力学1

木曜日3･4限

概要

担当教員：亀田敏弘、松田昭博

オフィスアワー：随時

できればメールで連絡してください

a_matsuda@kz.tsukuba.ac.jp

kameda@kz.tsukuba.ac.jp

成績：期末75%，演習25%（60%以上）

関連科目：解析学，力学Ⅱ，数学序論，線形代数

高校での力学は．．．

運動の法則

第1法則（慣性の法則）

第2法則（運動の法則）

第3法則（作用・反作用の法則）

ベクトルの理解と足し算・分解

直線座標での運動へ．．

単振動や放物線の運動

計算の例

ボールを斜め30°にV0の速度で投げる

tmV2

1mgt

2

1my

0y,V2

1V0t

CtCmgt2

1my

CmgtmV

mgVm

0

2

0y

21

2

1y

y

のとき

V0

30°

Vx=V0cosθ

Vy=V0sinθ

0

0x

V2

3

cosVV

0

0y

V2

1

sinVV

10

0X

CtV2

3x

V2

3V

実際の現象はどう？？

画像¥freekick.flv

画像¥Norotation.flv

画像¥Shinji.flv

画像¥Tacoma_Bridge.flv

こういった問題も・・・

6

体長方向のCauchy応力分布

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

5 10 15 20 25 30 35 40 45

Right halfLeft halfBase

Ca

uchy S

tress[M

Pa]

Frame No.

高校までの力学では．．．

加速度や速度が一定

直線的な軸上の動きを計算する

空気抵抗を考慮しない（単純な落下）

運動が徐々に収まる運動(減衰）は評価しない

いつまでも終わらない運動？？

本講義の目的

ベクトルの概念の導入 ベクトルの分解以外の演算を学ぶ

ベクトルの微分，内積，長さ

運動方程式と常微分方程式の関係を学ぶ 等速運動，等加速度運動，等速運動

外力ｆが時間や速度に影響される運動を学ぶ

空気抵抗，強制振動

一般化した常微分方程式（１階，2階）の解き方を学ぶ

仕事・保存力・ポテンシャルを学ぶ

エネルギーの保存を理解する

より現実に近い現象へ！

力学の原理に忠実に立式し，その式を正しく解く → 目的達成

１．質点の運動 （テキスト p.1）

運動： 物体の位置が時間とともに移動すること

質点：質量をもち，数学的に点と考えられるようなもの（理想）

位置ベクトル：空間での質点の位置を表す

P

z軸

y軸x軸

r

x

y

z

位置ベクトルのあらわし方

r=(x,y,z)

rは太字にする

0

ベクトルの足し算・引き算(p.2)

ベクトルAとBの足し算は，

A(Ax,Ay,Az)， B(Bx,By,Bz)のとき，

A+B= (Ax+Bx,Ay+By,Az+Bz)

単位ベクトル i,j,k

x,y,z軸に沿って大きさが1

A=(Ax,Ay,Az) =Axi+Ayj+Azk

ベクトルAの大きさ｜A｜もしくはA

A

B

A＋B

2

z

2

y

2

x AAAA

ベクトルの足し算（補足）

i,j,kは軸に沿って長さが1なので，iとj，ｊとｋ，kとi

の角度は90度 C=A+B

（Cx,Cy,Cz)=（Ax + Bｘ, Ay + By, Az + Bz)

Cx i + Cy j+ Cz k =（Ax + Bｘ) i+( Ay + By) j +(Az + Bz) k

Ｘ

Y

i

jk

A

B

A+B

すべて同じ意味

位置Pの変化：変位ベクトル(p.2)

Pの位置が時間とともに変わるとき， Pは運動しているといえる

Pの位置ベクトルをｒ（ｔ）とする（ｔは時間）

時間や位置が増えた量を⊿であらわす． 時間の増加を⊿ｔ

位置ベクトルの変化を⊿ｒ ｰ> 変位ベクトルという

t’=t+ ⊿ｔとしたとき，t’はｔから⊿ｔ経過した時間を示す

rrr ttt

速度ベクトル（ベクトルの微分）

位置r(t)の時間tによる微分は速度となる

を速度ベクトルという

とすると，

ニュートンの記号 を使って

dt

drv

t

tttlim

tlim

dt

d

0t0t

rrrr

dt

dx

t

txttxlimv

0tx

zyx v,v,vv

xdt

dxvx

z,y,xv,v,v zyxv

加速度ベクトル（速度ベクトルの微分）

速度v(t)の時間tによる微分は加速度となる

を加速度ベクトルという

ニュートンの記号 を使って

dt

dva

t

tttlim

tlim

dt

d

0t0t

vvvv

zyx a,a,aa

xdt

dxvx

zyx

zyx

v,v,v

z,y,xa,a,a

,

ra

xx

a

dt

d

dt

d

１．３ 運動の例

単振動 質点P:一直線上を運動する（直線をx軸とする）

時刻ｔにおける座標xが

x＝Asin(ωt＋α) tは変数，他は定数

A：振幅，ω：角振動数，α：初期位相

時間が2π/ω経過すると，

2π/ωを周期Tと呼ぶ，1/Tを振動数(Hz)という．

x)tsin(Ava

)tcos(Axv

22

ta2

tatv2

tv,tx2

tx

，

等速円運動

xy平面上の円運動 x=A cos(ωt) , ｙ=A sin(ωt)

ω（オメガ）：角振動数，角速度

周期T=2π/ω，1/Tは回転数

速度は

y,xva

)tcos(A),tsin(Ay,xv

22

y

x

A

Avvv 2

y

2

x

ベクトルのスカラー積 p.8

ベクトルのスカラー積（内積）を導入する

ベクトルA,Bの内積をA・Bとあらわす

AとBはベクトルの大きさ，θはAとBの角度

BCBABCA

B

A

A+C

cosABBA

A’

C

C’ A’+C’

ベクトルのスカラー積 p.8

スカラー積

AとAのスカラー積は．．

単位ベクトル i,j,kはそれぞれの角度が90度 cos0=1， cos90=0

cosABBA

2A0cosAA AA

1

0

kkjjii

ikkjji

スカラー積を成分であらわす

スカラー積の時間による微分は

ベクトルのスカラー積 p.8

zzyyxx

zyxzyx

BABABA

BBBAAA

kjikjiBA

AAAA

AA

BABA

BA

22

AAAAAAAAAAAAdt

d

dt

d

dt

d

BABABABABABAdt

d

zzyyxxzzyyxx

zzyyxxzzyyxx

方向余弦 p.10

スカラー積の二つの定義から

ベクトルABの余弦を計算することができる

z2

y2

x2

z2

y2

x2

BBBB

AAAA

cosAB

BA

zzyyxx

zyxzyx

BABABA

BBBAAA

kjikjiBA

z2

y2

x2

z2

y2

x2

zzyyxx

BBBAAA

BABABAcos

方向余弦

Aベクトル(Ax, Ay, Az)の向きで，大きさが１のベクトル

x,y,z方向の単位ベクトル

i =(1,0,0)， j =(0,1,0)， k =(0,0,1)，と内積をとると，

zyx

z

zyx

y

zyx

x

AAA

A

AAA

A

AAA

A

222222222,,

)cos222

軸となす角　　　xAAA

A

zyx

x

iA

)cos222

軸となす角　　　yAAA

A

zyx

y

jA

)cos222

軸となす角　　　zAAA

A

zyx

z

kA

方向余弦

Aベクトル(Ax, Ay, Az)の向きで，大きさが１のベクトルをAuとすると，

となる便利な量なので，これを方向余弦と呼ぶ

)cos,cos,(cos,,222222222

zyx

z

zyx

y

zyx

x

AAA

A

AAA

A

AAA

A

)cos222

軸となす角　　　xAAA

A

zyx

xu iA

)cos222

軸となす角　　　yAAA

A

zyx

y

u jA

)cos222

軸となす角　　　zAAA

A

zyx

zu kA