Conceptos básicos del Cálculo de Probabilidades · Conceptos básicos del Cálculo de Probabilidades Departamento de Estadística e Investigación Operativa Aplicadas y Calidad

Unidad Didáctica 3

Conceptos básicos del Cálculo de Probabilidades

Departamento de Estadística e Investigación

Operativa Aplicadas y Calidad

DEIOAC – Estadística Fuente: Romero, R.; Zúnica, L. R. Métodos estadísticos en ingeniería. I.S.B.N 84-9705-727-9

UD 3 Conceptos básicos del Cálculo de Probabilidades

Esta presentación corresponde a la Unidad Didáctica 3 de la

asignatura, disponible en PoliformaT, y al capítulo 3 del libro

Métodos estadísticos para ingenieros.

La presentación se utilizará en clase para repasar los

contenidos teóricos de la unidad durante la primera sesión. La

mayor parte del tiempo de las otras dos sesiones se dedicará a

la resolución de problemas.


UD 3 - Conceptos básicos del Cálculo

de Probabilidades

� Sucesos

� Probabilidad: concepto y propiedades

� Probabilidad Condicional

� Independencia de sucesos

� Teorema de Bayes

DEIOAQ – Estadística Font: Romero, R.; Zúnica, L. R. Métodos estadísticos en ingeniería. I.S.B.N 84-9705-727-9

1.- Introducción

� Las técnicas descriptivas ya estudiadas son

insuficientes cuando lo que se pretende es obtener

conclusiones válidas (con razonable seguridad) sobre

la población en estudio Inferencia Estadística

� El Cálculo de Probabilidades constituye la base

sobre la cual se construye la Inferencia Estadística

es una parte perfectamente elaborada de las

matemáticas y se puede desarrollar de forma

completamente rigurosa sobre una base

axiomática. No obstante este no es el objetivo de

este tema ni de la asignatura

�


2 - Conceptos básicos del C. de P. : Sucesos

� Recordar:

� Población

� Variable

� E (Espacio muestral): conjunto de valores que puede tomar una determinada variable aleatoria

� A (Suceso): cualquier subconjunto A de E

� Ejemplos:

� Lanzamientos de un dado

� Jóvenes españoles entre 20 y 30 años



� Suceso seguro : es el asociado a E, que es un subconjunto de sí mismo. Para todos los individuos de la población se verifica dicho suceso

� Suceso imposible : es el asociado al subconjunto vacío øøøø de E. No contiene ninguno de los posibles valores de E, por lo que no existe individuo alguno en la población para el que se verifique dicho suceso imposible

� Suma o reunión de sucesos A y B : es un nuevo suceso C que se verifica si, y sólo si, se verifica al menos uno de los dos sucesos. La suma de dos sucesos A y B se expresa utilizando el signo + ( C = A + B )



� Producto o intersección de sucesos A y B : es un nuevo suceso C que se presenta si, y sólo si, se presentan tanto uno como el otro suceso. El producto de dos sucesos A y B lo representaremos como A.B , o bien simplemente como AB.

� Sucesos excluyentes: son aquellos cuya intersección es el suceso imposible øøøø.

� Suceso contrario o complementario: a uno dado A, es aquél que se verifica si, y sólo si, no se verifica A . Se le representa por No-A (o también por ). A



� Algunas direcciones web con aplicaciones didácticas

sobre probabilidad:

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Azar_y_probabilidad/index.htm#intro

http://www.educa.jcyl.es/educacyl/cm/gallery/recursos_atica/IES%20Campo%20Charro/portada.swf

http://students.brown.edu/seeing-theory/index.html#firstPage

Probabilidad condicional: http://setosa.io/conditional/

http://www.estadisticaparatodos.es/taller/montyhall/montyhall.html



� Autoevaluación: Sea la población constituida por todos los jóvenes españoles. Consideramos los siguientes sucesos:

A : ESTATURA mayor que 170 cms.

B : el individuo considerado es de sexo femenino.

*.- Definir los subconjuntos de individuos de la

población asociados a los siguientes sucesos:

A+B, AB, no-A . no-B, no-A + no-B, A . No-B

*.- ¿Cuál sería el suceso contrario de A + B?

*.- ¿Y el de A . B?



Sucesos:

A : ESTATURA mayor que 170 cms.

B : el individuo considerado es de sexo femenino

Jóvenes españoles entre 20 y 30 años

Población

DEIOAc– Estadística Fuente: Romero, R.; Zúnica, L. R. Métodos estadísticos en ingeniería. I.S.B.N 84-9705-727-9


CHICAS CHICOS

ESTATURA>170cm

ESTATURA≤170cm

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3 - Probabilidad: Concepto y Propiedades

� A todo suceso A se le puede asociar un número

comprendido entre 0 y 1 al que se denomina

probabilidad de dicho suceso, y se le representa por

P(A)

� Interpretación intuitiva: la probabilidad de un suceso

no es más que la proporción de individuos de la

población considerada en los que se verifica dicho

suceso

� Ejemplo P(“obtener un nº >3”)



� Caso particular:

� E es finito

� y por razones de simetría puede asumirse que laprobabilidad es la misma para cada uno de dichosvalores

� la probabilidad de un suceso coincide con elcociente entre el número de valores favorables adicho suceso y el número de valores posibles

� Autoevaluación: Si un dado es simétrico ¿cuál es laprobabilidad de obtener un número par al lanzarlo?¿Por qué?



� Autoevaluación: En la población de todos loslanzamientos que se pueden realizar con una chinchetaconsideramos la variable aleatoria cuyos valoresposibles son: 1 si la chincheta cae con la punta haciaarriba y 0 si la chincheta cae con la punta hacia abajo.Sea el suceso "la chincheta cae con la punta haciaarriba" y sea A su subconjunto asociado.

� ¿Cuántos elementos tiene E ?

� ¿Cuántos elementos tiene A?

� ¿Es la probabilidad de A el cociente entre casos favorables y casos posibles?

� ¿Cómo se podría calcular aproximadamente la P(A)?



� Teniendo en cuenta la definición dada antes para la

probabilidad de un suceso,

� ¿Cuánto vale la probabilidad del suceso seguro E?

� ¿Cuánto vale la probabilidad del suceso imposible øøøø?

� Dado un suceso A, ¿cuánto vale la probabilidad de no-A?

� Dados dos sucesos A y B, ¿cómo se puede expresar

P(A+B)?



� Propiedades de la Probabilidad:

1.- P(A)>= 0

2.- P(E)=1

3.- Si A y B son sucesos excluyentes:

P(A+B)= P(A)+P(B)

4.- P(Ac)=1-P(A)

5.- P(A)=< 1

6.- P(øøøø) =0

7.- P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

Axiomas



� Autoevaluación: Supóngase el experimento consistente

en lanzar simultáneamente dos dados que sean

perfectamente simétricos. ¿Cuál sería la probabilidad

del suceso A "en el primer dado se obtiene un 6" y la

del suceso B "en el segundo dado se obtiene un 6"?

� ¿Cuál sería el suceso A+B?

� ¿Sería su probabilidad mayor, menor o igual que 2/6?

� ¿Por qué?


4 - Probabilidad Condicional

� Dados dos sucesos A y B , la probabilidad de A

condicionado a B ,

P(A/B) , es la probabilidad de que se haya

presentado el suceso A sabiendo que se ha

presentado el suceso B

� P(A/B) será la proporción de individuos que verifican

el suceso A en la subpoblación constituida por los

individuos que verifican el suceso B

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� El cálculo de P(A/B) se puede obtener a partir de:

=( )

( / )( )

P A BP A B

P B

= =( ) ( ). ( / ) ( ). ( / )P A B P A P B A P B P A B

=( )

( / )( )

P B AP B A

P A



� Autoevaluación: Sea la población constituida por los

131 estudiantes que respondieron a la encuesta.

Responder a las siguientes cuestiones:

¿Cuál es en dicha población la probabilidad del suceso CHICA?

¿Cuál es la probabilidad del suceso PESO <= 55 ?

¿Cuál es la probabilidad del suceso

(PESO <= 55)/CHICA?

¿Cuál es la probabilidad del suceso

CHICA/(PESO <= 55) ?

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PESO

40-55 55-70 70-85 85-99

CHICAS 26 15 1 0 42

CHICOS 0 42 41 5 88

26 57 42 5 130

SE

XO



Frequency Table for SEXO by PESOCOD

Row40-55 55-70 70-85 85-99 Total-----------------------------------------------------

chicas | 26 | 15 | 1 | 0 | 42| 61,90% | 35,71% | 2,38% | 0,00% | 32,31%-----------------------------------------------------

chicos | 0 | 42 | 41 | 5 | 88| 0,00% | 47,73% | 46,59% | 5,68% | 67,69%-----------------------------------------------------

Column 26 57 42 5 130Total 20,00% 43,85% 32,31% 3,85% 100,00%

PESO/SEXO


4 - Probabilidad CondicionalFrequency Table for SEXO by PESOCOD

Row40-55 55-70 70-85 85-99 Total

-----------------------------------------------------chicas | 26 | 15 | 1 | 0 | 42

| 100,00% | 26,32% | 2,38% | 0,00% | 32,31%-----------------------------------------------------

chicos | 0 | 42 | 41 | 5 | 88| 0,00% | 73,68% | 97,62% | 100,00% | 67,69%-----------------------------------------------------

Column 26 57 42 5 130Total 20,00% 43,85% 32,31% 3,85% 100,00%

SEXO/PESO


5 - Teorema de la Probabilidad Total

� Dado un suceso B que se presenta siempre asociado a

uno de los n sucesos A1, A2, ..., An mutuamente

excluyentes en que se particiona E

� Se conocen: P(Ai), P(B/Ai)

� ¿ P(B) ?

P (B) = P (E B) = P (A1 B + ... + An B) =

= P (A1 B) + ... + P (An B) =

= P (A1) P (B / A1) + ... + P (An) P (B / An)


5 - Teorema de la Probabilidad Total

� Autoevaluación: En un fábrica de conservas se utilizan

dos llenadoras de botes. La primera, que tiene una

capacidad de 500 botes por hora, produce un 1% de

botes defectuosos y la segunda, cuya capacidad es

1000 botes/hora, produce un 2% de botes defectuosos.

� ¿A qué probabilidades condicionales corresponden losvalores 1% y 2%?

� ¿Si las dos máquinas funcionan a pleno rendimiento,

cuál será el porcentaje de botes defectuosos producidos

en total?


6 - Independencia de sucesos

� Dos sucesos A y B son independientes si se verifica

una de las siguientes condiciones equivalentes:

)()(=)(.8

)()(=)(.7

)()(=)(.6

)()(=)(.5

)/(=)/(.4

)(=)/(.3

)/(=)/(.2

)(=)/(.1

BPAPBAP

BPAPBAP

BPAPBAP

BPAPABP

ABPABP

BPABP

BAPBAP

APBAP

� Generalización a n sucesos � Para cualquier subconjunto de

sucesos se verifica que la probabilidad del producto de los sucesos

coincide con el producto de las probabilidades



� Autoevaluación: En una baraja española (40 cartas, 10de cada palo) sea el experimento aleatorio sacar unacarta al azar y considérense los sucesos siguientes:

A = sacar un as

B = sacar un oro

� Calcular: P(A), P(B), P(A/B), P(B/A), P(AB)

� ¿Son los dos sucesos independientes? Si se trata de

adivinar si ha salido un as ¿sirve para algo saber que ha

salido un oro? ¿Por qué?



� En el experimento aleatorio consistente en lanzar al azar un dado simétrico sean los sucesos:

A = obtener un número par

B = obtener un número mayor que 3

¿Son independientes los dos sucesos?



� Sea la población constituida por las 50 naranjas de una

caja, de las que el 10% están heladas. Se extrae una

primera naranja al azar y sea A el suceso "la naranja

está helada". Se extrae a continuación (sin volver a

reponer la primera naranja extraída) una segunda

naranja y sea B el suceso "la segunda naranja está

helada". Calcular:

� P(A), P(B), P(B/A), P(B/No-A) ¿Son los dos sucesos

independientes?


7 - Teorema de Bayes

� E está particionado en n sucesos A1, A2… An

mutuamente excluyentes

� Se conocen P(Ai), P(B/Ai)

� Se desea conocer P(Ak/B)

1

( ) ( ) ( / )( / )

( )( ) ( / )

k k kk n

i ii

P A B P A P B AP A B

P BP A P B A

=

= =∑


� Ejercicio 1: El 30% de los enfermos de hepatitis que

ingresan en un hospital tienen hepatitis obstructiva que

exige una intervención quirúrgica, mientras que el otro

70% tienen hepatitis infecciosa que puede curarse con

reposo y medicación. Para diferenciar entre las dos

situaciones, se realiza una prueba clínica que pude

resultar positiva o negativa. Se sabe que la probabilidad

que la prueba resulte positiva es 0,95 cuando los

enfermos tienen hepatitis obstructiva y 0,10 cuando la

tienen infecciosa.

⌦⌦⌦⌦ Sabiendo que en un enfermo la prueba ha dado

positiva, ¿cuál es la probabilidad de que tenga

realmente una hepatitis obstructiva?

Ejercicios


Ejercicios

A1:”Tener hepatitis obstructiva”

A2:”Tener hepatitis infecciosa”

B:”la prueba clínica resulta positiva”

P(A1)=0,3

P(A2)=0,7

P(B/A1)=0,95

P(B/A2)=0,1

⌦⌦⌦⌦Sabiendo que en un enfermo la prueba ha dado positiva, ¿cuál es

realmente la probabilidad de que tenga realmente una hepatitis

obstructiva? (P(A1/B)) Aplicando el Teorema de Bayes………

SUCESOS

PROBABILIDADES

= = =+

1 11

( ) ( / ) 0,3 0,95( / ) 0,8

( ) 0,3 0,95 0,7 0,1

P A P B A xP A B

P B x x


⌦⌦⌦⌦Supongamos que en el hospital se producen unos 150

ingresos anuales por hepatítis, y se opera a todos los

enfermos que dan positivo en la prueba clinica.

A) ¿Cuántos diagnósticos erróneos se producirán en

promedio anualmente?

B) ¿Cuántas operaciones innecesarias se producirán

anualmente?

Ejercicios


Ejercicios

⌦⌦⌦⌦ Si la prueba da negativa en un enfermo, ¿cuál es a

pesar de eso la probabilidad de que realmente tenga

una hepatitis obstructiva?


� Autoevaluación: En un fábrica de conservas utilizan dos

máquinas llenadoras de botes. La primera, tiene una

capacidad de 500 botes por hora, produce un 1% de

botes defectuosos y la segunda, con una capacidad de

1000 botes/hora, produce un 2% de botes defectuosos.

� ¿A qué probabilidades condicionales corresponden los

valores 1% y 2%?

� ¿Si las dos máquinas funcionan a pleno rendimiento,

cuál será el porcentaje de botes defectuosos producidos

en total?

Recordamos….

Ejercicios


� Ejercicio 2: Se selecciona un bote de la producción

final y se constata que es defectuoso.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que proceda de la

primera de las dos máquinas?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que proceda de la segunda máquina?

Ejercicios


� Ejercicio 3: Calcular la probabilidad de obtener al

menos un seis en seis lanzamientos de un dado.

Ejercicios


K

1

2

1 32 K

Tengo en cuenta que…..

MONTAJES EN SERIE

Si las K componentes de un dispositivo electrónico se montan en serie, el dispositivo falla cuando falla cualquiera de las componentes

MONTAJES EN PARALELO

Si las K componentes de un sistema se montan en paralelo, el dispositivo funciona mientras funcione al menos una de las K componentes

Ejercicios


� Ejercicio 4: Ejercicio de Fiabilidad de componentes

Un dispositivo está formado por tres componentes

diferentes CA, CB y CC montadas tal como refleja el

siguiente esquema:

(Se asume que un dispositivo formado por componentes en

serie funciona sólo si lo hacen todas las componentes,

mientras que uno en paralelo lo hace si funciona al menos

una de las componentes)

CA CB

CC

Ejercicios


Sean los sucesos:

· A: componente CA funciona correctamente tras 1000 horas

· B: componente CB funciona correctamente tras 1000 horas

· C: componente CC funciona correctamente tras 1000 horas

a). Expresar el suceso {Dispositivo continua funcionando al

cabo de 1000 horas} a partir de A, B y C

b). Sabiendo que P(A)=P(B)=P(C)=0.95, calcular la

probabilidad que el dispositivo funcione correctamente

al menos 1000 horas, indicando las hipótesis realizadas

para el cálculo

Ejercicios


� Ejercicio 5: El 50% de la población trabajadora de

cierta comarca se dedica al sector de servicios, el 12%

a la construcción, el 3% al sector primario y el resto al

sector industrial. La tasa de desocupación en el sector

primario es del 10%, en el sector industrial del 28%, en

la construcción del 30% y en el de servicios del 18,6%.

a) Calcular el porcentaje de parados en la población

b) Calcular el porcentaje de parados que pertenecen al

sector industrial

Ejercicios


� Ejercicio 6: Una empresa que se dedica a la

fabricación de CD’s, produce un 15% de defectuosos y

dispone de tres líneas de producción. La línea A produce

1000 CD’s; la línea B, 1200 CD’s por hora y la línea C,

1250 CD’s por hora. Las proporciones de CD’s

defectuosos en cada línea se desconocen. En un estudio

sobre los CD’S defectuosos, se ha constatado que el

30% proceden de la línea A y el 35% de la B. Señalar

cuál/es de las siguientes afirmaciones es/son falsa/as.

Justifica todas tus respuestas.

Ejercicios


a) La proporción de CD’s defectuosos de la línea A es del

15.5%

b) La proporción de CD’s defectuosos de la línea B es del

15.1%

c) La proporción de CD’s defectuosos de la línea C es del

14.5%

d) La proporción de CD’s correctos y fabricados por la

línea A es del 85%

e) La proporción de CD’s correctos es del 85%

Ejercicios


Ejercicios� Ejercicio 7: En un proceso de fabricación de

componentes electrónicos utilizan dos líneas de

producción diferentes L1 y L2. La línea L2 tiene el doble

de capacidad que la línea L1. Desgraciadamente ambas

líneas producen componentes defectuosos. La línea L1

produce 0,2% de componentes defectuosos y la L2

0,5%.

� Si las dos líneas de fabricación funcionan a pleno

rendimiento, ¿qué porcentaje de componentes

defectuosos se generan?

� En cierto instante el proceso detecta un componente

defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que el

componente proceda de la línea L2?


Ejercicios

� ¿Cuál es el porcentaje de componentes correctos

fabricados en total por las líneas L1 y L2?

� ¿Cuál es la proporción de componentes defectuosos y

fabricados por la línea L1?

� ¿Cuál es la proporción de componentes defectuosos y

fabricados por la línea L2?

� Se ha tomado al azar un componente y ha resultado

correcto, ¿cuál es la probabilidad que proceda de la

línea L1? Y de la línea L2?


� Ejercicio 8: Un dispositivo está formado por cuatrocomponentes diferentes CA, CB, CC y CD montadas talcomo refleja el siguiente esquema:

Se conoce que la fiabilidad de las componentes CA, CB y

CC es del 80% a las 5000 horas, mientras que la fiabilidad

de la componente CD es del 95% a las 5000 horas.

Obtener la fiabilidad del dispositivo a las 5000 horas de

funcionamiento.

Ejercicios

CA

CC

CDCB


Ejercicios

� Ejercicio 9: Sean dos sucesos A y B. Se conoce que:

P(A)= 0,7 ; P(B)=0,6 ;

¿Son independientes los sucesos A y B? Justifica tu

respuesta.

+ = 0, 58 P(A B)


Ejercicios

� Ejercicio 10: En cierta área de investigación hay dos

empresas (A y B) que se dedican a proporcionar

software. La empresa A proporciona el 60% mientras

que la B suministra el 40% de la producción total del

software específico. Por estudios realizados, se conoce

que el 85% del software suministrado por la empresa A

se ajusta a la normativa de calidad establecida,

mientras que sólo el 65% del suministrado por la

empresa B se ajusta a las normas.

Calcular la probabilidad de que cierto software lo

haya proporcionado la empresa A si se sabe que se

ajusta a las normas.

DEIOAC – Estadística Fuente: Romero, R.; Zúnica, L. R. Métodos estadísticos en Ingeniería. I.S.B.N 84-9705-727-9

� Fuentes: R. Romero y L. Zúnica: “Métodos Estadísticos en Ingeniería”

� Estas transparencias NO son unos apuntes, constituyen un guión de las explicaciones hechas en clase con algunos ejemplos adicionales.

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