CONCEPTO DE TEMA PRETENSADOsffb5e1cdca42193f.jimcontent.com/download/version/1296475653/... · HORMIGÓN PRETENSADO Tema 1. Concepto de Pretensado 3 Está constituida por un casquete

HORMIGÓN PRETENSADO

Tema 1. Concepto de Pretensado

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TEMA 1

CONCEPTO DE PRETENSADO

Introducción

Aplicación del pretensado a una estructura

Aplicación del pretensado al hormigón

Distribución de tensiones

1.1. INTRODUCCIÓN

1.1.1. Notas históricas La primera propuesta de pretensar el hormigón se remonta a 1886. En este año P.H. Jackson, registra la patente US 375999 sobre “Constructions of artificial stone and concrete pavements”, en la que se propone emplear tirantes pretensados provistos de anclajes de rosca o de cuña. Dos años después, en 1888, W. Döhring, registra la patente DRP 53548, relativa a la construcción de placas y viguetas para forjados de

Alfonso Cobo Escamilla Luis Felipe Rodríguez Martín

Escuela de la Edificación

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edificios, en las que se dejaban embebidos en el hormigón alambres tesados para controlar la fisuración del hormigón. A partir de este momento, diversos investigadores de todo el mundo elaboran patentes que mejoran aspectos puntuales de la nueva técnica, al mismo tiempo que se amplía su campo de aplicación. Es, sin embargo, Freyssinet el primer investigador que tuvo las ideas claras acerca de las distintas misiones del acero y del hormigón en el pretensado, de la necesidad del empleo de altas resistencias en el hormigón y en el acero, así como de las pérdidas de pretensado debido a la retracción y fluencia del hormigón. Su mérito principal reside en el hecho de que se dedicó tenazmente desde 1911 a observar el fenómeno de la fluencia en el hormigón, llegó a comprender su naturaleza, y fue el primero en extraer consecuencias del efecto de la fluencia sobre el comportamiento del hormigón pretensado. En 1934 F. Dischinger, de Berlín, registra la patente DRP 727429, en la que propone disponer los cables fuera de la masa de hormigón. Además menciona el retesado como forma de compensar los acortamientos del hormigón debido a la retracción y a la fluencia. De esta forma, Dischinger es el primero en proponer el hormigón pretensado sin adherencia u hormigón postensado. También supo apreciar el efecto favorable de la disposición de cables de forma poligonal. En España, Eduardo Torroja se constituyó en uno de los pioneros del hormigón pretensado. A continuación se comentan tres obras singulares del genial autor que sirven para ilustrar el magnífico aprovechamiento de esta técnica: el Acueducto del Tempol, el Mercado de Algeciras y el Acueducto de Alloz. El proyecto del Acueducto del Tempol se desarrolla en 1926. En él se sustituyen dos pilas de un proyecto inicial por una solución atirantada. La novedad radica en la colocación de unos dispositivos de elevación en los puntos altos de las pilas que permitían tensar los cables de acero de alta resistencia con lo que se consiguen dos efectos. Por una parte se anulaba la influencia de su alargamiento al ser puestos en carga. Por otra, se introducían en la estructura efectos contrarios a los que originaba la sobrecarga de uso. Esta idea se puede considerar como una de las iniciales en los comienzos del hormigón pretensado. En 1933 proyecta y dirige, en colaboración con el arquitecto Manuel Sánchez Arcas, la construcción de la cubierta del Mercado de Algeciras.



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Está constituida por un casquete esférico de hormigón armado que se apoya sobre ocho pilares. Los empujes horizontales son resistidos por un tirante octogonal de acero, exterior al casquete. El tesado del tirante producía la elevación de la cubierta con lo que se conseguía despegar la lámina de hormigón de su cimbra y, de este modo, se facilitaba su desencofrado. El Acueducto de Alloz es la primera obra en la que Eduardo Torroja aplica la técnica del hormigón pretensado con plena consciencia. Está constituido por sucesivos tramos estructurales de 40,0 m de longitud apoyados sobre dos soportes separados 20,0 m entre sí, quedando dos voladizos de 10,0 m cada uno. La idea básica de la estructura es evitar la aparición de fisuras para impedir las pérdidas de agua. Esto se consiguió haciendo que toda la superficie en contacto con el agua estuviese sometida en todos los puntos a un estado de tensiones de compresión en todas las direcciones. Para conseguirlo se siguieron varias estrategias. La compresión en sentido longitudinal se logró, en primer lugar, con el sistema estructural elegido: la ley de momentos flectores es de signo negativo en toda la longitud, de esta forma las fibras superiores resultan traccionadas y las inferiores comprimidas; en segundo lugar, existe un postesado longitudinal de los bordes superiores, que comprime las fibras superiores, lo que implica que en cualquier sección transversal existe un estado de compresión en toda la sección. Para obtener un estado de compresión transversal en el paramento interno en contacto con el agua, se situaron unos tensores metálicos que con un sistema de roscado permitían acercar los dos bordes de la cuba.

1.1.2. Concepto de pretensado Cualquier parte de una estructura está sometida a una serie de acciones externas que provocan en ella un determinado estado tensional. En virtud del teorema de unicidad, a cada sistema de fuerzas exteriores le corresponde un único régimen de tensiones, de modo que siempre es posible obtener cualquier estado de tensión variando alguna de las acciones exteriores. Pues bien, pretensar una estructura consiste en introducir acciones exteriores (acciones de pretensado) de modo que, superpuestas a las cargas exteriores, provocan que el régimen tensional de la estructura se transforme en otro que, por cualquier razón, interese más.



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En el caso particular del hormigón armado, la escasa resistencia del hormigón a tracción junto a la fisuración que se produce en las zonas traccionadas, hace que, generalmente, las acciones de pretensado se encaminen a anular, o al menos controlar, la fisuración y las tensiones de tracción que se producen en las zonas extendidas. El pretensado encuentra otras aplicaciones bien conocidas: en el zunchado activo de depósitos cilíndricos, introduciendo una acción opuesta a la del empuje del líquido contenido; en la sujeción de pantallas de contención de tierras, transformando el empuje activo en pasivo, etc. La colocación de pesos sobre elementos estructurales destinados a recibir empujes (arbotantes o muros de contención por gravedad) con el fin de verticalizar la resultante, es un ejemplo de pretensado ya utilizado en la construcción gótica. En cualquier problema estructural cuya solución resistente presenta dificultades, la introducción de acciones de pretensado, en busca de condiciones más favorables, es una posibilidad que debe tomarse en consideración.

1.2.

APLICACIÓN DEL PRETENSADO A UNA ESTRUCTURA

En el siguiente ejemplo se muestra el comportamiento de una estructura pretensada. Consideremos (figura 1.1.a) que se desea construir una cubierta formada por barras acodadas (arco de tres articulaciones) sustentada en elementos con muy poca resistencia a flexión, por ejemplo muros de fábrica de ladrillo. Al actuar la carga F el arco se abrirá empujando sobre las cabezas de los muros; si éstos no son capaces de oponerse al empuje, se producirá el colapso.



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Figuras 1.1. Construcción de una cubierta sobre muros de fábrica de ladrillo



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Para evitarlo, se puede recurrir a una de las siguientes soluciones: 1º. Modificar el muro. Actuando sobre el dimensionamiento se le puede

dar mayor espesor o dotarlo de contrafuertes. También puede sustituirse el material del muro por otro más resistente a la flexión, como hormigón armado.

2º. Modificar el diseño de la cubierta, incorporando un tirante que

absorba los empujes (Figura 1.1.b.). Ésta parece la solución más sencilla y económica.

Siendo H el valor de cálculo del empuje horizontal y ydf la resistencia de cálculo del acero del tirante, éste precisa una sección de área.

ydfH

A =

Para que el tirante alcance la tensión ydf debe sufrir un incremento de longitud.

lE

fll

s

yds ==∈∆

donde sE es el módulo de elasticidad longitudinal del acero, s∈ es la deformación longitudinal unitaria del acero, y l la longitud del tirante. Si renunciamos, por sencillez constructiva, a disponer un apoyo deslizante, la cabeza de cada muro experimentará un corrimiento horizontal

/2lc ∆= Supongamos que el acero del tirante es del tipo B 400 S, con

2yd mm/N83,347f = y que m18l =

mm6,151018102

83,34721

C 35 =⋅

⋅⋅=

que en servicio, y suponiendo un coeficiente de mayoración de acciones

ponderado de 4,1 , se reducirá a mm1,114,16,15

d == .



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Este corrimiento puede ser inadmisible por producir una fisuración excesiva en los muros. El tirante evitará el colapso, pero no será una solución aceptable. Supongamos, a efectos de sencillez del ejemplo, que pudiera considerarse aceptable un corrimiento mitad del anterior. Si damos al tirante una sección doble de la estrictamente necesaria, su tensión de servicio y su alargamiento se reducirán a la mitad. Esta solución, correcta desde el punto de vista resistente, no resulta económica y revelaría falta de imaginación en el proyectista. Éste decide entonces dotar al tirante de un tensor que permite actuar sobre los extremos del arco, aproximándoles una distancia igual a d. Las cabezas de los muros sufrirán un corrimiento negativo (hacia el interior)

de valor 2d − (figura 1.1.c), que se ha considerado admisible.

Si sobre la estructura así predeformada se aplica ahora la carga F (figura 1.1.d.), el tirante experimentará, como antes, un alargamiento igual a 2d que desplazará las cabezas de ambos muros una distancia d hacia fuera, quedando con corrimientos positivos de valor

2d + aceptables.

De esta forma tan sencilla se ha hecho válida la estructura sin cambiar de material, ni aumentar sus dimensiones. En realidad no se ha hecho más que introducir artificialmente, mediante el tensor del tirante, unas acciones permanentes P (figura 1.1.c.), previas a la actuación de la carga F, que han contrarrestado parcialmente el efecto del empuje del arco, mejorando así las condiciones de trabajo de la estructura. Es decir, de acuerdo con la definición dada al principio, se ha PRETENSADO la estructura. Si las ACCIONES DE PRETENSADO P se hubieran introducido posteriormente a la actuación de la carga F, el resultado final hubiera sido el mismo, pero se hubiera producido inicialmente una fisuración excesiva que podría haber dejado dañados los muros. Naturalmente, las acciones de pretensado P deben ser permanentes para que perdure su efecto beneficioso.



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El tirante sin tensor, representado en la figura 1.1.b., es sometido a las deformaciones que le impone la apertura de arco, oponiéndose gradualmente a ellas hasta llegar a desarrollar la fuerza capaz de equilibrar el sistema. Responde a la solicitación de la estructura, únicamente porque ésta le obliga a acompañarla en su deformación hasta un cierto valor que es incapaz de reducir. Se trata de un tirante pasivo. El tirante con tensor es capaz de actuar sobre la estructura desde el primer momento, imponiéndole fuerzas y deformaciones que pueden modificar, en la forma deseada, sus condiciones de trabajo. Es un tirante activo. No debe olvidarse que la acción de pretensado impuesta inicialmente a la estructura, puede llegar, como cualquier otra acción, a provocar el colapso si se superan determinados valores. En efecto, si en la situación representada en la figura 1.1.c. se continúa actuando sobre el tensor, se podría llegar a derribar los muros hacia el interior de la nave. En las estructuras pretensadas es tan importante la comprobación de la fase inicial, en que actúa únicamente la acción del pretensado, como la final en que esta acción se superpone al resto. Variando el valor de la fuerza de pretensado, es posible conseguir diferentes comportamientos de la estructura. Si, en el ejemplo, incrementamos dicha fuerza hasta conseguir en cada cabeza de muro un corrimiento -d hacia el interior, la actuación del empuje restituirá dichos muros a su posición inicial, anulando su deformación, si bien a costa de una fisuración inicial excesiva bajo la acción del pretensado que se cerrará bajo la carga F. En este caso, el pretensado se puede aplicar en varias etapas. En un primer momento el tensor podría aproximar los extremos del arco una distancia igual a d. Después de aplicar la carga F, las cabezas de los muros quedan con un corrimiento hacia el exterior del valor d/2. De nuevo puede volver a tensarse el tirante aproximando los muros una distancia igual a d y, de este modo, quedar perfectamente verticales. El proyectista puede elegir el valor de la acción del pretensado más conveniente para sus propósitos.



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1.3.

APLICACIÓN DEL PRETENSADO AL HORMIGÓN

Tal como hemos comentado en el punto 1.1.2, la escasa resistencia del hormigón a tracción, implica la necesidad de incorporar armadura en las zonas extendidas. Cuando la armadura entra en tensión, la escasa deformación última a tracción del hormigón, conlleva su fisuración. Esto supone la imposibilidad de elevar la resistencia del acero de armar a partir de unos determinados valores, ya que para aprovechar esas altas tensiones se precisarían unas deformaciones que darían lugar a unas aperturas de fisura inadmisibles. Por otra parte, en muchas condiciones de servicio, incluso utilizando los aceros de armar usuales, las aperturas de fisura esperables resultan inaceptables. La idea del hormigón pretensado es introducir acciones de compresión en las zonas de hormigón que estén traccionadas para anular o al menos controlar la apertura de las fisuras. Aclaremos con un ejemplo la idea de hormigón pretensado. Supongamos una viga formada por bloques de hormigón en masa (figura 1.2), en contacto y sin ninguna clase de unión entre ellos. Es claro que en estas juntas “a hueso” , la resistencia a tracción es nula, y por tanto no es posible que la pieza así formada trabaje a flexión pura o simple.

Figura 1.2. Viga formada por bloques “a hueso”. Pese a ello, se pretende que dicha viga soporte una carga uniformemente repartida kN/m 12q = (incluido el peso propio) con una luz m00,5l = y simple apoyo en ambos extremos.



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Características de la sección: Canto: h = 0,30 m Ancho: b = 0,20 m Tensión admisible a compresión del hormigón: cσ = 2N/mm 25 Se supone que la resistencia a tracción del hormigón del hormigón es nula ( tσ = )/mm N 0 2 A partir de los datos anteriores se obtienen los siguientes valores: Área de la sección: 2m 06,030,020,0hbA =⋅=⋅= Módulo resistente de la sección:

322

m 003,06

30,020,06hb

W =⋅

=⋅

=

El máximo momento en la viga se produce en la sección central:

mkN 5,378512

8lq

M22

o ⋅=⋅

=⋅

=

Las tensiones máximas en la sección central se producen en las fibras extremas:

2263-

3o

c N/mm 5,12m/N105,12103

1037,5

WM

=⋅=⋅

⋅±=±=σ

La tensión positiva (compresión) se queda a la mitad del límite superior del campo de validez de las tensiones en el hormigón ( cσ =

2N/mm 25 ), pero la tensión negativa (tracción) rebasa ampliamente el límite inferior c(σ = 2N/mm 0 ), es decir, aparecen tracciones de valor

2N/mm 5,12− totalmente inadmisibles para las uniones a hueso de los bloques (figura 1.3.).



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Figura 1.3. Viga con carga exterior: solicitaciones y tensiones máximas en la sección central

El cálculo confirma la evidencia de que esta viga carece de resistencia a flexión.



12

Es posible hacerla resistente perforando los bloques por su parte inferior y cosiendo las juntas con barras de acero del diámetro conveniente. Sería necesario comprobar que el alargamiento del acero no provoca una apertura excesiva de las juntas. Pero se busca la solución por otro camino. Teniendo en cuenta que al hormigón le queda un margen de compresión de 2N/mm 12,5 + , se puede aplicar una fuerza axil de compresión (acción de pretensado), en ambos extremos de la viga (Figura 1.4.), cuyo valor sea:

kN 750N 750000)(N/mm 5,12)mm( 60000P 22 ==⋅=

Figura 1.4. Viga con carga exterior y pretensado centrado: Solicitaciones y tensiones en la sección central



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Al superponer a las tensiones de flexión )N/mm 5,12 ( 2± otras de compresión uniforme 2N/mm 12,5 (+ ), se alcanzará el límite superior

2N/mm 25,0 (+ )en el borde más comprimido y el límite inferior en el otro borde, que en este caso resulta descomprimido )0( c =σ . La figura 1.4., refleja esta situación. Lo anterior se expresa analíticamente aplicando la conocida expresión de Resistencia de Materiales:

{ 225,00

9

6

c

N/mm 12,5 5,12

100,003

1037,5

60000750000

WM

AP

+=±

=⋅⋅

±=±=σ

La introducción de la acción P de pretensado, ha permitido mantener las tensiones cσ en la sección más solicitada de la viga, dentro de los límites de validez fijados. La viga, que anteriormente carecía de resistencia a flexión, es capaz ahora de soportar la carga asignada. Parece que no es posible obtener mejores resultados, ya que ambos bordes han alcanzado los correspondientes límites de tensión. Un aumento o disminución del valor de P conduciría a cσ > 2N/mm 0,25 o a cσ < 0 respectivamente. Sin embargo, las tensiones de pretensado 2N/mm 12,5 ( + en ambos bordes) distan bastante de los límites máximos, por lo que cabe la posibilidad de reforzar el efecto del pretensado. Se ha visto que no es posible aumentar el valor de la acción P, pero sí se puede variar su punto de aplicación. Un descentramiento hacia abajo parece lógico, ya que precomprimirá más intensamente las fibras inferiores, oponiéndose más eficazmente a las tracciones que los momentos positivos impondrán a estas fibras. La zona superior de la sección quedará menos comprimida, dejando así mayor margen a las compresiones que ocasionará la flexión. Dicho descentramiento no debe exceder de los límites del núcleo central de inercia de la sección, pues en caso contrario aparecerían tracciones en el borde superior que abrirían las juntas, agotándose la pieza bajo la acción del pretensado, antes de que llegara a aplicarse la carga. La



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excentricidad e queda, en consecuencia, acotada en este caso para m 30,0h =

6h

-m 05,0 =− ≦ e≦ m 05,06h

+=+

Un descentramiento por encima del centro de gravedad de la sección produce momentos positivos, es decir, que comprimen las fibras superiores y la excentricidad e será positiva. En caso contrario, la excentricidad e será negativa, al producir momentos negativos. El momento producido por el descentramiento de la acción de pretensado es P.e, haciendo m05,0e −= (figura 1.5.)

Figura 1.5. Viga con carga exterior y pretensado excéntrico: solicitaciones y tensiones



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Las tensiones pσ debidas a la acción del pretensado excéntrico son:

{0N/mm 0,25

9

3

p

25,125,12

100,003

10(-0,05)750000

60000750000

WeP

AP

+=+

=⋅

⋅⋅±=

⋅±=σ

m

Con lo que las tensiones máximas en la sección resultan ser:

m5,12WM

pc +=±σ=σ { 25,125,12 N/mm 5,125,12 +

+=±

Tanto las tensiones pσ como las cσ resultan aceptables. Pero, mientras aquellas se encuentran ajustadas a los límites, éstas aceptarían aún 2N/mm 5,12+ en el borde superior, y 2N/mm 5,12− en el inferior. Es decir, queda margen para duplicar las tensiones debidas a la flexión, y por tanto, la carga. Veamos que ocurrirá si se aplica a la viga una carga de kN/m 00,24 , incluso peso propio, en lugar de los m/kN00,12 que ya se había conseguido soportar. Las tensiones debidas a la flexión serán ahora 2N/mm 0,25± de donde:

{ 20,250c N/mm 0,255,125,12 +=±+=σ m

como se representa gráficamente en la figura 1.6.



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Figura 1.6. Viga con carga exterior y pretensado excéntrico: Solicitaciones y tensiones.

En resumen, se ha conseguido, sin modificar la viga, pasar de una carga admisible nula a otra de kN/m 0,12 , y luego duplicar ésta por un simple descentramiento de la fuerza de pretensado. Se ha llegado a obtener el máximo aprovechamiento de la sección para las condiciones dadas, tanto bajo la única acción del pretensado, como posteriormente cuando a esta acción se superpone la gravitatoria. Pero aún es posible mejorar la capacidad portante.



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Como consecuencia del momento negativo P.(-e), (figura 1.7.a), producido por la introducción de la acción de pretensado, la viga tomará una cierta contraflecha (figura 1.7.b.), levantándose del tablero en que se apoyaban inicialmente los bloques, y, simultáneamente se superpondrá a dicha acción la gravitatoria debida al peso propio (figura 1.7.c.).

Figura 1.7. Viga pretensada sometida a su peso propio Siendo el peso propio:

kN/m 32,100,2200,130,020,0p =⋅⋅⋅=



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el momento flector que produce en la sección central resulta:

kN/m 12,48

00,532,1M

2

=⋅

=

Bajo la acción simultánea de la fuerza de pretensado descentrada y del peso propio, las tensiones en la sección central deben mantenerse dentro de los límites establecidos. Imponiendo la condición de descompresión para el borde inferior.

01,375e 25,05,12

10003,0

10125,4

10003,0

e75000060000750000

WM

WeP

AP

9

6

9

=++

=⋅⋅

+⋅⋅

+=+⋅

+=σ

lo que se verifica para mm5,55e −= Es posible, en consecuencia, aumentar la excentricidad negativa en 55,5 mm. Con esta excentricidad y el peso propio, la tensión en el borde superior es:

2N/mm 25375,1)5,55(25,05,12 +=−−⋅−=σ El diagrama inicial de tensiones es el mismo que el representado en la figura 1.6., pero ahora corresponde al peso propio superpuesto a la fuerza de pretensado. El diagrama de flexión, con tensiones

2N/mm 25,0 ± , corresponde a una carga aplicable de kN/m 00,24 como habíamos visto, sólo que ahora es independiente del peso propio que ha sido absorbido por el incremento de excentricidad. La capacidad portante de la viga pasa a ser de kN/m 00,24 más su peso propio, es decir, se ha incrementado en kN/m 32,1 . Siempre es posible en el hormigón pretensado absorber el peso propio con el incremento de excentricidad que él mismo permite. El máximo incremento de excentricidad posible, corresponde a la sección en que el momento flector producido por el peso propio. A medida que este momento disminuye hacia los apoyos debe reducirse el incremento de excentricidad. En la viga del ejemplo, la excentricidad



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será mm5,55e −= en la sección central, y, mm 00,50e −= en las extremas. La línea que une los puntos de aplicación de P será una parábola, como parabólica es la variación del momento flector debido al peso propio. En realidad la excentricidad puede ser nula a partir de la sección en que M ≦ m/kN 50,37 . Con ésto se da fin al ejemplo que, con carácter de introducción, ha permitido intuir las posibilidades que ofrece la técnica del pretensado aplicada al hormigón.

1.4. DISTRIBUCIÓN DE

TENSIONES Consideramos una pieza cuya sección, con centro de gravedad 0, tiene un eje de simetría OY (figura 1.8.) normal al eje de flexión OX.

Figura 1.8. Diagrama de tensiones Si dicha sección no fisurada se encuentra sometida a un esfuerzo normal de pretensado P y a momentos P. e y M, la tensión en régimen lineal a que se encuentra sometido un punto de ordenada y viene dada por:

yI

MePAP

x

+⋅+=σ



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en que A es el área de la sección e xI su momento de inercia respecto a OX. Se consideran positivos: P: cuando el esfuerzo normal es de compresión M: cuando comprime el borde superior y: para los puntos situados por encima de OX e: con el mismo criterio que y al ser la ordenada del punto de aplicación de la fuerza de pretensado En caso contrario, los correspondientes valores serán negativos. A la altura del centro de gravedad, es decir, para todos los puntos situados en el eje OX, resulta y = 0, y en consecuencia, la tensión en esa fibra toma el valor:

AP

=σ

con independencia de los valores que puedan tomar la excentricidad e y el momento flector M. Si a una sección de área A, sometida a una fuerza normal P, se le aplican momentos flectores distintos y se varía la excentricidad de P, obtendremos diferentes diagramas de distribución de tensiones

normales σ , pero todos tendrán en común el valor AP

=σ a la altura

del centro de gravedad; es decir, todas las rectas que definen dichos

diagramas pasarán por el punto y = 0, AP

=σ (figura 1.8.).

Esto facilita el trazado de diagramas y el diseño de la sección, al permitir conocer como afectará la variación de tensión en un borde al valor de la tensión en el borde opuesto. En el ejemplo desarrollado en el apartado 1.3., el centro de gravedad se encuentra a igual distancia de ambos bordes, al poseer la sección doble

simetría. Siendo 2N/mm 5,12AP

= , si en un borde 0=σ , en el



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opuesto será 2N/mm 0,25=σ , es decir, el doble de AP por semejanza

de triángulos (figura 1.9.); si en un borde 2N/mm 5,12AP

==σ , la

distribución será rectangular y resultará también 2N/mm 5,12=σ en el borde opuesto. Si en un borde hubiera sido:

2N/mm 00,105,25,12 =−=σ en el opuesto sería 2N/mm 0,155,25,12 =+=σ . La figura 1.9. agrupa todos estos diagramas.

Figura 1.9. Diagrama de tensiones Siendo 21 YY + , las distancias del centro de gravedad a los bordes inferior y superior respectivamente, y 21 , σσ las tensiones en los bordes correspondientes (figura 1.10.), lo anterior puede expresarse:

Figura 1.10. Diagrama de tensiones



22

hYAP

YAP

21

2

2

1

1 σ−σ=

+σ−=

−σ

o bien

h AP

YY 1221 =σ+σ

con hYY 21 =+

lo que permite hallar analíticamente uno de los valores, en función de los restantes, en caso de que no se prefiera hacerlo gráficamente. Para los bordes, las ordenadas son 1Yy −= , 2Yy = Llamando:

1

x1 Y

IW

−=

2

x2 Y

IW =

tendremos los módulos resistentes que permiten hallar las tensiones extremas:

11 W

MePAP +⋅

+=σ

22 W

MePAP +⋅

+=σ

Al ser xI siempre positivo W tendrá el mismo signo que la ordenada del borde correspondiente; en lo sucesivo se considerará 1W negativo y 2W positivo.



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EJERCICIOS DE AUTOCOMPROBACIÓN 1. La figura 1.11. representa una viga de hormigón, a la que, mediante

pretensado, se desea dotar de la mayor capacidad portante que sea posible, de manera que en ningún punto aparezcan tracciones ni se supere una tensión de compresión de 2mm/N20

Figura 1.11.

Se pide: a) Máxima excentricidad negativa que es posible aplicar a la fuerza

de pretensado P sin compensación de peso propio. b) Valor máximo que puede asignarse a P con dicha excentricidad. c) Máxima carga que puede soportar esta viga, una vez pretensada

con los valores máximos hallados para – e y P. d) Dibujar los diagramas de tensiones correspondientes a la acción

de pretensado, a la acción gravitatoria y a su superposición, comprobando que se encuentran dentro del campo de validez de las tensiones.

e) Incremento que debe darse a la excentricidad en la sección

central para compensar el peso propio (Peso del hormigón 3m/kN22 )

f) Excentricidad que, en estas condiciones de compensación de

peso propio, debe aplicarse en las secciones situadas a 1,00 m de los ejes de apoyo, y en las secciones que contienen estos ejes.



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2. La sección de la figura 1.12., acotada en cm, con eje de simetría 0Y, tiene un área A = 400 cm2 y un momento de inercia

4x cm 30833I = , estando situado su centro de gravedad 0 a 12,5

cm del borde superior.

Figura 1.12.

Se pide: a) Determinar qué valor debe tener la fuerza de pretensado P para

que, bajo su única acción, a una tensión en el borde superior 02 =σ corresponda en el borde inferior 2

1 N/mm 18=σ . b) Hallar la excentricidad e que debe darse a la fuerza de pretensado

obtenida, para que 1σ y 2σ , tengan los valores citados. c) Con los valores de P y e hallados, calcular qué momento flector

M debe aplicarse a la sección para que 21 N/mm 1−=σ y

determinar el valor de 2σ correspondiente. Dibujar el diagrama de tensiones resultante.

d) Hallar la tensión que, en estas últimas condiciones, tendrá una

fibra de la sección situada 8 cm por encima del eje 0X. Comprobarlo gráficamente.



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SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS DE AUTOCOMPROBACIÓN EJERCICIO 1 a) Para que la fuerza de pretensado P no origine tracciones en la

sección, su punto de aplicación no debe quedar fuera del núcleo central de inercia representado en la figura 1.13.

Figura 1.13.

Para una sección rectangular, el núcleo central de inercia, es un rombo cuyas diagonales coinciden con los ejes principales de inercia y sus longitudes son 1/3 de la longitud de los lados paralelos a

aquellas. La diagonal normal al eje de flexión mide mm 703210

= , y

sus extremos estarán a mm 356210

±=± del centro de gravedad.

La máxima excentricidad negativa que no produce tracciones en el borde superior, es mm35e −= .

b) Las tensiones en la sección deben cumplir:

0 ≦ σ ≦ 2N/mm 0,20+



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La condición σ ≦ 0 queda asegurada al estar aplicado P dentro del núcleo central de inercia, con independencia del valor P. En realidad, la tensión mínima será 0=σ , al estar P en el borde del núcleo. El máximo valor de P será aquel que produzca en el borde inferior de la sección, una tensión 2N/mm 00,20+=σ .

2N/mm 00,20WPe

AP

+=−

Siendo:

mm35e

m 1035,76

21,010,0W

m 021,021,010,0A

362

2

−=

⋅=⋅

=

=⋅=

−

La anterior condición se expresa:

0,20107,35

P 35

1021

P33 =

⋅+

⋅ de donde N 210000P =

c) Bajo la acción de pretensado, las tensiones en los bordes son{0 0,20+

que permiten aplicar tensiones de flexión{ 00,2000,20

+− para obtener

conjuntamente{ 00,200+ .

El momento flector M, que puede asignarse a la sección central, será el que verifique

2

3

22

N/mm 20 107358

3500q

W 8lq

WM

±=⋅⋅

⋅±=

⋅±=± de donde:

kN/m 96N/mm 6,9q 2 ==



27

d)

Figura 1.14. e) Peso propio m/N0,4622200000,121,010,0p =⋅⋅⋅=

Momento flector debido al peso propio:

Nm 4,7078

50,30,462M

2

=⋅

=

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅+

⋅=+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ + 33 10735

e

1021

1 210000

WM

We

A1

P

010735

104,7073

3

=⋅⋅

de donde:

( ) mm 4,335,0-38,4 -e

mm 4,38e

−==∆

−=

f) La ley de momentos flectores es:

( )x-l 2Px

2Px

x2l P

M2

=−=



28

para x = 1

( ) ( ) Nm 5,5771-3,50 20,462

1-l 2P

M ===

Figura 1.15.

010735

105,577

10735

e

1021

1 210000 3

3

33 =⋅⋅

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅+

⋅

mm7,37e −=

mm 7,2e −=∆

0010735

e

1021

1 210000 33 =+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅+

⋅

Para x = 0:

mm0,35e −=

0e =∆



29

EJERCICIO 2 a)

21 N/mm 18=σ

02 =σ

mm 125y2 =

mm 175125300Y1 =−=

h AP

YY 1221 =σ+σ

30040000P

12518 ⋅=⋅

N 300000300

40000125180P =

⋅⋅=

2N/mm 5,7

40000300000

AP

==

Figura 1.16. b) El valor de P hallado, define una relación funcional entre las

tensiones en ambos bordes, de manera que a cada valor de 2σ le corresponde uno y sólo uno de 1σ .



30

222

1

21 40,118

YY

Yh

AP

σ−=σ−=σ

Figura 1.17.

A 2σ 0= le corresponde 21 N/mm 18=σ , pero si hacemos

22 N/mm 10=σ , resulta 1σ

2N/mm 4= , como se representa en la figura. Existen pues infinitos pares 1σ , 2σ , que verifican la ecuación anterior. Para otro valor de P la ecuación sería distinta y a cada valor de 2σ correspondería otro de 1σ diferente del anterior. Si ahora fijamos la excentricidad e con la condición de que una de dichas tensiones tenga un valor particular, habremos introducido una segunda ecuación y la solución será única:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=σ

22 W

eA1

P

en que

3 4

4

z

x2 mm107,246

1251030833

YI

W ⋅=⋅

==

Determinados e para que 2σ 0= con lo que 2

1 N/mm 18=σ queda también fijado.



31

0107,246

e400001

4 =⋅

+

mm 7,6140000

107,246e

4

−=⋅

−=

c)

2 40,1181 σ−=−

22 N/mm 57,13

40,119

==σ

Siendo:

1W 44

1

x 102,176175

1030833YI

⋅−⋅

−=−= 3mm

( )

101762

M17,63000075

WMPe

AP

11 −=

−+−⋅

+=+

+=σ

( )

1102,176

M7,613000005,7 4 −=

⋅+−⋅

+

de donde:

mKN33,49mmN33487000M =+=

Se dibuja el correspondiente diagrama de tensiones:

Figura 1.18.



32

d) Sobre el diagrama de tensiones anterior, se dibuja la tensión correspondiente a y = + 8 cm, que da a escala el valor hallado.

=⋅+⋅

+=σ yI

MePAP

x

( ) 2

4 N/mm 39,11801030833

334870007,613000005,7 =⋅

⋅+−⋅

+=

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CONCEPTO DE TEMA PRETENSADOsffb5e1cdca42193f.jimcontent.com/download/version/1296475653/... · HORMIGÓN PRETENSADO Tema 1. Concepto de Pretensado 3 Está constituida por un casquete