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28/03/13 Conexión de Levi-Civita - Wikipedia, la enciclopedia libre
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Conexión de Levi-CivitaDe Wikipedia, la enciclopedia libre
En geometría de Riemann, la conexión de Levi-Civita (nombrada así por Tullio Levi-Civita) es la conexiónlibre de torsión del fibrado tangente, preservando una métrica de Riemann (o métrica pseudoriemanniana) dada.El teorema fundamental de la geometría de Riemann establece que hay una conexión única que satisfacen estaspropiedades.
En la teoría de una variedad de Riemann o de una variedad pseudoriemanniana el término derivada covariantese utiliza a menudo para la conexión de Levi-Civita. La expresión en coordenadas espaciales de la conexión sellama los símbolos de Christoffel.
Índice
1 Definición formal
2 Derivada a lo largo de una curva
3 Conexión estandar de4 Conexión inducida en superficies de
5 Enlaces externos
6 Véase también
Definición formal
Sea (M, g) una variedad de Riemann (o una variedad pseudoriemanniana) entonces una conexión afín es unaconexión de Levi-Civita si satisface las condiciones siguientes
Preserva la métrica, es decir, para cualesquiera campos vectoriales X, Y, Z tenemos , donde X g(Y, Z) denota la derivada de la función
g(Y, Z) a lo largo del campo vectorial X.
Es libre de torsión, es decir, para cualesquiera campos vectoriales X y Y tenemos
, donde es el corchete de Lie de los campos vectoriales X y Y.
Derivada a lo largo de una curva
La conexión de Levi-Civita define también una derivada a lo largo una curva, denotada generalmente por D.
Dado curva diferenciable γ sobre (M, g) y un campo vectorial V en γ su derivada se define como
.
Conexión estandar de
Para dos campos vectoriales en el espacio euclídeo n-dimensional, ésta está dada por la regla
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donde es el jacobiano de Y.
Conexión inducida en superficies de
Para un par de campos vectoriales tangentes a una superficie (variedad de codimensión 1 en ) se puede
inducir una derivada covariante mediante el cálculo
relación conocida como ecuación de Gauss. Es fácil demostrar que satisface las mismas propiedades
que D.
Enlaces externos
MathWorld: Levi-Civita Connection (http://mathworld.wolfram.com/Levi-CivitaConnection.html)PlanetMath: Levi-Civita Connection (http://planetmath.org/encyclopedia/LeviCivitaConnection.html)
Véase también
vierbein.Tullio Levi-Civita.
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