conoscono i lati AC e BC e l’angolo γ - γ ‘, C si ricava la distanza AB cercata

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§ 15 . 4 Altezza di una torre, visibile ed acces sibile L’altezza AB di una torre accessibile e visibile si misura scegliendo un punto C, allo stesso livello di A, e misurando la distanza AC = b e l’angolo ACB = α E’ semplicemente AB = c = b tg α Se C è situato più in alto o più in basso di A bisogna scomporre il problema in due e risolverli separatamente Nel primo caso (Fig 15. 4. 1) è c = c1 + c2 Nel secondo caso (Fig.15. 4. 2) è c = c2 - c1 B B B c1 Fig. 15 . 4 . 2 c α1 c C α2 c c2

α c2

Fig 15 . 4 . 1 b A A α A c1

β C § 15 . 5 Altezza di una torre, visibile ma non a ccessibile Per misurare l’altezza AB = c si scelgono due punti C e D al livello di A, e si misura la distanza CD = d B Poi si misurano gli angoli α e β da cui si ricava l’angolo γ = β - α. Conoscendo d, α e γ, per il teorema dei γ seni ( v § 12 . 2 ) si ha c

d sen α BD = sen γ α β C D A Inoltre per la prima delle (30) è d c = AB = BD sen β Se il segmento CD è situato più in alto o più in basso del punto A il problema si scompone in due e va risolto in modo analogo a quello descritto al § precedente.

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EQUAZIONI TRIGONOMETRICHE § 16 Premessa Si definisce equazione trigonometrica una uguaglianza tra due espressioni, contenenti delle funzioni trigonometriche, soddisfatta da certi valori dell’argomento x ( se esistono ), detti soluzioni dell’equazione. Per risolvere una equazione trigonometrica, contenente più funzioni trigonometriche di x, di tipo diverso, occorre trasformare l’equazione data in una equivalente, contenente un solo tipo di funzione. Per esempio l’equazione a sen x + b cos x + c tg x + d = 0 _________ c sen x si trasforma, con le formule (14), in a sen x + b √ 1 – sen2 x + + d = 0 √ 1 – sen2 x In questo modo l’equazione data assume la forma di una equazione nella variabile ausiliaria t = sen x, e la si risolve come una qualsiasi equazione. § 17 Equazioni trigonometriche di 2° grado, om ogenee, in sen x e cos x, con termine noto uguale a zero Tali equazioni sono del tipo a sen2 x + b sen x cos x + c cos2 x = 0 Supponendo a ≠ 0 e cos x ≠ 0 e dividendo per cos2 x, si ottiene a tg2 x + b tg x + c = 0 che si risolve come una equazione algebrica nell’incognita z = tg x § 18 Equazioni trigonometriche di 2° grado in sen x e cos x, con termine noto

diverso da zero Sono del tipo a sen2 x + b sen x cos x + c cos2 x = d Esse si riducono alla forma del § precedente moltiplicando il termine noto per sen2 x + cos2 x = 1 ottenendo così l’equazione ( a – d ) sen2 x + b sen x cos x + ( c – d ) cos2 x = 0 § 19 Equazioni di 1° grado in sen x e cos x Sono del tipo a sen x + b cos x = c Equazioni di tale tipo si potrebbero risolvere, come detto precedentemente, sostituendo ad es. a cos x l’espressione √ 1 - sen2 x , ma questo metodo comporta una elevazione al quadrato per eliminare la radice e si potrebbero in tal modo introdurre delle soluzioni estranee che non soddisfano l’equazione data; da cui la necessità di una verifica. Per evitare tale inconveniente si costruisce un sistema formato dall’equazione data e dall’identità sen2 x + cos2 x = 1 Questo sistema si risolve senza ricorrere alla elevazione al quadrato. ( v § 20 )

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Perché l’equazione data abbia soluzione occorre però che sia verificata la disuguaglianza c2 ≤ a2 + b2 § 20 Metodo grafico per la risoluzione di equazi oni del tipo di § 17 Le equazioni del tipo di § 16 si possono risolvere graficamente ponendo cos x = X sen x = Y b X + a Y - c = 0 Il sistema del § precedente diventa così X2 + Y2 = 1 La prima equazione rappresenta una retta; la seconda una circonferenza di raggio unitario Le intersezioni, se esistono, tra i due luoghi geometrici, rappresentati su un piano cartesiano, sono le soluzioni dell’equazione data. § 21 Sistemi di equazioni trigonometriche § 21 . 1 Sistemi normali Sono sistemi in cui almeno una delle equazioni è trigonometrica, comprendente funzioni di argomento x ed y. Essi sono risolvibili con le regole dell’algebra (sostituzione, confronto, ecc.) e / o con la sostituzione di alcune funzioni in modo da ottenere un’unica equazione trigonometrica con un unico tipo di funzione, avente argomento x o y. __ Es. 3 sen x = √ 3 sen y tg x tg y = 1 __ ________ __________ sen y = √ 3 sen x ⇒ cos y = √ 1 – sen2 y = √ 1 – 3 sen2 x __ sen x sen y sen x √ 3 sen x = 1 ⇒ • = 1 cos x cos y √ 1 – sen2 x √ 1 – 3 sen2 x __ __________________ √ 3 sen2 x = √ 1 – 4 sen2 x + 3 sen4 x da cui si ricava sen2 x = ¼ ⇒ sen x = ± ½ ⇒ x = ± π / 6 = π / 6 + k π __ sen y = √ 3 ( ± ½ ) y = ± π / 3 = π / 3 + k π § 21 . 2 Sistemi simmetrici di 2° grado Sono sistemi in cui una equazione è la somma (s) delle due incognite e l’altra è il loro prodotto (p) Le soluzioni sono le radici dell’equazione, nell’incognita ausiliaria z : z2 – s z + p = 0

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Sia dato ad es. il sistema sen2 x + sen2 y = 0,34 sen x sen y = 0,15 Elevando al quadrato la seconda equazione si ottiene sen2 x + sen2 y = 0,34 sen2 x • sen2 y = 0,0225 Si ha così un sistema in cui le incognite sono sen2 x e sen2 y . Indicandole rispettivamente con u e v il sistema diventa u + v = 0,34 u v = 0,0225 Quindi z2 – 0,34 z + 0,0225 = 0 Che ha come soluzioni u = 0,09 e v = 0,25 Si ha pertanto sen2 x = 0,09 ⇒ sen x = ± 0,3 ⇒ x = 17,4576° + k 180° sen2 y = 0,25 ⇒ sen y = ± 0,5 ⇒ y = 30° + k 180°

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DISEQUAZIONI TRIGONOMETRICHE

Osservazione importante Definiti gli estremi tra cui è compreso l'angolo α, ( che è l’incognita della disequazione trigonometrica da risolvere), occorre determinare gli archi della circonferenza trigonometrica delimitati da tali estremi, tenendo presente che tali archi devono essere presi in senso orario, partendo dall’angolo 0 (= 2 kπ ), oppure da quello più prossimo allo 0 § 22 Metodo analitico/grafico Alcuni esempi Es. 1 Risolvere la disequazione: 2 sen2 α + 5 cos α > 4 (1) Essendo sen2 α = 1 – cos2 α la (1) diventa 2 cos2 α - 5 cos α + 2 < 0

che è una disequazione di 2° grado in cos α avente come soluzione algebrica ½ < cos α < 2 (2) Ma essendo cos α al massimo uguale a 1 la (2) si deve scrivere ½ < cos α ≤ 1 ½ da cui

0 + 2kπ ≤ α < π / 3 + 2kπ o 5 π / 3 < α ≤ 2π +2kπ π/3 +2kπ

(prima l’arco rosso poi l’arco blu, secondo quanto 0 detto nella Osservazione) 5π/3+2kπ Es.2 Risolvere la disequazione 2 sen2 (α/2) < 1 – sen α (3) -√2/2 √2/2

Per le (25) la (3) diventa 3π/4 π/4 1 - cos α < 1 – sen α cioè sen α < cos α 0

e. elevando al quadrato, 1 – cos2 α < cos2 α 5π/4 7π/4

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cioè 2 cos2 α > 1 ⇒ cos2 α > 1/2 L’ultima disequazione ha le soluzioni _ _ cos α < -√2 /2 v cos α > √2 /2 da cui 3 π/4 + 2kπ < α < 5 π/4 + 2kπ v v 0 + 2kπ < α < π/4 + 2kπ e 7 π/4 < α < 2 π + 2kπ Es. 3 Risolvere la disequazione: _ _ _ (4 - √6) sen2 α - √6 cos2 α + 2 √3 sen α > 2 √2 sen α Si trasforma il cos in sen, si riducono i termini simili e si ottiene 4 sen2 α + 2(√3 - √2)sen α - √6 ≥ 0

Le soluzioni della disequazione di 2° grado in sen α sono 3 π/4 + 2kπ π/4 + 2kπ Y = √2/2 sen α < - √3/2 v sen α > √2/2 Y = - √3/2 4 π/3 + 2kπ 5 π/3 + 2kπ

Si ha perciò

π/4 + 2kπ < α < 3 π/4 + 2kπ o 4 π/3 + 2kπ < α < 5 π/2 + 2kπ § 23 Metodo grafico E’ adatto per disequazioni trigonometriche di 1° grado contenenti sen α e cos α. Effettuando la sostituzione cos α = X e sen α = Y ed uguagliando a zero la disequazione data, essa si trasforma nell’equazione di una retta. Si traccia la circonferenza X2 + Y2 = 1 e la retta di cui sopra e si determinano i due punti di intersezione; quindi si trovano gli angoli corrispondenti a tali punti. Non è necessario fare calcoli, eccetto quelli per determinare gli angoli che delimitano, sulla circonferenza, gli archi cui corrispondono i valori degli angoli stessi che soddisfano la disequazione Considerando il segno di cos α, cioè di X, per la scelta degli archi suddetti occorre tenere presente quanto segue Se X e la disequazione sono entrambi > 0 o entrambi < 0, gli archi che soddisfano la disequazione sono quelli situati a destra della retta in X e Y Se invece X e la disequazione sono l’uno > 0 e l’altro < 0, si devono prendere come soluzione gli archi posti a sinistra della retta in X e Y Gli archi vanno sempre presi in senso orario partendo (non è tassativo ma opportuno) dall’angolo 0 + 2kπ, se questo angolo fa’ parte di uno degli archi da prendere, oppure dall’angolo più prossimo allo 0 (ovviamente in senso orario)

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Alcuni esempi chiariranno quanto detto sopra Es. 1 Risolvere la seguente disequazione _ 3 sen α - √3 cos α ≤ 0 Procedendo come detto precedentemente si ha 1 B X2 + Y2 = 1 (circonferenza) π/6+2kπ _ 3 Y - √3 X ≤ 0 O _ 0 A √3/2 √3

_ 7 /6+2k da cui la retta 3 Y - √3 X = 0 nella quale per X = 0 è Y = 0 _ per X = √3 è Y = 1 Per determinare l’angolo α formato dalla retta con l’asse x, basta considerare il triangolo OAB dove il cos α = OA / OB ___ Poiché AB = 1 e OA = √3, per il teorema di Pitagora è OB = √1+3 = 2 da cui risulta cos α = √3/2, cui corrisponde α = π/6 Essendo uguali i segni della X e della disequazione, si prendono gli archi a destra della retta. La soluzione della disequazione data è pertanto la seguente 0 + 2kπ ≤ α ≤ π/6 + 2kπ v 7 π/6 + 2kπ ≤ α ≤ 2π + 2kπ Es. 2 Risolvere la seguente disequazione _ sen α + √3 cos α - 1 < 0 π/2+2kπ Procedendo come nell’Es. 1 si può scrivere _ Y + √3 X – 1 < 0 _ _

O √3/2 √ 3 X2 + Y2 = 1 -α 0+2kπ A _ 11π/6+2kπ La retta è quindi √3 X + Y – 1 = 0 Essa si può tracciare osservando che B

per X = 0 è Y = 1 e per X = 3 è Y = -2 -1 -1 Facendo sul triangolo OAB considerazioni analoghe a quelle dell’Es. 1 si trova che cos α = - √3/2 e quindi α = - π/6. In questo caso però la retta individua anche un altro angolo, diverso da -π/6, che, come si vede nella figura, è π/2 -2 Essendo i segni di X e della disequazione, discordi, si prende l’arco, compreso tra i due angoli trovati, posto a sinistra della retta. La soluzione della disequazione data è quindi la seguente π/2+2kπ < α < 11π/6 + 2kπ

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Es. 3 Risolvere la seguente disequazione _ sen α + cos α > √3/2 _ Y + X > √3/2 X2 + Y2 = 1 L’equazione della retta è quindi _ X + Y – √3/2 > 0 5 π/12+2kπ Si traccia la retta osservando che per X = √3/2 è Y = 0 e π/12+2kπ

per Y = √3/2 è X = 0 Tale retta interseca la circonferenza in due punti le cui coordinate si ricavano risolvendo il sistema Si trova che cos α = (√6 ± √2) /4 I due valori del coseno corrispondono ai due angoli π/12 e 5 π/12 Essendo i segni di X e della disequazione, uguali, si prende l’arco a destra della retta La soluzione della disequazione è quindi

π/12 + 2kπ < α < 5 π/12 + 2kπ

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INDICE

FUNZIONI GONIOMETRICHE Pag 2 § 1 Premessa 2 § 2 Angoli 2 § 3 Funzioni trigonometriche 3 § 4 Circonferenza goniometrica 3 § 5 Funzioni goniometriche inverse 4 § 6 Alcuni valori notevoli di seno e coseno 5 § 7 Diagrammi delle funzioni trigonometriche 6 § 8 Formulario per il triangolo rettangolo 6 § 8.1 Valori delle funzioni trigonometriche di archi speciali 6 § 8.2 Formule goniometriche espresse mediante una funzione nota 7 § 8.3 “ “ di angoli maggiori dell’angolo giro (α > 2π) 7 § 8.4 “ “ “ due angolI complementari (α e π/2 -α) 7 § 8.5 “ “ “ “ “ supplementari (α e π - α) 7 § 8.6 “ “ “ “ “ che differiscono dell’angolo retto (α e π/2 + α) 7 § 8.7 “ “ “ “ “ “ “ di un angolo piatto (α e π + α) 7 § 8.8 “ “ “ “ “ opposti (α e -α) 8 § 8.9 “ per l’addizione degli angoli (α + β) 8 § 8.10 “ “ la sottrazione degli angoli (α - β) 8 § 8.11 “ “ “ duplicazione degli angoli (2α) 8 § 8.12 “ “ “ bisezione degli angoli (α/2) 9 § 8.13 “ “ esprimere seno e coseno di un angolo α mediante la tg (α/2) 9 § 8,14 “ dette di prostaferesi, per la trasformazione della somma di funzioni goniometriche in prodotti 9 § 8.15 “ di Werner 10 TRIGONOMETRIA PIANA Pag 11 § 9 Premessa 11 § 10 Relazioni tra gli elementi di un triangolo rettangolo 11 § 11 Risoluzione di triangoli rettangoli 11 § 12 Relazione tra gli elementi di un triangolo qualsiasi 12 § 12.1 Raggio della circonferenza circoscritta ad un triangolo 12 § 12.2 Teorema dei seni 12 § 12.3 “ di Nepero 12 § 12.4 “ delle proiezioni 12 § 12.5 “ di Carnot 13 § 12.6 Formule di Briggs 13 § 12.7 Seno dell’angolo di un triangolo in funzione dei tre lati 13 § 12.8 Area di un triangolo e di un parallelogramma, dati due lati e l’angolo compreso 13 § 12.9 Formula di Erone per il calcolo dell’area di un triangolo di cui sono noti i lati 14 § 12.10 Raggio della circonferenza circoscritta ad un triangolo di cui sono noti i lati 14 § 12.11 Raggio della circonferenza inscritta in un triangolo di cui sono i lati 14 § 13 Risoluzione di un triangolo qualunque 15 § 14 Altezze, bisettrici e mediane di un triangolo, in funzione dei lati 15 APPLICAZIONI DELLA TRIGONOMETRIA Pag 17 § 15 Calcolo di distanze ed altezze 17 EQUAZIONI TRIGONOMETRICHE Pag 19 § 16 Premessa 19 § 21 Sistemi di equazioni trigonometriche 20 DISEQUAZIONI TRIGONOMETRICHE Pag 22