5. cálculo de probabilidades

MÉTODOS ESTATÍSTICOSMÉTODOS ESTATÍSTICOS

E NUMÉRICOSE NUMÉRICOS

IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.

CÁLCULO DE PROBABILIDADES

UNIDADE 5UNIDADE 5

ÍNDICEÍNDICE


ConceptosConceptos

1. Introdución histórica da probabilidade.2. Experimentos aleatorios. Espazo mostral.3. Suceso aleatorio.4. Distintos tipos de sucesos.5. Operacións con sucesos.6. Sistema completo de sucesos.7. Experimentos compostos.8. Lei dos grandes números. Idea intuitiva de

probabilidade.9. Definición clásica de probabilidade.10. Definición axiomática de probabilidade.

Propiedades.11. Probabilidade da unión de sucesos.


Século XVI:Cardano comenta intuitivamente o concepto de equiprobabilidade (“os resultados de cada cara no lanzamento dun dado son equiprobables”).

1. Introdución histórica:1. Introdución histórica:O concepto de probabilidade xorde asociado ós xogos de O concepto de probabilidade xorde asociado ós xogos de azar.azar.


Galileo Galilei resolve problemas asociados ó xogo dos dados (“ no lanzamento simultáneo de tres dados , que é máis probable, obter unha suma de puntos igual a 9 ou igual a 10?”).

1. Introdución histórica1. Introdución histórica


Século XVII:

Pascal e Fermat (a través da correspondencia mantida entre eles ) abordan distintos problemas relacionados cos xogos de azar e formulados polo cabaleiro de Meré (“como debera repartirse o diñeiro das apostas depositado na mesa, se os xogadores se viran obrigados a interromper a partida?”).



Pascal

Fermat



Jacob Bernoulli introduce a idea da probabilidade a partir da lei de estabilidade das frecuencias.



Século XVIII:

Laplace afondou no problema da asignación de probabilidades.



Século XX:

Kolmogorov axiomatizou o concepto intuitivo de probabilidade.



2. Experimentos aleatorios. Espazo mostral.2. Experimentos aleatorios. Espazo mostral.

Considera os seguintes experimentos e contesta a esta pregunta:O resultado é sempre o mesmo se se realiza en similares circunstancias, ou pola contra, aínda sabendo os resultados posibles, en circunstancias similares, non podemos dar de antemán un resultado concreto?


Extraer unha carta da baralla española.

2. Experimento aleatorio. Espazo mostral2. Experimento aleatorio. Espazo mostral


Lanzar dous dados e anotar a suma dos puntos das súas caras superiores.


8


Lanzar unha moeda e anotar o resultado que apareza.



Abrir unha guía telefónica ó chou e anotar o nome e nº de teléfono que apareza de primeiro na páxina da esquerda.



Guindar unha pedra ó baleiro dende a pirámide de Giza e anotar a súa aceleración.



Medir a superficie dun círculo de raio 3



Quitar o freo de man dun coche nunha costa empinada.



Abrir as comportas dun encoro cheo.



Encher un globo aerostático con aire quente e observar o que acontece.



Como podes ver os experimentos:Guindar unha pedra ó baleiro dende a pirámide de Giza e anotar a súa aceleración.Medir a superficie dun círculo de radio 3Quitar o freo de man dun coche nunha costa empinada.Abrir as comportas dun encoro cheo.Encher un globo aerostático con aire quente e observar o que acontece.

Corresponden a experimentos nos que sempre obtemos o mesmo resultado en similares circunstancias. Chámanse experimentos deterministas.



Por outra banda, nos experimentos:Extraer unha carta da baralla española.Lanzar dous dados e anotar a suma dos puntos das súas caras superiores.Lanzar unha moeda e anotar o resultado que apareza.Abrir unha guía telefónica ó chou e anotar o nome e nº de teléfono que apareza de primeiro na páxina da esquerda.

Pese a coñecer os seus posibles resultados, en circunstancias similares, somos incapaces de decidir de antemán o resultado concreto. Chámanse experimentos aleatorios.



Espazo mostral.Chamaremos espazo mostral, E, dun experimento aleatorio ó conxunto de tódolos resultados posibles do experimento.

Cada un dos elementos que forman o espazo mostral chámase punto mostral.



Exemplos:1. No experimento aleatorio “Extraer unha carta

da baralla española” o espazo mostral é o conxunto formado polas 40 cartas que forman a baralla, e cada carta é un punto mostral.

2. No experimento aleatorio “Lanzar unha moeda e anotar o resultado” o espazo mostral é o conxunto formado polos dous resultados posibles que chamamos cara C e cruz X. Cada un deles é un punto mostral.

E={C, X}



3. No experimento aleatorio “Lanzar dúas moedas ó aire e anotar os resultados” podemos recorrer a un diagrama de árbore para atopar o seu espazo mostral:

1º tirada

C X

C X C X

CC CX XC XX

2ª tirada



4. No experimento aleatorio “lanzar un dado e anotar o nº de puntos da cara superior” o espazo mostral sería:

E={1, 2, 3, 4, 5, 6}e cada resultado é un punto mostral.

5. No experimento aleatorio “lanzar dous dados e anotar a suma dos puntos das caras superiores” hai que ter en conta que a suma menor que poderiamos obter é 1+1=2 e a máis elevada 6+6=12, polo que o espazo mostral sería:

E={2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} e cada posible resultado é un punto mostral.



3. Suceso aleatorio.3. Suceso aleatorio.

Chámase suceso dun experimento aleatorio a cada un dos subconxuntos do espazo mostral. O conxunto de tódolos sucesos dun experimento chámase espazo de sucesos e desígnase por S.

Nota: Suceso é algo que pode acontecer ó realizar un experimento aleatorio


Exemplos:No experimento aleatorio “lanzar un dado e anotar o resultado da cara superior” estudiaremos algúns sucesos como:Suceso “saír par” : este suceso acontece se ó realizar o experimento sacamos un 2, un 4 ou un 6; por este motivo dito suceso tamén se pode escribir como o conxunto {2, 4, 6}Suceso “saír impar”: este suceso acontece se ó realizar o experimento sacamos un 1, un 3 ou un 5; por este motivo dito suceso tamén se pode escribir como o conxunto {1, 3, 5}

3. Suceso aleatorio3. Suceso aleatorio


Suceso “saír múltiplo de tres”:este suceso acontece se ó realizar o experimento sacamos un 3 ou un 6; por este motivo dito suceso tamén se pode escribir como o conxunto {3, 6}Suceso “saír múltiplo de cinco”:este suceso acontece se ó realizar o experimento sacamos un 5; por este motivo dito suceso tamén se pode escribir como o conxunto {5} Suceso “saír número primo”:este suceso acontece se ó realizar o experimento sacamos un 2, un 3 ou un 5; por este motivo dito suceso tamén se pode escribir como o conxunto {2, 3, 5}



Se o espazo mostral E ten n elementos, o espazo de sucesos S ten 2n elementos.

Exemplo:No experimento aleatorio “lanzar unha moeda e anotar o resultado” o espazo mostral é E={C, X}, e ten 2 elementos; mentras o espazo de sucesos ten 22 =4 elementos:

“saír cara” {C}“saír cruz” {X}“saír cara ou cruz” {C,X}“non saír nin cara nin cruz”

Ø

S { {C}, {X}, {C,X}, Ø }



Verificación dun suceso.

Consideremos o experimento aleatorio “lanzar un dado e anotar o resultado da cara superior” e o suceso “saír un número impar” ({1, 3, 5}). Dicimos que este suceso se verifica se ó efectuares o experimento obtemos de feito como resultado un 1, un 3, ou un 5. Pola contra se obtemos 2, 4, ou 6 diremos que non se verifica.En xeral, diremos que un suceso A se verifica se ó efectuarmos unha proba do experimento aleatorio obtemos como resultado un dos puntos mostrais do suceso A.



4. Distintos tipos de sucesos.4. Distintos tipos de sucesos.

Suceso elemental: é un suceso formado por un só punto mostral. Formado por un só resultado.Suceso composto: é aquel que está formado por dous ou máis puntos mostrais. Formado por varios resultados.Suceso certo ou seguro:é aquel que sempre se realiza. Formado por tódolos resultados posibles. É o propio espazo mostral E.Suceso imposible: é aquel que nunca se realiza. Desígnase por Ø.


Exemplo:No experimento aleatorio “Extraer unha carta da baralla española” son sucesos elementais: “sacar o as de ouros” , “sacar a sota de copas”

4. Distintos tipos de sucesos4. Distintos tipos de sucesos


Son sucesos compostos:

“sacar un as” “sacar ouro”



O suceso seguro sería “sacar calquera carta da baralla española”

Un suceso imposible sería “sacar un as da baralla inglesa”



Sucesos contrarios.Dado un suceso A do espazo de sucesos S, chamamos suceso contrario do suceso A, e desígnase por , a un suceso que se verifica cando non se verifica A e reciprocamente.O suceso contrario ó suceso certo é o suceso imposible, é dicir, Reciprocamente

A

ØEEØ



Exemplo: No experimento aleatorio “lanzar un dado e anotar o resultado da cara superior” son contrarios entre outros:

“saír par” A={2, 4, 6} “saír impar” ={1,3,5}

“saír múltiplo de 3”B={3, 6}

“non saír múltiplo de 3” ={1, 2, 4, 5}

“saír nº primo” C={2, 3, 5}

“saír 1 ou nº composto” ={1, 4, 6}

Suceso imposible, D=Ø Suceso seguro = =E={1, 2, 3, 4, 5, 6}

A

B

C

D Ø



5. Operacións con sucesos.5. Operacións con sucesos.

Dados dous sucesos A e B do mesmo experimento aleatorio, pódense definir as seguintes operacións:

Unión de sucesos: é o suceso que se realiza cando se realiza A ou B e está formado polos puntos mostrais de A e de B.

Nota: Tomamos os resultados do experimento que están en calquera dos dous sucesos.

Intersección de sucesos: é o suceso que se realiza cando se realizan simultaneamente os sucesos A e B, e está formado polos puntos mostrais comúns ós dous sucesos A e B.

Nota: Tómanse os resultados do experimento que están nos dous sucesos ó mesmo tempo.


Exemplo:

Dado o experimento “extraer unha carta da baralla española”. Consideramos os sucesos:A =“saír ouro” B = “saír as” C = “saír rei de copas ou as de espadas”.

Interpretar os sucesos : CBCABACBCABA ,,,,,

5. Operacións con sucesos5. Operacións con sucesos


A A=“saír ouro” A={as de ouros, 2 de ouros, 3 de ouros,…,7 de ouros, sota de ouros, cabalo de ouros, rei de ouros}

B B=“saír as” B={as de ouros, as de bastos, as de copas, as de espadas}

C C=“saír rei de copas ou as de espadas”

C={rei de copas, as de espadas}

AUB AUB=“saír ouro ou as” AUB={as de ouros, 2 de ouros,…,rei de ouros, as de bastos, as de copas, as de espadas}

AUC AUC=“saír ouro ou rei de copas ou as de espadas”

AUC={as de ouros, 2 de ouros,…, rei de ouros, rei de copas, as de espadas}

BUC BUC=“saír as ou rei de copas ou as de espadas”=“saír as ou rei de copas”

BUC={as de ouros, as de bastos, as de copas, as de espadas, rei de copas}

A B A B=“saír ouro e as”=“saír as de ouros”

A B={as de ouros}

A C A C=“saír ouro e, rei de copas ou as de espadas”=Ø

A C=Ø

B C B C=“saír as e, rei de copas ou as de espadas”=“saír as de espadas”

B C={as de espadas}



Leis de Morgan:Dados dous sucesos calquera, verifícase:

BABA

BABA



Sucesos incompatibles.Se =Ø entón A e B son sucesos incompatibles.Se ≠Ø entón A e B son sucesos compatibles.

Nota: Os sucesos contrarios son sucesos incompatibles

BA

BA



Exemplo:No experimento aleatorio “lanzar un dado e anotar o resultado da cara superior” os sucesos:

A=“saír múltiplo de 5”={5}B=“saír múltiplo de 3”={3, 6}

son incompatibles poisPor outra banda A e o suceso:

C=“saír número primo”={2, 3, 5}son compatibles pois “saír múltiplo de 5 e primo”={5}

ØBA

BA



6. Sistema completo de sucesos6. Sistema completo de sucesos

Dise que os sucesos constitúen un espazo completo de sucesos para un determinado experimento aleatorio, se verifican:

1)

2) son incompatibles dous a dous.

Nota: Dous sucesos contrarios constitúen sempre un sistema completo de sucesos

nAAA ,...,, 21

EAAA n ...21

nAAA ,...,, 21


Exemplo:No experimento “extraer unha carta da baralla española” constitúen sistemas completos de sucesos, por exemplo:

1. Os sucesos “saír ouros”, “saír bastos”, “saír copas” e “saír espadas”.

2. Os sucesos “saír as”, “saír 2”, “saír 3”,…,”saír sota”, “saír cabalo”, “saír rei”

6. Sistema completo de sucesos6. Sistema completo de sucesos


7. Experimentos compostos.7. Experimentos compostos.

Chamamos experimentos compostos a aqueles que están formados por varios experimentos aleatorios simples encadeados.

Chamamos espazo composto ou espazo produto ó espazo mostral dun experimento composto.Nota: Para calcular o espazo mostral dun experimento composto é moi útil empregar diagramas de árbore.


Exemplo:Dado o experimento composto “lanzar unha moeda ó aire e, deseguido, lanzar un dado anotando ámbolos dous resultados”, calcular o espazo composto

7. Experimento composto7. Experimento composto


Lanzar moeda

C X

1 2 3 1 2 34 5 6 4 5 6

(C,1) (C,2) (C,3) (C,4) (C,5) (C,6) (X,1) (X,2) (X,3) (X,4) (X,5) (X,6)

Lanzar dado Lanzar dado

7. Experimento composto7. Experimento composto


8. Lei dos grandes números. Idea intuitiva de 8. Lei dos grandes números. Idea intuitiva de probabilidade.probabilidade.

Jacob Bernoulli(1654-1705) definiu a probabilidade dun suceso mediante a lei dos grandes números que di:

“A frecuencia relativa dun suceso tende a estabilizarse en torno a un número, a medida que o número de probas do experimento medra indefinidamente. A este número chamámolo probabilidade do suceso.”


Exemplo:

No portal educativo do instituto de estatística de Canarias atopamos este exemplo práctico cunha ruleta

8. Lei dos grandes números8. Lei dos grandes números


Esta definición presenta un gran inconveniente de tipo práctico: para calcular a probabilidade dun suceso é necesario realizar un gran número de probas para obter ese número ó que se aproximan as frecuencias relativas; ademais sempre será un valor aproximado.

8. Lei dos grandes números8. Lei dos grandes números


9. Definición clásica de probabilidade9. Definición clásica de probabilidade

Pierre Simon Laplace(1749-1827) definiu probabilidade da seguinte maneira:

A probabilidade dun suceso A é o cociente entre o número de casos favorables do suceso A e o nº de casos posibles do experimento aleatorio.

posiblescasosdenúmero

AsucesodofavorablescasosdenúmeroAp )(


Os casos posibles son tódolos resultados do experimento aleatorio, é dicir, o nº de elementos do espazo mostral.

Os casos favorables son os que compoñen o suceso A.

Nota: Para empregar esta fórmula os sucesos elementais deben ser igualmente probables.



Exemplo 1:Nun sorteo ordinario da lotería nacional hai 12 series de 100.000 billetes e de cada billete fanse 10 fraccións, os chamados décimos. Chámase premio especial a un premio que se asigna a un só décimo do número que obtivo o primeiro premio.



Se compramos un décimo:

a. Cal é a probabilidade de obter o primeiro premio?.b. Cal é a probabilidade de obter o premio especial?.c. Cal é a probabilidade de obter o reintegro?.



O experimento aleatorio consiste en “extraer ó chou un número entre 100.000” e todos eles teñen as mesmas posibilidades de saír (todos os resultados son equiprobables) polo que podo empregar a regra de Laplace.


posiblescasosdenúmero

AsucesodofavorablescasosdenúmeroAp )(


a.

casos favorables=1 (o nº comprado)casos posibles=100.000 (os números sorteados)

b.

casos favorables=1 (o décimo comprado)casos posibles=12x100.000x10 (12 series de 100000 billetes cada unha e cada billete formado por 10 décimos)

000.100

1

posibles casos

favorables casos)premio" primeiro oobter p("

10000.10012

1

posibles casos

favorables casos)especial" premio oobter p("



c.

– casos favorables=3 (cifra das unidades do nº premiado e dous números elixidos ó chou (cifras do 0 ó 9)

– casos posibles =10 (cifras do 0 ó 9)

10

3

posibles casos

favorables casos)reintegro"obter p("



Exemplo 2:Para facer unha aposta na lotería primitiva hai que marcar con cruces 6 números no primeiro bloque, onde figuran números do 1 ó 49.



Se realizas unha aposta:

Cal será a probabilidade de acertar os 6 números?

Cal será a probabilidade de acertar 5 números?.

Cal será a probabilidade de acertar 3 números?



O experimento aleatorio consiste na extracción de 6 números entre 49. Os distintos grupos de 6 números que podo obter son igualmente probables, polo que podo empregar a regra de Laplace.



Os casos posibles son o total de resultados do experimento aleatorio. Os grupos de seis números obtidos na extracción diferéncianse entre si nos elementos pero non na orde de extracción, e ademais, non se repiten, polo que se trata de combinacións ordinarias ou sen repetición de 49 elementos tomados 6 a 6.

816.983.13!649!6

!49

6

49Cposibles casos 6

49



a.

casos favorables=1 (a aposta feita)

b.

casos favorables= os grupos de 5 números sen repetir, e sen importar a orde, que podes formar cos 6 números da túa aposta = C6

5=

816.983.13

11

posibles casos

favorables casos)acertos" p("6

649

C

816.983.13

6

posibles casos


649

56

C

C

6!56!5

!6

5

6



c.

casos favorables=os grupos de 3 números sen repetir, e sen importar a orde, que podes formar cos 6 números da túa aposta = C6

3=

816.983.13

20

posibles casos


649

36

C

C

20!36!3

!6

3

6



10. 10. Definición axiomática de probabilidade. Definición axiomática de probabilidade. Propiedades.Propiedades.

Andrei Kolmogorov (1903-1987) é o creador da teoría axiomática da probabilidade e define probabilidade inspirándose nas propiedades das frecuencias relativas, para traballar en aqueles experimentos aleatorios nos cales os sucesos elementais non son igualmente probables.

Chámase probabilidade a unha lei que asocia a cada suceso A, do espazo de sucesos dun experimento aleatorio, un número real que chamamos probabilidade de A ( representámolo por p(A)) e que cumpre os seguintes axiomas:

1. , sendo A calquera suceso do espazo de sucesos.

2. p(E)=1, a probabilidade do suceso seguro é sempre 1.

3. Sexan A e B dous sucesos incompatibles:

0)( Ap

BpApBAp )(


Consecuencias da definición axiomática de probabilidade.1. Se é o suceso contrario a A entón: 2. Ø é o suceso imposible, entón p(Ø)=0. 3. Se , entón 4. ,para calquera suceso A.

A ApAP 1)(

BA BpAP )(

1Ap

10. Definición axiomática de probabilidade10. Definición axiomática de probabilidade


Exemplo: Considera o experimento aleatorio “lanzar tres moedas e anotar o nº de caras obtidas”.Calcula:

a. Probabilidade de obter dúas carasb. Probabilidade de obter polo menos

unha cara.c. Probabilidade de obter polo menos

dúas caras.



O espazo mostral deste experimento aleatorio sería:

E={0, 1, 2, 3}pero as probabilidades dos sucesos elementais “non saír cara”, “saír 1 cara”, “saír 2 caras”, “saír 3 caras” non son iguais.

Pensemos que pasa cando tiro 3 moedas:



1ª tirada1ª tirada

CC XX

CC XX CC XX

CC XX CC XX CC XX CC XX

CCCCCC CCXCCX CXCCXC CXXCXX XCCXCC XCXXCX XXCXXC XXXXXX

2ª tirada

3ª tirada



A vista deste esquema onde os 8 resultados si son equiprobables, e empregando a Regra de Laplace concluímos:

p(“non saír cara”)=1/8p(“saír 1 cara”)=3/8p(“saír 2 caras”)=3/8 (apartado a. do exercicio)p(“saír 3 caras”)=1/8



b. Para calcular a probabilidade de obter polo menos unha cara imos recorrer á primeira consecuencia da definición axiomática de Kolmogorov

No noso caso:p(“obter polo menos 1 cara”)=1-p(“non obter cara”)=

=1-1/8=7/8

ApAP 1)(



c. Para calcular a probabilidade de obter polo menos dúas caras imos recorrer ó terceiro axioma de Kolmogorov.

Sexan A e B dous sucesos incompatibles:

“Obter a lo menos 2 caras”=“Obter 2 ou 3 caras”=“Obter 2 caras”U”Obter 3 caras”sendo os sucesos “Obter 2 caras” e “Obter 3 caras” incompatibles.

BpApBAp )(



Polo tanto:p(“saír polo menos 2 caras”)=P(“saír 2 caras”)+p(“saír 3 caras”)=3/8+1/8=4/8=1/2



11. Probabilidade da unión de sucesos11. Probabilidade da unión de sucesosSucesos incompatibles.Sucesos incompatibles.

Un dos axiomas de probabilidade di que se dous sucesos A e B son incompatibles cumprirase que

En xeral se son sucesos incompatibles dous a dous cúmprese:

BpApBAp )(

nAAA ,...,, 21

nn ApApApAAAP ...)...( 2121


Sucesos compatibles.

Exemplo: Consideramos o experimento aleatorio “lanzar un dado e anotar o resultado da cara superior” cuxo espazo mostral é

E={1, 2, 3, 4, 5, 6} .

Considero os sucesos :A=”obter nº impar”={1, 3, 5} B=”obter nº primo” ={2, 3, 5} con probabilidades

Estes sucesos son compatibles pois

2

1

6

3Ap

2

1

6

3Bp

Ø5,3 BA

11. Probabilidade da unión de sucesos11. Probabilidade da unión de sucesos


AB=”Obter nº impar ou nº primo”= {1, 2, 3, 5}

AB=”Obter nº impar e nº primo”= {3, 5}

Vemos que

En xeral, se A e B son dous sucesos compatibles, dun experimento aleatorio, pódese dicir que:

Se temos tres sucesos A, B e C compatibles dous a dous:

BApBpApBAp

6

4BAp

6

2BAp

6

2

6

3

6

3

6

4

CBApCBpCApBApCpBpApCBAp

BApBpApBAp



Vexamos agora gráficamente a razón da fórmula da probabilidade de dous sucesos compatibles.

Nota: Esta aplicación gráfica foi obtida do banco de imaxes do ITE.


Education

5. cálculo de probabilidades