Complementi ed esercizi di Fisica2P: Equazione di Ampère-Maxwell

Corrente di spostamento

L'equazione di Ampère 4 M i

iB dl k Iπ= ∑∫rrgÑ

presenta una criticità che ne limità la validità. Per meglio comprendere questo punto si deve ricordare che nella sommatoria sono considerate quelle correnti che attraversano una qualunque superficie che ha per contorno il cammino della circuitazione del campo. E' proprio dall'arbitrarietà della superficie che rende evidente il limite dell'equazione, come mostrato nella figura (estratta da

H. Ohanian, Fisica vol.2, Zanichelli). Pertanto, osservando la figura, si capisce che è necessario intervenire nell'equazione per aggiungere un termine che la completi. La correzione apportata da Maxwell eleverà l'equazione di Ampère-Maxwell al rango di legge costruttiva dell'elettromagnetismo. Per avere ancora il giusto termine di corrente nella situazione mostrata in figura, si aggiunge la corrente di spostamento definita, nel vuoto, come

0E

sdI

dtε Φ=

dove EΦ è il flusso del campo elettrico attraverso la superficie (nel dielettrico si consideri la sostituzione 0 0 rε ε ε→ ). Facendo ancora

riferimento alla figura, l'equazione di Ampère-Maxwell diventa

4 4M M sB dl k I k Iπ π= +∫rrgÑ

Con un semplice ragionamento si può mostrare che la corrente di spostamento risolve la criticità. A questo proposito è d'aiuto servirsi delle linee di campo, ricordando che il flusso del campo elettrico attraverso una superificie chiusa (gaussiana) è proporzionale alla carica racchiusa. Nel caso mostrato nella seconda figura è evidente che la superficie non è chiusa. Tuttavia, è altrettanto evidente che tutte le linee del campo elettrico, che partono dall'armatura positiva e terminano nell'armatura negativa, attraversano la superficie aperta. Ciò implica che il flusso EΦ contiene l'informazione sulla carica:

0E

Qε

Φ =

così che

0E

sd dQI I

dt dtε Φ= = =

Si intende ovviamente che il valore della corrente di spostamento è diverso da zero solo se nella superficie considerata il flusso (variabile) è diverso da zero. Per rendere l'equazione in una forma più esplicita ed elegante, si può considerare esplicitamente la densità di corrente

04 4M MA A

EB dl k J ndA k ndAt

π π ε ∂= +∂∫ ∫ ∫rrr r r rg g gÑ

La derivata parziale rispetto al tempo significa che si sta derivando una funzione che dipende anche dalle variabili spaziali

( ), , ,E E x y z tt t

∂ ∂≡∂ ∂

r r

le variabili spaziali, x,y e z sono le variabili di integrazione nel calcolo del flusso. Si può portare il segno di derivata parziale fuori dal segno di integrale. Così facendo, la derivata rispetto al tempo non vede più una funzione che dipende dalle variabili spaziali (sono cancellate dall'integrazione), bensì vede solo una funzione del tempo

E

A A

dE dndA E ndAt dt dt

Φ∂ = =∂∫ ∫r rr rg g

Quando 0J =r

(come ad esempio nello spazio tra le due armature del condensatore), l'equazione di Ampère -Maxwell contiene la sola corrente di spostamento. Può essere utile scriverla per futuri richiami

0 04 4 4EM s M M

A

d EB dl k I k k ndAdt t

π π ε π εΦ ∂= = =∂∫ ∫rrr rg gÑ

Problema (H. Ohanian, Fisica vol.2, Zanichelli)

Soluzione

SimboliI=corrente nel contuttore collegato all'armaturaI'=corrente che attraversa la superficie nell'intersezione con l'armatura (corrente entrante)Q'=carica della porzione di armatura intercettata dalla superficie.

EΦ =flusso del campo attraverso la superficie. E' diverso da zero solo per la porzione di superficie compresa tra le due armature:

0

'E

Qε

Φ =

Il suggerimento è chiaro: la carica che entra nell'armatura si distribuisce uniformemente dando luogo ad una corrente superficiale a che attraversa la superficie. Questa corrente deve essere considerata con segno negativo nella equazione di Ampère-Maxwell (rispetto alla normale alla superficie è entrante)

( ) ( ) ( )0'4 ' 4 4 ' 4 4 ' 4E

M M s M M M Md dQB dl k I I k I k I I k k I I k

dt dtπ π π π ε π πΦ= − + = − + = − +∫

rrgÑ

( )4 ' 4 ' 4M M MB dl k I I k I k Iπ π π= − + =∫rrgÑ

Problema (H. Ohanian, Fisica vol.2, Zanichelli)

SoluzioneNella figura sono evidenziate le linee di campo elettrico e le possibili linee di integrazione per la circuitazione di B. La forma delle armature è importante per ragioni di simmetria: lungo le linee circolari il campo B ha modulo costante.Con il verso di integrazione stabilito nella figura, la superficie piana delimitata da ciascuna linea circolare è orientata con la normale concorde con il verso del campo elettrico. Teniamo in mente queste considerazioni per la domanda (b).

SimboliR=raggio delle armatureh=distanza tra le armature

CV∆ =d.d.p. tra le armature32.0 10 /C

d V V sdt

∆ =

r =raggio di un cammino di integrazione circolare(a)

Il campo elettrico tra le armature è CVEh

∆= .

La rapidità con cui varia il campo elettrico è 1 Cd VdE

dt h dt∆=

(b)Si calcolerà il valore del campo ad una distanza r dall'asse del condensatore. Si applicherà l'equazione di Ampère-Maxwell tenendo presente che la superficie presa in considerazione, di area

2A rπ= non è attraversata da correnti:

0 0 014 2 4 2 CE M

M Md Vd kd EAB dl k B r k B A

dt dt r h dtπ ε π π ε ε ∆Φ= ⇒ = ⇒ =∫

rrgÑ

Si osservi che per r R> , si deve considerare 2E REA E RπΦ = = perchè il campo elettrico non si

estende oltre il raggio delle armature. Al riguardo si tenga conto del commento del testo che suggerisce di non considerare la sfrangiatura del campo nei bordi: si invita a considerare in prima approssimazione un campo elettrico che termina in modo netto. Questo per giustificare il calcolo di E quando r=R. Detto ciò, quando r R>

012 2 2 2 2C C CM M M M M

Rd V d V dC Vk k k k kdQB A C I

r h dt r dt r dt r dt rε ∆ ∆ ∆= = = = = come atteso.

Si noti infine che B>0, il che indica che il verso del campo corrisponde al verso del cammino di integrazione e che le linee mostrate in figura possono anche essere considerate le linne del campo B.

Problema (H. Ohanian, Fisica vol.2, Zanichelli)

SoluzioneSimboli

55.0 10CR = Ω =resistenza materiale tra le armatureR=30cm=0.30m=raggio delle armature=h=distanza tra le armature (non nota)

32.0 10 /Cd V V sdt

∆ =

CC

d VV tdt∆∆ = =d.d.p. tra le armature che cresce linearmente nel tempo (=0 quando t=0)

r =20cm=0.20m=raggio di un cammino di circuitazione circolare di B2

RA Rπ= =area dell'armatura del condensatore2

22r R

rA r AR

π= = =area della superficie piana che ha per contorno il cammino di integrazione di

raggio r della circuitazione di BIl testo del problema non dice nulla riguardo a rε che, perciò, si dovrà porre uguale a uno.

60 2.0 10RAC F

hε −= = = capacità del condensatore

(a)

Il campo elettrico tra le armature è CVEh

∆= .

La corrente di spostamento (per tutta l'area delle armature)

0 0 0C CE R R

sd V d Vd dEA AI C

dt dt h dt dtε ε ε ∆ ∆Φ= = = =

(b)La corrente tra le due armature è

1C C

C C

V d VI tR R dt

∆ ∆= =

si imponga l'uguaglianza 1 C C

s CC

d V d VI I t C t R CR dt dt

∆ ∆= ⇒ = ⇒ =

(c)SI consideri l'equazione di Ampère-Maxwell nella forma

4 4M MA A

EB dl k J ndA k ndAt

π π ∂= +∂∫ ∫ ∫rrr r r rg g gÑ

la si applichi ad una superficie di raggio r (raggio cammino di integrazione di B)

( )0 02 4 4 4 4r r R rM r M M R M s

R R

dEA A dEA AB r k JA k k JA k I Idt A dt A

π π π ε π ε π = + = + = + ÷ dove si è tenuto conto che la densità di corrente attraverso il materiale resistivo che riempie il condensatore è / RJ I A=

( ) ( )1 1 1 12 2 2s C C Cr r rM M M C

R R C R C

I I d V dC V d VA A AB k k t k t R CA r A r R dt dt A r R dt

+ ∆ ∆ ∆= = + = + ÷