Composizione delle forze nel piano

Prima di affrontare questo argomento, assicurati di aver chiare le nozioni di: coppia, forza, retta impropria, risultante, sistemi di forze, sistemi equivalenti di forze, vettore applicato. 

Risultante di due forze concordi con stessa retta d'azione

    Un sistema formato da due forze concordi F1 e F2 con stessa retta d'azione r1≡r2≡r (Fig. 1) è

equivalente ad un sistema formato da un'unica forza R, con retta d'azione r e concorde a F1 e F2, il

cui modulo è pari alla somma F1 + F2 dei moduli di F1 e F2.

    La forza R è la risultante di F1 e F2 e la sua retta d'azione, r, è l'asse centrale del sistema di forze

(F1, F2).

Fig. 1

 

Risultante di due forze discordi con stessa retta d'azione

    Un sistema formato da due forze discordi F1 e F2 con stessa retta d'azione r1≡r2≡r (Fig. 2) è

equivalente ad un sistema formato da un'unica forza R, con retta d'azione r e concorde alla forza a

modulo maggiore, il cui modulo è pari al valore assoluto della differenza tra i moduli di F1 e F2, |F1

– F2|.

    La forza R è la risultante di F1 e F2 e la sua retta d'azione, r, è l'asse centrale del sistema di forze

(F1, F2).

 

Fig. 2

 

Risultante di due forze incidenti

    Un sistema formato da due forze F1 e F2 giacenti su rette d'azione incidenti, r1 e r2 (Fig. 3), è

equivalente ad un sistema formato da un'unica forza R, risultante del sistema di forze (F1, F2).

    Il modulo, la direzione e il verso di R sono forniti dalla somma vettoriale di F1 e F2 e la retta

d'azione di R, rR, detta asse centrale, passa per il punto d'intersezione delle rette r1 e r2. Infatti,

poiché la direzione della risultante è fornita dal vettore somma, per determinare l'asse centrale è

sufficiente trovare un punto che gli appartenga e condurre per esso una retta parallela al vettore

somma. Per il Teorema dell'asse centrale, è sufficiente trovare un punto del piano rispetto al quale è

nullo il momento risultante delle due forze F1 e F2. Essendo nullo il braccio di entrambe le forze

rispetto al punto d'intersezione delle rispettive rette d'azione, il momento del sistema di forze (F1,

F2) rispetto al punto d'intersezione di r1 e r2 è sicuramente nullo. Ne segue che il punto

d'intersezione di r1 e r2 appartiene all'asse centrale.

 

O

Fig. 3

 

    Poiché la forza opposta alla risultante di un sistema di forze è l'equilibrante del sistema di forze,

il sistema (F1, F2, –R) è equivalente a zero. Se ne può concludere che tre forze nel piano, per farsi

equilibrio, devono concorrere in uno stesso punto. Abbiamo così ottenuto per altra via la condizione

di equivalenza a zero nota come Teorema N.

 

Risultante di n forze incidenti (n>2)

    Un sistema formato da n forze con rette d'azione incidenti (Fig. 4a) è equivalente ad un sistema

formato da un'unica forza R, di modulo, direzione e verso forniti dalla somma vettoriale delle n

forze. La retta d'azione della risultante del sistema di forze, detta ancora asse centrale, può essere

determinata utilizzando il poligono delle successive risultanti.

    In Fig. 4 è riportata la determinazione dell'asse centrale per il caso n = 3. Stabilito l'ordine

secondo cui sommare le tre forze, si costruisce il poligono delle successive risultanti. Il poligono

delle successive risultanti in Fig. 4c) è stato costruito sommando, in successione, le forze F1, F2 e

F3.

 

Fig. 4

 

    Per il punto d'intersezione delle rette d'azione delle prime due forze, r1 e r2, si traccia la retta t,

parallela alla somma vettoriale delle prime due forze, ricavata dal poligono delle successive

risultanti. Per il Teorema dell'asse centrale, applicabile anche ad ognuno dei sistemi di forze in cui

può essere decomposto il sistema originario, la retta t è la retta d'azione della risultante R12 delle

prime due forze. Sempre per il Teorema dell'asse centrale, la retta t e la retta r3 si intersecano in un

punto Q, appartenente alla retta d'azione rR della risultante del sistema di tre forze. Infatti, poiché

R12 è la risultante di F1 e F2, la forza R, risultante di R12 e F3, è anche risultante di F1, F2, F3,

ovvero, è la risultante del sistema di tre forze. A questo punto, per tracciare l'asse centrale del

sistema di tre forze è sufficiente condurre per il punto Q una retta parallela alla somma vettoriale di

R12 e F3, che è anche somma vettoriale di F1, F2, F3, ricavata dal poligono delle successive

risultanti.

    Poiché la somma vettoriale è un'operazione commutativa, l'ordine secondo il quale vengono

sommate le n forze non influisce sul risultato. A riprova di ciò, si osservi la costruzione grafica

riportata in Fig. 5, ove la risultante R è stata ricavata sommando, in successione, le forze F3, F2 e F1

del precedente sistema di tre forze.

 

Fig. 5

 

    Il procedimento illustrato equivale a decomporre il sistema di n forze nella somma di più sistemi

di forze, che prendono il nome di sotto-sistemi di forze, in modo che il primo sotto-sistema sia

composto da due forze e i restanti sotto-sistemi siano composti, ognuno, da un'unica forza. Il

sistema di n forze è sempre equivalente alla somma dei sotto-sistemi in cui è stato decomposto,

indipendentemente dalla scelta delle forze che compongono il primo sotto-sistema. Dunque, la

risultante delle n forze può essere calcolata come risultante delle successive risultanti dei sotto-

sistemi, sommati secondo un ordine prestabilito. Il tracciamento della retta t in Fig. 4b) corrisponde

alla determinazione grafica dell'asse centrale per il primo sotto-sistema di forze, costruzione grafica

nota, in quanto si ricade nel caso esaminato precedentemente di ricerca della risultante per un

sistema di sole due forze incidenti. Trasportando sulla retta t il vettore somma del primo sotto-

sistema di forze, è ora possibile determinare la risultante tra la risultante del primo sotto-sistema e

l'unica forza che compone uno a piacere tra i sotto-sistemi rimasti, utilizzando ancora la costruzione

grafica per la ricerca della risultante di due forze incidenti. Se le forze sono solo tre, il

procedimento, a questo punto, si interrompe. In caso contrario, il procedimento viene reiterato per i

restanti sotto-sistemi, sommati uno alla volta.

 

Risultante di due forze parallele concordi

 

Fig. 6

 

    Un sistema formato da due forze F1 e F2, concordi e giacenti su rette parallele e distinte (Fig. 6),

è equivalente ad un sistema formato da un'unica forza R, parallela ad entrambe le forze F1 e F2 e di

modulo pari alla somma dei moduli di F1 e F2.

    L'asse centrale rR, retta d'azione di R, può essere ottenuto sia per via grafica, sia per via analitica.

Per via grafica, si utilizzano le due costruzioni equivalenti riportate in Fig. 7, ottenute scambiando

le posizioni di F1 e F2, invertendo il verso di una sola delle due forze e congiungendo tra loro i punti

di applicazione e gli estremi delle forze scambiate di posizione.

 

 

Fig. 7

 

    Per la similitudine tra i triangoli in Fig. 7a) e 7b), tra i moduli e i bracci delle forze F1 e F2

rispetto all'asse centrale sussiste la seguente relazione di similitudine:

    Ricordando che, in una relazione di similitudine, il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli

estremi, si può scrivere:

da cui si ricava che le distanze d1 e d2 delle forze F1 e F2 dalla retta rR sono inversamente

proporzionali ai moduli delle forze stesse:

    Per via analitica, si fa uso del Teorema dell'asse centrale, ovvero, si ricerca la posizione dell'asse

centrale imponendo che il momento risultante del sistema di forze (F1, F2) sia nullo rispetto a tutti i

punti che gli appartengono. In notazione simbolica:

(si legge: il momento risultante MP è uguale a zero per ogni polo P appartenente alla retta rR).

    Affinché il momento risultante del sistema di due forze F1 e F2 sia uguale a zero per ogni punto P

di rR scelto come polo, il momento di F1 rispetto al generico punto P di rR deve essere uguale e

contrario al momento di F2 rispetto allo stesso punto P. Il luogo dei punti che soddisfano questa

condizione è una retta parallela alle forze F1 e F2, l'asse centrale cercato. Per ottenere l'asse centrale,

quindi, è sufficiente trovare un punto che soddisfi la condizione di annullamento del momento

risultante e tracciare per esso una retta parallela a F1 e F2.

    Fissiamo le distanze delle rette r1 e r2 da P per mezzo di due ascisse orientate, d1 e d2.

Supponendo che l'asse centrale sia interno alle rette d'azione di F1 e F2 (v. Fig. 8), l'ascissa d1 risulta

orientata verso sinistra e l'ascissa d2 risulta orientata verso destra (il verso indica la posizione della

retta rispetto al punto P).

Fig. 8

 

    In accordo con la convenzione di positività per i momenti, la condizione di annullamento del

momento risultante si esplicita come segue:

da cui si ricava, nuovamente, la proporzionalità inversa tra i bracci d1 e d2 e i moduli delle forze F1 e

F2:

    Quella appena scritta è un'equazione nelle due incognite d1 e d2. Per ricavare d1 e d2, abbiamo

bisogno di un'ulteriore equazione nelle stesse incognite. Nell'ipotesi di conoscere la distanza b tra le

rette d'azione di F1 e F2, possiamo scrivere il seguente sistema risolvente:

da cui si ricava:

    Avendo ottenuto d1 e d2 con segno positivo, si può concludere che l'ipotesi iniziale sulla

posizione dell'asse centrale rispetto alle rette d'azione di F1 e F2 è corretta. In caso contrario, l'asse

centrale sarebbe stato esterno alle rette r1 e r2. Dunque, la risultante di due forze parallele e concordi

è una forza la cui retta d'azione è interna alle rette d'azione delle forze date. D'altra parte, affinché i

momenti delle forze F1 e F2 rispetto ai punti dell'asse centrale abbiano segno opposto, condizione

necessaria affinché MP = 0 P rR, l'asse centrale non può essere esterno alle rette d'azione di  F1 e

F2.

 

Risultante di due forze parallele discordi

 

Fig. 9

 

    Un sistema formato da due forze F1 e F2, discordi e giacenti su rette parallele e distinte (Fig. 9), è

equivalente ad un sistema formato da un'unica forza R, parallela ad entrambe le forze F1 e F2,

concorde alla forza di modulo maggiore e di modulo pari al valore assoluto della differenza F1 – F2.

    L'asse centrale rR, retta d'azione di R, può essere ottenuto sia per via grafica, sia per via analitica.

Per via grafica, si utilizzano le due costruzioni equivalenti riportate in Fig. 10, ottenute, anche in

questo caso, scambiando le posizioni di F1 e F2, invertendo il verso di una sola delle due forze e

congiungendo tra loro i punti di applicazione e gli estremi delle forze scambiate di posizione.

 

Fig. 10

 

    Come nel caso delle due forze parallele e concordi, per la similitudine tra i triangoli in Fig. 10a) e

10b), si può stabilire la seguente relazione di similitudine:

da cui:

    Dunque, i bracci d1 e d2 delle forze F1 e F2 rispetto al generico punto P della retta rR sono ancora

inversamente proporzionali ai moduli delle forze:

    Per via analitica, si fa nuovamente uso del Teorema dell'asse centrale, ricercando l'asse centrale

come luogo dei punti che annullano il momento risultante del sistema di due forze. In notazione

simbolica:

    Per annullare il momento risultante MP per ogni punto dell'asse centrale scelto come polo, il

momento polare di F1 deve ancora essere uguale e opposto al momento polare di F2. Il luogo dei

punti che soddisfano questa condizione è, anche in questo caso, una retta parallela alle forze F1 e

F2. Affinché i due momenti siano di segno opposto, però, questa volta l'asse centrale deve essere

esterno alle due rette d'azione. Inoltre, affinché i due momenti polari siano uguali in valore assoluto,

la forza con modulo maggiore deve avere braccio minore. In conclusione, ci aspettiamo che l'asse

centrale sia una retta esterna alle due rette d'azione, posta dalla parte della forza con modulo

maggiore.

    A verifica di quanto detto, proviamo ad imporre la condizione di annullamento del momento

risultante rispetto ad un punto P interno alle rette d'azione di F1 e F2 (v. Fig. 11), fissando le due

distanze orientate d1 e d2 con origine comune sulla retta rR in modo che d1 sia diretta verso sinistra e

d2 sia diretta verso destra.

Fig. 11

 

    Per la convenzione di positività per i momenti, la condizione MP = 0 si esplicita come segue:

da cui si ricava nuovamente, a meno del segno, la proporzionalità inversa tra i bracci d1 e d2 e i

moduli delle forze F1 e F2:

    Il segno meno che compare nella relazione trovata indica che le due distanze orientate d1 e d2

sono una concorde e l'altra discorde rispetto ai versi ipotizzati in Fig. 11. Dovendo invertire il verso

di una delle due distanze orientate, il punto P non può essere interno alle due rette d'azione, ma deve

trovarsi o a sinistra di r1 o a destra di r2.

    Per determinare la posizione di P, ricaviamo d1 e d2 per mezzo del seguente sistema risolvente:

da cui si ricava:

    Dunque, nell'ipotesi F1 > F2, si ricava:

    Ricordando che d1 e d2 sono distanze orientate, la condizione d1 < 0 implica che la retta r1 non si

trova alla sinistra di P, come ipotizzato in Fig. 11, ma alla sua destra. Dunque, l'asse centrale è

collocato esternamente alle due forze, dalla parte della forza F1. Al contrario, nell'ipotesi F1 < F2, si

ricava:

e l'asse centrale è ancora collocato esternamente alle due forze, ma dalla parte della forza F2. In

conclusione, l'asse centrale di un sistema di due forze parallele e discordi è esterno alle rette

d'azione delle due forze e si trova dalla parte della forza a modulo maggiore.

    I due casi F1 > F2 e F1 < F2 sono rappresentati in Fig. 12.

 

Fig. 12

 

Risultante di una forza e una coppia

    Un sistema formato da una forza F con retta d'azione r e da una coppia di momento M (Fig. 13) è

equivalente ad un sistema formato da un'unica forza R, di modulo, direzione e verso pari a modulo

direzione e verso di F e retta d'azione rR ottenuta traslando r della quantità d = M / F. La distanza d

tra le rette r e rR prende il nome di distanza di trasporto.

 

Fig. 13

 

    Per determinare la posizione della retta rR rispetto alla retta r, si possono seguire due diversi

procedimenti, uno grafico e uno analitico. Il procedimento grafico si basa sull'equivalenza tra le

due rappresentazioni grafiche utilizzate per la coppia. Potendo rappresentare la coppia con un arco

di circonferenza orientato o con un sistema di due forze discordi applicate su rette distinte, si adotti

questa seconda rappresentazione per ricondurre il sistema in Fig. 13a) ad un sistema di soli vettori,

in modo da poter procedere alla ricerca grafica della risultante come visto in precedenza.

    A questo punto, è fondamentale osservare che esistono infiniti sistemi di forze discordi

equivalenti alla coppia oraria M in Fig. 13a). Infatti, qualsiasi sistema di forze discordi di modulo e

braccio tali che il loro prodotto sia uguale a M è equivalente alla coppia oraria M, se ad esso è

associato un momento orario. A titolo d'esempio, si riportano di seguito alcuni sistemi di forze

discordi, tutti equivalenti alla coppia oraria M:

Fig. 14

 

    Tra gli infiniti sistemi di forze discordi equivalenti a M, si prenda in considerazione il seguente

sistema, formato da due forze con modulo uguale al modulo della forza F applicata nel punto A di

Fig. 13a): delle due forze costituenti la coppia, quella di verso opposto a F viene posta sulla stessa

retta d'azione di F, con punto d'applicazione B, mentre quella concorde a F viene posta sulla retta

rR, tracciata a destra o a sinistra di r in modo che le due nuove forze costituiscano una coppia

concorde a M. Per il sistema in Fig. 13a), essendo M oraria e F diretta verso l'alto, rR va tracciata a

sinistra di r (Fig. 15). Fissando la distanza d tra le due rette in modo che si abbia d = M / F, il

momento della coppia introdotta è concorde con M e vale M.

 

Fig. 15

 

    Se la coppia M fosse stata antioraria, avremmo dovuto tracciare la retta rR a destra di r (Fig. 16).

Infine, se la forza F del sistema originario fosse stata diretta verso il basso, avremmo dovuto

tracciare la retta rR a destra di r per ottenere una coppia oraria (Fig. 17) e a sinistra di r per ottenere

una coppia antioraria (Fig. 18).

 

Fig. 16

 

Fig. 17

 

Fig. 18

 

        Tornando al sistema di tre forze in Fig. 15b), si considerino ora le due forze applicate in A e B.

Tali forze sono direttamente opposte e costituiscono un sistema equivalente a zero. Poiché un

sistema equivalente a zero può essere aggiunto o tolto ad un sistema di vettori senza alterarne la

risultante e il momento risultante (v. operazioni invariantive), il sistema di tre forze in Fig. 15b) è

equivalente alla sola forza F applicata sulla retta rR, che è l'asse centrale del sistema.

 

Fig. 19

 

    Il procedimento analitico si basa sul Teorema dell'asse centrale. In base a tale Teorema, occorre

trovare il luogo dei punti rispetto ai quali il momento del sistema in Fig. 13a) è nullo. Per

l'invarianza del momento della coppia rispetto al punto del piano scelto come polo, il problema

della determinazione analitica dell'asse centrale si riconduce al problema della determinazione del

luogo dei punti P rispetto ai quali il momento della sola forza F è antiorario e uguale a M.

Ricordando che il momento di una forza rispetto ad un polo si ottiene dal prodotto tra il modulo

della forza e la distanza della forza dal polo, si tratta, in ultima analisi, di trovare il luogo dei punti a

distanza d=M/F dalla retta d'azione di F. Tale luogo è rappresentato da due rette parallele alla retta

d'azione di F, poste una alla destra e una alla sinistra di F, a distanza d1 = d2 = d = M / F.

 

Fig. 20

 

    Il momento della forza F è antiorario rispetto ai punti della retta r1 e orario rispetto ai punti della

retta r2. Pertanto, il luogo dei punti P per i quali si ha

con MP momento del sistema forza + coppia, è rappresentato dalla retta r1. Dunque, l'asse centrale è

a sinistra di r, a distanza d = M / F. Ovviamente, saremmo giunti a conclusioni opposte se F avesse

avuto verso opposto o se M fosse stata antioraria. In conclusione, i casi che si possono presentare

sono i quattro illustrati in Fig. 21, 22, 23 e 24.

Fig. 21

 

Fig. 22

 

Fig. 23

 

Fig. 24

 

    Infine, poiché la coppia è un sistema a risultante nulla, il modulo e il verso della risultante del

sistema forza + coppia sono uguali al modulo e al verso della sola forza F.

    Con riferimento alla Fig. 13, si considerino ora i seguenti due casi limite:

M = 0, F ≠ 0;

F = 0, M ≠ 0.

    Nel primo caso, essendo nullo il rapporto M / F, si annulla la distanza di trasporto, d:

Quindi, ritroviamo come caso limite il risultato, già noto, secondo il quale la risultante di un sistema

formato da una sola forza F coincide con la forza stessa.

    Nel secondo caso, il rapporto M / F va all'infinito:

Per comprendere il significato fisico associato ad una distanza di trasporto infinita, ricerchiamo la

posizione dell'asse centrale facendo uso del Teorema dell'asse centrale. Rappresentata la coppia per

mezzo di due vettori discordi applicati su rette distinte, si indichi ancora con b la distanza tra le rette

d'azione delle due forze costituenti la coppia. Inoltre, sia d la distanza dell'asse centrale dalla forza

posta più a sinistra.

 

Fig. 25

 

    Troviamo la distanza d imponendo che si abbia MP = 0 per tutti i punti P della retta rR. Affinché

si annulli il momento del sistema di forze, occorre che le due forze forniscano momenti uguali e

opposti rispetto ai punti dell'asse centrale. Essendo le due forze discordi, affinché i momenti siano

di segno opposto l'asse centrale deve essere esterno alla coppia. Inoltre, poiché le due forze hanno

stesso modulo, occorre che si uguaglino le distanze delle due rette d'azione rispetto ai punti dell'asse

centrale:

    Fino a quando i bracci delle due forze rispetto ai punti dell'asse centrale conservano valore finito,

le due distanze non si uguagliano mai, perché differiscono per la quantità finita b. Dunque, il valore

di d che risolve il problema è d = ±∞. Ne segue, allora, che la risultante di una coppia è una forza a

modulo nullo applicata su una retta a distanza infinita (retta impropria). In conclusione, l'asse

centrale di una coppia è la retta impropria.