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Page 1
Symposium R.I.S.K3 décembre 2009
Construction de tables de mortalité
d’expérience pour les rentes
Risque d’estimation et risque de modèle
www.winter-associes.fr
Frédéric PLANCHET
Actuaire Associé
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Les évolutions des référentiels prudentiels et comptables conduisent à devoir
intégrer dans l’évaluation des provisions mathématiques des régimes de rentes
l’expérience propre au régime ou au portefeuille.
Il est donc nécessaire de construire des tables de mortalité prospectives
d’expérience pour des groupes de taille modeste au regard du volume de
données utilisé habituellement pour de telles constructions, observées au surplus
sur des durées courtes (de l’ordre de 10 ans).
En pratique on se tourne donc vers des techniques de positionnement par
rapport à une référence exogène, construite elle sur un groupe de grande taille
observé sur un historique assez long.
Préambule
Page 3
Cette démarche conduit à considérer deux risques qui peuvent s’avérer
significatifs pour l’évaluation des engagements :
- une erreur sur le niveau de mortalité retenu à l’origine ;
- une erreur sur l’appréciation de la tendance.
La première erreur est la conséquence directe du faible volume de données
utilisé qui conduit à des erreurs d’échantillonnage non négligeables.
La seconde est expliquée en outre par un risque de modèle sur le choix de la
tendance de référence et la manière de s’y référer.
NB : ces erreurs se cumulent avec celles associées aux tables sous-jacentes.
Préambule
Page 4
L’objectif de cette présentation est d’illustrer ces point sur un exemple en mettant
en évidence, dans le cadre de techniques illustratives simples, la manière
d’apprécier ces risques et les conséquences en termes de gestion technique du
régime.
Le contexte d’évaluation des provisions est :
Best estimate + marge pour risque
ce qui impose une estimation fine du BEL et des risques associés à son calcul.
NB : cette logique est fondamentalement différente de celle qui prévaut
actuellement de provisionnement avec des marges de prudence implicites.
Préambule
Page 5
1- Les données utilisées
2- La construction d’une table d’expérience prospective
3- Le processus de validation
Sommaire
Page 6
Compte tenu des contrôles de cohérence ainsi que du traitement des
doublons, la base de construction a été constituée par les enregistrements
restants qui avaient une période d’observation non-nulle entre le
01/01/1994 et le 31/12/2004.
1- Les données utilisées : exposition au risque
-10 000 -5 000 - 5 000 10 000 15 000
0
7
14
21
28
35
42
49
56
63
70
77
84
91
98
105
112 Hommes
Femmes
Cela conduit à conserver
140 000 enregistrements
environ
L’exposition est de 400 000
années x assurés pour les
hommes et de 300 000
années x assurés pour les
femmes. Le sex-ratio
s’élève à 56 %.
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Sur la période d’observation, on constate environ 3 200 décès chez les
femmes et 4 400 décès chez les hommes.
1- Les données utilisées : décès
-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
100
105Hommes
Femmes
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Le calcul des taux bruts est effectué par génération afin de « capturer » la
dynamique temporelle. On calcule d’abord l’estimateur de la fonction de
survie Kaplan-Meier pour chaque génération :
puis on en déduit l’estimateur suivant des taux bruts :
1ˆ ˆˆ
ˆKM KM
xKM
S x S xq
S x
1( )
ˆ
i
iKM
T x i
dS x
r
1- Les données utilisées : taux bruts de décès
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Les taux ainsi obtenus, sur la période 1994-2004 pour les âges de 45 à 95
ans sont présentés ci-dessous, pour les hommes et les femmes :
On observe un rapport de
l’ordre de 2 entre les taux de
décès des hommes et ceux
des femmes
1- Les données utilisées : taux bruts de décès
Page 10
1- Les données utilisées
2- La construction d’une table d’expérience prospective
3- Le processus de validation
Sommaire
Page 11
Avec une exposition au risque d’environ 400 000 pour les hommes et 300 000 pour
les femmes sur les 11 années de la période d’observation, il n’est pas possible
d’envisager une construction « endogène » des tables d’expérience.
On doit donc s’appuyer sur une référence externe et positionner la mortalité
d’expérience par rapport à cette référence.
Les tables réglementaires TGH et TGF 05 ont été naturellement choisies comme
référence, compte tenu de leur rôle privilégié dans la réglementation et du fait
qu’elles décrivent la survie des rentiers de portefeuilles d’assureurs.
2- La construction : approche
Page 12
Méthode retenue : régression des logits d’expérience sur les logits de
référence.
On dispose de données utilisables sur la plage d’âges 45-95 ans (bornes
incluses) ; à l’extérieur de cette plage un prolongement est proposé de la
manière suivante :
- avant 45 ans, on prolonge l’abattement par rapport à la référence
observé à 45 ans ;
- après 95 ans les taux de décès sont fermés exponentiellement
en imposant une condition de continuité à 95 ans et un taux de décès de
100 % à l’âge ultime de la table TGH ou TGF 05 associée (l’âge ultime
dérive donc avec le temps, de 117 à 120 ans pour les femmes et de 113 à
120 ans pour les hommes).
2- La construction : principes
Page 13
L’ajustement est effectué sur les tables du moment de 1994 à 2004. Le
modèle utilisé repose sur :
Les taux ajustés finalement utilisés sont obtenus en inversant la fonction
logistique :
1 1
ˆln ln
ˆ
réfxt xt
xtréfxt xt
q qa b
q q
1
exp
exp
xtxt
xt
yq
y
1ln
réfxt
xt réfxt
qy a b
q
2- La construction : modèle
Page 14
Il reste alors à choisir le critère d’optimisation pour la détermination des
paramètres. Deux critères ont été retenus, associés chacun à un jeu de
tables :
- MCO (femmes) et MCP (hommes) ;
- Critère de type Khi-2, plus proche d’une logique « maximum de
vraisemblance », en minimisant la statistique :
2
, ,
,
, ,
ˆx t x t
x t
x t x t
q qD E
q
Année 2004
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
45 48 51 54 57 60 63 66 69 72 75 78 81 84 87 90 93
Taux ajusté Taux brut
2- La construction : calibrage
Page 15
1- Les données utilisées
2- La construction d’une table d’expérience prospective
3- Le processus de validation
Sommaire
Page 16
Le principe de la validation des tables proposées est de comparer, de
manière rétrospective, des prédictions (ce qui se serait passé si les tables
sont pertinentes) et des réalisations (ce qui s’est réellement passé).
3- La validation : éléments de base
-
50,00
100,00
150,00
200,00
250,00
45 48 51 54 57 60 63 66 69 72 75 78 81 84 87 90 93
Age
Tau
x d
e d
écès
Décès obervés Décès théoriques IC Min 95% IC Max 95%
-
100,00
200,00
300,00
400,00
500,00
600,00
700,00
No
mb
re d
e d
écès
1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004
Année
Décès théoriques Décès observés
Page 17
Dans un contexte de rente il est utile de considérer les espérances de vie
partielles :
3- La validation : espérance de vie partielle
Le rapport des espérances brutes sur les
espérances théoriques est proche de 1
jusqu’à 65 ans pour les hommes, 75 ans
pour les femmes et qu’il a tendance à
être inférieur à 1 ensuite.
Ce comportement tend à indiquer une
certaine prudence dans les tables,
celles-ci sur-estimant les espérances
bruts entre 45 et 90 ans. On observe en
particulier pour les femmes une très
bonne adéquation des prévisions eux
observations.
Page 18
Dans le cadre de l’étude il n’est pas possible de valider la tendance
d’évolution des espérances de vie ; tout au plus peut-on analyser le
positionnement par rapport à la référence :
3- La validation : tendance
86,00
88,00
90,00
92,00
94,00
96,00
98,00
Ag
e
Génération
Evolution de l'espérance de vie à 65 ans
TGF05 "EXP F 2007"
Page 19
Les deux jeux de tables conduisent à des positionnements différents :
4- La comparaison aux références réglementaires
L’approche « Khi2 » conduit à une
anticipation moins prudente que le critère
MCO / MCP.
Les 2 approches sont acceptables
compte tenu des données.
Age Génération TPG 1993 TGF 05TGF 05 / TPG
1993EXP F 2007 EXP F / TGF
50 1955 38,92799 42,48382 9,1% 41,85972 -1,5%
55 1950 33,70338 37,10684 10,1% 36,56926 -1,4%
60 1945 28,59063 31,84026 11,4% 31,39223 -1,4%
65 1940 23,58919 26,64540 13,0% 26,28553 -1,4%
70 1935 18,78315 21,61267 15,1% 21,34215 -1,3%
75 1930 14,36835 16,88088 17,5% 16,70897 -1,0%
80 1925 10,56941 12,63140 19,5% 12,55685 -0,6%
85 1920 7,53355 9,07584 20,5% 9,07349 0,0%
90 1915 5,25556 6,37139 21,2% 6,38226 0,2%
95 1910 3,61424 4,53984 25,6% 4,43108 -2,4%
Age Génération TPG 1993 TGF 05TGF 05 / TPG
1993EXP F 2007 EXP F / TGF
50 1955 38,92799 42,48382 9,1% 40,93742 -3,6%
55 1950 33,70338 37,10684 10,1% 35,60812 -4,0%
60 1945 28,59063 31,84026 11,4% 30,39981 -4,5%
65 1940 23,58919 26,64540 13,0% 25,26770 -5,2%
70 1935 18,78315 21,61267 15,1% 20,30894 -6,0%
75 1930 14,36835 16,88088 17,5% 15,67689 -7,1%
80 1925 10,56941 12,63140 19,5% 11,55701 -8,5%
85 1920 7,53355 9,07584 20,5% 8,15602 -10,1%
90 1915 5,25556 6,37139 21,2% 5,60483 -12,0%
95 1910 3,61424 4,53984 25,6% 3,84492 -15,3%
Page 20
En conclusion…
L’approche proposée conduit à deux jeux de tables ; chacun de ces jeux de
tables permet une représentation raisonnablement fidèle des décès observés
de 1994 à 2004 entre 45 et 95 ans.
Les 2 jeux de tables diffèrent dans le niveau de prudence qu’ils intègrent :
- Le premier, basé sur des critères MCO/MCP conduit à anticiper des
espérances de vie résiduelles légèrement supérieures à celles des références
réglementaires et incorpore un degré de prudence plus important ;
- Le second, basé sur un critère de type Khi2 conduit lui à anticiper des
espérances de vie résiduelles légèrement inférieures à celles des références
réglementaires et est donc moins prudent.
Page 21
En conclusion…
L’adéquation aux données de chacun de ces jeux de tables est satisfaisante, et
les visions différentes qu’ils donnent de l’anticipation que l’on peut effectuer du
comportement de la mortalité des assurés dans les années à venir traduisent
l’incertitude attachée aux données.
En effet, l’exposition au risque étant relativement réduite, la volatilité des taux
bruts est importante et selon le positionnement que l’on retient par rapport aux
intervalles de confiance on est conduit à l’une ou l’autre des anticipations
proposées.
Au global, le choix conduit, par rapport aux tables réglementaires et à taux 0 à
une « marge de manœuvre » de -1,5 % à -5 % pour les femmes et +/- 3 % pour
les hommes à l’âge de 65 ans, cet écart étant assez stable sur la plage 60-85
ans.
Page 22
En conclusion…
Pour respecter la logique « best estimate + RM » le choix arbitraire de l’une ou
l’autre des bases de provisionnement proposée ne suffit pas.
Il convient de définir un processus de détermination (aléatoire) de la table
d’expérience et de retenir ensuite comme vision best estimate l’espérance des
provisions associées à chaque réalisation, incluant donc un risque systématique
asymétrique.
On dispose alors d’une expression simple de la loi globale de l’engagement pour
calculer la RM :
2 2
2lim exp
u
I
uE e uE
1
1
1; ixtt
i t
Tr
1
DENUIT M., CHARPENTIER A. [2005] Mathématiques de l'assurance non-vie - Tome 2, Tarification et provisionnement, Paris :
Economica
FÉLIX J.P., PLANCHET F. [2009] « Mesure des risques de marché et de souscription vie en situation d’information incomplète
pour un portefeuille de prévoyance. », Bulletin Français d’Actuariat, vol. 9, n°18.
PLANCHET F. [2009] « Provisionnement best estimate et risque arrêt de travail. », la Tribune de l’Assurance (rubrique « le mot
de l’actuaire »), n°140 du 01/10/2009.
PLANCHET F., JUILLARD M., THÉROND P.E. [2008] « Perturbations extrêmes sur la dérive de mortalité anticipée »,
Assurances et gestion des risques, Vol. 76 (3).
PLANCHET F., JUILLARD M. [2006] « Mesure de l’incertitude tendancielle sur la mortalité – application à un régime de rentes »,
Assurances et gestion des risques, Vol. 75 (3).
PLANCHET F., THÉROND P.E. [2006] Modèles de durée – applications actuarielles, Paris : Economica.
RENSHAW, VERRALL R.J. [1998] « A stochastic model underlying the chain ladder technique », British Actuarial Journal, Vol. 4.
VERRALL R.J. [1991] « On the estimation of reserves from loglinear models », Insurance: mathematics and economics, vol. 10,
75-80.
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Références bibliographiques
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