Complements Mesure

Intégration-2L3-Mathématiques

2011-2012

Pierre Puiseux25 mars 2014

E-mail address : [email protected]

3

Table des matières

Avertissement 5

Notations 7

Chapitre 1. Rappels, les espaces L1 et L1 91.1. Construction de l’intégrale de Lebesgue 101.1.1. Fonctions mesurables, fonctions étagées 101.1.2. Intégrale d’une fonction étagée positive 101.1.3. Intégrale d’une fonction mesurable positive 111.1.4. Intégrale d’une fonction mesurable 111.2. Les espaces L1 et L1 121.2.1. Propriétés vraies « presque partout » 121.2.2. L’espace L1 131.2.3. L’espace L1 141.3. Différents modes de convergence dans L1 161.4. Rappels de quelques résultats indispensables 161.4.1. Mesures produit 161.4.2. Changement de variable 181.4.3. Echange limite et intégrale 191.4.4. Mesures régulières 201.5. Théorèmes dans L1 21Exercices du chapitre 1 25Généralités et rappels 25Presque partout 26L’espace L1 26L’espace L1 26Théorèmes importants 26

Chapitre 2. Les espaces Lp 292.1. Définition, premières propriétés 302.1.1. Les espaces Lp, 1 ≤ p < +∞ 302.1.2. L’espace L∞ 352.2. Comparaison des espaces Lp 372.2.1. Inégalité de Hölder généralisée 382.2.2. Cas d’une mesure finie 382.2.3. Cas d’une mesure non finie 392.3. Quelques théorèmes de densité 402.4. Dualité dans les espaces Lp 422.5. Convolution dans Lp 442.5.1. Convolution dans ℓ1 (Z) 442.5.2. Convolution dans L1 452.5.3. Propriétés élémentaires de la convolution dans L1 47

Pierre Puiseux 2012

4 Chapitre 0. Table des matières

2.5.4. Convolution dans Lp 50Exercices sur le chapitre 2 51Espaces Lp 51Théorèmes de densité 53Dualité 54Convolution 55

Chapitre 3. Analyse hilbertienne et espace L2 573.1. Définitions et propriétés élémentaires 573.2. Dualité dans un espace de Hilbert 603.2.1. Projection sur un convexe fermé, meilleure approximation 603.2.2. Le théorème de représentation de Riesz 643.3. Bases hilbertiennes, séparabilité 66Exercices sur le chapitre 3 68Dualité 70Bases hilbertiennes 71

Chapitre 4. Séries de Fourier, fonctions périodiques 734.1. Les espaces Lrp 734.2. Séries de Fourier dans L2

p 744.2.1. Projection sur Pn 774.2.2. Egalité de Bessel-Parseval (dimension infinie) 784.3. Extension, séries de Fourier dans L1

p 794.4. Propriétés des coefficients de Fourier 794.4.1. Propriétés des coefficients de Fourier pour les fonctions de

L1p ([0, 2π]) 79

4.4.2. Propriétés asymptotiques des coefficients de Fourier 814.5. Convergence ponctuelle des séries de Fourier 824.5.1. Le théorème de Dirichlet 834.5.2. Le théorème de Fejér 86Exercices sur le chapitre 4 87

Index 89

Bibliographie 91

Université de Pau L3-Mathématiquess Intégration-2

5

Avertissement

ce ne sont que des notes de cours, en perpétuelle évolution, dans lesquelles subsistent certainement denombreuses erreurs et approximations !Ce cours est enseigné au semestre 2 de la 3-ème année de Licence de Mathématiques, à l’Universitéde Pau, et fait suite à un cours de mesure et intégration enseigné au semestre précédent.La théorie de la mesure et de l’intégration est donc supposée connue, et les résultats en sont utilisésparfois sans préavis.Certains théorèmes importants sont rappelés au chapitre 1.

Pierre Puiseux 2012

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Notations

Dans tout le cours,X désigne un espace topologique, T désigne une tribu et sauf précision contraire,il s’agira de la tribu B (X) des boréliens sur X (c’est à dire la tribu engendrée par les ouverts de X),et µ désigne une mesure positive sur T .Les espaces fonctionnels utilisés sont des espaces de fonctions de X à valeur dans R (et parfois C siprécisé), munis de la tribu des boréliens B

(R)(ou B

(C)) et de la mesure de Lebesgue.

R : R ∪ −∞,+∞C : C ∪ −∞,+∞K : R ou C et K : R ou C.(X, T , µ) : un espace mesuré, T tribu, µ mesure (positive).B (X) : tribu des boréliens sur X .λ : mesure de Lebesgue.

M,M (X) ouM (X, T , µ) : ensemble des fonctions mesurables de X dans K = R ou C.M+ : fonctions mesurables positives de X dans K = R ou C.E , E (X) : fonctions étagées de X dans K = R ou C.E+, E+ (X) : fonctions étagées positives de X dans K = R ou C.Lp,Lp (X),Lp (X, T , µ),LpK,L

pK (X),LpK (X, T , µ) : fonctions deX dansK = R ou C, de puissance

p-ième intégrable (1 ≤ p ≤ +∞).Lp, Lp(X), Lp (X, T , µ), LpK, L

pK(X), LpK (X, T , µ) : classe de fonctions de X dans K = R ou C,

égales presque partout, et de puissance p-ième intégrable (1 ≤ p ≤ +∞).ℓp, ℓp (X), ℓpK (X) : (X = N ou Z) suites (ou suites doubles) de K = R ou C, de puissance p-ièmesommable.χA : fonction caractéristique de l’ensemble A.L (E,F ) : applications linéaires de E dans F (E et F espaces vectoriels).Lc (E,F ) : applications linéaires continues de E dans F (E et F espaces vectoriels normés).|||Φ||| : norme de l’application linéaire Φ.(f |g) produit scalaire.A adhérence de A,

A∥.∥ l’adhérence de A pour la norme ∥.∥

P (f) : ensemble des x ∈ X vérifiant la propriété P (f (x)). Exemple :

|f | < +∞ = x ∈ X, |f (x)| < +∞ = f−1(R+)

C (A,B) = C0 (A,B) fonctions continues de A dans B.

Pierre Puiseux 2012

8 Chapitre 0. Notations

Cp : fonctions de classe Cp.Ckp : fonctions périodiques de classe Ck.Cc : fonctions continues à support compact.Ckc : fonctions à support compact et de classe Ck.C0 : fonctions continues nulles à l’infini.(u|v) : produit scalaire.cn (f) : n-ème coefficient de Fourier de f .δij : symbole de Kronecker. Vaut 0 si i = j et1 si i = j.Tn : polynômes trigonométriques de degré n.


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CHAPITRE 1

Rappels, les espaces L1 et L1

On suppose connues les définitions et propriétés étudiée dans l’unité mesure et intégration, à savoir :

– tribus,– mesures,– fonctions mesurables,– intégrale de Lebesgue,– mesures produit et intégrales multiples.

Les deux derniers points font l’objet de quelques rappel de ce chapitre.

Dans tout ce qui suit, on intègre des fonctions de X dans Y , où (X, T , µ) est un espace mesuré et(Y,B (Y ) , λ) est un espace topologique muni de sa tribu borélienne (engendrée par les ouverts de Y )et de la mesure de Lebesgue.

En général, et sauf précision contraire, on a

– Y = R = R ∪ +∞,−∞ ;– µ est une mesure positive.

Le plus souvent, X est une partie de Rn ou de Cn.

On rappelle ici la construction de l’intégrale de Lebesgue, en trois temps :

– on définit l’intégrale des fonctions étagées positives ;– si f est une fonctionmesurable positive alors elle est la limite d’une suite (fn) de fonctions étagées,ce qui permet de définir l’intégrale de f :

∫fdµ = lim

n→∞

∫fndµ ;

– toute fonction mesurable peut s’écrire comme f = f+ − f− avec f+ = sup (f, 0) ≥ 0 et f− =sup (−f, 0) ≥ 0, ce qui permet de définir l’intégrale de f comme

∫f+dµ+

∫f−dµ.

On regroupe en classes d’équivalence les fonctions égales presque partout, dont l’intégrale est finie.L’ensemble de ces classes forme un espace de Banach, appelé L1, avec la norme ∥f∥1 =

∫|f | dµ.

On s’attarde enfin sur la formulation dans L1 de deux théorèmes fondamentaux :

– Le théorème de convergence monotone (Beppo-Lévi) indique que si (fn) est une suite de L1 quiconverge p.p. vers f en croissant p.p. alors elle converge vers f dansL1 c’est à dire ∥fn − f∥1 → 0et f ∈ L1.

– Le très puissant théorème de convergence dominée (Lebesgue) indique qu’une suite (fn) de L1

est convergente dans L1 dès qu’elle est dominée p.p. par une fonction F ∈ L1.

Pierre Puiseux 2012

10 Chapitre 1. Rappels, les espaces L1 et L1

1.1. Construction de l’intégrale de Lebesgue

L’intégrale de Lebesgue permet d’intégrer de la même manière des fonctions qui sont égales presquepartout, c’est à dire égales en tout point sauf peut-être sur un ensemble de mesure nulle. La classedes fonctions intégrable s’en trouve considérablement élargie, par rapport à l’intégrale de Riemann.Les théorèmes du type

∫f =

∫f où est un opérateur tel que dérivation, intégration, passage

à la limite, sont obtenus avec des hypothèses relativement simples, toujours par comparaison avecl’intégrale de Riemann. Rappelons tout d’abord les définitions suivantes :

1.1.1. Fonctions mesurables, fonctions étagées.

Définition 1.1. Une fonction f : X → Y est ditemesurable si et seulement si ∀B ∈ B (Y ) , f−1 (B) ∈TX . On note M l’ensemble des fonctions mesurables de X dans Y et M+ l’ensemble des fonctionsmesurables positives.

Exemple 1.1. f = χA est mesurable si et seulement si A ∈ TX .

Une fonction étagée est une fonction mesurable qui ne prend qu’un nombre fini de valeurs :

Définition 1.2. Une fonction f : X → Y est dite étagée si elle est mesurable et si f (X) est unepartie finie de Y . Lorsque Y = R, on note E l’ensemble des fonctions étagées et E+ l’ensemble desfonctions étagées positives.

Exemple 1.2. f = χA pour A ∈ TX est étagée.

Proposition 1.1. Une fonction étagée admet une unique décomposition de la forme

f =∑

1≤i≤n

aiχAi

avec– (ai)1≤i≤n ⊂ R, avec a1 < a2 < · · · < an ;– (Ai)1≤i≤n partition de X .

Démonstration. Les ai sont les éléments de f (X), que l’on a ordonné, et on définitAi = f−1 (ai),pour 1 ≤ i ≤ n.

Exemple 1.3. La fonction fn =∑

1≤k<n

knχ[ kn ,

k+1n ]

1.1.2. Intégrale d’une fonction étagée positive.

Définition 1.3. Soit f =∑

1≤i≤naiχAi

une fonction étagée positive. On appelle intégrale de f le réel∫X

fdµ =∑

1≤i≤n

aiµ (Ai)

Exemple 1.4.

(1) X = R, f = χQ est étagée positive, son intégrale est∫R χQdλ = 1λ (Q) + 0.λ (R −Q) = 0.


1.1 Construction de l’intégrale de Lebesgue 11

(2) X = [0, 1], pour n > 0, la fonction fn =∑

1≤k<n

knχ[ kn ,

k+1n ] a pour intégrale de Lebesgue∫

[0,1]

fndλ =∑

1≤k<n

k

nλ

([k

n,k + 1

n

])=

n− 1

2n

1.1.3. Intégrale d’une fonction mesurable positive. La proposition suivante exprime une pro-priété un peu plus faible que la densité de l’ensemble E+ des fonctions étagées positives dans l’en-sembleM+ des fonctions mesurables positives, pour la topologie de la convergence simple :

Proposition 1.2. f ∈ M+ si et seulement si il existe une suite (fn)n∈N ⊂ E+ qui converge ponctuel-lement en croissant vers f .

Démonstration. Voir cours de mesure. Exemple 1.5. La fonction f (x) = x surX = [0, 1[ est limite simple de la suite croissante de fonctionsfn =

∑1≤k<2n

k−12nχ[ k−1

2n, k2n [

. Voir l’exercice 1.3 page 25.

Définition 1.4. Soit f ∈ M+. On définit l’intégrale de f par∫fdµ = sup

∫φdµ, φ ∈ E+, φ ≤ f

et on dit que f est intégrable si et seulement si

∣∣∫ fdµ∣∣ < +∞.

Exemple 1.6. X = [0, 1], l’intégrale de la fonction f = Id n’est pas simple à calculer d’après cettedéfinition. Est-elle intégrable ? La réponse est donnée par le théorème de convergence monotone quidonne un critère de la mesurabilité de la limite simple d’une suite de fonctions mesurables : il suffitque la suite soit croissante (et mesurable). On peut alors permuter limite et intégrale :

Théorème 1.1. (Théorème de Beppo-Levi ou de convergence monotone dans M+) Soit (fn)n∈N unesuite croissante de M+ et soit f = lim

n→∞fn (limite ponctuelle).

Alors f ∈ M+ et∫fdµ = lim

n→∞

∫fndµ.

Démonstration. Voir cours de mesure. Exemple 1.7. X = [0, 1[, la fonction f = IdX est limite simple de la suite croissante fn =

∑1≤k<2n

k2nχ[ k

2n, k+12n [

avec∫Xfndλ = 1

2

(1− 1

2n

). Donc

∫Xfdλ = lim

n→∞

∫Xfndλ = 1

2. Voir l’exercice 1.3 page 25.

1.1.4. Intégrale d’une fonction mesurable.

Définition 1.5. Pour f ∈ M on définit f+ = sup (f, 0) et f− = sup (−f, 0).

Proposition 1.3. Pour f ∈ M on a :(1) f+ ∈ M+ et f− ∈ M+

(2) f = f+ − f−

(3) |f | = f+ + f− ∈ M+

Exemple 1.8. X = [−1, 1] , f (x) = x, f+ = xχ[0,1] et f− = −xχ[−1,0]

Démonstration. Voir cours de mesure.

Pierre Puiseux 2012


Définition 1.6. Une fonction f : X → R est dite intégrable si(1) f ∈ M(2)

∫f+dµ < +∞

(3)∫f−dµ < +∞

On définit dans ce cas l’intégrale de f par∫fdµ =

∫f+dµ−

∫f−dµ

Théorème 1.2. Si f ∈ M alors : f est intégrable ⇐⇒ |f | est intégrable ⇐⇒ f+ et f− sontintégrables.

Démonstration. Voir cours de mesure. Exemple 1.9. X = [−1, 1] , f (x) = x, f+ = xχ[0,1] et f− = −xχ[−1,0]

∫Xf+dλ = 1

2et∫Xf−dλ = 1

2

donc∫Xfdλ = 1

2− 1

2= 0.

Définition 1.7. On note L1Y (X, T , µ) ou L1

Y (X) ou simplement L1 l’ensemble des fonctions inté-grables de X dans Y .

1.2. Les espaces L1 et L1

1.2.1. Propriétés vraies « presque partout ».

Définition 1.8. (X, T , µ) étant un espace mesuré,

(1) on appelle négligeable tout sous ensembleA deX tel qu’il existe un mesurableB ∈ T , de mesurenulle, et contenant A. Autrement dit un négligeable est une partie deX incluse dans une partie demesure nulle.

(2) On dit d’un prédicatP (x) qu’il est vrai « pourµ-presque tout x ∈ X » si et seulement si l’ensembleA = x ∈ X,¬P (x) (c’est à dire l’ensemble des x ∈ X pour lesquels P (x) est faux) estnégligeable. Lorsqu’il n’y a pas d’ambiguité sur X et µ, on dit que P (x) est vraie « presquepartout », ou « µ-presque partout ».

Par exemple on notera f =p.p.

g la propriété f (x) = g (x) presque partout.

Voici une caractérisation utile de l’égalité presque partout :

Théorème 1.3. Deux fonctions f, g : X → Y sont égales presque partout si et seulement si il existeun négligeable A tel que :

fχX\A = gχX\A

Précisons la définition de la « convergence presque partout » :

Définition 1.9. (X, T , µ) étant un espace mesuré, on dit qu’une suite de fonction (fn) converge (sim-plement) presque partout vers une fonction f si et seulement si il existe un négligeableA ⊂ X tel quefnχX\A converge (simplement) vers fχX\A.On note alors fn →

p.p.f ou bien lim

p.p.fn = f .

Précisons la définition de la « croissance presque partout » :

Définition 1.10. (X, T , µ) étant un espace mesuré, on dit qu’une suite de fonction (fn) est croissantepresque partout(1) si et seulement si il existe un négligeable A ⊂ X tel que gn = fnχX\A est une suite croissante ;(2) si et seulement si ∀n ∈ N il existe un négligeable An tel que fnχX\An ≤ fn+1χX\An


1.2 Les espaces L1 et L1 13

Remarque. Dans cette définition, les deux conditions 1. et 2. sont bien équivalentes :

(1) ⇒ 2., il suffit de prendre pour tout n, An = A.(2) ⇒ 1., il suffit de prendre A =

∪n∈N

An qui est négligeable comme réunion de négligeables.

Exemple 1.10. X = [0, 1], la suite de fonctions fn =∑

1≤k<2n

k2nχ[ k

2n, k+12n ] (notez que les intervalles

sont fermés, au contraire de ceux de l’exemple 1.7 page 11) est presque partout croissante et convergepresque partout vers la fonction f (x) = x. Pour le démontrer, il suffit de travailler sur gn = fnχX\Q,sachant que Q est négligeable, et de reproduire, en l’adaptant, le raisonnement de l’exercice 1.3page 25.

La propriété suivante est essentielle :

Théorème 1.4. Soit deux fonctions f, g ∈ M telles que f =p.p.

g. Alors∫fdµ =

∫gdµ

Démonstration. Voir exercice 1.10 page 26.

Définition 1.11. Le théorème précédent permet d’étendre la définition de l’intégrale d’une fonctionmesurable de la manière suivante : si f est une fonction égale presque partout à une fonction mesurableg, alors on pose

∫fdµ =

∫gdµ.

Le théorème de convergence monotone 1.1 page 11 reste vrai avec des hypothèses affaiblies « presquepartout ».

Théorème 1.5. (Convergence monotone presque partout) Soit (fn)n∈N ⊂ M+ une suite croissantep.p. de M+ et soit f = lim

p.p.fn. Alors f ∈ M+ et

∫fdµ = lim

n→∞

∫fndµ.

Démonstration. Voir exercice 1.17 page 27. Remarque. Le résultat précédent contient les trois cas :

– fn converge ponctuellement vers f en croissant-presque-partout,– fn converge ponctuellement-presque-partout vers f en croissant,– fn converge ponctuellement-presque-partout vers f en croissant-presque-partout.

1.2.2. L’espace L1.

Définition 1.12. On note L1R (X, T , µ) ou simplement L1 l’ensemble des fonctions intégrables de X

dans R.

Proposition 1.4. (Propriétés élémentaires de L1)(1) (L1,+, .) est un espace vectoriel sur R ;(2) f 7→

∫fdµ est une forme linéaire sur L1 ;

(3) pour toutes fonctions f et g de L1, on a : f ≤ g ⇒∫fdµ ≤

∫gdµ ;

(4) pour toute fonction f ∈ L1 :∣∣∫ fdµ∣∣ ≤ ∫ |f | dµ.

Démonstration. Voir l’exercice 1.11 page 26 et le cours de mesure.

Pierre Puiseux 2012


Proposition 1.5. L’applicationN1 : L1 → R+

f 7→∫

|f | dµ

est une semi-norme (mais pas une norme) c’est à dire :(1) homogénéité : ∀λ ∈ R, ∀f ∈ L1, N1 (λf) = |λ|N1 (f) ;(2) inégalité triangulaire : ∀f, g ∈ L1, N1 (f + g) ≤ N1 (f) +N1 (g).


Remarque. On notera que f = 0L1 ⇒ N1 (f) = 0 et que la réciproque est fausse.

Le théorème de Lebesgue a été vu en cours de mesure :

Théorème 1.6. (Théorème de convergence dominée, ou théorème de Lebesgue) Soit (fn)n∈N une suitede M et f : X → R telles que :(1) fn →

p.p.f ;

(2) il existe une fonction g ∈ L1 telle que |fn| ≤p.p.

g.

Alors (fn)n∈N ⊂ L1, f ∈ L1 et limn→∞

∫|fn − f | dµ = 0.


1.2.3. L’espace L1.

Définition 1.13. La relation =p.p.

est une relation d’équivalence surM et sur L1.

On appelle L1 l’espace quotient : L1 = L1/R.Autrement dit, l’espace L1 est l’ensemble des classes d’équivalence de L1 pour la relationR.

Remarque. Un élément F de L1 est donc une partie de L1, si f ∈ F alors F = g ∈ L1, fRg. Pourf ∈ L1, on notera parfois f sa classe d’équivalence.

Proposition 1.6. Sur M, la relation =p.p.

est compatible avec l’addition, la multiplication, le produit

par un scalaire et avec l’ordre partiel≤, c’est à dire : ∀α ∈ R, ∀f, f ′ ∈ M et ∀g, g′ ∈ M, si f =p.p.

f ′

et g =p.p.

g′, alors :

(1) (f + g) =p.p.

(f ′ + g′)

(2) (fg) =p.p.

(f ′g′)

(3) αf =p.p.

αf ′

(4) f ≤p.p.

g ⇒ f ′ ≤p.p.

g′

Démonstration. En exercice, voir les exercices 1.12 page 26 et 1.14 page 26.


1.2 Les espaces L1 et L1 15

Cette compatibilité (voir cours d’algèbre) permet de définir l’addition quotient, le produit quotient etle produit par un scalaire quotient sur l’ensemble quotient L1, ainsi que la relation d’ordre (partiel)≤p.p.

:

Définition 1.14. (Opérations sur L1). Pour f et g dans L1, et pour α ∈ R, les lois de composition-quotient et relation d’ordre-quotient sont :(1) l’addition : f ⊕ g :=

u+ v, u ∈ f, v ∈ g

= f + g ;

(2) la multiplication : f ⊗ g =uv, u ∈ f, v ∈ g

= fg ;

(3) le produit par un scalaire : α⊙ f =αu, u ∈ f

= αf ;

(4) la relation d’ordre f ≤p.p.

g si et seulement si f ≤p.p.

g , si et seulement si ∀ (u, v) ∈ f × g, u ≤p.p.

v.

On définit également les quantités suivantes :(5) l’intégrale :

∫fdµ =

∫fdµ ;

(6) la norme :∥∥f∥∥

1= N1 (f) ;

Remarque. Dans toute la suite, on identifie systématiquement un élément f ∈ L1 avec sa classed’équivalence f ∈ L1 et par abus de langage, on parlera de la « fonction » f ∈ L1. L’addition et lamultiplication des classes d’équivalence de L1 seront notées de manière usuelle+ et× (ou . ou encorerien) plutôt que ⊕ et ⊗. De même pour le produit par un scalaire ⊙ noté « . » (ou rien).

Théorème 1.7. L’espace (L1,⊕,⊙) est un espace vectoriel sur R et l’application ∥.∥1 est une normesur L1.

Démonstration. L1 est un espace vectoriel est démontré à l’exercice 1.12 page 26. Pour montrerque ∥.∥1 est une norme il suffit de montrer que ∥F∥1 = 0 ⇒ F = 0L1 . Soit f est un représentant deF alors

∫|f | dµ = 0 donc f =

p.p.0 , donc f ∈ 0L1 puis F = 0L1 .

Définition 1.15. Soit(fn)n∈N une suite deL

1 on dit que fn converge presque partout (ponctuellement)vers f dans L1, et on note fn →

p.p.f si et seulement si fn →

p.p.f .

Proposition 1.7. fn →p.p.

f dans L1 si et seulement si un →p.p.

u pour toute suite (un)n∈N constituée de

représentants de fn et pour tout représentant u ∈ f .

Démonstration.

– Si toute suite (un)n∈N constituée de représentants de fn converge presque partout vers n’importequel représentant u de f , alors la suite fn →

p.p.f donc fn →

p.p.f .

– Réciproquement, supposons que fn →p.p.

f . Choisissons pour tout n ∈ N, un représantant un ∈ fn

ainsi qu’un représentant u ∈ f . Il existe un négligeable A tel que fnχX\A → fχX\A ; il existe un négligeable B tel que uχX\B = fχX\B ; pour tout n ∈ N, il existe un négligeable An tel que unχX\An = fnχX\An .

En prenantC = A∪B∪( ∪n∈N

An

), négligeable, on a donc unχX\C = fnχX\C −→

n→∞fχX\C =

uχX\C , ce qui prouve le résultat.

Pierre Puiseux 2012


Remarque. Pour démontrer la convergence ponctuelle presque partout d’une suite(fn)n∈N vers f , la

dernière proposition nous autorise à choisir n’importe quel représentant des classes fn et f .

1.3. Différents modes de convergence dans L1

Définition 1.16. (Différents modes de convergence) Soit(fn)n∈N une suite de L

1 et f ∈ L1.

(1) Convergence (ponctuelle ou simple) « presque partout » : fn →p.p.

f si fn →p.p.

f ;

(2) on dit que limn→∞

fn = f « en mesure » si ∀ε > 0, limn→∞

[µ (x ∈ X, |fn (x)− f (x)| > ε)] = 0 ;

(3) on dit que limn→∞

fn = f « en norme » (ou « dans L1 ») si limn→∞

∥fn − f∥1 = 0.

Remarque. Sans hypothèse supplémentaire, il n’y a pas d’équivalence ni d’implication entre les di-vers modes de convergence. Voir les exercices 1.15 page 26 et 2.17 page 53.

On peut démontrer les résultats suivants :

Théorème 1.8. Si la suite (fn)n∈N converge en mesure vers f , alors il existe une sous-suite (fnk)k∈N

qui converge p.p. vers f .Si (fn)n∈N converge p.p. vers f et si la mesure est finie, alors (fn)n∈N converge en mesure vers f .

Démonstration. Voir [Genet] p.223.

1.4. Rappels de quelques résultats indispensables

1.4.1. Mesures produit. Les intégrales multiples peuvent être calculées grâce aux théorème deTonelli-Fubini. Le premier traite seulement des fonctions mesurables, sans se préoccuper de leur inté-grabilité, le second traite des fonctions intégrables. Dans les deux cas, pour pouvoir les appliquer, il estessentiel de vérifier la mesurabilité (intégrabilité) de la fonction f (x, y) sur l’espace mesuré produit.

Théorème 1.9. (Tonnelli, fonctions mesurables) Soient (X,U , µ) et (Y,V , ν) deux espaces mesurés σ-finisa. On note (Z,W , ξ) = (X × Y,U ⊗ V , µ⊗ ν) l’espace produit. Soit f : (x, y) ∈ Z 7→ f (x, y) ∈R, une fonction mesurable sur (Z,W , ξ) à valeurs dans R. Alors(1) l’application

φ : x 7→∫Y

f (x, y) dνy

est définie p.p. sur X à valeurs dans R et φ est mesurable sur (X,U , µ).(2) l’application

ψ : y 7→∫X

f (x, y) dµx

est définie p.p. sur Y à valeurs dans R et ψ est mesurable sur (Y,V , ν).De plus on a

∫Zfdξ =

∫Xφdµ =

∫Yψdν. En d’autres termes :∫

Z

f (x, y) dξ =

∫Y

(∫X

f (x, y) dµx

)dνy

=

∫X

(∫Y

f (x, y) dνy

)dµx

aUn espace mesure (X, T , µ) est σ-fini s’il existe un recouvrement dénombrable de X par des parties de mesure finie.C’est le cas de

(Rd,B

(Rd), λ).


1.4 Rappels de quelques résultats indispensables 17

Théorème 1.10. (Fubini, fonctions intégrables) Soient (X,U , µ) et (Y,V, ν) deux espaces mesurés σ-finisa. On note (Z,W , ξ) = (X × Y,U ⊗ V , µ⊗ ν) l’espace produit. Soit f : (x, y) ∈ Z 7→ f (x, y) ∈R, une fonction de L1

R (Z,W , ξ). Alors(1) l’application

φ : x 7→∫Y

f (x, y) dνy

est définie p.p. sur X et φ ∈ L1R (X,U , µ).

(2) l’application

ψ : y 7→∫X

f (x, y) dµx

est définie p.p. sur Y et ψ ∈ L1R (Y,V, ν).

De plus on a∫Zfdξ =

∫Xφdµ =

∫Yψdν. En d’autres termes :∫

Z

f (x, y) dξ =

∫Y

(∫X

f (x, y) dµx

)dνy

=

∫X

(∫Y

f (x, y) dνy

)dµx

aUn espace mesure (X, T , µ) est σ-fini s’il existe un recouvrement dénombrable de X par des parties de mesure finie.C’est le cas de

(Rd,B

(Rd), λ).


Un produit tensoriel sur le produit cartésien de deux espaces est simple à calculer :

Théorème 1.11. sous les hypothèses du théorème précédent, si f (x, y) = g (x)h (y) avec g ∈L1

R (X,U , µ) et h ∈ L1R (Y,V , ν) alors∫

X×Yfdµ⊗ ν =

∫X

gdµ

∫Y

hdν


Exemple. f (x, y) = x3y2

(1) Pour D = ]0, 1[2, calculons

I =

∫D

x3y2dxdy

=

∫ 1

0

(∫ 1

0

x3y2dy

)dx

=

(∫ 1

0

x3dx

)(∫ 1

0

y2dy

)=

1

4× 1

3=

1

12

Pierre Puiseux 2012


(2) Lorsque le domaine est un triangle D = (x, y) ∈ R2, 0 < x < 1, 0 < y < x, les chose se com-pliquent un peu, D n’est pas un produit cartésien.

I =

∫D

x3y2dxdy =

∫ 1

0

(∫ x

0

x3y2dy

)dx

=

∫ 1

0

x3[y3

3

]x0

dx =1

3

∫ 1

0

x6dx =1

21

Remarque. Attention, il faut bien vérifier la sommabilité de f .

Exemple 1.11. f (x, y) = x2−y2(x2+y2)2

sur [0, 1]2 on trouve∫[0,1]

(∫[0,1]

f (x, y) dλx

)dλy =

∫[0,1]

[− x

x2 + y2

]10

dλy

= −∫[0,1]

1

1 + y2dλy

=−π4

tandis que ∫[0,1]

(∫[0,1]

f (x, y) dλy

)dλx =

π

4

ce résultat semble contredire le théorème de Fubini. Il n’en est rien, c’est simplement l’hypothèsef ∈ L1

([0, 1]2

)qui n’est pas satisfaite.

1.4.2. Changement de variable. Utile pour calculer effectivement des intégrales simples oumul-tiples.

Théorème 1.12. (Changement de variable y = φ (x) dans Rn) Soient D et ∆ deux ouverts de Rn etφ un C1−difféomorphisme de D sur ∆. Alors, pour toute fonction f : D → R, λ−intégrable sur D,on a ∫

D

f (x) dλx =

∫φ(D)

(f φ−1

)(y)∣∣det (J (φ−1

)(y))∣∣ dλ (y)

où J (φ−1) (y) =

(∂(φ−1)

i

∂xj(y)

)1≤i≤n,1≤j≤n

désigne la matrice jacobienne de φ−1 en y.

On peut écrire ce théorème sous la forme suivante :

Théorème 1.13. (Changement de variable x = φ (y) dans Rn) Soient D et ∆ deux ouverts de Rn etφ un C1−difféomorphisme de ∆ sur D. Alors, pour toute fonction f : D → R, λ−intégrable sur D,on a ∫

D

f (x) dλx =

∫φ−1(D)

(f φ) (y) |det (J (φ) (y))| dλy

où J (φ) (y) =(∂φi

∂xj(y))1≤i≤n,1≤j≤n

désigne la matrice jacobienne de φ en y.

Exemple. Calculons l’intégrale I =∫Df (x, y) dxdy pour D =

(x, y) ∈ R2

, x2 + y2 < Ret

f (x, y) = 11+x2+y2

à l’aide du changement de variables polaire (x, y) = φ (r, t) = (r cos t, r sin t)


1.4 Rappels de quelques résultats indispensables 19

– ∆ = φ−1 (D) = ]0, R[× ]0, 2π[

– La jacobienne : φ′ (r, t) =

(cos t −r sin tsin t r cos t

)et son déterminant : |det (φ′ (r, t))| = r

– La formule de changement de variables :∫D

f (x, y) dxdy =

∫∆

f (r cos t, r sin t) .r.drdt =∫ 2π

0

∫ R

0

r

1 + r2drdt

=

(∫ R

0

r

1 + r2dr

)(∫ 2π

0

dt

)= 2π ln

(1 +R2

)1.4.3. Echange limite et intégrale. Soient (X, T , µ) est un espace mesuré, Y est un intervalle

non vide de R, et y0 ∈ Y .

Soit f : X × Y → R une application vérifiant : pour tout y ∈ Y , la fonction f (•, y) : x ∈ X 7→f (x, y) ∈ R est dans L1 (X) et on pose

φ (y) =

∫X

f (x, y) dµx

Théorème 1.14. (Continuité sous le signe∫) L’applicationφ est continue en y0 si il existe un voisinage

V0 de y0 tel que :(1) f (•, y) est dominée sur V0 (p.p. en x ∈ X) par une fonction G ∈ L1 (X)(2) f (x, •) est continue en y0, p.p. en x ∈ X ;

Démonstration. Voir le cours de mesure.

Théorème 1.15. (Dérivation sous le signe∫) L’application φ est dérivable en y0 et

φ′ (y0) =

∫X

∂f

∂yf (x, y0) dµx

si il existe un voisinage V0 de y0 tel que :(1) ∂f

∂y(•, y) est dominée sur V0 (p.p. en x ∈ X) par G ∈ L1 (X) ;

(2) f (x, •) est continuement dérivable sur V0 (p.p. en x ∈ X) ;

Démonstration. Voir le cours de mesure.

Exemple 1.12.

– X = [0, 1], la suite fn = nχ]0, 1n ]converge presque partout vers f = 0, mais la convergence n’est

pas dominée. Il n’y a pas convergence en norme L1 puisque ∥fn − 0∥1 = 1– X = R+, la suite fn (x) = e−xχ[n,+∞[ converge presque partout vers x 7→ e−x, la convergenceest dominée par g (x) = e−x qui est une fonction de L1 (X) car

∫Xgdµ = 1.

Remarque. On retiendra que les hypothèses sont dans les deux cas : ∀p.p.x ∈ X , ∀y ∈ V0

(1) Domination de f (•, y) ou ∂f∂y

(•, y)(2) continuité ou dérivabilité... de f (x, •)

Pierre Puiseux 2012


Exemple 1.13. Transformée de Fourier d’une fonction ψ ∈ L1 (R) :

ψ (y) =

∫Rψ (x) e−ixydλx

ψ est définie pour tout y ∈ R car f (x, y) = ψ (x) e−ixy est mesurable et |f (x, y)| ≤ |ψ (x)|

(1) Continuité en y0 ∈ R : soit V0 = R(a) pour tout y ∈ V0, f (•, y) est dominée (p.p. en x ∈ R) par |ψ| qui est L1 (R) .(b) f (x, •) est continue en y0 (p.p. en x ∈ R)

Donc ψ est continue en y0. La transformée de Fourier d’une fonction L1 (R) est continue.(2) Dérivabilité en y0 ∈ R : soit V0 = R

(a) pour y ∈ V0, la dérivée partielle est ∂f∂y (x, y) = −ixψ (x) e−ixy donc∣∣∣∂f∂y (x, y)∣∣∣ est dominée

par |xψ (x)|. Si on impose à x 7→ xψ (x) d’être dans L1 (R) alors la première hypothèse duthéorème de dérivation est assurée.

(b) f (x, •) est C1 (V0) p.p. en x ∈ RDonc si x 7→ xψ (x) est dans L1 (R), alors ψ est dérivable en tout point y ∈ R et ψ′ (y) =∫

R −ixψ (x) e−ixydλx = −ixψ (x) (y)

1.4.4. Mesures régulières.

Théorème 1.16. Soit une mesure µ sur B (R) finie sur les compacts (c’est à dire : pour tout compactK de R, µ (K) <∞). Alors pour tout A ∈ B (R) et pour tout ε > 0, il existe un ouvertO et un ferméF tels que F ⊂ A ⊂ O et µ (O \ F) < ε. On a donc µ (A) = inf µ (O) ,O ouvert contenant A etµ (A) = sup µ (K) , K compact contenu dans A.

Démonstration. Cf cours de mesure.

On déduit de ce théorème la propriété suivante, utilisée dans la première partie de la démonstration 1.19page 23 :

Proposition 1.8. Soit A ∈ B (R), de mesure finie, et ε > 0. Il existe une fonction φ ∈ Cc (R,R)(espace des fonctions continues à support compact) qui approche χA à ε près, en normeL1. Autrementdit φ vérifie ∥χA − φ∥1 < ε

Démonstration. Soient donc ε > 0 et A ∈ B (R) de mesure finie et f = χA. Par le théorème surles mesures régulières ( 1.16), on peut trouver un ouvert O et un fermé F tels que F ⊂ A ⊂ O etλ (O \ F ) ≤ ε

2.

– On commence par remplacerF par un compactK vérifiant la même propriété queF . LemesurableFn = F ∩ [−n, n] est compact (fermé borné) et F =

∪n∈N

Fn. La suite (Fn)n∈N est croissante, donc

λ (Fn) ↑ λ (F ) ≤ λ (A) < ∞ donc λ (F \ Fn) = λ (F )− λ (Fn) → 0 quand n → +∞. Il existedonc n0 ∈ N tel que λ (F \ Fn0) <

ε2. PosonsK = Fn0 , c’est un compact qui vérifieK ⊂ A ⊂ O

et λ (O \K) < ε.– On construit maintenant la fonction :

γ : R → [0, 1]

x 7→ γ (x) =d (x,R \O)

d (x,R \O) + d (x,K)(1.4.1)


1.5 Théorèmes dans L1 21

qui est définie sur R car le dénominateur ne s’annule pas puisque les deux fermés R \O etK sontdisjoints1. Elle est à valeur dans [0, 1] et continue car x 7→ d (x,E) est continue pour tout E ∈B (R). Donc γ ∈ C∩L1 car elle est bornée. De plusR est partitionné enR = (R \O)∪(O \K)∪Kavec f − γ = 0 sur (R \O) ∪K et |f − γ| ≤ 1 sur O \K. On a donc

∥f − γ∥1 =

∫R|f − γ| dλ

=

∫O\K

|f − γ| dλ

≤ 2λ (O \K)

< ε

1.5. Théorèmes dans L1

Le théorème de convergence dominée, version L1, est une extension du théorème de Lebesgue 1.6page 14. Il s’écrit :

Théorème 1.17. (Théorème de convergence dominée version L1) Soit(fn)n∈N une suite de L1 et

f : X → R telles que :(1) fn →

p.p.f ;

(2) il existe g ∈ L1 qui « domine » fn c’est à dire telle que ∀n ∈ N,∣∣fn∣∣ ≤

p.p.g.

Alors f ∈ L1 et limn→∞

fn = f dans L1 (donc en norme).

Démonstration. Les fonctions fn et g vérifient les hypothèses du théorème de Lebesgue 1.6 page 14 :

– (fn)n∈N ⊂ L1 ⊂ M ;– fn →

p.p.f ;

– g ∈ L1 et pour n ∈ N, |fn| ≤p.p.

g.

On en déduit que f ∈ L1 donc f ∈ L1, et que limn→∞

∫|fn − f | dµ = 0 donc lim

n→∞

∫ ∣∣fn − f∣∣ dµ =

limn→∞

∥∥fn − f∥∥1= 0 c’est à dire lim

n→∞fn = f .

Le théorème suivant est fondamental, il indique que dans L1, toute suite de Cauchy converge.

Théorème 1.18. (L1, ∥.∥1) est un espace de Banach.

1On note d (x,B) = infy∈B

|x− y| ≥ 0. Si d (x,R \O) + d (x,K) = 0 alors d (x,R \O) = 0 et d (x,K) = 0 donc il

existe (xn)n∈N ⊂ R \ O et (x′n)n∈N ⊂ K qui convergent vers x. Comme R \ O et K sont fermés, x ∈ (R \O) ∩K cequi est impossible puisque ces deux fermés sont disjoints.

Pierre Puiseux 2012


Démonstration. Pour montrer que L1 est complet pour la norme ∥.∥1, il suffit de montrer que toutesérie normalement convergente est convergente2. Soit donc

∑n∈N fnune série NCV dans L1, c’est à

dire telle que ∀n ∈ N, fn ∈ L1 et ∑n∈N

∥∥fn∥∥1 < +∞(1.5.1)

Nous allons utiliser successivement le théorème de Beppo-Lévi, la complétude deR, puis le théorèmede convergence dominée.

(1) On définit la fonction G sur X par G (x) =∑n∈N

|fn (x)| ∈ R. Montrons que la classe de G est

dans L1 : pour n ∈ N, on pose Gn =∑

0≤k≤n|fn| ∈ L1 ⊂ M+. C’est une suite positive, croissante

(partout) et qui converge ponctuellement (partout) vers G. Le théorème Beppo-Lévi 1.5 page 13permet alors de conclure que :– G est dansM+ ;–∫Gdµ = lim

n→∞

∫Gndµ =

∑n∈N

∥fn∥1 qui est fini par hypothèse.

donc G ∈ L1, donc G ∈ L1.(2) On se ramène à la complétude deR : pour tout x ∈ X , la série numérique

∑n∈N

|fn (x)| = limn→∞

Gn (x) =

G (x) converge dans R (série numérique à termes positifs) et comme G ∈ L1 on a G (x) < +∞sauf sur un négligeable A (voir exercice 1.1 page 25). Donc pour tout x ∈ X \ A, fixé, la sérienumérique

∑n∈N

fn (x) est absolument convergente dans R qui est complet. Elle est donc conver-

gente. Soit Fn (x) =∑

0≤k≤nfk (x) sa somme partielle et F (x) = lim

n→∞Fn (x) =

∑n∈N

fn (x) < +∞sa somme.

(3) Montrons que la série∑n∈N

fn est convergente vers F dans L1 :

–(Fn)n∈N ⊂ L1 comme somme de fonctions de L1 ;

– Fn →p.p.

F ;

– pour tout n ∈ N on a∣∣Fn∣∣ ≤

p.p.F .

En utilisant le théorème de convergence dominée 1.17 page précédente on en déduit que f ∈ L1

et limn→∞

sn = f dans L1.

Corollaire 1.1. (Séries normalement convergentes dans L1.) Dans L1 toute série normalementconvergente est(1) convergente en norme ∥.∥1 ;(2) convergente presque partout.

C’est exactement ce qui a été démontré au théorème 1.18 page précédente

Le théorème suivant est un théorème de densité, qui précise que toute fonction de L1 peut être appro-chée d’aussi près que l’on veut (au sens L1) par une fonction continue à support compact. Autrementdit, toute fonction λ-intégrable de R dans R est la limite dans L1, d’une suite de fonctions continuesà support compact.

2Soit (E, ∥.∥) un espace vectoriel normé. Une suite (xn)n∈N ⊂ E converge vers x ∈ E si et seulement silimn→+∞ ∥xn − x∥ = 0


1.5 Théorèmes dans L1 23

Théorème 1.19. L’ensemble C0c (R,R) des (classes de) fonctions continues à support compact de R

dans R est dense dans l’ensemble L1R (R,B (R) , λ), c’est à dire :

∀f ∈ L1,∀ε > 0,∃φ ∈ C0c : ∥f − φ∥1 ≤ ε

Remarque. En réalité, on considère non pas C0c mais l’espace C0

c des classes (pour la relation =p.p.) de

fonctions mesurables, qui admettent un représentant continu à support compact.

Démonstration. Tout d’abord il faut montrer que C0c ⊂ L1 : si φ ∈ C0

c alors elle est nulle en dehorsd’un intervalle [a, b], mesurable et bornée car continue. Donc∫

R|φ| dλ =

∫[a,b]

|φ| dλ ≤ (b− a) sup |φ| <∞

ce qui montre que φ ∈ L1.

On se donne maintenant ε > 0 et on raisonne en plusieurs étapes :

– onmontre que toute fonction caractéristiqueχA ∈ L1, peut être approchée à ε près par une fonctionφ ∈ C0

c ;– on montre que toute fonction étagée f ∈ E+ ∩ L1 peut être approchée à ε près par une fonctionφ ∈ C0

c ;– onmontre que toute fonctionmesurable f ∈ M+∩L1 peut être approchée à ε près par une fonctionφ ∈ C0

c ;– on montre que toute fonction intégrable f ∈ L1 peut être approchée à ε près par une fonctionφ ∈ C0

c .

(1) Si f = χA, avec A ∈ B (R) et λ (A) < +∞, alors il existe une fonction φ ∈ C0c qui approche f à

ε près, c’est à dire vérifiant ∥f − φ∥1 < ε. Voir 1.8 page 20.(2) Si f ∈ E+ ∩L1, alors soit f =

∑0≤k≤p

αkχAkla décomposition canonique de f , où 0 ≤ α0 < α1 <

· · · < αp, et (Ak)0≤k≤p ⊂ B (R) forme une partition de R. Comme f ∈ L1 on a nécessairementα0 = 0, les Ak sont de mesure finie sauf A0, et f =

∑1≤k≤p

αkχAk. D’après ce qui précède, il

existe des fonctions φk, 1 ≤ k ≤ p de C0c telles que ∥φk − χAk

∥1 < ε∑1≤k≤p

αkdonc en posant

φ =∑

1≤k≤pαkφk on obtient ∥f − φ∥1 < ε.

(3) Si f ∈ M+ ∩ L1, on sait que f est limite ponctuelle p.p. d’une suite croissante de fonctionsétagées positives (fn)n∈N. Par le théorème de convergence dominée, puisque (fn)n∈N est dominéep.p. par f ∈ L1, la convergence p.p. implique la convergence dans L1. Donc il existe une fonction,fn0 ∈ E+ ∩ L1, telle que 0 ≤ fn0 ≤ f et ∥f − fn0∥1 ≤

ε2et d’après ce qui précède, fn0 peut être

approché à ε2par une fonction φ ∈ Cc : ∥fn0 − φ∥1 <

ε2. On a donc ∥f − φ∥1 ≤ ∥f − fn0∥1 +

∥fn0 − φ∥1 < ε.(4) Finalement, si f ∈ L1 alors f = f+ − f−, où f+ ∈ M+ ∩ L1 et f− ∈ M+ ∩ L1 peuvent être

approchées à ε2près par des fonctions φ+, φ− ∈ C0

c et en posant φ = φ+ − φ−, on a ∥f − φ∥1 =∥(f+ − φ+)− (f− − φ−)∥1 ≤ ∥f+ − φ+∥1 + ∥f− − φ−∥1 ≤ ε d’où le résultat.

Pierre Puiseux 2012


Théorème 1.20. (Riemann-Lebesgue dans [a, b]) Pour toute fonction f ∈ L1 ([a, b]) on a∫[a,b]

f (t) eitxdt −−−−→|x|→∞

0

en particulier ∫[a,b]

f (t) cos (tx) dt −−−−→|x|→∞

0

et ∫[a,b]

f (t) sin (tx) dt −−−−→|x|→∞

0

Démonstration. Par densité de l’ensemble des fonctions en escalier Esc ([a, b]) dans (C0 ([a, b]) , ∥.∥∞)(voirexercice 1.19 page 27), puis densité de C0 ([a, b]) dans (L1, ∥.∥1) : soit ε > 0

(1) si f ∈ Esc ([a, b]) alors f =∑

1≤k≤nciχ]ai−1,ai[ avec a0 < a1 < · · · < an donc∣∣∣∣∫

[a,b]

f (t) eitxdt

∣∣∣∣ ≤∑

1≤i≤n

|ci|∣∣∣∣∫

[ai−1,ai]

eitxdt

∣∣∣∣≤

( ∑1≤i≤n

|ci|

)2

|x|

qui tend vers 0 quand |x| → ∞.(2) Si f ∈ C0 ([a, b]) il existe une fonction φ, en escalier sur [a, b], telle que ∥f − φ∥∞ ≤ ε

2(b−a) et on

peut trouver A tel que pour |x| > A,∣∣∣∫[a,b] φ (t) eitxdt

∣∣∣ < ε2. Alors∣∣∣∣∫

[a,b]

f (t) eitxdt

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∫[a,b]

(f − φ) (t) eitxdt+

∫[a,b]

φ (t) eitxdt

∣∣∣∣≤

∣∣∣∣∫[a,b]

(f − φ) (t) eitxdt

∣∣∣∣+ ∣∣∣∣∫[a,b]

φ (t) eitxdt

∣∣∣∣≤ (b− a) ∥f − φ∥∞ +

∣∣∣∣∫[a,b]

φ (t) eitxdt

∣∣∣∣≤ ε

2+ε

2

d’où le résultat pour les fonctions de C0 ([a, b]).(3) Si f ∈ L1 ([a, b]) il existe φ ∈ C0 ([a, b]) telle que ∥f − φ∥1 <

ε2et d’après le point précédent, il

existe A > 0 tel que pour tout |x| > A,∣∣∣∫[a,b] φ (t) eitxdt

∣∣∣ < ε2∣∣∣∣∫

[a,b]

f (t) eitxdt

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∫[a,b]

(f − φ) (t) eitxdt+

∫[a,b]

φ (t) eitxdt

∣∣∣∣≤

∫|f − φ| (t) dt+

∣∣∣∣∫[a,b]

φ (t) eitxdt

∣∣∣∣≤ ∥f − φ∥1 +

∣∣∣∣∫[a,b]

φ (t) eitxdt

∣∣∣∣≤ ε

2+ε

2


1.5 Exercices du chapitre 1 25

d’où le résultat.

Exercices du chapitre 1

Généralités et rappels.

Exercice 1.1. Soit f ∈ M+. Montrer que si∫fdµ < +∞ alors f < +∞ p.p.. On pourra raisonner

par l’absurde.

Exercice 1.2. Autour de l’inégalité de Markov. Soit (X, T , µ) un espace mesuré. On rappelle le ré-sultat suivant, vu au semestre 1 :

– si (An)n∈N ⊂ T est une suite croissante de mesurables alors µ( ∪n∈N

An

)= lim

n→∞µ (An).

– si (Bn)n∈N ⊂ T est une suite décroissante de mesurables alors µ( ∩n∈N

Bn

)= lim

n→∞µ (Bn).

Soit f ∈ L1 (X, T , µ) une fonction à valeurs dans R, et f un représentant de f .

(1) Démontrer l’inégalité de Markov : pour tout t > 0,

(1.5.2) µ (|f | > t) < 1

t∥f∥1

(2) On suppose que ∥f∥1 = 0. Pour n ∈ N∗ on pose An =|f | > 1

n

et A = |f | > 0.

(a) Établir que An est négligeable.(b) Montrer que (An)n∈N est une suite croissante (pour l’inclusion) et que

∪n∈N

An = |f | > 0.

(c) En déduire que µ (|f | > 0) = 0, puis que f = 0 p.p..(d) Étendre le résultat à f .

(3) Montrer que |f | <∞ p.p. On pourra considérer Bn = |f | ≥ n, l’intersection des Bn et utiliserl’inégalité de Markov (1.5.2). Étendre le résultat à f .

Exercice 1.3. Soit X = [0, 1[ et la suite de fonctions définies sur X par fn =∑

0≤k<2n

k2nχ[ k

2n, k+12n [

(1) Etablir que fn ∈ E+ et que fn est donnée sous sa forme canonique ;(2) calculer

∫Xfndλ ;

(3) montrer que (fn)n∈N est une suite croissante ;(4) calculer la limite simple de (fn)n∈N ;(5) en déduire la valeur de

∫Xxdλ.

Exercice 1.4.

(1) Établir qu’il existe une suite croissante de fonctions étagées qui converge vers la fonction cos,définie sur R.

(2) Construction d’une telle suite :(a) Construire une suite (gn)n∈N croissante qui converge vers cos sur [−π, 0] ;(b) construire une suite (hn)n∈N croissante qui converge vers cos sur [0, π] ;(c) construire une suite (fn)n∈N croissante qui converge vers TODO

Exercice 1.5. On considère un espace mesuré (X, T , µ) où µ est une mesure finie. Trouver une fonc-tion f : X → R qui soit NON mesurable et telle que |f | soit mesurable.

Pierre Puiseux 2012


Exercice 1.6. Dans cet exercice, l’espace mesuré est X = [0, 1] muni de la tribu des boréliens sur[0, 1] et de la mesure de Lebesgue.

(1) Trouver deux fonctions f ∈ L1 et g ∈ L1 et fg /∈ L1.(2) Soit δ0 la mesure de Dirac en 0. Soit f ∈ M+. Calculer

∫fdδ0

Exercice 1.7. Trouver une fonction f ∈ L1 non nulle, telle que N1 (f) = 0

Exercice 1.8. Montrer que si f est mesurable alors limµ(E)→0

∫Efdµ = 0, c’est à dire :

∀ε > 0,∃η > 0,∀E ∈ T , |µ (E)| < η ⇒∣∣∣∣∫E

fdµ

∣∣∣∣ < ε

On pourra utiliser la suite de fonction n ∈ N, fn (x) = max (n, f (x)) et un théorème de convergencemonotone.

Presque partout.

Exercice 1.9. X = [0, 1], Montrer que la suite de fonctions fn =∑

1≤k<2n

k2nχ[ k

2n, k+12n ] converge presque

partout vers la fonction f (x) = x.

Exercice 1.10. Soit deux fonctions f, g ∈ M telles que f =p.p. g. Montrer que∫fdµ =

∫gdµ

L’espace L1.

Exercice 1.11. Établir que L1 est un espace vectoriel.

L’espace L1.

Exercice 1.12. Soient f et g dans L1. On rappelle que l’addition de f et g est définie par f ⊕ g :=u+ v, u ∈ f, v ∈ g

.

(1) Montrer que f ⊕ g = f + g, en déduire que ⊕ est une loi de composition interne dans L1.(2) Existe-t-il un élément neutre pour ⊕ ?(3) En déduire que L1 est un espace vectoriel.

Exercice 1.13. On sait que toute fonction de f ∈ M+ est limite simple d’une suite croissante de(fn)n∈N ⊂ E+. Montrer que fn converge vers f en norme dans L1.

Exercice 1.14. Soient f et g deux éléments de L1. On définit sur L1 la relation f 4 g si et seulementsi il existe u0 ∈ f et v0 ∈ g tels que u0 ≤p.p. v0.

(1) Montrer que f 4 g si et seulement si ∀ (u, v) ∈ f × g, u ≤p.p. v ;(2) montrez que 4 est une relation d’ordre sur L1.

Théorèmes importants.

Exercice 1.15. Différents modes de convergence.

(1) Montrer que la convergence presque partout n’entraîne pas la convergenceL1 en considérant fn =nχ]0, 1n ]


1.5 Exercices du chapitre 1 27

(2) Montrer que la convergence en norme L1 n’entraîne pas la convergence presque partout en consi-dérant la suite (dite « bosse glissante ») : pour p ∈ N∗ fixé, on pose l (p) = p(p−1)

2, et on définit les p

fonctions fn pour n allant de n = l (p)+1 jusqu’à n = l (p)+p = l (p+ 1), par fl(p)+k = χ] k−1p, kp ],

1 ≤ k ≤ p. On posera Tp = ]]l (p) + 1, l (p) + p]] = ]]l (p) + 1, l (p+ 1)]] et on remarquera que(Tp)p∈N est une partition de N.

Exercice 1.16. Étudiez la convergence de la suite fn : x ∈ R+ 7→ fn (x) = e−xχ[n,+∞[ :

(1) presque partout(2) en norme L1

(3) en mesure

Exercice 1.17. Extension p.p. du théorème de convergence monotone 1.1 page 11.Soit (fn)n∈N une suite de fonctions deM+, croissante-p.p.

(1) Justifier que f =p.p.

limn→+∞

fn existe.

(2) Montrer que∫fdµ = limn

∫fndµ.

Exercice 1.18. Extension du théorème de Beppo-Lévi 1.5 page 13. Soit (fn)n∈N ⊂ L1 et f : X → Rvérifiant :

– fn → f p.p. pour n→ ∞– la suite fn est monotone croissante c’est à dire fn+1 ≥ fn p.p., pour tout n ∈ N

(1) Construire une suite (gn)n∈N de L1 et g ∈ M telles que– fn = gn p.p. et– f = g p.p. et– gn+1 ≥ gn pour tout n ∈ N– gn (x) → g (x) pour tout x ∈ X

(2) Montrer que f ∈ L1 ⇔ limn→∞∫fndµ ∈ R (Appliquer le théorème de convergence monotone à

la suite (gn − g0)n∈N)(3) On suppose que f ∈ L1, montrer que fn → f dans L1, lorsque n→ ∞.

Exercice 1.19. Soit I = [a, b] un intervalle de R. Montrer que l’ensemble des fonctions en escalierEsc (I) est dense dans l’ensemble des fonctions continues (C0 (I) , ∥.∥∞).

Exercice 1.20. Transformée de Fourier. Dans cet exercice, on prend (X, T , µ) = (R,B (R) , λ).

Soit f ∈ L1. La transformée de Fourier de f est définie pour tout t ∈ R par f (t) =∫f (x) e−iβtxdµx

oùβ ∈ R .

(1) Montrer que f est définie, bornée,(2) Montrer que f est continue sur R. Pour cela, montrer que si (tn) est une suite réelle qui converge

vers t ∈ R, alors f (tn) → f (t), en appliquant le théorème de convergence dominée à la suitegn (x) = f (x) e−iβtnx.

(3) Généraliser à (X, T , µ) =(Rd,B

(Rd), λ).

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29

CHAPITRE 2

Les espaces Lp

Dans tout ce chapitre, on considère un espace mesuré (X, T , µ). On désigne par M l’ensemble desfonction mesurables de X dans R. Toutes les applications considérées dans ce chapitre vont de Xdans R ou C = C ∪ +∞. Sauf en cas de besoin, on considèrera que ces applications sont à valeurdans R, l’extension des propriétés et définitions, aux fonctions à valeur dans C est en général sansdifficulté.

On y étudie les espaces Lp et Lp de fonctions de puissance p-ième intégrable, de manière semblableà l’étude des espaces L1 et L1. Une part importante du travail consiste à démontrer que f 7→ ∥f∥p =(∫

|f |p dµ) 1

p est une norme sur Lp (pour 1 ≤ p < +∞).

Le cas de L∞ est singulier et traité à part avec sa norme f 7→ ∥f∥∞ = infC ∈ R, |f | ≤

p.p.C

Tous les Lp sont des espaces de Banach (i.e. de espaces vectoriels normés complets), un théorème deconvergence dominée y est valide sauf dans L∞.

Dans le cas où la mesure est finie (par exemple, lorsque X est un intervalle borné de R et µ est lamesure de Lebesgue), on peut comparer les espaces Lp au sens de l’inclusion, et on montre que

– pour p > q > 1 on a Lp ⊂ Lq (p 7→ Lp est décroissante)– et l’application (injection canonique) f ∈ Lp 7→ f ∈ Lq est continue, ce que l’on note L∞ →Lp → Lq → L1

Un contre exemple est donné lorsque la mesure n’est pas finie.

On y démontre quelques théorèmes de densité. PourX ouvert deRn, et la mesure de Lebesgue, lorsquep < +∞ , de nombreux espaces sont denses dans Lp, pour 1 ≤ p < ∞. (Attention, les propriétéssuivantes sont toutes fausses pour p = +∞ ) :

– l’ensemble Lp ∩ Lq est dense dans chacun des Lp et Lq ;– l’ensemble Cc (Ω) des fonctions continues à support compact est dense dansLp. Le résultat suivantest plus fort (et sa démonstration beaucoup plus difficile) :

– l’ensemble D (Ω) des fonctions de classe C∞ à support compact est dense dans Lp ; à noter queD (Ω) est un ensemble très « petit » mais non dénombrable. Le résultat suivant est encore plusfort :

– Lp est séparable (contient un sous ensemble dénombrable et dense).

On y étudie le dual topologique de Lp (i.e. l’ensemble, noté (Lp)′, des formes linéaires continuessur Lp). On admet le théorème (fondamental) de représentation de Riesz qui assure que (Lp)′ estisométriquement isomorphe àLq (avec 1

p+ 1q= 1) et que l’on peut ainsi identifier les deux : (Lp)′ ≡ Lq.

Sauf, une fois encore, pour p = +∞.

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30 Chapitre 2. Les espaces Lp

2.1. Définition, premières propriétés

2.1.1. Les espaces Lp, 1 ≤ p < +∞. Si f ∈ M, on note que |f |p = φ f où φ : s ∈ R 7→φ (s) = |s|p est continue donc mesurable. Par conséquent,

∫|f |p dµ est bien définie.

Définition 2.1. (Espaces Lp.) Soient f ∈ M et 1 ≤ p < +∞.pour f ∈ M, on pose

∥f∥p =

(∫|f |p dµ

) 1p

et on définit l’espaceLp =

f ∈ M, ∥f∥p < +∞

On notera que ∥f∥p peut être infinie. L’idée de cette définition est de donner une estimation de l’inté-grabilité des fonctions. En élevant une fonction |f | à la puissance p ≥ 1 on amplifie ses grandes valeurset l’appartenance de f à Lp signifie que ces grandes valeurs ne pèsent pas trop lourd relativement à lamesure µ.

Exemple.

(1) SiX = N, T = P (N) et µ est la mesure de comptage sur N, on retrouve l’espace bien connu dessuites de puissance p-ième absolument sommable :

lpR =

(an)n∈N ⊂ R,

∑n∈N

|an|p < +∞

(2) Si X = [0, 1], T = B ([0, 1]) et µ = λ mesure de Lebesgue, f : x → 1√

x∈ R, on voit facilement

que f ∈ L1 mais f /∈ L2.

Proposition 2.1. (Lp,+, .) est un espace vectoriel sur R.

Démonstration. Soient α ∈ R et f ∈ Lp et g ∈ Lp. On note tout d’abord que f + g est mesurablecomme somme de deux fonctions mesurables.

– On a αf ∈ M et∫|αf |p dµ = |α|p

∫|f |p dµ < +∞ donc αf ∈ Lp.

– Pour montrer que f + g ∈ Lp, voici une première majoration grossière de ∥f + g∥p (Nous ver-rons plus loin que ∥.∥p est une norme, ce qui résulte d’une majoration plus fine) : comme p > 1,la fonction ψ : s 7→ |s|p est convexe (voir l’exercice 2.1 page 51)1. Donc ∀a, b ∈ R,

∣∣a+b2

∣∣p ≤12(|a|p + |b|p). En particulier on en déduit que∀x ∈ X, |f (x) + g (x)|p ≤ 2p−1 (|f (x)|p + |g (x)|p)

donc∫|f + g|p dµ ≤ 2p−1

(∫|f |p dµ+

∫|g|p dµ

)< +∞ donc f + g ∈ Lp.

-2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2

0,25

0,5

0,75

1

1,25

p=1/2

p=1

p=1,5

p=2

Fig. 2.1.1. fonctions s 7→ |s|p , p ∈

12, 1, 3

2, 2

1Donc ∀a, b ∈ R, ∀ω ∈ [0, 1] on a ψ (ωa+ (1− ω) b) ≤ ωψ (a) + (1− ω)ψ (b)


2.1 Définition, premières propriétés 31

La restriction à Lp de la relation =p.p.

(définie surM au chapitre précédent, voir 1.13 page 14) est une

relation d’équivalence sur Lp. On peut donc poser de manière analogue à ce que nous avons fait pourL1 au chapitre précédent :

Définition 2.2. (Espaces Lp, 1 ≤ p < +∞)

(1) L’espace Lp est l’espace quotient Lp/(=p.p.

). C’est l’ensemble des classes d’équivalence pour la

relation =p.p.

restreinte à Lp.

(2) Pour f ∈ Lp∥∥f∥∥

p= ∥f∥p (qui ne dépend pas du représentant f ∈ f choisi.)

On définit dans Lp les opérations ⊕,⊗,⊙ exactement comme dans L1 et on a la propriété :

Proposition 2.2. (Lp,⊕,⊙) et est un espace vectoriel sur R, ≤p.p.

est un ordre partiel sur Lp.

Voir exercice 2.2 page 51.

Remarque. Comme dans le cas de L1, on adoptera les notations standard +,×,≤ etc. pour les diffé-rentes opérations dans Lp évoquées ci-dessus. Par abus de langage, on assimilera une fonction de Lp àsa classe dans Lp, et on parlera souvent de fonction Lp plutôt que de classe. Lorsque l’on parle d’uneclasse f ∈ Lp, on sous entend que la fonction f est dansLp et f est sa classe d’équivalence. Lorsqu’onparlera d’une classe de Lp sans qu’il soit nécessaire d’en choisir un représentant d’une classe, on lanotera f ∈ Lp plutôt que f .

Montrons maintenant que ∥.∥p est une semi-norme sur Lp et une norme sur Lp. Pour cela on a besoinde quelques lemmes.

Définition 2.3. Soint p et q deux réels de [1,+∞]. On dit que p et q sont conjugués si1

p+

1

q= 1

Remarque.

(1) 1 et +∞ sont conjugués.(2) On peut dire indifférement p est le conjugué de q, q est le conjugué de p ou bien p et q sont

conjugués.(3) Le conjugué de p est p

p−1.

Lemme 2.1. (Inégalité de Young.) Soient p, q ∈ ]1,+∞[ tels que 1p+ 1

q= 1. Alors ∀a, b ∈ R+ :

ab ≤ ap

p+bq

q

Démonstration. Si ab = 0 l’inégalité est évidente,

si ab = 0 on applique la convexité de la fonction exponentielle exp (ωs+ (1− ω) t) ≤ ω exp (s) +(1− ω) exp (t) à ω = 1

p, s = p ln a et t = q ln b.

Remarque. On a égalité si et seulement si s = t c’est à dire ap = bq

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Lemme 2.2. (Inégalité de Hölder dans Lp et dans Lp.) Soient p, q ∈ ]1,+∞[ tels que 1p+ 1

q= 1, et

soient f ∈ Lp et g ∈ Lq. Alors fg ∈ L1 et∥fg∥1 ≤ ∥f∥p ∥g∥q

Le résultat subsiste si l’on remplace L par L.

Démonstration. fg est mesurable comme produit de fonctions mesurables. Pour tout x ∈ X onpeut écrire : |f (x) g (x)| ≤ |f(x)|p

p+ |g(x)|q

qet en intégrant cette relation :

(2.1.1) ∥fg∥1 ≤1

p∥f∥pp +

1

q∥g∥qq

de là, on distingue trois cas :

(1) si ∥f∥p = 0 ou ∥g∥q = 0 alors fg =p.p.

0, l’inégalité de Hölder est vraie ;

(2) si ∥f∥p = ∥g∥q = 1 alors l’inégalité 2.1.1 fournit le résultat puisque 1p+ 1

q= 1 ;

(3) si ∥f∥p > 0 et ∥g∥q > 0 alors on pose u = f∥f∥p

et v = g∥g∥q

et en appliquant le point 2., on obtient∥uv∥1 ≤ 1 ce qui fournit l’inégalité cherchée.

Remarque.

(1) Les cas d’égalité : α |f |p =p.p.

β |g|q TODO

Lemme 2.3. (Inégalité de Minkowski.) Soient p ∈ [1,+∞[, f et g deux fonctions de Lp. Alors f+g ∈Lp et l’inégalité triangulaire est vérifiée :(2.1.2) ∥f + g∥p ≤ ∥f∥p + ∥g∥pLe résultat subsiste si l’on remplace L par L.

Démonstration. Le cas p = 1 est traité au chapitre précédent. Soient f, g ∈ Lp .Si ∥f + g∥p = 0, l’inégalité est vraie.

Sinon, on écrit l’inégalité p.p. :

|f + g|p ≤ (|f |+ |g|) |f + g|p−1

On pose h = |f + g|p−1 et on intègre :∥f + g∥pp ≤ ∥fh∥1 + ∥gh∥1

q étant le conjugué de p, on vérifie que h ∈ Lq et on utilise l’inégalité de Hölder, on obtient alors :∥f + g∥pp ≤ ∥f∥p ∥h∥q + ∥f∥p ∥h∥q

On calcule ensuite

∥h∥q =(∫

|f + g|p dµ)1− 1

p

= ∥f + g∥p−1p

ce qui donne le résultat avec l’inégalité précédente.

Proposition 2.3. Pour 1 ≤ p < +∞ :(1) l’application f 7→ ∥f∥p est une semi-norme sur Lp ;(2) l’application f 7→ ∥f∥p est une norme sur Lp.



Démonstration. L’inégalité triangulaire n’est autre que l’inégalité de Minkowski, les autres pro-priétés seront démontrées à titre d’exercice.

On peut formuler un théorème de convergence dominée dans Lp :

Théorème 2.1. (Convergence dominée dans Lp.) Soit 1 ≤ p < +∞ et (fn)n∈N une suite de Lp telleque :(1) fn →

p.p.f ;

(2) il existe g ∈ LP telle que pour tout entier n, |fn| ≤p.p.

g.

Alors f ∈ Lp et limn→∞

fn = f dans Lp (c’est à dire limn→∞

∥fn − f∥p = 0 ).

Démonstration. Tout d’abord f est mesurable comme limite simple de fonctions mesurables.

De plus |f | ≤p.p.

g donc |f (x)|p ≤p.p.

g (x)p donc ∥f∥p ≤ ∥g∥p ce qui montre que f est dans Lp.

Pour démontrer que limn→∞

∥fn − f∥p = 0, on se ramène au cas p = 1 en posant hn = |fn − f |p quivérifie les hypothèses du théorème de convergence dominée dans L1 : pour tout n ∈ N, l’inégalité

hn ≤ (|fn|+ |f |)p

≤p.p.

2pgp

montre que :

(1) hn ∈ L1 car elle est mesurable et majorée par 2pgp ∈ L1 ;(2) hn →

p.p.0 ;

(3) hn ≤p.p.

2pgp, avec 2pgp ∈ L1

grâce au théorème de convergence dominée dans L1, on en conclut que limn→∞

hn = 0 dans L1, puis quelimn→∞

fn = f dans Lp.

Théorème 2.2. Pour 1 ≤ p < +∞,(Lp, ∥.∥p

)est un espace de Banach.

Démonstration. Directement dans Lp : comme dans le cas de L1, pour montrer que Lp est com-plet pour la norme ∥.∥p, il suffit de montrer que toute série normalement convergente est simplementconvergente2. Soit donc

∑n∈N

fn une série NCV dans Lp, c’est à dire telle que ∀n ∈ N, fn ∈ Lp et∑n∈N

∥fn∥p = A < +∞(2.1.3)

Nous allons utiliser successivement le théorème de convergence monotone qui va nous donner unefonction « dominatrice » G, puis la complétude de R qui va nous donner une fonction F =

∑n∈N

fn

définie sur X et dont on espère qu’elle sera la somme de la série, puis pour conclure, le théorème deconvergence dominée dans Lp.

2Soit (E, ∥.∥) un espace vectoriel normé. Une suite (xn)n∈N ⊂ E converge (simplement) vers x dans E si et seulementsi x ∈ E et limn→+∞ ∥xn − x∥ = 0

Pierre Puiseux 2012


(1) On définit la fonction G sur X de la manière suivante : Gn (x) =∑

0≤k≤n|fk (x)| ∈ R. La suite

(Gn)n∈N est une suite croissante de fonctions mesurables positives, de même que (Gpn)n∈N. Sa

limite ponctuelle est donc mesurable et le théorème de convergence monotone 1.5 page 13 nousindique que

limn→∞

∫Gpndµ =

∫Gpdµ(2.1.4)

Comme de plus ∥Gn∥p ≤∑

0≤k≤n∥fn∥p ≤

∑n∈N

∥fn∥p ≤ A, en passant à la limite on obtient∫Gpdµ ≤ Ap < +∞. Donc

G ∈ Lp

et en particulierG <

p.p.+∞

(2) On se ramène à la complétude de R : la série numérique∑n∈N

fn (x) est (p.p.) absolument conver-

gente dans R qui est complet. Elle est donc (p.p.) convergente. Soit sa somme partielle :

Fn (x) =∑

0≤k≤n

fk (x)

et soit F (x) sa somme. DoncFn →

p.p.F

On à la majoration presque partout :|Fn| ≤

p.p.Gn ≤

p.p.G

(3) La fonction F ainsi définie, vérifie– Fn →

p.p.F

– |Fn| ≤p.p.

G ∈ Lp.

Grâce au théorème de convergence dominée dans Lp 2.1 page précédente on en déduit queF ∈ Lp et lim

n→∞Fn = F dans Lp.

Proposition 2.4. (Séries normalement convergentes dans Lp) Soit 1 ≤ p <∞ et (fn)n∈N une série deLP normalement convergente.a Alors la série

∑n∈N

fn converge la fonction f (x) =∑n∈N

fn (x) < +∞

définie p.p. et la série∑n∈N

fn converge vers f dans Lp.

ac’est à dire∑n∈N

∥fn∥p < +∞.

Démonstration. Ce résultat est démontré dans la preuve du théorème (2.2).

Pour finir cette section, citons deux théorèmes de convergence parfois utile :

Théorème 2.3. Soit 1 ≤ p <∞. Si la suite (fn)n∈N ⊂ Lp converge vers f dansLp alors elle convergevers f en mesure.

Démonstration. Voir [Genet] p.223.



Théorème 2.4. Soit 1 ≤ p <∞. Si la suite (fn)n∈N ⊂ Lp converge vers f dans Lp alors il existe unesous-suite (fkn)n∈N qui converge vers f p.p..

Démonstration. En utilisant le théorème (2.3) et le théorème 1.8 page 16.

Théorème 2.5. Pour 1 ≤ p <∞, l’espace Lp (R) est séparable.

Démonstration. Voir [Gallouet-Herbin]p.486

2.1.2. L’espace L∞.

Définition 2.4. Soit f : X → R une fonction mesurable.(1) On dit que C ∈ R est un majorant essentiel de f si |f | ≤

p.p.Ca, on noteMess (f) l’ensemble des

majorants essentiels de f ;(2) on dit que f est essentiellement bornée si elle admet un majorant essentiel C < +∞ ;(3) on note L∞ l’ensemble des fonctions mesurables, essentiellement bornées de X dans R ;(4) si f ∈ L∞, on pose

∥f∥∞ = infMess (f)

aAutrement dit C est majorant essentiel si et seulement si µ |f | > C = 0)

Proposition 2.5. Pour toute fonction mesurable f , on a ∥f∥∞ = minMess (f). Autrement dit, laborne inférieure est atteinte.

Démonstration. D’une partMess (f) est un intervalle de la forme (m0,+∞] car si m ∈ Mess (f)alors toutm′ > m est dansMess (f).

D’autre partm0 ∈Mess (f) car |f | > m0 =∪n≥1

|f | > m0 +

1n

est de mesure nulle.

Dans le cas des fonctions continues surR, la normeL∞ a une caractérisation plus facile à appréhender :la norme infinie de la fonction n’est autre que la norme de la convergence uniforme.

Proposition 2.6. PourX ⊂ R, T = B (X) et µ = λmesure de Lebesgue, si f : X → R est continue,alors∥f∥∞ = sup

x∈X|f (x)|.

Démonstration. Si f est continue sur X alors elle est λ-mesurable.

(1) supX |f | ∈Mess (|f |) est un majorant essentiel. Donc ∥f∥∞ ≤ sup |f |.(2) Réciproquement :

(a) si f est non bornée, alors sup |f | = +∞. Soit a > 0 quelconque, il existe x0 ∈ R tel que|f (x0)| > a et par continuité de f on peut trouver B (x0, ε) = Bε telle que |f | > a surBε. Donc λ (|f | > a) ≥ λ (Bε) = 2ε. Donc a n’est pas majorant essentiel de |f |donc∥f∥∞ = +∞.

(b) Si sup |f | < +∞ alorsO = |f | > ∥f∥∞

est ouvert (car O = f−1 (]∥f∥∞ ,+∞[) et |f | est continue) et négligeable. Il est donc vide(la mesure de Lebesgue d’un ouvert non vide est strictement positive) donc ∀x ∈ X, f (x) ≤∥f∥∞ (et non pas seulement p.p.) on en déduit que sup |f | ≤ ∥f∥∞.

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Définition 2.5. (Espace L∞.)(1) On définit L∞ comme l’ensemble des classes d’équivalence pour la relationR restreinte à L∞.(2) Pour F ∈ L∞, on pose ∥F∥∞ = ∥f∥∞ où f est un représentant quelconque de F . (Cette définition

est cohérente car ∥f∥∞ ne dépend pas du choix de f dans F .)

Proposition 2.7. (semi-norme et norme)(1) L∞ est un espace vectoriel sur R et f 7→ ∥f∥∞ est une semi-norme sur L∞ ;(2) (L∞, ∥.∥∞) est un espace vectoriel normé.

Démonstration.

(1) Soient a ∈ R et f, g ∈ L∞.– On a bien af ∈ L∞ et ∥af∥∞ = |a| ∥f∥∞.– On a |f + g| ≤ |f | + |g| ≤

p.p.∥f∥∞ + ∥g∥∞ donc f + g ∈ L∞ ce qui montre que L∞ est un

espace vectoriel.(2) On procède demanière analogue. Le fait que ∥.∥∞ soit une norme découle de ∥f∥∞ = 0 ⇒ f =

p.p.0.

Théorème 2.6. (L∞, ∥.∥∞) est un espace de Banach.

Démonstration. Nous allons démontrer ce résultat en utilisant les suites de Cauchy. Il suffit doncde montrer que toute suite de Cauchy dansL∞ est convergente. Soit donc (fn)n∈N une suite de Cauchyde L∞.

(1) Construisons une (classe de) fonction(s) f candidate à être la limite de fn dans L∞. On a

∀ε > 0,∃N (ε) , ∀k, l ≥ N (ε) , ∥fk − fl∥∞ < ε

donc3 :

(2.1.6) ∀ε > 0,∃N (ε) , ∀k, l ≥ N (ε) , |fk − fl| <p.p.

ε

Donc pour presque tout x ∈ X , (fn (x))n∈N est une suite de Cauchy dans R complet, donc fn (x)est convergente. Soit f = lim

n→∞fn la limite ponctuelle p.p. de (fn)n∈N. La limite ponctuelle p.p.

d’une suite de fonctions mesurables est mesurable donc f ∈ M.

3Pour être précis, on devrait prendre une famille dénombrable de εi = 2−i et écrire :

∀i ∈ N, ∃Ni, ∀k, l ≥ Ni, ∃Bi,k,l ⊂ X négligeable, ∀x ∈ X \Bi,k,l, |fk (x)− fl (x)| < 2−i

prenant alors la réunion dénombrable B =∪i,k,l

Bi,k,l négligeable de X , on obtient

∀i ∈ N, ∃Ni,∀k, l ≥ Ni, ∀x ∈ X \B, |fk (x)− fl (x)| < 2−i

et utilisant la notation p.p. :

(2.1.5) ∀i,∃Ni tel que k, l ≥ Ni ⇒ |fk − fl| <p.p.

2−i

relation qui devrait remplacer 2.1.6.


2.2 Comparaison des espaces Lp 37

(2) Montrons que (fn)n∈N converge vers f dans L∞ : faisant tendre l vers∞ dans (2.1.6), on obtient :

(2.1.7) ∀ε > 0, ∃Nε, k > Nε ⇒ |fk − f | <p.p.

ε

donc ε est majorant essentiel de |fk − f | , il vient :∀ε,∃Nε,∈ N tel que k ≥ Nε ⇒ ∥fk − f∥∞ < ε

de cette inégalité on déduit :(a) l’appartenance def à L∞ (prendre ε = 1, k = N1 et ∥f∥∞ ≤ ∥fN1 − f∥∞ + ∥fN1∥∞ ≤

1 + ∥fN1∥∞)(b) la convergence de (fn)n∈N vers f dans L

∞.

Corollaire 2.1. (Séries absolument convergentes dans L∞.) Soit∑n∈N

fn une série normalement

convergente de L∞, c’est à dire telle que ∀n ∈ N, fn ∈ L∞ et∑n∈N

∥fn∥∞ < +∞. Alors elle est

convergente dans L∞ vers une classe f de L∞.

Démonstration. L∞ étant un espace de Banach, toute série normalement convergente est simple-ment convergente, c’est à dire converge en norme ∥.∥∞, et sa limite est dans L∞.

Attention, le théorème de convergence dominée est FAUX dans L∞.

l’inégalité de Hölder reste vraie si p ∈ 1,∞ .

Voici un contre-exemple.

Exemple 2.1. On considère l’espace mesuré (X, T , µ) = ([0, 1] ,B ([0, 1]) , λ) et la suite de fonctionfn = χ[0, 1n ]

. Cette suite vérifie les hypothèses du théorème de convergence dominé :

(1) fn ∈ L∞ car ∥fn∥∞ = 1 ;

(2) fn →p.p.

0 car limn→∞

fn (x) =

0 si x = 0

1 si x = 0;

(3) (fn)n∈N est dominée p.p. par χ[0,1] ∈ L∞ ;

pourtant limn→∞

fn = 0 dans L∞ car ∥fn − 0∥∞ = 1 .

2.2. Comparaison des espaces Lp

On rappelle (cf cours de topologie) qu’étant donnés deux espaces vectoriels normés (E, ∥.∥E) et(F, ∥.∥F ), une application linéaire u de E dans F est continue sur E si et seulement si il existe uneconstante C telle que

∀x ∈ E, ∥u (x)∥F ≤ C ∥x∥ESi u est continue l’application

u 7→ |||u||| = inf C, ∥u (x)∥F ≤ C ∥x∥E ,∀x ∈ Eest une norme sur Lc (E,F ) et de plus

|||u||| = supx∈E\0

∥u (x)∥F∥x∥E

= sup∥x∥E=1

∥u (x)∥F

Pierre Puiseux 2012


Définition 2.6. (Inclusion topologique.) Soient (E, ∥.∥E) et (F, ∥.∥F ) deux espaces vectoriels normés.On dit que E est topologiquement inclus dans F si(1) E ⊂ F ;(2) l’application (injection canonique)

J : E → F

x 7→ x

est continue (relativement aux topologies sur E et F ).Cette deuxième condition équivaut à l’existence d’une constante C ∈ R telle que

∀x ∈ E, ∥x∥F ≤ C ∥x∥ESi E est topologiquement inclus dans F , on note :

E → F

2.2.1. Inégalité de Hölder généralisée. La propriété suivante qui généralise l’inégalité de Höl-der 2.2 page 32, est souvent utile lorsque l’on manipule les espaces Lp.

Proposition 2.8. (Inégalité de Hölder généralisée.) Soient p, q, r ∈ [1,+∞] trois réels vérifiant 1r=

1p+ 1

q. Soient f ∈ Lp et g ∈ Lq. Alors fg ∈ Lr et

∥fg∥r ≤ ∥f∥p ∥g∥q

Démonstration. On remarque tout d’abord que fg ∈ M et que 1p/r

+ 1q/r

= 1

(1) Cas p, q, r < +∞. On applique le lemme de Hölder 2.2 page 32 avec f r, gr et pret q

rce qui donne

directement le résultat.(2) Cas où q = ∞, r = p <∞ : l’inégalité |fg|p ≤ |f |p ∥g∥∞ p.p. fournit le résultat après intégration.(3) Cas où p = q = r = ∞ : résulte de |fg| ≤ ∥f∥∞ ∥g∥∞ p.p..

Remarque. Cette inégalité de Hölder généralisée est valide pour les cas limites 1 ∈ p, q, r ou∞ ∈ p, q, r.

2.2.2. Cas d’une mesure finie. En rajoutant l’hypothèse d’une mesure finie (µ (X) < ∞), onobtient des propriétés d’inclusion et même d’injection continue.

Théorème 2.7. (comparaison des Lp.) Si µ est une mesure finie, on a pour 1 ≤ p < q ≤ +∞ lesinclusions topologiques

L∞ → Lq → Lp → L1

Démonstration. Tout d’abord, on observe que l’application J : f ∈ Lp 7→ f ∈ Lq est évidemmentlinéaire. Pour montrer qu’elle est continue, il suffit de trouver une constante C telle que ∥f∥q ≤C ∥f∥p. Pour démontrer le théorème, il suffit de démontrer les deux premières inclusions :

(1) L∞ → Lq. Soit f ∈ L∞ alors |f |q ≤p.p.

∥f∥q∞ et en intégrant on obtient ∥f∥q ≤ ∥f∥∞ µ (X)1q . Le

fait que la mesure µ est finie permet de conclure.(2) p < q ⇒ Lq → Lp. Soit f ∈ Lq.


2.2 Comparaison des espaces Lp 39

(a) Montrons que f ∈ Lp : on a|f |p ≤ |f |q + 1

car pour tout x ∈ X :– si |f (x)| ≥ 1 alors |f (x)|p ≤ |f (x)q| ≤ |f (x)q|+ 1 ;– si |f (x)| ≤ 1 alors |f (x)|p ≤ 1 ≤ |f (x)q|+ 1.

On en déduit en intégrant :

∥f∥pp ≤ ∥f∥qq + µ (X) <∞(2.2.1)

donc f ∈ Lp ce qui montre que Lq ⊂ Lp.(b) Pour trouver une constante C (ne dépendant pas de f ) telle que pour tout f ∈ Lq on ait

(2.2.2) ∥f∥p ≤ C ∥f∥qon distingue trois cas :(i) si ∥f∥q = 0, alors en utilisant (2.2.1), on obtient (2.2.2) avec C = (1 + µ (X))

1p .

(ii) si ∥f∥q = 1 alors en utilisant (2.2.1), on obtient (2.2.2) avec la même constante.(iii) si ∥f∥q > 0, on pose u = f

∥f∥qet comme ∥u∥q = 1, on peut appliquer le point ii. à u.

On obtient∥∥∥ f∥f∥q

∥∥∥p= ∥u∥p ≤ C ce qui permet de conclure.

Dans le cas 1 ≤ p < q = ∞, une autre démonstration de ce résultat, avec une constante plus serrée,est proposée ci-dessous

Démonstration. Soient f ∈ Lq, et F = |f |p, et G = 1. Soient a = qp> 1 et b son conjugué.

On calcule ∥F∥a = ∥f∥pq et ∥G∥b = µ (X)1b ce qui montre que F ∈ La, et G ∈ Lb. On peut alors

appliquer l’inégalité de Hölder à FG :

∥FG∥1 ≤ ∥F∥a ∥G∥bcomme ∥FG∥1 = ∥f∥pp, on obtient

∥f∥p ≤ ∥f∥q µ (X)1p− 1

q

qui permet de conclure.

2.2.3. Cas d’une mesure non finie. Il n’y a pas de relation d’inclusion entre les espaces Lp sansl’hypothèse de mesure finie, dans le cas général.

Pour s’en convaincre, examinons les deux fonctions définies surR par f (x) = 1√xχ[0,1] (x) et g (x) =

1xχ[1,∞[ (x). On voit sans difficulté que f ∈ L1 et f /∈ L2 donc L1 ⊂ L2 et d’autre part g ∈ L2, etg /∈ L1 donc L2 ⊂ L1.

Cependant, pour la mesure du comptage, on a la propriété d’inclusion suivante (dans l’ordre inversede celui du paragraphe précédent) :

Théorème 2.8. (comparaison des ℓp (N).) Pour 1 ≤ p < q ≤ +∞, on a les inclusionsℓ1 → ℓp → ℓq → ℓ∞

avec les inégalités : ∀x ∈ RN

∥x∥∞ ≤ ∥x∥q ≤ ∥x∥p ≤ ∥x∥1

Pierre Puiseux 2012


Démonstration. Soient 1 ≤ p < q et x ∈ ℓp, montrons que

∥x∥q ≤ ∥x∥pce qui établira l’inclusion

ℓp → ℓq

(1) si q = +∞. Pour tout entier∀k ∈ N, |xk|p ≤

∑i∈N

|xi|p

donc

|xk| ≤

(∑i∈N

|xi|p) 1

p

= ∥x∥p

et en passant au sup sur k on obtient

∥x∥∞ ≤ ∥x∥p(2) Sinon q < +∞

(a) Si x = 0 l’inégalité ∥x∥q ≤ ∥x∥p est évidente.(b) Si ∥x∥p = 1 alors

∑|xi|p = 1 donc ∀k, |xk|p < 1 puis |xk| < 1. L’application p 7→ αp est

décroissante pour α ∈ [0, 1] on a donc puisque p < q :

∀k ∈ N : |xk|q < |xk|p

en sommant, il vient ∥x∥qq < ∥x∥pp = 1 d’où ∥x∥q < 1 = ∥x∥p.(c) Si ∥x∥p = 1, on applique ce qui précède à y = x

∥x∥pdonc ∥y∥q < 1 ce qui donne

∥x∥q < ∥x∥p

Remarque. On a établi le théorème précédent pour les suites de RN. On a le même résultat pourl’espace CN de suites à valeurs dans C, mais également pour les espaces RZ et CZ des suites doublesà valeurs dans R ou C.

2.3. Quelques théorèmes de densité

Soit E un espace topologique. On rappelle qu’un espace topologique F ⊂ E est dense dans E si etseulement si l’adhérence de F dans E est E.

Lorsque E est un espace métrique (ce qui est le cas d’un espace vectoriel normé), une partie F ⊂ Eest dense dans E si et seulement si tout élément de E est la limite d’une suite de F .

La densité de F dans E est une propriété intéressante car elle permet de prolonger certaines propriétéde F à E de manière naturelle. Par exemple si une application continue ϕ est définie seulement surQ, comme Q est dense dans R, une manière naturelle de prolonger ϕ à x ∈ R est de trouver une suite(xn) de Q, qui converge vers x et de poser ϕ (x) = lim

n→∞ϕ (xn). On parle de prolongement de ϕ « par

continuité ».

Notation : à l’instar des probabilistes, pour simplifier les notations, étant donnée une propriétéP (f (x))concernant f (x) on notera

P (f) au lieu de x ∈ X,P (f (x))Par exemple

f = 0 = x ∈ X, f (x) = 0


2.3 Quelques théorèmes de densité 41

Lemme 2.4. Pour 1 ≤ p <∞, l’ensemble E = f ∈ E , µ (f = 0) < +∞ est dense dans Lp.

Démonstration. E est un sous espace vectoriel de Lp.

(1) Soit f ∈ Lp, f ≥p.p.

0. D’après 1.2 page 11, il existe une suite croissante de fonctions étagées

positives (hn)n∈N ⊂ E+ qui converge ponctuellement vers f . On a donc pour tout n ∈ N : 0 ≤hn ≤ f ce qui implique l’appartenance de hn à Lp. Soit n ∈ N. Montrons que hn ∈ E : la fonctionhpn est dans E+ et sa décomposition canonique s’écrit : hpn =

∑0≤i≤m

aiχAiavec a0 = 0 < a1 <

a2 · · · < am et (Ai)0≤i≤m partition de X (éventuellement A0 = ∅). On a donc∫hpndµ =

∑1≤i≤m

aiµ (Ai)

> a1∑

1≤i≤m

µ (Ai)

= a1µ (hpn = 0)

donc

µ (hn = 0) ≤ 1

a1

∫hpndµ

≤ 1

a1

∫fpdµ

< +∞

ce qui montre que hn ∈ E . (On peut aussi, plus simplement, utiliser le lemme de Markov 1page 25).

(2) On applique le théorème de convergence dominée à la suite hn et f : limn→∞

hn = f dans Lp. Toute

classe positive de LP est donc limite d’une suite de E .(3) Pour une fonction f ∈ Lp quelconque, on écrit f = f+ − f−, avec f+ et f− positives et dans Lp.

Donc il existe deux suites (pn) et (mn) de E qui convergent vers f+ et f−. Donc fn = pn −mn

converge vers f dans Lp.

Lemme 2.5. Pour p, q ∈ [1,∞[ , l’ensemble Lp ∩Lq est dense dans Lp et dans Lq (munis des normescorrespondantes).

Démonstration. Soit f ∈ Lp. Alors elle est limite (au sens Lp) d’une suite (fn) ⊂ E . Or E ⊂Lp ∩ Lq donc (fn) est une suite de Lp ∩ Lq dont la limite est f dans Lp.

Théorème 2.9. On suppose queX est un espace métrique, et µ une mesure finie sur (X,B (X)). Pour1 ≤ p <∞, l’ensemble Cb (X) des fonctions continues et bornées de X dans R est dense dans Lp.

Admis, voir [Suquet].

Définition 2.7. Soit E un espace topologique et une fonction f : E → K. On dit que f est à supportcompact s’il existe un compactK ⊂ E tel que f = 0 sur E \K.

Pierre Puiseux 2012


Théorème 2.10. On suppose que X = Ω est un ouvert de Rd et µ la mesure de Lebesgue sur B (Ω).Pour 1 ≤ p <∞,(1) l’ensemble Cc (Ω) des fonctions de Ω dans R, continues, à support compact, est dense dans Lp ;(2) l’ensemble D (Ω) des fonctions de Ω dans R, de classe C∞ et à support compact, est dense dans

Lp.

Démonstration. Admis, voir [Gallouet-Herbin, Suquet]. La démonstration du point 1. est pro-posée à l’exercice 2.21 page 53 dans le cas particulier Ω = R. Remarque. On déduit en particulier de ce dernier théorème

– que tous les espaces Ck ([a, b]) , k ≥ 0 sont dense dans Lp ([a, b]).– Mais aussi Ckc (R) , k ≥ 0 est dense dans Lp (R)

2.4. Dualité dans les espaces Lp

Rappelons que le dual topologique d’un espace vectoriel normé E est l’espace des formes linéairescontinues sur cet espace. En dimension infinie, une forme linéaire n’est pas automatiquement continueet il convient donc de distinguer dual topologique E ′ et dual algébrique E∗. En dimension infinie, ona donc E ′ ⊂ E∗, avec une inclusion stricte. Dans cette section, la mesure µ est supposée σ-finie, c’està dire : il existe un recouvrement dénombrable deX par des sous-ensembles de mesure finie. C’est lecas de la mesure de Lebesgue sur un ouvert de Rd.

Théorème 2.11. On suppose la mesure σ-finie. Soit 1 ≤ p < +∞ et q = pp−1

son conjugué. Soitg ∈ Lq. Alors l’application

Φg : Lp → R

f 7→∫fgdµ

est une forme linéaire continue surLp et la norme deΦg (dans l’espaceLc (Lp,R) des formes linéairescontinues sur Lp) est :

|||Φg||| = ∥g∥q

Démonstration. On utilise la fonction f = σg |g|q−1 où σg est la fonction « signe de g ». Voirexercice 2.23 page 54. Voir également [Genet]. Remarque. À un élément g ∈ Lq on a associé une forme linéaire Φg ∈ (Lp)′. Cette applicationpossède la propriété suivante :

Corollaire 2.2. L’application,Ψ : Lq → (Lp)′(2.4.1)

g 7→ Φg

où Φg est définie à la proposition (2.11), est un isomorphisme isométriquea (donc |||Ψ ||| = 1).Ce qui permet d’identifier (Lp)′, le dual topologique de Lp, à l’espaceLq.aSoient E et F deux espaces vectoriels normés. Une application f : X ⊂ E → F est isométrique si et seulement si∀x ∈ X, ∥f (x)∥F = ∥x∥E

Démonstration.


2.4 Dualité dans les espaces Lp 43

– On vérifie facilement que Ψ est linéaire (Voir exercice 2.23 page 54).– La proposition (2.11) montre que pour tout g ∈ Lq on a |||Ψ(g)|||

∥g∥q= 1 donc Ψ est une isométrie et

|||Ψ ||| = 1– Le théorème de représentation de Riesz qui suit assure que l’application Ψ est surjective et injec-tive.

Le théorème qui suit est une réciproque du théorème (2.11), que nous admettrons :

Théorème 2.12. (de représentation de Riesz.) On suppose que µ est une mesure σ-finie, alors lafonction Ψ définie par (2.4.1) et surjective. En d’autres termes pour toute forme linéaire φ continuesur Lp, il existe un unique g ∈ Lq tel que ∀f ∈ Lp, φ (f) =

∫fgdµ.

Démonstration. Admis. Voir [Genet, Rudin]. Le théorème sera démontré plus loin 4 page 73,dans le cas particulier p = q = 2.

Remarque. C’est un théorème de « représentation » car une forme linéaire φ continue sur Lp peutêtre « représentée » par une classe g ∈ Lq. On identifie (presque) systématiquement φ avec g.

Attention : le théorème est FAUX pour p = ∞, le dual de L∞ contient strictement L1. C’est l’espacedes mesures de Radon. cf [Genet] p.189 et [Brezis] pp. 63-65.

La notion d’espace dual est très riche et abondamment utilisée en mathématiques. Plus un espace est« petit », moins il contient de fonctions, plus il y aura de formes linéaires continues, donc plus le dualsera « grand ». Ainsi, pour X ouvert borné de Rd, on a les inclusions

L∞ ⊂ Lp ⊂ L2 =(L2)′ ⊂ (Lp)′ ⊂ (L∞)′

Lorsque p = q = 2, l’équilibre est réalisé, en ce sens que L2 = (L2)′.

En poursuivant dans la même logique, on a par exemple pour une topologie adaptée :

C∞c ⊂ C1

c ⊂ L∞ ⊂ . . . L1 ⊂(C1c

)′ ⊂ (C∞c )′

Quels sont ces espaces (C1c )

′ et (C∞c )′ ? Ce sont des espaces, de « distributions » qui généralisent la

notion de fonction, qui seront vues ultérieurement enMaster. L’invention de ces espaces de distributionpar Laurent Schwartz lui a valu la médaille Fields en 1950.

Les divers théorèmes de densité permettent de prolonger par continuité les opérations, formes linéaires,opérateurs définis sur les « petits » espaces (appelés espace des « fonctions test ») aux « grands »espaces.

Théorème 2.13. Pour 1 < p < ∞, l’espace Lp est réflexif. Autrement dit, le bidual de Lp peut êtreidentifié à Lp via la bijection bicontinue « naturelle » J : Lp → (Lp)′′ définie pour f ∈ Lp, ϕ ∈(Lp)′ = Lq par la relation J (f) (ϕ) = ϕ (f).

Démonstration. (Lp)′′ = (Lq)′ = Lp

Remarque. Attention, ni L1, ni L∞ ne sont réfléxifs.

Pierre Puiseux 2012


2.5. Convolution dans Lp

2.5.1. Convolution dans ℓ1 (Z). On rappelle que

ℓ1 (Z) =

u : Z → R,

∑p∈Z

|up| <∞

ce qui s’interpréte au sens de la théorie de la mesure et de l’intégration, comme :

ℓ1 (Z) =

u : Z → R,

∫|u| dµ <∞

à condition de prendre (X, T , µ) = (Z,P (Z) , ν), où ν est la mesure du comptage.

On étend facilement cette notion à l’espace X = Zd.

Définition 2.8. Pour u, v ∈ ℓ1 (Z), on pose

(u ∗ v) (n) =∑p∈Z

upvn−p(2.5.1)

Lorsque cette série double est convergente pour tout n ∈ Z, la suite double ((u ∗ v)n)n∈Nest appeléeconvolué de u et v.Cette définition à un sens si cette série double définissant u ∗ v est absolument convergente. C’est lecas par exemple

– si l’une des fonctions u ou v est à support fini.– si les deux fonctions u et v ont un support borné à gauche, ou à droite.

Exemple 2.2.

(1) Calculer u ∗ u pour un =

1n

si n > 0

0 si n 6 0. On voit facilement que pour n > 0, upun−p =

1p

1n−p si 0 < p < n

0 sinon

(u ∗ u) (n) =∑

0<p<n

1

p (n− p)

=1

n

∑0<p<n

(1

p+

1

n− p

)=

1

n

∑0<p<n

1

p+

1

n

∑0<p<n

1

n− p

=2

n

∑0<p<n

1

p

(2) Pour δ = (δ0,n)n∈Z et u ∈ ℓ (Z) on a

u ∗ δ = u

(3) On pose τ = (δ−1,n)n∈Z alors τ 2 = (δ−2,n)n∈Z. Plus généralement pour p ∈ Z, on a τ p =(δ−p,n)n∈Z à condition de poser τ

0 = δ(4) Déterminer τ ∗ u puis τ p ∗ u, pour u ∈ ℓ (Z)


2.5 Convolution dans Lp 45

La propriété suivante donne un autre cas où la définition (2.5.1) a un sens :

Proposition 2.9. Pour u, v ∈ ℓ1 (Z),∥u ∗ v∥1 ≤ ∥u∥1 ∥v∥1

autrement dit ∗ est une loi de composition interne dans ℓ1.

Démonstration. Pour P et Q fixés dans N on a :∑P≤p≤Q

|up| |vn−p| ≤∑

P≤p≤Q

|up| ∥v∥∞

≤ ∥u∥1 ∥v∥∞ce qui montre que ∀n ∈ N, la série numérique double définissant (u ∗ v) (n) est absolument conver-gente dans R elle est donc convergente, et (u ∗ v) (n) ∈ R est bien défini. De plus pour N et Pfixés,

∑|n|≤N

∣∣∣∣∣∣∑|p|≤P

upvn−p

∣∣∣∣∣∣ ≤∑|n|≤N

∑|p|≤P

|up| |vn−p|

=∑|p|≤P

∑|n|≤N

|up| |vn−p|

=∑|p|≤P

|up|∑|n|≤N

|vn−p|

≤ ∥u∥1 ∥v∥1

en faisant tendre P vers ∞ puis N vers ∞, cette inégalité établit l’appartenance de u ∗ v à ℓ1. Danscette série d’inégalités, on a re-démontré le théorème de Fubini appliqué à notre cas particulier, quiautorise à permuter les deux sommations.

2.5.2. Convolution dans L1. Dans cette section, on prend (X, T , µ) =(Rd,B

(Rd), λ)ou(

Zd,P(Zd), ν).

On souhaite définir la convolution de deux fonctions de L1(Rd)de manière analogue à la convolution

dans ℓ1(Zd). Pour cela, il faut pouvoir écrire :

(f ∗ g) (x) =

∫f (y) g (x− y) dλy

il faut donc que la fonction y 7→ f (y) g (x− y) soit intégrable, pour tout x fixé, ou au moins pourpresque tout x. Ce qui n’est pas évident car le produit de deux fonctions intégrables n’est pas néces-sairement intégrable (penser à x 7→ 1√

xχ[0,1] (x)). C’est le théorème de Tonnelli-Fubini qui va nous

donner la réponse et même mieux que cela :

Lemme 2.6. Soient f et g deux fonctions de L1 et soit la fonctionH : (x, y) 7→ f (y) g (x− y)

Alors H est dans L1 (R2,B (R2) , λ⊗ λ) et plus précisément∥H∥1 ≤ ∥f∥1 ∥g∥1

Pierre Puiseux 2012


Démonstration. On donne la démonstration pour d = 1, X = R. Tout d’abord H est mesurablecomme composée et produit de fonctions mesurables. On peut donc appliquer le théorème de Tonnelli,et l’intégrabilité, quand à elle, provient des inégalités (avec le changement de variable z = x− y) :∫

|H| d (λ⊗ λ) =

∫ (∫|H (x, y)| dλx

)dλy

=

∫ (∫|f (y) g (x− y)| dλx

)dλy(2.5.2)

=

∫|f (y)|

(∫|g (x− y)| dλx

)dλy

=

∫|f (y)|

(∫|g (z)| dλz

)dλy

=

(∫|f (y)| dλy

)(∫|g (z)| dλz

)= ∥f∥1 ∥g∥1 <∞(2.5.3)

Théorème 2.14. (Convolution dans L1.) Soient f et g ∈ L1. Alors le produit de convolution

(f ∗ g) (x) =


est défini p.p. dans X .De plus, f ∗ g ∈ L1 et on a l’inégalité

∥f ∗ g∥1 ≤ ∥f∥1 ∥g∥1

Démonstration. Le lemme précédent permet d’appliquer le théorème de Fubini :

(1) la fonction x 7→∫H (x, y) dλy = (f ∗ g) (x) est définie p.p. en x ∈ X

(2) elle est dans L1 (X, T , µ)(3) enfin on a la majoration

∥f ∗ g∥1 =

∫ ∣∣∣∣∫ H (x, y) dλx

∣∣∣∣ dλy≤

∫ ∫|H (x, y)| dλxdλy

et l’inégalité précédente (2.5.3) permet de conclure

Remarque. On a démontré au passage que la fonction y 7→ f (y) g (x− y) est intégrable pour presquetout x.

Exemple. f = g = χ[0,1] on calcule

(f ∗ g) (y) =

∫Rf (x) g (y − x) dµx

=

0 si y /∈ [0, 2]

y si y ∈ [0, 1]

1− y si y ∈ [1, 2]



2.5.3. Propriétés élémentaires de la convolution dans L1.

Proposition 2.10. Le produit de convolution est une loi interne, associative, commutative et distribu-tive sur l’addition dans L1.

Démonstration. Soient u, v, w ∈ L1

Interne. : C’est le théorème (2.14)Commutativité. : Soit x ∈ R on utilise un changement de variable z = x− y de jacobien 1 :

(u ∗ v) (x) =

∫u (y) v (x− y) dλy

=

∫u (x− z) v (z)× 1dλz

= (v ∗ u) (x)

Associativité. : Soit x ∈ R. On utilise un changement de variable t = y+ z et le théorème de Fubini

((u ∗ v) ∗ w) (x) =

∫(u ∗ v) (x− y)w (y) dλy

=

∫ (∫u (x− y − z) v (z) dλz

)w (y) dλy

=

∫ (∫u (x− t) v (t− y) dλt

)w (y) dλy

=

∫u (x− t)

(∫v (t− y)w (y) dλy

)dλt

= (u ∗ (v ∗ w)) (x)

Distributivité. : Soit x ∈ R

(u ∗ (v + w)) (x) =

∫u (y) (v (y − x) + w (y − x)) dλy

=

∫u (y) v (y − x) dλy +

∫u (y)w (y − x) dλy

= (u ∗ v) (x) + (u ∗ w) (x)

La convolution possède également des propriétés de parité :

Proposition 2.11. (convolution et parité) Si u et v sont paires ou impaires , u (−x) = (−1)p u (x) etv (−x) = (−1)q v (x) alors (u ∗ v) (−x) = (−1)p+q (u ∗ v) (x).

En exercice.

Proposition 2.12.∫u ∗ v =

∫u×

∫v

On utilise

– le fait que H : (x, y) 7→ u (y) v (y − x) est intégrable (cf. lemme 2.6 page 45), pour appliquer lethéorème de Fubini

Pierre Puiseux 2012


– et l’invariance par translation∫R v (y − x) dλx =

∫R v (t) dλt :∫

R(u ∗ v) (x) dλx =

∫R

(∫Ru (y) v (y − x) dλy

)dλx

=

∫R

∫Ru (y) v (y − x) dλxdλy

=

∫Ru (y)

(∫Rv (y − x) dλx

)dλy

=

∫Ru (y)

(∫Rv (t) dλt

)dλy

=

(∫Ru (y) dλy

)(∫Rv (t) dλt

)Proposition 2.13. (Convolution, translation et dérivation.) Soient u, v ∈ L1, h un réel et l’opérateurτh défini sur L1 par : ∀x ∈ R

τhu (x) = u (x− h)

Alorsτh (u ∗ v) = (τhu) ∗ v

Si de plus u ∈ C1 (R) et u′ ∈ L1 ∩ L∞, alors :(u ∗ v)′ = u′ ∗ v

Démonstration. La preuve est analogue pour les deux propriétés.

(1) Translation :

τh (u ∗ v) (x) = (u ∗ v) (x− h)

=

∫u ((x− h)− y) v (y) dλy

=

∫(τhu) (x− y) v (y) dλy

= ((τhu) ∗ v) (x)

(2) Dérivation : soit x0 ∈ R. On voudrait écrire :

(u ∗ v)′ (x0) =d

dx

∫u (x0 − y) v (y) dλy

=

∫du

dx(x0 − y) v (y) dλy

= (u′ ∗ v) (x0)

Pour cela, vérifions que l’on peut appliquer le théorème 1.15 page 19 de dérivation dans l’intégrale :soit V0 = R et

H : R2 → R(x, y) 7→ u (x− y) v (y)

– l’application partielle x 7→ H (x, y) est de classe C1 (V0) (p.p. en y ∈ R) et



– sur V0, l’application partielle y 7→ ∂H∂x

(x, y) = u′ (x− y) v (y) est dominée (p.p. en y ∈ R) parune fonction de L1 car u′ est bornée donc∣∣∣∣∂H∂x (x, y)

∣∣∣∣ ≤ ∥u′∥∞ |v (y)|

avec ∥u′∥∞ |v| ∈ L1.

Remarque. On a vu précédemment que (ℓ1Z (R) , ∗) admet un élément neutre δ = (δ0,n)n∈Z. On peutse demander s’il en est de même pour (L1

R (R) , ∗). La réponse est négative. La mesure δ0 de Dirac en0 est élément neutre pour la convolution, car

(u ∗ δ0) (x) =

∫u (x− y) dδ0 (y)

= u (x)

mais δ0 /∈ L1.

Proposition 2.14. (Convolution et continuité.) Si u ∈ L1, et v est continue et bornée sur R alors u∗ vest bien définie, continue et bornée sur R. De plus

∥u ∗ v∥∞ ≤ ∥u∥1 ∥v∥∞

Démonstration.

(1) Pour tout x ∈ R on a

|(u ∗ v) (x)| ≤∫

|u (x− y)| |v (y)| dλy

≤∫

|u (x− y)| ∥v∥∞ dλy

= ∥u∥1 ∥v∥∞(2) Soit x ∈ R et (xn)n∈N une suite qui tend vers x. On va montrer que

limn→∞

(u ∗ v) (xn) = (u ∗ v) (x)

en appliquant le théorème de convergence dominée à la suite de fonctions

wn (y) = u (y) v (xn − y)

– wn (y) converge vers u (y) v (x− y) (p.p. en y)– |wn| ≤ |u| ∥v∥∞ qui appartient à L1

Démonstration. Ce qui montre que

limn→∞

∫u (y) v (xn − y) dλy =

∫u (y) v (x− y) dλy

Pierre Puiseux 2012


2.5.4. Convolution dans Lp.

Théorème 2.15. (Convolution dans Lp.) Soient p ∈ [1,∞], f ∈ Lp et g ∈ L1. Alors le produit deconvolution

(f ∗ g) (x) =


est défini p.p. dans X . De plus, f ∗ g ∈ Lp et on a l’inégalité∥f ∗ g∥p ≤ ∥f∥p ∥g∥1

Démonstration. Il faut distinguer les cas p = 1, p = ∞ et 1 < p <∞.

(1) Le cas p = 1 a été traité au théorème 2.14 page 46.(2) Le cas p = ∞ a été traité au théorème 2.14 page précédente.(3) Cas 1 < p < ∞. Soit q = p

p−1le conjugué de p. On écrit |f (y) g (x− y)| comme un produit de(

|f (y)| |g (x− y)|1p

)×(|g (x− y)|

1q

)et on utilise l’inégalité de Hölder après avoir vérifié que

y 7→ |f (y)| |g (x− y)|1p ∈ Lp et y 7→ |g (x− y)|

1q ∈ Lq :∫

|f (y) g (x− y)| dλy =

∫ (|f (y)| |g (x− y)|

1p

)(|g (x− y)|

1q

)dλy et Hölder ⇒

≤(∫

|f (y)|p |g (x− y)| dλy) 1

p(∫

|g (x− y)| dλy) 1

q

≤(∫

|f (y)|p |g (x− y)| dλy) 1

p

∥g∥1q

1(2.5.4)

Supposons que x 7→∫|f (y) g (x− y)| dλy et x 7→

∫f (y) g (x− y) dλy soient mesurables.∫

|f ∗ g|p dλ =

∫ ∣∣∣∣∫ f (y) g (x− y) dλy

∣∣∣∣p dλx≤

∫ (∫|f (y) g (x− y)| dλy

)pdλx

que l’on combine avec l’inégalité (2.5.4) :∫|f ∗ g|p dλ ≤

∫ (∫|f (y)|p |g (x− y)| dλy

)dλx ∥g∥

pq

1

=

∫|f |p ∗ |g| dλx ∥g∥

pq

1

= ∥|f |p ∗ |g|∥1 ∥g∥pq

1

et en utilisant le théorème (2.14) on trouve finalement ∥f ∗ g∥pp ≤ ∥f∥pp ∥g∥1+ p

q

1 qui donne l’inéga-lité cherchée. Reste àmontrer que les fonctionsx 7→

∫|f (y) g (x− y)| dλy etx 7→


sont mesurables. Elle le sont car composées et produits (grâce au théorème 1.11 page 17) d’appli-cations mesurables f, g, x 7→ |x| et y 7→ x− y.

On retiendra les résultats sous la forme suivante :


2.0 Espaces Lp 51

pour p ∈ [1,∞] : Lp ∗ L1 ⊂ Lp

Exercices sur le chapitre 2

Espaces Lp

Exercice 2.1. Pour 1 ≤ p < +∞, démontrer que φ : s 7→ |s|p est une fonction convexe sur R.

Exercice 2.2. Pour 1 ≤ p < +∞, démontrer que (Lp,⊕,⊙) est un espace vectoriel, et que 4 est unordre sur Lp.

Exercice 2.3. Soit X = [0, 1] et f (x) = 2 (n− n2x)+.

(1) Montrer que la suite (fn)n∈N est bornée dans L1 ;

(2) Montrer que la suite (fn)n∈N n’est pas bornée dans Lp pour 1 < p ≤ +∞ ;

(3) Etudier la convergence de (fn)n∈N simple, presque partout, dans Lp, en mesure.

(4) Montrer que pour toute fonction φ ∈ C ([0, 1] ,R),∫fnφdλ −→ φ (0) (utiliser un théorème de la

moyenne)

Exercice 2.4. (Inégalité de Young généralisée.) Soient (pk)1≤k≤m, m réels de l’intervalle ]1,+∞[

vérifiant∑m

k=11pk

= 1 et (uk)1≤k≤m,m réels positifs. Montrer que∏m

k=1 uk ≤∑m

k=11pkupkk .

Exercice 2.5. (Inégalité de Hölder généralisée.) Soient (pk)1≤k≤m m réels de l’intervalle ]1,+∞[

vérifiant∑m

k=11pk

= 1. Soient (fk)1≤k≤m, m fonctions telles que fk ∈ Lpk et f =∏m

k=1 fk. Montrerque f ∈ L1 et que ∥f∥1 ≤

∏mk=1 ∥fk∥pk . (Appliquer une méthode analogue à celle du cours). Étendre

ce résultat à fk ∈ Lpk et f ∈ L1.

Exercice 2.6. (Inégalité de Minkowski dénombrable .) Soit 1 ≤ p < ∞ et (fn)n∈N une suite defonctions mesurables de X dans [0,+∞]. Montrer que∥∥∥∥∥∑

n∈N

fn

∥∥∥∥∥p

≤∑n∈N

∥fn∥p

Exercice 2.7. X = R. Montrer que pour f ∈ Lp, la suite fχ[−n,n] converge vers f dans Lp quandn→ ∞.

Exercice 2.8. (X, T , µ) = (R,B (R) , λ). Soit (fn)n∈N une suite bornée de fonctions de Lp, 1 6 p 6

∞. On suppose que fn →p.p.

f .

(1) Montrer que f ∈ Lp ;(2) a-t-on convergence de fn vers f dans Lp ?(3) On suppose maintenant que (fn)n∈N converge vers g ∈ Lp. Quelle relation y a-t-il entre f et g ?

Exercice 2.9. Soient 1 ≤ p ≤ ∞ et q tel que 1p+ 1

q= 1. Soient (fn)n∈N une suite de L

p qui convergevers f dans Lp et (gn)n∈N une suite de L

q qui converge vers g dans Lq. Etablir que limn→∞

∫fngndµ =∫

fgdµ.

Exercice 2.10. Démontrer que l’application (f, g) ∈ L2 7→∫Xfgdµ est un produit scalaire.4

4

Définition 2.9. SoitH un espace vectoriel surC. On appelle produit scalaire surH toute application, notée (.|.)H ou bien(.|.) : H2 → C vérifiant les propriétés suivantes :

Pierre Puiseux 2012


Exercice 2.11. Démontrer que si f ∈ L∞ alors |f | ≤p.p.

∥f∥∞.

En déduire que dans la définition de ∥f∥∞ = inf C ∈ R, |f | ≤ C p.p., le inf est atteint, c’est doncun min.

Exercice 2.12. On suppose que µ est une mesure finie, et soient 1 ≤ p ≤ q <∞, soit f ∈ Lp ∩Lq etsoit r ∈ [p, q].

(1) Montrer qu’il existe h ∈ Lp et g ∈ Lq, h, g ≥ 0, telles que ∀r ∈ [p, q] , |f |r ≤ hp + gq ;(2) montrer que lim

r→r|f |r = |f |r p.p. ;

(3) déduire de 1. et 2. que∫|f |r dµ→

∫|f |r dµ quand r → r ;

(4) en déduire que l’application r 7→ ∥f∥r est continue sur [p, q].

Etablir que∩p≥1

Lp = L∞

Exercice 2.13. Soit 1 ≤ p < +∞ et A ∈ T . On pose F = f ∈ Lp, f = 0 p.p. sur A et on veutmontrer que F est fermé dans Lp. Pour cela on démontre que F contient les limites de ses suitesconvergentes. Soit (fn) est une suite de F qui converge dans Lp vers une fonction f et soit q tel que1p+ 1

q= 1.

(1) Soit g ∈ Lq. Majorez la quantité∣∣∫Afngdµ−

∫Afgdµ

∣∣ en utilisant l’inégalité de Hölder pourétablir que

∫Afgdµ = 0

(2) Cas p = 1 : à l’aide de fonctions caractéristiques, exprimer une fonction g1 ∈ L∞ telle quefg1 = |f | sur X . Déduire de la question 1 que f ∈ F .

(3) Cas p > 1 : exprimer une fonction gp ∈ Lq telle que fgp = |f |p et conclure.

Exercice 2.14. Dans cet exercice, (X, T , µ) = (R,B (R) , λ). SoitCp := f ∈ Lp, f ≥ 0 p.p. et soitf ∈ C1.

(1) Montrer qu’il existe n ∈ N tel que µ (0 ≤ f ≤ n) = 0. On pose A = 0 ≤ f ≤ n ∈ T .(2) Soitm > n+1

εun entier. Montrer qu’il existe B ∈ T , 0 < µ (B) ≤ 1

met B ⊂ A.

(3) On pose g = fχX\B − χB. Etablir que ∥f − g∥1 < ε.(4) En déduire que C1 est d’intérieur vide dans L1.(5) Démontrer que Cp, 1 ≤ p < +∞ est d’intérieur vide. (Il suffit de modifier l’inégalité qui définit

m)(6) Etablir que C∞ est d’intérieur non vide. (On pourra montrer que x 7→ 1 ∈ Int (C∞).)

Exercice 2.15. Dans cet exercice, X = R, T = B (R) et µ = λ. Soit f ∈ L1, telle que f ≥p.p.

0

(1) Montrer qu’il existe n ∈ N tel que µ (0 ≤ f ≤ n) = 0. On pose A = 0 ≤ f ≤ n ∈ T .(2) Soitm > n+1

εun entier. Montrer qu’il existe B ∈ T , 0 < µ (B) ≤ 1

met B ⊂ A.

(3) On pose g = fχX\B − χB. Etablir que ∥f − g∥1 < ε.

(4) En déduire que C :=

f ∈ L1, f ≥

p.p.0

est d’intérieur vide dans L1.

(5) Montrer que C est d’intérieur vide pour p < +∞ et d’intérieur non vide pour p = +∞.

Correction(1) ∀u ∈ H,u = 0 ⇒ (u|u) ∈ ]0,+∞[ ;

(a) ∀u, v ∈ H, (u|v) = (v|u) ;(b) (.|.) est bilinéaire, c’est à dire l’application u 7→ (u|v) est linéaire pour tout v ∈ H .


2.0 Théorèmes de densité 53

Exercice 2.16. On se propose d’étudier les espaces Lp dans le cas 0 < p < 1. Soit q le conjugué de p.

(1) On veut démontrer l’inégalité suivante pour f ∈ Lp, et g ∈ Lq deux fonctions positives :∫fgdµ ≥

(∫f pdµ

) 1p(∫

gqdµ

) 1q

(2.0.5)

(a) Montrer que l’inégalité (2.0.5) est vraie si∫gqdµ = 0.

(b) Montrer que l’inégalité (2.0.5) est vraie lorsque fg /∈ L1

(c) On suppose que fg ∈ L1 et∫gqdµ = 0. Montrer que l’inégalité (2.0.5) est vraie. On pourra

poser F = (fg)p et G = g−p, et appliquer l’inégalité de Hölder à∫FGdµ, ∥F∥a et ∥G∥b

avec a = 1pet b bien choisi.

(2) On veut montrer l’inégalité de Minkowski pour f, g ∈ Lp deux fonctions positives :(∫(f + g)p dµ

) 1p

≥(∫

f pdµ

) 1p

+

(∫gpdµ

) 1p

(2.0.6)

établir (2.0.6) dans les cas suivants :(a)(∫

f pdµ) 1

p = ∞ ou bien(∫

gpdµ) 1

p = ∞ ;

(b)(∫

(f + g)p dµ) 1

p = 0 ;(c) autre cas (utiliser (2.0.5)).

Exercice 2.17. Une suite (fn)n∈N converge enmesure vers une fonction f ∈ M si et seulement si ∀ε >0, lim

n→∞µ (|fn − f | ≥ ε) = 0. Établir que :

(1) si (fn)n∈N converge en mesure vers f , alors cette limite est unique presque partout ;(2) la convergence uniforme entraîne le convergence en mesure ;(3) la convergence presque partout n’entraîne pas la convergence en mesure : considérer la suite de

fonctions fn = χ[n,n+1] ;(4) la convergence enmesure n’entraîne pas la convergence presque partout : considérerfn = χ[ j

2k, j+1

2k ]avec n = j + 2k et j = 0, 1, . . . , 2k − 1, k ∈ N ;

(5) la convergence dans Lp, 1 ≤ p <∞ entraîne la convergence en mesure ;(6) la convergence dominée dans Lp entraîne la convergence en mesure ;(7) la convergence en mesure n’entraîne pas la convergence faible : considérer fn = nχ[0, 1n ]

;(8) la convergence dominée en mesure entraîne la convergence faible.

Théorèmes de densité

Exercice 2.18. Lamesure µ est supposée finie. Soient p < q deux réels de [1,+∞] conjugués (1p+ 1

q=

1). Montrer que Lq est dense dans Lp.

Exercice 2.19. La mesure µ est supposée finie. Montrer que si f est une fonction mesurable, alorslimp→∞

∥f∥p = ∥f∥∞

Exercice 2.20. La mesure µ est supposée finie. Montrer que∩p≥1

Lp = L∞. On admettra que si f est

une fonction mesurable, alors limp→∞

∥f∥p = ∥f∥∞

Exercice 2.21. (X, T , µ) = (R,B (R) , λ). Soit 1 ≤ p <∞.

(1) Montrer que Cc (R,R) (fonctions continues à support compact) est dense dans Lp ;(2) pour tout f ∈ Lp, montrer que lim

h→0∥f − f (.+ h)∥p = 0 ;

Pierre Puiseux 2012


(3) pour p = ∞ : soit f = χ]0,1[ et φ ∈ Cc.(a) Montrez que ∥f − φ∥∞ ≥ 1

2et en déduire que Cc n’est pas dense dans L∞ ;

(b) calculer ∥f − f (.+ h)∥p.

Exercice 2.22. Quelle est l’erreur dans le raisonnement suivant ?

Pour p ∈ [1,∞[ , l’ensemble Cb est dense dans Lp car pour f ∈ Lp et ε > 0 :

(1) par densité de Lp ∩ L1 dans Lp, on peut trouver φ ∈ L1 ∩ Lp qui approche f à ε2près ;

(2) par densité de Cb dans L1, on peut trouver ψ ∈ Cb qui approche φ à ε2près ;

(3) la fonction ψ approche donc f à ε2+ ε

2= ε près.

Dualité

Exercice 2.23. Démontrer la linéarité de l’application Ψ dans ?? page ??.

Exercice 2.24. Le but de cet exercice est de démontrer le théorème 2.11 page 42. Soient p et q deuxréels de [1,+∞] conjugués (1

p+ 1

q= 1). Soit g ∈ Lq et la fonction

ϕ : Lp → R

f 7→∫fgdµ

(1) vérifier que ϕ est bien une forme linéaire sur Lp ; on note |||ϕ||| sa norme ;(2) en utilisant l’inégalité de Hölder, montrer que ϕ est continue sur Lp et que |||ϕ||| ≤ ∥g∥q ;(3) Cas 1 < p <∞ :

(a) soit la fonction f = σg |g|q−1 oùσg est la fonction « signe de g » : σg (x) =

g|g| (x) si g (x) = 0

0 si g (x) = 0.

Montrer que f ∈ Lp, et calculer |ϕ(f)|∥f∥p

en fonction de ∥g∥q. En déduire que |||ϕ||| ≥ ∥g∥q ;(b) conclure.

(4) Cas p = 1 (etµ est unemesure σ-finie) : soient ε > 0 etAε = x ∈ X, ∥g∥∞ − ε ≤ |g (x)| ≤ ∥g∥∞.(a) Montrer queµ (Aε) > 0 et qu’il existeBε ⊂ Aε tel que 0 < µ (Bε) <∞. (Utiliser l’hypothèse

que µ est une mesure σ-finie).(b) Montrer que f =

χBε

µ(Bε)σg est dans L1 et Φ(f)∥f∥1

≥ ∥g∥∞ − ε. Conclure.

Exercice 2.25. Soient p et q ∈ [1,+∞[ conjugués (1p+ 1

q= 1). On dit que la suite (fn)n∈N ⊂ Lp

converge faiblement vers la fonction f ∈ Lp (et on trouve aussi la notation fn f ) si et seulement si

(2.0.7) ∀g ∈ Lq, limn→∞

∫fngdµ =

∫fgdµ

Par opposition, la convergence de (fn)n∈N dans Lp est dite convergence forte.

(1) Justifier que fn converge faiblement vers f si et seulement si pour toute forme linéaire φ continuesur Lp, on a φ (fn) → φ (f) (dans R) quand n→ +∞ ;

(2) montrer que la convergence forte entraîne la convergence faible ;(3) pour la réciproque, examiner le contre-exemple suivant : Lp = L2 ([0, 2π] ,B ([0, 2π] , λ)), λ me-

sure de Lebesgue et la suite fn : x 7→ fn (x) = sin (nx).(4) Dans le cas p = 2, établir que si les deux conditions suivantes sont réalisées, alors (fn)n∈N converge

fortement vers f :(a) fn f ;(b) ∥fn∥2 → ∥f∥2 dans R.


2.0 Convolution 55

Exercice 2.26. X = [0, 1]. Soit

un =∑

0≤k<n

χ] 2k2n ,2k+12n [ − χ] 2k+1

2n, 2k+2

2n [

(1) Montrer que∫unϕdλ −→

n→∞0 ;

(2) utiliser la densité de C dans L1 pour établir que un 0 (convergence faible)(3) montrer que un ne tend pas vers 0 dans L1

Convolution

Exercice 2.27. Montrer que T = τ p, p ∈ Z muni de la convolution est un groupe

Exercice 2.28. Calculer, après avoir justifié de leur existence, les produits de convolution suivant :

(1) f ∗ g avec f = χ[−a,a] et g = χ[−b,b], a > b > 0 ;(2) f ∗ f , puis f ∗ f ∗ f avec f = χ[0,1] ;(3) ga ∗ ga avec ga (x) = e−a|x|, a > 0 ;(4) fa ∗ fb avec fa (x) = 1

x−ia , a > 0 ;

Exercice 2.29. Soit un = nχ[0, 1n ]. Calculer, après avoir justifié de leur existence, les produits de

convolution un ∗ f et un ∗ un ∗ f dans les cas suivants :

(1) f = χ[−a,a] ;(2) f (x) = e−a|x|, a > 0 ;(3) Observez la régularité de chacune des fonctions. Que constate-t-on ?

Exercice 2.30. On considère l’espace mesuré (R,B (R) , λ) où λ est la mesure de Lebesgue.On note Cc l’ensemble des fonctions continues à support compact de R dans R ou C.On appelle approximation de l’unité toute suite de (ρn)n∈N ⊂ L1 (R) de fonctions vérifiant5 :

(1) pour tout n ∈ N, ρn est à support dans In = [−tn, tn] où tn > 0 et limn→∞

tn = 0 ;(2) il existe une constante 0 ≤M <∞ telle que pour tout n ∈ N, ∥ρn∥1 ≤M ;(3)

∫ρn = 1 pour tout n ∈ N.

Le but de cet exercice est de montrer que si g ∈ Lp (R), alors(2.0.8) lim

n→∞ρn ∗ g = g

dans Lp (R) , 1 ≤ p ≤ ∞

(1) Donner un exemple d’approximation de l’unité.(2) Soit g ∈ Cc. Justifier que g est uniformément continue. On pose τn = sup

|x−y|<tn|g (x)− g (y)|

montrer que(2.0.9) τn = sup

|x−y|<tn|g (x)− g (y)| −−−−→

n→+∞0

(3) Soit x ∈ R. Montrer que(2.0.10) |(ρn ∗ g) (x)− g (x)| ≤Mτn

(4) Montrer qu’il existe A > 0, indépendant de n, tel que le support de ρn ∗ g − g soit inclus dans[−A,A]. Pour cela :

5Définition plus restrictive que celle donnée en cours.

Pierre Puiseux 2012


(a) Justifier que I =∪n∈N

In est un intervalle du type I = [−T, T ].

(b) SoitK = [−R,R] tel que g est nulle en dehors deK et soit t /∈ I +K. Établir que pour toutn ∈ N et pour presque tout y ∈ R, ρn (y) g (t− y) = 0, en déduire que (ρn ∗ g) (t) = 0.

(c) Conclure.(5) Déduire des questions précédentes que ρn ∗ g converge vers g dans Lp (R) :

(a) dans le cas p = ∞ (utiliser (2.0.9) et (2.0.10))(b) dans le cas 1 ≤ p <∞ (utiliser également (4))

(6) On suppose maintenant que g ∈ Lp (R). Démontrer que ∥ρn ∗ g − g∥p → 0 quand n → +∞.Indication : en utilisant la densité de l’ensemble Cc dans Lp (R), écrire ρn ∗g−g comme la sommede trois termes : (ρn ∗ g − ρn ∗ h)+(ρn ∗ h− h)+(h− g) où h est une fonction bien choisie. Onrappelle enfin que pour u ∈ L1 (R) et v ∈ Lp (R), on a ∥u ∗ v∥p ≤ ∥u∥1 ∥v∥p.


3.1 Définitions et propriétés élémentaires 57

CHAPITRE 3

Analyse hilbertienne et espace L2

Dans ce chapitre,H désigne un espace de Hilbert sur C, comme défini plus bas, en 3.2 page suivante.

(1) On suppose connues certaines définitions et propriétés élémentaires des espaces de Hilbert, quel’on rappelle succinctement dans une première partie. On démontre que l’espace L2

C (X, T , µ) =f : X → C,

∫|f |2 dµ < +∞

est un espace deHilbert muni du produit scalaire (f |g) =

∫fgdµ.

(2) On s’attarde dans une deuxième partie, sur une caractéristique plaisante des espaces de Hilbert :H ′ = H (H ′ dual topologique de H). Ce résultat est obtenu en montrant que toute forme linéaireφ continue sur H est de la forme φ (u) = (u|v) où v ∈ H . Il s’agit là d’une forme particulière duthéorème de représentation de Riesz.

(3) (hors programmeL3)On développe ensuite la notion de base hilbertienne, qui peut être vue commeune extension de la notion de base orthonormée dans un espace vectoriel. Une base hilbertienneest une base orthonormée comprenant un nombre infini de vecteurs. Lorsque H est séparable, laplupart des propriétés des bases orthonormées (finies) subsistent :– siH est séparable, alors il existe une base hilbertienne dénombrable (en)n∈N, et comme dansle cas fini, tout élément u de H peut s’exprimer sur cette base, comme somme d’une série

u =∑n∈N

unen

où les coefficients un (les coordonnées) ont une expression simple : un = (u|en).– Cette série possède en outre la propriété remarquable de convergence commutative : si φ :N → I est une numérotation (i.e. une bijection) alors

∑n∈N

unen =∑n∈N

uφ(n)eφ(n) =∑i∈Iuiei on

peut sommer dans n’importe quel ordre.– Comme dans le cas fini le carré de la norme d’un vecteur est la somme (infinie) des carrés deses coordonnées (identité de Bessel), et

– le produit scalaire de deux vecteurs est la somme (infinie) des produits de leurs coordonnées(identité de Parseval).

(4) Dans la section suivante, sur les séries de Fourier, on applique les résultats qui précèdent à l’espaceH = L2

C (]0, 2π[ ,B (]0, 2π[) , λ) : c’est un espace de Hilbert car p = 12est son propre conjugué

1p+ 1

p= 1 et l’inégalité de Hölder devient la précieuse inégalité de Cauchy-Schwartz :

∫|fg| dµ ≤

∥f∥2 ∥g∥2. On y démontre quex 7→ 1√

2πexp (inx) , n ∈ Z

est une base hilbertienne deH et on

exploite cette propriété pour étudier la convergence des séries de Fourier.

3.1. Définitions et propriétés élémentaires

Un point sur la terminologie (p.s.= muni d’un produit scalaire) :EVN complet p.s. p.s.+dimension finie p.s.+complet

sur R / sur C Banach pré-hilbertien euclidien / hermitien Hilbert

Pour les propriétés qui ne sont pas démontrées ici, on renvoie au cours « Algèbre bilinéaire, espaceseuclidiens ».

Pierre Puiseux 2012

58 Chapitre 3. Analyse hilbertienne et espace L2

Dans ce paragraphe, on se focalise sur le produit scalaire à valeur dans C. Le produit scalaire à va-leurs dans R possède des propriétés très voisines, qui se démontrent de manière analogue à ce qui estprésenté ici.

Définition 3.1. (Produit scalaire) SoitH un espace vectoriel sur C. On appelle produit scalaire surHtoute application, notée (.|.)H ou bien (.|.) : H2 → C vérifiant les propriétés suivantes :(1) ∀u ∈ H, u = 0 ⇒ (u|u) ∈ ]0,+∞[ ;(2) ∀u, v ∈ H, (u|v) = (v|u) ;(3) (.|.) est sesquilinéaire, c’est à dire l’application ψv : u 7→ (u|v) est linéaire pour tout v ∈ H .Un espace vectoriel muni d’un produit scalaire à valeurs complexes est dit pré-hilbertien (et hermitiens’il est de dimension finie).

Proposition 3.1. La fonction u ∈ H 7→ ∥u∥H = (u|u)12

– vérifie l’inégalité de Cauchy-Schwartz : ∀u, v ∈ H, |(u|v)| ≤ ∥u∥H ∥v∥H , avec égalité si etseulement si u = 0 ou v = 0 ou u = kv, k ∈ C.

– est une norme sur H ;– vérifie l’égalité du parallélogramme : ∀u, v ∈ H, ∥u+ v∥2H + ∥u− v∥2H = 2 ∥u∥2H + 2 ∥v∥2H .– vérifie l’égalité : ∀u, v ∈ H,∥u+ v∥2H = ∥u∥2H + ∥v∥2H + 2ℜ (u|v)

Démonstration. La démonstration des résultats est exactement la même que celle du cours « Al-gèbre bilinéaire, espaces euclidiens » (dimension finie, espace hermitien) :

– Cauchy-Schwartz : si u = 0 ou v = 0, l’inégalité est vérifiée (on a même égalité). Sinon, u = 0et v = 0, on écrit pour λ ∈ C, 0 ≤ P (λ) = ∥u+ λv∥2H . En prenant λ = α (u|v) , α ∈ R, onobtient après quelques calculs élémentaires : 0 ≤ α2 ∥v∥2H + 2α |(u|v)|+ ∥u∥2H ce qui impose undiscriminant ∆ ≤ 0 c’est à dire l’inégalité recherchée. On a égalité si et seulement si ∆ = 0. Si∆ = 0 alors il existe λ0 ∈ C qui annule P (λ) donc u = −λ0v. Réciproquement si u = kv, k ∈ Calors |(u|v)| = |k| ∥v∥2H = ∥u∥2 ∥v∥2.

– On en déduit l’inégalité triangulaire par ∥u+ v∥2H ≤ ∥u∥2E + 2 |(u|v)| + ∥v∥2E ≤ ∥u∥2E +

2 ∥u∥E ∥v∥E + ∥v∥2E ce qui montre que ∥.∥H est une norme.– Un simple développement des produits scalaires donne le résultat.

Définition 3.2. Un espace de Hilbert est un espace pré-hilbertien complet pour la norme induite parle produit scalaire. Autrement dit, c’est un espace de Banach dont la norme provient d’un produitscalaire.

Proposition 3.2. Soit (X, T , µ) un espace mesuré et L2C =

f : X → C,

∫|f |2 dµ < +∞

. Alors

(1) l’application (f, g) ∈ L2C × L2

C 7→∫fgdµ est un produit scalaire et la norme ∥f∥2 =

∫|f |2 dµ

provient de ce produit scalaire ;(2) L2

C (muni de cette norme) est un espace de Hilbert. L’inégalité de Cauchy-Schwartz et l’inégalitéde Hölder ne font qu’une.

Démonstration. Voir exercice 2.10 page 51

Exemple.


3.1 Définitions et propriétés élémentaires 59

(1) Pour (X, T , µ) = (N,P (N) ,m) oùm est la mesure du comptage, l’espace L2C est l’espace ℓ2C (N)

des suites complexes x = (xn)n∈N telles que ∥x∥22 =∑n∈N

|xn|2 < ∞. C’est un espace de Hilbert

pour le produit scalaire (x|y) =∑n∈N

xnyn.

(2) Si on désigne par L2p (R) ou L2

p l’espace vectoriel des fonctions de L2C (R), 2π−périodiques, alors

(u, v) ∈ L2p 7→ (u|v) =

∫[0,2π]

u (x) v (x) dλx

est un produit scalaire. L2p (R) est un sous espace vectoriel fermé de L2

C (R) car

L2p =

u ∈ L2

C, (τ2πu) =p.p.

u

= (τ2π − Id)−1 (0)

où τ2π − Id est linéaire continue.

Proposition 3.3. (Continuité du produit scalaire.)(1) L’application (u, v) ∈ H2 7→ (u|v)H ∈ C est continue.(2) Pour tout u ∈ H , l’application

Φu : H → Cv 7→ (u|v)

est une forme linéaire continue sur H donc Φu ∈ H ′ et |||Φu||| = ∥u∥H .

Démonstration.

(1) Il suffit de montrer1 que si (un, vn)n∈N est une suite de H2 convergeant vers (u, v) dans H2,alors (un|vn) → (u|v). Pour cela on écrit |(un|vn)− (u|v)| = |(un|vn − v)− (v|un − u)| puison utilise deux fois l’inégalité de Cauchy-Schwartz : |(un|vn)− (u|v)| ≤ ∥un∥H ∥vn − v∥H +∥v∥H ∥un − u∥H d’où l’on déduit le résultat pour n → +∞, car (un, vn) → (u, v) dans H2 im-plique un → u et vn → v dans H quand n→ +∞.

(2) La continuité de Φu est une conséquence directe de la continuité de (u, v) 7→ (u|v)H .Calculons la norme de Φu : pour tout v ∈ H ,|Φu (v)| ≤ ∥u∥H ∥v∥H donc |||Φu||| ≤ ∥u∥H d’autrepart |Φu (u)| = ∥u∥2H donc |||Φu||| ≥ ∥u∥H .

Définition 3.3. (Orthogonal) Soient u ∈ H et A ⊂ H ;(1) on dit que v ∈ H est orthogonal à u et on note u ⊥ v si et seulement si (u|v)H = 0 ;(2) on appelle orthogonal de A et on note A⊥ l’ensemble des éléments de H orthogonaux à tous les

éléments de A :A⊥ = v ∈ H, ∀a ∈ A, (a|v) = 0

Proposition 3.4. Soit A ⊂ H . Alors(1) A⊥ est un sous espace vectoriel fermé dans H ;(2) A⊥ =

(A)⊥ ;

(3) A ⊂(A⊥)⊥ ;

1Dans un espace métrique, (en particulier dans un espace vectoriel normé), la continuité séquentielle équivaut à la conti-nuité.

Pierre Puiseux 2012


Démonstration. (1) On vérifiera à titre d’exercice queA⊥ est bien un espace vectoriel. Il est fermécomme intersection de fermés A⊥ =

∩a∈A

a⊥ où a⊥ = φ−1a (0) est fermé car φa : y 7→ (a|y) est

continue.(2) A ⊂ A ⇒ A

⊥ ⊂ A⊥ (pourquoi ?). Réciproquement soit x ∈ A⊥, soit y ∈ A alors y est limited’une suite (yn)n∈N ⊂ A donc ∀n ∈ N, (x|yn) = 0 et par continuité de y 7→ (x|y) on obtientlim (x|yn) = 0 = (x|y) donc x ∈

(A)⊥.

(3) soit x ∈ A alors pour tout y ∈ B = A⊥ on a x ⊥ y donc x ∈ B⊥.

Proposition 3.5 (Pythagore). Soit une famille finie (ui)1≤i≤n ⊂ H de vecteurs deux à deux orthogo-

naux (i = j ⇒ (ui|uj) = 0). Alors∥∥∥∥ ∑1≤i≤n

ui

∥∥∥∥2H

=∑

1≤i≤n∥ui∥2H .

Démonstration. Voir cours Algèbre bilinéaire, espaces euclidiens. (Par récurrence).

3.2. Dualité dans un espace de Hilbert

Dans cette section, on démontre le théorème de représentation de Riesz enoncé dans le cadre desespaces Lp, 1 ≤ p < ∞ (voir 2.12 page 43), mais dans le cas d’un espace de Hilbert. Le théorèmecentral de cette section s’énonce ainsi :

Théorème 3.1. Un espace de Hilbert H est isométriquement isomorphe à son dual topologique H ′.

Remarque. On fera souvent mais pas toujours l’identification entre H et H ′.

3.2.1. Projection sur un convexe fermé, meilleure approximation.

Proposition 3.6. Soient C un sous ensemble convexe fermé de H , non vide et a ∈ H . Alors il existeun unique élément de C, appelé projection de a sur C, ou bien la meilleure approximation de a dansC, noté PC (a) ou PCa, qui vérifie :

∥a− PCa∥H = min ∥a− v∥H , v ∈ Cet ce minimum est appelé la distance de a à C et noté d (a, C).

Démonstration. En deux temps : existence et unicité.

(1) Posons d := d (a, C) = inf ∥a− v∥H , v ∈ C. Comme d est une borne inférieure dans R, ilexiste une suite (vn)n∈N ⊂ C telle que ∥a− vn∥H → d quand n→ +∞. Montrons que cette suiteest de Cauchy dans H , en utilisant l’identité du parallélogramme :

∥vn − vm∥2H = ∥(a− vm)− (a− vn)∥2H= −∥(a− vm) + (a− vn)∥2H + 2 ∥a− vm∥2H + 2 ∥a− vn∥2H

= −4

∥∥∥∥a− vm + vn2

∥∥∥∥2H

+ 2 ∥a− vm∥2H + 2 ∥a− vn∥2H

≤ −4d2 + 2 ∥a− vm∥2H + 2 ∥a− vn∥2Hon peut écrire la dernière inégalité car C est convexe donc vm+vn

2∈ C donc

∥∥a− vm+vn2

∥∥H≥ d.


3.2 Dualité dans un espace de Hilbert 61

C

Pa

v

a

Fig. 3.2.1. Projection sur un convexe fermé

D’autre part ∥a− vm∥2H d2 lorsque m → ∞ et ∥a− vn∥2H d2 quand n → +∞. Pourε > 0 donné, on peut donc trouver un N tel que sim,n > N alors

0 ≤ ∥a− vm∥2H − d2 <ε

4et 0 ≤ ∥a− vn∥2H − d2 <

ε

4

donc∥vn − vm∥2H < ε

ce qui montre que (vn) est de Cauchy dans H . La suite (vn) est donc convergente, puisque Hest complet et sa limite v est dans F puisque F est fermé. Enfin, par continuité de la norme,∥a− v∥H = d ce qui achève cette partie de la démonstration.

(2) L’unicité de v = PFa est obtenue en supposant que w ∈ F vérifie d = ∥a− w∥H = ∥a− v∥H .En utilisant encore l’identité du parallélogramme, on écrit :

∥v − w∥2H = ∥(a− w)− (a− v)∥2H

= −4

∥∥∥∥a− v + w

2

∥∥∥∥2H

+ 4d2

et comme v+w2

∈ F , on a∥∥a− v+w

2

∥∥2H≥ d2 donc ∥v − w∥2H ≤ −4d2 + 4d2 = 0. Donc v = w.

Remarque.

(1) Si H est un Banach, le résultat est faux. En exercice, on étudiera un exemple.(2) Si C n’est pas convexe, c’est l’unicité qui est prise en défaut (penser à une couronne dans le plan

C = D (0, 2) \D (0, 1), la projection de (0, 0) sur C n’est pas unique).(3) SiC n’est pas fermé le résultat est également faux (penser à la projection orthogonale sur le disque

ouvert D (0, 1) dans R2).

Proposition 3.7. (caractérisation de la projection, hors programme L3) Soit C ⊂ H est un convexe,fermé, non vide et a ∈ H . Soit a0 ∈ C. Alors

a0 = PCa ⇐⇒ ∀v ∈ C,R (a− a0|v − a0) ≤ 0

Pierre Puiseux 2012


Démonstration. (⇐) Soit a0 vérifiant ∀v ∈ C,R (a− a0|v − a0) ≤ 0. On veut montrer que a0vérifie ∀v ∈ C, ∥a− a0∥2H ≤ ∥a− v∥2H , or

∥a− v∥2H = ∥(a− a0)− (v − a0)∥2H= ∥a− a0∥2H + ∥v − a0∥2H − 2R (a− a0|v − a0)

≥ ∥a− a0∥2H(⇒) Supposons maintenant que a0 = PCa ∈ C. On veut montrer que ∀v ∈ C,R (a− a0|v − a0) ≤ 0.Soit donc v ∈ C. Comme C est convexe pour t ∈ ]0, 1], w = tv + (1− t) a0 est aussi dans C donc

∥a− a0∥2H ≤ ∥a− w∥2H≤ ∥a− (tv + (1− t) a0)∥2H≤ ∥a− a0 − t (v − a0)∥2H≤ ∥a− a0∥2H + t2 ∥v − a0∥2H − 2tR (a− a0|v − a0)

on en déduit que t2 ∥v − a0∥2H − 2tℜ (a− a0|v − a0) ≥ 0 puis en faisant tendre t vers 0 on obtient lerésultat.

Remarque. Intuitivement, le produit scalaire négatif s’interprète comme deux vecteurs qui pointentvers deux directions (plus ou moins) opposées, voir la figure 3.2.1 page précédente.

Dans le cas ouC est un sous espace vectoriel fermé deH , on a une caractérisation commode du projetéde a sur C, donnée par la proposition suivante :

Proposition 3.8. Soient F un sous espace vectoriel fermé de H , non vide et a ∈ H . Alors(1) il existe un unique élément de F , appelé projection orthogonale de a sur F , ou bien la meilleure

approximation de a dans F , noté PF (a) ou PFa, qui vérifie :∥a− PFa∥H = min ∥a− v∥H , v ∈ C

et ce minimum est appelé la distance de a à F et noté d (a, F ). L’opérateur PF : a 7→ PFa estappelé projecteur orthogonal sur F .

(2) De plus,

a0 = PFa ⇐⇒

a− a0 ∈ F⊥ eta0 ∈ F

Démonstration.

(1) Le point 1. est une simple adaptation à C = F du théorème de projection sur un convexe fermé.(2) Caractérisation de la projection :

– (⇐) Si a − a0 ∈ F⊥ et a0 ∈ F alors ∀x ∈ F on a x − a0 ∈ F donc R (a− a0|a0 − x) = 0. Onen déduit :

∥a− x∥2H = ∥a− a0∥2H + ∥a0 − x∥2H + 2R (a− a0|a0 − x)

= ∥a− a0∥2H + ∥a0 − x∥2Hceci prouve que ∥a− a0∥H ≤ ∥a− x∥H donc a0 = PFa.



– (⇒) On veut montrer que2 ν = a − PFa ∈ F⊥. Soit x ∈ F un vecteur non nul. Le vecteurPFa+ αx appartient à F (α ∈ C sera choisi plus loin) donc

∥ν∥2H ≤ ∥a− (a0 + αx)∥2H = ∥ν − αx∥2H= ∥ν∥2H + |α|2 ∥x∥2H − α (ν|x)− α (x|ν)

donc

|α|2 ∥x∥2H ≥ α (ν|x) + α (x|ν)

on peut maintenant choisir α = (ν|x)∥x∥2H

et on obtient

|(ν|x)|∥x∥2H

2

≥ 2|(ν|x)|∥x∥2H

2

ce qui montre que (ν|x) = 0.

Proposition 3.9. Soit F un sous ev de H , fermé, non vide. Alors l’applicationPF : H → C

a 7→ PFa

est contractante.

Démonstration. Pour u, v ∈ H , on décompose u − v = (u− Pu+ Pv − v) + (Pu− Pv) et onobtient :

∥u− v∥2H = ∥u− Pu+ Pv − v∥2H + ∥Pu− Pv∥2H + 2ℜ

u− Pu+ Pv − v︸︷︷︸∈F⊥

|Pu− Pv︸︷︷︸∈F

= ∥u− Pu+ Pv − v∥2H + ∥Pu− Pv∥2H≥ ∥Pu− Pv∥2H

Remarque. Le projecteur sur un convexe fermé non vide est également contractante (voir exer-cice 3.11 page 70)

Proposition 3.10. Soit F un sous espace vectoriel fermé de H . Alors(1) H = F ⊕ F⊥ ;(2) PF est le projecteur (algébrique) associé à cette somme directea ;(3) F = F⊥⊥.aRappelons qu’étant donné E un espace vectoriel, l’écriture E = F ⊕G signifie que F etG sont deux sous espaces de Eet tout élément u ∈ E admet une décomposition unique u = x+ y, où (x, y) ∈ F ×G. Les applications PF : u 7→ x etPG : u 7→ y sont appelées projecteurs algébriques sur F et G.

Démonstration. Soit u ∈ H , alors u peut s’écrire

u = (u− PFu) + PFu

avec u− PFu ∈ F⊥ et PFu ∈ F

2ν comme « normal »

Pierre Puiseux 2012


(1) on en déduit que H = F + F⊥. Si u ∈ F ∩ F⊥ alors (u|u) = 0 donc u = 0 donc la somme estdirecte.

(2) La décomposition de u ∈ H écrite ci-dessus montre que PF et IH − PF sont les deux projecteursalgébriques sur F et F⊥.

(3) Posons G = F⊥. On sait que F ⊂ G⊥. Montrons que G⊥ ⊂ F . Soit u ∈ G⊥. Écrivons ladécomposition de u sur F ⊕G : u = PFu+ (u− PFu)(a) avec u− PFu ∈ G et PFu ∈ F(b) Montrons que u− PFu ∈ G⊥ : soit v ∈ G,

(u− PFu|v) = ( u∈G⊥

| v∈G

)− (PFu∈F

| v∈F⊥

) = 0

donc u− PFu ∈ G ∩G⊥ = 0 donc u = PFu ∈ F .

Corollaire 3.1. Soit F un sous espace vectoriel deH . Alors F est dense dansH si et seulement si F⊥

est réduit à 0.F = H ⇐⇒ F⊥ = 0

Démonstration. F est un sous espace vectoriel fermé deH doncH = F⊕(F)⊥ mais (F)⊥ = F⊥

donc H = F ⊕ F⊥ d’où on déduit facilement le résultat.

Résumons les propriétés d’orthogonalité des sous espaces vectoriels établies dans ce paragraphe :

Proposition 3.11.

– Soit A ⊂ H , une partie quelconque. Alors(1) A⊥ est un sous espace vectoriel fermé dans H ;(2) A⊥ =

(A)⊥ ;

(3) A ⊂(A⊥)⊥ ;

– Soit F un sous espace vectoriel fermé de H . Alors(1) H = F ⊕ F⊥ ;(2) PF est le projecteur (algébrique) associé à cette somme directe ;(3) F = F⊥⊥.

– Soit F un sous espace vectoriel quelconque de H . Alors(3.2.1) F = H ⇐⇒ F⊥ = 0

3.2.2. Le théorème de représentation de Riesz. On rappelle que si E est un espace vectoriel,un hyperplan est un sous espace vectoriel de codimension 1. On démontre que F est un hyperplan siet seulement si il existe une forme linéaire dont F est le noyau.



Théorème 3.2. (Théorème de représentation de Riesz dans un Hilbert.)Pour toute forme linéaire continue φ ∈ H ′ il existe un unique vφ ∈ H tel que ∀u ∈ H

φ (u) = (u|vφ)H(3.2.2)Si φ = 0 on a plus précisément :– kerφ est un hyperplan, c’est à dire dim (kerφ)⊥ = 1

– a0 = 0 désignant un vecteur quelconque de (kerφ)⊥ on a :

vφ =φ (a0)

(a0|a0)a0

Démonstration.

(1) On vérifie l’existence :– si φ = 0, alors u = 0 vérifie (3.2.2) ;– sinon (kerφ)⊥ = 0. En effet, si on suppose (kerφ)⊥ = 0, alors en vertu de 3.2.1 pageci-contre, on a kerφ = kerφ = H , c’est à dire φ = 0. On choisit donc un a0 = 0 dans(kerφ)⊥

Pour u ∈ H , on remarque que sa décomposition sur H = kerφ⊕ (kerφ)⊥ s’écrit

u = u− φ (u)

φ (a0)a0︸︷︷︸

u1∈kerφ

+φ (u)

φ (a0)a0︸︷︷︸

u2∈(kerφ)⊥

(vérifiez !).Comme (u1|a0)H = 0 on obtient φ (u) = φ(a0)

(a0|a0) (u|a0)H on pose alors vφ = φ(a0)(a0|a0)a0 qui est

le vecteur cherché.(2) Vérifions l’unicité : si v et v′ vérifient ∀u ∈ H,φ (u) = (u|v) = (u|v′) alors en prenant u = v−v′

on obtient ∥v − v′∥H = 0.(3) La dimension de kerφ est 1 car si on choisit un autre vecteur b0 = 0 dans (kerφ)⊥ alors, vφ =

φ(b0)(b0|b0)H

b0 mais en vertu de l’unicité de vφ, on a aussi vφ = φ(a0)(a0|a0)H

a0 donc φ(b0)(b0|b0)b0 =

φ(a0)(a0|a0)a0 = 0,

donc a0 et b0 sont dépendants.

Exemple 3.1. Dans H = R3, les formes linéaires sont toutes continues et de la forme : ∀u =(x, y, z) ∈ H , φ (u) = ax + by + cz, c’est à dire φ (u) = (u|vφ)H avec vφ = (a, b, c). Dans cecas particulier, on lit directement le vecteur vφ = (a, b, c) dans l’expression analytique de la formelinéaire. Il s’agit bien du vecteur vφ construit dans la démonstration ci-dessus. En effet : le noyau deφ est l’hyperplan d’équation ax+ by+ cz = 0, et son orthogonal (kerφ)⊥ est la droite engendrée parvφ, et pour tout u ∈ H on a φ (u) = (u|vφ)H .

Corollaire 3.2. L’applicationΨ : H → H ′

v 7→ Φv

où Φv (u) = (u|v)H est un isomorphisme isométrique d’espace vectoriels.

Démonstration.

Pierre Puiseux 2012


(1) On vérifie facilement que Ψ est linéaire.(2) Le théorème de Riesz montre qu’elle est bijective.(3) La norme de Ψ vaut 1 car pour tout v ∈ H , la propriété 3.3 page 59 nous donne |||Φv||| = ∥v∥H .

3.3. Bases hilbertiennes, séparabilité

(A compléter, hors programme de L3)

Définition 3.4. Base algébrique, base orthonormée, base hilbertienne. Soit E un espace vectoriel etB = (ei)i∈I ⊂ E une famille (finie, infinie dénombrable ou non dénombrable).(1) On note VectB l’ensemble des combinaisons linéaires finies d’éléments de B.(2) La famille B est une base algébrique de l’espace vectoriel E si elle est :

– libre : pour toute famille finie J ⊂ I ,∑j∈J

αiei = 0 ⇒ ∀j ∈ J, αj = 0 ;

– génératrice : VectB = E.(3) Lorsque E est un espace pré-hilbertien (c’est à dire muni d’un produit scalaire à valeurs réelles ou

complexes), la famille B est orthonormée si ∀ (i, j) ∈ I2, (ei|ej) = δij(4) Lorsque E = H est un espace de Hilbert, la famille B est une base hilbertienne de H si elle

vérifie :(a) B est orthonormée ;(b) B est une partie totale de H c’est à dire VectB est dense dans H : VectB = H .

Proposition 3.12. Si H est séparablea, alors H admet une base hilbertienne dénombrable B =ei, i ∈ N.aUn espace topologique est séparable s’il contient une partie dénombrable et dense. Les espaces Lp (R) sont séparablespour 1 ≤ p <∞ mais L∞ (R) ne l’est pas.

Démonstration. Par le procédé d’orthogonalisation de Graham-Schmidt. TODO

Remarque. Soit H un espace de Hilbert sur K. On démontre que :

– si H est de dimension finie, alors H admet une base hilbertienne finie ;– siH est de dimension infinie etH est séparable alorsH admet une base hilbertienne dénombrable ;– si H est de dimension infinie et H non séparable alors alors H admet une base hilbertienne nondénombrable. 3

3Mais dans ce cas, on démontre que tout élément u deH s’exprime comme une somme où l’ensemble des termes non nulsest dénombrable.


3.3 Bases hilbertiennes, séparabilité 67

Théorème 3.3. Soit B = ei, i ∈ I une base hilbertienne de H . Alors(1) (identité de Bessel) Pour tout u ∈ H, ∥u∥2H =

∑i∈I

|(u|ei)|2, et la série est commutativementa

convergente dans R ;(2) pour tout u ∈ H, u =

∑i∈I

(u|ei) ei, et la série est commutativement convergente au sens de la

norme ∥.∥H ;(3) réciproquement, si u ∈ H vérifie u =

∑i∈Iαiei et si la série est commutativement convergente,

alors αi = (u|ei) pour tout i ∈ I ;(4) (identité de Parseval) pour tout u, v ∈ H, (u|v) =

∑i∈I

(u|ei) (v|ei), et la série est commutativementconvergente.

aSoit I dénombrable. Une série∑i∈I

un , d’un espace vectoriel normé E est commutativement convergente

si et seulement si– elle est convergente vers un vecteur u ∈ E et– pour toute numérotation φ : N → I , la série

∑n∈N

uφ(n) converge vers u

Démonstration. Dans un premier temps, on suppose que I = N et on démontre les propriétés 1. à4. sans l’adverbe « commutativement ».

(1) (Bessel) Soit u ∈ H .(a) (Bessel en dimension finie) On pose Fn = vect ei, 0 ≤ i ≤ n et F =

∪n∈N

Fn. F est l’en-

semble des combinaisons linéaires finies d’éléments deB. Pour tout élément v =∑

1≤i≤nαiei ∈

Fn, le calcul du produit scalaire (v|ej) donne (v|ej) = αj . Ce qui montre que ∀v ∈ Fn

v =∑

1≤i≤n

(v|ei) ei

et par le théorème de Pythagore ( 3.5 page 60), on obtient ∀v ∈ Fn :

∥v∥2H =∑

1≤i≤n

|(v|ei)|2(3.3.1)

(b) La suite réelle d (u, Fn) est décroissante (car Fn ⊂ Fn+1) minorée par 0 donc convergentedans R+. Comme de plus F est dense dans H , pour ε > 0, on peut trouver un élément dev ∈

∪n∈N

Fn tel que ∥v − u∥H < ε. Il existe donc n ∈ N tel que v ∈ Fn, on en déduit que

d (u, Fn) ≤ ∥u− v∥H < ε ce qui montre que d (u, Fn) → 0.(c) Le théorème de projection 3.6 page 60 nous indique qu’il existe un unique un = PFnu ∈ Fn

tel que d (u, Fn) = ∥u− un∥H avec u − un ∈ F⊥n . Le théorème de Pythagore donne alors

∥u∥2H = ∥u− un∥2H + ∥un∥2H = d2 (u, Fn) + ∥un∥2H et en faisant n→ ∞ on obtient

limn→∞

∥un∥2H = ∥u∥2H(3.3.2)

(d) On remarque que u−un ∈ F⊥ donc pour i ≤ n, (un|ei) = (u|ei). L’équation (3.3.1) appliquéeà v = un ∈ Fn, combinée avec l’équation (3.3.2) donne l’identité de Bessel.

(2) La série u =∑n∈N

(u|en) en est convergente car ∥un − u∥H = d (u, Fn) → 0 quand n→ +∞.

Pierre Puiseux 2012


(3) Soit (αn)n∈N une suite vérifiant u = limn→∞

∑0≤i≤n

αiei. Soit j ∈ N, alors en faisant le produit scalaire

par ej , on obtient pour tout n ≥ j :( ∑

0≤i≤nαiei|ej

)= αj et par continuité de x 7→ (x|ej) il vient

(u|ej) = αj .(4) (u|v) = (limn un|v) en utilisant la continuité de x 7→ (x|v) on obtient (u|v) = limn (un|v) avec

un =∑i≤n

(u|ei) ei et finalement : (u|v) = limn

∑i≤n

(u|ei) (ei|v) =∑n∈N

(u|en) (v|en).

(5) La convergence commutative est obtenu en remarquant que si φ : N → I est une bijection, alors(en = eφ(n)

)n∈N est une base hilbertienne, et on applique le théorème que l’on vient de démon-

trer : pour u ∈ H on a ∥u∥2H =∑n∈N

|(u|en)|2 puis u =∑n∈N

(u|en) en puis pour v ∈ H, (u|v) =∑n∈N

(u|en) (v|en). Les séries invoquées sont toutes convergentes, indépendemment de la bijection

φ, c’est pourquoi il est légitime de les noter u =∑i∈I

(u|ei) ei, etc...

Proposition 3.13. (Caractérisation des bases hilbertiennes) La famille orthonormée B = ei, i ∈ Iest une base hilbertienne si et seulement si elle vérifie ∀u ∈ H :(3.3.3) (∀i ∈ I, (u|ei) = 0) ⇒ u = 0

Démonstration. (⇒) Soit u ∈ H tel que (u|ei) = 0,∀i ∈ I . Si B est une base hilbertienne, alorsu =

∑i∈I

(u|ei) ei = 0.

(⇐) Supposons (3.3.3) et posons F = vectB. On sait que H = vectB ⊕ vectB⊥ donc H = vectBéquivaut à vectB⊥

= 0. Or on a déja vu ( 3.4 page 59) que F⊥= F⊥ donc H = vectB équivaut à

vectB⊥ = 0. Pour montrer que B est une base hilbertienne, il suffit de montrer que vectB⊥ = 0.Soit un élément v de vectB⊥ ; il orthogonal à tous les ei : ∀i ∈ I, (v|ei) = 0 donc v = 0.

Proposition 3.14. Tout espace de Hilbert H de dimension infinie, séparable est isométriquementisomorphe à ℓ2 (N).

Démonstration. voir exercice 3.17 page 71

Proposition 3.15. (Meilleure approximation dans un Hilbert.) Soit H un espace de Hilbert, B =en, n ∈ N une base hilbertienne deH , Fn = vect ek, 0 ≤ k ≤ n. Alors pour tout u =

∑n∈N

unen ∈

H la meilleure approximation de u dans Fn est Pnu =∑

0≤k≤nukek.

Démonstration. Voir l’exercice 3.16 page 71.


Exercice 3.1. SoientH un espace de Hilbert complexe,A ∈ Lc (H) une application linéaire continuede H dans lui-même et y ∈ H . On rappelle que l’application φy : x ∈ H 7→ (x|y) est dans H ′ et|||φy||| = ∥y∥H .


3.3 Exercices sur le chapitre 3 69

(1) Appliquer le théorème de représentation de Riesz à φy A pour montrer qu’il existe un uniquey∗ ∈ H tel que pour tout x ∈ H, (Ax|y) = (x|y∗). On appelle adjoint de A, et on note A∗,l’application y 7→ y∗.

(2) Montrer que A∗ ∈ Lc (H) et |||A∗||| ≤ |||A|||.(3) Montrer que (A∗)∗ = A et en déduire que |||A||| = |||A∗|||.

Exercice 3.2. Soient (H, ∥.∥H) un espace de Banach complexe.

(1) Supposant que c’est un Hilbert, donner une expression du produit scalaire (en fonction de ∥.∥H).(2) Supposons que l’identité du parallélogramme est vérifiée. Montrer que c’est un Hilbert pour un

produit scalaire que l’on déterminera.(3) En déduire que (H, ∥∥H) estun Hilbert si et seulement si l’identité du parallélogramme est vérifiée.

Exercice 3.3. Soient g = 0 ∈ H = L2 et φg : f ∈ L2 7→ (f |g). On définit l’ensemble S =f ∈ L2, φg (f) = |||φg|||2

.

(1) Montrer que S =f ∈ L2, φg (f) = ∥g∥22

.

(2) Montrer que g est un élément de norme minimale dans S.(3) Montrer que tout autre élément de norme minimale est égal à g p.p..

Exercice 3.4. Soit (fn)n∈N une suite de L2R d’éléments deux à deux orthogonaux. Montrer que

∑n∈N

fn

converge dans L2 si et seulement si∑n∈N

∥fn∥22 converge. (Exprimer que la série∑n∈N

fn converge dans

L2 si et seulement si elle est de Cauchy)

Exercice 3.5. Considérer les fonctions f = χ[0,1] et g = χ[1,2] pour établir que Lp n’est pas un espacede Hilbert si p = 2.

Exercice 3.6. Distance à un sous-espace. Soit H un espace de Hilbert et V un sous ev fermé decodimension 1 (c’est à dire tel que dimV ⊥ = 1). Soient a ∈ V ⊥, a = 0, u ∈ H et Pu le projetéorthogonal de u sur V .

(1) Établir que Pu est de la forme Pu = u− αa.(2) Calculer α en exprimant que Pu est orthonal à a.(3) Montrer que la distance d (u, V ) est donnée par d (u, V ) = α ∥a∥H .

Exercice 3.7. Exemple de projection. (Utiliser l’exercice (3.6)). On noteH = L2 ([0, 1]) et on définit

φ :

H → Kf 7→

∫fdµ

(1) Montrer que V =f ∈ H :

∫[0,1]

fdλ = 0est un hyperplan fermé de H ;

(2) déterminer le vecteur aφ associé à φ par le théorème de Riesz ;(3) en déduire V ⊥ ;(4) déterminer le projeté sur V de la fonction f : x 7→ x2 ;(5) calculer la distance de f à V ;

Exercice 3.8. Exemple de projection orthogonale. On note H = L2R ([−1, 1]).

(1) Montrer que W =f ∈ H :

∫[−1,0]

fdλ =∫[0,1]

fdλest le noyau d’une forme linéaire ψ que

l’on déterminera ;(2) déterminer le vecteur aψ associé à ψ par le théorème de Riesz ;(3) déterminerW⊥ ;(4) déterminer la distance de la fonction f (x) = x2 àW et le projeté de f surW .

Pierre Puiseux 2012


(5) déterminer la distance de u àW , et tracer u et PWu dans les cas suivants :

(a) u (x) =√

|x|x

(b) u (x) = x2

(c) u (x) = x

Exercice 3.9. Quelle est la distance dans ℓ2 dex = (1, 0, . . . , 0, . . . ) au sous espaceVn =

y ∈ ℓ2 :

∑1≤k≤n

yk = 0

?

Exercice 3.10. Espace ℓ2. On note ℓ2 l’espace des suites L2R (N,P (N) ,m) où m est la mesure du

comptage. Pour a ∈ ℓ2 on note an au lieu de a (n) l’image de l’entier n.

(1) Établir que pour a ∈ ℓ2,∫a2dm =

∑n∈N

a2n.

(2) Montrer que chaque classe de ℓ2 contient un seul élément, de sorte que L2R (N,P (N) ,m) =

L2R (N,P (N) ,m).

(3) Soient a ∈ ℓ2 et b ∈ ℓ2 deux suites à termes positifs, montrer que :(∑n∈N

anbn

)2

≤∑n∈N

a2n∑n∈N

b2n

(4) Soit φ une numérotation de N∗. On veut montrer que∑n∈N∗

φ(n)n2 = ∞, on pose an =

√φ(n)

net

bn = 1√φ(n)

(a) Démontrer que∑p≤n

bp ≤∑p≤n

1p

(b) Conclure en utilisant la question 3.

Exercice 3.11. Soit C ⊂ H un convexe, fermé, non vide. Montrer que l’application

PC : H → C

a 7→ PCa

est contractante.

Dualité

Exercice 3.12. Le théorème de projection n’est pas valide dans un Banach. Soient E = C ([0, 1] ,R),∥f∥E = sup

[0,1]

|f |, F =f ∈ E, f (0) = 0,

∫ 1

0f (x) dx = 0

, g = Id[0,1].

(1) Montrer que (E, ∥.∥E) est un Banach ;(2) montrer que F est fermé ;(3) soit f ∈ F , montrer que ∥g − f∥E ≥ 1

2. (On pourra remarquer que

∫ 1

0|g − f | (x) dx ≥

∫ 1

0(g − f) (x) dx =

12).

(4) Montrer qu’il n’existe pas d’élément f ∈ F tel que ∥g − f∥E = 12

(5) Montrer que d (g, F ) = 12. On pourra considérer la suite fn (x) =

−βnx si x ∈

[0, 1

n

]x− 1

n− βn

nsi x ∈

[1n, 1] et

βn bien choisi, et montrer que ∥g − fn∥E → 12quand n→ +∞.


3.0 Bases hilbertiennes 71

Exercice 3.13. On considère l’espace mesuré (X, T , µ) = ([0, 1] ,B ([0, 1]) , λ) où λ est la mesurede Lebesgue et B ([0, 1]) est l’ensemble des boréliens sur [0, 1] et L2 = L2

R (X, T , µ) l’ensemble desclasses de fonctions à valeurs dansR, de carré intégrable. Soit F l’ensemble des (classes de) fonctions

égales presque partout à une fonction affine F =

f =p.p.

(x 7→ ax+ b) , a, b ∈ R.

(1) Etablir que F est un sous espace vectoriel de L2. Quelle est sa dimension ? Montrez que F estfermé.

(2) Pour f ∈ L2, justifier de l’existence d’un élément u ∈ F qui minimise la distance de f à F .(3) Soit f : x ∈ [0, 1] 7→ x2. Utiliser la caractérisation par produit scalaire du projeté de f sur F pour

établir que PFf est la fonction x 7→ x− 16.

(4) Calculez la distance d (f, F ) de f au sous espace F

Bases hilbertiennes

Exercice 3.14. Tout Hilbert séparable de dimension infinie est isomorphe à ℓ2. Soit H un espace deHilbert séparable, de dimension infinie, et soit B = en, n ∈ N une base hilbertienne de H . Pouru ∈ H , on considère la suite au définie par (au)n = (u|en).

(1) Montrer que au ∈ ℓ2.(2) Montrer que u 7→ au est une isométrie linéaire et bijective de H dans H .

Exercice 3.15. Dans un espace de Hilbert, la convergence faible équivaut à la convergence ? .

(1) Démontrer qu’une suite (un)n∈N faiblement convergente4 vers u dans un Hilbert converge ssilim

n→+∞∥un∥H = ∥u∥H

(2) Trouver un contre exemple de suite qui converge faiblement vers 0 mais qui ne converge pas vers0 dans H . Considérer pour cela la suite un = χ[n,n+1].

Exercice 3.16. SoitH un espace de Hilbert, etB = en, n ∈ N une base hilbertienne deH . On poseBn = ek, k ≤ n

(1) Justifier que Vn = vectBn est un sous espace vectoriel fermé de H ;(2) Soit a =

∑n∈N

unen ∈ H . Déterminer la meilleure approximation de a par un élément de Vn.

Exercice 3.17. Montrer que tout espace de HilbertH de dimension infinie, séparable est isométrique-ment isomorphe à ℓ2 (N).

4On rapelle que (un)n∈N converge faiblement vers 0 dansH ssi ∀v ∈ H, (un|v) → (u|v)

Pierre Puiseux 2012

4.1 Les espaces Lrp 73

CHAPITRE 4

Séries de Fourier, fonctions périodiques

4.1. Les espaces Lrp

Soit m = 12πλ où λ est la mesure de Lebesgue. Pour tout a ∈ R, m est une mesure finie sur tout

intervalle Xa = a+ [0, 2π].

Pour 1 ≤ r < ∞, on note Lrp,C ([0, 2π] ,B ([0, 2π] ,m)) ou plus simplement Lrp, l’ensemble des fonc-tions f à valeurs dans C, presque partout périodique, (c’est à dire vérifiant ∀k ∈ Z, f (x+ 2kπ) =

p.p.

f (x) p.p. en x ∈ [0, 2π]) et telles que ∥f∥r :=(∫

a+[0,2π]|f |r dm

) 1r< ∞. On note que ∥f∥r ne

dépend pas de a ∈ R, et l’indice p dans Lrp vient rappeler que l’on traite de fonctions périodiques.

On quotiente comme de coutume, l’espace Lrp par la relation =p.p.

égale presque partout, pour obtenir

l’espace Lrp = Lrp,C ([0, 2π] ,B ([0, 2π] ,m)) des fonctions 2π-périodiques, à valeur dans C, de puis-sance p-ème Lebesgue-intégrables sur une période. La fonction f ∈ Lrp 7→ ∥f∥r est une norme surLrp. Pour r = 2 la norme ∥.∥2 dérive du produit scalaire (f |g)2 =

∫a+[0,2π]

fgdm où (a est un réelquelconque) qui fait de l’espace L2

p un espace de Hilbert, que l’on pourra noter également H .

Pour r = ∞, on pose ∥f∥∞ = sup ess[0,2π] |f | = infC ∈ R, |f | ≤

p.p.C

On vérifiera à titre d’exercice que

– ∥.∥r est bien une norme sur Lrp,– (.|.)2 est bien un produit scalaire, et que– L2

p est bien un espace de Hilbert.

On note en premier lieu que, puisque la mesurem est finie sur [0, 2π], les espaces Lrp vérifient L2p →

L1p, et que plus généralement r ≥ 1 7→ Lrp est une fonction décroissante (pour l’inclusion →).

Proposition 4.1. Pour f ∈ L1p, 1 ≤ r ≤ q ≤ ∞ ⇒ ∥f∥1 ≤ ∥f∥r ≤ ∥f∥q et en particulier

∥f∥1 ≤ ∥f∥2 ≤ ∥f∥∞.

Démonstration. Pour 1 ≤ r ≤ q ≤ ∞ fixés, il existe p ≥ 1 tel que 1r= 1

p+ 1

q, on applique

l’inégalité de Hölder généralisée ( 2.8 page 38), aux fonctions |f | ∈ L1p et χ[0,2π] ∈ L1

p, avec r = 1

ce qui donne ∥f∥1 ≤ ∥f∥q puis pour r > 1, ∥f∥r =∥∥|f |χ[0,2π]

∥∥r≤ ∥f∥q

∥∥χ[0,2π]

∥∥p= ∥f∥q et enfin

pour q = ∞.....TODO

Définition 4.1. Pour tout entier n ∈ Z, on définit la fonction

en : R → Cx 7→ exp (inx)

Pierre Puiseux 2012

74 Chapitre 4. Séries de Fourier, fonctions périodiques

Théorème 4.1.– ∀n ∈ Z,∀q ≥ 1, en ∈ Lqp– la famille (en)n∈Z est orthonormale dans L2

p

Démonstration. Soientm,n ∈ Z

– ∥en∥qq =∫[0,2π]

|eint|q dµt = 1

– (en|em) =∫[0,2π]

ei(n−m)tdµt =

1 si n = m

0 si n = m

Définition 4.2. Soit n ∈ N.– On appelle polynôme trigonométrique de degré (au plus) n toute combinaison linéaire de la familleek, |k| ≤ n

P (t) =∑|k|≤n

ckek

– L’ensemble des polynômes trigonométriques de degré au plus n est notéPn = Vect ek, |k| ≤ n

La théorie des espaces de Hilbert peut s’appliquer telle qu’elle à l’espaceL2p, c’est ce que nous étudions

dans la section suivante.

4.2. Séries de Fourier dans L2p

Définition 4.3. Pour toute fonction f ∈ L2p,

– on appelle n-ième coefficient de Fourier de la fonction f le complexe

fn = (f |en)2 =1

2π

∫ 2π

0

f (x) e−inxdx

– parfois fn sera noté f (n), ou bien cn (f) ;– f ∈ ℓ (Z) est l’application f : n 7→ fn ;– la série formelle

∑n∈Z

fnen est appelée série de Fourier de la fonction f ;

– on note f l’application de n 7→ fn et on a f ∈ ℓ (Z) ;– pour N ∈ N, on note PNf la somme partielle de cette série :

PNf =∑|n|≤N

fnen

Remarque.

– Pour le moment, on ne peut rien dire de la convergence ponctuelle, ou en norme, de la série deFourier de f . On verra plus loin qu’en réalité, f ∈ ℓ2 (Z) ;

– la fonction f : n ∈ Z 7→ fn ∈ C est une suite double, c’est à dire un élément de ℓ (Z) ;– La définition des coefficients de Fourier varie selon les auteurs et les applications pratiques, elleest de la forme fn = α

∫[0,2π]

f (x) eβnx où α > 0 et β sont réels. On trouvera par exemple :(1) fn = 1√

2π

∫ 2π

0f (x) e−inxdx ;


4.2 Séries de Fourier dans L2p 75

(2) fn =∫ 1

0f (x) e−2iπnxdx (Dans ce cas l’espace deHilbert sous-jacent estH = L2

p,C ([0, 1] ,B ([0, 1] , λ))et la base hilbertienne définie par n ∈ Z, x ∈ [0, 1] , en (x) = exp (2iπnx)) ;

(3) Pour une fonction f de période T > 0, on se ramène à une fonction 2π-périodique (ou 1-périodique) en posant g (x) = f

(T2πx).

Exemple. Calculons les coefficients de Fourier de :

(1) f = 1 : fn = 12π

∫ 2π

0e−inxdx = δn0 dans ce cas, les coefficients sont nuls sauf le premier et on a

f =∑n∈Z

fnen avec convergence ponctuelle.

(2) f = χ[−π2,π2 ]sur [−π, π], et f 2π−périodique : fn = 1

2π

∫ π2

−π2e−inxdx =

0 si n pair(−1)p+1

(2p+1)πsi n = 2p+ 1

la série de Fourier (formelle) s’écrit : 1π

∑p≥0

(−1)p+1

2p+1cos (2p+ 1) x.

Les séries de Fourier pourront bénéficier des résultats de la théorie hilbertienne, dès que le théorèmesuivant sera démontré.

Théorème 4.2. On pose H = L2p Alors (en)n∈Z est une base hilbertienne de H , et pour tout f ∈ H ,

la série∑n∈Z

fnen est commutativement convergente vers f dans H , ce que l’on note

f =∑n∈Z

fnen(4.2.1)

Cette équation (dangereuse) est appelée formule de reconstruction. Elle signifie que∥∥∥∥∥∥f −∑|n|≤N

fnen

∥∥∥∥∥∥2

−→N→∞

0,

avec convergence commutative c’est à dire, pour toute numérotation (bijection) σ : Z → Z,∥∥∥∥∥∥f −∑|n|≤N

fσ(n)eσ(n)

∥∥∥∥∥∥2

−→N→∞

0.

Démonstration. En deux temps :

(1) (em|en)2 = δmn pourm,n ∈ Z car (em|en)2 =12π

∫ 2π

0eimxe−inxdx = δmn ;

(2) On utilise la caractérisation des bases hilbertiennes : pour tout u ∈ H , (∀n ∈ Z, (u|en) = 0) ⇒u = 0H . Voici quelques indications sur la démonstration : soit u ∈ H tel que ∀n ∈ Z, (u|en) = 0.On démontre que (u|v) = 0 pour tout v dans Vect en, n ∈ Z, pour tout v dans C0

p puis pour toutv dans C , et enfin pour tout v dans H = L2, à chaque étape, la propriété ∀n ∈ Z, (u|en) = 0 esttransportée par densité.

Pierre Puiseux 2012


C p

F=vect (B)

C

H

Fig. 4.2.1. Espaces denses en cascade

(a) en notant F = vect en, n ∈ Z, on a (u|v) = 0 pour tout v ∈ F ;(b) Soit v ∈ C0

p = C0p (R,C), fonctions continues et périodiques sur R. Utilisant le fait que1 F est

dense dans C0p , pour la topologie de la convergence uniforme, il existe une suite (vn)n∈N ⊂ F

qui converge uniformément vers v. Cette suite converge donc vers v en norme H = L2 car∥.∥H ≤ ∥.∥∞ et grâce à la continuité de v 7→ (u|v) pour la topologie de H , on a (u|v) =(u| lim

n→∞vn

)= lim

n→∞(u|vn) = 0. Donc pour tout v ∈ C0

p , (u|v) = 0.

(c) Pour v ∈ C ([0, 2π] ,C) ⊂ H , (l’ensemble des fonctions continues sur [0, 2π], prolongéesà R par périodicité, elles ne sont pas nécessairement continues aux points 2kπ, k ∈ Z), onconstruit la suite (vn)n∈N ⊂ C0

p ,

vn (x) =

v (x) si x ∈

[1n, 2π]

v (0) + nx(v(1n

)− v (0)

)si x ∈

[0, 1

n

[qui est dominée par ∥v∥∞, et converge p.p. vers v, donc elle converge vers v en norme H =L2, et pour lesmêmes raisons que ci-dessus, on obtient pour tout v ∈ C ([0, 2π] ,C), (u|v) = 0.On a ainsi montré que Cp est dense dans C pour la norme H .

(d) Pour v ∈ H , on pose v = vχ[0,2π]. On utilise la densité de Cc (R,C) dans H = L2C (R,B (R) ,m) :

il existe une suite (vn)n∈N ⊂ Cc (R,C) qui converge vers v en norme H c’est à dire ∥vn − v∥H −→n→∞

0. On note vn la restriction de vn à [0, 2π] que l’on périodise. vn est donc dans C ([0, 2π] ,C) etconverge vers v dans H car ∥vn − v∥H = ∥vn − v∥H −→

n→∞0. On conclut comme ci dessus :

(u|v) =(u| lim

n→∞vn

)H= lim

n→∞(u|vn) = 0.

(e) Pour conclure, on prend v = u et on obtient ∥u∥2H = 0.

Remarque.

1c’est une conséquence du théorème de Stone-Weierstrass qui dit que toute fonction continue sur [a, b] est la limite uniformed’une suite de polynômes.


4.2 Séries de Fourier dans L2p 77

(1) Pour f ∈ L2p :

– la série de Fourier de f est convergente vers f au sens de la norme L2, en d’autres termes :

∫ 2π

0

∣∣∣∣∣∣f (x)−∑|n|≤N

fnen (x)

∣∣∣∣∣∣2

dx −→N→∞

0

Ceci n’implique en aucun cas sa convergence ponctuelle, ni même sa convergence presquepartout.

– Il faut se garder d’écrire la « formule de reconstruction » par points f (x) =∑n∈Z

fneinx, c’est

bien sûr un non sens, sauf dans certains cas particuliers.– Si l’on a besoin d’une telle formule (de reconstruction de la fonction à partir de ses coefficientsde Fourier), si la fonction f est suffisamment régulière, on peut utiliser le théorème de Fejérou de Dirichlet. Voir 4.5 page 82.

(2) Pour f ∈ Lrp avec 1 < r < +∞, on peut démontrer que (voir Wikipedia) la série de Fourier de fconverge en norme ∥.∥r vers f . Ce résultat est invalide pour r ∈ 1,∞.

4.2.1. Projection sur Pn.

Théorème 4.3. Pour n ∈ N, et f =∑

|k|≤nckek ∈ Pn on a :

– fk =

ck si |k| ≤ n

0 si |k| > n

– Bessel-Parseval (en dim finie) ∥f∥22 =∥∥∥f∥∥∥2

ℓ2

– ∀g ∈ Pn(f |g) =∑

|k|≤nfkgk

Démonstration. Simple calcul.

Théorème 4.4. Pour toute fonction f ∈ L2p, PNf est le projeté de f sur le sous espace vectoriel

PN = Vect en, |n| ≤ N

Démonstration. On utilise la caractérisation du projeté : pour F sous ev fermé de H :

a0 = PFa ⇐⇒

a0 ∈ F

a− a0 ∈ F⊥

– PN est fermé car de dimension finie.– PNf ∈ PN– f − PNf ∈ P⊥

N car pour tout élément en, |n| ≤ N on a

(f − PNf |en) = (f |en)− (PNf |en) = fn − fn (en|en) = 0

Pierre Puiseux 2012

https://en.wikipedia.org/wiki/Carleson%27s_theorem


4.2.2. Egalité de Bessel-Parseval (dimension infinie). Les théorèmes (Bessel, Parseval) de lathéorie des espaces de Hilbert se réécrivent dans le cadre des séries de Fourier :

Théorème 4.5 (Bessel-Parseval en dimension infinie). Soient f, g ∈ L2p. Alors

– f , g ∈ ℓ2C (Z)– Bessel-Parseval : ∥f∥22 =

∥∥∥f∥∥∥2ℓ2

– (f |g)H =(f |g)ℓ2

Démonstration. Par application directe de la théorie des espaces de Hilbert. On en donne ici uneautre preuve, directe :Soit n ∈ N.On a f − Pnf ∈ P⊥

n et Pnf ∈ Pn donc par le théorème de Pythagore∥f∥22 = ∥f − Pnf∥22 + ∥Pnf∥22

et pour n→ +∞ en utilisant 4.2 page 75 et Bessel-Parseval en dimension finie, il vient

∥f∥22 = 0 + limn→+∞

∥Pnf∥22 = limn→+∞

∑|k|≤n

fn2=∥∥∥f∥∥∥2

ℓ2

f et g sont dans ℓ2 donc la série(f |g)ℓ2est ACV. On décompose :∣∣∣(f |g)L2

p−(f |g)ℓ2

∣∣∣ ≤∣∣∣(f − Pnf |g)L2

p

∣∣∣+ ∣∣∣(Pnf |g − Png)L2p

∣∣∣+

∣∣∣(Pnf |Png)L2p−(f |g)ℓ2

∣∣∣pour n→ +∞, on traite séparément les 3 termes∣∣∣(f − Pnf |g)L2

p

∣∣∣ ≤ ∥f − Pnf∥2 ∥g∥2 −→n→+∞

0∣∣∣(Pnf |g − Png)L2p

∣∣∣ ≤ ∥Pnf∥2︸︷︷︸borné

∥g − Png∥2 −→n→+∞

0

∣∣∣(Pnf |Png)L2p−(f |g)ℓ2

∣∣∣ −→n→+∞

0 (reste de(f |g)ℓ2, série ACV)

Remarque. L’égalité de Bessel montre que si f ∈ L2

p alors f ∈ ℓ2C (Z) et que f ∈ L2p 7→ f ∈ ℓ2C (Z)

est une isométrie. Ce résultat se retrouvera dans le chapitre sur la transformation de Fourier.

Exemple 4.1. Application au calcul de certaines sommes lorsqu’on connaît f et ses coefficients deFourier.

– f (t) = t sur [−π, π] et f est 2π−périodique. Les coefficients de Fourier sont fn = 2n(−1)n+1.

L’égalité de Bessel donne ∑n∈N∗

1

n2=π2

6

– f = χ[0,π] − χ[−π,0]. Les coefficients de Fourier sont fn = todo, L’égalité de Bessel donne∑n∈N

1

(2n+ 1)2=π2

8


4.4 Propriétés des coefficients de Fourier 79

– f = |t| sur [−π, π] et f est 2π−périodique. Les coefficients de Fourier sont

fn =

π2

si n = 0

0 si n = 2p = 0

− 2π(2p+1)2

si n = 2p+ 1

donc∥∥∥f∥∥∥2

ℓ2= π

4+ 8

π2

∑n∈N

1(2p+1)4

et ∥f∥22 =π2

3. L’égalité de Bessel donne

∑n∈N

1

(2n+ 1)4=π4

96

4.3. Extension, séries de Fourier dans L1p

Le produit scalaire (f |en)2 est également défini pour toute fonction f ∈ L1p car fe−inx est intégrable

si et seulement si |fe−inx| = |f | est intégrable c’est à dire si et seulement si f ∈ L1p. Il est tentant d’é-

tendre la définition des coefficients de Fourier aux fonctions de L1p. On doit s’attendre à des problèmes

de convergence encore plus ardus que dans L2p puisque l’espace L1

p est plus vaste que L2p.

Définition 4.4. Pour tout entier n ∈ Z et toute fonction f ∈ L1p, on appelle n-ième coefficient de

Fourier de la fonction f le complexe fn = (f |en)2 = 12π

∫ 2π

0f (x) e−inxdx il est parfois noté cn (f)

ou bien f (n).La série de fonctions formelle

∑n∈Z

fnen est appelée série de Fourier de la fonction f . On note fn ou

bien Sn (f) la somme partielle de rang n de la série de Fourier de f : fn = Sn (f) =∑

|p|≤nfnen.

Remarque.

– la fonction f : n ∈ Z 7→ fn ∈ C est une suite double, c’est à dire un élément de ℓ (Z)– Si f ∈ L1

p \ L2p,

non seulement la série de Fourier ne converge pas vers f mais elle peut ne pas converger du tout. Le théorème de Kolmogorov assure qu’il existe une fonc-

tion intégrable dont la série de Fourier diverge en tout point.– On peut montrer que la série de Fourier d’une fonction continue converge presque partout verscette fonction (c’est le théorème de Carleson) ;

Exemple 4.2. La fonction 2π−périodique définie sur ]−π, π[ par f (x) = 1√|x|

est dans L1p mais pas

dans L2p. ses coefficients de Fourier sont

fn =1

2π

∫[−π,π]

e−inx√|x|dx

dont l’intégration ne se fait pas simplement à la main.

4.4. Propriétés des coefficients de Fourier

4.4.1. Propriétés des coefficients de Fourier pour les fonctions de L1p ([0, 2π]).

Définition 4.5. Les éléments de Vect en, n ∈ Z sont appelés polynômes trigonométriques de degrén toute combinaison linéaire (finie) des ek, |k| ≤ n.

Pierre Puiseux 2012


Proposition 4.2. Tout polynôme trigonométrique PN =∑

|n|≤Ncnen peut s’écrire sous la forme

Pn (x) = a02+

∑1≤n≤N

(an cosnx+ bn sinnx)(4.4.1)

avec an = cn + c−n et bn = i (cn − c−n) pour 1 ≤ n ≤ N .Réciproquement tout polynôme de la forme (4.4.1) est un polynôme trigonométrique avec cn =12(an − ibn) et c−n = 1

2(an + ibn)

Démonstration. En exercice.

Proposition 4.3. Les coefficients de Fourier d’une fonction f ∈ L1p vérifient les propriétés suivantes :

(1) ∀λ, µ ∈ C,∀f, g ∈ L2p, λf + µg = λf + µg

(2) f (n) = f (−n)(3) si f est à valeurs réelles alors f (−n) = f (n)

(4) f et f on même parité(5)

∥∥∥f∥∥∥ℓ∞

≤ ∥f∥1(6) Soit a ∈ R et τa la translation x 7→ x+ a. alors f τa (n) = e−inafn.

Démonstration. En exercice (voir 4.4 page 87)

TODO : remanier (voir Beamer propriétés élémentaire)

Théorème 4.6. (Par Fourier la dérivation se transforme en produit par in)Si f ∈ Ckp ([0, 2π]) alors pour 0 ≤ j ≤ k,

f (j) (n) = (in)j f (n)

Démonstration. Exercice en intégrant par partie fn = 12π

∫[0,2π]

f ′ (t) e−intdt.

Définition 4.6. (Convolution dans Lqp × Lrq) Soient q, r ∈ [1,+∞] deux réels conjugués (1r+ 1

q= 1)

et soient f ∈ Lqp et g ∈ Lrp . Le produit de convolution de f et g est défini par

(f ∗ g) (x) =

∫[0,2π]

f (t) g (x− t) dmt

=1

2π

∫[0,2π]

f (t) g (x− t) dλt

Remarque. Ce produit f∗g est bien défini car t 7→ f (t) g (x− t) estmesurable et∣∣∣∫[0,2π] f (t) g (x− t) dλt

∣∣∣ ≤∫[0,2π]

|f (t) g (x− t)| dλt ≤ ∥f∥q ∥g∥r en vertu de l’inégalité de Hölder. L’intégrale ne dépend pas del’intervalle d’intégration.


4.4 Propriétés des coefficients de Fourier 81

Théorème 4.7. (Les coefficients de Fourier d’un produit de convolution.) Soient f et g deux fonctionsde L1

p. Alors

f ∗ g = f × g

et si f, g ainsi que f × g sont dans L1p alors

f × g = f ∗ g

Démonstration. Pour la première égalité, le produit de convolution de deux fonctions L1p est bien

défini (démonstration analogue à celle de 2.14 page 46), et on peut appliquer le théorème de Fubinicar [(x, t) 7→ f (t) g (x− t)] ∈ L1

([0, 2π]2

)pour la mesure produitmt ⊗mx.

La seconde égalité est plus délicate à obtenir, et sera une conséquence d’un théorème sur la transforméede Fourier inverse (chapitre suivant).

4.4.2. Propriétés asymptotiques des coefficients de Fourier. Les espaces de fonctions régu-lières, comme Ckp ([0, 2π]) ou bien les fonctions continues par morceaux, sont tous contenus dans L1

p.Les coefficients de Fourier sont bien définis pour de telles fonctions. Ils jouissent même de propriétésimportantes que ne possèdent pas les fonctions moins régulières.

Théorème 4.8. (Riemann-Lebesgue dans [a, b]) Pour toute fonction f ∈ L1 ([a, b]) on a∫[a,b]

f (t) eitxdλt −→|x|→∞

0

en particulier ∫[a,b]

f (t) cos (tx) dλt −→|x|→∞

0

et ∫[a,b]

f (t) sin (tx) dλt −→|x|→∞

0

Démonstration. Par densité de C1 ([a, b]) dans L1 ([a, b]) :

(1) soit f ∈ C1 ([a, b])alors pour x ∈ R∗on peut intégrer par parties∣∣∣∣∫[a,b]

f (t) eitxdλt

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣ 1ix(f (b) eibx − f (a) eiax −

∫[a,b]

f ′ (t) eitxdλt

)∣∣∣∣≤ 1

|x|(2 ∥f∥∞ + ∥f ′∥1)

donc la propriété est vraie pour f ∈ C1.(2) Soit ε > 0 et f ∈ L1 ([a, b]) alors il existe φ ∈ C1 ([a, b])telle que ∥f − φ∥1 <

ε2et il existe A > 0

tel que pour tout x, |x| > A⇒∣∣∣∫[a,b] φ (t) eitxdλt

∣∣∣ < ε2. Si on prend |x| > A, on a donc∣∣∣∣∫

[a,b]

f (t) eitxdλt

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∫[a,b]

(f − φ) (t) eitxdλt +

∫[a,b]

φ (t) eitxdλt

∣∣∣∣≤ ∥f − φ∥1 +

∣∣∣∣∫[a,b]

φ (t) eitxdλt

∣∣∣∣≤ ε

2+ε

2

Pierre Puiseux 2012



Remarque. Si la fonction f est dans L1

p∩L2p, alors ce dernier résultat est une conséquence de l’égalité

de Bessel : la convergence de la série∑n∈Z

∣∣∣fn∣∣∣2 = ∥f∥22 impose∣∣∣fn∣∣∣2 −→

n→∞0, ce qui est exactement

ce qu’exprime le théorème précédent. Le théorème (4.8) est donc une simple extension à L1p d’une

propriété connue sur L2p.

Corollaire 4.1. (Riemann-Lebesgue dans [0, 2π]) Soit f ∈ L1p ([0, 2π]), alors

limn→∞

fn = 0

C’est une conséquence directe du théorème de Riemann-Lebesgue 4.8 page précédente.

On démontre un résultat plus précis :

Théorème 4.9. (Les coefficients de Fourier fn décroissent d’autant plus vite que f est régulière.)

(1) Si f ∈ Ckp ([0, 2π]) alors |n|k fn → 0 quand |n| → ∞ (autrement dit fn = o

(1

|n|k

))

(2) Si f ∈ C∞p ([0, 2π]) alors f est à décroissance rapide c’est à dire ∀k ∈ N, |n|k fn → 0 quand

|n| → ∞ (autrement dit ∀k ∈ N, fn = o(

1

|n|k

))

Démonstration. si f ∈ Ckp alors f (k) ∈ C0p ⊂ L1

p donc limn→∞

f (k) (n) = 0 (théorème de Riemann-

Lebesgue). De plus fn = 1

(in)kf (k) ce qui fournit le résultat.

Exemple 4.3. Vérifions les égalités annoncées ci-dessus pour f : et g : TODO

4.5. Convergence ponctuelle des séries de Fourier

On a vu qu’une fonction est la somme de sa série de Fourier dans L2p ([0, 2π]), ce qui signifie préci-

sément qu’elle est la limite en norme ∥∥2 de ses sommes partielles. On ne peut rien en déduire sur saconvergence ponctuelle, pas même une convergence presque partout. Dans cette section, on considèrele problème de la convergence ponctuelle des séries de Fourier. Pour toute fonction f ∈ L1

p ([0, 2π])

on note fn =∑

|k|≤nfkek la n-ième somme partielle de sa série de Fourier.

Voici un bref historique (résumé d’après un article de Wikipedia) :

– 1915 : le mathématicien russe N.N.Luzin conjecture que pour f ∈ L2p, la série de Fourier de f

converge presque partout vers la fonction f ;– 1926 : Kolmogorov démontre qu’il existe une fonction de L1

p dont la série de Fourier diverge entout point x ∈ R.

– 1966 : Carleson démontre la conjecture de Luzin.Carleson’s original proof is exceptionally hard to read, and although several authorshave simplified the argument there are still no easy proofs of his theorem.

– 1968 : Hunt étend ce résultat aux fonctions f ∈ Lrp, r > 1 (théorème de Carleson-Hunt) ;– 2000-2010 : diverses démonstrations simplifiées du théorème de Carleson sont publiées (MichaelLacey, Christoph Thiele).


https://en.wikipedia.org/wiki/Carleson%27s_theorem

4.5 Convergence ponctuelle des séries de Fourier 83

-2.5 0 2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5

-5

5

10

15

20

25

Noyau de Dirichlet__ N=5__ N=10

Fig. 4.5.1. Noyaux de Dirichlet, n ∈ 5, 10

– en 2014 : le problème de la convergence ponctuelle des séries de Fourier en dimension d > 1

(espaces Lrp([0, 2π]d

)) reste ouvert à ce jour.

4.5.1. Le théorème de Dirichlet.Proposition 4.4. Pour toute fonction f ∈ L1

p ([0, 2π]) et pour tout entier n ∈ Z on a

f ∗ en = fnen

où f ∗ g est la convolution de f et g.

Démonstration. f et en sont toutes deux dans L1p donc le produit de convolution est bien défini et

f ∗ en ∈ L1p d’après le théorème 2.14 page 46. Pour tout x ∈ [0, 2π] :

f ∗ en (x) =

∫[0,2π]

f (y) en (x− y) dy

=

∫[0,2π]

f (y) ein(x−y)dy

= einx∫[0,2π]

f (y) e−inydy


Définition 4.7. Pour tout n ∈ N, on appelle noyau de Dirichlet d’ordre n la fonction Dn =∑

|k|≤nek.

Proposition 4.5. Le noyau de Dirichlet vérifie :(1)

∫Dndm = 1 ne dépend pas de n.

(2) Dn (t) =

sin((n+1) t

2)sin( t

2)si t /∈ 2πZ

2n+ 1 si t ∈ 2πZ, c’est une fonction paire.

(3) Si f ∈ L1p ([0, 2π]), alorsfn = f ∗Dn

Pierre Puiseux 2012


Démonstration. Voir exercice 4.5 page 87.

Théorème 4.10. (Dirichlet) Soit f ∈ L1p et t0 ∈ R tel que

(1) limt+0f et limt−0

f existent et(2) f est dérivable à gauche et à droite en t0.Alors la suite (fn (t0))n∈N des sommes partielles de Fourier en t0 converge dans C vers12

(f(t+0)+ f

(t−0)).

Démonstration. On pose l0 = 12

(f(t+0)+ f

(t−0))

et on évalue fN (t0) pour N ∈ N :

fN (t0) =1

2π

∫ π

−πf (t0 − t)DN (t) dt

=1

2π

∫ π

0

f (t0 − t)DN (t) dt+1

2π

∫ π

0

f (t0 + x)DN (x) dx

=1

2π

∫ π

0

[f (t0 + t) + f (t0 − t)]DN (t) dt

par conséquent, compte tenu de 12π

∫ π0Dn (t) dt =

12,

fN (t0)− l0 =1

2π

∫ π

0

[(f (t0 + t)− f

(t+0))

+(f (t0 − t)− f

(t−0))]

DN (t) dt

compte tenu des hypothèses sur f , on peut prolonger par continuité la fonction

φ : t ∈ ]0, π] 7→(f (t0 + t)− f

(t+0))

+(f (t0 − t)− f

(t−0))

sin t2

en posant

φ (0) = 2(f ′ (t+0 )+ f ′ (t−0 ))

Cette fonction est mesurable et continue sur le compact [0, π], elle y est donc bornée, donc φ ∈L1 ([0, π]) on obtient :

fN (t0)− l0 =1

2π

∫ π

0

φ (t) sin((N + 1)

t

2

)dt

Après quelques manipulations élémentaires, le théorème de Riemann-Lebesgue ( 4.8 page 81) permetde conclure que fN (t0)− l0 → 0 quand N → ∞, ce qui achève la démonstration.

Corollaire 4.2. Si f est de classe C1 par morceaux sur [0, 2π], alors sa série de Fourier convergeponctuellement vers f presque partout.Si f est 2π-périodique, continue et de classe C1 parmorceaux surR, alors sa série de Fourier convergeponctuellement vers f .

Démonstration. Si f est C1 par morceaux sur [0, 2π] alors elle est continue et dérivable presquepartout (et plus précisément sauf en un nombre fini de points de [0, 2π], donc, par périodicité uneinfinité dénombrable de points de R). D’ou le premier résultat. Si f est 2π-périodique, continue et declasse C1 par morceaux sur R, alors elle admet une dérivée à droite et à gauche en tout point t0 ∈ R,et par continuité, f (t0) = 1

2

(f(t+0)+ f

(t−0))

d’où le second résultat.

Remarque. En fait on peut démontrer un résultat beaucoup plus fort :


4.5 Convergence ponctuelle des séries de Fourier 85

-2.4 -1.6 -0.8 0 0.8 1.6 2.4 3.2 4 4.8 5.6 6.4

-0.8

0.8

1.6

2.4

3.2

4

Série de Fourier de f(x) = |x| sur [-π,π]__ N=2__ N=10… f

-0.28 -0.24 -0.2 -0.16 -0.12 -0.08 -0.04 0 0.04 0.08 0.12 0.16 0.2 0.24 0.28

-0.04

0.04

0.08

0.12

0.16

0.2

0.24

Série de Fourier de f(x) = |x| sur [-π,π]__ N=2

__ N=10… f

Fig. 4.5.2. Sommes partielles de la série de Fourier de f (x) = |x| sur [−π, π]

Théorème 4.11. si f est 2π-périodique, continue et de classe C1 par morceaux sur R, alors sa sériede Fourier converge normalementa vers f (par conséquent elle convergence ponctuellement)

aC’est à dire∑∥∥∥fne−int

∥∥∥∞

=∑∣∣∣fn∣∣∣ converge

Démonstration. Voir [Gallagher], pp. 78-79, démonstration très simple.

Exemple 4.4.

(1) f (x) = |x| sur [−π, π] est continue sur R et C1 par morceaux. Donc sa série de Fourier convergeponctuellement vers f pour tout x ∈ R. f0 = π

2et

∀n ∈ Z∗, fn = cos(nπ)−1πn2 =

0 si n = 2p

− 2π(2p+1)2

si n = 2p+ 1donc

|x| =π

2− 2

π

∑p∈Z

1

(2p+ 1)2ei(2p+1)x

=π

2− 4

π

∑p∈N

cos (2p+ 1)x

(2p+ 1)2

et pour x = 0 on obtient : π2

8=∑p∈N

1(2p+1)2

.

(2) f (x) = χ[−π2,π2 ]vérifie en tout point t ∈ [−π, π] les hypothèses du théorème de Dirichlet donc sa

série de Fourier converge vers f (t+)+f (t−). On a f0 = 12et ∀n ∈ Z∗, fn = f−n = 1

πnsin(nπ

2

)=

0 si n pair1π

(−1)p

(2p+1)si n = 2p+ 1

. La série de Fourier s’écrit (tenant compte de la parité fn = f−n) :

12+2

∑n>0

fn cos (nx) et compte tenu de la nullité des coefficients pairs : 12+ 2

π

∑n>0

1nsinnπ

2cosnx.

En particulier f est continue en tout point x ∈]−π

2, π2

[donc 1 = 1

2+ 2

π

∑n>0

1nsinnπ

2cosnx c’est

à dire :π

4=

∑n>0

1

nsinn

π

2cosnx

=∑p∈N

(−1)p

2p+ 1cos (2p+ 1)x

Pierre Puiseux 2012


-1 -0.75 -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 0.75 1

0.5

1

1.5

2

2.5

3Noyau de Dirichlet et FejérN = 3, 10, 20

Noyaux de Fejèr__ N = 3__ N = 10__ N = 20

Fig. 4.5.3. Noyaux de Fejér

Noyaux de Fejèr__ N = 3__ N = 10__ N = 20

-4 -3.6 -3.2 -2.8 -2.4 -2 -1.6 -1.2 -0.8 -0.4 0 0.4 0.8 1.2 1.6 2 2.4 2.8 3.2 3.6 4 4.4

-2.5

2.5

5

7.5

10Noyau de Dirichlet et Fejér

N = 10

Fig. 4.5.4. Noyaux de Dirichlet et Fejér

par exemple pour x = 0 on trouve, tous calculs faits π4=∑p∈N

(−1)p

2p+1.

4.5.2. Le théorème de Fejér.

Définition 4.8. On appelle n-ième somme de Fejér d’une fonction f ∈ L1p la moyenne arithmétique

des n premières sommes partielles de sa série de Fourier :

Fn (f) =1

n

∑0≤j<n

fj

Proposition 4.6. Fn (x) = 1n

∑n−1k=0 Dk (x) =

12nπ

(sinnx/2sinx/2

)2Université de Pau L3-Mathématiquess Intégration-2

4.5 Exercices sur le chapitre 4 87

Théorème 4.12. (Formule de Fejér) Si f est continue et 2π-périodique, alors les sommes de Fejérconvergent uniformément vers f sur R.

Démonstration. Admis, cf [Suquet]p.233.

Corollaire 4.3. La famille B = en, n ∈ Z est totale dans l’espace (C ([0, 2π]) , ∥.∥∞) i.e.vectB∥∥∞ = C ([0, 2π]).

Démonstration. Pour f ∈ C et pour ε > 0, on peut trouver n ∈ N tel que ∥σn (f)− f∥∞ < ε etcomme σn (f) est combinaison linéaire finie d’éléments de B, le résultat s’ensuit.


Exercice 4.1. Calculer les coefficients fn pour les fonctions 2π-périodiques suivantes :

(1) f (x) = |x| sur [−π, π]

Exercice 4.2. Utilisez le théorème de Fubini pour démontrer que le produit de convolution de deuxfonctions f, g ∈ L1

p est bien défini et vérifie :

∥f ∗ g∥1 ≤ ∥f∥1 ∥g∥1Exercice 4.3. Pour n ∈ Z et k ∈ N, on pose Ik,n =

∫ π−π x

ke−inxdx.

(1) Calculer I0,n(2) Calculer I1,n (pour n > 0, utiliser une intégration par parties et le résultat de la question précé-

dente).(3) Calculer I2,n(pour n > 0, utiliser une intégration par parties et le résultat de la question précé-

dente).(4) Soit f une fonction définie sur R, 2π-périodique et telle que f (x) = x (π − x) sur [−π, π]

(a) Tracer la fonction f et étudier si f est continue sur R, dérivable, de classe C1, de classe C1

par morceaux.(b) Calculer les coefficients de Fourier de f ,fn, n ∈ Z.(c) Pour quelles valeurs de x la formule de recomposition f (x) =

∑n∈Z

fneinx est-elle valable ?

(d) Calculer f (0) et en déduire la valeur de∑n>0

(−1)n

n2

Exercice 4.4. Soit f ∈ L1p ([0, 2π]).Montrer que les coefficients de Fourier de f vérifient les propriétés

suivantes :

(1) f et f on même parité(2)

∥∥∥f∥∥∥ℓ∞

≤ ∥f∥1(3) Soit a ∈ R et τa la translation x 7→ x+ a. alors f τa (n) = einafn.

Exercice 4.5. (Noyau de Dirichlet). On appelle noyau de Dirichlet d’ordre n la fonctionDn =∑

|k|≤nek.

Soit f ∈ L2C ([0, 2π]) et Sn (f) =

∑|k|≤n

fkek la n-ième somme partielle de sa série de Fourier.

(1) Justifier l’existence de f ∗ en, et montrer que f ∗ en = fnen(2) Montrer que Sn (f) = f ∗Dn

(3) Montrer que∫[0,2π]

Dndm ne dépend pas de n.

Pierre Puiseux 2012


(4) Montrer que Dn (t) =

sin((n+1) t

2)sin( t

2)si t /∈ 2πZ

2n+ 1 si t ∈ 2πZ

Exercice 4.6. (Sommes et noyaux de Fejér). Soit f ∈ L1p ([0, 2π]) et Sn (f) =

∑|k|≤n

fkek la n-ième

somme partielle de sa série de Fourier. On appelle somme de Fejér de rang n > 0 de f la moyennearithmétique des n premières sommes partielles σn (f) = 1

n

∑0≤k<n

Sk (f). On appelle noyau de Fejér

d’ordre n la fonctionKn = 1n

∑0≤k<n

Dk oùDk est le k-ème noyau de Dirichlet. Montrer les propriétés

suivantes du noyau de Fejér.

(1) Montrer que Kn (f) =∑

|k|≤n

(1− |k|

n

)ek

(2) Pour tout f ∈ L1, σn (f) =∑

|k|≤n

(1− |k|

n

)fkek

(3) Pour tout n ∈ N∗,∫[0,2π]

Kndm = 1

(4) Pour tout n ∈ N∗, Kn (t) =

(

1n

sin(n t2)

sin( t2)

)2

si t /∈ 2πZ

1 si t ∈ 2πZ(5) Pour tout n ∈ N∗, ∥Kn∥1 = 1(6) Pour tout n ∈ N∗, ∀δ ∈ ]0, π] , lim

n→+∞

∫δ<|t|<πKndm = 0

Exercice 4.7. Décroissance des coefficients de Fourier quand n → +∞. Les coefficients de Fourierfn décroissent d’autant plus vite que la fonction est régulière.

(1) Soit f ∈ L1p. Montrer que fn est bien défini et fn → 0 quand n→ +∞

(2) Soit f ∈ C1p ([0, 2π] ,R). Montrer à l’aide d’une intégration par partie que fn = O

(1n

)(3) Généralisation à f ∈ Ckp ([0, 2π] ,R) : montrer que fn = O

(1nk

)(4) Montrer que si f est de classe C∞ alors fn est à décroissance rapide c’est à dire∀k ∈ N, lim

n→∞|n|k fn =

0

Exercice 4.8. Applications des séries de Fourier. On pose Sα =∑n∈N∗

1nα , Iα =

∑p∈N

1(2p+1)α

, α > 1

(1) Montrer que pour α > 1 on a Sα = 2α

2α−1Iα.

(2) Utiliser l’égalité de Bessel et la fonction 2π-périodique indiquée pour calculer les sommes sui-vantes :(a) f (x) = |x| sur [−π, π]. Calculer I4, en déduire S4.(b) Confirmez le résultat précédent avec f (x) = x2 sur [−π, π].(c) f (x) = x (π − x) sur [0, π], f 2π-périodique, et impaire. Calculer I6 et S6

(d) f = χ[−π2,π2 ], calculer I2 et S2

(e) g = χ[0,π] (exprimer gn en fonction de fn).

Exercice 4.9. (Coefficients de Fourier d’un produit de convolution). Soit r ∈ [1,+∞] et f ∈ L1p et

g ∈ L1p.

(1) Montrer que l’on peut définir le produit de convolution f ∗ g et qu’il appartient à L1p.

(2) Montrer en vous inspirant de 2.5.4 page 50, que si g ∈ Lrp alors f ∗g ∈ Lrp et ∥f ∗ g∥r ≤ ∥f∥1 ∥g∥r(3) Calculer les coefficients de Fourier de f ∗ g.


89

Index

Aétagée, 10

Bbase algébrique, 66base hilbertienne, 66Beppo-Levi, 11Bessel, 67

CCarleson, 82Carleson-Hunt, 82coefficient de Fourier, 74conjugués, 31convergence (simple) presque partout, 12convergence dominée, 14, 21convergence faible, 71convergence monotone, 11Convergence monotone presque partout, 13croissance presque partout, 12

Eessentiellement bornée, 35

Ffaiblement, 71fonction étagée, 10

HHunt, 82

Iidentité de Bessel, 67identité de Parseval, 67intégrable, 11intégrale, 10

KKolmogorov, 82

LLebesgue, 14Luzin, 82

Mmajorant essentiel, 35Markov, 25mesurable, 10

Nnégligeable, 12

OOrthogonal, 59

PParseval, 67presque partout, 12projecteur orthogonal, 62

Ssérie de Fourier, 74

Tthéorème de convergence monotone, 11

Pierre Puiseux 2012

91

Bibliographie

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Complements Mesure