Cônicas

Porque Cônicas?

Parábola

Considere uma reta d e um ponto f não pertencente a d

Parábola é o conjunto dos pontos cuja distância ao ponto f é igual a distância deste ponto à reta d

Graficamente

FP

P’

v

A d

Seja P’ o pé da reta perpendicular a d que passa por P

Assim P pertence à parábola se e somente se

d(F,P)=d(P,P’) -> |FP|=|P’P|

Notações

F-> foco d-> reta diretriz Eixo -> reta que passa pelo foco e é

perpendicular à diretriz Vértice (v) -> Ponto de interseção entre a

parábola e o eixo A-> interseção do eixo com a diretriz

Por definição de parábola, se P = v então d(v,f)=d(v,a)=p/2, p-> parâmetro da

parábola

Encontrar a equação da parábola

Eixo da parábola = eixo y

V(0,0)

|FP|=|PP’|

PP’ = (x-x,y+p/2)=(0,y+p/2) FP = (x-0,y-p/2) =(x,y-p/2)

|(x,y-p/2) |=|(0,y+p/2)|

X2=2py ou y = X2/2p

4

222 ppyyx

4

22 p

pyy

Estudo da Parábola

Se 2py=x2 -> 2py >=0 -> p e y tem sinais iguais

Caso 1: p>=0 -> y>=0 -> concavidade para cima

Caso 2: p<=0 -> y<=0 -> concavidade para baixo

Eixo da parábola = eixo x

V(0,0)

|FP|=|P’P| P’P = (x+p/2,y-y)=(x+p/2,0) FP = (x-p/2,y-0) =(x-p/2,y) y2=2px

Estudo da Parábola

Como y2 >=0 então 2px>=0. Logo p e x tem sinais iguais

Caso 1: p >= 0 -> x >= 0 -> concavidade para direita

Caso 2: p <= 0 -> x <= 0 -> concavidade para esquerda

Exercício

Determinar a equação da parábola v(0,0) e diretriz d:y=-2

Exercicio

Determinar a equação da parábola com foco F(2,0), diretriz d:x+2=0

Determinar a equação da parábola com foco F(0,-3), e v(0,0)

Determinar a equação da parábola com foco V(0,0), simétrica em relação ao eixo dos y e passando pelo ponto P(2,-3)

Determinar Vértice, foco, equações da reta diretriz e eixo

X2=-12y

Determinar Vértice, foco, equações da reta diretriz e eixo

y2-x=0

Vértices fora da origem

V(a,b) Eixo paralelo ao eixo y (x-a)2=2p(y-b) Eixo paralelo ao eixo x (y-b)2=2p(x-a)

Exercício

Determine a equação da parábola V(-2,3), F(-2,1)

Determine a equação da parábola F(2,3) e diretriz y=-1

Determine a equação da parábola V(1,3), eixo paralelo ao eixo x passando pelo ponto P(-1,-1)

Equação explícita da parábola

A equação da parábola de vértice V(a,b) e eixo paralelo ao eixo y tem a forma (x-a)2=2p(y-b)

x2-2ax+a2=2py-2pb y=(x2-2ax+a2+2pb)/2p Esta última é a forma explícita da parábola

Exercício

Ache o vértice, o foco, a diretriz e o eixo de simetria da parábola x2+4x+8y+12

Exercício

Ache o vértice, o foco, a diretriz e o eixo de simetria da parábola y2+4y+16x-44

Exemplo

Ache o vértice, o foco, a diretriz e o eixo de simetria da parábola y2-12x-12=0

Exemplo

Ache o vértice, o foco, a diretriz e o eixo de simetria da parábola 8x=y2-6y+10

Elipse

Uma elipse de focos F e F’ é o conjunto dos pontos cuja soma das distâncias a F e F’ é igual a uma constante que indica-se por 2a

Portanto, P є Elipse se, e somente se,

d(P,F)+d(P,F’)=2a

Equação

Caso 1: F(-c,0) e F’(c,0), c>=0 Olhando para o triângulo PFF’ vemos que

o lado F’F mede 2c e é menor que a soma dos outros dois lados, medindo 2a

a a

ccF F’

P

Logo, c<a Nota: quanto mais a se aproxima de c,

mais achatada fica a elipse, logo a excentricidade (e) cresce

e=c/a, 0<e<1

Elementos

Focos: são os pontos F e F’ Distância Focal = 2c Centro = ponto médio do segmento FF’ Eixo Maior: segmento A1A2 medindo 2a Eixo Menor é o segmento B1B2 de

comprimento 2b onde b2=a2-c2

De acordo com a definição, P(x,y) є elipse se, e somente se, |PF’|+|PF|=2a

aycxycx 2)()( 2222

Equação

Desenvolvendo a equação anterior obtem-se

x2/a2+y2/b2=1

Eixo maior sobre o eixo x focos sobre o eixo x

Equação

Caso 2: Focos F(0,c) e F’(0,-c)

Analogamente

x2/b2+y2/a2=1

Equação

Caso 3: centro fora da origem C(x0,y0)

Eixo maior//eixo x: (x-x0)2/a2 +(y-y0)2/b2=1 Eixo maior//eixo y: (x-x0)2/b2 +(y-y0)2/a2=1

Exercício

Determinar os vértices A1 e A2, focos e excentricidade

X2/100+y2/36=1 x2+25y2=25 4x2+25y2=1

Exercício

Determinar a equação da elipse Eixo maior mede 10, focos (4,0) e (-4,0)

Exercício

Determinar a equação da elipse Centro C(0,0) um foco F(3/4,0) e um

vértice A(1,0)

Exercício

Determinar a equação da elipse Centro C(0,0), F(c,0), F’(-c,0), P(-2(5)1/2,2)

Exercício

Determinar a equação da elipse Centro C(0,0), focos no eixo x, e=2/3 e

P(2,-5/3)

Exercício

Determinar a equação da elipse Centro C(2,4), um foco F(5,4) e=3/4

Exercício

Determinar a equação da elipse Centro C(-3,0), um foco F(-1,0), a elipse é

tangente ao eixo y

Exercício

Determinar a equação da elipse Centro C(-3,4), semi-eixos de

comprimento 4 e 3, eixo maior // ao eixo y

Exercício

Determinar a equação da elipse Centro C(2,-1), tangente aos eixos

coordenados e eixos de simetria (eixo maior e eixo menor) paralelos aos eixos coordenados

Exercício

Determinar centro, vértices A1 e A2 e excentricidade

4x2+9y2-8x-36y+4=0

Hipérbole

Sejam dois pontos fixo F1 e F2 com d(F1,F2)=2c

A hipérbole é o conjunto dos pontos P(x,y) do plano tais |d(F1,P)-d(F2,p)|=2ª

Com 2ª<2c

F2F1

P

Da equação anterior tem-se d(F1,P)-d(F2,p)= ±2a Quando P estiver no ramo da direita,

d(F1,P)>d(F2,p) -> d(F1,P)-d(F2,p)= 2a Quando P estiver no ramo da esquerda,

d(F1,P)<d(F2,p) -> d(F1,P)-d(F2,p)=-2a

Seja o segmento de reta F1F2 e chame de A1 e A2 a interseção de F1F2 com a hipérbole

Considere outra reta perpendicular a esta passando pelo ponto médio C de F1F2

C A2 F2A1F1

A hipérbole é simétrica em relação a:Segmento F1F2Eixo verticalPonto C

Ainda pela simetria, d(A1,F1)=d(A2,F2)

Qual é o valor de d(A1,A2)?

Se P=A2, da def de hipérbole |d(F1,A2)-d(F2,A2)|=2a

Como A2 está no ramo direito, (F1,A2)-d(F2,A2)=2a

Pela figura vemos que d(F1,A2)=d(F1,A1)+d(A1,A2)

C A2 F2A1F1

MN

P Q

r s

θ

Pela figura vemos que d(F1,A2)=d(F1,A1)+d(A1,A2)

Substituindo d(F1,A1)+d(A1,A2)- d(F2,A2)=2a

Logo d(A1,A2) =2a

Elementos da hipérbole

Focos F1 e F2 Distância Focal: d(F1,F2)=2c Centro Ponto médio de F1F2 Vértices: A1,A2 Eixo Real: segmento A1A2 e |A1A2|=2ª Eixo imaginário: Segmento B1B2 onde de

comprimento 2b onde b vem da relação C2=a2+b2

MNPQ é um retângulo inserido no círculo de raio c

r e s são assíntotas da hipérbole

r passa pelo ponto C e tem inclinação b/a

s passa por ponto C e tem inclinação –b/a

\theta abertura da hipérbole

e=c/a excentricidade da hipérboleNote que e está relacionado com a abertura \

theta da hipérbole

Na figura anterior fixando c e aumentando a vemos que a abertura da hipérbole diminui

Menor a abertura menor a excentricidade e>1 Maior a abertura maior a excetrencidade Quando a=b, dizemos que a hipérbole é

equilátera

Equação

Caso 1: Eixo real sobre o eixo x e C(0,0) Obs: determinaremos a equação do ramo

direito: F1(-c,0),F2(c,0) e P(x,y) d(F1,P)-d(F2,P)=2a d(F1,P) =2a+d(F2,P) |F1P| =2a+|F2P|

((x+c)2+y2)1/2=2a+((x-c)2+y2)1/2

x2+2xc+c2+y2=4a2 -4a((x-c)2+y2)1/2+x2-2xc+c2+y2

4xc- 4a2 = -4a((x-c)2+y2)1/2

xc- a2 = -a((x-c)2+y2)1/2

x2c2-2xca2+a4=a2x2-2xca2+a2c2+a2y2

x2c2-a2x2-a2y2=a2c2-a4

x2(c2-a2)-a2y2=a2(c2-a2) x2b2-a2y2=a2b2

x2/a2-y2/b2=1

Centro C(0,0) eixo real sobre o eixo x

Observações

Se P(x,y) estivesse no ramo esquerdo, então Q(-x,y) estaria no ramo direito de modo que ainda valeria a igualdade anterior

Quando o eixo real estiver sobre o eixo y a equação será: y2/a2-x2/b2=1

Analogamente

Quando C(x0,y0) e o eixo real // eixo x (x-x0)2/a2-(y-y0)2/b2=1

Quando C(x0,y0) e eixo real // eixo y (y-y0)2/a2-(x-x0)2/b2=1

Equação das assíntotas

y-y0 = m(x-x0) m é a inclinação r:m=b/a; s:m=-b/a

Exemplo

Determinar vértices, focos, excentricidade e esboçar o gráfico: x2-y2=1

Exemplo

Determinar vértices, focos, excentricidade e esboçar o gráfico: -4x2+y2=1

Exemplo

Determinar vértices, focos, excentricidade e esboçar o gráfico: -4x2+2y2=1

Exemplo

Determinar a equação da hipérbole que satisfaz as seguintes condições:Focos F(±5,0), Vértices (±3,0)Eixo real = eixo x, centro C(0,0)

Exemplo

Determinar a equação da hipérbole que satisfaz as seguintes condições:a=4, Vértices (±4,0)Passa por P(8,2), centro C(0,0)

Exemplo

Determinar a equação da hipérbole que satisfaz as seguintes condições:b=8, e=5/3Eixo real =eixo y, centro C(0,0)

Exemplo

Determinar a equação da hipérbole que satisfaz as seguintes condições:Assintotas y=±2x, Vértices (±3,0)

Exemplo

Determinar a equação da hipérbole que satisfaz as seguintes condições:Um foco em (7,-2), Vértices (5,-2) e 3,-2

Exemplo

Determinar a equação da hipérbole que satisfaz as seguintes condições:C (5,1), um foco F(9,1) eixo imaginário méde

4(2)1/2

Exemplo

Determinar a equação da hipérbole que satisfaz as seguintes condições:C (2,-3), eixo real // eixo y passando por (3,-1)

e (-1,0) (conferir a solução)