Conjetura de Collatz, Ascenso Al Infinito

CARLOS GIRALDO OSPINALic. Matemáticas, USC

MATEMÁTICA INSÓLITADERECHOS DE AUTOR REGISTRADOS Y RESERVADOS

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VIAJE DE FANTASÍA

Usted va de viaje en su flamante auto, su cerebro se trastorna y de pronto ingresa a una extraña autopista. A su derecha empieza una sucesión de torres numeradas en su parte alta con la serie 3, 9, 15, 21, 27, ...

En su recorrido hacia el infinito observará torres de uno, varios o muchos pisos, a una torre unipiso la podrá suceder un enorme rascacielos o a la inversa. Su fantasioso viaje no es otra cosa que la visión del famoso Algoritmo de Collatz o Problema 3n + 1.

Detiene su auto al frente de uno de los inmensos rascacielos, ingresa y asciende a la azotea. A la izquierda de la autopista aparecerán ciudades identificadas con numerales como 13, 53, 85, y a sus alrededores diminutas viviendas unipiso; ciudades y viviendas entre las cuales no existen vías de comunicación.

Piensa que los habitantes de cada ciudad o vivienda son personas alérgicas a establecer contacto con las demás urbes. Investiga y su presunción desaparece, todos se conectan por debajo de tierra. Las vías subterráneas representan la denominada Conjetura de Collatz: hacia la superficie conducen a toda torre y hacia abajo se encuentra el COMPLEJO GUBERNAMENTAL 1.

En cada vivienda o piso de una torre tan solo hay un personaje, dicho personaje se identifica con un número impar, si encuentra dos personajes con la misma identificación significa que está recorriendo un universo de expertos clonadores.

El SUPREMO JEFE 1, buen especialista en delegar funciones, tiene como Vicepresidente al 5. El Vicepresidente ejerce el mando directo sobre un conglomerado de torres y el Presidente lo ejerce sobre otro: ningún gobernado directo del Presidente lo es del Vicepresidente y a la inversa.

Termina su trastorno, pasa algún tiempo en sano juicio.

Su sueño transcurre en calma, el inconsciente entra en acción e intenta recorrer de nuevo la Autopista de Collatz: las torres unipiso del recorrido inicial han desaparecido. Despierta con la extrañeza del cambio con respecto a su visión del primer viaje. ¿Qué ha sucedido?

1



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LA CONJETURA DE LÖTHAR COLLATZ

Collatz, en 1937, formuló la conjetura que posee el récord de nombres: Problema 3n +1, Cartografía 3x + 1, Algoritmo de Hasse, Problema de Kakutani, Algoritmo de Syracuse, Conjetura de Thwaites y Problema de Ulam.

El algoritmo de Collatz dice:

1. Inicie con cualquier número par, divida sucesivamente por 2 hasta que obtenga un impar; triplique el resultado, sume 1 y divida por dos hasta obtener otro número impar. Repita el proceso. Siempre llegará a 1 para todo número de inicio (Conjetura).

2. Inicie con uno impar, realice las reglas del juego (triplicar y sumar 1, luego dividir por 2) e igual llegará a 1. (Conjetura).

Los resultados de la sucesión del algoritmo de Collatz se denominan números de granizo. Aquí los llamaremos granizos.

Tal como se muestra en el ejemplo anterior, en este documento prescindiremos de los números pares y, en lo sucesivo, solo registraremos los impares. La razón es que de esta forma estaremos en buenas condiciones para demostrar la conjetura.

2

3

5

1

3

5

10

16

4

8

2

1

ALGORITMO Y CONJETURA DE LÖTHAR COLLATZ



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Otra de las razones por las cuales no emplearemos los números pares es que, en el fondo, el algoritmo de Collatz es más bien una forma algo «enrevesada» de construir el conjunto de los impares mediante un ordenamiento no estándar.

Lo «enrevesado» de la construcción del conjunto de los impares mediante el algoritmo de Collatz explica la dificultad por la cual, antes de este documento, no se logró la demostración de la Conjetura de Collatz.

ALGORITMO INVERSO DE COLLATZ

Inicie con cualquier número impar que no sea múltiplo de 3, multiplique sucesivamente por 2 hasta que el resultado disminuido en 1 sea múltiplo de 3, divida por 3 y aplique de nuevo el algoritmo. Conjetura: Exceptuando n = 1, siempre se finaliza en un múltiplo de 3.

3

9

7

13

11

17

5

1

3

5

1

TORRES DE COLLATZ

Denominaremos Torres de Collatz a los granizos impares generados por números de la forma 6n + 3 (Cúspide de la Torre)

Para los efectos de este documento, en lo sucesivo, el concepto de torre no incluirá los granizos 1 ni 5.

Suponga que se encuentra en la cúspide de una torre de Collatz con la prohibición de descenso a cualquier piso inferior y, al mismo tiempo, le exigen seguir aplicando el Algoritmo inverso de Collatz. Se concluye que se encuentra frente a un «absurdo» matemático dado que ningún múltiplo de disminuido en 1 puede ser divisor de 3. Además, Ascendiendo o descendiendo, tendría que repetir los mismos números sin poder salir de la torre. Sin embargo, ¡el «absurdo» tiene solución!

9

7

13

11

17

ABSURDO EN LA CÚSPIDE



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Dividiremos nuestro trabajo en dos partes: Construcción Collatz del conjunto de los impares y demostración de la conjetura.

CONSTRUCCIÓN COLLATZ

DEL CONJUNTO DE LOS IMPARES

Se denominará Torre de Collatz a una columna de números impares que en su parte más elevada, cúspide,

contenga un número de forma 6n + 3 y en la parte inferior uno de forma o

Los demás pisos se conforman con los granizos impares, excepto el 1 y el 5.

RECTA DE COLLATZ

AUTOPISTA DE COLLATZ

Se denominará Autopista de Collatz a la sucesión ordenada de torres de conformidad con el numeral correspondiente la cúspide.

Para conocer los números ubicados en los pisos inferiores se aplica el algoritmo de Collatz hasta llegar al primer piso.

En la página siguiente aparece la Autopista de Collatz desde la Torre 3 hasta la Torre 129 (22 torres), tramo en el que se encuentran los números impares menores que 100. Luego hemos separado la autopista en ciudades que se distinguen por tener todas sus torres con el mismo número en el piso inferior. Observará las ciudades 13, 53 y 85 con agregación de otras torres.

4

2715 213 9 51453933 6357

1 21353133 3413853521341 855461 1365



==================================================================================

5

15

53 3523

213

9 71117 13

2741 31 47 71 107 161 121 91

137 103155233175263395593

445

167251

377283425319479719107916192429911

1367205130775774333256123

53 35

25

11

19 29

33

17 13

39598967101

11

19 29

17 13

45 17 13

51

2977

1117 13

7

43654937

57

1117 13

6395143215323485 91137 103155233175263395593

445

167251

377283425319479719107916192429911

1367205130775774333256123

53 35 69

1311385

75

871311973771117 13

933553

9914971117 13

61

53 3523

81 1929

10579

119 269179101

1117 13

111

445

167251

377283425319479719107916192429911

1367205130775774333256123

53 35

117111713

123185 1392091575989 67

101 1929 11 17 13

12997 735583125

91137 103155233175263395593

445

167251

377283425319479719107916192429911

1367205130775774333256123

53 35

47 71

107 161121

1713

711

9

1317 45

1369

13

1929

3325

1711

13

37

4357

4965

7

1711

13

8967101

5939

2919

1711

13

7751

29

1711

3719713187

17117

1317117

13

14999

105

171129

13

101269179

19

11979

1711117

13

59157

139209

171129

13

1016789

19

123185



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ALGORITMO INVERSO DE COLLATZ

6

53 35

15 23

47 31

27 41

121 161

71 107

155 103

91 137

395 263

233 175

445 251

593167

319 425

377 283

16191079

479719

20511367

2429911

325433

3077577

5335

6123

155 103

91 137

395 263

233 175

445 251

593167

319 425

377 283

16191079

479719

20511367

2429911

325433

3077577

5335

6123

215143

6395

323485

53

9335

81

5335

6123

47 125

55 83

121 161

71 107

155 103

91 137

395 263

233 175

445 251

593167

319 425

377 283

16191079

479719

20511367

2429911

325433

3077577

5335

6123

73

12997

445 251

111167

319 425

377 283

16191079

479719

20511367

2429911

325433

3077577

5335

6123

53141

47 125

221 83

121 161

71 107

155 103

91 137

395 263

233 175

445 251

593167

319 425

377 283

16191079

479719

20511367

2429911

325433

3077577

5335

6123

147

539359

159239

809607

20511367911

325433

3077577

5335

6123

1425

401 30111385

1069

301 11385

1605

453 85

75 113 85

401 30111385

267

1205 11385

803

633 475713535

85

951

2141 8031205 113

1427



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La secuencia representa el Algoritmo inverso de Collatz aplicado sucesivamente a la serie de los impares (línea inferior); de ella se excluyen los números que ya se encuentren en torres precedentes, éstas no se completan hasta la cúspide, (6n+3), si el número de un piso se halla en torres ya construidas. Número en blanco significa que está contenido previamente en la recta numérica o en algún piso de alguna torre anterior. Ejemplos: el 9 y el 17 no se escribieron en la recta numérica por estar en la cuarta y sexta torre, respectivamente; el 11 en blanco se halla en la sexta torre por haber aparecido previamente en la recta numérica.

Observe que hemos avanzado hasta el 69 en la recta numérica y en las torres truncas ya aparecen 37 impares mayores que dicho número.

A continuación veremos las fórmulas que determinan los números correspondientes al primer piso para las torres de Collatz.

TORRES QUE NO CONTIENEN EL GRANIZO 5

7

47

121 161

71 107

155 103

91 137

395 263

233 175

445 251

593167

319 425

377 283

16191079

479719

20511367

2429911

325433

3077577

613959

355351

1523

2519

33

2115711

17 13

11

135

973 39

5743

4937

652335

4131

27192927 45 47

83125

129977355

69635967



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Si se aplica el Algoritmo de Collatz observaremos que hay dos clases de torres: un grupo de ellas no contiene el granizo 5 y el otro grupo lo contiene. En el primer caso diremos que la torre desciende directamente a 1 y en el otro el descenso a 1 se realiza a través de 5.

GRUPO DE DESCENSO DIRECTO A 1

GRUPO DE DESCENSO A TRAVÉS DE 5

8

3

121 2

n

u

Por cualquiera de estos números se puede ascender (algoritmo inverso de Collatz); ello implica, necesariamente, el descenso a 1 (Conjetura de Collatz) descenso directo.

1

55 46121 845 349 525 87 381 1 365

341 85 21u

3

125 12

n

u

213 13 65313 3 41385353 54 613

5

1

3

Por cualquiera de estos números se puede ascender (algoritmo inverso de Collatz); ello implica, necesariamente, el descenso a 1 (Conjetura de Collatz) a través de 5.

u

EFECTO COLLATZ



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El Teorema Tierra indica que las torres tendrán un piso para múltiplos de 3 generados por las fórmulas anteriores y que no se requiere verificación dada su demostración genérica. Si a los no múltiplos de 3 se les aplica el algoritmo inverso de Collatz entonces los resultados descenderán, necesariamente, a 1 por el Algoritmo de Collatz. (Ley de regresión de los algoritmos). Igual significa que tienen uno o dos niveles en el sótano: 1 para el grupo de descenso directo y 5, 1 para el otro.

9

TEOREMA TIERRA (Primer piso de las torres)

Todo número o

cumple la conjetura de Collatz.

Demostración

TEOREMA TIERRA

3 13 53 213 3

125 12

n

u

3

122

n

u5 21 85 341 1



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El «absurdo» anterior tiene su campo de validez tan solo en el marco de cada torre debido a que el Algoritmo de Collatz determina series finitas de granizos o, en términos de las torres, son series verticales «acotadas» En lenguaje más técnico diríamos que son series cerradas.

El «absurdo» propuesto podría denominarse PARADOJA DE COLLATZ dado que, sin violar la prohibición, siempre es posible el ascenso hacia el infinito. Recuerde que lo único que le prohiben es el descenso.

PUENTE

La Paradoja de Collatz se resuelve mediante la operación que denominaremos Puente

Veamos un ejemplo del Puente antes de proceder a su demostración general. Suponga que se encuentra en la cúspide 9; todo múltiplo par de 9 lo es de 3 y, por tanto, al restar 1 es imposible obtener un número impar divisible por 3. Nos exigen ascender sin alusión a la cúspide; en consecuencia, nuestro ascenso se debe realizar a partir de 7, sin descenso a dicho número.

Efectuemos 4 x 9 + 1 = 37, 4 x 261 + 1 = 1 045, 4 x 1 857 + 1 = 7 429 ... y, en cada caso, apliquemos el Algoritmo inverso de Collatz hasta alcanzar la cúspide de la correspondiente torre.

10

9

7

11

17

13

37

7

11

17

13

261

49

1857

1393

37

7

11

17

13

1045

49

ASCENSO AL INFINITO

Suponga que se encuentra en la cúspide de una torre de Collatz con la prohibición de descenso a cualquier piso inferior y, al mismo tiempo, le exigen seguir aplicando el Algoritmo inverso de Collatz. Se concluye que se encuentra frente a un «absurdo» matemático dado que ningún múltiplo de disminuido en 1 puede ser divisor de 3. Además, Ascendiendo o descendiendo, tendría que repetir los mismos números sin poder salir de la torre. Sin embargo, ¡el «absurdo» tiene solución!

9

7

13

11

17

ABSURDO EN LA CÚSPIDE



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En lenguaje común el Algoritmo de Collatz se expresa así: Multiplique un impar por 3, agregue 1, el resultado es un par, divida este último valor por la mayor potencia de 2 contenida en él y obtendrá otro impar.

La conjetura afirma que la repetición sucesiva del algoritmo finaliza en el granizo 1 o, en otras palabras, llegará al ciclo 1, 1, 1, ...

MERITORIO Y JUSTO HOMENAJE

Wailly, el Webmáster permanente de este portal, es el revisor que evita la filtración de errores de diferentes clases antes de que los aportes del autor lleguen a Usted.

Wailly consulta en Internet los documentos que puedan servir de materia prima para la realización del trabajo propio de www.matematicainsolita.8m.com

La Conjetura de Collatz era desconocida para quien escribe y gracias al Webmáster este documento se hizo posible.

Trabajando con el algoritmo 3n + 1 partí de un hipotético 4a + 1, le apliqué transformaciones y llegué a otro hipotético

Inicié la aplicación del algoritmo al número 27; luego de muchas operaciones empecé a pensar que el conjeturado 1, si aparecía, exigiría demasiadas iteraciones.

Solicité a Wailly que continuara operando y luego de 4 iteraciones dijo: ¡Listo!. Miré y no observé el ansiado 1. Wailly respondió que no era necesario continuar debido a que el proceso se lo había aplicado al 911 y, por tanto, los números subsiguientes serían los mismos. Revisó las tablas y confirmó las palabras con los datos.

Afirmó, además, que para cualquier número de inicio era suficiente con llegar a un resultado conocido y por lógica del algoritmo el proceso conduciría a 1.

Como MERITORIO Y JUSTO HOMENAJE a la persona que ha hecho posible que Usted se beneficie de www.matematicainsolita.8m.com, la formulación y demostración del Puente se denominarán TEOREMA DE WAILLY.

11

xw

w2

13 01

xwwimparw 213 100

3

1210

xww

LEY MATEMÁTICA QUE RIGE A DOS GRANIZOS IMPARES SUCESIVOS

http://www.matematicainsolita.8m.com/

http://www.matematicainsolita.8m.com/



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12

TEOREMA DE WAILLY

Los pisos inferiores de cualquier pareja de torres con granizos diferentes de forma son iguales a los subsiguientes de

DEMOSTRACIÓN:

El TEOREMA DE WAILLY es generalización del Teorema Tierra e indica que existe una infinidad de números que convergen a w1, además de w0 que genera a w1 de acuerdo con o, desde la óptica del algoritmo inverso, existe una infinidad de ramificaciones para w1

w0

w1

3

121

nawu

ESQUEMA GENÉRICO DEL PUENTE 4w + 1

122 naona nn

PUENTE 4w + 1 y TEOREMA DE WAILLY

w0

w1

w2

w3

wf

6a+3

u

w3

w2

w1

wf

4w0 + 1 ... ...3

121

nawu



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ALGORITMO 3n + 1 EN LOS ENTEROS NEGATIVOS

13

REGLAS DEL PUENTE 4w + 1

w0 = 4m + 1 w0 = 4m + 3

2901

17

13

3

1217 12

n

u

9

7

11

17

13

45

17

13

181

17

13

725

17

13

Ejemplo:

DEMOSTRACIÓN DE LA CONJETURA DE COLLATZ

Las torres 3, 9, 15, 21,... , 129 descienden a 1 (Demostración exhaustiva)

Un impar cualquiera pertenece a la torre 129, a una anterior o a una posterior (de lo contrario el Algoritmo 3n + 1 sería inoperante)

Todo granizo de una torre genera infinidad de nuevas torres (Puente 4w + 1)

Las torres subsiguientes a la 129 se conectan a ésta, o a una anterior, mediante el Puente 4w + 1

Por tanto, todo impar desciende a 1 al serle aplicado el Algoritmo 3n + 1

COROLARIO: El Algoritmo 3n + 1 implica el descenso a 1 para todo par.



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El Algoritmo de Collatz actúa de igual forma al ser aplicado al conjunto de los enteros negativos y equivale al algoritmo en los naturales. La diferencia consiste en que no habrá un único valor al cual se descienda.

Ciclos. Se denomina ciclo a los granizos que determinan una serie cerrada al ser aplicado el algoritmo a cualquiera de sus elementos, en otras palabras, el algoritmo es una operación cerrada para el ciclo. En el caso de los naturales solo existe el ciclo {1} para el algoritmo 3n + 1. En el de los enteros negativos se conoce la existencia de tres ciclos para el mismo algoritmo; si existe otro habría que hallarlo o demostrar la imposibilidad de que exista.

En términos cotidianos el ciclo es definible como la manecilla de un reloj: siempre marcará los mismos números en el mismo orden.

CICLOS PARA EL ALGORITMO

Es forzoso concluir que el algoritmo genera una partición del conjunto de los impares en 3 conjuntos en virtud de que dichos ciclos carecen de elementos comunes.

ALGORITMO

14

3 1 1

15 11

913

5

197

21312317

275

4933

10973

179161163

2939

143

5119 75

6745

9117

2537

61

5541

5371

5785 12795

5979

111

4763

5 7191335

775

5

103 69

1 43 115 77

121 81

19 203271 181

5 7

65 87

325217 145 97

1 43 115 307 205 547 365 487

5 7 19 13 139 93 37

99

9117

61

5541

ALGORITMO 3n + 1

Puente: 4w + 1

ALGORITMO

Puente: 4w - 1



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Si existe Puente entonces se debe encontrar el valor de k (único) empleando cualquier pareja de granizos

impares en la ecuación

El Puente permite conjeturar el descenso de cualquier número a uno u otro ciclo. En el caso del Algoritmo es demostrable la inexistencia del Puente.

COMENTARIOS A TRAVÉS DEL ALGORITMO

Dado que existe Puente y un ciclo, es posible conjeturar el descenso de todo número a dicho ciclo (ciclos, de existir otros).

La demostración exigiría construir la serie de torres de cúspide 7, 21, 35, 49,... para verificar (demostración exhaustiva) el descenso de los granizos de las mismas al ciclo (ciclos) y luego, mediante el principio de interconexión (Puente), realizar la demostración general de la conjetura. En el caso de varios ciclos se acudiría para efectos demostrativos, agotada la parte exhaustiva, a un supuesto ciclo único (isomorfismo).

Es probable que usted desista de sus intentos de viajar de 7 a 1 a bordo del algoritmo . Dicho viaje será exitoso cuando llegue al primer w tal que La incertidumbre que le generen las torres de cúspide 7, 21, 35, 49, al aplicarles el algoritmo lo llevarán a sospechar que ninguna llegará al ciclo; en matemáticas no es suficiente con sospechar.

Si aplica el algoritmo a la torre 299593 llega a 1 al instante: multiplique por 7, agregue 1 y dedíquese a dividir por 2. En el caso de las torres 329 y 86 282 825 llegará al ciclo a través de 9 (multiplicando y sumando solo 2 veces).

Mediante funciones es fácil demostrar que existen infinidades de torres que alcanzan el ciclo;

sin embargo, se trata de demostrar que la totalidad de torres llegan al mismo (si lo alcanzan) para que la conjetura se transforme en teorema.

Existen números fuera de torres 7(2m+1) pero conectados a ellas mediante el puente 8w + 1; Ejemplo: 3, por ser , 3 se conecta a la torre 7 mediante 8(3) + 1 = 25. Algo similar sucede con 5 y 41, conectados a la torre 329. Las torres de cúspide diferente a 7(2m+1) no afectan el proceso demostrativo (de ser cierta la conjetura) debido a que el Teorema de Wailly garantiza que los granizos inferiores son los mismos para torres interconectadas: si una de ellas no desciende al ciclo tampoco lo hará la otra, el descenso de una implica el descenso de la otra.

Nota: Los modelos matemáticos que definiremos a continuación están referidos a granizos impares: por tanto, n, c serán impares en las fórmulas definitorias.

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MODELO GENERAL DE COLLATZ

Algoritmo: Puente: Ciclo:

Interrogantes: ¿La aplicación de cualquier algoritmo del Modelo General de Collatz implica el descenso a 1? ¿Cuáles implican el descenso a 1?

El modelo general, cuando m = 1, es de uso corriente en las matemáticas y de ahí deriva el hecho de no ponerse en discusión. Dicho modelo se puede estudiar de la misma forma que se hizo con el algoritmo 3n + 1.

Algoritmo: Puente: Ciclo:

Para el algoritmo las cúspides de las torres son la serie de los impares y el número de llegada es el 1. No olvide que las torres las formamos con los granizos impares. En este caso todo granizo es cúspide, analice el segundo piso (rosado).

5

3

11

3

1

7

1

3

1

9

5 11

3

1

13

7

1

15

1

17

9

5

3

1

19

5

3

1

21

11

3

1

23

3

1

25

13

7

1

27

7

1

29

15

1

31

1

33

17

9

5

3

1

ULTRA MODELO LÖTHAR COLLATZ

Algoritmo: Puente: Ciclos: ,

El algoritmo 7n + 5 tiene, al menos, los ciclos y

Interrogantes: ¿La aplicación de cualquier algoritmo del Ultra Modelo Löthar Collatz implica el descenso a los ciclos para todo número natural?

¿Qué algoritmos del Ultra Modelo Löthar Collatz implicarían el descenso a los ciclos para todo número natural?



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INDUCCIÓN ALGORÍTMICA AL TRABAJO INFRUCTUOSO

Al leer «COMENTARIOS A TRAVÉS DEL ALGORITMO 7n + 1» es muy probable que Usted haya enfrentado la tarea de saber si era posible alcanzar el ciclo 1aplicando dicho algoritmo a 7: quizá desistió del intento después de recorrer muchos granizos quitándole tiempo a sus horas de descanso.

Su trabajo se plasmó en sospecha e impotencia al no poder confirmar o desechar las dudas. Uno de sus proyectos para enfrentar el problema pudo ser la construcción de un programa de ordenador.

«A través de programas de ordenador se ha probado que la Conjetura de Collatz es cierta para todo » es una información que muestra la impotencia de quien haya empleado el programa que en nada

contribuye a solucionar la conjetura. Informaciones de ese tipo producen la sensación de matemáticos que actúan como escolares que resuelven cientos de operaciones por imposición de su maestro.

Muchos matemáticos aplican los algoritmos siguiendo siempre la corriente de los mismos; raras veces se detienen en el análisis del algoritmo inverso. Si usted estudia los trabajos con respecto a la Conjetura de Collatz se dará cuenta de lo afirmado.

Las explicaciones de dicha costumbre se dejan al lector.

El problema de saber si es posible alcanzar 1, aplicando el algoritmo 7n + 1 al número 7, se puede resolver sin acudir al algoritmo ni a un programa de ordenador: aplique el algoritmo inverso a 1. Requiere unas pocas operaciones, lógica aritmética elemental y no necesita calculadora; el puente 8n + 1 le servirá de auxiliar.

Respuesta afirmativa (1 asciende a 7) implica comenzar a conjeturar que todo número desciende a 1 aplicando el algoritmo 7n + 1. Si su respuesta es negativa (1 no asciende a 7) entonces ha demostrado que la conjetura no es válida para todo número.

OBSERVACIONES FUERA DE ÓRBITA

1. Muchos matemáticos talentosos piensan que para conocer las leyes que gobiernan la distribución de los primos en el conjunto de los naturales es necesario resolver la Hipótesis de Riemman e igual para demostrar la Conjetura de Goldbach y otras. El trabajo realizado en www.numerosprimos.8m.com muestra que dichas leyes se pueden determinar sin acudir a la demostración de la Hipótesis de Riemman.

Para ello basta con determinar la función (la fórmula de Gauss es una aproximante), con ella

demostrar que y emplear el sencillo procedimiento aritmético de hallar la cantidad de

números en el intervalo [a, b] mediante la función .

2. Para demostrar el Último Teorema de Fermat no es obligatorio el difícil y extenso andamiaje de las curvas elípticas empleadas por el Doctor Andrew Wiles (matemático inglés).

ALGORITMOS 3n + 1 y 7n + 1: GRAFOS IMPARES

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En ocasiones es más fácil nadar contra la corriente, al menos, en matemáticas.

http://www.numerosprimos.8m.com/



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Los siguientes grafos parciales muestran el comportamiento de los granizos impares. En la parte superior aparece el correspondiente ciclo (cuadro anaranjado), debajo del mismo se observa el resultado de aplicarle el puente. Pasando por estos dos valores imagine un eje vertical.

Aplique el algoritmo a los números mostrados en el grafo y comprenderá los demás aspectos. Luego aplique el algoritmo inverso.

18

5

1

1 365

341

21

85 17 11 7 9

35¿

¿

23 15

13

3

213

53

113

227151

75

201

GRAFO 3n +1

La línea verde indica la aplicación del puente 4n + 1 (hacia abajo).

La azul representa la aplicación del algoritmo inverso 3n + 1(hacia la derecha o hacia la izquierda, según el caso)

9

1

?

167

?

? 37449

4681

73

585?¿

¿

?¿

¿ ?

3009

41

5

2 633

329

?

GRAFO 7n +1

La línea verde indica la aplicación del puente 8n + 1 (hacia abajo).

La azul representa la aplicación del algoritmo inverso 7n + 1 (hacia la derecha o hacia la izquierda, según el caso)



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Teorema: Ningún número de formas disminuido en

1 es múltiplo de 7. Similar para

Demostración

Corolarios: El menor múltiplo de 7 que desciende a 1 al aplicarle el algoritmo 7n +1 es 329. (Vea grafo 7n + 1)

No todo natural desciende a 1 al aplicarse el algoritmo 7n + 1.

3

6

5

6

5

3

5

3

6

mn 723009

1723 mn 472 23 mn

Documents

Conjetura de Collatz, Ascenso Al Infinito