Universidad Nacional Federico Villarreal Facultad de Ciencias Naturales y Matemática

Escuela Profesional de Matemática y Estadística

Marlo Carranza Página 1

Practica Dirigida N°02

Conjuntos

1) Demuestre que A B A B A .

2) Demuestre que A B A B .

3) Demostrar que ( ) ( ) ( )A B C A B A C .

4) Demostrar que A B A B .

5) Demostrar que A B A B .

6) Sean a y b números enteros, A y B dos conjuntos tales que B es no vacío y AUB es unitario. Si 2 2{ 2 , 1}A a b b y { 4 , 1 3 }A B a b b a . Hallar A B

7) Demuestre que

a) ( ) ( )A B P A P B

b) ( ) ( ) ( )P A P B P A B

c) ( ) ( ) ( )P A P B P A B

8) Sean A y B dos subconjuntos del conjunto universal U, con n elementos. Si 2

( )5

nn A B ,

( )2

nn B ,

3( )

20

nn A B . Hallar ( )n A y ( )n A B .

9) Determinar el cardinal de A, B y C subconjuntos de un conjunto universal U, si ( ) 30n U ,

(( ) ) 5n A B C , ( ) 23n A B , ( ) 4n A C , ( ) 4, ( ) 8n A C n B C ,

( ) 3n A B C y ( ) 11n A B .

10) Demuestre que:

a) A B A B A B

b) A B A B B

11) Si 𝐴, 𝐵 𝑦 𝐶 son tres conjuntos finitos tales que 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅ , |𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶| = 40, |𝐶| = 28. Hallar

|𝐴∆(𝐵 − 𝐶)|

12) Sean Si 𝐴, 𝐵 𝑦 𝐶 son tres conjuntos del conjunto universal 𝑈 tales que 𝐴 ⊂ 𝐵, |�̅�| = 120,

|�̅� ∩ 𝐶̅| = 40 y |(𝐵 ∪ 𝐶) − 𝐴| = 4|𝐴| , calcular |𝑈|

13) De un conjunto de 86 personas, 53 son solteras, 45 son mujeres y 18 varones son casados,

hallar el número de mujeres solteras.

14) Dados 𝐴 y 𝐵 dos conjuntos finitos tales que |𝐴∆𝐵| = 16, |𝐵| = 14 y |𝐴 ∪ 𝐵| = 24; hallar |𝐵 − 𝐴|.

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15) De 100 estudiantes encuestados sobre la lectura de los periódicos 𝑀, 𝑁 𝑦 𝐻 se obtuvo la

siguiente información. 20 Leen 𝑁 𝑦 𝐻, 60 leen 𝑀 y finalmente 19 no leen ninguno de los tres

periódicos. Hallar el número de los que solo leen un periódico.

16) En una ciudad 𝑋 se leen 3 periódicos 𝐴, 𝐵 𝑦 𝐶 . El 30% de los habitantes leen 𝐴 pero no 𝐵, el 25%

leen B pero no C, el 28% leen C pero no A. Nadie lee los tres periódicos, por último, los que no

leen ningún periódico, junto con los que leen solo un periódico suman el 52%. Hallar el

porcentaje de los que leen solo 2 periódicos.

17) En un conjunto E, con 80 elementos, A y B subconjuntos de E tales que: |𝐴∆𝐵| = 45, 𝐴 −

(𝐴 ∪ 𝐵) = 13 Hallar |𝐴 ∩ 𝐵|

18) Probar las siguientes propiedades, A y B conjuntos arbitrarios

a. 𝐴 ⊂ 𝐵 si y solo si 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐵

b. 𝐴 ⊂ 𝐵 si y solo si 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐴

19) Sean 𝐴, 𝐵 𝑦 𝐶 tres conjuntos, probar que si 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐴 ∩ 𝐶 y 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐴 ∪ 𝐶, entonces 𝐵 = 𝐶

20) Para los conjuntos 𝐴, 𝐵 𝑦 𝐶 probar:

a. (𝐴 − 𝐵) − 𝐶 = 𝐴 − (𝐵 ∪ 𝐶)

b. 𝐴 − (𝐴 ∩ 𝐵) = (𝐴 ∪ 𝐵) − 𝐵 = 𝐴 − 𝐵

c. 𝐴 − 𝐵̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ = �̅� − 𝐵

d. �̅� − �̅� = 𝐵 − 𝐴

21) Probar que la suma Booleana tiene las siguientes propiedades:

a. 𝐴∆∅ = 𝐴

b. 𝐴∆𝑈 = �̅�

c. 𝐴∆(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐵 − 𝐴

d. Si 𝐴∆𝐵 = ∅ entonces 𝐴 = 𝐵

e. 𝐴∆𝐴 = ∅

f. 𝐴∆�̅� = 𝑈, 𝑈: conjunto universal.

g. 𝐴∆𝐵 = 𝐴∆𝐶 Entonces 𝐵 = 𝐶

22) Sean 𝐴 𝑦 𝐵 subconjuntos de un conjunto universal, son ciertos los siguientes enunciados

a. 𝑃(𝐴 − 𝐵) ⊂ 𝑃(𝐴) − 𝑃(𝐵)

b. 𝑃(�̅�) ⊂ 𝑃(𝐴)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅

El Agustino, Abril del 2015