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Concurso Da Petrobrás 2014
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CONCURSO DA PETROBRÁS 2014
Engenheiro de Equipamentos Júnior – Mecânica
Aula de Mecânica dos Fluidos (08/10/2014)
Autor: Gleryston Thiago Gomes da Silva
BLOCO I:
- Propriedades e natureza dos fluidos;
- Hidrostática;
- Equações constitutivas da dinâmica dos fluidos;
-Escoamento em tubulações;
- Noções de escoamento compressível em bocais;
-Analise dimensional e relações de semelhança;
1. INTRODUÇÃO
A mecânica dos fluidos é a parte da física que estuda o efeito de forças em
fluidos. Os fluidos em equilíbrio estático são estudados pela hidrostática e os fluidos
sujeitos a forças externas diferentes de zero são estudados pela hidrodinâmica.
1.1 PROPRIEDADES E NATUREZA DOS FLUIDOS
A seguir serão definidas algumas propriedades dos fluidos que são importantes
para o estudo do escoamento em Máquinas Hidráulicas.
a) Massa Específica (ρ) [kg/m³]
É a quantidade de massa de fluido por unidade de volume.
b) Volume Específico (v) [m³/kg]
É o volume ocupado por unidade de massa. É igual ao inverso da massa específica e
tem particular importância no estudo de escoamento de fluidos compressíveis.
c) Peso Específico (γ) [kgf/m³]
É a razão entre o "peso" e o volume do fluido, ou mais corretamente: a força, por
unidade de volume, exercida sobre uma massa específica submetida a uma aceleração
gravitacional.
d) Densidade (d) [adimensional]
É a razão entre a massa específica de um fluido e a massa específica de um fluido de
referência (água, no caso líquido ou ar, no caso de gás) em condições padrão (pressão
atmosférica ao nível do mar e temperatura de aproximadamente 20ºC).
e) Viscosidade
- Absoluta ou Dinâmica (μ) [kg/ms] É a medida da resistência ao escoamento do fluido,
ou seja, a razão entre a tensão de cisalhamento (ou força de coesão entre as camadas
adjacentes de fluidos) e a razão de mudança da velocidade perpendicular a direção do
escoamento.
- Cinemática (ν) [m²/s] É a razão da viscosidade absoluta pela massa específica do
fluido.
Obs.: A viscosidade dos fluidos depende fortemente da temperatura.
f) Pressão (P) [N/m²] É definida como a razão entre a componente normal de uma força e a área sobre a qual
ela atua. A pressão exercida em um elemento de área de um fluido é igual em todas as
direções. Para que ocorra o escoamento de um fluido de um ponto até o outro é
necessário que haja uma diferença de pressão. Podem ser do tipo:
- Pressão Absoluta (Pabs): medida com relação à pressão zero absoluto.
- Pressão Manométrica (Pman): medida com relação à pressão atmosférica local.
- Pressão Atmosférica Padrão (Patm): é a pressão média ao nível do mar.
Relação de Pressões: Pabs = Pman + Patm
g) Temperatura (T) [ºC]
Pode ser definida, a grosso modo, como a propriedade que mede o grau de aquecimento
ou resfriamento de um sistema. A temperatura aponta o sentido de transferência de
energia na forma de calor, que flui dos corpos de alta temperatura para os de baixa
temperatura.
Obs.: No estudo das Máquinas Hidráulicas, considera-se quase sempre o fluido, no
caso da água, como líquido perfeito (ideal), isto é, incompressível, perfeitamente móvel
e sem viscosidade. Não havendo forças resistentes de atrito interno, as forças exteriores
a que o líquido é submetido são equilibradas apenas pelas forças de inércia. Admite-se
também que o líquido possua isotropia perfeita, isto é, que as suas propriedades
características ocorrem do mesmo modo, independentemente da direção segundo a
qual são consideradas.
PROBLEMAS - Propriedades dos Fluidos.
1.3 HIDROSTÁTICA
Hidrostática é o ramo da Física que estuda a força exercida por e sobre líquidos
em repouso. Este nome faz referência ao primeiro fluido estudado, a água, é por isso
que, por razões históricas, mantém-se esse nome. Fluido é uma substância que pode
escoar facilmente, não tem forma própria e tem a capacidade de mudar de forma ao ser
submetido à ação de pequenas forças. A palavra fluido pode designar tanto líquidos
quanto gases.
Ao estudar hidrostática é de suma importância falar de densidade, pressão,
Princípio de Pascal, empuxo e o Princípio Fundamental da Hidrostática.
Princípio Fundamental da Hidrostática
Também chamado de Princípio de Stevin, diz que:
“A diferença de pressão entre dois pontos do mesmo líquido é igual ao produto da
massa específica (também chamada de densidade) pelo módulo da aceleração da
gravidade local e pela diferença de profundidade entre os pontos considerados”.
Simbolicamente podemos escrever:
Onde d é a densidade do líquido, g é o módulo da aceleração da gravidade local e h é a
diferença entre as profundidades dos pontos no mesmo líquido.
A partir do princípio de Stevin pode-se concluir que:
Pontos situados em um mesmo líquido e na mesma horizontal ficam sujeitos a
mesma pressão;
A pressão aumenta com o aumento da profundidade;
A superfície livre dos líquidos em equilíbrio é horizontal.
Pressão hidrostática Ao mergulharmos em uma piscina, a água irá exercer uma
pressão sobre nós. Quanto mais fundo mergulharmos, maior será essa pressão. Agora,
imagine que o líquido contido pela piscina não seja água, mas outro mais denso. Nessa
situação, a pressão vai aumentar, pois o peso do líquido sobre nós também será maior.
E, se estamos falando de peso, é porque a força da gravidade, que o compõe, influencia
a pressão exercida pelo líquido, também chamada de pressão hidrostática. A partir
disso, é possível concluir que a pressão hidrostática depende da profundidade, da
densidade do líquido e da gravidade local.
Uma consequência importante de lei de Stevin é o fato de a pressão hidrostática não
depender da área de contato do líquido.
Apesar de os recipientes terem bases com áreas diferentes, essas bases estão
submetidas à mesma pressão, pois os dois líquidos estão com a mesma altura, ou seja:
Princípio de Pascal
"Em equilíbrio, os líquidos que não podem ser comprimidos transmitem
integralmente a pressão por eles recebida".
Um exemplo que pode esclarecer melhor esse princípio é o da prensa hidráulica.
Considere um cilindro que é constituído por extremidades com áreas diferentes. Seu
interior é preenchido por um líquido e o cilindro é fechado por dois êmbolos (em
vermelho, na imagem abaixo) que podem deslizar.
,
Se aplicarmos uma força sobre a área 1, estaremos exercendo uma pressão nesse
local, e pelo Princípio de Pascal, essa pressão será transmitida integralmente para a área
2.
O princípio de Arquimedes
"Todo corpo mergulhado num fluido em repouso sofre, por parte do
fluido, uma força vertical para cima, cuja intensidade é igual ao peso do fluido
deslocado pelo corpo."
A intensidade da força F2 é maior que a intensidade da força F1, porque a
pressão exercida pelo líquido na parte inferior do objeto é maior que a pressão exercida
na parte superior (de acordo com a Lei de Stevin). Essa diferença irá resultar numa força
vertical e dirigida para cima, que é conhecida como empuxo.
Segundo o princípio de Arquimedes, a intensidade do empuxo é igual ao peso
do fluido deslocado pelo objeto imerso:
Onde:
PFD é peso do fluido deslocado.
mFD é a massa do fluido deslocado.
dFD é a densidade do fluido deslocado.
VFD é o volume do fluido deslocado.
É importante salientar que, ao falarmos de fluidos, estamos nos referindo a
líquidos e gases. Ou seja, o empuxo não é uma exclusividade dos líquidos, os gases
também podem exercê-lo.
Peso aparente:
PROBLEMAS – HIDROSTATICA
]
1.4 EQUAÇÕES CONSTITUTIVAS DA DINÂMICA DOS FLUIDOS
A hidrodinâmica é o estudo de fluidos em movimento. Inicialmente, vamos
considerar apenas o que é chamado fluido ideal, isto é, um fluido incompressível e que
não tem força interna de atrito ou viscosidade. A hipótese de incompressibilidade é
válida com boa aproximação se trata de líquidos; porém, para os gases, só é válida
quando o escoamento é tal que as diferenças de pressão não são muito grandes.
O caminho percorrido por um elemento de um fluido em movimento é chamado
linha de escoamento. Em geral, a velocidade do elemento varia em módulo e direção, ao
longo de sua linha de escoamento. Se cada elemento que passa por um ponto tiver a
mesma linha de escoamento dos precedentes, o escoamento é denominado estável ou
estacionário.
Linha de corrente é definida como uma curva tangente, em qualquer ponto, que está na
direção do vetor velocidade do fluido naquele ponto. No fluxo estacionário, as linhas de
corrente coincidem com as de escoamento.
O movimento de fluidos pode se processar, fundamentalmente, de duas maneiras
diferentes:
– escoamento laminar (ou lamelar): caracteriza-se pelo movimento ordenado das
moléculas do fluido, e todas as moléculas que passam num dado ponto devem possuir a
mesma velocidade. O movimento do fluido pode, em qualquer ponto, ser
completamente previsto.
– escoamento turbulento: é o contrário do escoamento laminar, o movimento das
moléculas do fluido é completamente desordenado; moléculas que passam pelo mesmo
ponto, em geral, não têm a mesma velocidade e torna- se difícil fazer previsões sobre o
comportamento do fluido.
Vazão e Débito em escoamento uniforme: A vazão ou débito de um fluido é a razão
entre o volume de fluido escoado em um tempo e o intervalo de tempo considerado.
Q = V/t
Onde V é o volume escoado no tempo t, e Q é a vazão.
Se tivermos num condutor um fluido em escoamento uniforme, isto é, o fluido escoando
com velocidade constante, a vazão poderá ser calculada multiplicando-se a velocidade
(v) do fluido, em dada seção do condutor, pela área (A) da seção considerada, ou seja:
Q = A x v
Exemplo prático
Uma bomba transfere óleo diesel em um reservatório à razão de 20 m³/h. Qual é o
volume do reservatório, sabendo-se que ele está completamente cheio após 3 horas de
funcionamento da bomba?
Temos que Q = 20 m³/h
t = 3 h
V = ?
Q = V/t V = Q x t
V = 20 x 3
V = 60 m³
1.4.1 EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE NOS ESCOAMENTOS
Dizemos que um fluido encontra-se escoando em regime permanente quando a
velocidade, num dado ponto, não varia com o tempo. Suponhamos, agora, um fluido
qualquer escoando em regime permanente no interior de um condutor de secção reta
variável.
A velocidade do fluido no ponto A1 é V1, e no ponto A2 é V2 . A1 e A2 são
áreas da secção reta do tubo nos dois pontos considerados. Já vimos que Q = V/t e Q =
Av, portanto podemos escrever que:
V/t = Av
V = A vt
Sabemos, ainda, que a massa específica é definida pela relação:
μ = m/V
m = μV
m = μAvt
Podemos, então, dizer tendo em vista esta última equação, que a massa de fluido
passando através da secção A1 por segundo é m = μ1A1v1; e que a massa de fluido que
atravessa a secção A2, em cada segundo é igual a m = μ2A2v2.
Estamos supondo aqui que a massa específica do fluido varia ponto a ponto no interior
do tubo. A massa de fluido, porém, permanece constante, desde que nenhuma partícula
fluida possa atravessar as paredes do condutor. Portanto, podemos escrever:
μ1A1v1 = μ2A2v2
Esta é a equação da continuidade nos escoamentos em regime permanente. Se o fluido
for incompressível, não haverá variação de volume e, portanto, μ1 = μ2 e a equação da
continuidade toma uma forma mais simples, qual seja A1v1 = A2v2 ou Q1 = Q2.
1.4.2 EQUAÇÃO DE BERNOUILLI
A equação de Bernoulli é um caso especial da equação da energia mecânica e
considera um escoamento em regime permanente de um fluido incompressível e
invíscito. Dessa forma, os termos referentes às alturas de carga hp [m], ht [m] e hL [m]
são nulos para essa equação, sendo esboçada assim:
Essa equação esta escrita na forma de alturas de carga, mas pode também ser
escrita em termos da pressão, multiplicando-se todos os termos pelo peso especifico e
substituindo-se a relação γ/g pelo termo ρ [kg/m³] que representa a massa especifica do
fluido, ou seja, uma propriedade do mesmo.
Isso permite afirmar que, nesse tipo de escoamento, a soma das alturas de carga
correspondentes às energias permanece constante ao longo de uma linha de fluxo:
Soma dessas pressões é chamada de pressão total, e os termos são chamados de
pressão estática p [kPa], pressão dinâmica ρV2/2 [kPa] e pressão hidrostática γz
[kPa]. A equação de Bernoulli afirma que a pressão total permanece constante ao longo
de uma linha de fluxo.
A pressão total é a pressão que seria exercida pelo fluido em escoamento sobre
uma superfície perpendicular ao mesmo, e sua medida poderia ser feita por um
manômetro apontado a montante do escoamento no ponto Q da Figura acima. Nesse
ponto, o fluido encontra-se estagnado e, por isso, é chamado ponto de estagnação.
A pressão estática refere-se a pressão termodinâmica efetiva medida em um
manômetro ou tubo piezométrico. No caso de um fluido escoando em uma tubulação, a
pressão estática seria a medida tomada por um manômetro posicionado na parede da
tubulação, ponto P da Figura acima.
A diferença de altura h apresentada na Figura acima representa a pressão
dinâmica.
A pressão hidrostática refere-se à pressão devida ao peso da coluna de fluido
em relação a uma altura de referencia, nesta aplicação será sempre nula, visto que os
pontos P e Q se encontram no mesmo nível.
Uma utilização pratica da equação de Bernoulli pode ser feita na medição da
velocidade de escoamento com a utilização de um tubo de Pitot e pode ser calculado
pela equação abaixo.
1.4.3 TIPOS DE MEDIDORES DE PRESSÃO
Tubo de Pitot
É constituído, basicamente, de um tubo em forma de U, provido de duas aberturas que
permanecem imersas no fluido. Por uma torneira T (vide figura), pode-se aspirar o
fluido e medir o desnível h que se estabelece entre os dois ramos do tubo. A expressão
para calcular a vazão é a seguinte:
Sendo:
A – área da secção reta do tubo por onde o fluido escoa.
μ – Massa específica do fluido.
h – Altura manométrica.
Medidor Venturi
Constitui-se de uma seção convergente que reduz o diâmetro da canalização
entre a metade e um quarto. Segue-se uma seção divergente (vide figura a seguir). A
função da seção convergente é aumentar a velocidade do fluido e temporariamente
diminuir sua pressão. A diferença de pressões entre a entrada do Venturi e a garganta é
medida num manômetro de mercúrio. O cone divergente serve para a área de
escoamento e para reduzir a perda de energia.
Para se calcular a vazão, usa-se a equação da continuidade e a equação de Bernouilli,
obtendo- se a seguinte expressão:
em que:
a – área da secção reta na garganta do Venturi
μ' – massa específica do líquido do manômetro
μ – massa específica do fluido em escoamento
h – altura manométrica
g – aceleração da gravidade
PROBLEMAS
1.5 ESCOAMENTOS EM TUBULAÇÕ
1.5.1 ESCOAMENTO LAMINAR E TURBULENTO
O numero de Reynolds que relaciona as seguintes propriedades do fluido: massa
especifica e viscosidade; geometria do tubo e velocidade media do escoamento. O
numero de Reynolds para tubos circulares é dado pela seguinte relação:
Onde Re é o numero adimensional de Reynolds, ρ [kg/ m³] é a massa especifica, V [m/s]
é a velocidade média do escoamento, D [m] é o diâmetro da tubulação e μ [N.s/ m²] é a
viscosidade do fluido.
Através do numero Reynolds, pode-se determinar se o escoamento é laminar,
transiente ou turbulento. O escoamento será laminar se Re < 2100 a 2300 e será
turbulento para Re > 4000. Para Re entre esses limites, o escoamento poderá ser
turbulento ou laminar, ou seja, transiente.
1.5.2 REGIÃO DE ENTRADA E ESCOAMENTO COMPLETAMENTE
DESENVOLVIDO
No escoamento de um fluido através de um tubo ou de um duto, o perfil de
velocidade de escoamento na entrada do sistema é normalmente uniforme. Na medida
em que o fluido avança na direção do escoamento, os efeitos da viscosidade são
percebidos pela aderência de uma camada de fluido sobre a parede do tubo, e ha o
surgimento de tensões de cisalhamento entre as camadas adjacentes. A camada do
escoamento que é influenciada por esse efeito da viscosidade é chamada de camada
limite. A velocidade da camada aderida à parede do tubo é zero e a velocidade do fluido
cresce no sentido da direção do centro do tubo onde é máxima, de acordo com a Figura
abaixo.
O perfil de velocidade apresenta então em um determinado comprimento do tubo
ou duto um comportamento variável que vai de um perfil uniforme na entrada até
assumir um perfil parabólico, a partir do qual se diz que o escoamento esta
completamente desenvolvido. A região onde o perfil de velocidade é variável é
chamada de região de entrada.
O comprimento da região de entrada Xent [m] depende do tipo de escoamento ser
laminar ou turbulento e pode ser determinado pelas seguintes relações:
1.5.2.1 ESCOAMENTO LAMINAR COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO
Embora não sejam comuns na pratica como forma de simplificação, muitos
escoamentos podem ser considerados completamente desenvolvidos, permanentes e
laminares. Considerando ainda o fluido como Newtoniano, o perfil de velocidade em
função do raio em um tubo circular pode ser determinado por:
Onde u (r) [m/s] é a velocidade a uma distância r [m] qualquer da linha de centro do
escoamento, D [m] é o diâmetro do tubo e Vc [m/s] é a velocidade na linha de centro do
escoamento.
Nessas mesmas condições de escoamento, outra relação importante é o comportamento
da vazão volumétrica e da perda de carga em um comprimento l [m] da tubulação, dadas
pela seguinte relação conhecida como Lei de Pouseuill.
Onde Δp [kPa] é a perda de pressão na tubulação, μ [N.s/m2] é a viscosidade do
fluido e D [m] é o diâmetro da tubulação.
1.5.4 PERDA DE CARGA EM ESCOAMENTOS INTERNOS
Na analise de escoamentos internos em tubos ou dutos é comum que se necessite
determinar a perda de carga hL [m] que a tubulação impõe ao sistema fluido. Essa perda
de carga é oriunda dos efeitos da viscosidade do fluido e pode ser determinada
contabilizando-se os efeitos localizados hLOC [m] impostos por componentes como
curvas, tês, joelhos, válvulas ou outros componentes que estejam montados no fluxo
fluido e pelos efeitos viscosos normais impostos pela tubulação linear hN [m]. Assim, a
perda de carga total do sistema será dada pela seguinte equação:
1.5.4.1 PERDAS DE CARGAS NORMAIS
As perdas de cargas normais ocorrem em função do efeito viscoso do fluido em
escoamento e dependem de fatores como a velocidade do escoamento, a geometria da
tubulação (comprimento e diâmetro), a rugosidade da parede da tubulação e das
propriedades de viscosidade e massa especifica do fluido. Algebricamente, é possível
contabilizar as perdas de cargas normais utilizando a equação de Darcy-Weisbach:
Onde L [m] é o comprimento linear da tubulação, V [m/s] é a velocidade média do
escoamento, D [m] é o diâmetro da tubulação, g [m/s2] é a aceleração da gravidade e f é
o fator de atrito.
O fator de atrito é um parâmetro adimensional que depende do numero de Reynolds e da
rugosidade relativa. A rugosidade relativa é a relação entre a rugosidade aparente ε
[m], que representa um fator característico da rugosidade da parede, e o diâmetro do
tubo:
Fator de atrito é determinado através do diagrama de Moody, que fornece o fator de
atrito (ordenada y da esquerda) a partir do numero de Reynolds na abscissa (eixo x) e da
rugosidade relativa (ordenada y da direita). Pelo diagrama da Figura abaixo, pode-se
verificar que o fator de atrito para escoamentos laminares (Re < 2100) independe da
rugosidade e pode ser dado diretamente por:
Pode-se ainda verificar que, para regimes identificados na figura como plenamente
turbulentos, o fator de atrito não depende de Re, mas apenas da rugosidade relativa.
1.5.4.2 PERDAS DE CARGAS LOCALIZADAS
As perdas de cargas localizadas são devidas aos componentes ou geometrias que
compõem a tubulação que não sejam o tubo reto. A contabilização dessas perdas é
relacionada a um fator experimental chamado coeficiente de perda KL. O coeficiente
de perda esta muito relacionado à geometria dos componentes e pouco relacionado às
condições do escoamento. Na Figura abaixo verificamos que o fluido, ao passar por
uma válvula, assim como em qualquer outro componente, tem dificuldades devido as
restrições que se apresentam e que obrigam as varias mudanças de direção do fluxo para
o fluido transpassar o componente.
Dessa forma, esse componente oferece uma restrição equivalente a um determinado
comprimento reto de tubulação, ou seja, o seu efeito é o mesmo que um aumento da
tubulação de uma quantia igual ao comprimento equivalente do componente. A
determinação algébrica da perda localizada por um componente é dada por:
As Figuras abaixo apresentam os coeficientes de perda proporcionais aos comprimentos
equivalentes de vários componentes encontrados comercialmente e os coeficientes de
perdas para algumas geometrias de entradas e saídas de escoamentos. A determinação
da perda total hL se da pela contabilização de todas as perdas associadas a componentes
localizados, mais as perdas normais da tubulação.
PROBLEMAS
1.6 NOÇÕES DE ESCOAMENTO COMPRESSÍVEL EM BOCAIS
1.6.1 ESCOAMENTO UNIDIMENSIONAL, EMREGIME PERMANENTE,
ADIABÁTICO E REVERSÍVEL DE UM GÁS IDEAL EM BOCAIS.
A Figura abaixo mostra um bocal ou difusor com seções convergente e
divergente. A seção transversal que apresenta a menor área é chamada de garganta.
Nossas primeiras considerações se relacionam com as condições que
determinam se um bocal ou difusor deve ser convergente ou divergente e as condições
que prevalecem na garganta. As seguintes relações podem ser escritas para o volume de
controle mostrado:
O número de Mach, M, é definido pela razão entre a velocidade real, V, e a velocidade
do som, c.
Velocidade do som de um gás ideal:
Fazendo a combinação das equações da continuidade e das propriedades dos
gases obtemos a equação mostrada a baixo. Essa é uma equação bastante significativa,
pois dela podemos extrair as seguintes conclusões acerca da forma adequada para os
bocais e difusores:
Para um bocal, dP < 0. Portanto, para um bocal subsônico, M < 1, dA < 0 , e o bocal é
convergente para um bocal supersônico, M > 1, dA > 0, e o bocal é divergente
Para um difusor, dP > 0. Portanto, para um difusor subsônico, M < 1, dA > 0, e o
difusor é divergente para um difusor supersônico, M > 1, dA < 0, e o difusor é
convergente.
Quando M = 1, dA = 0, o que significa que a velocidade sônica somente pode ser
encontrada na garganta de um bocal ou difusor.
Para um gás ideal que apresenta calor específico constante, podemos representado-lo
pela equação:
Para um processo isentrópico:
As condições na garganta do bocal são encontradas notando que M = 1 e são
diferenciadas por um *.
1.7 ANÁLISE DIMENSIONAL E RELAÇÕES DE SEMELHANÇA
1.7.1 ANÁLISE DIMENSIONAL
A Análise Dimensional é uma ferramenta importante no estudo e na análise de
problemas da Física, e em particular, da Mecânica dos Fluidos e da Transferência de
Calor. Com os procedimentos da Análise Dimensional será possível:
Reduzir o número de variáveis envolvidas nas análises
Compactar as equações.
A análise dimensional permite a correlação de dados para a apresentação
sucinta do fenômeno estudado, usando o menor número possível de gráficos;
A análise dimensional também é necessária e utilizada em estudos de
semelhança dinâmica
É necessário o conhecimento das dimensões e unidades das Grandezas Físicas.
Os fenômenos em Mecânica dos Fluidos dependem de maneira complexa dos
parâmetros geométricos e de escoamento.
As unidades são expressas utilizando apenas quatro grandezas básicas ou categorias
fundamentais:
- massa[M];
- comprimento[L];
- tempo[T] e
- temperatura[θ]
As quatro grandezas básicas representam as dimensões primárias que podem ser usadas
para representar qualquer outra grandeza;
Dimensões de Grandezas Derivadas: Dimensões de Grandezas Derivadas:
Uma grandeza ou grupo de grandezas físicas tem uma dimensão que é
representada por uma relação das grandezas primárias. Se esta relação é unitária, o
grupo é denominado adimensional, isto é, sem dimensão, um exemplo de grupo
adimensional é o número de Reynolds:
1.7.2 SEMELHANÇA
Restringindo as condições dos experimentos é possível obter dados de diferentes
condições geométricas, mas que levam ao mesmo ponto na curva. Isto é, experimentos
de diferentes escalas apresentam os mesmos valores para os grupos adimensionais a eles
pertinentes, nessas condições os experimentos apresentam semelhança dinâmica.
Semelhança é, em geral, uma indicação de que dois fenômenos têm um mesmo
comportamento. Por exemplo: é possível afirmar que há semelhança entre um edifício e
sua maquete (semelhança geométrica).
Na Mecânica dos Fluidos o termo semelhança indica a relação entre dois
escoamentos de diferentes dimensões, mas com semelhança geométrica entre seus
contornos.
Geralmente o escoamento de maiores dimensões é denominado escala natural
ou protótipo. O escoamento de menor escala é denominado de modelo.
Utilização de Modelos em escala apresentam algumas características:
Vantagens econômicas (tempo e dinheiro);
Podem ser utilizados fluidos diferentes dos fluidos de trabalho;
Os resultados podem ser extrapolados;
Podem ser utilizados modelos reduzidos ou expandidos (dependendo da
conveniência);
Para realizar o estudo de comparação de semelhança entre o modelo e a
realidade, é necessário que os conjuntos sejam fisicamente semelhantes. Semelhança
física envolve uma variedade de tipos de semelhança:
Semelhança Geométrica
Semelhança Cinemática
Semelhança Dinâmica
Semelhança Geométrica
A propriedade característica dos sistemas geometricamente semelhantes é que a
razão entre qualquer comprimento no modelo e o seu comprimento correspondente é
constante. Esta razão é conhecida como fator de escala.
Semelhança Cinemática
Quando dois fluxos de diferentes escalas geométricas tem o mesmo formato de
linhas de corrente, é a semelhança do movimento.
Semelhança Dinâmica
É a semelhança das forças. Dois sistemas são dinamicamente semelhantes
quando os valores absolutos das forças, em pontos equivalentes dos dois sistemas, estão
numa razão fixa, como por exemplo: Forças devido à diferenças de Pressão; Forças
resultantes da ação da viscosidade; Forças devido à tensão superficial; Forças
elásticas; Forças de inércia; Forças devido à atração gravitacional.
Grupos adimensionais
São extremamente importantes na correlação de dados experimentais. Em razão
das múltiplas aplicações dos grupos adimensionais nos estudos de modelos e aplicações
de semelhança dinâmica, vários grupos foram criados nas diversas áreas que compõem
os Fenômenos de Transporte. Temos os seguintes grupos adimensionais:
Número de Reynolds;
Número de Froude;
Número de Euler;
Número de Mach;
Número de Weber;
Número de Nusselt;
Número de Prandtl;
Número de Reynolds:
Relação entre Forças de Inércia e Forças Viscosas;
Um número de Reynolds “crítico” diferencia os regimes de escoamento laminar
e turbulento em condutos na camada limite ou ao redor de corpos submersos;
Número de Froude:
Relação entre Forças de Inércia e Peso (forças de gravidade);
Aplica-se aos fenômenos que envolvem a superfície livre do fluido;
É útil nos cálculos de ressalto hidráulico, no projeto de estruturas hidráulicas e
no projeto de navios;
Número de Euler:
Relação entre Forças de Pressão e as Forças de Inércia;
Tem extensa aplicação nos estudos das máquinas hidráulicas e nos estudos
aerodinâmicos.
Número de Mach:
Relação entre Forças de Inércia e Forças Elásticas;
É uma medida da relação entre a energia cinética do escoamento e a energia
interna do fluido;
É o parâmetro mais importante quando as velocidades são próximas ou
superiores à do som; Número de Mach:
Relação entre Forças de Inércia e Forças Elásticas;
É uma medida da relação entre a energia cinética do escoamento e a energia
interna do fluido;
É o parâmetro mais importante quando as velocidades são próximas ou
superiores à do som;
Número de Weber:
Relação entre Forças de Inércia e Forças de Tensão Superficial;
É importante no estudo das interfaces gás-líquido ou líquido-líquido e também
onde essas interfaces estão em contato com um contorno sólido;
Número de Nusselt:
Relação entre fluxo de calor por convecção e o fluxo de calor por condução no
próprio fluido;
É um dos principais grupos adimensionais nos estudos de transmissão de calor
por convecção.
Número de Prandtl:
Relação entre a difusão de quantidade de movimento e difusão de quantidade de
calor;
É outro grupo adimensional importante nos estudos de transmissão de calor por
convecção;
Teorema de Buckingham ou dos π
“Enunciado da relação entre uma função expressa em termos de parâmetros
dimensionais e uma função correlata expressa em termos de parâmetros
adimensionais”
Descrevendo o passo a passo com um exemplo temos:
1º PASSO:
Determinar o número de grandezas que influenciam o fenômeno - n.
n=5
.
2º PASSO:
Escrevemos a equação dimensional de cada uma das grandezas.
3º PASSO:
Determinamos o número de grandezas fundamentais envolvidas no fenômeno - K.
K = 3
4º PASSO:
Determinamos o número de números adimensionais que caracterizam o fenômeno – m.
m = n - K ∴ m = 2
5º PASSO:
Estabelecemos a base dos números adimensionais.
Definição de base; É um conjunto de K variáveis independentes comuns aos
adimensionais a serem determinados, com exceção dos seus expoentes.
Variáveis independentes; São aquelas que apresentam as suas equações dimensionais
diferentes entre si de pelo menos uma grandeza fundamental.
Para o exemplo, temos:
F, V, ρ, D ou F, V, μ, D como variáveis independentes.
ρ e μ como variáveis dependentes.
6º PASSO:
Escrevemos os números adimensionais, multiplicando a base adotada por cada uma das
variáveis que restaram na função característica após a sua retirada.
Para obtermos os expoentes da base, substituímos cada uma das variáveis por sua
respectiva equação dimensional, inclusive o número adimensional. Finalmente verifica-
se que os grupos se encontrem sem dimensão, ou seja, dimensão igual 1.
PROBLEMAS
Referências
FOX, R. W.; PRITCHARD, P. J.; MCDONALD, A. T. Introdução à Mecânica dos
Fluidos. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2006.
MUNSON, B. R. Fundamentos da Mecânica de Fluidos. 4. ed. São Paulo: EDGARD
BLUCHER, 2004.
MORAN, M. J. et al. Introdução à Engenharia de Sistemas Térmicos. Rio de Janeiro:
LTC, 2005.