Considerente Teoretice Clasele v-VIII a

- 1 -

MATEMATICĂ

EVALUAREA NAŢIONALĂ 2011

CONSIDERENTE TEORETICE

CLASELE V - VIII

- 2 -

- 3 -

ARITMETICĂ ŞI ALGEBRĂ MULŢIMI

TITLUL CONŢINUTULUI

EXEMPLE, EXPLICAŢII

1 Relaţii între mulţimi Dacă avem: }.5;2;3{},5;3;2{},5;4;3;2;1{ === CBA Apartenenţă, ∈: 2∈A; Egalitate, = : B = C; Incluziune, ⊂: B⊂A

2 Submulţime Dacă avem: }.5;3;2{},5;4;3;2;1{ == BA Mulţimea B este o submulţime a mulţimii A pentru că fiecare

element din B aparţine mulţimii A. 3 Operaţii cu mulţimi Dacă avem: }.5;3;2{},4;3;2;1{ == BA

Reuniunea: }{ BxsauAxxBA ∈∈=∪ ; }5;4;3;2;1{=∪ BA .

Intersecţia: }{ BxsiAxxBA ∈∈=∩ ; }3;2{=∩ BA .

Diferenţa: }{ BxsiAxxBA ∉∈=− ; }4;1{=− BA .

Produsul cartezian: }),{( BysiAxyxBA ∈∈=Χ . 4 Mulţimi finite şi mulţimi

infinite Mulţime finită este mulţimea cu un număr finit de

elemente. Exemple de mulţimi finite: }.5;3;2{},4;3;2;1{ == BA

Mulţime infinită este mulţimea cu un număr infinit de elemente.

Exemplu de mulţime infinită: ,....}.100,99;...;3;2;1;0{=N 5 Mulţimile N, Z, Q, R, R\Q ,....}.100,99;...;3;2;1;0{=N

;...}.3;2;1;0;1;2;3{.... −−−=Z

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ =∈∈= 1),(*,, baZbZa

baQ .

R este mulţimea numerelor reale ce cuprinde toate categoriile de numere inclusiv cele scrise sub formă de radicali.

{ }perfectpatratestenuaaQR =− numere iraţionale.

6 Relaţia N⊂Z⊂Q⊂R RQZN ⊂⊂⊂ Orice număr natural este număr întreg; Orice număr întreg este şi un număr raţional; Orice număr raţional este număr real.

Exemplu: .41222 =

+=+=

7 Scrierea numerelor naturale în baza zece

De exemplu, un număr natural format din trei cifre se scrie în baza zece astfel: cbaabc ++= 10100

8 Propoziţii adevărate şi propoziţii false

Exemple de propoziţii: Propoziţie adevărată: ,, 733:12 =+ ” Propoziţie falsă: ,, 233:12 =+ ”

Prin negarea unei propoziţii adevărate se obţine o propoziţie falsă, şi invers.

9 Împărţirea cu rest a numerelor naturale

Dacă avem: .235:17 restsi= Teorema împărţirii cu rest: ., îrrcîd <+⋅= 23517 +⋅=

- 4 -

TITLUL CONŢINUTULUI EXEMPLE, EXPLICAŢII 10 Divizibilitatea în N Un număr natural este divizibil cu un alt număr natural dacă restul

împărţirii dintre cele două numere este egal cu zero. Dacă avem dmM sau md atunci: m este multiplul lui d şi d este

divizorul lui m. Exemplu: }12;6;4;3;2;1{12 =D . Exemplu: ;....}3;....;9;6;3;0{3 nM = .

11 Proprietăţile divizibilităţii (cele mai uzuale)

Dacă avem dmM atunci şi dmk M)( ⋅ . Dacă avem dmM şi dnM atunci şi dnm M)( ± . Dacă avem dmM şi emM iar 1),( =ed , atunci şi )( edm ⋅M .

12 Criteriile de divizibilitate 2... Mbca dacă c = 0, sau 2, sau 4, sau 6, sau 8. 5... Mbca dacă c = 0, sau 5. 10... Mbca dacă c = 0. 3... Mbca dacă a+…+b+c se împarte exact la 3. 9... Mbca dacă a+…+b+c se împarte exact la 9. 4... Mbca dacă 4Mbc .

13 Numere prime şi numere compuse

Numere prime sunt numere care au doar doi divizori: pe 1 şi pe el însuşi. Exemple: 2, 3, 5, 7, 11, etc.

Numere compuse sunt numere care au cel puţin trei divizori. Exemple: 6, , 12, 15, etc.

14 Numere pare şi numere impare

Numere pare sunt numere divizibile cu 2. Forma de scriere a cestora este Nkk ∈,2 .

Numere impare sunt numere nedivizibile cu 2. Forma de scriere a cestora este Nkksauk ∈−+ ,1212 .

15 Numere prime între ele Numere prime între ele sunt numere care au ca divizor comun doar numărul 1. Exemple: 4 şi 9; 15 şi 19.

16 Descompunerea unui număr natural într-un produs de puteri de numere prime

Prin descompunerea unui număr natural într-un produs de puteri de numere prime se înţelege scrierea acestuia sub formă de produs de factori care la rândul lor nu se mai pot descompune. Exemplu: .3231648 4 ⋅=⋅=

17 C.m.m.d.c. şi c.m.m.m.c. Pentru a afla c.m.m.d.c. şi c.m.m.m.c. se procedează astfel: Se descompun în produs de puteri de numere prime numerele

date:

532180

324822

4

⋅⋅=⋅=

Pentru a afla c.m.m.d.c. se iau factorii comuni (o singură dată) cu puterea cea mai mică şi se înmulţesc între ei:

1232)180,48( 2 =⋅= . Pentru a afla c.m.m.m.c. se iau factorii comuni şi necomuni

(o singură dată) cu puterea cea mai mare şi se înmulţesc între ei:

240532]180,48[ 24 =⋅⋅= . 18 Divizibilitatea în Z Divizibilitatea în Z este asemănătoare cu divizibilitatea în N.

În Z: }4;2;1;1;2;4{4 +++−−−=D .

- 5 -



19 Fracţii subunitare, echiunitare, supraunitare Fracţii subunitare ., ba

ba

<

Fracţii echiunitare ., baba

=

Fracţii supraunitare ., baba

>

20 Amplificarea şi simplificarea fractiilor Amplificarea .0,

)

≠⋅⋅

= mmbma

bam

Simplificarea .0,::(

≠= mmbma

ba m

21 Fracţii ireductibile Fracţie ireductibilă este fracţia în care numărătorul şi numitorul sunt numere prime între ele. Exemplu de obţinere a unei fracţii ireductibile, pas cu pas:

.34

912

1824

3648 3(2(2(

===

22 Transformări de fracţii Fracţii zecimale finite

100, abcbca = .

Fracţii zecimale periodice simple 99

)(, aabcbca −= .

Fracţii zecimale periodice mixte 990

)(, ababcdcdba −= .

Exemple:

1532

90192

9021213)3(1,2.

34

912

9113)3(,1.

49

10022525,2 ==

−===

−===

O fracţie ordinară se poate transforma într-o fracţie zecimală prin împărţirea numărătorului la numitorul fracţiei. Exemplu:

).3(,73:223

22==

23 Compararea, ordonarea şi reprezentarea pe axă a numerelor reale

Compararea numerelor raţionale

Dintre numerele 67

=a şi 56

=b mai mare este numărul ….

Aducem numerele date la acelaşi numitor: 3035

67)5

==a şi 3036

56)6

==b .

Se observă că numărul mai mare este numărul b. Se poate să aducem numerele date şi la acelaşi numărător iar atunci comparăm numitorii.

Compararea numerelor reale din care cel puţin unul este număr iraţional

Dintre numerele 73=a şi 8=b mai mare ete numărul …. Introducem factorii sub radical şi obţinem: 6373 ==a şi

648 ==b . Se observă că numărul mai mare este numărul b.

- 6 -

TITLUL

CONŢINUTULUI


24 Valoarea absolută a unui număr real

Valoarea absolută a unui număr real: ⎪⎩

⎪⎨

⎧

<−=>

=0,

0,00,

aaaaa

a

Valoarea absolută a unui număr iraţional Dacă avem: ba − , cel puţin unul este iraţional, ba < , atunci

abba −=− . Exemplu: .3223 −=−

25 Opusul şi inversul unui număr real

Opusul unui număr real: opusul lui a este −a.

Inversul unui număr real: inversul lui a este a1 .

26 Partea întreagă şi partea fracţionară a unui număr real

Partea întreagă şi partea fracţionară a unui număr real pozitiv:

4,4 este între 4 şi 5. Partea întreagă [4,4] = 4. Partea fracţionară {4,4} = 4,4 − [4,4] = 4,4 − 4 = 0,4.

Partea întreagă şi partea fracţionară a unui număr real negativ:

−2,6 este între −3 şi −2. Partea întreagă [−2,6] = −3. Partea fracţionară {−2,6} = −2,6 − [−2,6] = −2,6 +3 = 0,4.

27 Rotunjirea şi aproximarea unui număr real

Metoda de a aproxima un număr real, mai ales când acesta este o fracţie zecimală sau un număr iraţional este folosită la estimări şi exerciţii de comparare.

Exemplu: .....4721359,420 = Dacă s-ar cere aproximarea cu două zecimale prin lipsă atunci am avea: 47,420 = . Dacă s-ar cere aproximarea cu două zecimale cu adaos atunci am avea: 48,420 = .

28 Intervale în R; reprezentarea pe axă

Interval mărginit închis la ambele margini: ];[ ba

Interval mărginit închis la una din margini : ];( ba

Interval mărginit deschis la ambele margini: );( ba

Interval mărginit închis sau deschis la una din margini şi nemărginit la cealaltă: ];( a−∞

Interval nemărginit la ambele margini: R=+∞−∞ );(

4

- 7 -



29 Rădăcina pătrată a unui număr natural pătrat perfect

ba = dacă .2 ab =

aa =2 dacă .0>a În general aa =2 .

Exemplu: 1515225 2 == . 30 Algoritmul de extragere a

rădăcinii pătrate

Aşadar, radical din 55225 este egal cu 235.

Să calculăm rădăcina pătrată a lui 55225. Despărţim numărul în grupe de câte două cifre, de la dreapta spre stânga. Ne întrebăm: care este cel mai mare număr al cărui pătrat este mai mic sau egal cu

5. Acesta este 2; îl scriem în dreapta sus;

Îl ridicăm la pătrat, obţinem 4 şi-l trecem sub 5, aflăm restul scăderii 1. Coborâm grupul de următoarele 2 cifre lângă rest. Dublăm pe 2 şi rezultatul 4 îl trecem sub 2. Ne gândim care cifră punem alături de 4 şi rezultatul îl înmulţim cu cifra aleasă

astfel încât numărul dat să se cuprindă în 152. Ne gândim care cifră punem alături de 4 şi rezultatul îl înmulţim cu cifra aleasă

astfel încât numărul dat să se cuprindă în 152. Rezultatul fiind 129, îl trecem sub 152 şi aflăm restul scăderii. Cifra 3 o trecem la rezultat, alături de 2. Coborâm următoarea grupă de cifre, pe 25, lângă restul 23. Coborâm dublul lui 23, care este 46. Ne gândim care cifră punem alături de 46, numărul format îl înmulţim cu acea cifră

iar rezultatul să fie mai mic sau egal cu 2325. Acesta poate fi 5 şi facem calculele. Trecem rezultatul 2325 sub numărul 2325 şi efectuăm scăderea. Restul fiind zero, algoritmul s-a terminat, cifra 5 o trecm la rezultat alături de 23.

31 Scrierea unui număr real pozitiv ca radical din pătratul său

Dacă avem 7 atunci acest număr se poate scrie şi 4977 2 == .

Dacă avem 25 atunci acest număr se poate scrie şi

425

25

25

2

2

== .

32 Reguli de calcul cu radicali

Doi radicali se pot aduna sau scădea numai dacă sunt ,,la fel” adică avem termeni asemenea:

Exemplu: 5335)241(552545 =⋅=−+⋅=−+ . Înmulţirea radicalilor: baba ⋅=⋅ ; 30103 =⋅ .

Împărţirea radicalilor: baba :: = ; 36:18 = . 33 Scoaterea şi introducerea

factorilor sub radical Scoaterea factorilor de sub radical. Prezentăm una din metodele

cele mai utilizate la scoaterea factorilor de sub radical. Se descompune numărul dat în produs de puteri de numere prime – se iau perechi de numere prime egale – dintr-o pereche va ieşi un factor de sub radical – factorii nepereche vor rămâne sub radical – factorii ieşiţi sau rămaşi sub radical se înmulţesc.

Exemplu:

66323232216 33 =⋅⋅=⋅=

Introducerea factorilor sub radical se bazează pe operaţia

baba ⋅=⋅ . Dacă avem 53 pentru a introduce pe 3 sub radical, se ridică la puterea 2 numărul 3 după care se înmulţeşte cu 5.

45595353 2 =⋅=⋅= .

- 8 -

TITLUL

CONŢINUTULUI


34 Raţionalizarea numitorilor Raţionalizarea numitorilor de forma ba .

abbm

bbabm

bamb

=⋅

⋅=

)

.

463

1269

6269

66269

629

3()6

==⋅

=⋅

=

Raţionalizarea numitorilor de forma cba + . În primul rând conjugatul numărului cba + este numărul cba − . Pentru raţionalizarea numitorului de această formă, fracţia se va amplifica cu conjugatul numitorului.

22

) )()()(

)(cba

cbamcbacba

cbamcba

mcba

−−

=−⋅+

−⋅=

+

−

.

23510

4)3510(2

121631020

)32(431020

)324()324()324(5

3245

22

)324

+=

+=

−+

=

=−+

=+⋅−

+⋅=

−

+

35 Operaţii cu numere reale Adunarea şi scăderea Pentru a efectua adunarea sau scăderea numerelor raţionale este necesar a parcurge următorii paşi: Se transformă fracţiile zecimale în fracţii ordinare; Se aduc fracţiile la acelaşi numitor; Se efectuează adunarea/scăderea.

Exemplu:

.3

176

346

169154238

23

257)6(,2

235,27

2()2)3)3)6 ==

+−−=+−−=+−−

Proprietăţile adunării: Adunarea este comutativă: a + b = b + a. Adunarea este asociativă: a + b + c = (a + b) + c. Elementul neutru al adunării este 0: a + 0 = a. Pentru orice a există opusul lui a astfel încât: a + (-a) = 0.

Înmulţirea La înmulţirea unui număr întreg cu o fracţie, se înmulţeste numărul întreg cu numărătorul fracţiei, numitorul rămânănd neschimbat;

Se transformă fracţiile zecimale în fracţii ordinare; La înmulţirea a două fracţii ordinare se înmulţesc

numărătorii între ei şi numitorii între ei. Exemplu:

a) .3

141884

18712

18712

6(

==⋅

=⋅

b) .42184

73614

76

314

76)6(,4

21(

==⋅⋅

=⋅=⋅

Proprietăţile înmulţirii: Înmultirea este comutativă: a ⋅ b = b ⋅ a; Înmultirea este asociativă: a ⋅ b ⋅ c = (a ⋅ b) ⋅ c; Elementul neutru al înmulţirii este 1: a ⋅ 1 = a; Înmulţirea este distributivă faţă de adunare sau scădere:

a ⋅ ( b + c ) = a⋅b + a⋅c

- 9 -

TITLUL

CONŢINUTULUI


35 Operaţii cu numere reale Împărţirea La împărţirea a două numere raţionale se înmulţeşte primul număr cu al doilea inversat. Exemplu:

.3

2090600

5182425

524

1825

245:

1825 30(

==⋅⋅

=⋅=

Tabelul înmulţirii semnelor: F1 F2 P + + ++ − −− + −− − +

Tabelul împărţirii semnelor: D I C + + + + − − − + − − − +

Ridicarea la putere ,,Puterea este o înmulţire repetată”

aaaaan ⋅⋅⋅⋅= ...

mm

aa 1

=−

Exemplu: 322222225 =⋅⋅⋅⋅=

49

23

32 22

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−

Operaţii cu puteri: 1a = 1; a1 = a; a0 = 1, dacă a ≠ 0; 0a = 0, dacă a ≠ 0;

am ⋅ an = am+n; am : an = am-n; (am)n = am⋅n; (a⋅b)m = am⋅bm.

36 Ordinea efectuării operaţiilor şi folosirea parantezelor

Într-un exerciţiu de calcul aritmetic ce conţine mai multe operaţii cu numere raţionale se efectuează mai întâi ridicările la putere, apoi înmulţirile şi împărţirile în ordinea în care sunt scrise şi apoi adunările şi scăderile, la fel, în ordinea în care sunt scrise.

În exerciţiile de calcul aritmetic care conţin paranteze se efectuează mai întâi calculele din parantezele mici (rotunde), apoi cele din paranteze mari (drepte) şi apoi cele din acolade.

Dacă în faţa unei paranteze ce conţine un număr raţional sau o sumă/diferenţă de numere raţionale se află simbolul ,,−”, atunci se poate elimina semnul şi paranteza, scriind numerele din paranteză cu semnul schimbat.

Exemplu: ( )[ ]{ } =⋅−⋅+−⋅+⋅+ 1032317:1043254 32

( )[ ]{ } =−⋅+−+⋅+= 308317:1012454 [ ]{ } =−⋅+⋅+= 308317:654 [ ]{ } =−⋅++= 308317:304

{ } =−⋅+= 308317:34 { } =−⋅+= 30832

=−⋅= 3085 103040 =−= .

37 Factorul comun Dacă wfcfbfafwcbaf ⋅++⋅+⋅+⋅=++++⋅ .....)....( atunci şi ).....(..... wcbafwfcfbfaf ++++⋅=⋅++⋅+⋅+⋅

Exemplu: 24)2(12)1053(121012125312 −=−⋅=−+⋅=⋅−⋅+⋅ 38 Media aritmetică

Media aritmetică n

aaaam na

++++=

....321 .

- 10 -

TITLUL

CONŢINUTULUI


39 Media aritmetică ponderată

Media aritmetică ponderată

n

nnp pppp

papapapam++++

⋅++⋅+⋅+⋅=

........

321

332211

unde pi este ponderea numărului ai . 40 Media geometrică a două

numere reale pozitive Media geometrică bamg ⋅= .

41 Raportul a două numere Dacă avem numerele reale a şi b, atunci raportul lor este egal cu

ba .

Exemplu: Fie 5,12=a şi 25,3=b . 1350

3251250

25,35,12 25(

===ba .

42 Proprietatea fundamentală a proporţiilor Dacă avem proporţia

nm

ba

= atunci mbna ⋅=⋅

43 Derivarea proporţiilor Dacă avem proporţia

nm

ba

= atunci mai putem obţine şi proporţiile:

nb

ma

= ; ;mn

ab

= n

nmb

ba ±=

± ; mn

mab

a±

=±

.

;n

kmb

ka ⋅=

⋅ ;kn

mkb

a⋅

=⋅

;nm

kbka

=⋅⋅

nkm

bka ::

=

44 Aflarea unui termen necunoscut dintr-o proporţie dată

Dacă avem proporţia 27

8=

x atunci 282

56278

==⋅

=x .

În general dacă avem 2

21

1extrem

mezmez

extrem= atunci

2211

2211

mezextremextremmezşi

extremmezmezextrem ⋅

=⋅

= .

45 Mărimi direct proporţionale

Dacă numerele a, b, c, …., w sunt direct proporţionale cu numerele α, β, γ, ...., ω atunci se poate forma un şir de rapoarte

egale: iwcba=====

ωγβα.... , unde i este coeficientul de

proporţionalitate. Proprietate generală a unui şir de rapoarte egale:

ωγβαωγβα ++++++++

=====............ wcbawcba .

Exemplu de o problemă: Să se împartă numărul 76 în trei părţi direct proporţionale cu numerele 3, 5, 11. Rezolvare:

.44411;2045;12434

1976

11531153=⋅=

=⋅==⋅=⇒==++++

===

cbacbacba

46 Mărimi invers proporţionale

Dacă numerele a, b, c, …., w sunt invers proporţionale cu numerele α, β, γ, ...., ω atunci se poate forma un şir de produse egale:

ωγβα ⋅==⋅=⋅=⋅ wcba .... Acest şir de produse egale se poate transforma într-un şir de rapoarte egale, precum:

iwcba=====

ωγβα1....111 ,unde i este coeficientul de proporţionalitate.

- 11 -



47 Regula de trei simplă Regula de trei simplă cu directă proporţionalitate

caietecaietelei

leicaietex

leitavorcaietexleităcaiete

57

357

5,1725,17.............cos..............

7....................cos.....................2

==⋅

=

Regula de trei simplă cu inversă proporţionalitate

zilezilemuncitori

zilemuncitorix

zilexînlucrareaceeasifacevormuncitorizileînlucrareofacmuncitori

87

567

144.............7

14...............................4

==⋅

=

48 Procente Procentul este un număr raţional;

100% pp = .

Exemple: 51

10020%20 == ;

45

100125%125 == .

49 Aflarea a p% dintr-un număr Din relaţia badinp =% ⇒ bap

=⋅100

Exemplu: 18100180060

1003060%30 ==⋅=din .

50 Aflarea unui număr când se cunoaşte p% din el Din bap

=⋅100

⇒ p

ba ⋅=

100 .

Exemplu: 12045

54100;54%45 =⋅

== xxdin

51 Aflarea raportului procentual Din bap

=⋅100

⇒ a

bp ⋅=

100 .

Exemplu: .2580

20100;2080% =⋅

== xdinx

Mai explicit: %2541

8020% ===x

52 Calculul probabilităţii de realizare a unui eveniment

cazuridetotalnrfavorabilecazuridenreaobabilitat

..Pr = .

Exemplu. Într-un coşuleţ sunt 8 mere galbene şi 12 mere roşii. Care este probabilitatea ca luând la întâmplare un măr, acesta să aibă culoarea roşie?

%7543

2012

12812

===+

=P .

- 12 -

CALCUL ALGEBRIC TITLUL

CONŢINUTULUI


1 Calculul cu numere reprezentate prin litere

Termenii de forma cl unde c, numit coeficientul termenului, reprezintă un număr, iar, l, partea literală a termenului, este formată din numere reprezentate prin litere, eventual, cu diverşi exponenţi, îi numim termeni asemenea dacă părţile lor literale sunt identice, iar adunarea lor se numeşte reducerea termenilor asemenea.

Exemple: 1) Perechi de termeni asemenea: 22 52 xysixy ; 3232 45 yxsiyx +− . 2) Adunarea: 222 284523 xyxyxyxyxyxy −=−++ . 3) Înmulţirea: ( ) ( ) 3422 24423 yxyxxyx =−⋅−⋅ . 4) Împărţirea: ( ) 23354 47:28 xyyxyx = .

5) Ridicarea la o putere: ( ) 936332 82 zyxyzx −=− . 6) Ridicarea la o putere cu exponent număr negativ:

22 +−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++

badc

dcba

2 Formulele de calcul prescurtat

Formule utilizate: 1) Produsul dintre un număr şi o sumă/diferenţă: ( ) acabcba ±=± 2) Pătratul unui binom: ( ) 222 2 bababa +±=± 3) Pătratul unui trinom: ( ) ( )bcacabcbacba +++++=++ 22222 4) Produsul sumei cu diferenţa: ( )( ) 22 bababa −=−+ 5) Produsul a două paranteze: ( )( ) ( ) ( )nmbnmanmba +++=++ Exemple: 1) ( ) xxxx 6232 2 +=+ ; 2) ( ) 14412 22 ++=+ xxx ;

3) ( ) 91210432 23422 ++++=++ xxxxxx ; 4) ( )( ) 2595353 2 −=−+ xxx ; 5) ( )( ) 10352 2 −−=−+ xxxx .

3 Descompunerea în factori Formule utilizate: 1) Scoaterea factorului comun: ( )cbaacab ±=± 2) Restrângerea pătratului unui binom: ( )222 2 bababa ±=+± 3) Diferenţa de pătrate: ( )( )bababa −+=− 22 4) Descompunerea unui trinom de forma: nmxx ++2 ; dacă

Zbambasinba ∈=+=⋅ , atunci: ( )( )bxaxnmxx ++=++2 . Exemple: 1) ( )5352515 2 −=− xxxx ; 2) ( )22 4316249 −=+− xxx ; 3) ( )( )yxyxyx −+=− 224 22 ; 4) ( )( )43122 −+=−− xxxx .

- 13 -



4 Rapoarte de numere reprezentate prin litere

Exemple:

32x ;

5yx + ;

492 −x ;

22−xx cu condiţia ca 0≠numitorul .

5 Amplificarea Amplificarea

knkm

nmk

⋅⋅

=)

;

Exemplu: 463

)2)(2()2(3

23

2

2)2

−+

=+−

+=

−

+

xxx

xxxx

xxx

.

6 Simplificarea Simplificarea

knkm

nm k

::(

= ;

pentru a simplifica un raport de fapt se caută c.m.m.d.c. al termenilor raportului dat.

Exemplu: Să se simplifice raportul: 4

442

2

−++

xxx ; se descompun în

factori termenii raportului şi după aceea se simplifică. ( )

( )( ) 22

222

444

2(2

2

2

−+

=−+

+=

−++

+

xx

xxx

xxx

x

.

7 Adunarea sau scăderea Adunarea sau scăderea

k

pqkmnkqp

nm qknk ⋅+⋅

=+):():():):

;

Unde k este c.m.m.m.c. al lui n şi q. Exemplu:

.)2)(2(

263)2)(2(

263)2)(2(

22

34

22

3 22)2

2 −++−

=−++−

=−+

++

=−

++

−

xxxx

xxxx

xxxx

xxx x

8 Înmulţirea Înmulţirea

qnpm

qp

nm

⋅⋅

=⋅ ;

Exemplu: 9

2)3)(3(

)2(32

3 2

2

−+

=−+

+=

−+

⋅+ x

xxxx

xxxx

xx .

9 Împărţirea Împărţirea

pnqm

pq

nm

qp

nm

⋅⋅

=⋅=: ;

Exemplu: 42

2)1(2)2(

)2)(1(22

221

222:

21

+−

=−⋅+

−−=

−−

⋅+−

=−−

+−

xx

xxxx

xx

xx

xx

xx .

10 Ridicarea la putere Ridicarea la putere a

aa

nm

nm

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ;

Exemplu: 12)1(1 2

2

2

22

+−=

−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

− xxx

xx

xx .

11 Ridicarea la putere cu exponent număr negativ Ridicarea la putere a

aa

mn

nm

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−

;

Exemplu: 2

2

2

22 12)1(1 x

xxx

xx

x +−=

−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−

−

.

- 14 -

FUNCŢII TITLUL

CONŢINUTULUI


1 Noţiunea de funcţie Daca fiecărui element din mulţimea A îi corespunde un element din mulţimea B spunem că este definită o funcţie pe A cu valori în B.

Se notează: .: BAf → A = domeniul de definiţie, B = codomeniul funcţiei. Exemplu: { } 3)(,3;2;1;0;2: +=→− xxfRf

2 Funcţii definite pe mulţimi finite, exprimate prin diagrame, tabele, formule, grafic

0

1

2

3

4

5

6

7

-1 0 2 5

x -1 0 2 3 5y 1 2 4 5 7

f(x) = x + 2

3 Funcţii de tipul

f:A→R, f(x) = ax + b, unde A este un interval de numere reale

Exemplu: Să se construiască graficul funcţiei f:[-2;4)→R, 23)( +−= xxf ; Pentru )8;2(826)2(2 −⇒=+=−⇒−= Afx ; Pentru )10;4(10212)4(4 −⇒−=+−=⇒= Bfx ; Graficul funcţiei este un segment de dreaptă ce uneşte punctele A şi B, închis în A şi deschis în B. * Dacă mulţimea A este un interval de numere mărginit la o extremă şi nemărginit la cealaltă extremă, atunci graficul funcţiei este o semidreaptă cu originea în extrema mărginită a intervalului.

4 Functii de tipul f:R→R, f(x) = ax + b

Exemplu: Sa se construiască graficul funcţiei f:R→R,

1117

1112)( −=

xxf ;

Pentru )5;6(51155

1117

1172)6(6 Afx ⇒==−=⇒= ;

Pentru

)7;5(71177

1117

1160)5(5 −−⇒−=

−=−

−=−⇒−= Bfx

Graficul funcţiei este o dreaptă ce trece prin punctele A şi B.

- 15 -

ECUAŢII, INECUAŢII, SISTEME DE ECUAŢII TITLUL

CONŢINUTULUI


1 Ecuaţii de forma 0=+ bax ,

.*, RbRa ∈∈

Propoziţia cu o variabilă de forma ax + b = 0 se numeşte ecuaţie cu o necunoscută, unde a şi b sunt numere reale.

Într-o ecuaţie avem ,,dreptul” de a trece termeni dintr-un membru în alt membru cu semnul schimbat.

Într-o ecuaţie avem ,,dreptul” de înmulţi/împărţi egalitatea cu un număr diferit de zero. Procedeul este utilizat pentru eliminarea numitorilor şi la final aflarea necunoscutei.

Exemplu: 2233 +=+ xx ⇒ 3223 −=− xx

⇒ ( ) ( )2323 −−=−x

⇒ 123

)23(−=

−−−

=x .

2 Ecuaţii echivalente Două ecuaţii sunt echivalente dacă au aceeaşi soluţie. Bazându-se pe proprietăţile egalitatăţii, se pot obţine ecuaţii echivalente

pornind de la o ecuaţiei dată. Exemplu: Fie ecuaţia ;042 =−x

a) adunăm la ambii membri ai ecuaţiei numărul 5: 512;50542

=++=+−

xx

b) înmulţim ecuaţia (toţi termeni) cu 3: 1536

3512=+

⋅=+xx

3 Inecuaţii de forma ),,(,0 ≥≤><+ bax ,

.*, RbRa ∈∈

Propoziţia cu o variabilă de forma ax + b > 0 se numeşte inecuaţie cu o necunoscutăă, unde a şi b sunt numere reale.

Într-o inecuaţie avem ,,dreptul” de a trece termeni dintr-un membru în alt membru cu semnul schimbat.

Într-o inecuaţie avem ,,dreptul” de înmulţi/împărţi inegalitatea cu un număr diferit de zero. Procedeul este utilizat pentru eliminarea numitorilor şi la final aflarea necunoscutei.

Dacă o inecuaţie se va înmulţi/împărţi cu un număr negativ atunci sensul inegalităţi se schimbă.

Exemplu: 68215 −<− xx ⇒ 21685 +−<− xx ⇒ )3(:153 −<− x ⇒ 5−>x ⇒ ( )+∞−∈ ;5x .

4 Sisteme de ecuaţii de forma

⎩⎨⎧

=++=++

00

222

111

cybxacybxa

,

Rccbbaa ∈212121 ,,,,,

Metoda reducerii: Se alege o necunoscută cu scopul de a fi ,,redusă” ţi se identifică coeficienţii săi;

Se află c.m.m.m.c. al coeficienţilor şi se înmulţesc ecuaţiile astfel încât să se obţină coeficienţii necunoscutei numere opuse;

Se adună ecuaţiile şi se obţine o ecuaţie cu o singură necunoscută, după care se rezolvă;

La fel se procedează şi cu cealaltă necunoscută.

Exemplu: ⎩⎨⎧

−=−⋅=+323252

yxyx

⇒⎩⎨⎧

−=−=+

3231024

yxyx

77 =x ⇒ 1=x ;

( )⎩⎨⎧

−⋅−=−⋅=+

2323352

yxyx

⇒⎩⎨⎧

=+−=+

6461536

yxyx

217 =y ⇒ 3=y ⇒ ⎩⎨⎧

==

31

yx

.

- 16 -

TITLUL

CONŢINUTULUI


4 Sisteme de ecuaţii de forma

⎩⎨⎧

=++=++

00

222

111

cybxacybxa

,

Rccbbaa ∈212121 ,,,,,

Metoda substituţiei: Se află dintr-o ecuaţie o necunoscută în funcţie de cealaltă necunoscută; Se introduce valoarea acestei necunoscute în cealaltă ecuaţie şi se rezolvă ecuaţia;

Se află cealaltă necunoscută.

Exemplu: ⎩⎨⎧

−=−=+

32352

yxyx

din 52 =+ yx ⇒ xy 25 −= ;

Introducem pe xy 25 −= în 323 −=− yx ⇒ ( ) 32523 −=−− xx ⇒ 34103 −=+− xx ⇒ 77 =x ⇒ 1=x

Introducem pe 1=x în xy 25 −= ⇒ 3125 =⋅−=y ⇒ ⎩⎨⎧

==

31

yx

.

5 Probleme ce se rezolvă cu ajutorul ecuaţiilor, inecuaţiilor şi a sistemelor de ecuaţii

Etapele de rezolvare a unei probleme: 1. Stabilirea datelor cunoscute şi a celor necunoscute din problemă. 2. Alegerea necunoscutei (necunoscutelor) şi exprimarea celorlalte date

necunoscute în funcţie de aceasta (acestea). 3. Alcătuirea unei ecuaţii (sistem de ecuaţii) cu necunoscuta

(necunoscutele) aleasă (alese), folosind datele problemei. 4. Rezolvarea ecuaţiei (sistemului de ecuaţii). 5. Verificarea soluţiei. 6. Formularea concluziei problemei.

Exemplul 1(ecuaţie): Un călător parcurge un drum în 3 zile astfel: în prima zi

parcurge 31 din drum, a doua zi parcurge

53 din rest iar a treia zi ultimii 40 de

km. Aflaţi lungimea totală a drumului. Rezolvare: Stabilim necunoscuta principală – lungimea totală a drumului, pe care o notăm cu x;

În prima zi a parcurs: 3x ; i-au rămas de parcurs

32x ; a doua zi a parcurs

52

32

53 xx

=⋅ ;

Avem ecuaţia: 405

23

++=xxx pe care o rezolvăm:

15405

23

)15)3)5

)15 ⋅++=xxx 6006515 ++=⇒ xxx

6006515 =−−⇒ xxx 6004 =⇒ x kmx 1504

600==⇒ este lungimea totală

a drumului. Exemplul 2 (inecuaţie): Să se gasească trei numere naturale consecutive a căror sumă este mai mică decât 16. Rezolvare: Stabilim necunoscuta principală – numărul cel mai mic pe care îl şi notăm cu x; Celelalte două numere vor fi x + 1 şi x + 2 ⇒ inecuaţia: 1621 <++++ xxx pe care o rezolvăm:

1633 <+x 133 <⇒ x 3

13<⇒ x ⇒ soluţiile: (1;2;3), (2;3;4), (3;4;5), (4;5;6).

- 17 -

TITLUL

CONŢINUTULUI


5 Probleme ce se rezolvă cu ajutorul ecuaţiilor, inecuaţiilor şi a sistemelor de ecuaţii

Exemplul 3 (sistem de două ecuaţii): Două creioane şi nouă cărţi costă împreună 80 de lei. Dacă 5 creioane şi 4 cărţi costă împreună 42 de lei, aflaţi preţul unui creion şi a unei cărţi. Rezolvare: Stabilim necunoscutele problemei: preţul unui creion = x şi preţul unei cărţi = y.

Se formează sistemul de ecuaţii: ⎩⎨⎧

=+=+

42457692

yxyx

pe care îl rezolvăm:

⎩⎨⎧

−⋅=+⋅=+

)9(424547692

yxyx

74373783645

304368

−=−⎩⎨⎧

−=−−=+

⇒x

yxyx

⇒ x = 2 lei (preţul unui creion).

Introducem valoarea lui x în prima ecuaţie: 8729476976922 =⇒=⇒−=⇒=+⋅ yyyy lei (preţul unei cărţi).

- 18 -

GEOMETRIE MĂSURARE ŞI MĂSURI

TITLUL CONŢINUTULUI EXEMPLE, EXPLICAŢII 1 Lungime Unitatea de măsură a lungimii este metrul – m.

Multiplii metrului - m: mdam 101 = . mdamhm 100101 == . mdamhmkm 1000100101 === . kmhmdamm 001,001,01,01 === .

Submultiplii metrului: mmcmdmm 1000100101 === . mmcmmdm 100101,01 === . mmdmmcm 101,001,01 === . cmdmmmm 1,001,0001,01 === .

2 Arie Unitatea de măsură a ariei este metrul pătrat – m2. Multiplii metrului pătrat – m2:

22 1001 mdam = . 222 100001001 mdamhm == . 2222 1000000100001001 mdamhmkm === . 2222 000001,00001,001,01 kmhmdamm === .

Submultiplii metrului pătrat – m2: 2222 1000000100001001 mmcmdmm === . 2222 1000010001,01 mmcmmdm === . 2222 10001,00001,01 mmdmmcm === . 2222 01,00001,0000001,01 cmdmmmm === .

Alte unităţi de măsură a ariei: 2100001 mha = . arihamar 1001;1001 2 == .

3 Volum Unitatea de măsură a volumului este metrul cub – m3. Multiplii metrului cub – m3:

33 10001 mdam = . 333 100000010001 mdamhm == . 3936333 1010101 mdamhmkm === . 3936333 1010101 kmhmdamm −−− === .

Submultiplii metrului cub – m3: 3333 1000000000100000010001 mmcmdmm === . 3333 10000001000001,01 mmcmmdm === . 3333 10000001,0000001,01 mmdmmcm === . 3336393 1010101 cmdmmmm −−− === .

Unitatea de măsură a volumului – litrul . 311 dml = . ldmm 100010001 33 == . mlcll 10001001 == . .1001;101 lhlldal ==

4 Unghi Unitatea de măsură a măsurii unui unghi este – gradul sexagesimal.

'''0 3600601 == . ''' 601 = .

- 19 -

FIGURI ŞI CORPURI GEOMETRICE TITLUL

CONŢINUTULUI EXEMPLE, EXPLICAŢII

1 Punctul, dreapta, planul, semiplanul, semidreapta, segmentul de dreaptă, unghiul

Punctul este figura geometrică ce se aseamănă cu o urmă lăsată de un creion;

Punctul nu are dimensiune; Punctele se notează cu litere mari de tipar: A, B, C,.., A1, A2,…

Dreapta este figura geometrică ce se aseamănă cu un fir foarte subţire perfect întins;

Dreapta are o singură dimensiune - lungimea; Dreptele se notează astfel: AB, BC, …, d, d1, d2, …

Planul este figura geometrică ce se aseamănă cu o pânză foarte subţire

perfect întinsă; Planul are două dimensiuni – lungimea şi lăţimea; Planele se notează astfel: (ABC) sau α, β, γ, …

Semiplanul – o dreaptă inclusă într-un plan împarte planul dat în două semiplane.

Semidreapta – este dreapta mărginită la un capăt.

Segmentul de dreaptă – este dreapta mărginită la ambele capete.

Unghiul – este figura geometrică formată de două semidrepte cu

originea comună.

- 20 -

2 Poziţii relative a două drepte în spaţiu

Explicatii: a) drepte identice; b) drepte concurente,

{ }Odd =∩ 21 ; c) drepte paralele, ∅=∩ 21 dd

şi coplanare; d) drepte oarecare,

∅=∩ 21 dd şi necoplanare;



3 Relaţia de paralelism în spaţiu

e) dacă a || b şi b || c , atunci şi a || c.

4 Relaţia de perpendicularitate Dacă dreptele a şi b sunt perpendiculare pe acelaşi plan, atunci aceste drepte sunt paralele între ele. .;; baba αα ⊥⊥

5 Axioma paralelelor 6 Unghiurile cu laturile

respective paralele Explicaţii: Cazul I − unghiurile sunt congruente; Cazul II – unghiurile sunt suplementare.

7 Unghiul a două drepte în spaţiu; drepte perpendiculare

Explicaţii: Dacă avem dreptele a şi b (necoplanare) şi este necesar să gasim unghiul dintre ele, procedăm astfel:

căutăm o dreaptă paralelă cu una dintre ele şi care are un punct comun cu cealaltă

(de ex. b || c); Unghiul pe care îl formează dreapta c cu dreapta a este şi unghiul dintre deptele a şi b ( unghiul de măsura ϕ).

8 Dreapta perpendiculară pe un plan

Explicaţii: Dacă dreptele a şi b ⊂ α şi

bdsiad ⊥⊥ , atunci şi .α⊥d Teoremă: O dreaptă perpendiculară pe un plan este perpendiculară pe orice dreaptă inclusă în planul dat.

9 Distanţa de la un punct la un plan

Explicaţii: distanţa de la un punct la un plan este ,,drumul cel mai scurt” de la acel punct la planul dat;

distanţa de la un punct la un plan este lungimea segmentului de dreaptă perpendicular pe planul dat;

- 21 -

PQ = distanţa de la punctul P la planul α dacă PQ⊥α.

Pentru asta este necesar: ⎩⎨⎧

⊂⊥⊂⊥

αα

bbPQaaPQ

,,

10 Teorema celor trei perpendiculare

α

α

⊂∈⊂

ABbB

b bMB

bABa

⊥⇒⎭⎬⎫

⊥⊥ α

TITLUL


11 Proiecţii de puncte, de segmente de dreaptă şi de drepte pe un plan

Explicatii: Proiecţia unui punct pe un plan este un punct. Dacă AA`⊥α, A` este

proiecţia lui A pe planul α. Proiecţia unui segment de dreaptă pe un plan este un segment de

dreaptă. Dacă AA`⊥α, BB`⊥α, A`B` este proiecţia lui AB pe planul α. Proiecţia unei drepte pe un plan este o dreaptă. Dacă AA`⊥α, BB`⊥α,

A`B` este proiecţia lui AB pe planul α.

12 Unghiul dintre o dreaptă şi un plan; lungimea proiecţiei unui segment

Exemplu / aplicaţie: Dreapta AB nu este paralelă cu planul α. BC⊥α. Unghiul dintre dreapta AB şi planul dat este unghiul BAC de măsura β. Dacă BC = 6cm şi AC = 8cm,

atunci: .43

86

===ACBCtgβ

13 Unghi diedru; unghiul plan corespunzător diedrului

Explicaţii:

diedruluialplanunghiulPbaabm

=⇒=∩⊂⊂=∩

δαββα }{;;;

14 Plane perpendiculare

Explicaţii: Dacă : ⎪⎩

⎪⎨

⎧⊥⇒

⊥⊂

=∩αβ

αβ

βα

bb

a

Sau: Două plane sunt perpendiculare dacă măsura unghiului plan al diedrului celor două plane este de 900.

15 Simetria faţă de un punct în plan; simetria faţă de o dreaptă în plan

Punctul B este simetricul lui A faţă de punctul O dacă A,O, B sunt coliniare şi AO=OB;

Punctul B este simetricul lui A faţă de dreapta a dacă A, O, B sunt coliniare, AB⊥a şi AO=OB.

16 Calculul distanţei de la un punct la o dreaptă

Exemplu / aplicaţie:

Fie ABCA`B`C` o prismă triunghiulară regulată dreaptă cu muchia bazei de 6 cm şi înălţimea de 8cm. Să se afle distanţa de la punctul A` la dreapta BC. Rezolvare: AD⊥BC; AA`⊥(ABC)⇒A`D⊥BC.

.91`916427``

.332

3623

222 cmDAAAADDA

lAD

=⇒=+=+=

===

- 22 -

17 Calculul distanţei de la un punct la un plan

Exemplu / aplicaţie: Fie VABC o piramidă triunghiulară regulată dreaptă cu AB = 12 cm şi înălţimea VO = 62 cm. Se cere să se afle distanţa de la punctul O la planul (VBC). Rezolvare:

[ ] `.`);()(;`;`);(

VAOPundeOPVAOdVBCOdBCVABCOAABCVO

⊥==⇒⊥⇒⊥⊥

.6361224``;326

31263` 22 ==+=+==== OAVOVAlOA

.226

2126

3262`

` cmVA

OAVOOP ==⋅

=⋅

=

TITLUL


18 Unghiul dintre două plane

Exemplu / aplicaţie: Fie VABCD o piramidă patrulateră regulată dreaptă cu AB = 18cm şi înălţimea VO = 12 cm. Se cere să se afle sinusul unghiului dintre planele (ABC) şi (VBC). Rezolvare:

).()(int;;);(

VBCsiABCplaneleredunghiulesteBCVPBCOPABCVO

=⇒⊥⇒⊥⊥

α

;92

182

===ABOP .152251448122 ==+=+= VOOPVP

.54

1512sin

3(

===VPVOα

TRIUNGHIUL



1 Perimetrul şi aria

Perimetrul ;cbaP ++=

Semiperimetrul 2

cbap ++= ;

Aria ))()((2sin

2cpbpappBcahaA a −−−=

⋅⋅=

⋅= ;

Aria unui triunghi dreptunghic 2catetăcatetăA ⋅

= ;

Aria unui triunghi echilateral 4

32lA = .

2 Suma măsurilor unghiurilor într-un triunghi

Suma măsurilor unghiurilor într-un triunghi este egală cu 180°. Într-un triunghi dreptunghic, unghiurile ascuţite sunt complementare.

3 Unghi exterior unui triunghi

m( ACD) = m( ABC) + m( BAC). m( ACD) = 180° − m( BCA)

4 Linii importante în triunghi

Mediana Mediatoarea Bisectoarea Înălţimea

- 23 -

•Mediana este segmentul de dreaptă ce uneşte vârful unui triunghi cu mijlocul laturii opuse. •Punctul de intersecţie al medianelor se numeşte centrul de greutate.

•Mediatoarea este dreapta perpendiculară pe mijlocul unei laturi. •Punctul de intersecţie al mediatoarelor se numeşte centrul cercului circumscris triunghiului.

•Bisectoarea este semidreapta ce împarte unghiul în două unghiuri adiacente congruente. •Punctul de intersecţie al bisectoarelor se numeşte centrul cercului înscris triunghiului.

•Înălţimea este perpendiculara dusă din vârful unui triunghi pe latura opusă. •Punctul de intersecţie al înălţimilor se numeşte ortocentrul triunghiului.

TRIUNGHIUL



5 Linia mijlocie în triunghi

Segmentul de dreaptă ce uneşte mijloacele a două laturi a unui triunghi se numeşte linia mijlocie.

⎪⎩

⎪⎨⎧

=2

BCMN

BCMN

6 Triunghiul isoscel – proprietăţi

Triunghiul isoscel este triunghiul care are două laturi congruente. ][][ ACAB ≡

Într-un triunghi isoscel unghiurile de la bază sunt congruente. CB ∠≡∠ Într-un triunghi isoscel bisectoarea unghiului de la vârf este şi mediană, şi înălţime, şi mediatoare.

Într-un triunghi isoscel medianele (înălţimile sau bisectoarele) corespunzătoare laturilor congruente, sunt congruente.

7 Triunghiul echilateral – proprietăţi

Triunghiul echilateral este triunghiul care are toate cele trei laturi congruente. ][][][ BCACAB ≡≡ .

Într-un triunghi echilateral toate unghiurile sunt congruente şi fiecare are măsura egală cu 60°

CBA ∠≡∠≡∠ . Într-un triunghi echilaterat bisectoarea oricărui unghi

este şi mediană, şi înălţime, şi mediatoare. 8 Criteriile de

congruenţă a triunghiurilor

Criteriul de congruenţă LUL

Dacă

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=∠≡∠

=

`````

``

CBBCCBAABC

BAAB

Atunci ``` CBAABC Δ≡Δ

Criteriul de congruenţă ULU

Dacă

⎪⎩

⎪⎨

⎧

∠=∠≡

∠≡∠

`````

```

ACBBCACBBC

CBAABC

Atunci ``` CBAABC Δ≡Δ

Criteriul de congruenţă LLL

Dacă ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=≡=

``````

CAACCBBCBAAB

Atunci``` CBAABC Δ≡Δ

- 24 -

9 Triunghiul dreptunghic – relaţii metrice

Teorema înălţimii AD2 = BD⋅DC Teorema catetei AB2 = BD⋅BC Teorema catetei AC2 = DC⋅BC Teorema lui Pitagora AB2 + AC2 = BC2

10 Relaţii trigonometrice

300 450 600

sin 21

22

23

cos

23

22 2

1

tg

33

1

3

ctg

3

1 33

ipotenuzăopusăcateta

=αsin ;ipotenuză

alaturatăcateta=αcos

alaturatăcatetaopusăcatetatg =α ;

opusăcatetaalaturatăcatetactg =α

1cossin 22 =+ αα



11 Teorema lui Thales şi reciproca ei

Teorema. O paralelă dusă la o latură într-un triunghi determină pe celelalte două (sau pe prelungirile lor) segmente proporţionale.

NCAN

MBAM

=

Reciproca. Dacă punctele M şi N determină pe cele două laturi ale triunghiului ABC segmente proporţionale atunci MN este paralelă cu BC.

12 Teorema fundamentală a asemănării

Teorema. O paralelă dusă la o latură într-un triunghi formează cu celelalte două (sau cu prelungirile lor) un triunghi asemenea cu cel dat.

.ACAN

BCMN

ABAM

==

13 Criteriile de asemănare a triunghiurilor

Criteriul de asemănare LUL Două triunghiuri sunt asemenea dacă au câte două laturi respectiv proporţionale şi unghiurile cuprinse între ele congruente.

;NPBC

MNAB

=

B≡ N

Criteriul de asemănare LLL Doua triunghiuri sunt asemenea dacă au toate laturile respectiv proporţionale.

.

MPAC

NPBC

MNAB

==

Criteriul de asemănare UU Două triunghiuri sunt asemenea dacă au câte două unghiuri respectiv congruente.

B≡ N; C≡ P

- 25 -

PATRULATERUL CONVEX TITLUL CONŢINUTULUI EXEMPLE, EXPLICAŢII

1 Perimetrul şi aria patrulaterelor studiate

ARIA UNUI PARALELOGRAM hABinaltimeabazaA ⋅=⋅= αsin⋅⋅= ADABA )(2 ADABP +=

ARIA UNUI DREPTUNGHI lLA ⋅=

2sin2 α⋅

=dA

)(2 lLP +=

ARIA UNUI PATRAT 2lA =

2

2dA =

lP 4= ARIA UNUI ROMB

2

21 ddA

⋅=

hlA ⋅= αsin2 ⋅= lA lP 4=

ARIA UNUI TRAPEZ

2)( hbBA ⋅+

=

DACDBCABP +++= 2 Suma măsurilor unghiurilor

unui patrulater convex Suma măsurilor unghiurilor unui patrulater convex este egală cu 360°.

3 Paralelogramul – proprietăţi Proprietati: 1. Laturile opuse sunt congruente două câte două. [AB]≡[CD]; [BC]≡[AD] . 2. Unghiurile opuse sunt congruente, A≡ C şi B≡ D;

- 26 -

3. Unghiurile alăturate sunt suplementare, m( A)+m( B)=1800 şi m( B)+m( C)=1800;

4. Într-un paralelogram diagonalele se intersectează înjumătăţindu-se, [OA]≡[OC]; [OB]≡[OD] .

4 Dreptunghiul – proprietăţi particulare

Alte proprietăţi: 1. Toate unghiurile sunt congruente şi de 900. 2. Diagonalele sunt congruente.

5 Pătratul – proprietăţi particulare

Alte proprietăţi: 1. Toate laturile sunt congruente; 2. Toate unghiurile sunt congruente şi de 900; 3. Diagonalele sunt congruente; 4. Diagonalele se intersectează perpendicular

una pe cealaltă; 5. Diagonalele sunt şi bisectoarele unghiurilor.

TITLUL CONŢINUTULUI EXEMPLE, EXPLICAŢII

6 Rombul – proprietăţi particulare

Alte proprietăţi: 1. Toate laturile sunt congruente; 2. Diagonalele sunt perpendiculare; 3. Diagonalele sunt şi bisectoarele unghiurilor.

7 Trapezul – linia mijlocie în trapez

Segmentul de dreaptă care uneşte mijloacele laturilor neparalele se numeşte linie mijlocie.

2

bBMN += şi .BCMN

2

bBPQ −=

8 Trapeze particulare Trapez dreptunghic

Trapez isoscel

Într-un trapez isoscel, unghiurile

alăturate bazelor sunt congruente. Într-un trapez isoscel diagonalele sunt

congruente. CERCUL TITLUL CONŢINUTULUI EXEMPLE, EXPLICAŢII

- 27 -

1 Cercul – centrul rază, diametru, disc

Cercul este locul geometric al tuturor punctelor dintr-un plan egal depărtate faţă de un punct fix numit centrul cercului.

O = centrul cercului; OC = raza cercului de lungime R; AB = diametrul cercului; BD = coardă;

= arc de cerc;

= semicerc. 2 Unghi la centru; unghi cu

vârful pe cerc

Unghi cu vârful în centrul cercului

m( AOB) = m( ) Unghi cu vârful pe cerc

m( BCA) = m( ) / 2. Dacă avem două unghiuri congruente înscrise într-un cerc, cu vârful în centrul cercului, acestea subîntind între laturile lor, două arce congruente.

TITLUL CONŢINUTULUI EXEMPLE, EXPLICAŢII

3 Coarde şi arce în cerc

1. Dacă arcul AB este congruent cu arcul CD atunci şi [AB]≡[CD]. Şi reciproca este adevărată.

2. Dacă MC || ND atunci arcul CD este congruent cu arcul MN.

3. Dacă OR⊥CD atunci P este mijlocul lui [CD] şi R este mijlocul arcului CD. O este centrul cercului; {P}=OR∩CD.

4. Coarde egal depărtate de centru sunt congruente.

Dacă OP=OQ atunci [CD]≡[AB]. 4 Tangenta la cerc dintr-un

punct exterior cercului

Fie punctul P exterior cercului; PA şi respectiv PB sunt tangente la

cerc; OA⊥PA; OB⊥PB; [PA] ≡ [PB]; OP2 = OA2 + AP2

5 Lungimea cercului, aria discului

Lungimea cercului: dRL ππ == 2

Aria discului (cercului): 2RA π=

Lungimea arcului de cerc AC: 0180απ ⋅

=RLAC

Aria sectorului de cerc (OAC)

0

2

)( 360απ ⋅

=RA OAC

- 28 -

6 Calculul elementelor în triunghiul echilateral

3Rl = ;

2Ra = ; 4

33 2RA = ; 432lA = ;

23lh = ; lP 3= .

7 Calculul elementelor în pătrat

2Rl = ; 222 lRa == ;

22RA = ; 2lA = ;

2ld = ; lP 4= . 8 Calculul elementelor în

hexagonul regulat

Rl = ; 23Ra = ;

233 2RA = ; 2

33 2lA = ; lP 6= .

CORPURI GEOMETRICE TITLUL


1 Paralelipipedul dreptunghic

Descriere şi desfăşurata corpului (la o scară mai mică)

baza este un dreptunghi; a,b,c =dimensiunile

paralelipipedului; d = diagonala

paralelipipedului

A B C D A

B` C` D` A`

CD

C`D`

A`

Baza superioara

Baza inferioara

YÉÜÅâÄxM

( )( )

2222

22

cbadabcV

acbcabAbcachPA

abA

t

bl

b

++=

=++=

+=⋅==

2 Cubul


toate feţele (6) sunt pătrate; l = muchia cubului; d = diagonala cubului; are 12 muchii.

A B C D A

A` B` C` D` A`

D C

D` C`

YÉÜÅâÄxM

3

6

4

3

2

2

2

ld

lV

lA

lA

lA

t

l

b

=

=

=

=

=

3 Prisma triunghiulară Descriere şi desfăşurata corpului (la o scară mai mică)

YÉÜÅâÄxM

- 29 -

baza este un triunghi echilateral;

l = latura bazei; h = înălţimea prismei

hAVAAA

hlhPA

lA

b

blt

bl

b

⋅=⋅+=

⋅=⋅=

=

23

432

4 Prisma patrulateră


baza este un pătrat; l = latura bazei; h = înălţimea prismei; d = diagonala prismei

YÉÜÅâÄxM

222

2

2

24

lhd

hAVAAA

hlhPAlA

b

blt

bl

b

+=

⋅=⋅+=

⋅=⋅==

TITLUL


5 Piramida triunghiulară

222

222

222

2

;

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

+=

+=

lam

hAOm

aha

pl

l

bp


baza este un triunghi echilateral;

l = latura bazei; h = înălţimea piramidei; ab = apotema bazei; ap = apotema piramidei; ml = muchia laterală; feţele sunt triunghiuri

isoscele.

YÉÜÅâÄxM

3

2

432

hAV

AAA

aPA

lA

b

blt

pbl

b

⋅=

+=

⋅=

=

6 Tetraedrul regulat


YÉÜÅâÄxM

122

3

34

332

43

3

2

2

2

lhAV

lAAA

laPA

lA

b

blt

pbl

b

=⋅

=

=+=

=⋅

=

=

toate feţele sunt triunghiuri echilaterale;

toate muchiile sunt congruente.

- 30 -

7 Piramida patrulateră

222

222

222

2

;

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

+=

+=

lam

hAOm

aha

pl

l

bp


baza este un pătrat; l = latura bazei; h = înălţimea piramidei; ab = apotema bazei; ap = apotema piramidei; ml = muchia laterală; feţele sunt triunghiuri

isoscele.

YÉÜÅâÄxM

3

2

2

hAV

AAA

aPA

lA

b

blt

pbl

b

⋅=

+=

⋅=

=

Documents

Considerente Teoretice Clasele v-VIII a