Concatenación de modulaciones con codificación caótica

Francisco J. Escribano1, Luis López2, Miguel A. F. Sanjuán31Departamento de Teoría de la Señal y Comunicaciones, Universidad de Alcalá de Henares

2Departamento de Sistemas Telemáticos y Computación, Universidad Rey Juan Carlos

3Departamento de Física, Universidad Rey Juan Carlos

Sistemas de Comunicación CaóticosConcatenados

NoLinealNoLineal

Barcelona, 16Barcelona, 16--19 de 19 de juniojunio de 2008de 2008

1. Introducción

� Comunicación con caos: se plantea en los años 90 (S. Hayes, C. Grebogi and E. Ott, “Communicating with Chaos”, PRL, 70 (1993)).

� Señales con aspecto ruidoso potencialmente aptas para canales dispersivos, aplicaciones de banda ancha y comunicaciones seguras.

� Al interés inicial no siguió una realización de las expectativas en el campo de las modulaciones digitales de base caótica.

� Desde el 2000, nuevos desarrollos han abierto posibilidades para una comunicación eficiente.

� Base: establecimiento de principios comunes a las comunicaciones digitales y a los sistemas caóticos.

� Los desarrollos considerados se basan en las aplicaciones caóticasdiscretas y en los principios de la dinámica simbólica.

1/14

1. Introducción

� Un método habitual de codificación se basa en la codificación de condiciones iniciales.

� Ejemplo con la aplicación de Bernoulli:

( ) [ ] [ ]

( )

≥−

<==

→

−−

−−

−

2

1 12

2

1 2

1,01,0:

11

11

1

nn

nn

nBn

B

xx

xxxfx

xf

( )

+=

==

==

+

+=

+−

=

−

∑

∑

2

1

2

2

1

1

0

0

1

nn

N

nm

nm

m

n

Bn

N

m

m

m

xb

bxfx

xbr

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

xn−1

xn

xn-1

xn

Aplicación de Bernoulli

2/14

1. Introducción

� Generalización para otras aplicaciones fC: función de conversión entre el estado simbólico del sistema (r) y la condición inicial (x0).

� Se necesitaría precisión infinita: truncamiento hasta una determinada precisión (Q bits).

� Sistemas unidimensionales -> tasa R=1 bit/muestra.

( )

( )( ) ( )( )rfgrgfx

rgx

n

B

n

Cn ==

=0

( )nn

Qn

nm

nm

mn

rgx

br

′=′

=′ ∑+

+=

+−

1

2

3/14

� Los resultados de codificación con condiciones inicialesusando aplicaciones lineales a trozos no son prometedores.

� Para la aplicación de Bernoulli, la distancia mínima entre dos secuencias que difieren en un solo bit, cuando Q -> ∞∞∞∞, es:

� La tasa de error es similar a la de enviar los bits sin codificar.

� Posibilidades para aumentar el rendimiento en tasa de error:

► Emplear sistemas multidimensionales con tasa R inferior a 1 bit/muestra -> incremento de la redundancia.

► Limitar el conjunto de posibles condiciones iniciales -> incremento potencial de la distancia mínima entre las posibles secuencias codificadas.

1. Introducción

4/14

∑∞

=

==1

2

min3

1

4

1

ii

d

=

≅

00

2

min erfc4

erfcN

E

N

E

P

dP bb

b

� Los sistemas basados en aplicaciones unidimensionales por sísolos no pueden garantizar resultados competitivos.

� Posiblidad de mejora: concatenación (G. Forney, “Concatenated Codes”, MIT Press, 1966).

� Combinación de las propiedades de las modulaciones caóticasen el canal con la protección de los códigos de canal binarios.

� Desde el punto de vista de la codificación con condicionesiniciales, el empleo de un codificador de canal previo a la codificación caótica cumple el doble objetivo:► Disminución de la tasa R de acuerdo con la redundancia añadida

por el codificador binario.

► Restricción del espacio de definición de las condiciones iniciales, ya que no toda secuencia es posible a la salida del codificador.

2. Concatenación en serie

5/14

� La codificación con condiciones iniciales para Q finitoequivale a la codificación mediante una máquina de estadosfinitos de 2Q estados: modulación con codificación caótica.

� Con la adición de recursividad en el codificador caótico, se puede considerar el esquema concatenado como una instanciade la concatenación en serie de codificadores de canal.

3. Codificador concatenado

6/14

1/2

bn

r1

r2

r3

rQ

1/2

1/2

1/2

zn

Q

Q−1

Q−2

Codificacióncon la

Aplicaciónde Bernoulli

nx SISO

Outer

n r n b

d n Λ( ; Ι)

Inner

SISOd n Λ( ; Ο)

c n Λ( ; Ο)c n Λ( ; Ι)

b n Λ( ; Ο)

Messagesource

b n d nc n

ChannelEncoder

Decoder

Dispersiveor

AWGN only

Modulator

Chaos Coded

InnerOuter

CC

Interleaver

π

π

π−1

dn

1/2

r1

r2

r3

rQ

1/2

1/2

1/2

zn

Q

Q−1

Q−2

� La restricción en el espacio de definición de las condicionesiniciales del caso ideal no garantiza por sí sola los resultados.

� Decodificación catastrófica -> la elección errónea de unasecuencia a distancia finita de la secuencia envidada puedeoriginar un número virtualmente no acotado de errores de bit. (H. Andersson, “Error-Correcting Codes Based on Chaotic Dynamical Systems”, PhD Thesis, Linköping University, Sweden, 1998).

� La analogía con los codificadores binarios concatenadospermite construir decodificadores iterativos robustos.

� Los decodificadores iterativos se basan en el intercambio de estimaciones probabilísticas.

4. Decodificador iterativo

7/14

� La analogía con sistemas digitales bien caracterizados permiteaplicar herramientas de análisis conocidas.

� La curva de tasa de error de bit en un canal con ruido blancogaussiano aditivo va a tener tres zonas características:

� La ubicación de la zona de convergencia se estudia teóricamente.

� Consideramos codificadores binarios convoluciones de R=1/2.

5. Análisis

8/14

bit

err

or

rate

signal to noise ratio

Zona de no convergencia del algoritmo

Zona de inicio de la convergencia: caída brusca

Zona de convergencia total: pedestal de error

5. Análisis

� Estudio de la convergencia de un decodificador iterativo que usa información probabilística: diagramas de intercambio de información extrínseca (EXtrinsic Information Transfer -EXIT).

� Información mutua:

SISO

Decoder

0

0

1

1

d

dr

Λ( ; Ι)

Λ( ; Ο)

I( )I

I( )O

( )( )

( ) ( )∑=

Λ

Λ+Λ

ΛΛ=

1,0

20|1|

|2log|

2

1I

d

dpp

dpdp

( ) ( )( )Θ,IIOI T=

9/14

5. Análisis

� Ejemplos de convergencia en decodificación:

I2

I1

00

1

1

I2

I1

00

1

1

10−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

100

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

BER

I 2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

I1

I 2

CC ν=7

CC ν=4

BSM, Q=4,5,6, Eb/N

0=1.0 dB

BSM, Q=4,5,6, Eb/N

0=2.0 dB

BSM, Q=4,5,6, Eb/N

0=0.0 dB

BSM, Q=5, Eb/N

0=8.0 dB

no feedback

bit

err

or

rate


I1

I2 I2

BER

10/14

5. Análisis


I2

I1

00

1

1

I2

I1

00

1

1

10−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

100

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

BER

I 2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

I1

I 2

CC ν=7

CC ν=4

BSM, Q=4,5,6, Eb/N

0=1.0 dB

BSM, Q=4,5,6, Eb/N

0=2.0 dB

BSM, Q=4,5,6, Eb/N

0=0.0 dB

BSM, Q=5, Eb/N

0=8.0 dB

no feedback

bit

err

or

rate


I2 I2

BER

10/14

I1

5. Análisis


I2

I1

00

1

1

I2

I1

00

1

1

10−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

100

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

BER

I 2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

I1

I 2

CC ν=7

CC ν=4

BSM, Q=4,5,6, Eb/N

0=1.0 dB

BSM, Q=4,5,6, Eb/N

0=2.0 dB

BSM, Q=4,5,6, Eb/N

0=0.0 dB

BSM, Q=5, Eb/N

0=8.0 dB

no feedback

bit

err

or

rate


I2 I2

BER

10/14

I1

5. Análisis


I2

I1

00

1

1

I2

I1

00

1

1

10−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

100

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

BER

I 2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

I1

I 2

CC ν=7

CC ν=4

BSM, Q=4,5,6, Eb/N

0=1.0 dB

BSM, Q=4,5,6, Eb/N

0=2.0 dB

BSM, Q=4,5,6, Eb/N

0=0.0 dB

BSM, Q=5, Eb/N

0=8.0 dB

no feedback

bit

err

or

rate


I2 I2

BER

10/14

I1

5. Análisis


I2

I1

00

1

1

I2

I1

00

1

1

10−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

100

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

BER

I 2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

I1

I 2

CC ν=7

CC ν=4

BSM, Q=4,5,6, Eb/N

0=1.0 dB

BSM, Q=4,5,6, Eb/N

0=2.0 dB

BSM, Q=4,5,6, Eb/N

0=0.0 dB

BSM, Q=5, Eb/N

0=8.0 dB

no feedback

bit

err

or

rate


I2 I2

BER

10/14

I1

5. Análisis


I2

I1

00

1

1

I2

I1

00

1

1

10−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

100

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

BER

I 2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

I1

I 2

CC ν=7

CC ν=4

BSM, Q=4,5,6, Eb/N

0=1.0 dB

BSM, Q=4,5,6, Eb/N

0=2.0 dB

BSM, Q=4,5,6, Eb/N

0=0.0 dB

BSM, Q=5, Eb/N

0=8.0 dB

no feedback

bit

err

or

rate


I2 I2

BER

10/14

I1

5. Análisis


I2

I1

00

1

1

I2

I1

00

1

1

10−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

100

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

BER

I 2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

I1

I 2

CC ν=7

CC ν=4

BSM, Q=4,5,6, Eb/N

0=1.0 dB

BSM, Q=4,5,6, Eb/N

0=2.0 dB

BSM, Q=4,5,6, Eb/N

0=0.0 dB

BSM, Q=5, Eb/N

0=8.0 dB

no feedback

bit

err

or

rate


I2 I2

BER

10/14

I1

5. Análisis

� Se puede establecer una cota sobre el canal binario simétrico equivalente (canal BIOS – Binary Input-Output Symmetric): entrada cn, salida Λ(cn,I).

� Se calcula numéricamente (a través del histograma) la distribución de las salidas probabilísticas ΛΛΛΛ.

� Técnicas conocidas en codificación de canal: cómputo a través de la función enumeradora de pesos binarios del CC, B(X).

( ))ˆ(2

1

seX

b XBPκ=

≤2

1ˆ =s

( ) [ ] ( )

ΛΛ== ∫

∞

∞−

Λ

ΛΛdfeeEs

ss loglogκ11/14

2 3 4 5 6 7 810

−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

100

Eb/N

0 (dB)

BE

R

bound

bound

bound

N=10000, 1 it

N=400, 20 it

N=10000, 20 it

BSM

CC

6. Simulaciones

� Simulaciones: N=10000 (400), Q=5, S=23 (11), CC con ν=4 (7) y R=1/2, 1 ó 20 iteraciones.

� Canal AWGN y canales dispersivos.AWGN Rician/Rayleigh

1 2 3 4 5 6 7

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

100

Eb/N

0 (dB)

BE

R

AWGN channel

K=0, no CSI

K=0, CSI

boundK=5, no CSI

K=5, CSI

BER

Eb/N0

BER

Eb/N0

12/14

2 3 4 5 6 7 810

−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

100

Eb/N

0 (dB)

BE

R

bound

bound

bound

N=10000, 1 it

N=400, 20 it

N=10000, 20 it

BSM

CC

6. Simulaciones



1 2 3 4 5 6 7

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

100

Eb/N

0 (dB)

BE

R

AWGN channel

K=0, no CSI

K=0, CSI

boundK=5, no CSI

K=5, CSI

BER

Eb/N0

BER

Eb/N0

12/14

2 3 4 5 6 7 810

−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

100

Eb/N

0 (dB)

BE

R

bound

bound

bound

N=10000, 1 it

N=400, 20 it

N=10000, 20 it

BSM

CC

6. Simulaciones



1 2 3 4 5 6 7

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

100

Eb/N

0 (dB)

BE

R

AWGN channel

K=0, no CSI

K=0, CSI

boundK=5, no CSI

K=5, CSI

Eb/N0

BER

Eb/N0

12/14

BER

2 3 4 5 6 7 810

−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

100

Eb/N

0 (dB)

BE

R

bound

bound

bound

N=10000, 1 it

N=400, 20 it

N=10000, 20 it

BSM

CC

6. Simulaciones



1 2 3 4 5 6 7

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

100

Eb/N

0 (dB)

BE

R

AWGN channel

K=0, no CSI

K=0, CSI

boundK=5, no CSI

K=5, CSI

Eb/N0

BER

Eb/N0

12/14

BER

2 3 4 5 6 7 810

−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

100

Eb/N

0 (dB)

BE

R

bound

bound

bound

N=10000, 1 it

N=400, 20 it

N=10000, 20 it

BSM

CC

6. Simulaciones



1 2 3 4 5 6 7

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

100

Eb/N

0 (dB)

BE

R

AWGN channel

K=0, no CSI

K=0, CSI

boundK=5, no CSI

K=5, CSI

Eb/N0

BER

Eb/N0

12/14

BER

2 3 4 5 6 7 810

−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

100

Eb/N

0 (dB)

BE

R

bound

bound

bound

N=10000, 1 it

N=400, 20 it

N=10000, 20 it

BSM

CC

6. Simulaciones



1 2 3 4 5 6 7

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

100

Eb/N

0 (dB)

BE

R

AWGN channel

K=0, no CSI

K=0, CSI

boundK=5, no CSI

K=5, CSI

Eb/N0

BER

Eb/N0

12/14

BER

6. Simulaciones

� Cotas y diagramas EXIT siempre muestran holgura en sus predicciones, pero dan cuenta del comportamiento general.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

I1

I 2

CC ν=4

BSM coded modulation, Q=5, Eb/N

0=2.5 dB


0=2.0 dB

Average trajectory for Q=5, Eb/N

0=2.0 dB


0=2.5 dB

Canal ISI Trayectoria promediada de información mutua

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

10−4

10−3

10−2

10−1

100

Eb/N

0 (dB)

BE

R

high ISI

moderate ISI

low ISI

bound

bound

AWGN channelBER

Eb/N013/14

6. Simulaciones


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

I1

I 2

CC ν=4


0=2.5 dB


0=2.0 dB


0=2.0 dB


0=2.5 dB

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

10−4

10−3

10−2

10−1

100

Eb/N

0 (dB)

BE

R

high ISI

moderate ISI

low ISI

bound

bound

AWGN channel

Eb/N013/14

BER


6. Simulaciones


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

I1

I 2

CC ν=4


0=2.5 dB


0=2.0 dB


0=2.0 dB


0=2.5 dB

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

10−4

10−3

10−2

10−1

100

Eb/N

0 (dB)

BE

R

high ISI

moderate ISI

low ISI

bound

bound

AWGN channel

Eb/N013/14

BER


6. Simulaciones


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

I1

I 2

CC ν=4


0=2.5 dB


0=2.0 dB


0=2.0 dB


0=2.5 dB

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

10−4

10−3

10−2

10−1

100

Eb/N

0 (dB)

BE

R

high ISI

moderate ISI

low ISI

bound

bound

AWGN channel

Eb/N013/14

BER


6. Simulaciones


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

I1

I 2

CC ν=4


0=2.5 dB


0=2.0 dB


0=2.0 dB


0=2.5 dB

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

10−4

10−3

10−2

10−1

100

Eb/N

0 (dB)

BE

R

high ISI

moderate ISI

low ISI

bound

bound

AWGN channel

Eb/N013/14

BER


7. Conclusiones

� Comentarios finales y resultados:

► El establecimiento de un puente entre las modulaciones con codificación caótica y desarrollos bien establecidos en comunicaciones digitalespermite mejorar espectacularmente los resultados de forma sencilla.

► Ganancias de codificación comparables con los de otros sistemas concatenados en serie no caóticos.

► Se cumplen propiedades análogas y conocidas:

▼ necesidad de recursividad en el codificador interior,

▼ mejor convergencia con codificadores exteriores más sencillos,

▼ pedestal de error debajo de los límites alcanzables por simulación.

► Buen comportamiento en canales dispersivos.

► Los diagramas EXIT y las cotas dan razón del comportamiento del sistema con pequeños desajustes: pueden ser herramientas válidas para diseño y evaluación.

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8. Algunas publicaciones

1. Francisco J. Escribano, L. López and M. A. F. Sanjuán, ‘Iteratively Decoding Chaos Encoded Binary Signals’, Proceedings of the 8th IEEE Int. Symposium on Signal Processing and its Applications (2005).

2. , ‘Evaluation of Channel Coding and Decoding Algorithms Using Discrete Chaotic Maps’, CHAOS 16, 013103 (2006).

3. , ‘Exploiting Symbolic Dynamics in Chaos Coded Communications with Maximum a Posteriori Algorithm’, Electron. Lett. 42, 984 (2006).

4. , ‘Serial Concatenation of Channel and Chaotic Encoders’, Proceedings of the 14th Int. Workshop on Nonlinear Dynamics of Electronic Systems (2006).

5. Francisco J. Escribano, S. Kozic, L. López, M. A. F. Sanjuán and M. Hassler, ‘Turbo-Like Structures for Chaos Coding and Decoding’, IEEE Trans. Commun., 2008 (Aceptado).

6. Francisco J. Escribano, L. López and M. A. F. Sanjuán, ‘Chaos Coded Modulations over Rician and Rayleigh Flat Fading Channels’, IEEE TCAS-II, 2008 (Aceptado).

7. , ‘Enhancing Chaos Coded Modulations through Concatenation’, IEEE TCAS-I, 2008 (Enviado).

Gracias por su atención

Documents

Concatenación de modulaciones con codificación caótica