Comunicaciones por Satélite Curso 2008-09 …...1 Comunicaciones por Satélite (5º curso) Dpto. de Señales, Sistemas y Radiocomunicaciones ETSI de Telecomunicación. Universidad

1

Comunicaciones por Satélite (5º curso)Dpto. de Señales, Sistemas y Radiocomunicaciones

ETSI de Telecomunicación.Universidad Politécnica de Madrid

Comunicaciones por Satélite. Curso 2008-09. ©Ramón Martínez, Miguel Calvo

CSAT 1

Comunicaciones por SatComunicaciones por SatééliteliteCurso 2008Curso 2008--0909


MecMecáánica orbitalnica orbital

Ramón Martínez Rodríguez-OsorioMiguel Calvo Ramón

CSAT 2Comunicaciones por Satélite. Curso 2008-09. ©Ramón Martínez, Miguel Calvo

ObjetivosObjetivos

• Comprender los principales parámetros orbitales de las órbitas empleadas en satélites de comunicaciones

• Determinar los ángulos de apuntamiento hacia un satélite, el tiempo de visibilidad y la cobertura

• Relacionar los diferentes tipos de órbitas con los servicios de comunicaciones por satélite

• Comprender el efecto de las perturbaciones que afectan a la órbita del satélite

• Introducir los principios que rigen el lanzamiento y puesta en órbita de un satélite

2





• Introducción histórica• Parámetros de la órbita geoestacionaria• Mecánica orbital

– Leyes de Kepler– Ecuaciones de la órbita genérica

• Posición del satélite en su órbita. Anomalías• Posición de un satélite respecto de un punto en la superficie

terrestre. Calendario• Parámetros orbitales. Efemérides• El punto subsatélite y su traza• Procedimiento para determinar la posición de un satélite

• Determinación de los ángulos de visión. Elevación y acimut• Órbitas empleadas en comunicaciones

ÍÍndicendice


IntroducciIntroduccióón histn históóricarica• Ptolomeo: sistema geocéntrico (s. II d.C.)

– La Tierra es el centro del Universo– El Sol gira alrededor de la Tierra

• Copérnico (1473-1543): sistema heliocéntrico– De revolutionibus orbium caelestium (1543): “Los planetas giran en

órbitas circulares alrededor del Sol”

• Tycho Brahe (1546-1601)– Cuestionó la teoría heliocéntrica de Copérnico– Gran observador astronómico: descubrió nuevas estrellas, dedujo las

órbitas elípticas de los cometas– Sus observaciones son la base de los trabajos de Kepler

• Galileo (1564-1642)– Reforzó la concepción copernicana del sistema solar (primeras

observaciones telescópicas)– “La Tierra se mueve alrededor del Sol…”

3





IntroducciIntroduccióón histn históóricarica

• Kepler (1571-1630): descubre por observación tres leyesque determinan el movimiento de los planetas alrededor del Sol1) Los planetas se mueven en un plano y las órbitas describen

elipses con el Sol en uno de sus focos (1602)2) Ley de las áreas (1605)3) La magnitud T2/a3 es igual para todos los planetas (1618)

• Newton: enuncia la Ley de la Gravitación Universal (1667) y demuestra las leyes de Kepler– ms<<MT, y la Tierra es esférica y homogénea– Espacio libre

Extiende el trabajo de Kepler para incluir perturbaciones en la órbita


DefiniciDefinicióónn

• La Mecánica Orbital se encarga de estudiar, conocer y determinar el movimiento de los cuerpos celestes en torno al Sol …

• … y en particular el movimiento de los satélites artificiales alrededor de la Tierra.

• Utilidad:– Diseño orbital: optimización de los requisitos del sistema (mejor

órbita, ventana de lanzamiento, etc.)– Determinación orbital: conocimiento de la posición del satélite

en todo momento y correcciones orbitales

4





¡ Al incrementar la velocidad inicial aumenta el alcance !

V=0 V= 10 km./h

V= 100 km./h

Puesta en Puesta en ÓÓrbita (1)rbita (1)

CSAT 8Comunicaciones por Satélite. Curso 2008-09. ©Ramón Martínez, Miguel Calvo¡ Con una velocidad inicial suficiente el objeto entra en órbita !

1000 Km/h

10000 Km/h 30000 Km/h

Puesta en Puesta en ÓÓrbita (2)rbita (2)

5





( )

( )v

hrT

hrGmv

Ghr

mmhr

vm

FF

e

e

e

e

es

e

s

gc

+=

+=

+=

+

=

π2

2

2

rr

( )

segKmv

KmhKmhr

segT

GmhrT

e

smhe

e

074.3

3577942157

8616445623

23

=

==+

==

+= π

Ecuaciones Ecuaciones ÓÓrbita Geoestacionariarbita Geoestacionaria

km 6377: terrestreRadios

km 1098601352.3:Kepler de Constante

skgm 106.67:ln UniversaGravitació de Constante

kg 1098.5 :Tierra la de Masa

2

35

2

311-

24

==

×==

⋅×=

×==

eT

e

eT

rr

Gmk

G

mm

re hre h


smh 4562325.36625.36524sidéreo día 1

días 25.365solar on~a 1horas 24solar día 1

==

==

Verano

Invierno

Ángulo de la eclíptica23g 27m

Primavera

Otoño

SOLRadio medio250x106 km

Movimiento de la Tierra entorno al Sol

DDíía solar y da solar y díía sida sidééreoreo

6





Aproximaciones:– Tierra y satélite son masas puntuales– Sólo acción fuerzas gravitacionales Tierra-satélite– Sólo órbitas terrestres

( )r

r rr

F G Mmr

r

F ma m d rdt

g

c

= −

= =

2

2

2

$

0ˆ22

2=+⇒=

rkr

dtrdFF cg

rrr

sgk GM m14

3

23 99 10= ≅ ×. Constante de Kepler

Z

Y

X

M

m

gFr

cFr

CCáálculo de la lculo de la ÓÓrbitarbita


Resulta ddt

r drdt

rr

×⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

= 0 y por tanto rr

r r rr dr

dtr v h× = × = (cte)

r r r r r r r rr h r r v v r r⋅ = ⋅ × = ⋅ × ≡( ) ( ) 0 → r r

r h⊥

Por tanto, la órbita está en un plano perpendicular a h yque pasa por el centro de masas de la Tierra.Por tanto, la órbita está en un plano perpendicular a h yque pasa por el centro de masas de la Tierra.

Teniendo en cuenta que: ddt

r drdt

drdt

drdt

r d rdt

rr r r

rr

×⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

= × + ×2

2

0

La La óórbita es planarbita es plana

Haciendo el producto vectorial ( x ):r

r

r d rdt

× =2

2 0rr

7





Se elige un sistema de coordenadas orbitales (xo, yo, zo).

El vector velocidad es tangente a la trayectoria y conviene usar polares (r, φ) para describir la posición.

rr

v drdt

ddt

rr r drdt

r drdt

= = = +( $) $$

Pero drdt

rr

drdt

r ddt

r ddt

$ $ $ $= + =

∂∂

∂∂φ

φ ∂∂φ

φ0

Además $ $ cos $r x ysin= +φ φ =>∂∂φ

φ φ φ$

$ $ cos $r xsin y= − + =

Por tanto:rv dr

dtr r d

dt= +$ $φ

φ

xo

yo

rφ

zo

$rvr φ

Sistema de Coordenadas Orbitales (Sistema Sistema de Coordenadas Orbitales (Sistema perifocalperifocal))


El vector aceleración será:r

r r

a d rdt

dvdt

= =2

2

y teniendo en cuenta que ddt

ddt

r ddt

$ $$

φ ∂φ∂φ

φ φ= = −

resulta:ra r d r

dtr d

dt rddt

r ddt

= − ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

+ ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

$ $2

2

221φ

φφ

Con ello la ecuación vectorial del movimiento del satélite resulta en el sistema de ecuaciones escalares:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

0

01

2

2

2

2

2

rk

dtdr

dtrd

dtdr

dtd

r

φ

φθen angular Componente

ren radial Componente

Ecuaciones EscalaresEcuaciones Escalares

8





La primera ecuación indica que: r ddt

cte2 φ=

y teniendo en cuenta quer r rh r v r d

dt= × = 2 φ

resulta: h r ddt

cte= =2 φ

Como además: dA r d=12

2 φ => dAdt

h cte= =12

Que es la expresión matemática de la 2ª ley de Kepler: “Áreas barridas en tiempos iguales son iguales”Que es la expresión matemática de la 2ª ley de Kepler: “Áreas barridas en tiempos iguales son iguales”

xo

yo

rdA

dφ rdφ·

Segunda Ley de Segunda Ley de KeplerKepler


“Áreas barridas en tiempos iguales son iguales”“Áreas barridas en tiempos iguales son iguales”

Segunda Ley de Segunda Ley de KeplerKepler

9





Eliminamos t : drdt

drd

ddt

drd

hr

h dud

= = = −φ

φφ φ2

d rdt

ddt

h dud

h u d ud

2

22 2

2

2= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

φ φ

Del resultado anterior obtenemos: r ddt

cte r ddt

hr

22 2

3φ φ

= ⇒ ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=

y de la 2ª ecuación del sistema: d rdt

hr

kr

2

2

2

3 2 0− + =

ur

du drr

= ⇒ = −1

2con el cambio

Resulta por tanto: d ud

u kh

2

2 2φ+ =

Primera Ley de Primera Ley de KeplerKepler (1)(1)


La solución de la ecuación diferenciald ud

u kh

2

2 2φ+ =

es: u kh

C o= + −2 cos( )φ φ

Deshaciendo el cambio de variable y eligiendo el eje xo de manera que φo = 0 resulta:

r pe

=+1 cos φ

siendo p hk

e pC= =2

, ,

Para e < 1 la ecuación anterior es la de una elipse, y es la expresión matemática de la 1ª ley de Kepler.Para e < 1 la ecuación anterior es la de una elipse, y es la expresión matemática de la 1ª ley de Kepler.

Primera Ley de Primera Ley de KeplerKepler (2)(2)

10





Secciones cSecciones cóónicasnicas

Ecuación de la trayectoria:e=0: circunferenciae<1: elipsee>1: hipérbolae=1: parábola

Sólo para e<1 se tienen trayectorias cerradas, de interés para satélites de comunicaciones. Para e≥1, la trayectoria del satélite escapa a la atracción terrestre (sondas espaciales, cometas).


Para el caso de órbita elíptica: dA hdt ab hT= ⇒ =12

12

π

siendo T el período de rotación.

T a

k= 2

32

12

π

Sustituyendo h resulta:

que es la expresión matemática de la 3ª ley de Kepler.que es la expresión matemática de la 3ª ley de Kepler.

Tercera Ley de Tercera Ley de KeplerKepler

11





Leyes de Kepler:1º Las órbitas son planas y el satélite describe una elipse con un

foco en el centro de masas de la Tierra.2º El radio vector describe áreas iguales en tiempos iguales.3º Los cuadrados de los periodos orbitales de dos satélites tienen la

misma relación que los cubos de sus distancias medias al centro de la Tierra.

ApogeoPerigeo

a

b

C

ae

a(1+e) a(1-e)

M

r

φ

m

X0

Y0

r a ee

=−

+( )

cos1

1

2

ϕ

v kr a

= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2 1

Sistema perifocal de coordenadas

ResumenResumen


EjemplosEjemplos

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

x 104

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

Radio de la órbita [km]

Per

iodo

[min

utos

]

Tercera Ley de Kepler

ISS 400 km, 92 min

Metop-A 821 km, 101 min

GPS20220 km, 718 min

Intelsat35779 km, 1440 min

12





Ejemplo: la ISSEjemplo: la ISS

hperigeo=348kmhapogeo=351km


VariaciVariacióón de la altura de la ISSn de la altura de la ISS

13





Sistema perifocal de coordenadas

ResumenResumen

ApogeoPerigeo

a

b

C

ae

a(1+e) a(1-e)

M

rφ

m

X0

Y0( ) ( )ϕ

ϕcose

ear+

−=

11 2


Y0

X0

b

ae a(1-e)

a

rM

E θ

Y0

X0

b

ae a(1-e)

a

rM

E θφ

P

P’

B

PosiciPosicióón del Satn del Satéélite en la lite en la ÓÓrbita. Anomalrbita. Anomalííasas

ÓrbitaCircunferencia de radio el semieje mayor a (inscribe a la órbita)

M: anomalía mediaE: anomalía excéntricaφ: anomalía verdadera

OB

P

P’

rE θ

FOB

P

P’

rE θ

Fφ

14





Objetivo: determinar la posición del satélite en función del tiempo → r(t)

2200

20

2 rpk

rvr

rh

rh

dtd

====φ

rerpcos

cosepr −

=⇒+

= φφ1

dtdr

erp

dtdsen ⋅

−=⋅−

2

φφ ( )[ ]2222

raeaark

dtdr

−−⋅=

PosiciPosicióón del Satn del Satéélite en la lite en la ÓÓrbita (1)rbita (1)

Y0

X0

b

ae a(1-e)

a

rM

E θ

Y0

X0

b

ae a(1-e)

a

rM

E θφ

φφ cosrccosraeEcosa +=+=

( )EcosearEcoseEcosraeEcosa −=⇒

−−

+= 11

EcoseesenE

ak

dtdEsenEae

dtdr

−±

⋅=⋅⋅=1

( )pttakesenEE −⋅=−

3

φφ

cosecoseEcos

++

=1 Ecos

eEcoscos−

−=

1φ

Por geometría:


Anomalía media M es el ángulo que formaría el semieje del perigeo de un satélite que se moviera a velocidad constante η0 por la circunferencia de radio a que inscribe la órbita elíptica:

( )pttakesenEE −⋅=−

3

( ) ( )pp ttakttM −⋅=−⋅=

30η

esenEEM −=O

B

P

P’

rE θ

FOB

P

P’

rE θ

F

F'OPB'OPB'FP ÁreaÁreaÁrea −=

E se calcula con métodos iterativos, p.e.,Newton-Raphson (Eini=M, π):

( )( )

( )( )

...E'fEfEE

EcoseE'fMesenEEEf

=−=⇒⎭⎬⎫

−=−−=

1

PosiciPosicióón del Satn del Satéélite en la lite en la ÓÓrbita (2)rbita (2)

15





1a) El periodo de rotación del satélite es: T ak

=23 2

12π

1b) La velocidad angular media es: ηπ

= =2 1T a

ka

2) Conocido t y el tiempo de paso por el perigeo tp podemos calcular la anomalíamedia M o la anomalía excéntrica E:

M t t E esinEp= − = −η( )

3) A partir de E se obtienen r y ϕ (polares):

r a e E

ea e

r

= −

= −−−

( cos )

cos [ ( ( ))]

11 1 11

2

ϕ

4) Y también: x r y rsino o= =cos , ,ϕ ϕ

Procedimiento para determinar Procedimiento para determinar la posicila posicióón del satn del satéélite en la lite en la óórbitarbita

Y0

X0

b

ae a(1-e)a

rM

E φ


- Punto vernal o primer punto de Aries (γ): une el centro de la Tierra con el del Solen el equinoccio de Primavera (21 de Marzo). COORDENADAS INERCIALES

Ω : ascensión recta nodo ascendente

i : inclinación de la órbita

ω : argumento del perigeo

Sistema de Coordenadas InercialesSistema de Coordenadas Inerciales

γ Ω

ωPlano Ecuatorial

Plano Orbital

Perigeo

X0

NodoAscendente

NodoDescendente

iInclinación

16





• Objetivo: determinar la posición del satélite respecto de la superficie terrestre– Longitud y latitud– Estimación de los ángulos de visión del satélite– Estaciones terrestres

• Procedimiento: transformación de coordenadas orbitales a rotatorias– Hay que deshacer los giros de coordenadas para, a partir

de (Xo,Yo,Zo=0), obtener las coordenadas inerciales(Xi,Yi,Zi)

– Matrices de giro

DeterminaciDeterminacióón de la posicin de la posicióón del satn del satéélite lite respecto de un punto de la superficie terrestrerespecto de un punto de la superficie terrestre


Paso 1: Giro alrededor de Zo (perpendicular a la órbita) para situar el eje Xo en el plano ecuatorial (- ω)

XYZ

s i ns i n

XYZ

1

1

1

0

0

0

00

0 0 1

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

=−⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

c o sc o s

ω ωω ω

TransformaciTransformacióón n C.OC.O..--C.IC.I. (1). (1)

Xi

Yi

Ωω

i

Zi

Z0

Y0X0

Nodo Ascendente

Satélite

Perigeo

17





Paso 2: Giro alrededor de X1 para situar el plano X1’-Y1’ sobre el plano ecuatorial (i). El eje Z se convierte en el eje polar

XYZ

i s i n is i n i i

XYZ

1

1

1

1

1

1

1 0 000

'

'

'

c o sc o s

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

= −⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥


Xi

Yi

Ωω

i

Zi

Z0

Y0X0

Nodo Ascendente

Satélite

Perigeo


Paso 3: Giro alrededor del eje polar Z1’ para alinear el eje Xi en la dirección del punto vernal (Ω)

XYZ

s i ns i n

XYZ

i

i

i

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

=−⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

c o sc o s

'

'

'

Ω ΩΩ Ω

00

0 0 1

1

1

1


Xi

Yi

Ωω

i

Zi

Z0

Y0

X0

Nodo Ascendente

Satélite

Perigeo

18





1) Giro de (-ω) respecto a Zo:

XYZ

s ins in

XYZ

1

1

1

0

0

0

00

0 0 1

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

=−⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

c o sc o s

ω ωω ω

2) Giro de (i) respecto a X1:

XYZ

i s in is in i i

XYZ

1

1

1

1

1

1

1 0 000

'

'

'

c o sc o s

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

= −⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

3) Giro de (Ω) respecto a Z’1=Zi:

XYZ

s ins in

XYZ

i

i

i

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

=−⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

c o sc o s

'

'

'

Ω ΩΩ Ω

00

0 0 1

1

1

1

TransformaciTransformacióón n C.OC.O..--C.IC.I. (4). Resumen. (4). Resumen


Finalmente, haciendo los productos sucesivos, resulta:

( ) ( )( ) ( )

XYZ

i i ii i i

i i i

XYZ

i

i

i

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

=− − −+ − + −

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

cos cos sen cos sen cos sen sen cos cos sen sensen cos cos cos sen sen sen cos cos cos cos sen

sen sen sen cos cos

Ω Ω Ω Ω ΩΩ Ω Ω Ω Ω

ω ω ω ωω ω ω ω

ω ω

0

0

0

Matriz de transformación de coordenadas orbitales a inerciales

TransformaciTransformacióón n C.OC.O..--C.IC.I. Resumen. Resumen

19





A partir de las coordenadas inerciales (Xi,Yi) se obtienen las coordenadas rotacionales (Xr,Yr).

Velocidad de rotación de la TierraΩe:

365252415020

1087083768936000690983399

25068447024

)JD(T

T.T..

)TUoGMT(mint.T

c

cco,g

o,gee

−=

⋅⋅+⋅+=

⋅+=Ω−α

α

JD: día JulianoTc: tiempo en siglos Julianosαg,o: ascensión recta del meridiano cero

Tiempo transcurrido desde que Xr≡XiΤe:

Coordenadas RotacionalesCoordenadas Rotacionales

Xi

ΩeTe

Yi

Xr

Yr

Zi ≡Zr

Meridiano deGreenwich

Ωe


• JD: Día juliano• 2415020: JD del 31/12/1899 a las 12 h del mediodía• A: Año cuyo JD se desea calcular• DTA: Días transcurridos del año A• NAB1900: número de años bisiestos transcurridos desde 1900• TU: Fracción del día en tiempo universal en horas

( ) 5024

190019003652415020 .TUNABDTAAJD −+++−×+=

• Ejemplo: Calcular el JD del 1 de enero de 2000 a las 12 a.m.– A=2000– DTA=1– NAB1900=24– TU=12

( ) 2451545502412241190020003652415020 =−+++−×+= .JD

CCáálculo del dlculo del díía Julianoa Juliano

20





CalendarioCalendario• Sol Medio (movimiento ficticio uniforme)• Año tropical (tiempo de una órbita Tierra al Sol)• Día solar medio, referido al Sol medio, 24 h• Día sidéreo (1 rotación Tierra): 23h 56m 4.09s• Año tropical: 365.2422 días medios• Año civil: 365 días• Julio Cesar introdujo el año bisiesto (1 día más cada 4

años y se compensan 0.25)• Para compensar los 0.0088 el calendario Gregoriano

elimina como bisiestos los que terminan en 00 salvo los divisibles por 400.

• TU o GMT tiempo referido al meridiano de Greenwich• Día Juliano cero: 12 mediodía del 1 Enero del 4713 AC


Para pasar de las coordenadas geocéntricas inercialesal sistema rotatorio hay que girar (Xi,Yi,Zi) un ánguloΩeTe respecto al eje Zi:

XYZ

T TT T

XYZ

r

r

r

e e e e

e e e e

i

i

i

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

= −

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

cos sensen cos

Ω ΩΩ Ω

00

0 0 1

TransformaciTransformacióón n C.IC.I..--C.RC.R..

Xi

ΩeTe

Yi

Xr

Yr

Zi ≡Zr

Meridiano deGreenwich

Ωe

21





Para especificar las coordenadasinerciales de un satélite en el instante t, se suele emplear el siguiente conjunto de seis parámetros:

1) Excentricidad (e)2) Semieje mayor (a)3) Ascensión recta del nodo

ascendente (Ω)4) Inclinación del plano orbital (i)5) Argumento del perigeo (ω) 6) Tiempo de paso por el perigeo (tp)

ParParáámetros orbitales. Efemmetros orbitales. Efemééridesrides

γ Ω

Plano Ecuatorial

Plano Orbital

Perigeo (tp)

X0

NodoAscendente

NodoDescendente

iInclinación

ω

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