Conductividad de Calor 16242

Marco Polo Villanueva

Conductividad de Calor

Ecuaciones de Conductividad


La Conduccin de Calor

La conduccin es la transferencia de energa de las partculas ms energticas de una sustancia hacia las adyacentes menos

energticas, como resultado de interacciones entre esas partculas

La conduccin puede tener lugar en los slidos, lquidos o gases



En los gases y lquidos la conduccin se debe a las colisiones y a la difusin de las molculas durante su movimiento aleatorio. En los

slidos se debe a la combinacin de las vibraciones de las

molculas en una retcula y al transporte de energa por parte de los

electrones libres



La rapidez o razn de la conduccin de calor a travs de un medio depende de la configuracin geomtrica de ste, su espesor y el

material de que est hecho, as como de la diferencia de

temperatura a travs de l.



Si consideramos una conduccin de estado estacionario de calor a travs de una pared plana

grande de espesor x = L y rea A.

La diferencia de temperatura de uno a otro lado de la pared es: T=T2T1

Los experimentos han demostrado que la razn de la transferencia de calor Q a travs de la pared se

duplica cuando se duplica la diferencia de

temperatura T de uno al otro lado de ella, o cuando se duplica el rea A perpendicular a la direccin

de la transferencia de calor; pero se reduce a la

mitad cuando se duplica el espesor L de la pared.


La Conduccin de Calor Por tanto, se concluye que la razn de la conduccin de calor a travs de

una capa plana es proporcional a la diferencia de temperatura a travs

de sta y al rea de transferencia de calor, pero es inversamente

proporcional al espesor de esa capa; es decir:

Donde K (constante de proporcionalidad) es la conductividad trmica del material que es la capacidad de un material para conducir calor

En el caso lmite de x 0, la ecuacin que acaba de darse se reduce a la forma diferencial

Denominado Ley de Fourier



dT/dx es el gradiente de temperatura, el cual es la pendiente de la curva de temperatura si se tiene un

diagrama T-x. La relacin dada indica que la razn de

conduccin del calor en una direccin es proporcional

al gradiente de temperatura en esa direccin.

El calor es conducido en la direccin de la temperatura decreciente y el gradiente de

temperatura se vuelve negativo cuando esta ltima

decrece al crecer x.

El signo negativo en la ecuacin garantiza que la transferencia de calor en la direccin x positiva sea

una cantidad positiva.

El rea A de transferencia de calor siempre es normal (o perpendicular) a la direccin de esa transferencia.



Ejemplo

El techo de una casa calentada elctricamente tiene 6 m de largo, 8 m de ancho y 0.25 m de espesor y est hecha de una capa plana

de concreto cuya conductividad trmica es k= 0.8 W/mC. Las temperaturas de las superficies interior y exterior son 15C y 4C, respectivamente; durante un periodo de 10 horas. Determine:

a) la razn de la prdida de calor a travs del techo esa noche

b) el costo de esa prdida de calor para el propietario de la

casa, si el costo de la electricidad es de 0.25 Soles/kWh.


La Conduccin de Calor La transferencia de calor a travs del techo es por conduccin y el

rea de ste es A = 6 m x 8 m = 48 2.

La razn de la transferencia de calor en estado estacionario a travs del techo se determina por:

La cantidad de prdida de calor a travs del techo durante un periodo de 10h y su costo se determinan a partir de:

= = 1.69 10 = 16.9

=

= 16.9 0.25

= 4.225



Las superficies interior y exterior de un muro de ladrillos de 4 m por 7 m, con espesor de 30 cm y conductividad trmica de 0.69 W/mK, se mantienen a las temperaturas de 20C y 5C, respectivamente. Determine la razn de la transferencia de calor a travs del muro,

en W.


Conductividad Trmica

Los diferentes materiales almacenan calor en forma diferente y se ha definido la propiedad de calor especfico Cp como una medida

de la capacidad de un material para almacenar energa trmica.

Por ejemplo, a la temperatura ambiente se tiene, Cp = 4.18 kJ/kgC, para el agua, y Cp = 0.45 kJ/kgC, para el hierro; indica que el agua puede almacenar casi 10 veces ms energa que el hierro por

unidad de masa.



Del mismo modo, la conductividad trmica k es una medida de la

capacidad de un material para conducir

calor.

Por ejemplo, k = 0.607 W/mC, para el agua, y k = 80.2 W/mC, para el hierro, a la temperatura ambiente; esto nos

indica que el hierro conduce el calor

ms de 100 veces ms rpido que el

agua. Por tanto, se dice que el agua es

mala conductora del calor en relacin

con el hierro, aun cuando el agua es un

medio excelente para almacenar

energa trmica.


Conductividad Trmica La conductividad trmica de un material es una medida de la capacidad

del material para conducir calor. Un valor elevado para la conductividad

trmica indica que el material es un buen conductor del calor y un valor

bajo indica que es un mal conductor o que es un aislante.


Conductividad Trmica En un lquido o gas, la energa cintica de las molculas se debe a su movimiento

aleatorio de traslacin, as como a sus movimientos de vibracin y rotacin.

Cuando chocan dos molculas que poseen energas cinticas diferentes, parte de la energa cintica de la molcula de mayor energa (temperatura) se transfiere a

la menos energa, de manera muy semejante a cuando chocan dos bolas

elsticas de la misma masa a diferentes velocidades. parte de la energa

cintica de la bola ms rpida se transfiere a la ms lenta

Entre ms alta es la temperatura, ms rpido se mueven las molculas, mayor es el nmero de las colisiones y mejor es la transferencia de calor.

La teora cintica de los gases predice que la conductividad trmica de los gases es proporcional a la raz cuadrada de la temperatura termodinmica T e

inversamente proporcional a la raz cuadrada de la masa molar M.

Por lo tanto, la conductividad trmica de un gas crece al aumentar la temperatura y al disminuir la masa molar.



Rango de la conductividad trmica de diversos materiales a la temperatura ambiente



Variacin de la conductividad trmica

de diversos slidos,

lquidos y gases con la

temperatura


Capacidad Calorfica

El producto Cp, que se encuentra con frecuencia en el anlisis de la transferencia de calor, se llama capacidad calorfica de un

material. Tanto el calor especfico Cp como la capacidad calorfica

Cp representan la capacidad de almacenamiento de calor de un material. Pero Cp la expresa por unidad de masa, en tanto que Cp la expresa por unidad de volumen, como se puede advertir a partir

de sus unidades J/kgC y J/m^3C, respectivamente.


Difusividad Trmica

Otra propiedad de los materiales que aparece en el anlisis de la conduccin del calor en rgimen transitorio es la difusividad

trmica, la cual representa qu tan rpido se difunde el calor por un

material y se define como:


Conduccin La ubicacin temperatura interna de un cuerpo se puede determinar en

funcin a la forma de esta y a las coordenas que facilitan su ubicacin.

El uso de un sistema de coordenadas idnea facilitarn los clculos.

La notacin T(x, y, z, t) implica que la temperatura vara con las variables espaciales x, y y z, as como con el tiempo. Por otra parte, la

notacin T(x) indica que la temperatura vara slo en la direccin x y no

se tiene variacin con las otras dos coordenadas espaciales o con el

tiempo.


Ecuacin diferencial de Conduccin

El vector de flujo de calor en un punto P sobre esta superficie debe ser perpendicular a ella y debe apuntar en la direccin de la

temperatura decreciente. Si n es la normal a la superficie isotrmica

en el punto P, la razn de la conduccin de calor en ese punto se

puede expresar por la ley de Fourier como:

En coordenadas rectangulares el vector de conduccin del calor se puede expresar en trminos de sus componentes como:



La conduccin trmica est determinada por la ley de Fourier, que establece que el flujo de transferencia de calor por conduccin en un

medio istropo (propiedades fsicas iguales en todas direcciones) es

proporcional y de sentido contrario al gradiente de temperatura en esa

direccin. De forma vectorial:

q : Es el vector de flujo de calor por unidad de superficie (W m-2)

k: Conductividad trmica (W m-1 K-1)

T: Gradiente del campo de temperatura en el interior del material ( K m-1)


De forma integral, el calor que atraviesa una superficie S por unidad de tiempo viene dado por la expresin:

El caso ms general de la ecuacin de conduccin, expresada en forma diferencial que refleja el balance entre el flujo neto de calor, el calor

generado y el calor almacenado en el material es:




En coordenadas cilndricas: T=T(r, f ,z,t)

En coordenadas esfricas: T=T(r, q , f ,t)


Conduccin a travs de paredes

planas en serie En estado estacionario el flujo de

calor a travs de todas las secciones

debe ser el mismo.

Sin embargo, los gradientes son distintos


Conduccin a travs de paredes

planas en serie Teniendo la siguiente relacin:

Sustituyendo se tiene:

Finalmente la ecuacin nos queda:

Para un conjunto de n paredes en perfecto contacto trmico, el flujo

de calor es


Analoga elctrica de la

Conduccin Utiliza los conceptos desarrollados en la teora de los circuitos

elctricos y con frecuencia se llama analoga entre el flujo de calor y

la electricidad.

La combinacin L/kA equivale a una resistencia y la diferencia de temperatura T es anloga a una diferencia de potencial trmico.

La ecuacin puede escribirse de forma semejante a la ley de Ohm de la teora de los circuitos elctricos

El recproco de la resistencia trmica se denomina conductancia trmica:

=

=



Conduccin Para tres secciones en serie se tiene:

Donde:



Conduccin Tambin:

Teniendo a la resistencia trmica equivalente: =

+


Materiales dispuestos en paralelo para flujo en una direccin (unidimensional)

Entonces:

Por ltimo:

= 1 + 2


Flujo de calor en un cilindro hueco

La distribucin de temperaturas es

funcin nicamente

de r T=T( r )

El denominador de esta ecuacin

corresponde a la

resistencia trmica


Flujo de calor en una esfera hueca

Se considera flujo estable en la direccin r y la ecuacin quedara expresada como:

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