Harald La Conjetura Debil de Goldbach

7/24/2019 Harald La Conjetura Debil de Goldbach

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La Gaceta de la RSME, Vol. 16 (2013), Nm. 4, Pgs. 709726 709

El diablo de los nmerosSeccin a cargo de

Javier Cilleruelo Mateo

La resolucin de la conjetura ternaria de Goldbach es uno de esos

logros matemticos que hacen historia. Harald Helfgott, peruano afincado

en Pars, ha tenido la amabilidad de contarnos las estrategias que le han

llevado a la resolucin de la conjetura. Espero que los lectores disfruten,

como yo lo he hecho, de su estilo directo, transparente y con medidas dosis

de humor.

No se me ocurre mejor artculo para despedirme de los lectores como

responsable de esta seccin, que he intentado llevar con entusiasmo y me

ha dado muchas satisfacciones cientficas y personales.

La conjetura dbil de Goldbach

por

Harald Helfgott

1. Introduccin

Leonhard Euler, uno de los matemticos ms importantes del siglo XVIII y detodos los tiempos, y su amigo, el amateur y polmata Christian Goldbach, tuvieron

una regular y abundante correspondencia. En su clebre carta del 7 de junio de 1742,Goldbach en verdad dio un enunciado de apariencia un tanto confusa, o por lo menospoco familiar (todo nmero puede ser descompuesto en una suma de un nmeroarbitrario de primos). Euler rpidamente la redujo a la conjetura siguiente, que,segn dijo, Goldbach ya le haba expuesto anteriormente:

Todo entero positivo puede expresarse como suma de, como mucho, tresnmeros primos.

Nosotros diramos ahora todo entero positivo mayor que 5, ya que en la actua-lidad no se considera al 1nmero primo. Por otro lado, la conjetura se ha dividido,de manera natural, en dos:

La conjetura dbil(o ternaria) de Goldbach, que dice que todo entero imparmayor que 5puede escribirse como suma de tres nmeros primos, y


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Figura 1: Euler y la carta de Goldbach.

La conjetura fuerte(o binaria) de Goldbach, que afirma que todo entero parmayor que 2puede expresarse como suma de dos nmeros primos.

Como sus nombres sugieren, la conjetura fuerte implica a la dbil (fcilmente:reste3a su nmero impar y despus exprese n

3como suma de dos primos).

Se puede consultar[8, Ch. XVIII] para conocer la historia temprana de la conje-tura. En resumen, parece que Waring volvi a proponer por su cuenta la conjeturadbil a finales del siglo XVIII, y que en el siglo XIX se hizo algo de trabajo compu-tacional (comprobando la conjetura para los nmeros enteros hasta 2 106 a mano),pero poco progreso de verdad.

La conjetura fuerte sigue fuera de nuestro alcance. Hace unos meses mipreprint[12]apareci el 13 de mayo de 2013 prob la conjetura dbil de Goldbach.

Los cimientos de la prueba descansan en los avances logrados a principios del si-glo XX por Hardy, Littlewood y Vinogradov. En 1937, Vinogradov prob[29] que laconjetura es cierta para todos los nmeros impares mayores que alguna constante C.

Hardy y Littlewood[10]ya lo haban demostrado unos aos antes, pero bajo la supo-sicin de que la hiptesis generalizada de Riemann fuera cierta; hablaremos de estoms adelante. Desde entonces, la constante Cha sido especificada y gradualmentemejorada, pero el mejor valor (esto es, el ms pequeo) deCdel que se dispona eraC=e3100 >101346 (Liu-Wang[17]), lo cual era, de lejos, demasiado grande. InclusoC= 10100 sera demasiado: como 10100 es ms grande que el producto del nmeroestimado de partculas subatmicas del universo por el nmero de segundos desdeel Big Bang, no habra ninguna esperanza de comprobar cada caso hasta 10100 porordenador (aun asumiendo que uno fuera un dictador aliengena usando el universoentero como una computadora muy altamente paralela).

Yo reduje C a 1029 (y podra bajarlo ms si fuera necesario). D. Platt y yohabamos comprobado la conjetura para todos los nmeros impares hasta 8.8 1030


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por ordenador (y podramos haber llegado ms lejos), as que este fue el final de lahistoria.

* * *

Es justo que repasemos algunos de los principales avances entre la poca deVinogradov y la nuestra. En 1933, Schnirelmann prob [24]que todo entero n >1puede escribirse como la suma de, a lo ms, Kprimos, dondeKera una constante noespecificada. Se trata de uno de los trabajos precursores de la combinatoria aditiva.En 1969, Klimov dio un primer valor para la constante (K= 6 109); luego la mejoraK= 115(con G. Z. Piltay y T. A. Sheptickaja) y K= 55. Siguieron resultados deVaughan[27] (K= 27), Deshouillers[7] (K= 26) y Riesel-Vaughan [23](K= 19).

Ramar mostr en 1995 que todo parn >1es la suma de a lo ms 6primos[21];

sus mtodos se inscriben ms en la tradicin de Vinogradov que en la de Schnirel-mann. Por ltimo, en 2012, Tao prob [25] que todo impar n >1 es la suma de a loms5primos.

Hubo otras lneas de aproximacin a la conjetura fuerte. Estermann [9]demostr,usando ideas cercanas a las de Vinogradov, que casi todo nmero par (es decir, unconjunto de densidad1 en los pares) puede ser escrito como la suma de dos nmerosprimos. En 1973, J.-R. Chen lleg a probar [1]que todo par ms grande que una ciertaconstante puede escribirse como la suma de un primo y el producto de dos primos.Por cierto, el mismo Chen, junto con T.-Z. Wang, es responsable de las mejorascotas paraC(en Goldbach ternario) antes de Liu y Wang: C= exp(exp(11.503))1y real) y los primos haba sido

descubierta anteriormente por Euler, quien demostr la notable identidad

n=1

1

ns =p

1 1

ps

1,

donde el producto se extiende sobre todos los primos. Euler dedujo fcilmente de estaidentidad que la suma de los inversos de los primos es infinita. Se debe a Riemann,sin embargo, la generalizacin de la funcin (s) al plano complejo y el esbozo de

la estrategia para demostrar lo que hoy conocemos como el teorema de los nmerosprimos, felizmente demostrado por Hadamard y de la Valle-Poussin:

|{pprimo : p x}| xlog x

,

donde| | representa el cardinal de un conjunto. Si la funcin (s) es la que per-mite estudiar la distribucin de los primos, las funciones Lde Dirichlet son las quenos proporcionan informacin sobre la distribucin de los primos en progresionesaritmticas. Estn definidas por

L(s, ) =

n=1

(n)ns

,


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Figura 5: Dirichlet y Riemann.

para(s) > 1, y por continuacin analtica para(s) 1. Aqu es cualquiercarcter de Dirichlet; para cada dado, L(s, ) es una funcin de s. Un carcterde Dirichlet (de mdulo q) es una funcin : Z C de perodo q (esto es,(n) =(n+q)para todon), con las propiedades adicionales de que es multiplicativa((ab) = (a)(b) para a, b cualesquiera) y que (n) = 0 cuando n y q no son

coprimos. (La forma sofisticada de decir todo esto es que es un carcter de(Z/qZ)en Z.)

Uncerode una funcinfes uns C tal quef(s) = 0. Un cero no trivialde(s),o deL(s, ), es un cero de (s), o deL(s, ), tal que0< (s)< 1. (Los otros cerosson llamados triviales porque es fcil decir dnde estn, a saber, en ciertos enterosno positivos.) La hiptesis de Riemann asevera que todos los ceros no triviales de lafuncin zeta de Riemann yacen en la recta crtica, lo cual significa que (s) = 1/2.La hiptesis generalizada de Riemann para funciones Lde Dirichlet dice que, paratodo carcter de Dirichlet , todo cero no trivial de L(s, )satisface(s) = 1/2.

Como tanto la hiptesis de Riemann (HR) como la hiptesis generalizada de

Riemann (HGR) siguen sin ser demostradas, cualquier resultado probado usandocualquiera de ellas ser condicional; ahora bien, nosotros queremos probar resultadosincondicionales. Lo que s puede ser demostrado, y utilizado, son resultados parcialesen la direccin de la HGR. Tales resultados son de dos tipos:

Regiones libres de ceros. Desde finales del siglo XIX (de la Valle-Poussin)sabemos que hay regiones con forma de reloj de arena (ms precisamente, dela formac/ log t 1c/ log t, dondeces una constante y donde escribimoss= +it) fuera de las cuales no pueden yacer ceros no triviales.

Verificaciones finitas de HGR. Es posible (usando un ordenador) probar peda-

zos finitos y no muy grandes de la HGR, en el sentido de verificar que todoslos ceros s no triviales de una funcin L(s, ) (dado) con parte imaginaria(s)menor que alguna constante Hyacen en la recta crtica(s) = 1/2.


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La mayor parte de los trabajos hasta la fecha sigue la primera alternativa. Yoeleg la segunda, y esto tuvo consecuencias para la manera en la que defin los arcos

mayores y menores: consegu resultados muy precisos en los arcos mayores, pero tuveque definirlos de tal manera que fueran pocos y muy estrechos; si no, el mtodo nohubiera funcionado. Esto signific que los mtodos para los arcos menores tenan queser particularmente potentes, ya que una parte del crculo ms grande de lo habitualqued para ser tratada con ellos.

Vamos a ver ms detenidamente cmo se puede lidiar con los arcos mayoresusando resultados parciales de la HGR y, en particular, verificaciones finitas dela HGR.

4. Estimaciones en los arcos mayores

Recordemos que queremos calcular sumas del tipof() = f(n)e(n), don-de f(n) es algo como (log n)en/x para n primo y 0 para n compuesto. Vamos amodificar esto slo un poco; de hecho calcularemos

S(, x) =

(n)e(n)(n/x),

dondees la funcin de Mangoldt: (n) = logpsi nes de la forma pk, con k1,y (n) = 0 de lo contrario. (El uso de en vez de es slo una concesin a latradicin, como lo es el uso de la letra S, de suma. Por otra parte, el uso de (n)

en lugar de simplementelogpsimplifica las cosas cuando hay que trabajar con las asllamadas frmulas explcitas, que veremos enseguida.) Aqu (t) es alguna funcinde decaimiento rpido; puede ser et, como en el trabajo de Hardy y Littlewood,o (como en mi trabajo) alguna otra funcin. (Podra incluso ser el truncamientobrutal 1[0,1](t), igual a 1 cuando t [0, 1] y a 0 de lo contrario; esto sera buenopara los arcos menores, pero, como veremos, resulta ser una mala idea cuando setratan los arcos mayores.)

Asumamos que est en un arco mayor, es decir, que podemos escribir de laforma = a/q+ /xpara algna/q(qpequeo) y algn(con||pequeo). Pode-mos expresarS(, x)como una combinacin lineal (esto es, una suma de mltiplos)

de trminos de la forma S,(/x,x), donde

S,(/x,x) =n

(n)(n)e(n/x)(n/x)

yrecorre los caracteres de Dirichlet de mdulo q.Por qu son las sumas S, mejores que las sumas S? El argumento se ha

convertido en /x, donde antes era . Aqu es pequeo ms pequeo que unaconstante, en nuestro tratamiento. En otras palabras,e(n/x)se mover alrededordel crculo un nmero acotado de veces a medida que n vaya de 1hasta, digamos,10x(para cuando(n/x)es ya muy pequeo). Esto hace que la suma S,sea muchoms fcil de calcular.


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Es un hecho estndar que podemos expresar S, mediante una frmula explcita(s, la frase tiene un significado tcnico, como el Jugendtraumde Kronecker):

S,(/x,x) = [()]x

F()x +error pequeo.

Aqu el trmino entre corchetes aparece slo paraq= 1. En la suma, recorre todoslos ceros no triviales de L(s, ), yF es la transformada de Mellin de e(t)(t):

F(s) =

0

e(t)(t)tsdt

t .

Lograremos nuestro objetivo si llegamos a demostrar que la suma

F()x

espequea.

La cuestin es esta: si comprobamos la HGR hasta parte imaginariaH, entoncessabemos que todo con|()| Hsatisface() = 1/2, y por lo tanto|x| = x.En otras palabras, x es entonces muy pequeo (comparado con x). Sin embargo,para cualquiercuya parte imaginaria tenga valor absoluto mayor que Hno sabemosnada sobre su parte real aparte de que 0


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tanto, tena que proporcionar estimaciones totalmente explcitas yo mismo, usandoel mtodo del punto de silla. Esto me llev un buen rato, pero los resultados segura-

mente sern de aplicacin general hola, ingenieros y tambin es de esperar quela funcin gaussiana se vuelva un poco ms popular en trabajos explcitos en teorade nmeros.

A propsito, estas estimaciones de funciones cilndricas parablicas nos permitentomar no slo (t) = et

2/2, sino tambin, ms generalmente, (t) = h(t)et2/2,

donde h es cualquier funcin de banda limitada, lo que significa, en este contexto,cualquier funcin hcuya transformada de Mellin restringida al eje y tenga soportecompacto. Deseamos optimizar la eleccin deh(t)hablaremos de ello ms adelante.

5. Los arcos menores

Cmo acotamos|S(, x)| cuando no est cerca de ningn racional a/qdedenominador pequeo? Que esto sea posible fue el gran logro de Vinogradov. Elprogreso desde entonces ha sido gradual. Doy mi propio enfoque al asunto en miartculo Minor arcs. . . [11]. Djenme comentar algunas de las ideas detrs de losavances all contenidos.

La demostracin de Vinogradov fue simplificada sustancialmente en los 70 (delsiglo XX) por Vaughan, quien introdujo la identidad que ahora lleva su nombre[28].Bsicamente, la identidad de Vaughan es un gambito: otorga una gran flexibilidad,pero a un precio aqu, un precio de dos logaritmos, en lugar de, digamos, dos

peones. El problema es que, si queremos alcanzar nuestro objetivo, no podemospermitirnos el lujo de perder logaritmos. La nica opcin es recuperar esos logaritmosencontrando cancelaciones en las diferentes sumas que surgen de la identidad deVaughan. Esto se tiene que hacer, por cierto, sin usar funciones L, puesto que ya nopodemos asumir que qsea pequeo.

He aqu otro aspecto de esta parte de la prueba. Todo tiene una aproximacinde la forma = a/q+ /x; el hecho de que est en los arcos menores nos dice queqno es muy pequeo. Estamos buscando cotas que decrezcan a medida queqcrece;la cota que yo obtengo es proporcional a (log q)/

(q). Cul es el efecto de ?

Algo de lo que me di cuenta pronto fue que, si no es muy pequeo, puede de

hecho ser utilizado en nuestro beneficio. Una razn es que hay trminos de la forma(), y la tranformada de Fourier de funciones suaves decae conforme el argumentocrece. Hay otras razones, empero. Algo que podemos usar es lo siguiente: por unresultado bsico de aproximacin diofntica, todo tiene muy buenas aproximacio-nes por racionales con denominador no demasiado grande. Si no es muy pequeo,entonces la aproximacin = a/q+ /x es buena, pero no muy buena; por lo tanto,debe haber otra mejor aproximacin a/q con q no demasiado grande (lo quesignifica considerablemente ms pequeo que x). Podemos ir y volver entre lasaproximaciones a/q y a/q, dependiendo de cul sea ms til en cada momento.Ello resulta ser mejor que usar una sola aproximacin a/q, por muy buena que esta

sea.Otra manera en la que se consigue sacar provecho de un grande es esparciendolas entradas en una gran criba. La gran criba puede ser vista como una forma apro-


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ximada de la identidad de Plancherel, reformulada como una desigualdad. Mientrasla identidad de Plancherel nos dice que la norma|

f|2(norma2) de la transformada

de Fourierf : R/Z Zde una funcin fdefinida en los enteros (tambin es ciertopara los reales u otros grupos) es igual a la norma |f|2de la misma funcinf, la grancriba nos dice que el total de|f(i)|2 para una muestra bien espaciada de puntosi R/Z est acotada por (un mltiplo de)|f|2. Ahora bien, en nuestro caso, lospuntos i son mltiplos de nuestro ngulo. Si = a/q, el espacio entre los puntosi es1/q, lo cual es bueno pero puede ser que tengamos que aplicar la gran cribavarias veces, ya que tenemos que aplicarla de nuevo para cada tanda de qpuntos.Sin embargo, si = a/q+ /x y no es demasiado pequeo, podemos rodear elcrculo varias veces y confiar en /x en vez de en 1/q para darnos el espacio. S,/x (e incluso q/x) es ms pequeo que 1/q, pero el efecto de esto est ms que

compensado por el hecho de que tenemos que recurrir a la gran criba muchas menosveces (quizs solamente una vez).Lo que es ms interesante, esta manera de esparcir los ngulos puede ser combi-

nada con otra manera ms tradicional de esparcirlos (lema de Montgomery; ver[18,(3.9)], o la exposicin en[15, 7.4]) con el fin de aprovechar el hecho de que estamostratando con sumas donde la variable recorre los primos p.

6. Conclusin

Hemos estado hablando acerca de acotar S(, x) para dentro de los arcos

menores, pero lo que queremos hacer realmente es acotar la integral m |S(, x)|3 d.Una forma fcil y tradicional de hacer esto consiste en usar la desigualdad trivial

m

|S(, x)|3 d maxm

|S(, x)| m

|S(, x)|2 d.

Desgraciadamente, as perderamos un factor de un logaritmo.Como nuestras cotas para S(, x), aq, estn dadas en trminos de q, tie-

ne sentido combinarlas con estimaciones para integrales del tipomr

|S(, x)|2 d,dondemr es una unin de arcos alrededor de racionales con denominador ms gran-

de que una constante pero menor que r. Cmo estimamos estas integrales? Estapregunta est muy relacionada con otra que entra dentro del marco de la gran criba:qu cotas se pueden conseguir para i =a/q, qr, donde r es de tamao mode-rado, si es que estamos trabajando con una sucesin con soporte en los primos?

Haba una respuesta en la literatura (basada en el lema de Montgomery; el enlacecon el mtodo del crculo ya fue observado por Heath-Brown) pero era peor que lacota ptima por un factor de al menos e (o de hecho ms); es este el resultadoutilizado en[25, 4] y la primera version de [11, 6]. Tambin haba una estimacinms reciente para la gran criba debida a Ramar ([22,Thm. 2.1]; ver tambin[22,Thm. 5.2]), pero no se haba hecho totalmente explcita. Tuve que hacerla explcita,y luego adapt el nuevo resultado sobre la gran criba a la tarea de estimar la integralsobremr. Como era de esperar, el factor e (o realmente un poco ms) desapareci.


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Queda por comparar el trmino principal con el error. Resulta que tenemos ciertomargen para elegir lo que ser el trmino principal, ya que depende de los pesos

que utilicemos. El trmino principal es proporcional a 0

0

+(t1)+(t2)(N/x (t1+t2)) dt1dt2,

donde+yson los dos pesos con los que escogemos trabajar,Nes el nmero imparque queremos expresar como suma de tres primos y xes de nuevo un parmetro denuestra eleccin. En comparacin, el error es proporcional a|+|2||1. As, tenemosun problema de optimizacin (maximizar el tamao de la doble integral divididapor|+|2||1). Lo mejor es elegir un peso + simtrico o cercano a ser simtrico(+(t)

+(2

t)), asegurndonos, por otra parte, que +(t)

0 para t

2. Esto

no es demasiado difcil de conseguir aun bajo la restriccin de que+sea de la forma(t) =h(t)et

2/2, donde h es de banda limitada.Qu pasa con ? La solucin del problema de optimizacin nos dice que debe

ser de soporte pequeo, o por lo menos concentrado cerca del origen. Aparte de eso,hay, por decirlo as, un problema poltico: , a diferencia de +, se usa tanto en losarcos mayores como en los menores; los arcos mayores quieren de verdad que sea dela forma et

2/2 o tket2/2, mientras los arcos menores preferiran algo ms simple,

como [0,1] o como 2 = (2[1/2,1]) M (2[1/2,1]), donde fMg es la convolucinmultiplicativa(o convolucin de Mellin):

(fMg)(x) = 0

f(y)gxy dy

y .

(Aqu 2 es precisamente el peso usado en el artculo de Tao sobre los cinco primos,o en mi propio artculo sobre los arcos menores.)

La solucin es simple: definamos (t) = (fMg)(t), dondees una constantegrande, f(t) = 2(t) y g(t) = t2et

2/2. Para f y g esencialmente arbitrarias, si sesabe cmo calcular (o estimar) Sf(, x)para algunos , y se sabe estimar Sg(, x)para todos los otros , entonces se sabe cmo estimar SfMg(, x)para todo . (Laprueba sale en un par de lneas; se escribe qu es SfMg en detalle y se cambia el

orden de la suma y la integral. En el proceso tambin se aclara que ayuda si f(t)yg(t)son pequeos para tcercano a 0.)La moraleja de esta historia es que diferentes problemas, y diferentes partes

del mismo problema, exigen diferentes pesos . Al menos en el contexto de sumasexponenciales, resulta haber un simple truco para combinarlas, como acabamos dever.

7. Algunos comentarios finales sobre computacin

Una demostracin analtica normalmente da una prueba vlida para todo n ma-

yor que una constanteC. La razn es simple: digamos que queremos mostrar que unacantidad es positiva. Generalmente, despus de bastante trabajo analtico, se llega


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a probar que la cantidad es de la forma 1 +error, donde el valor absoluto de esteerror es menor que, digamos, C/n (para dar un ejemplo simple). Esto ciertamente

muestra que la cantidad es positiva, a condicin de que n C. La tarea, entonces, esrefinar la demostracin hasta que la constante Csea suficientemente pequea paraque todos los casos en los que n Cpuedan ser comprobados a mano (literalmentea mano o con un ordenador). Esto fue, en gran parte, mi trabajo: comprobar la con-

jetura hasta C= 1029 (y de hecho hasta 8.8 1030) fue, en comparacin, una tareasecundaria como veremos, no era siquiera el principal esfuerzo computacional.

Primero, permtanme decir algunas palabras ms en general sobre resultadosanalticos. Hay resultados del tipo la proposicin es cierta para todo nmayor queuna constante C, pero esta demostracin no nos dice nada sobre Caparte de queexiste. A esto se le llama una estimacin inefectiva; muchas demostraciones de

los resultados de Vinogradov en libros de texto son de este tipo. (La razn detrs deesto es la posible existencia de los as llamados ceros de Siegel.) Un resultado pue-de decir tambin la sentencia es cierta para todo n > C, y en principio se deberapoder determinar algn valor de Cusando las ideas de la prueba, pero el autor pre-ferira irse a tomar un caf. Esta es una proposicin efectiva no explcita; la versindefinitiva de Vinogradov de su propio resultado fue de este tipo (como lo son muchosotros resultados en matemticas, incluyendo algunos de mi propio pasado). Si se daun valor explcito de C, entonces el resultado se denomina (sorpresa!) explcito.Queda la cuarta etapa: conseguir que Csea razonable, esto es, suficientemente pe-quea como para que el caso n Cpueda ser comprobado a mano. Estuvo claro

desde el principio que, en el caso de la conjetura ternaria de Goldbach, razonablesignificaba aproximadamenteC 1030 (aunque las verificaciones existentes llegabana bastante menos que 1030).

Dije antes que D. Platt y yo comprobamos la conjetura para todos los impareshasta 8.8 1030. He aqu como procedimos. Ya se saba (gracias a un esfuerzo degran envergadura de parte de Oliveira e Silva, Herzog y Pardi [19]) que la conjeturabinaria de Goldbach es cierta hasta 4 1018 esto es, todo nmero par hasta 4 1018es suma de dos nmeros primos. Sabiendo esto, todo lo que tenamos que hacer eraconstruir unaescalera de primos, esto es, una lista de primos desde2 hasta8.8 1030tal que la diferencia entre cualesquiera dos primos consecutivos de la lista fuera a loms4

1018. Por tanto, si alguien le da a uno un entero impar nhasta 8.8

1030, se

sabe que hay un primo p en la lista tal que n pes positivo y a lo ms 4 1018. Porhiptesis, podemos escribir n p= p1+p2para algunos primosp1, p2, y, por tanto,n= p+p1+p2.

Construir esta escalera no nos llev mucho tiempo. (De hecho, conseguir unaescalera hasta1029 es probablemente algo que el lector pueda hacer en su ordenadorpersonal en unas pocas semanas aunque almacenarla es otro asunto.) La tarease hace en aritmtica entera, y comprobamos la primalidad de los nmeros en laescalera de manera determinista (restringindonos a primos para los cuales hay unalgoritmo rpido de comprobacin de primalidad), as que no hay que preocuparse.

El clculo computacional ms grande ha consistido en verificar que, para todafuncin L de conductor qhasta sobre 15 000 (o dos veces esto para qpar), todoslos ceros de la funcin L con parte imaginaria acotada por 108/q yacen sobre la


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lnea crtica. Esto fue por completo obra de Platt [20]; mi nica contribucin fue ira buscar tiempo de ordenador por muchas partes (ver la seccin de agradecimientos

del artculo Major arcs. . . [12]). De hecho, Platt lleg hasta conductor200 000(odos veces esto paraqpar); ya haba llegado hasta el conductor 100 000en su tesis. Laverificacin llev, en total, unas 400 000horas de ncleo (esto es, el nmero total dencleos (cores) de procesador usados por el nmero de horas que corrieron es iguala 400 000; hoy en da, un procesador de primera lnea como los de la mquina enMesoPSL normalmente tiene ocho ncleos). Al final, como deca, us solamenteq 150 000(o el doble de esto para qpar), por lo que el nmero de horas necesariasfue de hecho unas 160 000; como me hubiera bastado con aproximadamente q120 000, podra decir que, en retrospectiva, se necesitaban slo unas 80 000horas dencleo. Los ordenadores y yo fuimos cavando por lados opuestos de la montaa, y

nos encontramos en el centro. El hecho de que los ordenadores trabajaran ms de lonecesario no es nada que lamentar: el clculo hecho es de uso general, y por tanto esmucho mejor que no est hecho a la medida de mis necesidades. Por otra parte,con demostraciones de esta longitud, lo mejor es construir como un romano, esdecir, calcular de ms por si uno (no el ordenador!) ha cometido algn pequeoerror en algn sitio. (Por qu creen que esas paredes eran tan gruesas?)

Comprobar los ceros de la funcinL computacionalmente es algo tan viejo comoRiemann (quien lo hizo a mano); es tambin una de las cosas que se intentaron encomputadoras electrnicas ya en sus primeros das (Turing tena un artculo sobreeso). Una de las principales cuestiones con las que hay que tener cuidado surge

cuando se quieren manipular nmeros reales: hablando honestamente, un ordena-dor no puede almacenar ; ms an, si bien un ordenador puede manejar nmerosracionales, realmente se siente cmodo slo cuando maneja aquellos racionales cu-yos denominadores son potencias de dos. Por tanto, en realidad no se puede decir:ordenador, dame el seno de este nmero y esperar un resultado preciso. Lo quese debera hacer, si realmente se quiere probar algo (como en este caso!) es de-cir: ordenador, te estoy dando un intervalo I = [a/2k, b/2k]; dame un intervaloI = [c/2l, d/2l], preferiblemente muy pequeo, tal que sen(I)I. Esto se llamaaritmtica de intervalos; es realmente la forma ms sencilla de hacer clculos encoma flotante de manera rigurosa.

Ahora, los procesadores no hacen esto de forma nativa, y si se hace puramentecon software se retrasan las cosas en un factor de ms o menos 100. Afortunada-mente, hay maneras de hacer esto a medias con hardware y a medias con software.Platt tiene su propia biblioteca de rutinas, pero hay otrasonline(por ejemplo,PRO-FIL/BIAS [16]).

(Oh, a propsito, no usen la funcin seno en un procesador Intel si quieren que elresultado sea correcto hasta el ltimo bit. En qu habrn estado pensando? Usenla biblioteca CRlibm [4]en su lugar.)

Por ltimo, hubo varios clculos bastante menores que hice yo mismo; los encon-trarn mencionados en mis artculos. Un clculo habitual fue una versin rigurosa

de una demostracin por grfica (el mximo de una funcin fes claramente me-nor que4 porquegnuplotme lo dijo). El lector encontrar algoritmos para esto encualquier libro de texto sobre computacin validada bsicamente, es suficiente


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combinar el mtodo de la biseccin con aritmtica de intervalos.Finalmente, djenme indicar que hay una desigualdad elemental en el artculo

Minor arcs. . . (viz., (4.24) en la demostracin del lema 4.2) que fue probada enparte por un humano (yo) y en parte por un programa de eliminacin de cuantifica-dores. En otras palabras, ya existen programas de ordenador (en este caso,QEPCAD[14]) que pueden probar cosas tiles. Ahora bien, no tengo dudas de que la mismadesigualdad puede ser probada puramente mediante el uso de seres humanos, peroes bonito saber que nuestros amigos los ordenadores pueden (pretender) hacer algoms que masticar nmeros. . .

Nota. Este artculo est basado en un texto del autor publicado en su blog[13].Se deben gracias a M. A. Morales, por una primera traduccin, y a J. Cilleruelo y

M. Helfgott, por muchos comentarios, as como a F. Chamizo, por la grfica de lafigura4.

Nota aadida en la imprenta. R. Vaughan me indica que Descartes mencionque todo entero es igual a [la suma de] uno, dos o tres primos en un manuscritopublicado de manera pstuma en 1901[6, p. 298]. Dickson alude a esto en su historia[8,p. 421], pero de manera un tanto oscurecida por una traduccin dudosa: la palabralatina par fue traducida como even (en castellano, par) cuando, dice Vaughan,debi haber sido traducida como equal (igual). En resumen, Descartes plante laconjetura de Goldbach un siglo antes de ste. Se trata, claro est, de un enunciado

emprico (no publicado) y no de algo que Descartes supiera probar; ni siquiera parecehaberlo planteado de manera explcita como un problema para ser resuelto.

Referencias

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Harald Andrs Helfgott, Ecole Normale Suprieure, Dpartement de Mathmatiques,45 rue dUlm, F-75230 Paris, France

Correo electrnico: [email protected]

Pgina web: http://www.math.ens.fr/~helfgott/

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Harald La Conjetura Debil de Goldbach