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Complementos de matemática
Repaso de Series de Fourier
Carrera de especialización en Ingenieŕıa Optoelectrónica
Maestŕıa en IngenieŕıaOptoelectrónica y Fotónica
Departamento de F́ısica, Facultad de Ingenieŕıa, Universidad de
Buenos Aires
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Definición de sistema
Sistema Ñ proceso que transforma una señal deentrada
(est́ımulo) f ptq en otra de salida gptq(respuesta)
gptq “ stf ptqu
Interesa dar una descripción matemática delsistema.
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Sistemas lineales
Sistema lineal Ñ la respuesta del sistema a unconjunto de
est́ımulos es igual a la la suma de lasrespuestas que cada uno de
los est́ımulos tendŕıapor separado
stafptq ` bgptqu “ astfptqu ` bstgptqu
Permite expresar la respuesta del sistema a unest́ımulo en
función de su respuesta frente a unest́ımulo elemental.
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Sistemas invariantes temporales
Sistema invariante temporal Ñ un corrimientotemporal de la
señal de entrada en el sistemaproduce SOLO un corrimiento temporal
en la salidadel sistema.
gpt ´ τq “ stf pt ´ τqu
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Sistemas invariantes temporales
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Sistemas lineales invariantes temporalesLTI
Sistema Lineal Invariante Temporal LTI Ñ cumplecon las
condiciones de linealidad e invarianciatemporal.Las funciones
sinpxq y cospxq son autofunciones delos operadores lineales.
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Series de Fourier
Sea f ptq una función periódica, de peŕıodo T ,puede ser
representada por la serie:
f ptq “ 12a0 `
8ÿ
n“1pan cos pnωotq ` bn sin pnωotqq ,
con ωo “ 2πTRepresentación de una función periódica como
sumade funciones armónicas con frecuencias múltiplos deuna
frecuencia fundamental f0 “ 1T . La componentecon frecuencia nf0 se
conoce como n-ésimaarmónica.
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Series de Fourier
Cálculo de los coeficientes de la serie:
an “2
T
ż T{2
´T{2fptq cos pnωotq dt, n “ 0, 1, 2, 3, ...
bn “2
T
ż T{2
´T{2fptq sin pnωotq dt, n “ 1, 2, 3, ...
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Series de Fourier: condición de Dirichlet
Condiciones en las que la función puede serdesarrollada en
serie de Fourier:
f ptq tiene número finito de discontinuidades enun
peŕıodo.
f ptq tiene número finito de máximos y ḿınimosen un
peŕıodo.şT {2´T {2 |f ptq|dt “ M ă 8
Las condiciones de Dirichlet garantizan laconvergencia de la
serie.
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Aproximación mediante una serie finita
Al representar una función f ptq en el intervalo´T {2 ď t ď T
{2, por medio de los primerosp2k ` 1q términos
Skptq “a02`
kÿ
n“1pan cos pnωotq ` bn sin pnωotqq ,
el error resultante será
εkptq “ f ptq ´ Skptq.
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Serie de Fourier compleja
Dado que
cospnω0tq “1
2peinω0t ` e´inω0tq
sinpnω0tq “1
2ipeinω0t ´ e´inω0tq
Se puede demostrar que una función que admitedesarrollo en
serie de Fourier trigonométrica, también lo admite en serie
compleja:
f ptq “ c0 `8ÿ
n“1
`
cneinω0t ` c´ne´inω0t
˘
.
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Serie de Fourier compleja
Continuando el desarrollo anterior, se obtiene
f ptq “8ÿ
´8
`
cneinω0t
˘
.
Los coeficientes cn se calculan:
cn “1
T
ż T {2
´T {2f ptqeinω0tdt, n “ 0,˘1,˘2,˘3, ...
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Potencia de una señal periódica
El contenido de potencia de una función periódicaf ptq en el
peŕıodo T se define
1
T
ż T {2
´T {2rf ptqs2dt “
8ÿ
´8|cn|2.
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Bibliograf́ıa
“Análisis de Fourier”, H.P. Hsu, Fondo
EducativoInteramericano
“Introduction to Fourir Optics”, J.W. Goodman,McGraw-Hill
“ Linear Systems, Fourier Transforms and Optics”,J.D. Gaskill,
John Willey Sons
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