Conceptos Básicos de Probabilidad Lección 14

MATH 101Lección 14

Conceptos Básicos de Probabilidad


• Experimento de probabilidad– es cualquier acción por el cual un resultado,

respuesta o medida es obtenida.• Lanzar una moneda al aire y notar el lado que

caiga hacia arriba. • Tirar un dado y contar los puntos que estén arriba. • Escoger un empleado de una corporación al azar y

determinar que tipo de plan medico esta la persona suscrito.


• Espacio Muestral (S)– El conjunto de todos los resultados posibles de

un experimento aleatorio.• El espacio muestral de lanzar una moneda al aire es

que caiga cara o que caiga cruz, ya que son todos los resultados posibles.

S = {C, +}• El espacio muestral de tirar un dado es 1, 2, 3, 4, 5 y 6,

que son todos los resultados posibles. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

• Para determinar el tipo de plan medico a suscribirse la corporación ofrece Triple-S, MCS, Blue Cross/Blue Shield o ninguno.

S = {Triple-S, MCS, BC/BS, Ninguno}


• Evento– Un evento es un subconjunto del espacio

muestral.– Un evento consiste de un resultado o de un

grupo de resultados.• Evento Simple

– es uno que no se puede romper mas.– Si un evento tiene sólo un resultado favorable

se dice que es un evento simple o elemental.


• Si tira un dado y solamente esta interesado en el evento de que caiga en 3.– Eventos específicos son simbolizados con

letras mayúsculas.– En este ejemplo, dejamos que la letra T

represente el evento simple de tirara un dado y que caiga en 3; que seria T = {3}

Conceptos Básicos de Probabilidad• Otro ejemplo seria, que queremos analizar

el evento A que la tirada caiga menos de 5.– Decimos A = {1, 2, 3, 4}– Representado en un diagrama Venn:

56

A1 2

34

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

A = {1, 2, 3, 4}

Espacio Muestral

Evento

Hallar la Probabilidad de que Ocurra un Evento

• Fórmula– La probabilidad de un evento E es :

número de resultados simples favorables al eventonúmero totales de resultados simples posibles

P E

fn

Hallar la Probabilidad de que Ocurra un Evento• Si dejamos que C represente el evento de que tirar

un dado, caiga 5, escribimos

– Esta aseveración se lee: la probabilidad del evento C es 1/6.

– Solamente hay un cinco (resultado favorable) en las seis caras que tiene el dado (resultados posibles).

• Hay que enfatizar que la notación C se refiere al evento de que el dado caiga 5, mientras que la notación P(C) se refiere a la probabilidad de ese evento.

1 .6

P C


• Ejemplo 1– En el envase hay pelotas de colores que son

de igual tamaño. Contesta las preguntas:

Hallar la Probabilidad de que Ocurra un Evento1. ¿Cual es el espacio muestral?2. Si introduces la mano y sin mirar sacas

una pelota, describe cada evento y halla la probabilidad de que la pelota:

a. sea blancab. tenga pintasc. sea grisd. no sea gris

3. Nombra un evento simple.4. Determina si el evento “sea gris” es un

evento simple.


• Solución1. El espacio muestral S es

S = {g, g, g, b, b, b, b, p}donde g, b y p denotan gris, blanco y con pintas, respectivamente.En el envase hay tres pelotas color gris, cuatro blancas y una con pintas.


2. Solución:a. El evento B de que “la pelota sea blanca” se

denota B = {b, b, b, b} (tiene cuatro resultados favorables) y la probabilidad del evento B es:

b. El evento C de que la pelota sea “con pintas” se denota C = {p} y la probabilidad del evento Ces:

4 18 2

P B

18

P C

Hallar la Probabilidad de que Ocurra un Evento2. Solución

c. El evento G de que la pelota “sea gris” se denota G = {g, g, g} y la probabilidad del evento G es

c. El evento , (se lee G complemento), de que la pelota “no sea gris” se denotaLa probabilidad del evento es:

38

P G

G , , , , .G b b b b p

G

58

P G

Hallar la Probabilidad de que Ocurra un Evento3. Solución

C = {p}

4. No, el evento “sea gris” no es un evento simple porque tiene tres resultados favorables.

Hallar la Probabilidad de que Ocurra un Evento• Ejemplo 2

– Considere el siguiente envase y contesta las preguntas:

1. ¿Cual es el espacio muestral?2. Si introduces la mano y sin mirar sacas una

pelota, describe cada evento y halla la probabilidad de que la pelota sea:a. con pintas b. blanca

Hallar la Probabilidad de que Ocurra un Evento• Solución1. El espacio muestral es S = {p, p, p}.2. Las probabilidades son:

a. El evento C de que la pelota sea “con pintas” se denota C = {p, p, p} y la probabilidad del evento C es:

b. El evento B de que la pelota “sea blanca” se denota B = { } y la probabilidad del evento B es

3 13

P C

0 03

P B


• La probabilidad de un evento seguro es 1, es decir, que se realiza siempre.– El número de los resultados favorables es igual

al número de resultados posibles.• La probabilidad de un evento imposible es 0,

es decir, nunca se realiza.– El número de resultados favorables es cero.

• Toda probabilidad está entre cero y uno, 0 ≤ P≤ 1.

• Mientras más cerca esté una probabilidad a 1, más propicio es que ocurra el evento.


• Ejemplo 3– En el envase hay pelotas de igual tamaño que

tienen un número y un color.

331

4

5 2


• Ejemplo 31. Describe el espacio muestral.2. Si una pelota es seleccionada al azar,

describe el evento y halla la probabilidad de que la pelota:

a. sea imparb. sea impar y grisc. sea impar o gris


• Solución1. S = {G1, G4, B2, B3, B5}2. La probabilidad:

a. Evento “sea impar” = {G1, B3, B5} y

b. Evento “sea impar y gris” = {G1} y

c. Evento “sea impar o gris” = {B3, B5, G1, G4} y

3sea impar .5

P

1sea impar y gris .5

P

4sea impar o gris5

P

Hallar la Probabilidad de que Ocurra un Evento• Ejemplo 4

– Experimento de lanzar al aire simultáneamente dos monedas de diferentes tamaños.

1. ¿Cuántos resultados son posibles?2. Escribe el espacio muestral S.3. Halla la probabilidad de obtener

a. al menos una cruz b. exactamente una cruzc. dos cruces

4. Nombra un evento simple.5. Si el experimento se realiza con dos monedas

iguales, ¿cambiará el espacio muestral?


• Solución1. Hay cuatro resultados posibles.2. S = {(C, c), (C, +), (+, c), (+, +)}3. La probabilidad es

3al menos una cruz4

P

2 1exactamente una cruz4 2

P

1dos cruces4

P

a.

b.

c.


4. El evento de “obtener dos cruces”, {(+, +)}, ya que tiene solamente un resultado favorable.– También es un evento simple “obtener dos

caras”, {(C, c)}.5. El espacio muestral será diferente al no

poder distinguir entre las monedas; será S = {(c, c), (c, +), (+, +)}.

Probabilidad Teórica y Probabilidad Empírica

• Hemos estudiado cómo asignar probabilidades a los eventos cuando tenemos resultados equiprobables.

• Estas probabilidades se obtienen por razonamiento lógico y se conocen como probabilidades teóricas o clásicas.– Están determinadas por la naturaleza del

experimento.– Por ejemplo, si se tira una moneda, hay dos

resultados posibles que tendrían la misma probabilidad.


• Las probabilidades de (frecuencia relativas (empíricas) están basadas en datos o muestras experimentales o históricas.

número de resultados favorablesnúmero total pruebas

fP En


• Ejemplos de probabilidad empírica• Ejemplo1

– Vamos a suponer que conduces el experimento de tirar una moneda 50 veces y anotas los resultados.

Resultado Conteo TotalCara IIII IIII IIII IIII II 22Cruz IIII IIII IIII IIII IIII III 28Total 50


• Ejemplo 1– Calcula las probabilidades empíricas:

22 280.44 y ( ) 0.5650 50

P C P


• Ejemplo 2 - Estudio– Una oficina de ayuda al estudiante realizó un

estudio donde 32 de una muestra de 150 estudiantes demostraron tener algún problema de aprendizaje.

• Si A es el evento “se selecciono un estudiante con algún problema de aprendizaje”, asígnale una probabilidad a este evento:


• Solución

32 0.213150

P A


• Ley de los grandes números– La probabilidad empírica es la frecuencia relativa,

mientras que la probabilidad teórica es la fracción que se obtiene de la definición de probabilidad.

– En el ejemplo 1 se lanzó una moneda 50 veces y como resultado se obtuvo cara 22 veces y cruz 28 veces.

– La probabilidad empírica del primer evento es 0.44 y la del segundo es 0.56, mientras que la probabilidad teórica de este experimento es ½para ambos eventos.


• La ley de los números grandes nos dice que si se repite un experimento un gran número de veces, la probabilidad empírica debe aproximarse a la probabilidad teórica.

• “A mayor número de experimentos, más cerca estará la probabilidad empírica a la probabilidad teórica”.


• Intuición– Un tercer método para asignar probabilidad

es intuición.• Un vendedor puede decir “hay un 40% de que

haga la venta en el próximo cliente”.• Un gerente puede decir basado en su experiencia

“hay un 60% de probabilidad de que los empleados decreten huelga”.

– Todo esto depende de la vasta experiencia de la persona.

Conceptos Básicos de Probabilidad• No importa como se asignen los valores de

probabilidad, las siguientes dos propiedades deben aplicarse:

1. Probabilidad es medida en una escala de 0a 1.

– Esto es digamos P(E) es siempre: 0 ≤ P(E) ≤ 1.– Si un evento es imposible asignamos 0 como su

probabilidad.– Un evento que es seguro que ocurra le

asignamos una probabilidad de 1.2. Las probabilidades de todos los eventos

simples dentro de un espacio muestral debe sumar a 1. Esto es, ∑ P(E) = 1.

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