Clase 1. conjuntos numéricos

Introduccióna la

aritmética

Profesor José Luis Gajardo

Introducción:

En la PSU, los distractores están construidos a partir de los errores comunes que cometen los estudiantes. Debemos, por lo tanto minimizar los errores en aritmética.

Algunos de los errores más comunes se encuentran en prioridad de las operaciones matemáticas, operatoria en los racionales y en identificar el conjunto numérico al cual pertenece una solución o un valor dado.


Conjuntos Numéricos




Números Racionales (Q):

Son aquellos que se pueden expresar como cuocienteentre números enteros. También podemos referirnos a ellos como el conjunto de todos los números decimales finitos, periódicos y semiperiódicos y, por lo tanto, todo cuociente entre números enteros tiene su equivalente decimal. Este conjunto se simboliza con la letra ℚ

El símbolo “/” significa “tal que…” y no representa división en este caso


Números Racionales (Q):

El conjunto de los números racionales incluye :

- Números enteros- Decimales Finitos- Decimales infinitos periódicos- Decimales infinitos semiperiódicos

Ejemplos:

• 0, 6666…. es un número Racional• 0, 5646464… es un número Racional• 0, 6785497…. No es un número Racional


Números Irracionales (I) ó (Q*):

Son todos aquellos que no se pueden expresar como cuociente entre dos números enteros y se caracterizan por tener infinitas cifras decimales sin período. Este conjunto se designa con el símbolo I ó ℚ*. Ejemplos de números irracionales son:



Números Reales (IR):

Es el conjunto que incluye a los racionales e irracionales:

IR : Q U Q*

NATURALES

ENTEROS

RACIONALES

IRRACIONALES

REALES



Anexo

Símbolos matemáticos:

En álgebra debemos familiarizarnos con la simbología utilizada en la expresiones matemáticas. Estas se usan frecuentemente en PSU. Algunos de los símbolos más usados son:


Algunos de los símbolos más usados son:



Alfabeto Griego:

En matemáticas, particularmente en geometría, es común utilizar letras griegas para simbolizar variables, especialmente ángulos.



Algunas propiedades de las operaciones básicas:

Conmutatividad:

Una operación binaria es conmutativa cuando el resultado de la operación es el mismo, cualquiera que sea el orden de los elementos con los que se opera.


Asociatividad:

Para cualesquiera elementos de un conjunto A noimporta el orden en que se operen las parejas de elementos, mientras no se cambie el orden de los elementos, siempre dará el mismo resultado. Es decir:


Ejemplos:

Por lo tanto, la suma es asociativa

Por lo tanto, la resta NO es asociativa

Por lo tanto, la multiplicación es asociativa

Por lo tanto, la División NO es asociativa


Números primos:

En matemáticas, un número primo es un número natural mayor que 1 que tiene únicamente dos divisores distintos: él mismo y el 1. Los números primos se contraponen así a los compuestos, que son aquellos que tienen algún divisor natural aparte de sí mismos y del 1.El número 1, por convenio, no se considera ni primo ni compuesto.

Nota: en muchos libros, se sigue considerando al N° 1 como Número primo, sin embargo, por definición, no lo es


Mínimo común múltiplo

El mínimo común múltiplo (abreviado m.c.m.) de dos o más números naturales es el menor número natural que es múltiplo de todos ellos. Sólo se aplica con números naturales, es decir, no se usan decimales, números negativos o números complejos.


Cálculo del Mínimo común múltiplo (m.c.m.)

Partiendo de dos o más números y por descomposición en factores primos, expresados como producto de dichos factores, su mínimo común múltiplo será el resultado de multiplicar los factores comunes y no comunes elevados a la mayor potencia.

Ejemplo: el mcm de 72 y 50 será

Tomando los factores comunes y no comunes con su mayor exponente, tenemos que:


Máximo común divisor

En matemáticas, se define el máximo común divisor (abreviado M.C.D.) de dos o más números enteros al mayor número que los divide sin dejar resto.

Por ejemplo, el MCD de 42 y 56 es 14

En efecto y 3 y 4 son primos entre sí (no existe

ningún número natural aparte de 1 que divida a la vez al 3 y al 4)


Cálculo del Máximo Común divisor (M.C.D.)

Por descomposición en factores primos

El máximo común divisor de dos números puede calcularse determinando la descomposición en factores primos de los dos números y tomando los factores comunes elevados a la menor potencia, el producto de los cuales será el MCD.

Por ejemplo, para calcular el máximo común divisor de 48 y de 60 obtenemos la factorización en factores primos:

El MCD son los factores comunes con su menor exponente, esto es:

MCD entre 48 y 60 es 22 x 3 = 12

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