Embed Size (px)
Citation preview
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS
Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática
Anita Lima Pimenta
CONSTRUINDO POLIEDROS PLATÔNICOS COM ORIGAMI:
UMA PERSPECTIVA AXIOMÁTICA
Belo Horizonte
2017
Anita Lima Pimenta
CONSTRUINDO POLIEDROS PLATÔNICOS COM ORIGAMI:
UMA PERSPECTIVA AXIOMÁTICA
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-
graduação em Ensino de Ciências e
Matemática da Pontifícia Universidade
Católica de Minas Gerais, como requisito
parcial à obtenção do título de Mestre em
Ensino de Ciências e Matemática.
Orientadora: Professora Drª Eliane Scheid
Gazire
Belo Horizonte
2017
FICHA CATALOGRÁFICA
Elaborada pela Biblioteca da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais
Pimenta, Anita Lima
P644c Construindo poliedros platônicos com origami: uma perspectiva axiomática /
Anita Lima Pimenta. Belo Horizonte, 2017.
181 f.: il.
Orientadora: Eliane Scheid Gazire
Dissertação (Mestrado) – Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais.
Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática
1. Geometria - Estudo e ensino. 2. Origami - Arte. 3. Axiomas. 4. Poliedros.
5. Matemática - Estudo e ensino. 6. Desenho geométrico. I. Gazire, Eliane Scheid.
II. Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais. Programa de Pós-Graduação
em Ensino de Ciências e Matemática. III. Título.
CDU: 513.34
Anita Lima Pimenta
CONSTRUINDO POLIEDROS PLATÔNICOS COM ORIGAMI:
UMA PERSPECTIVA AXIOMÁTICA
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-
graduação em Ensino de Ciências e
Matemática da Pontifícia Universidade
Católica de Minas Gerais, como requisito
parcial à obtenção do título de Mestre em
Ensino de Ciências e Matemática.
Banca Examinadora
___________________________________
Profa. Dra. Eliane Scheid Gazire – Orientadora PUC Minas
_________________________________________
Profa. Dra. Marger da Conceição Ventura Viana – UFOP
________________________________________
Prof. Dr. Dimas Felipe de Miranda – PUC Minas
Belo Horizonte, 24 de março de 2017
Dedico este trabalho à memória de minha
amada mãe que, onde quer que ela esteja, está
muito feliz em ver este tão sonhado dia chegar.
Foi pelas mãos dela que aprendi a fazer as
primeiras dobraduras e foi por sua dedicação
que desejei ser professora. Em tudo de mais
importante que este momento representa para
mim, eu dedico a ela, que me privilegiou com
seu convívio por tão pouco tempo aqui na terra
mas que foi o suficiente para que sua presença
se tornasse permanente dentro de mim. Nunca
deixei de sentir sua presença e sei que sempre
estará comigo.
AGRADECIMENTOS
A Deus, por ter me dado forças para chegar até aqui e realizar um dos maiores
sonhos de minha vida.
Ao meu dedicado pai, pelas orações e por nunca ter deixado de me apoiar nos
momentos de fraqueza.
À minha amada irmã, que me deu seu colo, se esforçou em ler tudo o que eu
escrevia, e por todas as comidas gostosas que ela preparava para me alegrar.
À minha querida sobrinha, por me ajudar nos momentos em que me desesperei.
Por suportar meu choro e me consolar, mesmo sendo tão jovem. E, sobretudo, por me
ajudar a fazer os desenhos daqueles pedaços de papeis dobrados.
Ao meu amado namorado, que soube compreender minha falta de tempo, que me
envolveu em seu abraço quando eu mais precisei e que fez várias leituras comigo
acreditando que quem ama participa... Sou imensamente grata por seu amor.
Ao meu amigo Daniel Lara, por ter tido fé em mim, foi ele que acreditou quando
eu mesma me sentia incapaz.
À Galera do Rock pelos momentos de descontração.
A todos os meus amigos, aos colegas de trabalho da AMC, ESSA, EMPIF e
UEMG, aos companheiros do mestrado – em especial ao TRIO TERNURA composto por
Magna, Mariani e eu – que de alguma forma, colaboraram para que esse dia chegasse.
Aos professores, que contribuíram com minha formação escolar, em especial à
Magda Saleth, que me inspirou, e à Cláudia, que fez com que eu me apaixonasse pelo
Origami.
Aos mestres e doutores da PUC, que me prepararam para ser a professora que sou
hoje. Desses, destacam-se o professor Welerson, que sempre se prontificou a me ajudar
quando precisei e o professor Révero, que me direcionou ao mestrado.
À minha orientadora, Dra. Eliane Scheid Gazire, por me indicar o caminho e me
encorajar na busca por novas descobertas.
Aos professores Dra. Marger e Dr. Dimas, por terem aceito o convite de
participarem desta banca.
A todos os professores doutores do mestrado, que contribuíram diretamente para
a conclusão deste ciclo.
Enfim, aos meus amados alunos e colegas de profissão, que aceitaram fazer parte
desta pesquisa, pois sem vocês nada disso seria possível. A todos, minha eterna gratidão.
“[...] Há uma grande diferença entre
compreender alguma coisa através da mente e
conhecer a mesma coisa através do tato.”
Tomoko Fuse, origamista japonesa (1990).
RESUMO
Esta pesquisa apresentada surgiu a partir da necessidade de entender se há benefícios na
aprendizagem geométrica que perpassam pela abordagem dos Poliedros Platônicos
construídos a partir do Origami. Seu público alvo foi professores que atuam na rede
municipal de Belo Horizonte e estudantes do curso de graduação em Matemática da
UEMG-Campus Ibirité. Esse público foi escolhido por acreditar que pudessem ser
multiplicadores desse trabalho. Procurou-se nos trabalhos de Gazire (2000), Prieto
(2002), Rafael (2011), entre outros, buscar, na história da Geometria, os registros sobre
os Poliedros Platônicos e conhecer o contexto histórico do Origami. Já nas obras de Rego,
Rego e Gaudêncio Jr. (2003), Kaleff (2003) e Genova (2001), encontrou-se
embasamentos teóricos e propostas de atividades realizadas através das dobraduras de
papel. Fuse (1990) aponta o Origami Modular como uma alternativa para se construir
figuras poliédricas e Lang (2010) organiza as sete operações classificadas como Axiomas
do Origami que trazem para o contexto escolar um embasamento científico que justifica
o matematicamente o uso dessa técnica nas aulas de Geometria. Para tanto, organizou-se
oficinas com o objetivo de apresentar atividades geométricas que pudessem ser realizadas
com o auxílio do Origami, e em especial na construção dos Poliedros Platônicos o
Origami Modular. Tem-se, como produto dessa dissertação, um material paradidático que
servirá de apoio para o trabalho com Origami no contexto da Geometria. Concluiu-se,
com o desenvolvimento desse estudo, que o Origami possibilita um trabalho efetivo na
aprendizagem da Geometria de maneira lúdica, contextualizada, possibilitando a
autonomia dos alunos, entendendo-o como um suporte para a elaboração de conceitos por
meio de materiais concretos.
Palavras-chave: Geometria, Origami, Origami Modular, Axiomas do Origami e
Poliedros Platônicos.
ABSTRACT
This research arose from the need to understand if there are benefits in geometric learning
that pass through the approach of Platonic Polyhedrons built from Origami. Its target
audience was teachers who work in the municipal network of Belo Horizonte and students
of the undergraduate course in Mathematics of UEMG-Campus Ibirité. This audience was
chosen because they believed they could be multipliers of this work. In the work of Gazire
(2000), Prieto (2002), Rafael (2011), among others, search in the history of Geometry the
records on the Platonic Polyhedrons and know the historical context of Origami. In the
works of Rego, Rego and Gaudêncio Jr. (2003), Kaleff (2003) and Genova (2001),
theoretical foundations and proposals of activities through paper folding were found. Fuse
(1990) points out the Origami Modular as an alternative to construct polyhedral figures
and Lang (2010) organizes the seven operations classified as Origami Axioms that bring
to the school context a scientific basis that justifies the mathematical use of this technique
in classes Geometry. For this, workshops were organized with the purpose of presenting
geometric activities that could be carried out with the help of Origami, and especially in
the construction of the Platonic Polyhedra the Origami Modular. As a product of this
dissertation, we have a parabolic material that will support the work with Origami in the
context of Geometry. It was concluded, with the development of this study, that Origami
makes possible an effective work in the learning of Geometry in a playful, contextualized
way, making possible the autonomy of the students, understanding it as a support for the
elaboration of concepts through concrete materials.
Keywords: Geometry, Origami, Modular Origami, Origami Axioms and Platonic
Polyhedra.
LISTA DE FIGURAS
FIGURA 1 – Platão ......................................................................................................... 21
FIGURA 2 – Representação das ideias de Platão e suas associações a elementos da
natureza .................................................................................................... 22
FIGURA 3 - Euclides ...................................................................................................... 23
FIGURA 4 - Kepler ......................................................................................................... 24
FIGURA 5 – Modelo de Kepler ...................................................................................... 25
FIGURA 6 – Euler ........................................................................................................... 26
FIGURA 7 – Os Poliedros Regulares .............................................................................. 28
FIGURA 8 – Ideogramas para designar a palavra Origami ............................................ 31
FIGURA 9 – Uso do Origami na aprendizagem da Geometria ....................................... 44
FIGURA 10 – Corpo Axiomático da Geometria do Origami ......................................... 47
FIGURA 11 – Quarto axioma ......................................................................................... 48
FIGURA 12 – Demonstração do Teorema de Pitágoras pela técnica do Origami .......... 49
FIGURA 13 – Origami de um dos módulos do hexaedro ............................................... 49
FIGURA 14 – Dobradura de um dos módulos do dodecaedro ....................................... 50
FIGURA 15 – Dobradura de um dos módulos dos sólidos de faces triangulares ........... 50
FIGURA 16 – Figura demonstrando primeiro axioma .................................................... 60
FIGURA 17 – Representação do axioma 5 ..................................................................... 61
FIGURA 18 – Pesquisadora auxiliando os estudantes .................................................... 61
FIGURA 19 – Interseção indicada pela régua ................................................................. 63
FIGURA 20 – Representação do axioma 4 ..................................................................... 64
FIGURA 21 – Pesquisadora executando dobra para demonstração ................................ 65
FIGURA 22 – Finalização da demonstração do Teorema de Pitágoras .......................... 66
FIGURA 23 – Professor fazendo a divisão do quadrado em três partes iguais............... 67
FIGURA 24 – Professores em trabalho colaborativo ao montar o dodecaedro .............. 68
FIGURA 25 – Pesquisadora orientando a construção dos poliedros de faces
triangulares ............................................................................................... 69
FIGURA 26 – Professores na montagem de seus poliedros ............................................ 69
FIGURA 27 – Professores, na montagem do icosaedro .................................................. 70
FIGURA 28 – Pesquisadora auxiliando os estudantes .................................................... 72
FIGURA 29 – Estudante executando o efeito sanfona .................................................... 73
FIGURA 30 – Desenho do módulo do hexaedro pronto ................................................. 73
FIGURA 31 – Estudantes montando o hexaedro ............................................................ 74
FIGURA 32 – Hexaedro finalizado ................................................................................. 75
FIGURA 33 – Desenho do decaedro em construção ....................................................... 77
FIGURA 34 – Estudantes executando o módulo do dodecaedro .................................... 78
FIGURA 35 – Encaixes dos módulos do dodecaedro ..................................................... 79
FIGURA 36 – Estudantes trabalhando coletivamente ..................................................... 80
FIGURA 37 – Dodecaedro já montado ........................................................................... 80
FIGURA 38 – Grupo iniciando os módulos dos poliedros de faces triangulares............ 81
FIGURA 39 – Estudantes de um mesmo grupo montando os módulos semelhantes ..... 82
FIGURA 40 – Desenho do módulo dos poliedros de faces triangulares ......................... 83
FIGURA 41 – Desenho da dobra, na obtenção do ângulo de 60° ................................... 84
FIGURA 42 – Três sólidos de faces triangulares montado em um dos grupos .............. 85
LISTA DE TABELAS
TABELA 1 - Axiomas do Origami ................................................................................. 36
TABELA 2 – Kit entregue a cada um dos grupos ........................................................... 55
LISTA DE QUADROS
QUADRO 1 - Classificação dos Poliedros Platônicos .................................................... 29
QUADRO 2 – Estrutura visual no produto ..................................................................... 53
QUADRO 3 – Detalhamento do 1º Momento ................................................................. 57
QUADRO 4 – Descrição dos axiomas sem desenho ....................................................... 59
QUADRO 5 – Detalhamento do 2º Momento ................................................................. 62
QUADRO 6 – Detalhamento do 3º Momento ................................................................. 66
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................. 15
2 A GEOMETRIA E OS POLIEDROS .............................................................. 19
2.1 Os Poliedros Platônicos na História da Geometria ........................................ 20
2.1.1 Platão ................................................................................................................... 21
2.1.2 Euclides ............................................................................................................... 23
2.1.3 Kepler .................................................................................................................. 24
2.1.4 Euler ................................................................................................................... 26
2.2 Os Poliedros Regulares ...................................................................................... 27
3 O ORIGAMI E SEU CONTEXTO HISTÓRICO .......................................... 31
3.1 Origami Modular ............................................................................................... 33
3.2 Os Axiomas do Origami .................................................................................... 35
3.3 O Origami e o ensino de Geometria ................................................................. 37
4 O PERCURSO DA PESQUISA ....................................................................... 41
4.1 O Contexto da Pesquisa ..................................................................................... 42
4.2 A Realização da Pesquisa .................................................................................. 43
4.2.1 O levantamento bibliográfico ........................................................................... 43
4.2.2 A escolha do material ........................................................................................ 43
4.2.3 A organização das Oficinas ............................................................................... 45
4.2.4 A elaboração das atividades .............................................................................. 46
4.2.4.1 1º Momento: Explorando os Axiomas do Origami. ............................................ 47
4.2.4.2 2º Momento: Consequências dos axiomas de Huzita-Hatori. ............................. 48
4.2.4.3 3º Momento: Construindo Poliedros Platônicos com Origami ........................... 49
4.2.5 Elaboração do questionário .............................................................................. 51
4.2.6 Elaboração do produto ...................................................................................... 51
5 APLICAÇÃO E ANÁLISE DAS ATIVIDADES............................................ 55
5.1 Aplicação das Oficinas ...................................................................................... 55
5.1.1 Oficina com Professores .................................................................................... 56
5.1.2 Oficina com Estudantes ..................................................................................... 56
5.2 Relatos e Análises das Aplicações ..................................................................... 57
5.2.1 Análise do 1° Momento ..................................................................................... 57
5.2.1.1 Oficina com Professores ...................................................................................... 58
5.2.1.2 Oficina com Estudantes ....................................................................................... 58
5.2.2 Análise do 2° Momento ........................................................................................ 62
5.2.2.1 Oficina com Professores ..................................................................................... 62
5.2.2.2 Oficina com Estudantes ...................................................................................... 63
5.2.3 Análise do 3° Momento....................................................................................... 66
5.2.3.1 Oficina com Professores ...................................................................................... 67
5.2.3.2 Oficina com Estudantes ....................................................................................... 71
6 ANÁLISE DO QUESTIONÁRIO .................................................................... 87
6.1 Respostas sobre o ensino de Geometria ........................................................... 87
6.1.1 Professores ........................................................................................................... 88
6.1.2 Estudantes ............................................................................................................ 89
6.2 Respostas sobre as atividades da oficina ......................................................... 91
6.2.1 Professores .......................................................................................................... 91
6.2.2 Estudantes ........................................................................................................... 93
6.3 Respostas sobre a viabilidade de aplicações das atividades futuramente .... 97
6.3.1 Professores .......................................................................................................... 97
6.3.2 Estudantes ........................................................................................................... 98
7 CONSIDERAÇÕES FINAIS ................................................................................... 101
REFERÊNCIAS .......................................................................................................... 106
APÊNDICES ................................................................................................................ 109
Apêndice A – Questionário aplicado a professores e estudantes ............................ 109
Apêndice B - Produto .................................................................................................. 113
15
1 INTRODUÇÃO
Foi ainda na infância que tive o primeiro contato com as dobraduras. Não me lembro
bem quando aconteceu pela primeira vez, mas foi pelos meados dos anos 80 que minha amada
mãe me ensinava cuidadosamente a fazer dobras em um simples pedaço de papel. A partir daí,
ele deixava de ser papel e se transformava em personagem de uma linda história, ou, ainda,
protagonizava um roteiro de brincadeira de criança.
Não sei se era essa a real intenção da minha mãe, mas, como educadora que era, acredito
que ela já utilizava essa distração como uma forma de contribuir com minha formação
intelectual. Eu ainda não havia tido contato com a escola formal, porém, possuía cadernos, lápis
de colorir, cola, tesoura, dentre outros materiais e brincava de escolinha com minha única irmã.
A primeira dobradura que fiz, ao que me recordo, foi de um cisne. Este, após dobrado,
tinha o bico colorido de uma cor, as asas de outra e os olhos destacados em preto bem forte.
Meu pai também tinha o costume de fazer dobraduras. Ele dobrava barquinhos de papel e
chapéus de soldado confeccionados com folhas de jornais velhos.
A dobradura se fez presente em toda a minha infância, mas foi somente na adolescência
que ela atingiu um significado especial. Em 1997, quando eu cursava a oitava série do Ensino
Fundamental (hoje, nono ano) minha professora de Matemática, que ainda era estudante do
curso de graduação nessa área, deu uma aula de Geometria Plana utilizando a dobradura como
um recurso didático.
A professora explicou para minha turma que ela iria filmar a aula, pois se tratava de um
trabalho de faculdade, o qual o desafio era ensinar Matemática de uma forma diferente. A partir
deste momento, ela entregou a cada aluno uma folha A4 branca e nos informou que iríamos
produzir uma pombinha em Origami – era esse o nome da dobradura de papel – e que a cada
dobra que realizássemos, ela iria nos explicar algum conceito ou definição matemática.
A Matemática já era minha disciplina preferida e, a essa altura, eu já havia definido
professora de que área eu me tornaria. Porque sempre soube que queria ser professora, só
faltando escolher a matéria. Foi naquela aula com Origami que conheci o primeiro postulado
de Euclides, que revela que “sobre dois pontos distintos passa-se uma única reta”. A professora
explicou para toda a turma de que se tratava este postulado com apenas uma dobra. Eu fiquei
encantada com aquela aula, pois, aquele momento pedagógico representava, para mim, a união
de duas grandes paixões: a Matemática e o Origami.
16
Eu não sabia muito sobre essa técnica, história, surgimento ou utilização didática, mas
sabia que havia considerado aquela aula esplêndida. E por um longo período de minha
juventude, reproduzi inúmeras vezes aquela pombinha que aprendi na aula de Matemática.
Em 2004, me ingressei no curso de licenciatura plena em Matemática na Pontifícia
Universidade Católica de Minas Gerais. Fui aluna bolsista nesta instituição e, mais uma vez,
tive contato com o Origami nas aulas de Desenho Geométrico.
Tive a oportunidade de aprender vários modelos específicos da Matemática, por
exemplo: tipos de triângulos (equilátero, isósceles e escaleno), onde explorávamos seus
elementos: mediana, altura e bissetriz; os pontos determinados pelas interseções: baricentro,
ortocentro e incentro; vários polígonos distintos e o tangram – um tipo de quebra cabeça chinês
composto por sete peças geométricas. Esses modelos davam aos alunos um embasamento para
propor atividades nas aulas de Geometria Plana.
Quando comecei a lecionar, fiz o uso do Origami em algumas de minhas aulas. Nada
muito aprofundado ou estruturado, mas procurei levar ao conhecimento de meus alunos aquilo
que eu havia estudado e considerado uma boa técnica de aprendizagem.
Eu continuava minha busca por modelos novos e, agora, me interessava mais por
aqueles os quais eu poderia relacioná-los à minha prática profissional. Foi, então, que conheci
outro segmento dessa arte chamada Origami Modular, que me permitiu montar os cinco
Poliedros Platônicos.
Enquanto professora especialista, eu perseverava em uma busca de novas estratégias de
ensino para melhorar minha prática pedagógica. Foi então que, em 2014, retornei à universidade
a qual havia me graduado e iniciei o Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e
Matemática.
Enquanto cursava as disciplinas, me perguntava sobre qual assunto iria dissertar e à luz
deste questionamento, me recordei daquelas duas paixões, a Matemática e o Origami, que agora
surgiam com outro significado: seria o assunto de minha pesquisa.
Essa caminhada foi iniciada buscando em leituras científicas um conhecimento mais
aprofundado dessa arte que passaria a ser um recurso metodológico proposto para aulas de
Geometria. Norteou essa pesquisa ora apresentada o seguinte questionamento: há benefícios na
aprendizagem geométrica com a construção dos Poliedros Platônicos a partir do Origami?
Para tanto, tem-se, como objetivo geral inserir a prática do Origami em sala de aula, na
expectativa de que, com sua abordagem axiomática, a aprendizagem da Geometria se torne
mais significativa, proporcionando maior compreensão no estudo dos Poliedros Platônicos.
17
Além disso, alguns outros propósitos foram traçados para direcionar a pesquisa nesta
perspectiva, a saber:
Construir, através de dobraduras, conceitos elementares da Geometria Plana;
Confeccionar os Poliedros Platônicos através de Origami modular, a fim de permitir
que os alunos desenvolvam sua percepção espacial e sejam autores de seu
conhecimento.
Elaborar um material de apoio ao professor, para que ele possa reproduzir os modelos
matemáticos de cada sólido, evidenciando o passo-a-passo das construções sugeridas.
Com a finalidade de atingir os objetivos propostos, este trabalho foi organizado em sete
capítulos. Este, introdutório, justifica a pesquisa, indicando os caminhos que fizeram chegar até
o tema dissertado.
No capítulo dois, busca-se, em um resgate histórico, a apropriação dos termos
Geometria e Poliedros, além de conhecer importantes matemáticos, filósofos e astrônomos que
dedicaram suas pesquisas aos Poliedros Platônicos.
O capítulo três foi destinado a uma contextualização histórica do Origami, buscando
relacionar essa arte com a Matemática. Para isso, apresenta-se a estrutura axiomática desta
técnica associando-a à Geometria euclidiana.
Em seguida, discorre-se, no capítulo quatro, sobre o percurso e o contexto da pesquisa.
Nessa concepção, apoia-se nas obras de Rego, Rego e Galdêncio Jr. (2003), Genova (2001) e
Costa (2007), que fornecem informações pedagógicas no que se refere ao Origami no contexto
escolar. Em seguida, apresenta-se uma proposta de atuação com atividades que foram
direcionadas para um público alvo que se acredita ter o perfil de propagador deste trabalho.
Encontram-se, nos capítulos seis e sete, análise das atividades e do questionário aplicado
aos sujeitos pesquisados, por meio dos quais foram coletadas informações que permitiram
realizar considerações e apresentar os resultados dessa pesquisa, essas últimas encontradas no
capítulo sete.
No apêndice, além do questionário, encontra-se o produto deste mestrado. Trata-se de
um material de apoio ao professor para que ele possa reproduzir os modelos matemáticos de
cada sólido, evidenciando o passo-a-passo das construções recomendadas, juntamente com
sugestões de atividades a serem executadas em sala de aula.
18
19
2 A GEOMETRIA E OS POLIEDROS
A palavra Geometria vem do grego geo “terra” e metria “medida”. Na antiguidade,
acreditava-se que a Terra era plana e, por isso, o significado “medida da terra”.
As civilizações antigas já faziam o uso de algumas noções geométricas, por assim dizer,
em suas atividades diárias, como agricultura, construções e movimento dos astros. Por
necessidade e sobrevivência, os indivíduos que habitavam os arredores do Nilo se viam em
grande conflito quando o rio transbordava e alagava os campos, os agrimensores utilizavam
cordas esticadas formando triângulos retângulos que os auxiliavam nos cálculos de extensão
dos terrenos. Nesse sentido, segundo Souza:
Os primeiros povos a se dedicarem à Matemática por si próprios foram os gregos, que,
entre outros assuntos, estudaram várias formas geométricas. Algumas dessas formas,
como também suas propriedades, foram tratadas inicialmente por eles, sendo esse o
motivo pelo qual essas formas receberam nomes que derivam da língua grega.
(SOUZA, 2010, p. 68).
A busca por conhecimentos geométricos aumentava, mas foi por volta de 600 a.C. que
Tales de Mileto e Pitágoras apresentam suas primeiras contribuições. Boyer (1996) aponta
Tales como o primeiro homem cujas descobertas matemáticas lhe foram concedidas. O autor
discorre que:
A opinião antiga é unânime em considerar Tales como um homem de rara inteligência
e como o primeiro filósofo – por acordo geral o primeiro dos Sete Sábios. Era
considerado um “discípulo dos egípcios e caldeus”; hipótese que parece plausível. A
proposição agora conhecida como teorema de Tales – que um ângulo inscrito num
semicírculo é um ângulo reto – pode ter sido aprendida por Tales durante suas viagens
a Babilônia. (BOYER, 1996, p. 31-32).
Ainda em acordo com o autor, Pitágoras fundou a Sociedade Pitagórica com bases
matemáticas e filosóficas. Essa ordem fundada por ele era secreta e suas descobertas eram
outorgadas aos membros e não a uma única pessoa, apesar de ser comum, naquela época, dar
toda a confiabilidade ao mestre. Boyer conta, também, que:
Dizia-se que o lema da escola pitagórica era “Tudo é número”. Lembrando que os
babilônios tinham associado várias medidas numéricas às coisas que os cercavam,
desde os movimentos nos céus até o valor de seus escravos, podemos perceber nesse
lema uma forte afinidade com a Mesopotâmia. Mesmo o teorema, a que o nome de
Pitágoras ainda está ligado, muito provavelmente veio dos babilônios. Sugeriu-se,
como justificativa para chamá-lo teorema de Pitágoras, que foram os pitagóricos os
primeiros a dar uma demonstração dele; mas não há meios de se verificar essa
conjectura. (BOYER, 1996, p. 34).
20
Porém, somente com Euclides, em torno de 300 a. C., que a Geometria foi formalmente
sistematizada a partir de um conjunto axiomático que a desenvolveu como ciência dedutiva.
Neste trabalho, dar-se-á ênfase aos Poliedros, mais especificamente aos Poliedros Regulares
abordados no último livro de Euclides “Os Elementos”, que será explicitado mais adiante.
De origem grega, a palavra Poliedro significa “várias faces” – poli = várias e edro =
faces. Prieto define os poliedros como:
[...] un conjunto conexo de ℝ3 formado por un número finito de polígonos planos que
se juntan de una manera razonable. Aquí “razonable” quiere decir que cada lado de
un polígono pertenece exactamente a otro polígono del poliedro, y de manera que los
polígonos que concurran em cada vértice formen un circuito simple (para evitar
anomalías tales como el caso de dos pirámides unidas por el vértice). (PRIETO, 2002,
p. 178)
Assim, as faces de um poliedro são polígonos – figuras planas – que, unidas duas a duas,
formam as arestas de um poliedro e o encontro dessas arestas é chamado de vértice do poliedro.
Ao observar as construções desde a antiguidade até o mundo moderno, é possível
perceber que muitas delas possuem elementos que permitem uma associação com os poliedros,
sejam as Pirâmides do Egito, o Parthenon ou, ainda, o edifício do Congresso Nacional em
Brasília, pois, em todas essas edificações, podem-se identificar os elementos de um poliedro
como faces, arestas e vértices. Todas elas possuem as mais variadas formas geométricas e
mostra a aproximação da Geometria com o cotidiano.
A Geometria, portanto, está em todo lugar, assim como os poliedros. Esta pesquisa,
então, pretende mostrar que tais figuras tridimensionais podem ser reproduzidas por estudantes
nas aulas de Matemática através do uso de dobraduras. Antes, porém, propõe uma pequena
viagem na história a fim de identificar a influência dos sólidos nos estudos de grandes
matemáticos e filósofos desde os tempos antigos.
2.1 Os Poliedros Platônicos na História da Geometria
Vários matemáticos, filósofos e astrônomos dedicaram seus estudos a esses poliedros,
destacando-se, dentre outros, Platão, Euclides, Kepler e Euler, que contribuíram diretamente
para o entendimento desses objetos tridimensionais.
Passando pela história, é possível compreender melhor porque esses sólidos ficaram tão
conhecidos e porque a eles foram dedicadas tantas pesquisas e estudos. Serão apresentadas, a
21
seguir, algumas das contribuições daqueles que são considerados relevantes para o
entendimento desse trabalho.
2.1.1 Platão
Figura 1 – Platão
Fonte: SOUZA, 2010, p.72.
Dante (2005) recorre à história para informar que Platão, filósofo grego, teve muito
entusiasmo com a Matemática em sua obra “Timaeus”, na qual explana seus pensamentos sobre
os sólidos em um possível encontro com o pitagórico Timeu de Locri. Neste diálogo, ele expôs
suas ideias sobre os Poliedros Regulares, que ficaram conhecidos como Poliedros Platônicos.
Alguns historiadores atribuem aos pitagóricos e a Teeteto as descobertas desses poliedros.
Dante (2005) conta que:
Neste trabalho de Platão, Timeu misticamente associa o tetraedro, o octaedro, o
icosaedro e o cubo aos quatro “elementos” primordiais de todos os corpos materiais:
fogo, ar, água e terra. Ele associou o quinto poliedro, o dodecaedro, ao Universo que
nos cerca. E então? Você acha justo chamar esses poliedros de poliedros de Platão?
(DANTE, 2005, p.98).
Assim, devido à associação dos poliedros aos elementos da natureza e ao Universo, eles
ficaram conhecidos, também, como “figuras cósmicas”. O matemático Johannes Kepler
explicou essa associação feita por Platão. Para aquele, em uma relação de volume entre o
tetraedro e o icosaedro, verificou-se que o primeiro possui um volume menor que o segundo.
De acordo com essa correspondência, se tem a ideia de seco e úmido, ligando, respectivamente,
esses sólidos aos elementos fogo e água. O hexaedro e o octaedro foram tidos como mais e
menos estável, respectivamente, logo, se associando o hexaedro à terra, por sua estabilidade e
o octaedro ao ar. O dodecaedro foi associado ao Universo por suas doze estações zodiacais
(FIG. 2).
22
Figura 2 – Representação das ideias de Platão e suas associações a elementos da
natureza
Fonte: DANTE, 2015, p.80.
Platão, ainda nos dias atuais, é muito lembrado por suas contribuições filosóficas e de
acordo com Dante (2005), o filósofo era conhecido como “criador de matemáticos”. Fundou a
Academia em Atenas, considerada a primeira Universidade no mundo que continha, em sua
porta, a seguinte escritura: “Que ninguém que ignore a Geometria entre aqui”.
Este filósofo também destacou a importância dos triângulos, ao referir-se aos sólidos,
pois mesmo aqueles que não fossem compostos por faces triangulares poderiam tê-las
decompostas em triângulos. Ele visualizava as faces triangulares, quadradas e pentagonais
como combinações de triângulos retângulos ideais obtidos através dos traçados das diagonais e
alturas dos polígonos. Esses seriam de dois tipos: o isósceles, e por isso com ângulos de 45°, e
o outro escaleno, obtido através do triângulo equilátero, logo, com ângulos de 30° e 60°.
É perceptível a decomposição de um quadrado e de um triângulo equilátero em
triângulos ideais. Nessa perspectiva, ficaria faltando apenas o dodecaedro, como discorre
Boyer:
Platão considerava o dodecaedro como composto de 360 triângulos retângulos
escalenos, pois, quando em cada uma das faces pentagonais são traçadas as cinco
diagonais e as cinco medianas, cada uma das doze faces conterá trinta triângulos
retângulos. A associação dos quatro primeiros sólidos regulares com os tradicionais
quatro elementos universais forneceu a Platão, no Timaeus, uma teoria da matéria
harmoniosamente unificada, de acordo com a qual tudo era construído de triângulos
retângulos ideais. (BOYER, 1996, p. 60).
Esses objetos tridimensionais que possuem faces formadas por polígonos regulares
idênticos entre si estariam, então, estabelecidos como os cinco Sólidos Regulares que ficaram
conhecidos como Sólidos Platônicos ou, ainda, Poliedros Platônicos.
23
2.1.2 Euclides
Figura 3 - Euclides
Fonte: SOUZA, 2010, p.49.
Euclides nasceu por volta de 300 a.C., e, segundo Gazire (2000), não se sabe ao certo o
local de seu nascimento. É possível que tenha sido educado em Atenas e frequentado a
Academia de Platão. Sabe-se que, provavelmente, por motivos políticos, ele fora viver em
Alexandria, no Egito, onde fora nomeado para a cátedra de Geometria da Universidade e ficara
conhecido como Euclides de Alexandria.
Um dos matemáticos mais importante de todos os tempos, Euclides se destacou na
história por causa de sua obra – “Os Elementos” – composta por 13 livros, dentre os quais os 3
últimos foram destinados ao estudo da Geometria Espacial.
Ele organizou em sua obra “Os Elementos” toda a estrutura da Geometria hoje
conhecida como Euclidiana. Os títulos de cada um dos volumes são:
Livro I – Os fundamentos da Geometria Plana
Livro II – Álgebra Geométrica
Livro III – Teoria da Circunferência
Livro IV – Figuras Inscritas e Circunscritas
Livro V – Teoria das Proposições Abstratas
Livro VI – Figuras Geométricas Semelhantes e Proporcionais
Livro VII – Fundamentos da Teoria dos Números
Livro VIII – Continuação de Proporções e Teoria dos Números
Livro IX – Teoria dos Números
Livro X – Classificação dos Incomensuráveis
Livro XI – Geometria dos Sólidos
24
Livro XII – Medição de Figuras
Livro XIII – Sólidos Regulares
Nesse último livro, ele afirma que não pode existir outros sólidos que possuam faces
compostas por polígonos regulares e congruentes entre si.
Ainda como discorre Gazire (2000), existe toda uma estrutura axiomática responsável
pela organização do que se conhece por Geometria euclidiana. A autora também afirma que:
A Geometria euclidiana foi rigorosamente construída, e como tal, converteu-se em
modelo para toda a Matemática. Os treze livros que compõem os Elementos de
Euclides sintetizam todo o conhecimento matemático até então acumulado. Com essa
construção, Os Elementos se tornaram o sonho metodológico de toda a ciência. De
fato, o pensamento científico em busca de uma sistematização encontrou no método
axiomático o modelo perfeito. (GAZIRE, 2000, p. 82).
Ainda nos dias atuais, a Geometria euclidiana é a mais utilizada. Ela serve,
inclusive, para direcionar a organização das várias outras Geometrias que foram surgindo com
o passar dos anos.
2.1.3 Kepler
Figura 4 – Kepler
Fonte: ROCHA, 2002, p.75.
Johannes Kepler nasceu em 1571, na Alemanha, e, de acordo com Rocha (2002), tivera
uma infância marcada por doenças e problemas familiares. Com o passar dos anos, se tornou
um incansável investigador, o que o fez se transformar em um dos construtores da ciência
moderna.
Ainda na adolescência, estudou em seminários teológicos protestantes onde fora
introduzido ao quadrivium que era constituído por quatro ciências: Astronomia, Geometria,
Aritmética e Música.
25
Rocha (2002, p.76) descreve que “[...] em 1594, Kepler se torna professor de
Matemática e Astronomia na Escola Luterana de Graz, na Áustria”. Ainda em conformidade
com o autor, foi em uma de suas aulas que teve a ideia de relacionar os cinco Sólidos Regulares
aos seis planetas até então descobertos – Mercúrio, Vênus, Marte, Júpiter, Saturno e Terra e de
desenvolver um modelo planetário em concordância com o modelo de Copérnico (FIG.5), como
relata Rocha:
[...] uma esfera circunscrita a um cubo (a superfície da esfera contém todos os vértices
do sólido), em seguida, uma outra esfera menor inscrita (que tangencia internamente
todas as faces do cubo), um tetraedro circunscrito, uma nova esfera inscrita ao
tetraedro, e assim sucessivamente até obter seis esferas concêntricas com raios que
seriam iguais às trajetórias circulares dos planetas em torno do Sol, este, absoluto e
soberano no centro do arranjo. Estaria assim estabelecida a conexão secreta entre a
milenar geometria e o novo sistema copernicano. O glorioso passado representado
pelo quadrivium grego poderia, enfim, coexistir harmoniosamente com as novas e
revolucionárias ideias renascentistas! (ROCHA, 2002, p. 77).
Figura 5 – Modelo de Kepler
Fonte: ROCHA, 2002, p. 77.
O modelo de Kepler que harmonizava planetas e Poliedros Regulares revestidos por
esferas concêntricas fora esquecido, anos mais tarde, após a descoberta de mais três planetas –
Netuno, Urano e Plutão – sendo que esse último, desde 2006, já não mais é considerado um
planeta.
Rocha (2002, p 78) salienta que Kepler “acreditou no ideal platônico-pitagórico, isto é,
de um universo regido por ideias imutáveis e leis geométricas perfeitas”. O que deixa claro seu
apreço pela Geometria. Um modelo matemático justificado pelas regras da Geometria e pelas
propriedades peculiares dos Poliedros Platônicos podendo ser reproduzido em sala de aula a
fim de propor um aprofundamento nos estudos dos sólidos.
26
2.1.4 Euler
Figura 6 – Euler
Fonte: SOUZA, 2010, p.71.
Leonhard Euler, nascido em 1707, na Suíça, na cidade de Basiléia, como afirma Souza
(2010), efetuou muitas contribuições para a Matemática. Aplicou-a em distintos assuntos, como
órbitas planetárias, balística, construção naval, navegação, óptica e acústica.
Aos vinte e seis anos de idade, Euler se tornou um dos mais importantes matemáticos
da Academia de São Petersburgo, localizada na Rússia. Ele contribuía com um grande número
de artigos para a revista da Academia “Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis
Petropolitanae”, como afirma Boyer (1996). Segundo o autor, Euler publicou, em vida, mais
de 500 artigos, além de escrever obras para todos os níveis de ensino. Ele produziu vários
materiais que foram utilizados nos livros didáticos nas escolas russas. Ficou cego aos 59 anos
de idade, porém, continuou suas pesquisas e publicações.
Uma de suas mais importantes contribuições para a matemática é a relação que envolve
o número de faces (F), arestas (A) e vértices (V) de um poliedro, apresentada da seguinte forma:
𝑉 + 𝐹 = 𝐴 + 2 (1)
Euler verificou que essa relação era válida para todo poliedro convexo e alguns não
convexos. Com relação a essa associação, afirma Souza que:
Essa igualdade é conhecida como Relação de Euler e é válida para todo poliedro
convexo. No entanto, essa relação é válida também para alguns poliedros não
convexos. Os poliedros cuja Relação de Euler é válida são chamados poliedros
eulerianos. Assim, podemos afirmar que todos os poliedros convexos são eulerianos,
mas nem todo poliedro euleriano é convexo. (SOUZA, 2010, p. 71).
27
Pode-se associar os Poliedros Platônicos a essa relação, uma vez que todo Poliedro
Platônico também é euleriano. Dessa forma, sabendo apenas o nome do Sólido Regular, a
relação de Euler contribui para que se determine seu número de faces, arestas e vértices.
2.2 Os Poliedros Regulares
Como foi dito anteriormente, os Poliedros Regulares são poliedros convexos e como
demonstrado por Euclides, existem apenas cinco. Mas por que só cinco? Como existem infinitos
polígonos regulares, é evidente imaginar que também existam infinitos poliedros regulares.
Nesse sentido, Machado (2000) indaga:
Será que também é simples construir um pentaedro regular? E um hexaedro regular?
Quantos tipos de poliedros regulares será possível construir? Intuitivamente, pode
parecer que, como no caso dos polígonos, podemos construir poliedros regulares com
quantas faces desejarmos. Na verdade, não existem muitos poliedros regulares e não
é possível construir senão uns poucos tipos destes poliedros – apenas o suficiente para
uma correspondência com os dedos de uma mão. (MACHADO, 2000, p. 18).
O autor deixa claro, portanto, que mesmo que se disponibilizasse mais recursos, ainda
assim não seria possível construir mais do que cinco desses poliedros. Além disso, por serem
convexos, é válida para eles a relação de Euler. Assim, é importante saber porque existem
apenas cinco desses poliedros. Para tanto, Lima et al (2004, p.241) explicam:
“Definição: um poliedro convexo é regular quando todas as faces são polígonos
regulares iguais e em todos os vértices concorrem o mesmo número de arestas.
Teorema: Existem apenas cinco poliedros regulares convexos”.
Para demonstrar, seja n o número de lados de cada face e seja p o número de arestas que
concorrem em cada vértice. Temos, então, 2𝐴 = 𝑛𝐹 = 𝑝𝑉, ou
𝐴 =𝑛𝐹
2 e 𝑉 =
𝑛𝐹
𝑝 (2)
Substituindo na relação de Euler, obtém-se
𝑛𝐹
𝑝−
𝑛𝐹
2+ 𝐹 = 2 (3)
F=4𝑝
2𝑝+2𝑛−𝑝𝑛 (4)
Como se deve ter 2p + 2n − pn > 0, ou seja:
28
2𝑛
𝑛−2> 𝑝 (5)
Como p ≥ 3, chega-se a n < 6. As possibilidades são, então, diante do exposto, as
seguintes:
𝑛 = 3 → 𝐹 =4𝑝
6 − 𝑝 → {
𝑝 = 3 → 𝐹 = 4 (𝑡𝑒𝑡𝑟𝑎𝑒𝑑𝑟𝑜)𝑝 = 4 → 𝐹 = 8 (𝑂𝑐𝑡𝑎𝑒𝑑𝑟𝑜)
𝑝 = 5 → 𝐹 = 20 (𝐼𝑐𝑜𝑠𝑎𝑒𝑑𝑟𝑜)
𝑛 = 4 → 𝐹 =2𝑝
4−𝑝→ 𝑝 = 3 → 𝐹 = 6 (𝐶𝑢𝑏𝑜)
𝑛 = 5 → 𝐹 =4𝑝
10−3𝑝 → 𝑝 = 3 → 𝐹 = 12 (𝐷𝑜𝑑𝑒𝑐𝑎𝑒𝑑𝑟𝑜). (LIMA et al, 2004, p.241-242).
Figura 7 – Os Poliedros Regulares
Fonte: SILVA, 2017.
O quadro 1 classifica os poliedros e exemplifica esta definição apontada por Lima et al
(2004). Para melhor compreensão, é necessário associar as letras F, V e A, respectivamente, a
faces, vértices e arestas.
29
Quadro 1 - Classificação dos Poliedros Platônicos
Denominação do
Poliedro
F
V
A
Tetraedro 4 faces triangulares 4 6
Hexaedro 6 faces quadradas 8 12
Octaedro 8 faces triangulares 6 12
Dodecaedro 12 faces pentagonais 20 30
Icosaedro 20 faces triangulares 12 30 Fonte: Elaborado pela pesquisadora.
Essa demonstração sinaliza a existência dos cinco Sólidos Regulares. Porém, como
acrescenta Kaleff (2003), é importante considerar que o aluno deve ser incentivado a investigar
e fazer essa descoberta, pois, dessa forma, o desenvolvimento das noções matemáticas se torna
mais significativo. A respeito da construção de modelos poliédricos, a autora conta que:
[...] uma das características mais interessantes das atividades que envolvem
construções de modelos de poliedros é o questionamento que surge ao longo dos
processos de construção e que proporciona ao aluno a oportunidade para conjecturar
sobre diversas situações geométricas. O constante questionamento sobre o que o aluno
constrói e sobre o que ele observa lhe proporciona a oportunidade de descobrir as
propriedades geométricas que desejamos enfatizar, tomar consciência delas,
ajudando-o a construir o correspondente significado geométrico. (KALEFF, 2003, p.
21).
Entendendo assim, este trabalho apresenta uma proposta de construção de conceitos
geométricos através da dobradura de papel. No âmbito da Geometria, a dobradura permite
várias construções geométricas, sejam elas em duas ou três dimensões. O fato é que sempre se
parte de uma folha de papel, ou seja, mesmo que o objetivo seja confeccionar um poliedro,
passa-se, primeiro, por uma construção bidimensional, que não deve ser desconsiderada. Todas
as formas que forem surgindo ao longo do processo de confecção devem ser levadas em conta
para agregar conhecimento ao aluno e permitir que esse estabeleça as conexões entre as
Geometrias plana e espacial.
Direcionando o foco para os Poliedros Platônicos, é possível encontrar uma vasta
maneira de representá-los apenas dobrando papel. Portanto, essa pesquisa foi dedicada à
confecção desses sólidos. A esse respeito, ressalta Kaleff que:
[...] a análise das características geométricas dos poliedros regulares de Platão
proporciona ao aluno a oportunidade de observar uma grande variedade de conexões
30
entre as figuras geométricas planas e as espaciais, levando-o a descobrir várias
situações em que surgem padrões de regularidade geométrica. (KALEFF, 2003, p.
21).
Enfatiza-se, nesse sentido, que, cada vez mais, a dobradura de papel vem sendo utilizada
ema sala de aula no ensino da Matemática. Por ser uma forma criativa e econômica, ela vem
ganhado espaço nas escolas que, muitas vezes, são desprovidas de verbas para aquisição de
materiais concretos. A seguir, serão apresentados o surgimento e o avanço desta arte que,
originalmente, é conhecida como Origami.
31
3 O ORIGAMI E SEU CONTEXTO HISTÓRICO
De origem japonesa, a palavra Origami significa dobrar papel. Prieto (2002) explica que
Ori: dobrar – deriva do desenho de uma mão – e Kami: papel – provém da representação de
uma seda (FIG. 8). Essa arte foi estabelecida por todo o mundo. No Brasil, é conhecida com
dobradura, na língua espanhola como papiroflexia, no inglês como paperfolding.
Figura 8 – Ideogramas para designar a palavra Origami
Fonte: LUCAS, 2013, p.11.
Acredita-se que essa arte seja tão antiga quanto à origem do próprio papel. Muitos
pesquisadores creem que o Origami não é exclusividade japonesa, como Kanegae e Imamura
(1989) relatam. Segundo eles, apesar de o Japão ser considerado o berço do Origami, ele pode
ter surgido na China, uma vez que neste país a história do papel é muito mais antiga. Para os
autores:
Em praticamente todos os países onde existe o papel, há uma maneira própria de
dobrar este material. Alguns pesquisadores do origami acreditam que ele tenha
surgido por volta do século VI d.C, quando um monge budista trouxe da China, via
Coréia, o método de fabricação do papel, que até então era desconhecido pelos
japoneses. Por causa do seu valor, as pessoas utilizavam-no em origamis especiais ou
em cerimônias específicas. (KANEGAE; IMAMURA, 1989, p.8).
Assim, não se sabe ao certo como se começou a dobrar papel, mas segundo Kanegae e
Imamura (1989), julga-se que haja alguma ligação com os costumes religiosos, já que em
templos xintoítas eram encontradas ornamentações divinizadas feitas de papel.
Ainda por volta do século VI d.C, o papel era um artigo de luxo, portanto, acessível
somente à nobreza, como contam Rego, Rego e Galdêncio Jr. (2003). Era um costume
tradicionalmente passado de geração em geração e não havia registros de diagramas que
possibilitassem as orientações para suas reproduções. Após a confecção do papel em larga
escala, essa arte passou a ser amplamente divulgada, e no ano de 1876 torna-se parte do
currículo escolar japonês.
Engel (1994) descreve os três períodos nos quais a história do Origami foi dividida:
32
1º Período – Heian (794 a 1185): entretenimento das classes mais abastadas, pois eram
as únicas que tinham condições de adquirir o papel, que era uma rara e preciosa mercadoria. O
Origami era parte significante da vida cerimonial da nobreza japonesa;
2º Período – Muromachi (1338 a 1573): o papel tornou-se mais acessível e o Origami
começou a ser utilizado para diferenciar as classes sociais, de acordo com os enfeites que as
pessoas usavam. Distinguia a aristocracia samurai dos fazendeiros e camponeses;
3º Período – Tokugawa (1603 a 1867): esse período ficou conhecido como a
democratização do papel. Foi quando se deu a popularização do Origami e surgiu a dobradura
original do Tsuru – ave sagrada no Japão. Segundo reza a lenda, quem consegue fazer mil
pássaros terá um desejo realizado – a base do pássaro foi documentada na mais antiga cópia
existente sobre Origami, em 1797, no Senbazuru Orikata (Como dobrar mil garças). Nesta
época, surgiram os primeiros livros de Origami.
As bases das dobraduras do Tsuru e da Rã são as mais utilizadas em modelos de Origami
até os dias atuais. De acordo com Rafael (2011), foi em 1845 que se publicou o livro “Kan No
Mado” (Janela aberta à estação do inverno), composto por mais de 150 modelos de Origami
que contribuíram com a divulgação da arte por todo o Japão com atividades criativas e
educacionais.
Alguns nomes de impulsionadores dessa técnica surgiram no Oriente e no Ocidente,
como: Leonardo da Vinci (séc. XV, na Itália); Friedrich Froebel (séc. XIX, na Alemanha);
Miguel Unamuno (séc. XX, na Espanha); e Akira Yoshizawa (séc. XX, no Japão); esse último
conhecido como o “pai do Origami moderno”, pois criou a simbologia com instruções que
constituem a linguagem do Origami, como conta Rafael (2011). Não é preciso saber japonês
para compreender um diagrama de Origami, já que esta é uma linguagem universal, tal como a
Matemática.
A Europa, através da Espanha, recebeu as primeiras informações sobre esta arte com os
mouros. No Brasil, o Origami ficou conhecido como “a arte de dobrar papel” e teve influências
da Argentina e dos imigrantes japoneses, a partir de 1908.
Rego, Rego e Galdêncio Jr. (2003, p. 25) contam que “A religião dos mouros proibia a
criação de qualquer representação simbólica de homens ou animais através do Origami”. Isso
fez com que a arte fosse cada vez mais associada às construções geométricas. As regularidades
encontradas nas dobraduras de papel aguçaram a curiosidade de estudiosos que foram buscando
33
estabelecer conexões dessas dobragens1 com a Matemática e, mais especificamente, com a
Geometria.
Devido a essas conexões estabelecidas, no final do século XX, os matemáticos
começaram a se interessar por esta arte. Muitos perceberam que as diversas criações feitas por
Origami iam muito além da inspiração, da criatividade e da arte, estando, na verdade, associadas
a conceitos e limitações geométricas. Prieto (2002) ressalva que:
Por un lado, tenemos la escuela japonesa, donde la papiroflexia ha sido cultivada por
artistas no científicos. La filosofía consiste aquí en expresar, sugerir, captar la esencia
de lo que se quiere representar con un mínimo de pliegues, aunque la figura resultante
no sea anatómicamente perfecta; por otro lado, la escuela occidental, donde la
papiroflexia ha sido desarrollada por matemáticos, ingenieros, físicos, arquitectos...
Se persigue la exactitud anatómica, es decir, representar los insectos con todas las
patas, pestañas, cuernos, alas... Para ello se han desarrollado multitud de métodos
matemáticos. (PRIETO, 2002, p. 177).
Hoje não há muita distinção entre a escola oriental e a ocidental. Vários estudiosos
dedicaram suas pesquisas ao Origami e alguns se preocupam mais com o processo matemático
do que artístico. Dentre esses, se destacam Robert Lang e Tomoko Fuse. O primeiro se
empenhou em organizar a estrutura axiomática do Origami; a segunda teve seu trabalho
consagrado pelo Origami Modular, discutido no próximo subitem deste trabalho.
3.1 Origami Modular
O Origami pode ser simples ou modular, sendo o primeiro, também chamado de
Origami unitário, feito a partir de dobras em uma única folha de papel, e o segundo consiste no
encaixe de diversas peças geometricamente iguais para se alcançar, quase sempre, uma figura
poliédrica; todos obtidos, preferencialmente, a partir de uma folha quadrada e sem o uso de
tesouras ou colas. Sobre a técnica do Origami modular, discorre Mitchel (2008) que neste:
[...] se reúne um número de módulos simples dobrados para criar um modelo
poliédrico. Esse tipo de dobragem de papel teve origem, nos Estados Unidos, nos
tempos das misturas de culturas do início dos anos 60. Desde então, ganhou aderentes
no Reino Unido e por todo o mundo, tornando-se popular até no Japão, o lar
tradicional da dobragem de papel com uma só folha, onde é conhecido por origami
unitário. (MITCHEL, 2008, p. 6).
1 O termo dobragem é utilizado por vários dos autores pesquisados, como, por exemplo, Rafael (2011), Monteiro
(2008) e Mitchel (2008), e foi utilizado, no contexto dessa pesquisa, como sinônimo de dobrar, dobramento.
34
Atualmente, está cada vez mais comum o uso de folhas retangulares para a construção
de modelos poliédricos. O retângulo, cuja razão do lado maior para o menor é 1 √2⁄ , é muito
utilizado neste tipo de construção, uma vez que permite ampliações dos modelos com
facilidade. Um exemplo popular desse retângulo é a folha A4, que, além de ideal, se torna
acessível por ser facilmente encontrada no mercado e possuir baixo custo.
Tomoko Fuse é uma das mais importantes origamistas da história no que se refere ao
Origami Modular. Fuse (1990) menciona essa modalidade do Origami como uma forma lúdica
que exige tempo e dedicação de quem se propõe a fazer. Mas ressalta que depois das unidades
finalizadas e encaixadas as formas finais, estas se tornam claras e expressivas. A autora ressalta,
ainda, que, para produzir Origamis Modulares, basta utilizar apenas mãos e papeis, não havendo
a necessidade de nenhum tipo de adesivo.
Fuse (1990, p.133), em sua obra “Unit Origami Multidimensional Transformations”,
apresenta vários tipos de poliedros construídos através do Origami Modular, afirmando que:
“Nós permitimos que os poliedros se desenvolvam em todas as direções no espaço para gerar
novos tipos de sólidos de Origami unitários” (Tradução nossa)2. A autora apresenta diagramas
dos mais variados poliedros e, dentre eles, os Regulares.
No desenvolvimento dessa pesquisa, são propostas construções mais simples e fáceis
de serem executadas em sala de aula no Ensino Básico. Para isso, foi na obra “Polyhedron
Origami for beginners” (KAWAMURA, 2001) que foram localizados os diagramas mais
próximos daqueles que são aqui propostos. Kawamura (2001, p.28) define Poliedro Regular
sendo: “[...] um poliedro cujas faces são todas idênticas, polígonos regulares e cujos vértices
são formados pelo mesmo número de faces.” (Tradução nossa)3.
A autora exibe os diagramas modulares de cada Sólido Regular que são obtidos a partir
de uma folha quadrada. Ela apresenta um módulo para o Hexaedro, outro para o Dodecaedro e
um último, que permite a montagem do Tetraedro, Octaedro e Icosaedro.
As construções propostas neste trabalho se aproximam daquelas apresentadas por
Kawamura (2001), mas, as neste trabalho apresentadas são obtidas a partir de uma folha
retangular. Antes, porém, de indicar tais construções, faz-se necessário estabelecer uma relação
entre o Origami e a Geometria, o que será feito nas seções seguintes.
2 “We allow polyhedrons to develop in all directions into space to generate new kinds of unit origami solids.”
(Texto original). 3 “[…] is a polyedron whose faces are all identical, regular polygons and whose vertices are formed by the same
number of faces.” (Texto original).
35
3.2 Os Axiomas do Origami
Assim como as figuras geométricas de um modo geral, as construções geométricas
tradicionais feitas por dobraduras também são regidas por um conjunto de axiomas que permite
provar a existência de cada dobra possível de ser realizada. Rafael (2011) destaca o matemático
ítalo-japonês Humiaki Huzita, da universidade de Pádua, na Itália – que nasceu no Japão, mas
viveu muitos anos na Itália – que, na década de 1970, criou as seis operações conhecidas como
axiomas de Huzita. Em 2001, Koshiro Hatori mostrou uma dobragem diferente dos axiomas
existentes, surgindo, então, o sétimo axioma. A esse respeito, Rafael (2011, p. 19) ressalta que
“Estes axiomas (que na realidade são operações) descrevem operações básicas que se podem
efectuar em Origami e permitem caracterizar formalmente o tipo de construções geométricas
que é possível fazer com Origami.”
Ainda de acordo com a autora, foi somente em 2003 que Robert Lang publicou um
estudo onde mostra as sete combinações de dobras conhecidas agora como axiomas de Huzita-
Hatori. Em 2010, Lang publica outro artigo, no qual apresenta crédito apropriado a Jaques
Justin para o 7° axioma. Segundo Lang (2010), o francês Jacques Justin publicou um artigo
“Resolution par le pliage de l'équation du troisieme degre et applications geometriques”, em
1989, onde enumerou 7 possíveis combinações de alinhamento, sendo o último apresentado
antes da descoberta de Hatori, permitindo a definição das combinações tanto como Huzita-
Hatori, quanto como Huzita-Justin4. De acordo com Lang (2010), isso mostra que
pesquisadores independentes expressaram as mesmas leis universais na linguagem matemática.
Essas operações permitem combinações entre si para se obter qualquer construção
simples (dobra única) em Origami. Segundo Rafael (2011):
Na teoria matemática das construções geométricas com dobragens de papel, os sete
axiomas de Huzita-Hatori chegam para definir o que é possível construir com
dobragens simples. (Admitindo dobragens simultâneas já vamos além do que é
descrito pelos axiomas de Huzita-Hatori, passando, por exemplo, a ser possível dividir
um ângulo genérico em cinco partes iguais ou a construir o polígono regular de onze
lados, algo que não é possível recorrendo apenas a dobras simples.) (RAFAEL, 2011,
p. 19).
Lang (2003), citado por Monteiro (2008), realizou um estudo completo de todas as
dobragens possíveis que especificam um único vinco e comprovou a existência de somente 7
axiomas, representados na tabela 1:
4 Para fins desse trabalho, optou-se pela definição das combinações como Huzita-Hatori, já que a maioria dos
autores pesquisados as citam como tal.
36
Tabela 1 - Axiomas do Origami
Descrição dos Axiomas Diagramas
Axioma 01:
Dados dois pontos, P1 e P2, há uma única dobra que
passa pelos dois pontos.
Axioma 02:
Dados dois pontos, P1 e P2, há uma única dobra que
as torna coincidentes.
Axioma 03:
Dadas duas retas, I1 e I2, há uma única dobra que as
torna coincidentes.
Axioma 04:
Dados um ponto P e uma reta I há uma única dobra
perpendicular a I que passa por P.
Axioma 05:
Dados dois pontos, P1 e P2, e uma reta I, se a distância
de P1 a P2 for igual ou superior à distância de P2 a I,
então há uma única dobra que faz incidir P1 em I e
que passa por P2.
Axioma 06:
Dados dois pontos P1 e P2, e duas retas I1 e I2, se as
retas não forem paralelas e se a distância entre as retas
não for superior à distância entre os pontos, há uma
única dobra que faz incidir P1 e, I1 e P2 em I2.
Axioma 07:
Dado um ponto P e duas retas I1 e I2, se as retas não
forem paralelas, há uma única dobra que faz incidir P
em I1 e é perpendicular a I2.
Fonte: Adaptado de MONTEIRO, 2008, p. 9-10.
Como consequência desses axiomas, é possível resolver equações, efetuar a trissecção
de um ângulo, duplicar um cubo, dentre outros. Isso possibilita ao aluno desenvolver sua
destreza manual, além de colaborar com a compreensão de conceitos geométricos, tais como:
37
simetrias, congruências, ângulos, razões, proporções etc. Esta estrutura axiomática possibilita,
portanto, uma compreensão da Matemática que há por trás de uma simples dobradura de papel.
3.3 O Origami e o ensino de Geometria
Tendo estabelecida uma relação entre a Matemática e o Origami, é possível delinear os
caminhos os quais esta pesquisa percorre, possibilitando o apontamento do Origami como um
recurso metodológico para as aulas de Matemática.
Assim como Euclides elaborou e organizou a primeira estruturação sistemática da
Geometria em “Os Elementos”, hoje, muitos matemáticos vêm explorando e ordenando uma
série de dobras que possibilitam a realização de diversas operações geométricas. Como discorre
Engel (1994), para os matemáticos, a beleza do Origami é a simples Geometria. Segundo o
autor:
Hoje, uma obra de origami deve demonstrar os padrões de beleza do artista e do
matemático. Deve ser anatomicamente exata - uma exigência americana, não japonesa
- contudo sugere mais do que mostra. Podem-se empregar técnicas de dobramento que
são inesperadas, mas nunca aleatórias, e cuja lógica pode tornar-se clara somente
quando a figura inteira foi completada. Para o dobrador que atende essas exigências
corajosamente, as restrições do meio não são uma limitação, mas um estímulo para
uma maior imaginação.
(ENGEL, 1994, p. 33). (Tradução nossa).5
Ainda em concordância com o autor, os estudiosos estabelecem a essa arte um novo
padrão estético: os valores da Geometria. Para os professores que se propõem a ensinar
Geometria através do Origami, a beleza é percebida através da simplicidade e da economia.
Usando apenas folha de papel, é possível realizar várias construções poliédricas que podem ser
utilizadas para a abordagem e definição de conceitos.
A proposta é criar linhas dobrando papel ao invés de usar régua e ensinar uma variedade
de conteúdos matemáticos a partir de uma aula lúdica, criativa e direcionada ao ensino da
Geometria. Rego, Rego e Galdêncio Jr. mostram que:
Na realização das dobraduras, os estudantes familiarizam-se com formas geométricas,
movimentos de transformação e múltiplas linhas de simetria dentro de uma mesma
figura. Noções de retas perpendiculares, retas paralelas, figuras planas e sólidas,
5 “Today, a work of origami must exemplify both the artist’s and the mathematician’s standards of beauty. It must
be anatomically accurate – an American demand, not a Japanese one – yet suggest more than it shows. It may
employ folding techniques that are unexpected, but never arbitrary, and whose logic may become clear only when
the entire figure has been completed. To the folder who meets these demands head-on, the constraints of the
medium are not a limitation but a stimulus to greater imagination.” (Texto original).
38
congruência, bissetrizes de ângulos, relações entre áreas e proporcionalidade poderão
ser introduzidas de maneira igualmente eficaz. As dobraduras possibilitam ainda o
desenvolvimento de atividades relacionadas ao estudo de frações, aritmética, álgebra
e funções, dentre outros. (REGO; REGO; GALDÊNCIO JR., 2003, p. 18).
Os autores indicam o uso do Origami nas atividades de Matemática voltadas para:
A construção de conceitos;
A discriminação de forma, posição e tamanho;
A leitura e interpretação de diagramas;
A construção de figuras planas e espaciais;
O uso dos termos geométricos em um contexto;
O desenvolvimento da percepção e discriminação de relações planas e espaciais;
A exploração de padrões geométricos;
O desenvolvimento do raciocínio do tipo passo-a-passo;
O desenvolvimento do senso de localização espacial. (REGO; REGO;
GALDÊNCIO JR., 2003, p.19-20).
Corroborando com os autores, percebe-se que a dobradura de papel é capaz de despertar
o processo evolutivo do pensamento algébrico, aritmético e geométrico. Ela também permite
que se construam conceitos a partir de cada dobra efetuada, além de explorar a percepção visual
do aluno. A este respeito, porém, Kaleff (2003) informa que:
Embora a maioria das representações de objetos geométricos seja perceptível
visualmente, é importante não confundir a habilidade da visualização, isto é, a
habilidade de se perceber o objeto geométrico em sua totalidade, com a percepção
visual das representações disponíveis deste objeto. [...] É a partir desde contato com
as formas do objeto, a textura e as cores do material de que ele é composto, bem como
da possibilidade de sua manipulação, que tem origem a construção de uma imagem
mental, a qual permitirá evocar o objeto na sua ausência. Assim é que a criança vai
formando um conjunto de imagens mentais que representam o objeto as quais são
envolvidas no raciocínio. A partir deste ponto, ela poderá vir a representar com
sucesso o objeto observado, através da elaboração de um esboço gráfico ou de um
modelo concreto. (KALEFF, 2003, p. 16).
Utilizando o Origami em uma aula de Matemática, o papel se torna o material
manipulável que estará de posse do aluno para que possa explorá-lo e percebê-lo, seja em sua
bidimensionalidade ou na transformação do plano para o espaço tridimensional. Isso permite
entender sobre o porquê de se ensinar Geometria com Origami. Tomoko Fuse (1990) acredita
que há uma grande diferença em entender alguma coisa através da mente e conhecer esta mesma
coisa através do tato. É por acreditar nisso e por viver esta experiência, que se une a ideia da
percepção espacial com o manuseio do concreto. Concreto este que vai além de um objeto
39
pronto e acabado, já que se refere a um Origami modular que será cuidadosamente produzido,
dobra a dobra, pelas próprias mãos de quem o manuseia.
Por ser universal, a linguagem do Origami também possibilita que qualquer pessoa faça
uma leitura interpretativa de seus diagramas, o que contribui com a memorização do passo-a-
passo e se transforma em um exercício mental.
Além de discutir conteúdos matemáticos, o Origami ainda permite estabelecer relações
com outras disciplinas, como apontam Rego, Rego e Galdêncio Jr. (2003): na Arte, desenvolve
a criatividade, o controle motor e aprimora o senso estético; nas Ciências Físicas e Biológicas,
é utilizado na confecção de animais e plantas, na reciclagem de papel e para testar a flutuação
de barquinhos de papel; na História e na Geografia, permite explorar temas como a história e o
surgimento do papel, o percurso das invenções através dos séculos e entre os povos; nas
Linguagens, estimula a percepção de outras formas de comunicação e produção de textos
interdisciplinares; na vida social, promove o trabalho em grupo, a atividade cooperativa,
habilidade de concentrar e memorizar, além de ser utilizado em terapia ocupacional.
Portanto, nessa concepção, o Origami não é visto apenas como uma “arte de dobrar
papel”, mas, sim, como um objeto de aprendizagem contido de um corpo axiomático com
embasamento matemático, a fim de assegurar um ensino significativo.
Porém, para se ensinar Geometria através do Origami, o professor precisa, primeiro,
conhecer e dominar a técnica. A seguir, será abordado o desenvolvimento dessa pesquisa bem
como o contexto em que ela foi realizada.
40
41
4 O PERCURSO DA PESQUISA
O ensino da Geometria, como sugerem os PCN (BRASIL, 1997), apontam conceitos
que levam o aluno a desenvolver seu pensamento geométrico, indicando o uso de dobraduras,
nas aulas de Matemática, para a realização de atividades geométricas. De acordo com o
documento:
As atividades geométricas podem contribuir também para o desenvolvimento de
procedimentos de estimativa visual, seja de comprimentos, ângulos ou outras
propriedades métricas das figuras, sem usar instrumentos de desenho ou de medida.
Isso pode ser feito, por exemplo, por meio de trabalhos com dobraduras, recortes,
espelhos, empilhamentos, ou pela modelagem de formas em argila ou massa.
(BRASIL, 1997, p. 83).
As dobraduras que possuem muita Matemática envolvida, como mostra Imenes (2003),
dar-se o nome de Origami. Genova (2001) assegura que essa arte pode desempenhar um papel
mediador, articulando as construções com elementos ou conceitos geométricos e Costa (2007)
aposta no Origami como apoio na construção do conceito.
Portanto, essa pesquisa teve, como proposta, trabalhar o uso do Origami nas aulas
práticas de Matemática, com o interesse de conhecer e explorar axiomas da Geometria, a fim
de construir os Poliedros Platônicos, associando cada dobra aos conceitos elementares
geométricos.
O principal questionamento acerca do assunto é: há benefícios na aprendizagem geométrica
com a construção dos Poliedros Platônicos a partir do Origami? E tem como objetivo
fundamental inserir a prática do Origami em sala de aula, na expectativa de que, com sua
abordagem axiomática, a aprendizagem da Geometria se torne mais significativa,
proporcionando maior compreensão no estudo dos Poliedros Platônicos.
Esse trabalho se configura como uma pesquisa de investigação qualitativa a qual
Bogdan e Biklen (1994, p. 16) a definem como “um termo genérico que agrupa diversas
estratégias de investigação que partilham determinadas características.”. Neste tipo de pesquisa,
se recolhe dados qualitativos através de questões que procuram investigar fenômenos e se
privilegia a compreensão dos comportamentos no olhar dos sujeitos investigados.
Ainda sob orientação dos autores, foi realizado um trabalho de campo seguindo a
estrutura sugerida: acesso, início, participação, entrevistas, fotografias e saída de cena. Dentre
essas, se destaca a participação – O contínuo participante/observador – uma vez que, para o
desenvolvimento desse trabalho, é relevante que o observador participe efetivamente, pois
42
depende dele as orientações para a construção dos modelos matemáticos realizados através do
Origami.
No que tange à estrutura da pesquisa, as entrevistas foram substituídas pelos
questionários, pois, como mostram Fiorentini e Lorenzato (2012), as entrevistas se diferenciam
do questionário porque podem ser aplicadas para um número maior de pessoas sem que haja
contato direto entre pesquisador e pesquisado. Neste contexto, a atuação estaria mais bem
estruturada.
4.1 O Contexto da Pesquisa
A pesquisa foi realizada com dois grupos distintos de sujeitos: o primeiro composto por
professores graduados nas áreas de Arte, Física, Matemática e Pedagogia; e o outro formado
por graduandos do curso de licenciatura plena em Matemática.
O primeiro grupo participou de uma oficina piloto que ocorreu durante um momento
pedagógico destinado à formação de professores em uma escola da rede municipal de Belo
Horizonte. A partir de então, verificou-se a possibilidade em destinar a pesquisa a um público
que possuísse potencial para ser multiplicador desse aprendizado, foi então, que se escolheu o
segundo grupo.
Esse, porém, com uma característica diferente, já que todos os seus participantes, de
alguma forma com experiência em sala de aula, eram alunos do quarto período do curso de
Matemática da Universidade Estadual de Minas Gerais – Campus Ibirité. A escolha desses
sujeitos foi motivada por eles possuírem um perfil propício para a realização do trabalho, ou
seja, de acordo com a grade curricular do curso, é neste período que é abordada a disciplina
Geometria Espacial.
As atividades com Origami podem ser trabalhadas nas disciplinas de Geometria Plana I
e II, Desenho Geométrico I e II e Geometria Espacial, sendo essa última escolhida por
caracterizar maior abrangência ao tema, principalmente no que tange às construções dos
sólidos. É esperado, neste período do curso, que os alunos tenham uma consciência geométrica
mais ampla, pois percorreram todo esse caminho de estudo da Geometria estando concluindo a
última disciplina dessa área do conhecimento.
Além disso, é importante considerar que todos os alunos já tiveram contato direto com
a sala de aula. Alguns por já lecionarem e, outros, por realizarem o Estágio obrigatório que,
neste período, é destinado à observação no Ensino Fundamental II (6º ao 9º ano).
43
E, por fim, outro critério de escolha foi o fato de que todos os alunos já conheciam a
pesquisadora enquanto professora da licenciatura nesta instituição de ensino. Os laços afetivos
ora estabelecidos colaboraram, de forma positiva, para a comunicação e articulação em sala de
aula.
4.2 A Realização da Pesquisa
A pesquisa foi realizada em seis etapas:
4.2.1 O levantamento bibliográfico
Para o levantamento bibliográfico, buscou-se realizar diversas leituras sobre os temas:
Origami e Geometria. Nessa perspectiva, foram encontrados teses, dissertações e artigos sobre
pesquisas realizadas à luz desses assuntos, como: Manso (2008); Monteiro (2008); Lucas
(2013); Leroy (2010); Rafael (2011); Prieto (2002); Barreto (2013) e Gazire (2000).
Após a leitura desse material, recorreu-se a autores que debatiam sobre o assunto
Origami e Matemática, dentre os quais se destacam Boyer (1996), que apresenta a história da
Matemática; Rego, Rego e Galdêncio Jr. (2003), que traduzem o Origami como um importante
recurso metodológico; Imenes (2003), que sinaliza a Geometria nas dobraduras; Genova
(2001), que descreve o Origami como mediador entre a abordagem da Geometria e as
construções geométricas; e Costa (2007), que sugere o trabalho com Origami como apoio na
construção de conceitos. Já no contexto geométrico, optou-se por Lima et al (2004), que
definem os poliedros regulares; Machado (2000), que traz a construção e definição dos
poliedros regulares; e Kaleff (2003), que ajuda na compreensão desses poliedros.
Também foram encontradas algumas obras que traziam o contexto histórico e sobre a
arte e técnica do Origami, como Kanegae e Imamura (1989), que discorrem sobre sua origem;
Montroll (2002), que apresenta os poliedros construídos a partir de uma única folha de papel;
Fuse (1990), que apresenta as mais diversas técnicas do Origami modular; Kawamura (2001);
que expõe os poliedros regulares através da junção de módulos produzidos com folhas
quadradas; e Mitchell (2008), que oferece orientações sobre a escolha do papel.
4.2.2 A escolha do material
No decorrer desse trabalho, foram realizadas várias dobragens com papeis de diferentes
tipos. Esses se distinguiam em tamanho, espessura, estrutura e cores. Isso ocorreu na busca por
44
um material que atendesse ao perfil da pesquisa, destinada, de modo geral, para escolas
públicas, e, também, que se encaixasse no tipo de modelo proposto para ser produzido.
Nem todos os modelos em Origami partem de um papel quadrado; alguns podem ser
feitos a partir de um papel retangular, como divulga Costa (2007). A autora indica, conforme
já exposto, como um dos retângulos mais utilizados nessa técnica, aqueles que possuem os lados
na razão 1/√2, e um exemplo deste tipo de papel é o A4.
A proposta deste trabalho foi levar, para a sala de aula, materiais de fácil acesso que, ao
construir os modelos matemáticos, contribuíssem com a percepção espacial do aluno. Grande
(1994, p. 92) define percepção espacial como “a faculdade de reconhecer e discriminar
estímulos no espaço, e a partir do espaço, e interpretar esses estímulos associando-os a
experiências anteriores”. Seguindo a ideia do autor e trazendo-a para o contexto do Origami,
verifica-se, conforme figura 9:
Figura 9 – Uso do Origami na aprendizagem da Geometria
Fonte: Elaborada pela pesquisadora.
Hoje, há uma escassez de material em boa parte das escolas, principalmente nas públicas
que são as mais numerosas. Trabalhar as construções sólidas em Origami no papel A4
representa um baixo custo para as instituições de ensino, além de, conforme já dito, oportunizar
ao aluno o manuseio de objetos tridimensionais construídos por ele mesmo.
Grande parte das escolas possui folhas de papel A4 em seu estoque. Sejam elas brancas,
coloridas em tons pastel ou em cores mais fortes. Essas últimas possuem gramaturas e nomes
variados: creative papers, lumi papers, dentre outros, porém, mantêm o padrão de tamanho A4.
Tais folhas são mais chamativas, pois possuem cores diversas e fluorescentes e, por isso, foram
selecionadas para a confecção dos sólidos. Se faz importante lembrar que as construções
• Utilizando o Origami nas aulas de Matemática
1º
• Aprendendo conceitos de Geometria
2º• Aprimorando a
habilidade da percepção espacial
3º
45
propostas aqui poderão ser realizadas com outros tipos de folhas, sejam elas de rascunho,
revistas, encartes, folders e etc.
Ressalta-se, porém, que a escolha do papel é muito importante para o resultado final da
dobradura. Neste caso, como foram construídos Origamis Modulares, tem-se que tomar um
cuidado maior com essa seleção. Esse tipo de Origami é construído por partes, são módulos que
serão encaixados entre si para a formação do poliedro. Se o papel escolhido possuir gramatura
muito espessa, isso poderá prejudicar a montagem final, pois os módulos podem não se encaixar
perfeitamente, devido à dificuldade em dobrar um papel mais grosso.
A gramatura sugerida foi entre 75g/m2 e 80g/m2, que permite uma solidez nas dobras
sem comprometer seu encaixe. Um papel com gramatura inferior a essa também não é indicado
por não dar firmeza a quem executa a atividade e por comprometer o encaixe devido à brandura
dos módulos, não possibilitando a união das peças produzidas.
4.2.3 A organização das Oficinas
As duas oficinas foram organizadas em dois dias e divididas em três momentos cada
com as atividades descritas abaixo:
1º Momento: Explorando os Axiomas do Origami;
2° Momento: Consequências dos Axiomas de Huzita-Hatori
3° Momento: Construindo Poliedros Platônicos com Origami.
Conforme já exposto, apostou-se no uso do Origami como um recurso didático que
pudesse contribuir com o desenvolvimento do raciocínio investigativo, a criatividade e o senso
estético do aluno. As atividades foram executadas em grupos entre quatro e seis pessoas, a fim
de agilizar o processo e proporcionar a colaboração coletiva entre os pares, como indicam os
PCN, a fim de:
Interagir com seus pares de forma cooperativa, trabalhando coletivamente na busca
de soluções para problemas propostos, identificando aspectos consensuais ou não na
discussão de um assunto, respeitando o modo de pensar dos colegas e aprendendo
com eles. (BRASIL, 1997, p. 37).
Ou seja, aquele participante que apresentou maior desenvoltura com as dobraduras pode
ajudar o colega que teve maior dificuldade.
46
Para a execução das primeiras atividades, cada grupo recebeu folhas de papeis, brancas
ou em tons pastel para serem utilizadas em dois momentos: exploração e consequência dos
axiomas. É importante ressaltar que as folhas distribuídas nesse momento não devem ter cores
fortes, pois isso dificulta a visualização das dobragens que irão comprovar cada axioma
apresentado.
Já no terceiro momento, destinado à confecção dos Poliedros Platônicos, foi entregue
um kit, previamente preparado, a fim de favorecer e agilizar o desenvolvimento das atividades.
A ordem de construção iniciou-se com os módulos do Hexaedro e, em seguida, o
Dodecaedro. Por fim, os módulos do Tetraedro, Octaedro e Icosaedro, que são semelhantes
entre si, se diferenciando apenas pelo tamanho. Essa ordem foi estabelecida, visto que a
dobradura e o encaixe dos dois primeiros sólidos são mais simples. Isso fez com que os
participantes se sentissem motivados a realizar as próximas atividades, pois já teriam montado
os primeiros Poliedros Platônicos.
4.2.4 A elaboração das atividades
As atividades contidas na oficina foram elaboradas de forma que o participante pudesse
perceber a evolução da técnica do Origami. Para tanto, procurou-se apresentar uma noção
inicial da técnica que estabelecesse uma relação axiomática com a Matemática. Em seguida, foi
mostrado que essa conexão com o ensino gera consequências que possibilitam a realização de
demonstrações. Para, enfim, construir os Poliedros Platônicos, aproveitando as definições e
conceitos que possam surgir no decorrer das dobragens. A esse respeito, Genova (2001) explana
que:
Na geometria ensinada na escola, a importância da construção é frequentemente
subestimada. A passagem da manipulação de materiais ou do reconhecimento de
formas aos conceitos teóricos costuma ser muito abrupta. Uma mediação natural entre
tais níveis de abordagem da geometria são as construções geométricas. O origami
pode desempenhar esse papel mediador de modo interessante e fecundo. (GENOVA,
2001, p.119).
Assim, utilizando o Origami como um recurso metodológico, são apresentados os três
momentos da oficina realizada, contendo as atividades aplicadas em cada um deles.
47
4.2.4.1 1º Momento: Explorando os Axiomas do Origami.
As atividades propostas neste momento tinham, como finalidade, que os alunos
realizassem experimentos, utilizando pedaços de papeis, executando dobras que os levassem a
identificar axiomas apresentados. Desse modo, teriam a oportunidade de iniciar, de forma
prática, o desenvolvimento do corpo axiomático da Geometria do Origami, como indicado na
figura 10, e já explicitado anteriormente no capítulo teórico deste trabalho.
Figura 10 – Corpo Axiomático da Geometria do Origami
Fonte: CAVACAMI; FURUYA, 2010, p. 3-6.
Porém, para que os axiomas pudessem ser trabalhados, era necessário definir o plano de
atuação, que, neste caso, se trata de uma folha retangular. Esse momento é fundamental na
oficina, pois mostra a influência que a Matemática estabelece sobre a técnica do Origami.
Estudar, portanto, os fundamentos dessa arte é medular para realizar as associações
desta com outras Geometrias, em especial com a Euclidiana. Assim, conhecer essa estrutura
axiomática permite a constatação de definições, conceitos e propriedades elementares não só
da Geometria Plana e Espacial.
48
4.2.4.2 2º Momento: Consequências dos axiomas de Huzita-Hatori.
Já esse momento da oficina foi destinado à constatação da aplicabilidade de alguns
axiomas apresentados. Como a maior parte dos sujeitos da pesquisa atua no Ensino
Fundamental, foi selecionada uma atividade relacionada à Geometria que pode ser aplicada
nesse nível de ensino. Para tanto, foi proposta a realização da demonstração do Teorema de
Pitágoras como consequência do quarto axioma.
O quarto axioma, como já dito, descreve que “dados um ponto P e uma reta r, existe
uma única dobra que é perpendicular à r que passa por P.” (RAFAEL, 2011, p.19).
Figura 11 – Quarto axioma
Fonte: Adaptado de MONTEIRO, 2008, p.9.
Para realizar a demonstração do Teorema de Pitágoras, toma-se uma folha A4 branca,
fazendo com ela um quadrado. A partir daí, divide-se esse quadrado em três partes iguais,
utilizando técnicas do Origami. Com o quadrado dividido em três partes iguais, propõe-se uma
análise dos triângulos obtidos com a junção de alguns pontos. Ao perceber que esses são
triângulos congruentes, inicia-se a demonstração que comprova, por sobreposição, que a soma
dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa (FIG. 12).
49
Figura 12 – Demonstração do Teorema de Pitágoras pela técnica do Origami
Fonte: Elaborada pela pesquisadora.
4.2.4.3 3º Momento: Construindo Poliedros Platônicos com Origami
Para finalizar a oficina, o terceiro momento foi destinado à construção dos cinco Sólidos
Regulares a partir das dobras feitas com o Origami. No decorrer dessas construções, foram
abordados conceitos importantes da Geometria Plana que trazem consigo a intenção de
contribuir com o estudo da Geometria Espacial.
Com os participantes dispostos em grupos, foram confeccionados, primeiro, os módulos
do hexaedro, que possui dobragens mais simples e fáceis de encaixar (FIG. 13).
Figura 13 – Origami de um dos módulos do hexaedro
Fonte: Elaborada pela pesquisadora.
Após a finalização do hexaedro, foram produzidas as peças do dodecaedro, que possui
um grau de dificuldade superior ao hexaedro no que tange à confecção dos módulos, porém,
não apresenta um alto grau de complexidade no encaixe, como mostra a figura 14.
50
Figura 14 – Dobradura de um dos módulos do dodecaedro
Fonte: Elaborada pela pesquisadora.
Depois da montagem da peça, por fim, agora com os participantes detendo certo
domínio da técnica, estes foram orientados para a confecção do módulo que gera a montagem
dos três sólidos de faces triangulares (tetraedro, octaedro e icasaedro). Este módulo é um pouco
mais complexo, pois possui muitas dobras e um caminho extenso de marcações de vincos até
chegar ao modelo final (FIG. 15).
Figura 15 – Dobradura de um dos módulos dos sólidos de faces triangulares
Fonte: Elaborada pela pesquisadora.
51
4.2.5 Elaboração do questionário
O questionário é um recurso investigativo que objetiva levantar informações de
determinado conjunto de pessoas. De acordo com Fiorentini e Lorenzato (2012, p.116), ele “é
um dos instrumentos mais tradicionais de coletas de informações e consiste numa série de
perguntas que podem ser: fechadas, abertas ou mistas.”
Optou-se por elaborar o questionário com maior parte de questões abertas e apenas
algumas fechadas, sobre as quais os autores discorrem que:
As questões fechadas são mais fáceis de serem respondidas, compiladas e tratadas
estatisticamente. As questões abertas, por sua vez, prestam-se melhor a coletar
informações qualitativas. No entanto, são mais difíceis de serem obtidas, pois exigem
do sujeito que responde maior atenção e tempo. As informações fornecidas pelo
questionário aberto podem ser agrupadas em categorias, sendo possível também sua
quantificação. (FIORENTINI; LORENZATO, 2012, p. 117).
Portanto, por meio desse método, foram elaboradas doze questões que visavam obter as
impressões dos estudantes e professores que participaram da oficina. Esse questionário foi
enviado ao endereço eletrônico dos participantes logo após a aplicação das oficinas. Dessa
forma, os sujeitos pesquisados teriam tempo hábil, clareza e tranquilidade para responderem às
perguntas sem se sentirem pressionados.
4.2.6 Elaboração do produto
Os PCN (BRASIL, 1997) sugerem o uso de dobraduras para a realização de atividades
geométricas. Porém, na busca de materiais para essa pesquisa, notou-se a dificuldade em
encontrar livros que associassem o uso do Origami à disciplina de Matemática.
Este trabalho propõe o uso do Origami nas aulas de Geometria e, para tanto, considera-
se necessário que o professor possua um material que o ofereça um suporte em relação às
orientações quanto ao passo-a-passo de cada dobradura sugerida.
Pensando nisso, foi, então, elaborado um livro paradidático com a intenção de
proporcionar um apoio para o profissional que se interesse em fazer o uso desse material em
suas aulas. Mas por que um paradidático? De acordo com Dante (2015, p.324) “[...] os livros
paradidáticos são escritos em estilo mais coloquial, abordam aspectos históricos interessantes,
integram-se com outras áreas do conhecimento e não se restringem ao conteúdo matemático de
determinado tema”.
52
Conforme afirmam Menezes e Santos (2001) foi no final da década de 1990 que os
livros paradidáticos receberam maior destaque nas escolas, fundamentados pela Lei de
Diretrizes e Bases da Educação (LDB). Sobre este tipo de material, os autores ainda explicam
que:
São livros e materiais que, sem serem propriamente didáticos, são utilizados para este
fim. Os paradidáticos são considerados importantes porque podem utilizar aspectos
mais lúdicos que os didáticos e, dessa forma, serem eficientes do ponto de vista
pedagógico. Recebem esse nome porque são adotados de forma paralela aos materiais
convencionais, sem substituir os didáticos. (MENEZES; SANTOS, 2001).
Como uma das intenções desse trabalho é ofertar ao professor instrumentos didáticos
que possam contribuir com sua prática docente, optou-se por um livro que pudesse ser utilizado
em conjunto com o didático que, normalmente, costuma ser adotado pelas escolas.
Este livro paradidático, produto dessa dissertação, foi organizado em cinco unidades:
Unidade I: Axiomas do Origami;
Unidade II: Triângulos e Esquadros;
Unidade III: Quadriláteros;
Unidade IV: Tangram;
Unidade V: Poliedros.
A unidade I é composta por informações relacionadas ao contexto histórico do Origami
e toda sua estrutura axiomática, que fornece embasamento matemático para tratar de assuntos
relacionados à Geometria.
Em seguida, são abordados, nas unidades II e III, conteúdos referentes aos triângulos e
quadriláteros, evidenciando algumas de suas propriedades.
Já a unidade IV propõe a construção de um jogo de quebra-cabeças conhecido como
Tangram com o desígnio de proporcionar ao aluno um momento mais lúdico com desafios
geométricos.
Por fim, a última unidade do livro é apresentada com os cinco Poliedros Platônicos que
deram corpo a esta pesquisa, seguida das referências utilizadas para sua construção teórica.
Todas as unidades são compostas por um texto informativo acerca do assunto, seguidas
de um convite à dobradura, que é acompanhado de uma tabela explicativa contendo os
diagramas e as orientações escritas sobre como cada dobra deve ser realizada. Para encerrar,
são propostas atividades a fim de verificar e oportunizar a aprendizagem dos alunos. O quadro
2 apresenta a estrutura visual padronizada presente no produto:
53
Quadro 2 – Estrutura visual no produto
Fonte: Elaborado pela autora.
Além dessas instruções algumas atividades estão acompanhadas de balõezinhos
contendo explicações que podem ser úteis para suas resoluções. A ideia é ofertar ao professor
um material que o auxilie nas dobraduras e que, ao mesmo tempo, lhe traga sugestões de
atividades que possam ser trabalhadas em sala de aula.
No capítulo 5, serão analisadas as oficinas e no capítulo posterior as respostas dadas
pelos professores e alunos ao questionário elaborado.
54
55
5 APLICAÇÃO E ANÁLISE DAS ATIVIDADES
Neste capítulo são apresentadas e analisadas as atividades realizadas nas oficinas
ofertadas a professores e estudantes.
5.1 Aplicação das Oficinas
As atividades propostas nas oficinas ofertadas tanto a professores quanto a estudantes
possuíam o mesmo formato, porém, foram realizadas em datas e locais distintos, como descrito
nos próximos itens. Foi previamente solicitado que eles providenciassem alguns materiais como
lápis, borracha, tesoura, régua, esquadro e transferidor, a fim de ajudá-los no preparo do papel
e para que eles comprovassem, após a execução das dobras, o que fora apresentado.
Inicialmente, foi elaborada uma apresentação no Power Point®, a fim de situar os
participantes sobre a divisão dos três momentos da oficina e, também, para informá-los a
respeito da técnica e oferecer um pouco da história do Origami. As turmas foram dispostas em
grupos entre 4 e 6 pessoas. Os dois primeiros momentos da oficina foram realizados de forma
individual, ou seja, cada um possuía seu próprio material e realizava a atividade proposta,
mesmo que, às vezes, recorresse a um colega do grupo. Já no terceiro momento, de posse do kit
que receberam (TAB. 2), os participantes dividiram os materiais entre si. Cada um produziu
pelo menos um módulo e, posteriormente, se organizaram para a montagem final dos sólidos.
Esse kit era composto por folhas de papel coloridas e recortadas nos tamanhos indicados
para a construção de cada sólido, como mostra a tabela abaixo:
Tabela 2 – Kit entregue a cada um dos grupos
Poliedro Material (Folha A4) Quantidade de Material
Tetraedro Inteira 2
Hexaedro Inteira 6
Octaedro Metade 4
Dodecaedro Quarta parte 12
Icosaedro Quarta parte 10
Fonte: Elaborada pela pesquisadora.
56
5.1.1 Oficina com Professores
Foram ofertadas duas oficinas, sendo a primeira voltada a professores, e aconteceu nos
dias 07 e 08 de agosto de 2015, com duração de 2 horas no primeiro dia, e 4 horas no segundo
dia, em uma escola da rede municipal de Belo Horizonte com a participação, nos dois dias, de
um grupo composto por 14 professores de áreas distintas, a saber: Artes, Física, Matemática e
Pedagogia. Os profissionais que não são especialistas em Matemática se identificam com essa
disciplina, pois, em algum momento de sua prática pedagógica, precisam recorrer a ela.
As escolas da rede Municipal de Belo Horizonte costumam se organizar para promover
encontros pedagógicos entre os profissionais da educação. Foi em um desses momentos, que
contemplava as áreas da Língua Portuguesa e Matemática, que foi ofertada essa oficina, onde
cada professor teve a liberdade de escolher sua participação, que era facultativa.
O primeiro momento da oficina teve, como objetivo e conforme já exposto, apresentar
os axiomas do Origami que eram desconhecidos por todos os participantes. Mas, mesmo assim,
todos interagiram com a proposta e experimentaram cada dobra rumo à nova descoberta.
Posteriormente a esta atividade, ainda no primeiro dia, foi utilizado o quarto axioma de
Huzita-Hatori para realizar a demonstração do Teorema de Pitágoras, conforme demonstrado
no capítulo 4 deste trabalho. Nenhum dos participantes também tinha conhecimento dessa
atividade.
No segundo dia de oficina, foram confeccionados os sólidos e três participantes já
conheciam algumas das construções realizadas. Esses são professores de Matemática e
costumam fazer o uso dessa técnica em sala de aula. Porém, ninguém conhecia, por completo,
as orientações repassadas para se obter os cinco poliedros regulares. Denominou-se esta de
oficina piloto, por ter ocorrido no percurso da pesquisa, sendo essa uma oportunidade de
colaborar com a formação de professores. Esse grupo mostrou um grande potencial para ser
multiplicador do trabalho, o que possibilitou o surgimento da ideia de ofertar a mesma oficina
para futuros profissionais da área de Matemática.
5.1.2 Oficina com Estudantes
Seguindo as mesmas orientações da oficina piloto, as atividades foram realizadas nos
dias 04 e 08 de setembro de 2015, com um grupo de 23 estudantes no primeiro dia e 25 no
outro. Porém, devido à carga horária dos alunos, no primeiro dia, a oficina teve duração de 2
horas e o segundo dia, de 3 horas e 20 minutos.
57
Alguns participantes conheciam técnicas do Origami, mas nenhum afirmou ter realizado
atividades como as propostas neste trabalho. Os estudantes de graduação mostraram mais
interesse do que os professores em executar o primeiro momento da oficina, fizeram relação
com os Teoremas de Euclides, enriquecendo essa etapa abordada. A demonstração do Teorema
de Pitágoras realizado através de dobradura também foi novidade para todos os participantes.
O segundo dia de oficina foi um pouco comprometido, pois, a realização da construção
dos cinco poliedros precisou ser feita em menos tempo do que o previsto. Isso prejudicou a
finalização do último sólido, o Icosaedro, que, por si só, já é um pouco mais complicada de
fazer. Alguns alunos construíram os módulos, porém, não conseguiram executar essa
montagem.
5.2 Relatos e Análises das Aplicações
Nos próximos itens serão analisados, separadamente, cada um dos momentos das
oficinas realizadas, tanto por parte dos professores quanto por parte dos estudantes.
5.2.1 Análise do 1° Momento
Este primeiro momento é descrito no detalhamento apresentado no quadro 3:
Quadro 3 – Detalhamento do 1º Momento
Explorando os Axiomas do Origami
Objetivo: Verificar a existência dos sete axiomas de Huzita-Hatori.
Material: Folhas de papel branco, lápis, régua, esquadro e transferidor.
Procedimentos:
Organizar a turma em grupos;
Distribuir o material;
Apresentar os axiomas;
Orientar os participantes a comprovar a existência de cada um, realizando as dobras.
Duração: 60 minutos.
Fonte: Elaborado pela pesquisadora.
58
5.2.1.1 Oficina com Professores
Após uma breve explanação acerca do tema abordado, foi feito um questionamento a
respeito do que os participantes entendiam sobre axioma. Como nessa oficina houve a
participação de professores que atuam em áreas distintas, nem todos souberam opinar sobre o
assunto. Já os profissionais da Matemática se sentiram mais à vontade em explicar, de modo
geral, que axioma é uma verdade evidente e, por isso, não precisa ser provada ou demonstrada.
Foi proposto, então, que eles experimentassem, em pequenos pedaços de papel, os axiomas do
Origami, que foram apresentados nos slides.
A participação nesta atividade foi unânime. Alguns com mais dificuldades, outros com
menos, e houve, também, os que não encontraram barreiras para executá-la. O importante de se
observar é que todos se apropriaram do material e o exploraram ao máximo, colocando os
pedaços de papel contra a luz, utilizando réguas e esquadros para confirmar as proposições e
auxiliando uns aos outros.
Foram dedicados 60 minutos para a execução dessa tarefa. Ao finalizá-la, todos
conseguiram adquirir um breve conhecimento sobre o corpo axiomático da Geometria do
Origami. Partiu-se, então, para uma atividade que mostrou, na prática, a consequência de um
dos axiomas abordados.
5.2.1.2 Oficina com Estudantes
Também com os estudantes, o primeiro momento da oficina se referiu aos axiomas do
Origami, quando foi perguntado se eles se lembravam o que era um axioma. Um dos estudantes
explicou, com suas palavras, o significado: E16
: “É aquilo que não precisa ser provado”.
Algumas das telas da apresentação preparadas para essa oficina possuía todos os
axiomas descritos, porém, sem desenho algum, como apresentado no quadro 4:
6 Optou-se por nomear os sujeitos pesquisados com as iniciais P e E acompanhados de índices numéricos, que
equivalem a professor e estudante, respectivamente. Logo, foram nomeados os participantes da oficina piloto
como: P1, P2, P3, ... e, posteriormente os estudantes da graduação, como: E1, E2, E3, ....
59
Quadro 4 – Descrição dos axiomas sem desenho
Axioma 01:
Dados dois pontos, P1 e P2, há uma única dobra que
passa pelos dois pontos.
Axioma 02:
Dados dois pontos, P1 e P2, há uma única dobra que
os torna coincidentes.
Axioma 03:
Dadas duas retas, I1 e I2, há uma única dobra que as
torna coincidentes.
Axioma 04:
Dados um ponto P e uma reta I há uma única dobra
perpendicular a I que passa por P.
Axioma 05:
Dados dois pontos, P1 e P2, e uma reta I, se a distância
de P1 a P2 for igual ou superior a distância de P2 a I,
então há uma única dobra que faz incidir P1 em I e
que passa por P2.
Axioma 06:
Dados dois pontos P1 e P2, e duas retas I1 e I2, se as
retas não forem paralelas e se a distância entre as retas
não for superior a distância entre os pontos, há uma
única dobra que faz incidir P1 em I1 e P2 em I2.
Axioma 07:
Dado um ponto P e duas retas I1 e I2, se as retas não
forem paralelas, há uma única dobra que faz incidir P
em I1 e é perpendicular a I2.
Fonte: Adaptado de MONTEIRO, 2008, p. 9-10.
Essa forma de apenas descrevê-los teve a intenção de não induzir os participantes a
simplesmente reproduzirem o que visualizavam, e, sim, fazê-los experimentar, em um pedaço
de papel, cada descrição apresentada. Essa atividade teve duração de uma hora e foi iniciada
fazendo uma breve comparação dos axiomas com os Postulados de Euclides. À medida que era
apresentada uma descrição, os participantes experimentavam, na prática, a dobragem referente
ao axioma citado. Como, por exemplo, o primeiro axioma que revela que sobre dois pontos
distintos passa-se uma única dobra (FIG. 16).
60
Figura 16 – Figura demonstrando primeiro axioma
Fonte: CAVACAMI; FURUYA, 2010, p. 4.
Alguns estudantes entenderam que era para realizar as proposições apresentadas na
mesma folha:
E8: “É para fazer tudo em uma mesma folha?”
Pesquisadora: “Não. O objetivo é representar cada axioma em um pedaço diferente de
papel.”
Foi explicado, então, que era para utilizar um pedaço de papel para cada axioma
apresentado, a fim de proporcionar uma melhor visualização. No final dessa tarefa, portanto,
quem conseguiu realizá-la por completo reuniu sete pedaços de papel cada um contendo uma
explicação diferente:
E7: “Como represento esse segundo axioma?”
Pesquisadora: “Leia o que ele diz”.
E7: “Dados dois pontos, P1 e P2, há uma dobragem que os torna coincidentes”.
Pesquisadora: “O que você faria pra tornar dois pontos coincidentes?”
E7: “Colocaria um sobre o outro”.
Pesquisadora: “Então experimente colocar sob a luz”.
E após utilizar a estratégia, o estudante conseguiu executar a tarefa.
Todos participaram da atividade que ia aumentando o grau de dificuldade em sua
execução à medida que um novo axioma era apresentado.
O quinto axioma informa que “Dados dois pontos P1 e P2 e uma reta r1, se a distância de
P1 a P2 for superior ou igual à distância de P2 a r1, então, existe uma dobra que faz incidir P1 em
r1 e que passa por P2.” (RAFAEL, 2011, p.19), conforme explicitado na figura 17:
61
Figura 17 – Representação do axioma 5
Fonte: CAVACAMI; FURUYA, 2010, p. 5.
Como pode ser percebido, essa foi uma das atividades mais complexas para a turma:
E12: “Não consigo fazer. [...] Não estou entendendo nada”.
Pesquisadora: “Vamos lá! Marque com um lápis, a reta e os pontos nos dois lados do
papel. Em seguida, coloque-o contra a luz e antes de efetuar a dobra, movimente o papel até
chegar ao ponto desejado” (FIG. 18).
E12: “Agora entendi, vou tentar”.
O estudante finalizou a atividade com sucesso.
Figura 18 – Pesquisadora auxiliando os estudantes
Fonte: Arquivos da pesquisadora.
Nem todos conseguiram concluir os experimentos em sua totalidade. Porém, o que se
esperava era que os participantes se familiarizassem com o corpo axiomático do Origami, a fim
de perceberem a importância da Matemática nessa técnica que já era conhecida por muitos.
Além disso, com essa atividade, vários conceitos elementares da Geometria Plana foram
relembrados, como, por exemplo, pontos e retas coincidentes, retas paralelas, concorrentes e
perpendiculares. Identificou-se, portanto, que o objetivo foi alcançado.
62
5.2.2 Análise do 2° Momento
Este segundo momento é descrito no detalhamento apresentado no quadro 5:
Quadro 5 – Detalhamento do 2º Momento
Consequências dos axiomas de Huzita-Hatori
Objetivo: Demonstrar o Teorema de Pitágoras.
Material: Folhas de papel branco, lápis de escrever e colorir, régua, esquadro, transferidor e
tesoura.
Procedimentos:
Distribuir o material;
Dividir uma folha quadrada em três partes iguais (consequência do quarto axioma);
Colorir dois quadrados, obtidos através das dobras, de diferentes tamanhos com cores
distintas;
Recortar e dobrar para trás partes indicadas a fim de se obter um quadrado;
Sobrepor sobre este quadrado as partes recortadas.
Duração: 60 minutos
Fonte: Elaborado pela pesquisadora.
5.2.2.1 Oficina com Professores
Inicialmente, nesse momento, foram apresentadas algumas consequências dos axiomas
de Huzita-Hatori, a saber:
Resolução de equações;
Duplicação de um cubo;
Demonstração da soma dos ângulos internos de um triângulo;
Demonstração do Teorema de Pitágoras;
Porém, essa última consequência foi escolhida para realizá-la passo-a-passo. Os
professores se interessaram pela atividade. Foi percebido, ainda, que, de alguma forma, esse
teorema está presente na memória de todos, mesmo daqueles que não atuam no campo
matemático.
Para essa demonstração, foram distribuídos lápis de cor e tesoura entre os grupos e
recorreu-se ao quarto axioma, a fim de constatar uma de suas consequências. Para dar início à
demonstração, utilizou-se a técnica do Origami que divide uma folha quadrada em três partes
iguais, sem recorrer à régua como um instrumento de medida. Essa atividade só utiliza a régua
como apoio na marcação da interseção da reta obtida a partir do ponto médio do lado superior
63
do quadrado (FIG 19), até o vértice do lado oposto a ele com a diagonal marcada para a obtenção
do quadrado.
Figura 19 – Interseção indicada pela régua
Fonte: Elaborada pela pesquisadora.
O ponto encontrado indica um terço do quadrado e essa é uma consequência do quarto
axioma de Huzita-Hatori. Após esse procedimento, todos foram orientados para que dobrassem
a folha sobre o ponto de interseção em todas as direções do quadrado, a fim de se obter uma
marcação similar a um tabuleiro de jogo da velha.
Cada participante executou sua tarefa. Uns sozinhos, outros por intermédio de um
colega ou, até mesmo, por intervenção da professora, mas todos conseguiram provar que a soma
dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.
Nenhum dos professores conhecia essa atividade. Percebeu-se, através das falas,
interesse nos profissionais da área da Matemática em realizá-la em sala de aula. Um professor
que atua no nono ano compartilhou sua frustração em tentar executar alguma demonstração em
suas aulas. Segundo ele, os alunos, de um modo geral, consideram difícil e dizem que ele quer
“complicar as coisas” ao invés de explicar. Ele avaliou esse método como sendo didático e
acredita ser possível reproduzi-lo em suas aulas, pois percebe uma compatibilidade entre a
forma de apresentar o passo-a-passo da demonstração e o entendimento dos alunos.
5.2.2.2 Oficina com Estudantes
No segundo momento da oficina voltada aos estudantes, foram mostradas algumas
consequências dos axiomas como fora apresentado anteriormente na oficina dos professores.
Para isso, foi preparada uma atividade que mostra a aplicabilidade de um deles, que gera, como
64
consequência, a demonstração do Teorema de Pitágoras. Todos receberam uma folha A4 branca
ou em tom pastel, pois um dos procedimentos da demonstração utiliza lápis de cor para colorir
os quadrados formados a partir dos catetos dos triângulos destacados.
Os participantes obtiveram um quadrado a partir da folha retangular, sendo instruídos a
dividi-lo em três partes iguais seguindo a mesma instrução dada aos professores, na oficina
anterior. E a partir deste momento, foi iniciada a demonstração, com o seguinte questionamento:
Pesquisadora: “Alguém se lembra o que diz o quarto axioma?”
Como ninguém se lembrava, então, foi colocada no data show a tela que continha
somente a descrição do axioma. Este dizia: Dados um ponto P e uma reta r, há uma dobragem
perpendicular a r que passa por P. (FIG. 20)
Figura 20 – Representação do axioma 4
Fonte: CAVACAMI; FURUYA, 2010, p. 5.
A seguir, a professora questiona:
Pesquisadora: “Todos conseguiram representar esse axioma?”
Alguns alunos: “Sim”.
Pesquisadora: “Alguém consegue identificar esse axioma nas dobraduras que
realizamos?”
Ninguém se manifestou. Então, foi explicado a eles que o ponto P é a interseção e a reta
r é um dos lados do quadrado e mostrado que, quando se realiza a dobra sobre o ponto P, obtém-
se um vinco perpendicular ao lado do quadrado. Ou seja, a divisão de uma folha quadrada em
três partes iguais (FIG. 21) é uma consequência do quarto axioma de Huzita-Hatori
65
Figura 21 – Pesquisadora executando dobra para demonstração
Fonte: Arquivos da pesquisadora.
Essa atividade demandou muita atenção dos participantes, que tiveram um pouco de
dificuldade para executá-la. Percebe-se, ainda, que a conversa paralela entre colegas fez com
que eles se dispersassem e perdessem algumas orientações transmitidas.
Ainda com o auxílio do data show, foi mostrado a eles como deveriam proceder para
realizar a demonstração do Teorema, unindo alguns pontos sobre os lados do quadrado e
obtendo triângulos retângulos congruentes. A partir desses, destacam-se os catetos a e b e a
hipotenusa c, que gera os quadrados que comprovam a demonstração. Dois desses triângulos
consecutivos foram dobrados para trás e o quadrado gerado a partir da hipotenusa foi a
referência. Já os outros dois quadrados obtidos com os lados dos catetos foram coloridos de
cores distintas. Porém, alguns alunos apresentaram dúvidas:
E10: “Não entendi como devo colorir”.
Pesquisadora: “Tente identificar o cateto b em um dos triângulos que não foram
dobrados para trás e faça com ele um quadrado”.
E10: “Ok”.
Pesquisadora: “Agora, faça o mesmo com o cateto a. Conseguiu?”
E10: “Sim”.
Pesquisadora: “Então, é só colorir esses quadrados que você identificou”.
Após colorir os quadrados, os dois triângulos que tiveram suas partes coloridas foram
destacados com o auxílio de uma tesoura e sobrepostos na parte branca do quadrado maior,
comprovando, assim, a demonstração.
Um grupo solicitou a intervenção e um estudante questionou:
E5: “Como vou fazer essa sobreposição?”
Pesquisadora: “Tente colocar os triângulos recortados na parte branca do quadrado”.
66
Ele movimentou os triângulos algumas vezes e conseguiu confirmar o teorema, como
demonstra a figura 22:
Figura 22 – Finalização da demonstração do Teorema de Pitágoras
Fonte: Elaborada pela pesquisadora.
Pode-se notar que, mesmo com algumas dificuldades, todos conseguiram executar a
tarefa proposta e quando viram o resultado final, demonstraram satisfação em comprovar um
teorema tão importante e de grande relevância na Matemática.
5.2.3 Análise do 3° Momento
Este terceiro momento é descrito no detalhamento apresentado no quadro 6:
Quadro 6 – Detalhamento do 3º Momento
Construindo Poliedros Platônicos com Origami
Objetivo: Confeccionar módulos de Origami para a montagem dos Poliedros Platônicos.
Material: Folhas de papel colorido, lápis, régua, esquadro, transferidor e fita adesiva.
Procedimentos:
Distribuir o material;
Construir 6 módulos idênticos quadrangulares e montar o hexaedro;
Construir 12 módulos idênticos pentagonais e montar o dodecaedro;
Construir 16 módulos triangulares de diferentes tamanhos a fim de se obter o tetraedro,
o octaedro e o icosaedro.
Duração: entre 3h à 4h.
Fonte: Elaborado pela pesquisadora.
67
5.2.3.1 Oficina com Professores
Essa atividade foi realizada no segundo dia de oficina e contou com 4 horas de duração.
Primeiro, foi proposta a construção do hexaedro e como os professores já haviam realizado a
demonstração do Teorema de Pitágoras, eles conheciam os primeiros passos para a produção
dos módulos que consistem em dividir uma folha quadrada em três partes iguais. (FIG. 23).
Figura 23 – Professor fazendo a divisão do quadrado em três partes iguais
Fonte: Arquivos da pesquisadora.
A divisão de uma folha quadrada em três partes iguais provém de uma técnica do
Origami que consiste em fazer as demarcações apenas com dobras. Porém, indicou-se o uso de
uma régua para que pudessem encontrar o ponto de interseção que aponta exatamente um terço
da folha de papel, evitando, assim, que ela fique muito marcada com vincos que não
favoreceriam a estética do sólido.
A orientação para a execução desse módulo é tranquila e todos conseguiram fazer. Após
a confecção, eles reuniram, coordenaram as seis peças de forma intuitiva entre os componentes
de cada grupo e realizaram os encaixes necessários para finalizar a montagem do sólido.
Uma professora que atua nas séries iniciais assegurou que esse tipo de atividade pode
ser executada por seus alunos do quarto ano do Ensino Fundamental. Nesse nível de ensino, os
sólidos geométricos já aparecem nos livros didáticos e ela considera que se eles tivessem a
oportunidade de construí-los em sala de aula, poderiam compreender melhor seus elementos
fundamentais: vértices, arestas e faces.
Sua montagem é simples, pois existem bolsos de encaixes em suas extremidades o que
dá firmeza na hora de executá-la. Mesmo realizando a atividade pela primeira vez, a maioria
68
dos participantes conseguiu realizar os encaixes sozinhos, não sendo necessária a intervenção
de um colega ou da professora.
A próxima produção foi a do dodecaedro que apesar de possuir uma sequência maior de
orientações até obter a peça finalizada, não há um alto grau de dificuldade, tanto que todos
conseguiram executar a atividade com êxito. Essa é outra construção na qual também foi
sugerido o uso da régua para marcar um ponto de interseção. Essa interseção também pode ser
determinada somente através de dobras, porém, percebe-se ser mais didático utilizar a régua,
pois há garantia de maior exatidão no ponto almejado.
A montagem desse poliedro contou com um trabalho cooperativo, uma vez que, foram
produzidas doze peças e, para encaixá-las pela primeira vez, pode parecer um pouco
complicado. Esse modelo não possui bolsos de encaixes em todas as suas extremidades, logo,
à medida que se coloca uma nova peça, outra já encaixada pode se soltar. Sendo assim, é de
extrema relevância que um componente do grupo envolva o sólido parcialmente montado em
suas mãos enquanto o outro vai realizando o encaixe até chegar ao último módulo (FIG. 24).
Figura 24 – Professores em trabalho colaborativo ao montar o dodecaedro
Fonte: Arquivos da pesquisadora.
Os três sólidos restantes foram obtidos através da mesma instrução que produz os
módulos que geram as faces triangulares, porém, em tamanhos diferentes. Para tanto, todos
foram orientados para que dividissem, cuidadosamente, entre os participantes, as folhas de
papel separadas no kit.
A produção desse módulo requer uma atenção maior, pois, além de ser mais trabalhosa
por possuir muitos passos, é diferente dos outros que foram feitos até o momento que continham
um módulo para cada face do poliedro. Para obter o tetraedro, o octaedro e o icosaedro foi
69
necessário construir módulos correspondentes à metade do número de cada face, sendo eles,
simétricos entre si, o que foi orientado pela professora (FIG. 25).
.
Figura 25 – Pesquisadora orientando a construção dos poliedros de faces triangulares
Fonte: Arquivos da pesquisadora.
As peças finalizadas são compostas por quatro triângulos equiláteros que, sobrepostos
um ao outro, possuem uma pequena abertura para o encaixe. O tetraedro é obtido a partir do
encaixe de duas peças simétricas. Já o octaedro precisa de quatro peças, que serão encaixadas
duas a duas, observando a congruência entre ambas, posteriormente encaixadas entre si. O
icosaedro, por sua vez, segue a mesma lógica do tetraedro, porém, unindo as dez peças.
Os participantes tiveram uma dificuldade maior para executar essa tarefa, porém, todos
os grupos conseguiram montar seus respectivos poliedros, como indicado na figura 26.
Figura 26 – Professores na montagem de seus poliedros
Fonte: Arquivos da pesquisadora.
70
Pela montagem do icosaedro ser bem trabalhosa, foi sugerido o uso de uma fita adesiva
para garantir a fixação dos módulos. Porém, ressalta-se que em sua execução tradicional, o
Origami não faz uso de nenhum tipo de material colante. (FIG. 27).
Figura 27 – Professores, na montagem do icosaedro
Fonte: Arquivos da pesquisadora.
Nem todos os grupos conseguiram executar a tarefa proposta até o final, ou seja, alguns
precisaram da intervenção da professora para realizar a montagem do poliedro regular que
contém vinte faces triangulares.
A confecção desses três últimos sólidos gerou uma polêmica entre os professores,
havendo aqueles que diziam que esse tipo de atividade não poderia ser realizada com alunos e
outros, contrários, que acreditavam ser possível executar essa proposta em sala de aula, com
paciência, perseverança e dedicação.
Apesar das divergências de opiniões, com relação à necessidade de o professor possuir
o domínio da técnica antes de propor a atividade para sua classe, todos eram unânimes. Por
isso, a importância de todos produzirem pelo menos um módulo de cada poliedro, pois esse
trabalho tem a finalidade de ajudar na memorização do passo-a-passo.
Percebeu-se, no decorrer da oficina, que todos os professores se envolveram com as
atividades e que consideraram colocá-las em prática, fazendo seu uso em sala de aula.
Observou-se, ainda, que, ao manipular o papel, eles fizeram descobertas pois, se surpreendiam
com alguns resultados. Essa afirmação pode ser feita, por exemplo, quando da divisão da folha
quadrada em três partes iguais.
Outro ponto foi que, ao findar a oficina, todos queriam levar os sólidos construídos
consigo, quando foi sugerido que entrassem em acordo ou que fosse realizado um sorteio entre
eles para ver quem ficaria com as peças. Alguns participantes fizeram um módulo extra de cada
71
poliedro e, quando questionados pela iniciativa, disseram que era para ajudar em uma
reprodução futura. Este foi considerado um interessante método, além de ratificar o principal
objetivo deste trabalho, que é produzir um material que dê orientação aos professores na
reprodução dos modelos.
5.2.3.2 Oficina com Estudantes
No segundo dia de oficina, antes de iniciar a confecção dos Sólidos Regulares, foi
solicitado a todos que conferissem os kits que cada grupo recebeu. As produções foram
realizadas em grupo, pois seria inviável cada um produzir os cinco sólidos em um único dia de
oficina.
Aproveitou-se o momento para lembrar aos estudantes quais os nomes dos poliedros
que estavam prestes a produzir e algumas de suas características, como a quantidade e o tipo de
face de cada um.
Foi ainda explicado que a quantidade de folhas contida no kit variava de acordo com o
tipo de modelo produzido: para a confecção do hexaedro e do dodecaedro, seriam utilizadas
seis e doze folhas, respectivamente, ou seja, uma para cada face do sólido em questão. Já no
tetraedro, octaedro e icosaedro, seriam utilizadas a metade de folhas da quantidade de faces de
cada sólido, sendo, respectivamente, duas, quatro e dez.
O primeiro módulo a ser confeccionado foi o do hexaedro, o único que é feito a partir
de uma folha quadrada. As primeiras orientações só eram desconhecidas para dois participantes
que não estiveram presentes no primeiro dia de atividades. Para iniciar esse sólido, a folha foi
dividida em três partes iguais, procedimento idêntico ao utilizado para a demonstração do
Teorema de Pitágoras. As orientações dessa divisão foram repetidas, para que todos
conseguissem executar a tarefa sem dificuldades, sendo solicitado que seguissem os passos com
rigor, como, por exemplo, que realizassem as dobras na mesma direção para evitar que houvesse
confusão no entendimento das instruções.
Notou-se que algumas pessoas se perderam nas orientações, por motivos distintos:
alguns por já terem feito um modelo parecido e considerarem que sabiam o procedimento,
outros por conversas paralelas que acabaram atrapalhando o andamento das atividades, ou,
ainda, por falta de atenção dos participantes. Por isso, alguns necessitaram da ajuda da
professora (FIG. 28).
72
Figura 28 – Pesquisadora auxiliando os estudantes
Fonte: Arquivos da pesquisadora.
No caso específico dessa atividade, uma situação chamou a atenção. Ao ser solicitado
que os estudantes marcassem o ponto médio no lado superior do quadrado obtido a partir da
folha A4, compreende-se que essa marca deveria ser bem singela, apenas uma pequena dobra
que deixasse o ponto médio evidente. Porém, um estudante marcou suas folhas efetuando a
dobra completa, fazendo um vinco unindo lado superior e inferior do quadrado, como mostra o
seguinte diálogo:
E3: “Professora! Dobrei a folha toda. O que faço?”
Pesquisadora: “Não tem problema. Fez, pode deixar. Só não dobre as outras assim”.
No caso específico deste estudante, a atividade pode continuar sendo realizada na folha,
porém, ficou notório o excesso de vincos, desnecessários no modelo finalizado.
Sugere-se que os procedimentos indicados sejam executados nas seis folhas destinadas
a este sólido. Diferente da demonstração do Teorema de Pitágoras, nesta atividade, divide-se a
folha em três partes iguais apenas em uma direção e, em seguida, cria-se um “efeito sanfona”,
dobrando uma parte para frente e a outra para trás (FIG. 29).
73
Figura 29 – Estudante executando o efeito sanfona
Fonte: Arquivos da pesquisadora.
Seis módulos foram produzidos e, antes de realizar o encaixe, foi solicitado que todos
fizessem um reconhecimento da peça, verificando que, em suas extremidades, existem duas
pontas que serão devidamente encaixadas nos “bolsos” centrais, justificando o “efeito sanfona”
obtido anteriormente (FIG. 30).
Figura 30 – Desenho do módulo do hexaedro pronto
Fonte: Elaborado pela pesquisadora.
Como o encaixe dessas peças é bem intuitivo, optou-se por não orientar como se faz e,
sim, foi pedido a eles que tentassem montar o sólido usando sua criatividade. Eles foram apenas
orientados para que nenhuma ponta ficasse fora do “bolso”, realizando um encaixe integral.
Ao acompanhar a montagem do sólido em um grupo, onde dois estudantes já haviam,
cada um deles, encaixado dois módulos e tentavam realizar a junção das outras quatro peças,
percebeu-se o seguinte diálogo:
E2: “Pode encaixar?”
E4: “Não, vai aí.”
E2: “Acho melhor encaixar de um em um”.
E4: “Vira para o outro lado”.
74
E2: “Eu vou segurar mais firme e você encaixa”.
E assim continuaram nas tentativas e se tornaram os primeiros participantes a conseguir
concluir a atividade corretamente. Anteriormente, outro grupo anunciou a conclusão, porém,
ao conferirem, perceberam que nem todas as pontas estavam devidamente encaixadas nos
respectivos “bolsos”. (FIG. 31).
Figura 31 – Estudantes montando o hexaedro
Fonte: Arquivos da pesquisadora.
Todos puderam entender, com o decorrer da atividade, que é possível fazer, de uma
simples folha de papel, um poliedro perfeito. Eles utilizaram seus instrumentos, como régua e
transferidor, para conferir as medidas das arestas e dos ângulos.
É interessante observar a satisfação dos estudantes em conseguir montar o primeiro dos
cinco poliedros. A ação mais comum após a montagem foi o lançamento do sólido como um
dado em um tabuleiro de jogo. Aproveitou-se essa ação para lembrar que, caso esse sólido seja
utilizado como dado e tenha suas faces numeradas, é relevante seguir um rigor matemático:
Pesquisadora: “Se a gente fosse numerar esse dado, como faríamos isso?
Aleatoriamente?”
Alguns alunos: “Não”.
Pesquisadora: “Alguém lembra como?”
E6: “As faces opostas...”
E4: “A soma das...”
E2: “A soma tem que dar sete.”
Pesquisadora: “E porque tem que dar sete?”
E1: “Porque é uma P. A.”
Pesquisadora: “Pessoal! Para numerarmos as faces de um dado, utilizamos os números
de um a seis. Se enxergarmos essa sequência como uma P. A., iremos perceber que a soma dos
75
dois elementos equidistantes aos extremos é igual à soma dos extremos. Logo, qual será a soma
dos extremos de um dado de seis faces?”
Alguns alunos: “sete”.
Pesquisadora: “E quais serão as combinações de números que irão compor as faces
opostas deste dado?”
Alguns alunos: “1 e 6; 2 e 5; 3 e 4”.
Pesquisadora: “É comum utilizarmos o hexaedro como dado.”
E1: “É o cubo, né, professora?”
Pesquisadora: “Sim. Porém, todos os outros sólidos regulares também podem ser
utilizados como dados. Então, por exemplo, no sólido que possui doze faces, quanto será a
soma?
E5: “13.”
Pesquisadora: “Isso mesmo! E assim por diante.”
Esse sólido é muito firme e permite vários lançamentos sucessivos sem que as suas
peças se soltem. Porém, para que isso possa acontecer, foi pedido para que eles conferissem se
todas as pontas estavam devidamente encaixadas em seus respectivos “bolsos” (FIG. 32). Esse
procedimento é fundamental para concluir a atividade com êxito.
Figura 32 – Hexaedro finalizado
Fonte: Arquivos da pesquisadora.
Em seguida, iniciou-se a produção dos módulos do dodecaedro. Este tem um
procedimento com sequências de dobraduras mais longo que o anterior, porém, não há
76
complexidade em sua execução. Vale lembrar, que daqui pra frente, todos os modelos serão
produzidos a partir de uma folha retangular.
A pesquisadora utilizou a estratégia de sempre reproduzir o passo-a-passo em uma folha
maior para que todos pudessem acompanhar as orientações.
À medida que as dobras eram realizadas, era chamada a atenção dos estudantes para
observarem as figuras planas que iam sendo formadas. Inicialmente, para o dodecaedro, dobra-
se uma folha retangular ao meio na vertical e, em seguida, na horizontal. Aproveitou-se esse
momento para relembrar o conceito de retas perpendiculares e algumas propriedades do
retângulo, como mostra o diálogo:
Pesquisadora: “Gente! O que são retas perpendiculares?”
E7: “É quando duas retas se interceptam, formando um ângulo de 90°.”
Pesquisadora: “Isso mesmo. E quem se lembra de alguma propriedade dos
retângulos?”
E2: “Possui lados opostos congruentes.”
E9: “Lados e ângulos opostos congruentes”.
Pesquisadora: “E qual o valor dos ângulos do retângulo?”
Alguns alunos: “90°.”
Pesquisadora: “Mais alguém lembra de alguma outra propriedade?”
E8: “As diagonais se cruzam no centro da figura.”
Pesquisadora: “Sim. E o que mais podemos falar sobre as diagonais?”
E7: “Que elas são iguais?”
Pesquisadora: “Isso. E esses vincos que acabamos de marcar? Qual o nome deles?”
E5: “Retas perpendiculares?”
Pesquisadora: “Essas são retas perpendiculares, porém, nesta figura, elas recebem um
nome especial. São conhecidas como eixos de simetria. Alguém se lembra o que é um eixo de
simetria?”
E10: “Hum, acho que é uma reta que divide a figura em duas partes iguais.”
Pesquisadora: “Então, posso dizer que as diagonais do retângulo também são eixos de
simetria?”
E10: “Acho que não. Tem que ser uma reta que faça as figuras serem simétricas.”
Pesquisadora: “Exatamente isso. Refaçam essas dobras e notem que elas ficam
sobrepostas ponto a ponto”.
E4: “Então, podemos dizer que o retângulo tem dois eixos de simetria?”
77
Pesquisadora: “Podemos sim. E o ponto de encontro dos eixos de simetria, recebe algum
nome especial?”
E5: “Centro da figura?”
Pesquisadora: “Também, mas vamos pensar mais um pouquinho e refletir sobre outro
nome...”
E7: “Centro de simetria?”
Pesquisadora: “Isso mesmo!”
Assim, após o diálogo, foi pedido que os estudantes observassem o centro de simetria
dessa figura, que fora obtido através do cruzamento dos vincos marcados, pois ele será peça-
chave para uma perfeita execução do módulo.
Nessa atividade chega-se a um ponto onde, dobrando a peça ao meio, observa-se dois
pentágonos irregulares idênticos sobrepostos um ao outro, como se vê na figura 33.
Figura 33 – Desenho do decaedro em construção
Fonte: Elaborada pela pesquisadora.
Após isso, foi feito o seguinte questionamento:
Pesquisadora: “Alguém sabe me dizer por que obtemos um módulo com dois pentágonos
sobrepostos um ao outro?”
E1: “Porque ele foi dobrado em um dos eixos de simetria?”
Pesquisadora: “Exato”.
Optou-se por reproduzir esse desenho no quadro e nomear seus vértices a fim de
fornecer orientações mais claras sobre as dobras, que deste momento em diante, seriam
realizadas em apenas um dos pentágonos (FIG. 34).
78
Figura 34 – Estudantes executando o módulo do dodecaedro
Fonte: Arquivos da pesquisadora.
A técnica de dobrar apenas um dos pentágonos foi adotada após realizar esse
experimento por diversas vezes dobrando os dois polígonos ao mesmo tempo. Percebeu-se,
porém, que se fosse dobrado apenas um deles obter-se-ia, no poliedro finalizado, faces lisas e
visualmente mais interessantes, além de seguir um padrão bem similar aos outros poliedros
apresentados. Esse é um exemplo de pequenas modificações realizadas nos modelos no decorrer
da pesquisa, a fim de obter sólidos com o mínimo de marcas em suas faces. Assim, foi explicado
esse procedimento para os alunos, justificando a dobragem em apenas um dos pentágonos.
Nesse modelo também se orientou quanto uso da régua, não para medir, mas para
encontrar uma interseção que permitisse a finalização da peça com um pentágono regular em
seu centro. Advertiu-se, porém, aos participantes que essa interseção também pode ser obtida
através de uma dobra simples sem o auxílio de uma régua, técnica que requer um pouco mais
de cuidado e atenção ao ser executada para não comprometer o resultado final com a formação
do pentágono regular.
Após finalizar as marcações em um dos pentágonos irregulares, os estudantes foram
norteados para que o encaixe central fosse realizado de forma a se obter módulos mais firmes.
Em seguida, foi mostrado a eles que as marcações na parte interna da peça serviriam para se
alcançar o desenho da face de um dodecaedro, ou seja, um pentágono regular.
Essa peça é similar àquela do poliedro anterior (hexaedro), possuindo “abas” que seriam
devidamente encaixadas em seus “bolsos” centrais. Como um dos procedimentos desse módulo
é dobrá-lo ao meio, o pentágono regular obtido no final, possui um dos lados que não serve para
79
encaixe e nem permite ser encaixado. Logo, orientou-se para que esses lados fossem sempre
encostados um ao outro para realizar os encaixes com sucesso (FIG. 35).
Figura 35 – Encaixes dos módulos do dodecaedro
Fonte: Elaborada pela pesquisadora.
Daí, surge o seguinte diálogo:
Pesquisadora: “Pessoal! Observem o módulo finalizado. Considerem o lado do
pentágono dobrado sobre o eixo de simetria como a base da figura. Notem que na parte
superior existem dois “bolsos” e nas laterais duas “abas”. Como vocês acham que os encaixes
serão feitos?”
E2: “Pegando três peças, podemos encaixar duas “abas” nos dois “bolsos”.”
Pesquisadora: “Isso mesmo. Agora, tentem fazer os encaixes.”
Para iniciar a montagem deste sólido, foi sugerido o pareamento entre duas peças na
parte que não se permite encaixe. Feito isso, eles perceberam que era possível conectar as “abas”
pareadas nos bolsos de outra peça. A partir daí, os componentes dos grupos se organizaram, de
modo que, enquanto um segurava as primeiras peças conectadas, outros ajudavam na realização
dos encaixes finais, como mostra a figura 36.
80
Figura 36 – Estudantes trabalhando coletivamente
Fonte: Arquivos da pesquisadora.
Ressalta-se, portanto, sobre a importância da coletividade nesse tipo de tarefa, pois, ela
é fundamental para o sucesso de sua execução. Dificilmente uma pessoa que realiza essa
atividade pela primeira vez tem facilidade em concluí-la, exatamente porque, muitas vezes,
quando se encaixa uma peça, a outra se solta. Foi notado que em alguns grupos, os participantes
deixaram que apenas uma pessoa tentasse realizar a montagem, porém, eles mesmos acabaram
percebendo a importância do trabalho coletivo para a conclusão dessa atividade.
Ao final da montagem do sólido, os participantes, perceberam que este não fica tão firme
quanto o hexaedro, mas o encaixe é satisfatório e permite lançamentos suaves sem que suas
peças se soltem ou danifiquem (FIG. 37).
Figura 37 – Dodecaedro já montado
Fonte: Arquivos da pesquisadora.
81
Após todos os grupos finalizarem a tarefa, foi pedido para que eles fizessem o uso de
seus instrumentos para medir e aferir os lados e ângulos das figuras que compõem as faces
desse poliedro. Um estudante notou que alguns pentágonos não eram regulares, logo não
possuíam lados e ângulos congruentes:
E3: “Professora! Estou medindo aqui e nem todos os lados são iguais.”
Pesquisadora: “Alguém do grupo supõe por quê?”
E11: “Eu acho que é porque alguns ficaram tortos.”
Pesquisadora: “Realmente tem alguns módulos que foram mal dobrados. Isso
compromete a finalização.”
Aproveitou-se essa observação para chamar a atenção da turma e dizer que, para se obter
um resultado satisfatório, é necessário que as orientações sejam seguidas minuciosamente e que
as dobras sejam executadas da forma mais perfeita possível. Caso contrário, serão geradas faces
irregulares que não obedecem às propriedades previstas para esse tipo de sólido.
Neste ponto da oficina, iniciou-se a confecção dos três sólidos restantes: aqueles que
possuem faces triangulares. Para tanto, solicitou-se que os participantes dividissem entre eles o
restante dos materiais entregues no kit (FIG. 38). Orientou-se, ainda, para que os módulos
formados a partir daquele momento fossem semelhantes, ou seja, se diferenciassem apenas pelo
tamanho, dependendo da figura a ser montada.
Figura 38 – Grupo iniciando os módulos dos poliedros de faces triangulares
Fonte: Arquivos da pesquisadora.
Os estudantes foram atentados para o fato de que os sólidos a serem construídos a partir
daquele momento seriam obtidos a partir da união de peças simétricas ou espelhadas. Logo,
requereria uma atenção maior em sua execução, pois, a partir de determinado ponto, as
82
orientações de dobragem mudam um pouco de foco, ou seja, trocam-se os vértices a serem
dobrados.
Destaca-se ter o ponto médio como referência nessa atividade. Trata-se de um ponto
limite para aquisição dos vincos que geram o módulo desejado. Para isso, solicitou-se aos
estudantes que fizessem uma dobra paralela ao vinco central já marcado, obtendo, em apenas
um dos lados, a marca de um quarto da folha. Uma estudante fez a marca nos dois lados do
papel, foi mostrado a ela que isso não atrapalharia a conclusão da atividade, porém, que seu
sólido apresentaria vincos desnecessários, para que ficasse atenta aos direcionamentos, a fim
de não confundir as próximas dobras, evitando esse excesso.
Essa atividade possuía um diferencial em relação às anteriores. Agora, a proposta seria
confeccionar os modelos semelhantes e simétricos, e não congruentes como no hexaedro e
dodecaedro. Então, além de direcionamentos diferentes, as peças seriam produzidas a partir de
folhas A4 nos tamanhos: um quarto, metade e inteira, todas ao mesmo tempo.
Nos modelos confeccionados anteriormente, todas as folhas tinham a mesma orientação
de dobras. Todavia, nesta atividade, como se precisava de módulos simétricos, logo, as
dobragens se diferenciavam um pouco entre si. Esse, provavelmente, foi o ponto mais crítico
da oficina. Portanto, enquanto uns eram orientados a realizar a dobra com o vértice superior
direito, outros seguiam o mesmo procedimento, porém com o vértice superior esquerdo. Houve
quem se confundisse e, neste instante, a professora passou em cada grupo oferecendo uma
assistência mais individual. O objetivo era obter peças simétricas (FIG. 39).
Figura 39 – Estudantes de um mesmo grupo montando os módulos semelhantes
Fonte: Arquivos da pesquisadora.
Foi pedida a atenção dos participantes para que observassem os triângulos que haviam
se formado sobre o módulo:
83
Pesquisadora: “Que nome damos a esses triângulos que estão se formando sobre o
módulo?”
E2: “Isósceles, quer dizer equilátero.”
E1: “Todo triângulo equilátero também é isósceles, né professora?”
Pesquisadora: “Exatamente.”
Aproveitou-se, então, a partir da pergunta levantada, para relembrar a classificação dos
triângulos em relação aos lados e ângulos, solicitando a eles que utilizassem, mais uma vez,
suas réguas e transferidores para conferirem as medidas dos lados e ângulos dessas figuras. Os
alunos confirmaram, então, que, sobre esse módulo, se formaram quatro triângulos equiláteros
(FIG. 40).
Figura 40 – Desenho do módulo dos poliedros de faces triangulares
Fonte: Elaborada pela pesquisadora.
Um estudante observou que dois deles, especificamente os que formarão as faces do
poliedro, estavam com a marcação da altura:
E9: “Professora! Tem dois triângulos divididos ao meio.”
Pesquisadora: “Perfeitamente. Esses são os triângulos que irão compor as faces dos
poliedros depois de finalizados. Você observou que eles possuem outra marcação? Qual o
nome desse segmento?”
E9: “Hum, se é um triângulo equilátero, então esse segmento é altura, bissetriz e
mediana. Certo?”
Pesquisadora: “Certo. E também é mediatriz. Aproveitem para conferir se esse vinco
forma com a base do triângulo um ângulo de 90°. Pessoal! Como podemos definir altura?”
E2: “Segmento que sai de um vértice e forma um ângulo reto com seu lado oposto.”
Pesquisadora: “Isso mesmo. E bissetriz?”
84
Alguns alunos: “Segmento que divide o ângulo ao meio.”
Pesquisadora: “E como podemos definir a mediana?”
E9: “Segmento que une o vértice ao ponto médio do lado oposto.”
Pesquisadora: “Ótimo. E a mediatriz, o que é?”
E7: “É igual mediana, não é não?”
E9: “Não. A mediatriz tem que ser perpendicular.”
Pesquisadora: “Isso mesmo. Mas, como vocês observaram, neste caso, esse vinco nos
dois triângulos indicam tudo isso ao mesmo tempo. Porque em um triângulo equilátero, eles se
coincidem.”
Os estudantes conferiram a informação e, mais uma vez, aproveitou-se um momento da
oficina para recordar conceitos básicos da Geometria Plana. Para isso, perguntou-se se alguém
havia percebido qual o exato momento que eles obtiveram o primeiro ângulo de 60° na
construção dessa peça. Ninguém conseguiu se recordar. Foi, então, que se relembrou, com eles,
que, logo no início, foi dito sobre a importância do ponto médio nessa atividade. Assim, esse
ângulo foi gerado quando se estabeleceu um limite entre o ponto médio e a marcação de um
quarto da folha (FIG. 41).
Figura 41 – Desenho da dobra, na obtenção do ângulo de 60°
Fonte: Elaborada pela pesquisadora.
Para que pudessem perceber melhor o que foi discutido, sugeriu-se que eles abrissem
um dos módulos em fase de acabamento e confirmassem a informação dada.
Um aluno fez uma observação dizendo que poderia desfrutar desse momento em sala de
aula para falar sobre a congruência de triângulos:
E1: “Professora! A gente pode aproveitar pra falar sobre congruência de triângulos.”
Pesquisadora: “Claro que sim. E mais que isso, como estamos reproduzindo peças em
diferentes tamanhos, podemos falar, também, sobre a semelhança de triângulos.”
85
E1: “Verdade!”
Pesquisadora: “Então, existem três casos. Alguém se lembra de algum?”
Alguns alunos: “Ângulo, Ângulo, Ângulo; Lado, Lado, Lado; e Lado, Ângulo, Lado.”
Pesquisadora: “Exatamente!”
Aproveitou-se o diálogo para reforçar, ainda, sobre a importância de utilizarem
conceitos matemáticos na sala de aula, quando forem trabalhar com seus alunos, à medida que
surgirem elementos que permitam tais apontamentos, como, por exemplo, explorar as figuras
planas que vão se formando no decorrer da construção de cada módulo:
E1: “Se considerarmos apenas os dois triângulos centrais, podemos afirmar que é um
losango?”
Pesquisadora: “E aí turma, o que vocês acham?”
E9: “Eu acho que sim, porque são dois triângulos equiláteros.”
E2: “É um losango porque tem todos os lados iguais e ângulos opostos congruentes.”
Pesquisadora: “Ah é? E quanto mede cada ângulo?”
E3: “60° e 120°.”
Pesquisadora: “Isso mesmo! Percebam que as diagonais são perpendiculares, eixos de
simetria e bissetrizes. Que figura se formará se sobrepormos esses dois triângulos?”
E11: “Um trapézio.”
Pesquisadora: “Quando vocês estiverem reproduzindo esses módulos em suas aulas,
não deixem de explorar as propriedades das figuras que forem se formando.”
Essa proposta gastou um pouco mais de tempo em sua conclusão do que as anteriores,
primeiro por se tratar de mais peças confeccionadas, segundo, devido ao modelo possuir um
maior número de instruções. Mas a vantagem é que, no fim da produção, foram obtidos moldes
suficientes para a montagem dos três sólidos restantes, como mostra a figura 42.
Figura 42 – Três sólidos de faces triangulares montado em um dos grupos
Fonte: Arquivos da pesquisadora.
86
Mesmo com algumas dificuldades, todos os grupos conseguiram montar o tetraedro e o
octaedro. A conexão entre as peças desse primeiro é mais simples e intuitiva, pois como se
utiliza apenas dois módulos simétricos, não há margens para dificultar o encaixe. Já no
octaedro, o procedimento se difere, uma vez que a união das peças deve se iniciar a partir de
módulos congruentes e não simétricos como no anterior. Portanto, instruiu-se os estudantes para
que, primeiramente, fizessem a junção de duas peças idênticas e, em seguida, colocassem mais
uma, sempre observando a formação do ângulo poliédrico desejado, para, enfim, realizar o
encaixe do último módulo.
Assim como realizado na oficina piloto, sugeriu-se aos alunos que utilizassem uma fita
adesiva como um pequeno artifício para a montagem do icosaedro. Esse sólido é composto de
20 faces e à medida que se encaixa um módulo, o outro pode se soltar. Então, para garantir o
perfeito encaixe das peças, utilizou-se pequenos pedaços de fita crepe entre as conexões
realizadas.
Nem todos os grupos conseguiram efetivar essa última montagem sozinhos, sendo, mais
uma vez, necessária a interferência direta da professora para que a atividade fosse concluída
com sucesso.
Na confecção dos últimos sólidos, percebeu-se um pouco de dificuldade dos grupos em
se organizarem na distribuição do material. Uma vez que precisavam distribuir o restante das
folhas entre todos os participantes. Outro ponto de atenção dizia respeito à mudança na
orientação para obtenção da peça simétrica, pois alguns já se mostravam notoriamente cansados
e havia muita conversa, o que atrapalhou um pouco o processo.
Notou-se, ainda, que algumas pessoas eram mais dedicadas, pacientes e se esforçam
mais para realizar a tarefa com perfeição. Já outras, não conseguiam se concentrar, ou não
possuíam uma coordenação motora favorável para executar esse tipo de atividade. Por isso,
mostrou-se importante a busca, por parte da professora, em transmitir, aos grupos incentivo e
entusiasmo, mostrando que todos eram capazes de fazer o que estava sendo proposto e que, à
medida que tentassem reproduzir os passos, a tendência era ter um resultado melhor.
Alguns alunos perguntaram se não havia um material impresso com a instrução do
passo-a-passo, pois consideravam difícil se lembrar de todas as orientações transmitidas. Com
relação a isso, foi explicado que a pesquisa apontava para a elaboração de um material de apoio
ao professor e àquele que se interessasse em reproduzir os modelos apresentados.
87
6 ANÁLISE DO QUESTIONÁRIO
Após a execução das oficinas, foi enviado, para o endereço eletrônico dos participantes,
um questionário que visava reunir opiniões acerca das atividades apresentadas. 18 dos 39
participantes responderam, sendo 11 estudantes e 7 professores.
O questionário foi composto por 12 questões e procurou: definir o perfil profissional
dos participantes das oficinas juntamente com um parecer sobre o ensino da Geometria, a
opinião de cada um deles sobre as atividades apresentadas e constatar a viabilidade da aplicação
dessas atividades em aulas futuras.
Considerou-se importante conhecer esse perfil dos sujeitos investigados, sabendo em
que nível de ensino eles atuam e se já conheciam técnicas do Origami. Para tanto, foram feitos
questionamentos sobre o ensino da Geometria e sobre a abordagem dos Poliedros Platônicos
em sala de aula, a fim de coletar opiniões que pudessem ser utilizadas para uma reflexão sobre
o uso do material concreto nas atividades pedagógicas. Perguntou-se, também, aos integrantes,
como eles classificavam o grau de dificuldade das dobraduras na confecção dos Poliedros e se
eles utilizariam essa técnica em suas aulas de Geometria, pois, por meio dessas respostas que a
aplicação do trabalho realizado se mostraria viável ou não.
Conforme já dito, 7 dos 14 professores integrantes encaminharam suas respostas após a
participação na oficina. Todos estiveram presentes nos dois dias de atividade e, portanto,
nenhum deles deixou questão em branco por falta de participação. Já com relação aos
estudantes, 11 dos 25 que participaram responderam ao questionário, sendo que dois
graduandos faltaram no primeiro dia, o que acarretou em algumas perguntas sem respostas.
Obteve-se, portanto, um total de 18 questionários respondidos.
As questões foram categorizadas e analisadas como orientam Fiorentini e Lorenzato
(2012). Apresenta-se, inicialmente, as respostas dos professores que participaram da oficina
piloto, e, posteriormente, as dos estudantes de graduação em Matemática. O questionário se
encontra na íntegra no apêndice A deste trabalho.
6.1 Respostas sobre o ensino de Geometria
Questões 01, 02, 03 e 04
Objetivo: Definir o perfil profissional dos participantes das oficinas juntamente com
um parecer sobre o ensino da Geometria.
88
6.1.1 Professores
Dos 7 professores que responderam ao questionário, 6 lecionam ou lecionaram para o
Ensino Fundamental II, 3 para o Ensino Médio e apenas 1 para o Ensino Fundamental I7.
Sobre a importância do ensino da Geometria no ensino básico, houve opiniões distintas,
mas que apontavam para a mesma direção: o reconhecimento do espaço e forma. Além disso,
como se obteve respostas de profissionais que atuam em áreas distintas, foram selecionadas
algumas correspondentes aos professores de Artes, Matemática e Física, respectivamente, por
possuírem uma visão crítica sobre assunto em sua área de atuação, quer sejam:
P3: “É essencial para o entendimento das formas, proporções etc. Para o ensino de arte,
auxilia no estudo de obras de arte e de arquitetura e dá base para a aplicação em estudos de
arte linear, tendo em vista que o que dá origem às formas geométricas são o ponto e a linha.”
P5: “Acredito que o ensino da geometria na escola básica, como também no ensino
superior, desenvolve um papel importante na constituição da formação intelectual e até mesmo
cultural dos estudantes. A geometria possibilita, aos alunos, uma perspectiva de espaço e forma
que poderão ser utilizados pelos mesmos durante a sua vida como cidadãos, além disso, podem
possibilitar um melhor entendimento das artes, das engenharias e das culturas.”
P7: “A Geometria não é só aplicada na Matemática, mas é importante em diversas
áreas, como na Física, que utiliza seus conceitos e definições para descrever vários fenômenos
da natureza, como a reflexão e a refração da luz.”
É interessante observar, portanto, que, mesmo com opiniões distintas, o uso da
Geometria é visto pelos professores como essencial em diferentes áreas do conhecimento, seja
para auxiliar na execução de atividades, dar embasamento em estudos diversos, para definir
conceitos ou, ainda, para contribuir com a formação cidadã dos alunos.
Em relação à relevância da abordagem dos Poliedros Platônicos nas aulas de Geometria,
as opiniões foram comuns e destacaram sobre a importância de se estudar sólidos regulares com
propriedades tão características. Um professor de Matemática discorre que:
P5: “Com certeza, principalmente por serem os únicos poliedros regulares. É possível
fomentar importantes conjunturas e reflexões a partir de suas particularidades.”
Já o posicionamento do professor de Física chama a atenção por considerar importante
que o aluno tenha conhecimento sobre o assunto, que serviria como um pré-requisito para suas
aulas. Sobre isso, ele diz que:
7 O número de professores aqui distribuídos é maior que o quantitativo total de respondentes, visto que alguns
lecionam/lecionaram para as várias etapas de ensino.
89
P7: “Particularmente sim. Primeiro pela questão histórica envolvida, para abordar o
desenvolvimento da Matemática no que tange à Geometria. Em segundo, porque, no Ensino
Médio, no estudo da Física, quando se trata da evolução dos modelos planetários, Kepler
propôs um modelo baseado nesses sólidos, no qual os planetas até então descobertos se
relacionavam com esses sólidos. Assim, ao citar os poliedros platônicos, seria interessante que
os alunos já soubessem do que se trata.”
Em sua totalidade, os professores que responderam ao questionário já conheciam a
técnica do Origami. As experiências relatadas sobre o assunto foram diversas, mas, em sua
maioria, todas tiveram alguma relação com o ensino, seja na escola básica, na faculdade de artes
visuais, em um curso de capacitação ou numa busca para complementar as atividades de suas
aulas.
Dois professores de Matemática já conheciam técnicas do Origami que geravam alguns
sólidos regulares, sobre o qual afirmam:
P5: “Já conhecia, pois, havia participado de outros minicursos e oficinas, no entanto,
[...] nas outras ocasiões não consegui entender as etapas de confecção dos origamis, já nessa
oficina tive uma melhor aprendizagem devido às dobraduras serem mais simples.
P6: “Sim. Já havia trabalhado com algumas dobraduras em sala de aula,
principalmente de animais como o tsuru e alguns poliedros (tetraedro, hexaedro e dodecaedro
apenas), porém, exigiam dobras mais complicadas.”
Percebe-se, então, nos relatos dos professores, que a técnica do Origami apresentada
nessa oficina foi vista como acessível, pois, consideraram a abordagem mais simples em relação
àquelas que eles conheciam anteriormente. Considera-se este, um ponto relevante, pois mostra
que as dobragens propostas podem ser futuramente reproduzidas pelos participantes.
6.1.2 Estudantes
Por se tratarem de estudantes do curso de graduação, a maioria deles (7) nunca lecionou.
Os outros dividem suas experiências nos Ensinos Fundamental I, II e Médio, sendo,
respectivamente, 1, 4 e 18.
Todos os estudantes consideraram importante se ensinar Geometria na escola básica e
grande parte deles (9) atribui essa importância às suas relações com o cotidiano do aluno. Entre
as respostas, destacam-se:
8 O número de estudantes aqui distribuídos é maior que o quantitativo total de respondentes, visto que alguns
atuam/atuaram para as várias etapas de ensino.
90
E2: “É muito importante que o aluno da escola básica seja apresentado à geometria
nesta fase, pois terá, com base neste ensino, maior facilidade de aprendizado quando houver
um aprofundamento no estudo da geometria.
E8: “A sua importância vem de criar a percepção nos alunos. A geometria está no
cotidiano e aprendendo em sala de aula é um conhecimento além do que podemos adquirir
apenas observando.”
Além de destacar a importância, houve um estudante E10 que relatou a dificuldade de se
ensinar Geometria. É importante considerar que esse é um estudante que atua no ensino básico
e que, por isso, pode relatar a partir de sua própria experiência ou algo vivenciado em sua prática
pedagógica:
E10: “Há uma dificuldade muito grande em se ensinar geometria devido à falta de
material pedagógico e até mesmo despreparo de professores, apesar da Geometria estar
presente no nosso dia a dia, ela é uma matéria de difícil compreensão.”
Já quando questionados a respeito da relevância da abordagem dos Poliedros Platônicos
no ensino da Geometria, todos opinaram de forma positiva. Os estudantes julgaram
significativo dedicar parte do ensino às propriedades destes sólidos, sendo perceptível nas
seguintes declarações:
E3: “Sim. Porque através dos poliedros, podemos fazer demonstrações, como, por
exemplo: congruência, soma dos ângulos, a relação de Euler, número de face, vértice e
arestas.”
E4: “Sim. Acredito que as “propriedades” destes poliedros podem despertar a
curiosidade e o interesse dos alunos.”
Nota-se que apenas o estudante E3 fez menção à relação de Euler. Porém, considera-se
essencial que essa associação seja feita todas as vezes que houver referência aos Poliedros
Regulares.
Dentre os participantes, somente 4 não conheciam a técnica do Origami antes de
participarem dessa oficina. Os demais já conheciam e dividiram suas experiências com a técnica
de maneiras distintas; alguns relacionados ao ensino e outros às lembranças da infância:
E7: “Sim. Desde criança gostava de fazer dobraduras em papéis, mas não conhecia as
que fizemos na oficina. As dobraduras que eu fazia antes eram apenas por diversão, sem
relacioná-las com a Matemática.”
E8: “Sim, no ensino primário tive algumas experiências com o origami. Não me recordo
muito das experiências.”
91
E11: “Sim, já conhecia. Mesmo antes de ir para a escola, minha irmã já me ensinava a
fazer barquinhos e aviõezinhos com o papel, mas na oitava série, atual nono ano do ensino
fundamental, tive acesso ao origami para aprender sobre vértices, arestas e faces, o que me
ajudou muito no entendimento do conteúdo.”
O estudante E3 associou sua experiência com o artesanato, mas o que chama a atenção
é o fato de ele se expor de forma negativa em relação aos diagramas encontrados para
confeccionar os modelos:
E3: “Tinha o conhecimento através de vídeos, e em programas de tv, onde se ensinava
a fazer origami para artesanato. Já tentei fazer alguns modelos de bichos, flores que encontrei
na internet, mas o passo-a-passo não era claro. Por esse motivo eu não consegui finalizar
nenhum dos modelos que me propus realizar.
No desenvolvimento dessa pesquisa, procurou-se por modelos em Origami que fossem
o mais simples possível de serem executados. Desde o início do trabalho, já se pretendia fazer
algo que pudesse ser facilmente reproduzido por quem dela participasse.
Percebe-se que somente na oficina com estudantes houve participantes que
desconheciam por completo a técnica do Origami. Porém, ressalta-se que a falta de
conhecimento da técnica não impediu o desenvolvimento e a realização das atividades.
6.2 Respostas sobre as atividades da oficina
Questões 05, 06, 07, 08 e 11
Objetivo: Obter a opinião sobre as atividades apresentadas nas oficinas.
6.2.1 Professores
Nenhum dos professores participantes conhecia os axiomas de Huzita-Hatori que fora
apresentado na primeira atividade proposta na oficina. Porém, todos eles consideraram
importante conhecer a origem de cada dobra que permite trabalhar diversas propriedades e
entender conceitos. A este respeito destacam-se as seguintes falas:
P1: “Sim, é importante porque nos faz compreender a essência, a construção do fazer e
não “apenas” o fazer, o resultado final.”
P4: “Considero muito importante, pois é a base para entender determinados conceitos.
Através dessa abordagem, deixamos de a abstração para o concreto.”
92
P5: “Acredito que os axiomas ajudam a entender melhor as propriedades de construção
dos origamis. Além disso, durante a confecção dos sólidos, é possível perceber diversas
relações e teoremas presentes na geometria euclidiana, possibilitando, assim, uma visão mais
holística do sólido construído.”
A segunda atividade ofertada teve, como princípio básico, mostrar a consequência de
um dos axiomas do Origami. Para isso, foi proposta a demonstração do Teorema de Pitágoras
por este ser conhecido por muitos, além de poder ser utilizado no Ensino Fundamental. Com
exceção de um professor que disse não se recordar dessa atividade no decorrer da oficina, todos
os outros se posicionaram favoráveis à abordagem e disseram ser possível reproduzi-la em sala
de aula, como pode ser verificado por meio das falas:
P6: “Sim. O Teorema de Pitágoras é conhecido, acredito, por suas inúmeras
demonstrações, porém, muitas delas se utilizam de recursos linguísticos de uma matemática
mais avançada ou de um olhar geométrico que nem todos os alunos possuem. Toda forma de
demonstrar o Teorema que proporcione maior clareza é bem-vinda.”
P7: “O teorema de Pitágoras é muito utilizado em Física e muitas vezes o aluno não vê
significado na "soma dos quadrados dos catetos ser igual ao quadrado da hipotenusa". A
demonstração prática, feita pelo próprio aluno, é muito mais significativa. Com a devida
orientação, é sim possível aplicá-la no ensino básico.”
Nota-se, nas respostas dos professores, que tal demonstração feita através do Origami é
acessível aos alunos e capaz de permitir que ele seja autor do seu conhecimento, uma vez que
irá comprovar, de forma prática, um teorema que talvez tenha sido utilizado por vezes
mecanicamente.
Foi questionado, ainda, aos professores a respeito da relação do Origami com
Matemática que fora apresentada, e, posteriormente, se eles acreditavam que essa relação
poderia contribuir com o ensino e a aprendizagem da Geometria. Três professores afirmaram
que não imaginavam ser possível estabelecer relações matemáticas com simples dobras de
papel. Já o restante do grupo não sabia como isso seria possível antes da oficina, porém,
imaginavam que havia alguma relação, dando as seguintes opiniões sobre o assunto:
P1: “Não imaginava. Acredito que pode contribuir e pode tornar a Geometria em algo
mais “próximo”, além de acreditar que o interesse e o próprio aprendizado aumentariam.”
P3: “Não imaginava e acredito ser uma técnica incrível que ajuda a acabar com o
trauma da maioria dos estudantes no aprendizado da geometria. Pode-se aprender de forma
bem mais lúdica.”
93
P6: “Acreditava que existiam implicações matemáticas nas dobras, porém, não sabia
que era algo tão formalizado como os axiomas. Contribui, principalmente na defesa da
utilização do Origami em sala de aula, pois solidifica e aflora a Matemática por trás das
dobras.”
Obter esse retorno é relevante para a pesquisa, pois, é neste ponto que se tem a certeza
de não estar somente ensinando pessoas a dobrar papel, mas, sim, construindo conceitos e
revelando quanta Matemática há por trás da técnica do Origami, mostrando que é possível
ensinar Geometria fazendo dessa arte um recurso didático.
A maior parte dos professores (5) considerou como médio o nível de dificuldade das
dobraduras na execução dos sólidos. Apenas um participante julgou as construções em Origami
propostas como fáceis e outro sentiu maiores dificuldades.
De um modo geral, os professores obtiveram uma opinião positiva sobre a oficina,
considerando-a como: “inovadora”, “prática”, “pontual”, “bem elaborada”, “com conteúdo
relevante”, “com possibilidade de aprendizagem”, “com qualidade e rigor matemático”. Em
contrapartida, houve críticas em relação ao tempo de execução das tarefas. Essas inferências
puderam ser realizadas a partir das seguintes colocações:
P1: “Considero uma oficina inovadora, prática e pontual no que se refere a novos
métodos, novas práticas na mediação de conhecimento.”
P2: “Foi uma experiência incrível que superou e muito minhas expectativas. Creio que
se tivesse um material de apoio já poderíamos sair dali aplicando a oficina em sala de aula.”
P5: “Acredito que poderia ter tido mais tempo para a confecção dos origamis, pois,
alguns passos foram transmitidos muito rápido, o que atrapalhou o meu desempenho.”
Todas as opiniões acerca deste assunto são considerados de grande relevância. Porém,
alguns pontos chamam mais a atenção, como o professor P5 que indicou a necessidade de mais
tempo para a execução das atividades e o professor P2, que disse que se houvesse um material
de apoio, ele já sairia dali aplicando as atividades. Essas são observações que podem contribuir
com a evolução desta pesquisa, uma vez que, além de exigir a verificação de possibilidade de
ampliação do tempo de execução, tinha, como objetivo principal, elaborar um material de apoio
ao professor.
6.2.2 Estudantes
Já para os estudantes, foi novidade a abordagem dos axiomas do Origami, pois estes
eram desconhecidos por todos. Dois participantes deixaram essa questão em branco por não
94
terem participado deste momento da oficina. O estudante E4 não considera importante conhecer
os axiomas. A esse respeito, ele responde que:
E5: “Particularmente, não achei de grande importância conhecer os axiomas.”
Os outros 8 estudantes foram contrários a essa opinião e julgaram importante conhecer
o corpo axiomático do Origami, pois, segundo eles, ajuda a estabelecer relações com a
Matemática e, principalmente, com a Geometria. Sobre esse assunto, houve as seguintes
respostas:
E1: “Sim, pois eles são proposições aceitas sem demonstrações para a melhor
compreensão e aprendizado da geometria.”
E2: “Sim, por que foi possível conhecer teoremas e conceitos sem a utilização de
cálculos, fórmulas ou medições com régua.”
E3: “Sim. Contribuiu bastante, porque é uma maneira diferente de aprender. Nos
recordamos mais quando aprendemos algo de forma mais lúdica, diferente, é mais atrativo.”
Os estudantes percebem, portanto, que é possível aprender de forma lúdica, sem
utilização de cálculos, aplicação de fórmulas e instrumentos de medições, e que esse tipo de
abordagem, em sala de aula pode contribuir para o aprendizado dos alunos.
Destaca-se, entre as respostas dadas, a fala do estudante E7, que enxerga, nesta atividade,
uma futura aplicabilidade em sala de aula:
E7: “Sim, é importante conhecer os Axiomas. A apresentação desses axiomas através
do origami contribuiu para que eu possa me lembrar dos mesmos mais facilmente e aplicá-los
em sala de aula quando eu estiver lecionando.
Como consequência de um dos axiomas, foi apresentada a demonstração do Teorema
de Pitágoras e procurou-se saber se os estudantes reproduziriam essa atividade em sala. Eis
algumas respostas à questão:
E2: “Muito interessante esta forma de demonstração que foge da convencional.
Considero possível reproduzi-la no ensino básico adequando-se a linguagem ao nível de
aprendizado da turma.”
E3: “É possível reproduzi-la no ensino básico. Foi uma atividade muito prazerosa de
fazer, chama bastante a atenção. Quando estiver lecionando, usarei essa atividade.”
E6: “Considero excepcional a demonstração do teorema de Pitágoras a partir do
Origami, pois, com isso, possibilita não só os conceitos matemáticos aos alunos, mas, também,
a sua formação da estrutura cognitiva. Diante da experiência vivenciada, pretendo reproduzir
o que foi aprendido em sala de aula.”
95
Portanto, os estudantes foram unânimes em destacar que essa atividade é de extrema
importância no ensino básico e que teriam interesse em reproduzi-la em suas aulas.
O estudante E5 destaca a simplicidade da abordagem para o procedimento da
demonstração e considera essa metodologia mais acessível aos alunos do que o uso de
tecnologia informatizada:
E5: “Foi uma das atividades mais interessantes, uma vez que com o uso do origami, sua
demonstração ficou muito mais simples. Sua demonstração dentro de uma sala de aula se torna
mais simples e necessita de recursos mais acessíveis do que o uso de um software, por exemplo.
Após coletar opiniões a respeito dos axiomas e suas consequências, era interesse
também saber se os participantes imaginavam estabelecer relações matemáticas com dobras de
papel. Mais da metade dos estudantes (6) disseram não imaginar essa conexão e outros
acreditavam que seria sim, possível, mas não sabiam como.
Além disso, procurou-se descobrir se essa relação, agora estabelecida, entre Matemática
e Origami pode ou não contribuir com o aprendizado do aluno. E acerca deste assunto,
destacam-se as seguintes falas:
E7: “Já imaginava que houvesse essa relação porque já tinha ouvido falar, mas não a
conhecia. Sim, com certeza pode contribuir muito.”
E8: “Imaginava, mas nunca procurei ou tentei fazer. Sim, o origami é uma forma
diferencial de se ensinar geometria, pois colocamos a teoria em prática com as nossas próprias
mãos.”
Nota-se que mesmo os estudantes que não pensavam estabelecer essas relações, ainda
assim acreditam que elas podem contribuir com o aprendizado, o que pode ser verificado por
meio das seguintes colocações dos participantes:
E1: “Não. Contribui muito, uma vez que o aluno, tendo acesso ao concreto (real),
facilita o seu entendimento e aprendizado.
E3: “Para mim, o origami era só fazer bichinhos e flores, não imaginava que poderia
haver relação com a geometria. O origami contribui bastante no ensino da geometria, pois os
alunos aprendem brincando, porque para eles fazerem esse tipo de atividade, além de ser algo
novo, é uma brincadeira.”
E5: “Não. Os conceitos demonstrados durante a oficina são mais dinâmicos e fazem
com que os alunos demonstrem mais atenção e empenho durante a atividade, portanto, a
demonstração das relações pode contribuir para o aprendizado de modo mais prático, intuitivo
e demonstrativo.”
96
Os participantes concordam, portanto, que utilizar um material concreto nas aulas ajuda
na construção do conceito e, consequentemente, contribuem com o aprendizado dos alunos.
Grande parte dos estudantes (7) classificou como médio o grau de dificuldade referente
à construção dos Poliedros Platônicos através do Origami. Apenas 4 pessoas obtiveram
facilidade com a tarefa e a classificaram como tal.
Assim como ocorreu com os professores, foram coletadas várias opiniões críticas a
respeito da oficina ofertada. De modo geral, também os estudantes gostaram de participar e
executar as atividades propostas. Dentre as respostas, destacam-se duas que se referem ao
trabalho em grupo:
E2: “A oficina foi muito importante, pois trouxe de forma interessante e nova o estudo
da geometria, facilitando o aprendizado desta área da matemática além de ensinar o trabalho
em grupo.”
E3: “Adorei a oficina, aprendi muito, além da geometria, aprendemos a trabalhar em
grupo. Mesmo sendo na universidade ainda é muito difícil, ficamos muito empolgados quando
conseguimos fazer os sólidos direitinho. Essa oficina só veio acrescentar na nossa formação.”
Essas observações em relação ao trabalho em grupo merecem atenção, pois, muitas
vezes, pensa-se que será fácil executar uma atividade que depende da participação coletiva,
como proposto nessa oficina. Mas, na prática, percebe-se que muitas pessoas ainda trazem
consigo grande dificuldade de trabalhar cooperativamente.
O estudante E11 fez uma observação em relação à conversa que, segundo ele, o
atrapalhou no desenvolvimento das atividades, conforme já havia sido relatado no decorrer da
análise desse trabalho:
E11: “A oficina, por mim, foi muito interessante e instrutiva. Com ela aprendi uma nova
metodologia de ensino. Só tenho do que reclamar pelo descaso de alguns participantes que me
atrapalharam por conta de conversa.”
Outro estudante propôs uma oficina que disponibilize mais tempo para aprofundar nos
conceitos da Geometria Plana e sugere, para ta, o uso de softwares:
E6: “Poderia se considerar a ideia de que a oficina desse um pouco mais de espaço
para o ensino aprendizagem também da geometria plana. Outra sugestão seria o uso da
Informática para a confecção das dobraduras, através de softwares que permitam construir e
visualizar as dobraduras.”
O que foi dito pelo estudante também foi percebido pela pesquisadora, que sentiu a
importância de dedicar mais tempo à abordagem da Geometria Plana, pois, na prática, surgiram
elementos que ofereciam condições de relembrar definições e conceitos.
97
Verifica-se, então, que, tanto na oficina piloto quanto na dos estudantes, os participantes
avaliaram positivamente as atividades propostas. Além disso, não se basearam nessa opinião
apenas pelo lúdico e, sim, pela conexão que conseguiram estabelecer com as dobraduras e os
conceitos geométricos. Eles foram unânimes em concordar que as relações matemáticas
observadas nas dobragens podem contribuir com o ensino e a aprendizagem da Geometria.
6.3 Respostas sobre a viabilidade de aplicações das atividades futuramente
Questões 09, 10 e 12
Objetivo: constatar a viabilidade da aplicação dessas atividades em aulas futuras
ofertadas pelos participantes.
6.3.1 Professores
Nessas perguntas do questionário foi priorizado constatar uma possível reprodução das
atividades apresentadas nas aulas dos professores participantes. Assim, tinha a intenção de
verificar se eles consideram importante que os alunos construam seus próprios sólidos,
buscando entender se, na concepção dos participantes, as atividades executadas são ou não
aplicáveis em sala de aula.
Em unanimidade, as respostas foram positivas e justificadas de diversas formas como:
permite que os alunos “sejam autônomos em seu aprendizado”, “construam seu próprio
conhecimento”, “aprendam conceitos já vistos em sala”, “percebam melhor a
tridimensionalidade”, além de “apresentar ao professor uma forma lúdica de ensinar”. Entre as
respostas, destaca-se:
P2: “Acho muito importante, pois no momento em que eles estarão construindo os
sólidos, eles também estarão construindo seu próprio conhecimento. Eles aprenderão, na
prática, conceitos aprendidos em sala e terão de utilizá-los na construção dos sólidos.”
Foi ainda perguntado aos professores se, caso existisse um material de apoio com
orientações do passo-a-passo, se eles o utilizariam para construir os sólidos nas aulas de
Geometria. Todos responderam que sim e destacaram a importância de possuir um material
norteador em mãos, o que pode ser percebido por meio das seguintes respostas:
P3: “Sim, pessoalmente preciso dessa orientação, pois não consigo gravar todos os
passos, com orientação me resguardo de não esquecer nenhuma das etapas.”
98
P5: “Sim, recentemente pensei em enviar um e-mail solicitando os passos utilizados na
construção dos origamis, pois pretendo desenvolver novamente com meus alunos.”
P6: “Com certeza, todo material de apoio é bem-vindo, principalmente quando vemos o
pouco tempo disponível ao professor para planejamento em meio a tantas tarefas
burocráticas.”
O questionário foi finalizado com a seguinte pergunta: É possível ensinar Matemática
através do Origami? Com exceção de um professor que não respondeu à pergunta, todos os
outros apresentaram resposta afirmativa. Algumas trazendo as seguintes justificativas:
P2: “Sim. É possível e creio que até necessário ensinar Matemática através do Origami.
O professor deve sempre buscar novas estratégias para se trabalhar o conteúdo de forma
atrativa e essa seria uma excelente ferramenta do processo de ensino-aprendizagem.”
P5: “Sim, não só pela geometria espacial, como também, a geometria plana e de
transformações (devido às simetrias e reflexões em relação a ponto ou retas).”
Compreende-se, portanto, que o objetivo desse trabalho foi alcançado, pois mesmo para
aqueles que não acreditavam ser possível estabelecer relações do Origami com a Matemática,
após participarem da oficina acreditaram na possibilidade dessa união. E mais que isso,
admitiram a viabilidade de se ensinar Matemática através do Origami.
6.3.2 Estudantes
Os estudantes também foram unânimes em dizer que consideram importante que os
alunos construam seus próprios sólidos e justificam de formas distintas. Entre as respostas à
questão, destacam-se:
E1: “Sim. Através desse contato com o material concreto, ele vai compreender melhor
os conceitos.”
E2: “Sim, pois através do próprio prazer do manuseamento, eles se concentram mais
na atividade, focando em tudo que é apresentado a fim de obter o resultado final que é a
construção do sólido. Consequentemente, aprendem mais.”
E4: “Sim. Acredito que, construindo, os alunos podem identificaram melhor cada sólido
e podem, também, visualizar melhor as partes de cada sólido.”
E10: “Sim. Através da construção pela dobradura do origami, estimulamos além da
criatividade do aluno. Eles passam a reconhecer figuras, identificar semelhanças e diferenças
entre elas e simetrias.”
99
As justificativas vão, conforme visto, desde o uso do concreto, que permite o manuseio
e a visualização das partes, até o estímulo da criatividade, uma vez que cada sólido construído
é único e cada um faz uso de suas próprias estratégias para montá-los.
O estudante E7 atribui essa importância de construção a uma citação dos PCN, que leva
associação da Geometria a elementos do cotidiano. Segundo ele:
E7: “Sim. De acordo com o PCN (Parâmetros Curriculares Nacionais) de Matemática,
a Geometria deve ser estudada “a partir da exploração dos objetos do mundo físico, de obras
de arte, pinturas, desenhos, esculturas e artesanato”, pois, assim fica mais fácil para o aluno
compreender os conceitos geométricos e suas aplicações no cotidiano, relacionando o concreto
ao abstrato.”
Além disso, todos os estudantes disseram que, caso exista um material de apoio, eles
fariam o uso, o que pode ser notado pelas falas, dentre as quais se destaca:
E7: “Sim. Um material contendo o passo-a-passo seria de grande valia para que eu e
muitos outros professores pudéssemos executar uma oficina deste tipo em sala de aula. Com
esse material, ficaria muito mais fácil já que as dobras são muitas e diversificadas.
Conforme visto, o estudante classificou as dobragens como “numerosas e
diversificadas”, o que reforça a necessidade de o professor possuir um material que o auxilie na
efetivação do passo-a-passo. Além disso, ele enfatiza que este deve, ainda, possuir orientações
claras e objetivas, além de uma boa ilustração.
O questionário é encerrado perguntando-se aos participantes se eles consideram possível
ensinar Matemática através o Origami, sendo constatado que sim. Com exceção de um
estudante que deixou a questão em branco, todos os outros indicaram positivamente para essa
possibilidade, uma vez que, segundo eles, o Origami “possui um caráter autoexplicativo”,
“contribui para um efetivo aprendizado”, “explora diversas propriedades matemáticas” e
“permite a compreensão da Geometria através do manuseio de uma folha de papel”. Tais
justificativas se encontram nas seguintes respostas:
E5: “Sim, a utilização do mesmo tem caráter autoexplicativo, conforme a atividade
avança, o que contribui e muito para um aprendizado mais efetivo.”
E7: “Sim, é possível, pois as dobraduras do origami exploram diversas propriedades
matemáticas.”
E10: “Sim. É possível, por que o Origami faz com que o aluno foque no aprendizado
através da dobradura, compreendendo através do manuseio de uma folha de papel, a
geometria.”
100
Destacam-se, ainda, os estudantes E9 e E11, que consideraram a proposta “atrativa” e
“divertida”. Segundo eles:
E9: “É possível sim. E ainda acho que é um jeito divertido que prende mais a atenção
dos alunos.”
E11: “Sim, com a oficina, tive acesso a uma nova forma de ensinar. Uma forma mais
divertida e atrativa. Assim, o aproveitamento e absorção do conteúdo dos alunos é mais
garantida.”
Deve-se, porém, enfatizar que, apesar de as atividades propostas na oficina não terem
sido elaboradas voltadas para um “brincar de Matemática”, também não se exclui a
possibilidade de se ensinar Matemática de uma forma lúdica e prazerosa, utilizando o concreto
para aproximar do aluno aquilo que para ele ainda era imaginário.
Nas duas oficinas observou-se que os participantes compartilharam da opinião de que é
importante que os alunos construam seus próprios sólidos, pois podem visualizar, compreender,
reforçar, fixar e aprender, na prática, conceitos geométricos abordados em sala de aula. Porém,
para que isso ocorra em toda a sua complexidade, torna-se importante a existência de um
material de orientação do passo-a-passo das dobraduras para a confecção dos Sólidos. Portanto,
os participantes ressaltam sobre a importância de se ter um guia para o professor, já que o
caminho de dobraduras percorrido, ao longo da construção de cada módulo, é muito extenso e
de difícil memorização.
101
7 CONSIDERAÇÕES FINAIS
A presente pesquisa se propôs a investigar se há benefícios na aprendizagem geométrica
com a construção dos Poliedros Platônicos a partir do Origami, tendo, como público-alvo,
professores que ensinam Geometria e estudantes do curso de graduação em Matemática.
Procurou-se, nos trabalhos de Gazire (2000), Prieto (2002) e Rafael (2011), entre outros,
buscar, na história da Geometria, os registros sobre os Poliedros Platônicos e conhecer o
contexto histórico do Origami. Encontrou-se, nas obras de Rego, Rego e Galdêncio Jr (2003),
Kaleff (2003) e Genova (2001) embasamentos teóricos e propostas de ações que mostram os
benefícios da aprendizagem geométrica através do Origami, em especial na construção dos
Poliedros Platônicos. Vale ressaltar que o uso de um material manipulável – que neste caso se
trata do papel – contribui significativamente para impulsionar os benefícios acerca da
aprendizagem, pois é através dele que o sujeito se torna capaz de ser autor do seu conhecimento.
Apoiando-se nessas descobertas, preparou-se uma oficina contendo uma série de
atividades a serem realizadas pelos participantes, a fim de possibilitar um auxílio para a
construção de conceitos geométricos a partir do Origami. Em seguida, elaborou-se um
questionário que, em suma, visava constatar a viabilidade da aplicação dessas atividades em
sala de aula. A intenção era instruir pessoas capazes de propagar o uso da técnica apresentada.
Após a análise das atividades e questionário verificou-se que:
O uso do material manipulável – o papel – teve a função de amparar os participantes na
otimização das definições matemáticas na proporção em que elas surgiam. Cada forma
encontrada posterior a uma dobragem foi justificada por procedimentos algébricos ou
geométricos. Ao desempenhar uma atividade, apenas dobrando um papel se tornou
possível a identificação concreta dos entes geométricos (ponto, reta e plano), pois estes
eram descritos e representados durante todo o processo de execução das dobras.
O processo de construção dos modelos em Origami foi estrutural para a elaboração dos
conceitos, tais como: ponto médio, retas (paralelas, perpendiculares e concorrentes),
diagonais, eixos de simetria, alturas, bissetrizes, medianas, mediatrizes, ângulos,
proporções, semelhanças, dentre outros. Para realizar algumas dessas construções, era
importante saber tais conceitos, mas não um conceito pronto e acabado, e, sim, aquele
que podia ser percebido e definido a partir do momento em que houvesse a necessidade
de sua aplicação, uma vez que ele seria exemplificado na dobragem. Como aponta
Genova (2001), o Origami pode exercer o papel de mediador ao promover as
102
construções geométricas associando o reconhecimento das formas aos conceitos
teóricos.
Conforme as dobraduras iam sendo executadas, os participantes notavam vários
polígonos que se formavam: triângulos de vários tipos, quadrados, retângulos,
paralelogramos, trapézios, pentágonos, dentre outros. Usufruíu-se dessa ocorrência para
permitir que eles definissem essas figuras e determinassem suas propriedades. Em
conformidade com Kaleff (2003), considerou-se que as situações de investigação e
descoberta deviam ser incentivadas em sala de aula e identificou-se, nessas atividades,
uma boa oportunidade para promovê-las. Mesmo sem conhecer algumas das
propriedades em questão, os participantes puderam percebê-las ao manipular o papel
que tinham em mãos.
Depois de construir os módulos de cada Poliedro Platônico, os integrantes dos grupos
usaram sua intuição e criatividade para realizar as conexões entre as peças, pois existem
distintas possibilidades de exercê-las. Essa movimentação, como mostram Rego, Rego
e Galdêncio Jr (2003), contribuiu com o desenvolvimento da percepção geométrica
plana e espacial, além de estabelecer relações entre esses entes. Os elementos, como
arestas, vértices e faces, foram facilmente percebidos, os lados e ângulos das figuras
foram medidos e aferidos com réguas, esquadros e transferidores de cada participante.
Notou-se, na análise e interpretação do questionário, que uma das atividades que os
participantes consideraram mais interessante foi a demonstração do Teorema de
Pitágoras. Percebeu-se que essa tarefa proporcionou entusiasmo, curiosidade, surpresa
e exuberância ao conseguirem demonstrar um Teorema tão usado na Matemática. Os
participantes das oficinas disseram, em unanimidade, que aplicariam essa atividade em
sala de aula. Isso mostra que eles descobriram mais um recurso metodológico para
aplicar e reforça uma das vantagens de se ensinar Matemática através do Origami: a
possibilidade de realizar demonstrações de uma forma mais clara e adaptável à
linguagem para qualquer nível de ensino.
Rego, Rego e Galdêncio Jr (2003) destacam que toda dobradura possui um processo de
sequenciamento de etapas. Notou-se, nesse sentido, que esse método, indicado para a
execução das atividades, contribuiu com o desenvolvimento da coordenação motora,
com a concentração e memorização dos passos, com o modo de pensar e raciocinar
logicamente, com a interpretação da linguagem simbólica e com o requinte do senso
crítico e estético. Ao finalizar seus módulos e realizar os encaixes, os grupos
103
comparavam as produções entre si, muitas vezes desmontavam e montavam novamente,
a fim de obter um produto o mais perfeito possível com aprumo e harmonização de
cores.
Especificamente na oficina piloto (professores), identificou-se algo que Rego, Rego e
Galdêncio Jr (2003) também mostraram em sua obra: a possibilidade de o Origami
contribuir com o processo ensino/aprendizagem de outras disciplinas por meio de
trabalhos interdisciplinares com a Matemática. Nessa oficina, participaram professores
de diferentes áreas do conhecimento e cada um relatou uma forma de se fazer o uso
dessa técnica em sala de aula adequando-a ao seu campo de atuação.
Nem todas as pessoas que participaram das oficinas conheciam a técnica do Origami,
seu contexto histórico e sua composição axiomática. Considerou-se, então, que esta foi
uma proposta informativa que agregou conhecimento histórico e técnico, além de
relacionar essa arte com conceitos matemáticos. Vários participantes destacaram a
relevância de conhecer os Axiomas do Origami, pois seu uso em sala de aula fica
justificado e embasado cientificamente.
O trabalho em grupo permitiu que os participantes interagissem entre si, conforme eles
se viam em situações conflitantes as quais não conseguiam resolver sozinhos. A
colaboração coletiva se fez necessária em vários momentos do desenvolvimento das
atividades, principalmente quando era necessário encaixar os módulos, tarefa essa
considerada difícil apenas para uma pessoa executá-la. E como mostra Kaleff (2003), o
trabalho coletivo proporcionou o desenvolvimento da linguagem matemática à medida
que os sujeitos eram levados a discutir e confrontar suas ideias uns com os outros. O
agrupamento também proporcionou a expansão do vocabulário matemático.
Comprovou-se, assim, um grande potencial do Origami nas aulas de Geometria. Ele
pode possibilitar que os alunos saiam do campo da abstração onde eles só visualizavam
figuras no quadro ou nos livros didáticos, para o concreto, que os permite experimentar
tamanhos, texturas, cores e modelos que podem contribuir para identificação de formas
planas ou espaciais.
Ao realizar esta pesquisa descobriu-se a importância que a Geometria tem na história,
desde as necessidades de sobrevivência dos antigos povos egípcios até a aplicação de seus
recursos nas edificações do mundo moderno. Para além disso, encontrou-se, na história do
Origami, uma associação entre dobradura de papel e a Geometria. Desvendar os caminhos dessa
história axiomática foi importante para mostrar aos participantes que a Matemática não é uma
104
ciência pronta e acabada, ela está em constante movimento e, por isso, grandes descobertas são
realizadas todos os dias.
Parando para pensar em um contexto histórico, os axiomas do Origami, que começaram
a surgir na década de 1970, são contribuições muito recentes na história da Matemática e ainda
desconhecida por muitos do ramo. Talvez, a melhor forma que exista para descobrir coisas
novas é investigando, e quando se propõe atividades que levam alunos a investigar, tudo pode
acontecer, inclusive novas descobertas.
Alguns dos participantes das oficinas conseguiram, por exemplo, encaixar os módulos
do hexaedro – primeiro Poliedro Platônico a ser confeccionado – sem haver a necessidade de
seguir as instruções. Isso indica que eles criaram autonomia, que também é fundamental para
se descobrir algo. Agiram de forma intuitiva e assumiram os riscos, afinal, o máximo que
poderia acontecer era não obter o poliedro formado. Mas, quando conseguiam, era possível ver
no rosto de cada um a satisfação e a sensação de ter descoberto algo que ainda não havia sido
ensinado.
Notou-se que esses sentimentos vividos por uns e vivenciados por todos motivou a
participação e o empenho da maioria dos membros das oficinas. Afinal cada grupo queria
montar seu poliedro primeiro e mostrar para si e para os outros que eram capazes.
Outro fator interessante dessa pesquisa foi descobrir que boa parte dos pesquisados que
conheciam o Origami tiveram contato com essa técnica em um contexto relacionado ao ensino.
Isso revela que mesmo que ainda não seja conhecida ou ao menos explorada por todos, a técnica
já faz parte do âmbito escolar e pode ser mais utilizada por professores que se dispõem a aplicar
diferentes metodologias de ensino em sala de aula.
Pelos motivos expostos, presume-se que a escolha de um grupo de professores e um
grupo de estudantes que possivelmente irão lecionar esta disciplina foi acertada, apostando que
esses serão os multiplicadores do trabalho.
Ao ser proposto investigar se havia benefícios da aprendizagem geométrica que
perpassam pela abordagem dos Poliedros Platônicos construídos a partir do Origami e quais
seriam, alguns puderam ser destacados, como:
1- Utilizar o papel como um material manipulável;
2- Perceber o Origami como um suporte para a elaboração de conceitos;
3- Permitir a definição de figuras e a determinação de suas propriedades;
4- Proporcionar atividades investigativas que possibilitem novas descobertas;
5- Contribuir com o desenvolvimento da percepção geométrica plana e espacial;
6- Permitir a demonstração de teoremas;
105
7- Promover a interpretação da linguagem simbólica;
8- Estimular a capacidade de se comunicar matematicamente e contribuir com a
expansão do vocabulário matemático;
9- Tornar acessível a relação da Matemática com outras disciplinas;
10- Interagir entre os pares com atividades colaborativas.
Esses são alguns dos benefícios que essa pesquisa conseguiu identificar na aplicação
das atividades. Mas não se pode deixar de considerar que o Origami já carrega consigo uma
vasta bagagem artística, e como tal, tem seus benefícios característicos por ser lúdico e concreto
que estimula a criatividade, a coordenação motora, o senso crítico e estético, dentre outros.
Por fim, ressalta-se que esta pesquisa contribuiu muito para o crescimento pessoal e
profissional da pesquisadora, pois trouxe novos conhecimentos que serão utilizados para
contribuir com a melhora de sua prática docente.
Espera-se, ainda, poder motivar outras pesquisas e colaborar com trabalhos que visem
a utilizar o Origami como um recurso metodológico nas aulas de Matemática ou áreas afins. E
como dizem os colegas origamistas: “mãos à dobra!”
106
REFERÊNCIAS
BARRETO, C. A. A Geometria do Origami como Ferramenta para o Ensino da
Geometria Euclidiana na Educação Básica. 2013. 86 f. Dissertação (Mestrado Profissional
em Matemática) – Universidade Federal de Sergipe, São Cristóvão, 2013.
BOYER, C. B. História da Matemática, 2.ed. São Paulo: Biücher, 1996.
BOGDAN, R. C., BIKLEN, S. K. Investigação Qualitativa em Educação, Porto: Porto
Editora, 1994.
BRASIL, Parâmetros Curriculares Nacionais: matemática / Secretaria de Educação
Fundamental. Brasília: MEC / SEF, 1997.
CAVACAMI, E.; FURUYA, Y. K. S. Explorando Geometria com Origami – Apostila
OBMEP, 2010.
COSTA, E. M. Matemática e Origami: Trabalhando Frações. Rio de Janeiro: Ciência
Moderna Ltda., 2007.
DANTE, L. R. Tudo é Matemática: 6ª série. São Paulo: Ática, 2005.
______. Projeto Teláris – Matemática – 6º ano, São Paulo: Ática, 2015.
ENGEL. P. Origami: from Angelfish to Zen. New York: Dover, 1994.
FIORENTINI, D.; LORENZATO, S. Investigação em educação matemática: percursos
teóricos e metodológicos – Coleção Formação de Professores. 3.ed. Campinas: Autores
Associados, 2012.
FUSE. T. Unit Origami: Multidimensional Transformations. Tokyo: Japan Publications,
INC, 1990.
GAZIRE, E. S. O Não Resgate das Geometrias, 217 f. 2000. Tese (Doutorado em Educação
Matemática) - Universidade Estadual de Campinas, Campinas, 2000.
GENOVA. C. Origami: a milenar arte das dobraduras. 3. ed. São Paulo: Escrituras, 2001.
GRANDE, J. J. D. Percepção Espacial e Geometria Primária. In: LINDQUIST, M. M.,
SHULTE, A. P. Aprendendo e Ensinando Geometria. São Paulo: Atual, 1994. p. 156-167.
IMENES, L. M. Geometria das Dobraduras – Vivendo a Matemática. 7. ed. São Paulo:
Scipione, 2003.
KALEFF, A. M. M. R. Vendo e Entendendo Poliedros: do desenho ao cálculo do volume
através de quebra-cabeças geométricos e outros matérias concretos. 2. ed. Niterói: UFF, 2003.
KANEGAE, M., IMAMURA, P. Origami Arte e Técnica da Dobradura de Papel. São
Paulo: Aliança Cultural Brasil Japão, 1989. n. p.
107
KAWAMURA, M. Polyhedron Origami: for beginners. Tokyo: Nihon Vogue CO., LTD,
2001.
LANG, R. J. Origami Geometric and Constructions. 2010. Disponível em:
<http://www.wiskundemeisjes.nl/wp-content/uploads/2008/02/origami_constructions.pdf>.
Acesso em: 13 dez. 2015.
LIMA, E. L.; CARVALHO, P. C. P.; WAGNER, E.; MORGADO, A. C. A Matemática do
Ensino Médio, Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 2004. V. 2.
LEROY, L. Aprendendo Geometria com Origami. 2010. 79 f. Monografia (Pós-graduação
em Matemática) – Universidade Federal de Minas Gerais, Belo Horizonte, 2010.
LUCAS, E. S. C. Uma Abordagem Didática para a Construção dos Poliedros Regulares e
Prismas Utilizando Origami. 20013. 81 f. Trabalho de Conclusão de Curso (Pós-graduação
Profissional em Matemática) – Universidade Federal de Lavras, Lavras, 2013.
MACHADO, N. J. Os Poliedros de Platão e os dedos da mão – Vivendo a Matemática. 8.
ed. São Paulo: Scipione, 2000.
MANSO, R, L, D. Origami: Uma Abordagem Pedagógica para o Ensino da Geometria no 9°
ano. 2008. 244 f. Dissertação (Mestrado em Educação) – Universidade de Lisboa, Lisboa,
2008.
MENEZES, Ebenezer Takuno de; SANTOS, Thais Helena dos. Verbete
paradidáticos. Dicionário Interativo da Educação Brasileira - Educabrasil. São Paulo:
Midiamix, 2001. Disponível em: <http://www.educabrasil.com.br/paradidaticos/>. Acesso
em: 06 de mai. 2016.
MITCHEL, D. Origami Matemáticos. Lisboa: Replicação, 2008.
MONTEIRO, L. C. N., Origami: História de uma Geometria Axiomática. 2008. 111 f.
Dissertação (Mestrado em Matemática para o Ensino) – Universidade de Lisboa, Lisboa,
2008.
MONTROLL, J. A plethora of polyhedral in origami. New York: Antroll Publiching
Company, 2002.
NOÉ, Marcos. Os sólidos de Platão. Brasil Escola, 2017. Disponível em:
<http://brasilescola.uol.com.br/matematica/os-solidos-platao.htm>. Acesso em: 5 abr. 2016.
PRIETO, J. I. R. Matemáticas y Papiroflexia. Revista Sigma, n.21, p. 175-192, 2002.
Disponível em: <http://www.cimat.mx/Eventos/secundaria10/03_Mats-y-Papiroflexia.pdf>.
Acesso em: 12 dez. 2015.
RAFAEL, I. Origami. Educação e Matemática, Lisboa, n. 114 p. 16-22, set./out. 2011.
Disponível em: <http://www.apm.pt/files/_EM114_pp16-22_4e6489d4d25fc.pdf>. Acesso
em: 4 abr. 2015.
108
REGO, R. G.; REGO, R. M.; GALDÊNCIO JÚNIOR, S. A Geometria do Origami:
Atividades de ensino através de dobraduras. João Pessoa: Universitária/UFPB, 2003.
ROCHA, J. F. M. (org.) Origens e Evolução das Ideias de Física, Salvador: EDUFBA,
2002.
SOUZA, J. R. Novo Olhar Matemática, São Paulo: FTD, 2010. v. 3.
109
APÊNDICES
Apêndice A – Questionário aplicado a professores e estudantes
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS
Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática
Mestranda: Anita Lima Pimenta
Oficina de Origami
“(...) Há uma grande diferença entre
compreender alguma coisa através da
mente e conhecer a mesma coisa através do
tato.”
Tomoko Fuse, origamista japonesa.
Questionário
01- Qual sua atual relação com o Ensino?
( ) Leciona ou lecionou para o Ensino Fundamental I.
( ) Leciona ou lecionou para o Ensino Fundamental II.
( ) Leciona para o Ensino Médio.
( ) Nunca lecionou.
02- Em sua opinião, qual a importância de se ensinar Geometria na escola básica?
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
03- Você considera relevante a abordagem dos Poliedros Platônicos nas aulas de
Geometria? Por quê?
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
04- Você já conhecia o Origami antes de participar desta oficina? Em caso afirmativo,
relate alguma experiência com esta técnica.
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
110
05- No primeiro momento da oficina foram apresentados os Axiomas do Origami. Você
considera importante conhecer tais axiomas? Essa abordagem contribuiu de alguma
forma com seu aprendizado? Por quê?
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
06- Uma das consequências dos Axiomas do Origami, que realizamos em nossa oficina,
foi a demonstração do Teorema de Pitágoras. Qual sua opinião em relação a esta
atividade? Você considera possível reproduzi-la no ensino básico?
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
07- Você imaginava estabelecer relações matemáticas com dobras de papel? Em sua
opinião isso pode contribuir com o ensino e a aprendizagem da Geometria?
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
08- O segundo momento da oficina foi reservado para a construção dos Poliedros
Platônicos com Origami. Como você classifica o grau de dificuldade na execução
dessa tarefa:
( ) Fácil ( ) Médio ( ) Difícil
09- Você considera importante que os alunos construam seus próprios Sólidos? Em caso
afirmativo justifique sua resposta.
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
10- Caso exista um material de apoio que lhe dê uma orientação do passo-a-passo, você
utilizaria essa técnica para construir os Sólidos em suas aulas de Geometria? Justifique
em caso afirmativo.
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
111
11- Qual sua opinião crítica sobre a oficina ofertada?
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
12- Depois de participar desta oficina você considera possível ensinar Matemática através
do Origami? Justifique em caso afirmativo.
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
112
113
Apêndice B - Produto
Elaboração: Anita Lima Pimenta
Orientação: Eliane Scheid Gazire
2017
114
115
Este paradidático é o resultado aplicado da dissertação de Mestrado “Construindo
Poliedros Platônicos com Origami: uma perspectiva axiomática”. A escolha de esse ser um
livro paradidático se deu, pois esse tipo de material não se limita ao conteúdo de um único
tema e nem a um único ciclo de ensino.
Ele traz assuntos relacionados à Geometria de uma forma lúdica e concreta, a fim de
levar o leitor a se envolver com a confecção de figuras que ele mesmo produz seguindo uma
orientação do passo-a-passo. Assim, o leitor se torna um participante ativo na construção do
seu conhecimento que, nesta proposta, surge através de suas próprias mãos.
Seu objetivo principal é auxiliar o professor, oferecendo a ele um apoio para
complementar suas aulas de Geometria através do uso de material manipulável. As propostas
didáticas aqui apresentadas sugerem o uso do Origami na construção de figuras geométricas
planas e espaciais.
O livro está organizado em cinco unidades:
Unidade I: Axiomas do Origami;
Unidade II: Triângulos e Esquadros;
Unidade III: Quadriláteros;
Unidade IV: Tangram;
Unidade V: Poliedros.
Cada unidade é estruturada a partir de um texto informativo seguido de um convite à
confecção de uma figura geométrica através da dobradura de papel. As instruções do Origami
estão organizadas em uma tabela composta por duas colunas: a da esquerda apresenta as
orientações por escrito e a da direita mostra o desenho dos diagramas.
Após essa abordagem, são apresentadas algumas atividades relacionadas ao tema
proposto a fim de garantir e verificar a aprendizagem dos conteúdos apresentados.
116
ESTRUTURA PADRONIZADA DAS UNIDADES
Título do texto informativo
Convite à dobradura
Apresentação das atividades
Agora que você conhece o material, bons estudos e mãos à dobra!
117
UNIDADE I ............................................................................................................... 119
AXIOMAS DO ORIGAMI .............................................................................................. 119
UNIDADE II ............................................................................................................... 127
TRIÂNGULOS E ESQUADROS ....................................................................................... 127
UNIDADE III ............................................................................................................... 142
QUADRILÁTEROS ....................................................................................................... 142
UNIDADE IV ............................................................................................................... 153
TANGRAM ............................................................................................................. 153
UNIDADE V ............................................................................................................... 162
POLIEDROS ............................................................................................................ 162
REFERÊNCIAS ............................................................................................................... 180
SUGESTÕES DE LEITURA ............................................................................................ 180
118
SÍMBOLO
SIGNIFICADO
Linha vale (dobra para frente)
Linha montanha (dobra para trás)
Dobrar para frente
Dobrar para trás
Dobrar e abrir novamente (vincar)
Encaixar
Dividir em partes iguais
119
UNIDADE I AXIOMAS DO ORIGAMI
120
De origem japonesa, a palavra Origami significa dobrar papel. Prieto (2002) explica que
Ori: dobrar – deriva do desenho de uma mão – e Kami: papel – provêm da representação de
uma seda. Essa arte foi estabelecida por todo o mundo. No Brasil, é conhecida com dobradura,
na língua espanhola como papiroflexia, no inglês como paperfolding.
Acredita-se que essa arte seja tão antiga quanto à origem do próprio papel. O Origami
pode ser simples ou modular, sendo o primeiro feito a partir de dobras em uma única folha
de papel, e o segundo consiste no encaixe de diversas peças geometricamente iguais sem o
uso de tesouras ou colas.
Atualmente, está cada vez mais comum o uso de folhas retangulares para a construção
de modelos poliédricos. O retângulo, cuja razão do lado maior para o menor é 1 √2⁄ , é muito
utilizado neste tipo de construção, uma vez que ele permite ampliações dos modelos com
muita facilidade. Um exemplo bem popular desse retângulo é a folha A4, que, além de ideal,
se torna acessível por ser facilmente encontrada no mercado e possuir baixo custo.
As construções geométricas tradicionais feitas por dobraduras também são regidas por
um conjunto de axiomas que permite provar a existência de cada dobra possível de ser
realizada. Rafael (2011) destaca o matemático ítalo-japonês Humiaki Huzita, da universidade
de Pádua na Itália – nasceu no Japão mas viveu muitos anos na Itália – que, na década de 70,
criou as seis operações que ficaram conhecidas como axiomas de Huzita. Em 2001, Koshiro
Hatori mostrou uma dobragem diferente dos axiomas existentes, surgindo, então, o sétimo
axioma. Os créditos deste último axioma também podem ser atribuídos ao francês Jacques
Justin, que o apresentou em uma publicação no ano de 1989. Isso nos leva a refletir que
pesquisas independentes expressaram as mesmas leis universais na linguagem matemática.
Vejamos, na prática, como reproduzir os “Axiomas do Origami”.
121
AXIOMAS DO ORIGAMI
Orientações Diagramas
01- Dados dois pontos distintos P1 e P2, há uma
única dobra que passa por eles.
02- Dados dois pontos distintos P1 e P2, há uma
única dobra que os torna coincidentes.
03- Dadas duas retas, r1 e r2, há uma única dobra
que as torna coincidentes.
04- Dados um ponto P e uma reta r, há uma única
dobra perpendicular à r que passa por P.
05- Dados dois pontos, P1 e P2, e uma reta r, se a
distância de P1 a P2 for igual ou superior à
distância de P2 a r, há uma única dobra que faz
incidir P1 em r e que passa por P2.
06- Dados dois pontos P1 e P2, e duas retas r1 e r2,
se as retas não forem paralelas e se a distância
entre as retas não for superior à distância entre
os pontos, há uma única dobra que faz incidir
P1 em r1 e P2em r2.
07- Dado um ponto P e duas retas r1 e r2, se as retas
não forem paralelas, há uma única dobra que
faz incidir P em r1 e é perpendicular a r2.
122
DIVISÃO DE UMA FOLHA QUADRADA EM TRÊS PARTES IGUAIS
Orientações Diagramas
01- Utilize uma folha quadrada e obtenha
sua diagonal.
02- Sobreponha os dois vértices superiores e
faça uma pequena marca obtendo o
ponto médio deste lado do quadrado.
03- Posicione uma régua entre o ponto
médio e o vértice inferior direito.
Marque a interseção da régua com a
diagonal.
04- Dobre o lado esquerdo do quadrado
sobre o ponto de interseção que
representa 1
3 da folha quadrada.
05- Dobre o lado direito sobre o último
vinco obtido.
06- Pronto! A folha quadrada está dividida
em três partes iguais.
123
DEMONSTRAÇÃO DO TEOREMA DE PITÁGORAS
Orientações Diagramas
01- Divida uma folha quadrada como
mostramos anteriormente.
02- Leve o lado inferior do quadrado até o
ponto de interseção.
03- Repita o procedimento com o lado
superior do quadrado.
04- Dobre os segmentos que fazem a união
dos pontos como indicado na figura ao
lado e obtenha triângulos.
05- Observe que os triângulos obtidos são
congruentes. Dobre para trás os dois
triângulos da parte superior do
quadrado.
06- Note, nesta figura, 3 quadrados formados
a partir dos lados dos triângulos (a, b e c):
Um quadrado formado pelo cateto a;
Um quadrado formado pelo cateto b;
Um quadrado formado pela hipotenusa c.
124
07- Colora o quadrado de lado b.
08- Colora com cor distinta o quadrado de
lado a
09- Com o auxílio de uma tesoura,
destaque os dois triângulos inferiores.
10- Agora, coloque os triângulos
recortados sobre a parte branca do
quadrado de lado c, sem sobreposição
de cores.
11- Observe que a soma dos quadrados dos
catetos (a e b) é igual ao quadrado da
hipotenusa (c).
125
01- Você acaba de constatar a consequência do quarto axioma do Origami na divisão de
uma folha quadrada em três partes iguais. Refaça o passo-a-passo e mostre onde
esse axioma é encontrado. Apresente sua solução em forma de desenho:
126
02- Relacione algum axioma do Origami que, para você, mais se assemelham aos
Postulados de Euclides:
127
UNIDADE II TRIÂNGULOS E ESQUADROS
128
As civilizações antigas já faziam o uso de algumas noções geométricas, por assim dizer,
em suas atividades diárias, como agricultura, construções e movimento dos astros. Por
necessidade e sobrevivência, os indivíduos que habitavam os arredores do Nilo se viam em
grande conflito quando o rio transbordava e alagava os campos danificando as demarcações
dos limites das propriedades. Para remarcar esses limites, os agrimensores utilizavam cordas
esticadas formando triângulos retângulos que os auxiliavam nos cálculos de extensão dos
terrenos.
O triângulo é considerado uma das figuras mais importantes no estudo da Geometria.
Ele é o menor polígono que pode ser formado, sendo composto por três lados e três ângulos
que são responsáveis por sua classificação. A ele são atribuídas várias relações métricas e a
mais importante delas é o famoso Teorema de Pitágoras. Este revela que:
As principais propriedades de um triângulo são:
A medida de um lado deve ser sempre menor que a soma das medidas dos outros dois
lados;
A soma das medidas dos ângulos internos é igual a 180°.
A medida de um ângulo externo de um triângulo é a soma dos dois internos opostos
a ele.
Agora, para você compreender melhor como classificar e conferir a aplicabilidade das
propriedades dessa figura geométrica que acabamos de apresentar, vamos confeccioná-las
com o Origami.
Em todo triângulo retângulo, o quadrado da medida da
hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos
catetos.
129
CONSTRUÇÃO DO TRIÂNGULO ISÓSCELES
Orientações Diagramas
01- Utilize uma folha quadrada e obtenha sua
diagonal.
02- Leve dois lados deste quadrado sobre a
diagonal obtida.
03- Dobre para cima o vértice inferior.
04- Marque bem o vinco a fim de obter os
vértices da base do triângulo (vire).
05- Está pronto seu Triângulo Isósceles
(triângulo que possui dois lados e dois
ângulos congruentes).
Classificando este Triângulo quanto aos ângulos, damos a ele o nome de Acutângulo, pois
ele possui três ângulos agudos.
130
CONSTRUÇÃO DO TRIÂNGULO ESCALENO
Orientações Diagramas
01- Utilize uma folha quadrada e obtenha sua
diagonal.
02- Leve dois lados deste quadrado sobre a
diagonal obtida.
03- Dobre sobre a diagonal.
04- Está pronto seu Triângulo Escaleno
(triângulo que possui os três lados e
ângulos com medidas distintas).
Classificando este Triângulo quanto aos ângulos, damos a ele o nome de Obtusângulo,
pois ele possui um ângulo obtuso.
131
CONSTRUÇÃO DO TRIÂNGULO EQUILÁTERO
Orientações Diagramas
01- Utilize uma folha retangular e dobre-a ao
meio no sentido horizontal.
02- Leve o vértice superior esquerdo até a
marca central de modo que se obtenha
um novo vértice inferior esquerdo.
03- Sobreponha o lado superior ao lado
esquerdo da figura.
04- Dobre para trás a ponta excedente e em
seguida a introduza dentro do módulo
(vire).
05- Está pronto seu Triângulo Equilátero
(triângulo que possui os três lados e
ângulos congruentes).
Classificando este Triângulo quanto aos ângulos, damos a ele o nome de Acutângulo, pois
ele possui três ângulos agudos.
132
CONSTRUÇÃO DO TRIÂNGULO RETÂNGULO
Orientações Diagramas
01- Utilize uma folha quadrada e obtenha sua
diagonal.
02- Está pronto seu Triângulo Retângulo
(triângulo que possui um ângulo de 90°)
Classificando este Triângulo quanto aos lados, damos a ele o nome de Isósceles, pois ele
possui dois lados congruentes.
133
O par de esquadros é composto por duas peças geralmente triangulares: um triângulo
retângulo escaleno e um triângulo retângulo isósceles.
Este é um instrumento muito utilizado nas aulas de Geometria e Desenho Geométrico.
Os esquadros possuem muitas utilidades, dentre as quais se destacam o traçado de linhas
perpendiculares / paralelas e a demarcação de ângulos.
Contudo, esta ferramenta didática preferencialmente graduada, pode auxiliar o
traçado de cevianas em um triângulo. Observe:
Cevianas são os segmentos que unem um vértice de um triângulo ao seu lado oposto
ou ao seu prolongamento. Todavia, existem três tipos de cevianas especiais chamadas de
segmentos notáveis de um triângulo, que recebem os nomes de altura, bissetriz e mediana.
134
Que tal aprender a fazer o par de esquadros com Origami?
CONSTRUINDO ESQUADRO ESCALENO
Orientações Diagramas
01- Utilize uma folha retangular A4 e
dobre-a ao meio no sentido horizontal.
02- Leve o vértice superior esquerdo até a
marca central de modo que se obtenha
um novo vértice inferior esquerdo.
03- Sobreponha o lado superior ao lado
esquerdo da figura e em seguida
introduza-o sob a “aba” obtida.
04- Dobre para trás a ponta excedente e
em seguida a introduza dentro do
módulo (gire 90°).
05- Encaixe a “aba” do lado direito no
“bolso” do lado esquerdo da figura.
06- Está pronto seu Esquadro de 30º e
60º.
07- Com o auxílio de uma régua faça as
devidas marcações de medida.
135
CONSTRUINDO ESQUADRO ISÓSCELES
Orientações Diagramas
01- Utilize uma folha retangular A4 e dobre-
a ao meio no sentido horizontal.
02- Agora dobre-a ao meio no sentido
vertical.
03- Leve os vértices superior direito e
inferior esquerdo até o centro da figura.
04- Leve também ao centro os outros dois
vértices.
05- Encaixe as “abas”, como indica a figura
ao lado.
06- Está pronto seu Esquadro de 45º.
07- Com o auxílio de uma régua, faça as
devidas marcações de medida.
136
01- Utilize os triângulos que confeccionou através do Origami e preencha a cruzadinha
abaixo:
1. Triângulo que possui um ângulo de 90°.
2. O ângulo principal do triângulo retângulo.
3. O triângulo equilátero têm ângulos...
4. Que triângulo possui os três lados congruentes?
5. Qual o menor polígono possível de ser formado?
6. Qual o nome dos ângulos do triângulo acutângulo?
7. Qual Triângulo possui um ângulo obtuso?
8. Triângulo que possui três lados diferentes.
9. Triângulo com dois lados congruentes.
02- Analise as duas afirmativas abaixo, assinale a correta e justifique:
a) Todo triângulo isósceles também é equilátero.
b) Todo triângulo equilátero também é isósceles.
137
03- Utilize sua criatividade e as dobraduras que aprendeu para demonstrar as
propriedades dos ângulos internos e do ângulo externo de um triângulo. Desenhe,
colora ou faça uma colagem com sua solução:
138
04- Analise as figuras e escreva o significado de cada ceviana traçada:
139
05- Dobre um triângulo equilátero como mostrado anteriormente e com a ajuda do
esquadro que você confeccionou vinque as três alturas relativas a cada lado desse
triângulo. Escreva abaixo suas conclusões a respeito das cevianas marcadas.
06- Repita o procedimento da questão anterior, porém, agora, utilize o triângulo
isósceles. O que você pode concluir?
140
07- Utilize seu par de esquadros e diga quanto mede os ângulos �̂� ,�̂�, �̂� 𝑒 �̂�:
08- Veja como fazer um paralelogramo utilizando o par de esquadros que você acabou
de produzir.
1. Com o auxílio do esquadro isósceles, trace uma reta e marque um segmento
AB.
2. Marque dois segmentos de mesma medida e mesma inclinação sobre os
pontos A e B.
141
3. Ligue os pontos C e D e estará pronto seu paralelogramo.
4. Informe as medidas de cada ângulo interno dessa figura.
09- Utilize a técnica que você aprendeu, na atividade anterior, e faça um quadrado com
os lados medindo 5 cm.
142
UNIDADE III QUADRILÁTEROS
143
Quadriláteros são polígonos formados por quatro lados. Alguns deles são especiais e
com características importantes, é o caso dos paralelogramos e os trapézios que pertencem
ao grupo dos quadriláteros convexos. Essas figuras planas possuem, respectivamente, dois
pares e um par de lados paralelos.
Os trapézios podem ser classificados como isósceles, quando possuem dois lados não
paralelos congruentes; escaleno, quando possui os lados com medidas diferentes e retângulo,
quando possuem dois ângulos retos. Já nos paralelogramos, podemos destacar os retângulos,
os losangos e os quadrados.
Todo quadrilátero possui duas diagonais. Essas, por sua vez, são segmentos que unem
dois vértices não consecutivos. Observe suas propriedades no quadro abaixo:
Depois de conhecer um pouco sobre os quadriláteros, é hora de realizar, na prática,
dobras que resultarão em cada uma das figuras aqui apresentadas.
144
CONSTRUÇÃO DO PARALELOGRAMO
Orientações Diagramas
01- Utilize uma folha quadrada e obtenha sua
diagonal.
02- Dobre os lados superior e inferior rente à
diagonal.
03- Vinque bem as laterais de modo que
“abas” não se sobreponham no centro da
figura (vire).
04- Está pronto seu Paralelogramo
(quadrilátero que possui lados e ângulos
opostos congruentes e paralelos).
145
CONSTRUÇÃO DO RETÂNGULO
Orientações Diagramas
01- Utilize uma folha quadrada e dobre-a ao
meio no sentido vertical.
02- Está pronto seu Retângulo
(paralelogramo que possui ângulos
internos iguais a 90°)
146
CONSTRUÇÃO DO LOSANGO
Orientações Diagramas
01- Utilize uma folha quadrada e obtenha sua
diagonal.
02- Leve dois lados deste quadrado sobre a
diagonal obtida.
03- Leve um vértice ao outro como indica a
figura.
04- Retorne a dobra, trazendo consigo as
aberturas nas laterais como indica a
figura ao lado.
05- Reforce bem os vincos (vire).
06- Está pronto o seu Losango
(paralelogramo que possui lados
congruentes e ângulos opostos com a
mesma medida).
147
CONSTRUÇÃO DO QUADRADO
Orientações Diagramas
01- Utilize uma folha retangular e dobre o
vértice superior esquerdo rente ao lado
inferior da folha retangular.
02- Recorte o excesso como indica a figura
ao lado.
03- Está pronto seu Quadrado
(paralelogramo que possui lados
congruentes e ângulos internos iguais a
90°)
148
CONSTRUÇÃO DO TRAPÉZIO
Orientações Diagramas
01- Utilize uma folha quadrada e dobre-a ao
meio no sentido horizontal.
02- Dobre ao meio novamente no sentido
horizontal.
03- Dobre os vértices superiores até o vinco
formado, obtendo as trissetrizes dos
respectivos ângulos inferiores.
04- Está pronto seu Trapézio (quadrilátero
que possui apenas dois lados paralelos)
149
01- Utilize os quadriláteros que confeccionou através do Origami e preencha a
cruzadinha abaixo:
1. Polígono formado por quatro lados.
2. Aberturas formadas pelos lados dos quadriláteros.
3. Paralelogramo de lados paralelos congruentes e ângulos retos.
4. Paralelogramo de quatro lados e quatro ângulos congruentes.
5. Pontos de interseção de lados consecutivos de um quadrilátero.
6. Quadrilátero que tem apenas um par de lados paralelos.
7. Quadrilátero que tem os lados opostos paralelos.
8. Trapézio de quatro lados com medidas diferentes.
9. Trapézio que tem dois ângulos retos.
10. Trapézio que tem os dois lados não paralelos congruentes.
11. Distância medida na perpendicular entre as bases do trapézio.
12. Paralelogramo de quatro lados congruentes e ângulos opostos congruentes, sendo
dois agudos e dois obtusos.
150
02- Classifique as afirmações em verdadeiras ou falsas.
( ) Todo trapézio também é paralelogramo.
( ) Todo quadrado também é losango.
( ) Todo losango também é quadrado.
( ) Nem todo retângulo é quadrado.
( ) Existem losangos que também são retângulos.
( ) Todo retângulo também é quadrado.
( ) Nem todo retângulo é paralelogramo.
( ) Existem paralelogramos que também são trapézios.
151
03- Recorra às orientações das dobraduras e descubra as medidas dos ângulos internos
do paralelogramo, do losango e do trapézio que você confeccionou. Registre, nos
quadros abaixo, os procedimentos que o levou a esta conclusão:
152
04- Utilize os quadriláteros que produziu para identificar os eixos de simetria de cada um
deles. Marque os eixos sobre as figuras abaixo e sinalize com um X quando os
mesmos se coincidirem com a diagonal.
153
UNIDADE IV TANGRAM
154
Existem várias lendas sobre a história do Tangram, e, em uma delas, conta-se que um
imperador chinês, cansado de tanto tédio, chamou um de seus servos e ordenou que este
saísse por seu império e desenhasse em uma cerâmica quadrada toda a beleza que ele
encontrasse em seu caminho.
Então, lá se foi o servo em sua importante missão. Porém, antes mesmo que ele
deixasse o palácio, por um pequeno e fatal descuido, a cerâmica caiu de suas mãos e se dividiu
em sete pedaços. O desespero tomou conta daquele pobre homem que, temendo ser
castigado pelo imperador, tentou, imediatamente, reunir as peças e formar novamente o
quadrado.
Para sua surpresa a cada tentativa de montar o quadrado o servo percebia que se
formava ali uma figura diferente. Ele tentou várias vezes e ficou maravilhado com tantas
imagens que conseguira retratar.
Percebeu, então, que sua missão não estava perdida. E foi de encontro ao temido
imperador mostrar-lhe sua grande descoberta. Ao se aproximar, o imperador estranhou
tamanha agilidade do servo, porém, percebeu que em suas mão haviam apenas pedaços da
cerâmica que lhe fora entregue.
Os soldados foram chamados, mas antes que fosse ordenada qualquer sentença, o
humilde servo mostrou ao imperador que ele não precisava percorrer toda a china para
retratar-lhe as belezas daquele lugar; bastava que aquelas sete peças fossem unidas com
criatividade e as mais belas figuras se formariam. O imperador ficou encantado com tamanha
descoberta e deu o nome de Tangram àquele mágico quebra-cabeças.
E foi assim que o Tangram, um quebra-cabeças diferente do convencional, ficou
conhecido por todo o mundo. Ele é composto por 7 peças geométricas: 2 Triângulos Grandes,
1 Triângulo Médio, 2 Triângulos Pequenos, 1 Quadrado e 1 Paralelogramo. E a única regra do
jogo é que as peças sejam unidas sem que haja sobreposição das mesmas.
Este jogo se tornou um grande aliado da Matemática, pois permite o estudo da
Geometria de uma forma bem divertida. Com ele, é possível reconhecer, compor e decompor
figuras; explorar o cálculo de áreas e perímetros; incentivar o estudo dos ângulos; demonstrar
o Teorema de Pitágoras; dentre outros.
Agora que você já conhece a história e a utilidade do Tangram, vamos confeccionar
este jogo dobrando uma simples folha de papel. É hora de aprender se divertindo!
155
CONSTRUÇÃO DO TANGRAM
Orientações Diagramas
01- Utilize uma folha quadrada e obtenha
sua diagonal.
02- Sobreponha os vértices superior
esquerdo e inferior direito e marque o
vinco até o limite da diagonal obtida.
03- Encontre o vértice inferior esquerdo
com o centro do quadrado e obtenha a
dobra.
04- Sobreponha, novamente, os vértices
superior esquerdo e inferior direito e
marque o vinco até o limite da última
dobra obtida.
05- Leve o vértice inferior direito até o
centro da figura e marque o vinco entre
as duas dobras existentes.
156
06- Encontre o lado esquerdo do quadrado
com seu centro e faça um vinco entre as
dobras existentes.
07- Está pronto seu Tangram (quebra-
cabeças chinês composto por sete peças
geométricas).
08- Utilize diversas folhas coloridas, recorte
as sete peças e troque entre si para obter
um quebra cabeça bem divertido.
EXISTE UMA SÉRIE DE FIGURAS POSSÍVEIS DE SEREM FORMADAS COM O TANGRAM, VEJA
ALGUMAS IDEIAS:
http://espacotangram.com.br/nome-tangram/
157
01- Monte um quadrado utilizando apenas as cinco menores peças do jogo e desenhe as
soluções:
02- Mantenha o quadrado acima montado e, agora, utilizando os 2 triângulos maiores,
obtenha:
158
03- Antes de utilizar seu quebra-cabeças geométrico para formar diversas figuras,
marque os ângulos internos de cada uma das 7 peças que o compõem.
04- Este hexágono foi construído com as sete peças do Tangram. Informe as medidas dos
ângulos internos deste polígono:
159
05- Utilize o jogo que você acabou de confeccionar para preencher a tabela abaixo,
indicando os triângulos e quadriláteros possíveis de serem formados com as peças do
Tangram e desenhe as soluções:
N° de
peças do
Tangram
Triângulos
Quadrados
Retângulos
Paralelogramos
Trapézios
2
3
4
5
6
7
160
06- (ENEM – 2008) O Tangram é um jogo oriental antigo, uma espécie de quebra-cabeça,
constituído de sete peças: 5 triângulos retângulos e isósceles, 1 paralelogramo e 1
quadrado. Essas peças são obtidas recortando-se um quadrado de acordo com o
esquema da figura 1. Utilizando-se todas as sete peças, é possível representar uma
grande diversidade de formas, como as exemplificadas nas figuras 2 e 3.
161
Se o lado AB do hexágono mostrado na figura 2 mede 2 cm, então, a área da figura 3, que
representa uma “casinha”, é igual a:
a) 4 m2
b) 8 m2
c) 12 m2
d) 14 m2
e) 16 m2
07- Agora que você já explorou bastante seu Tangram, utilize-o para demonstrar o famoso
Teorema de Pitágoras.
162
UNIDADE V POLIEDROS
163
Os Poliedros Regulares são conhecidos desde a antiguidade. O livro XIII de Os
Elementos de Euclides é inteiramente dedicado a esses sólidos especiais. Na última proposição
deste livro fica comprovada a existência de apenas cinco Sólidos Regulares.
Mas, de acordo com Dante (2005), foi Platão, um filósofo grego, que deu ênfase e um
destaque místico a estes sólidos. Em sua obra Timaeus, ele explana seus pensamentos sobre
os sólidos em um possível encontro com o pitagórico Timeu de Locri. Neste diálogo, ele expôs
suas ideias sobre os Poliedros Regulares, que ficaram conhecidos como Poliedros Platônicos.
Dante (2005) conta que:
Neste trabalho de Platão, Timeu misticamente associa o tetraedro, o octaedro, o icosaedro e o cubo aos quatro “elementos” primordiais de todos os corpos materiais: fogo, ar, água e terra. Ele associou o quinto poliedro, o dodecaedro, ao Universo que nos cerca. E então? Você acha justo chamar esses poliedros de poliedros de Platão? (DANTE, 2005, p.98).
Assim, devido à associação dos poliedros aos elementos da natureza e ao Universo,
eles ficaram conhecidos também como “figuras cósmicas”. O matemático Johannes Kepler
explicou essa associação feita por Platão. Em uma relação de volume entre o tetraedro e o
icosaedro verificou-se que o primeiro possui um volume menor que o segundo. De acordo
com essa correspondência, se tem a ideia de seco e úmido, ligando, respectivamente, os
sólidos aos elementos fogo e água. O hexaedro e o octaedro foram tidos como mais e menos
instável, logo, se associando o hexaedro à terra, por sua estabilidade e o octaedro ao ar. O
dodecaedro foi associado ao Universo por suas doze estações zodiacais.
Depois desse pequeno resgate histórico sobre os Poliedros Platônicos, vamos aprender
a confeccioná-los através da arte de dobrar papel, o Origami.
164
CONSTRUÇÃO DO TETRAEDRO
Orientações Diagramas
01- Utilize uma folha retangular.
02- Dobre a folha ao meio.
03- Dobre o lado esquerdo da folha até o
vinco central obtendo1
4 da folha.
04- Leve o vértice superior direito à
marca de 1
4 obtida, tendo como limite
o ponto médio superior.
05- Sobreponha o vértice superior
esquerdo na dobra obtida.
06- Marque bem o vinco e abra a folha
novamente.
07- Leve o vértice inferior direito à
marca de 1
4 obtida, tendo como limite
o ponto médio inferior.
165
08- Sobreponha o vértice inferior
esquerdo na dobra obtida.
09- Marque bem o vinco e abra a folha
novamente.
10- Dobre os vértices superior direito e
inferior esquerdo rente ao primeiro
vinco.
11- Dobre os segmentos obtidos sobre o
segundo vinco.
12- Leve os seguimentos de encontro ao
centro.
13- Dobre as pontas de excesso para trás
e as introduza para dentro do
módulo.
14- Dobre a peça ao meio sobre seu
vinco central. Sobrepondo dois dos
quatro triângulos obtidos.
166
15- Observe os quatro triângulos
equiláteros e sobreponha os dois das
pontas sobre os dois centrais.
16- Para obter o outro módulo simétrico,
pegue outra folha e repita o
procedimento a partir do 10° passo,
porém com os vértices opostos.
17- Introduza os módulos como indicado.
18- Encaixe a segunda ponta sem que a
primeira se solte.
19- Realize os encaixes das duas pontas
restantes formando uma figura
tridimensional.
20- Está pronto seu Tetraedro (poliedro
regular com quatro faces
triangulares).
167
CONSTRUÇÃO DO HEXAEDRO
Orientações Diagramas
01- Partindo de uma folha retangular, dobre o
vértice superior esquerdo rente ao lado
inferior da folha retangular.
02- Recorte o excesso obtendo, assim, um
quadrado.
03- Divida a folha em três partes iguais (como
mostrado anteriormente). Dobre uma das
partes para frente e outra para trás, obtendo
um efeito sanfona.
04- Dobre os vértices superior direito e inferior
esquerdo sobre os respectivos lados
opostos.
05- Dobre as pontas sobre o quadrado central
obtido.
168
06- O módulo finalizado possui duas pontas e,
nas laterais do quadrado central, dois
“bolsos” que servirão de encaixes para a
montagem do sólido. Produza seis
módulos.
07- Pegue três módulos e encaixe como mostra
a figura.
08- Introduza outros dois no módulo central.
09- Encaixe as pontas laterais de modo a
iniciar a formação de um sólido.
10- Agora, introduza a última peça como se
estivesse colocando a tampa em uma
caixa.
11- Está pronto seu Hexaedro (poliedro
regular com seis faces quadradas).
169
CONSTRUÇÃO DO OCTAEDRO
Orientações Diagramas
01- Utilize uma folha retangular.
02- Dobre a folha ao meio.
03- Dobre o lado esquerdo da folha até o vinco
central obtendo1
4 da folha.
04- Leve o vértice superior direito à marca de
1
4 obtida, tendo, como limite, o ponto
médio superior.
05- Sobreponha o vértice superior esquerdo na
dobra obtida.
06- Marque bem o vinco e abra a folha
novamente.
170
07- Leve o vértice inferior direito à marca de 1
4
obtida, tendo como limite o ponto médio
inferior.
08- Sobreponha o vértice inferior esquerdo na
dobra obtida.
09- Marque bem o vinco e abra a folha
novamente.
10- Dobre os vértices superior direito e inferior
esquerdo rente ao primeiro vinco.
11- Dobre os segmentos obtidos sobre o
segundo vinco.
12- Leve os segmentos de encontro ao centro.
13- Dobre as pontas de excesso para trás e as
introduza para dentro do módulo.
14- Dobre a peça ao meio sobre seu vinco
central, sobrepondo dois dos quatro
triângulos obtidos.
171
15- Observe os quatro triângulos equiláteros e
sobreponha os dois das pontas sobre os
dois centrais. (confeccione dois módulos)
16- Para obter os módulos simétricos, pegue
outra folha e repita o procedimento a partir
do 10° passo, porém com os vértices
opostos. (confeccione dois módulos)
17- Introduza os módulos como indicado na
figura ao lado. Inicie pelos idênticos.
18- Encaixe as pontas, de modo a obter
vértices com quatro arestas.
19- Realize os encaixes das duas pontas
restantes formando uma figura
tridimensional.
20- Está pronto seu Octaedro (poliedro regular
com oito faces triangulares)
172
CONSTRUÇÃO DO DODECAEDRO
Orientações Diagramas
01- Utilize uma folha retangular e dobre-a ao
meio na vertical.
02- Dobre ao meio na horizontal.
03- Leve ao centro os vértices superior direito
e inferior esquerdo.
04- Leve os vértices superior esquerdo e
inferior direito até o centro.
05- Dobre sobre o vinco central, obtendo dois
pentágonos irregulares idênticos. Utilize
apenas um deles no próximo passo.
06- Leve os lados superiores do pentágono, um
a um, sobre sua base.
07- Posicione uma régua entre as marcas
obtidas nas laterais superiores do
pentágono. Marque o ponto de interseção.
173
08- Leve os vértices superior aos da base, um a
um, sobre o ponto de interseção, obtendo
um pentágono regular.
09- Encaixe os dois pentágonos irregulares no
meio do módulo para que ele fique mais
firme. O módulo finalizado possui dois
“bolsos” nas laterais superiores do
pentágono que servirão de encaixe para a
montagem do sólido. Produza doze
módulos.
10- Inicie com três módulos e encaixe-os,
como mostra a figura.
11- A partir daí encaixe os outros módulos um
a um.
12- Encaixe o último módulo, finalizando o
sólido.
13- Está pronto seu Dodecaedro (poliedro
regular com doze faces pentagonais).
174
CONSTRUÇÃO DO ICOSAEDRO
Orientações Diagramas
01- Utilize uma folha retangular.
02- Dobre a folha ao meio.
03- Dobre o lado esquerdo da folha até o vinco
central, obtendo1
4 da folha.
04- Leve o vértice superior direito à marca de
1
4 obtida, tendo, como limite, o ponto
médio superior.
05- Sobreponha o vértice superior esquerdo na
dobra obtida.
06- Marque bem o vinco e abra a folha
novamente.
175
07- Leve o vértice inferior direito à marca de 1
4
obtida, tendo como limite o ponto médio
inferior.
08- Sobreponha o vértice inferior esquerdo na
dobra obtida.
09- Marque bem o vinco e abra a folha
novamente.
10- Dobre os vértices superior direito e inferior
esquerdo rente ao primeiro vinco.
11- Dobre os segmentos obtidos sobre o
segundo vinco.
12- Leve os seguimentos de encontro ao
centro.
13- Dobre as pontas de excesso para trás e as
introduza para dentro do módulo.
14- Dobre a peça ao meio sobre seu vinco
central. Sobrepondo dois dos quatro
triângulos obtidos.
176
15- Observe os quatro triângulos equiláteros e
sobreponha os dois das pontas sobre os
dois centrais. (confeccione cinco módulos)
16- Para obter os módulos simétricos, pegue
outra folha e repita o procedimento a partir
do 10° passo, porém com os vértices
opostos. (confeccione cinco módulos)
17- Introduza os módulos como indicado na
figura ao lado. Inicie os encaixes pelos
módulos simétricos.
18- Encaixe as pontas de modo a obter vértices
com cinco arestas.
19- Realize os encaixes das pontas restantes
formando uma figura tridimensional.
20- Está pronto seu Icosaedro (poliedro regular
com vinte faces triangulares)
177
01- Utilize os sólidos que acabou de confeccionar para preencher a tabela abaixo.
Considere F como face, V como vértice e A como aresta.
Denominação do
Poliedro
Tipo de Face
F
V
A
TETRAEDRO
HEXAEDRO
OCTAEDRO
DODECAEDRO
ICOSAEDRO
02- Faça os cálculos e verifique se Euler tinha razão, ao afirmar essa relação para os
poliedros regulares.
178
03- Classifique em verdadeira ou falsa cada afirmação.
( ) O cubo é um poliedro de Platão.
( ) As faces de um icosaedro são triângulos equiláteros.
( ) As faces de um dodecaedro são hexágonos regulares.
( ) A Relação de Euler é válida somente para poliedros convexos.
( ) Se as faces de um poliedro convexo são polígonos regulares congruentes entre si, então
o poliedro também será regular.
( ) O hexaedro possui 12 vértices.
04- Considere o poliedro regular cujo número de faces é igual ao número de vértices e
responda:
a) Quantas faces, vértices e arestas possuem esse poliedro?
b) Que nome recebe esse poliedro?
c) Qual o formato das faces desse poliedro?
179
05- Preencha a cruzadinha de acordo com os conhecimentos adquiridos sobre os poliedros
regulares.
1. Filósofo que associou os sólidos regulares aos elementos da natureza.
2. Poliedro regular com faces pentagonais.
3. Sólido geométrico cujas superfícies são compostas por um número finito de
faces.
4. Polígono que compõe as faces do tetraedro, octaedro e icosaedro.
5. Poliedro com mesmo número de vértices e faces.
6. Número de arestas do octaedro.
7. Poliedro com todas as faces regulares iguais e que contém o mesmo número
de aresta em todos os vértices.
8. Poliedro regular também conhecido como cubo.
9. Poliedro regular composto por 12 vértices e 30 arestas.
180
REFERÊNCIAS E SUGESTÕES DE LEITURA
BARRETO, C. A. A Geometria do Origami como Ferramenta para o Ensino da
Geometria Euclidiana na Educação Básica. 2013. 86 f. Dissertação (Mestrado
Profissional em Matemática) – Universidade Federal de Sergipe, São Cristóvão, 2013.
BRASIL, Parâmetros Curriculares Nacionais: matemática / Secretaria de Educação
Fundamental. Brasília: MEC / SEF, 1997.
CAVACAMI, E.; FURUYA, Y. K. S. Explorando Geometria com Origami – Apostila
OBMEP, 2010.
COSTA, E. M. Matemática e Origami: Trabalhando Frações. Rio de Janeiro: Ciência
Moderna Ltda., 2007.
DANTE, L. R. Tudo é Matemática: 6ª série. São Paulo: Ática, 2005.
______. Projeto Teláris – Matemática – 6º ano, São Paulo: Ática, 2015.
ENGEL. P. Origami: from Angelfish to Zen. New York: Dover, 1994.
FUSE. T. Unit Origami: Multidimensional Transformations. Tokyo: Japan Publications,
INC, 1990.
GAZIRE, E. S. O Não Resgate das Geometrias, 217 f. 2000. Tese (Doutorado em
Educação Matemática) - Universidade Estadual de Campinas, Campinas, 2000.
GENOVA. C. Origami: a milenar arte das dobraduras. 3. ed. São Paulo: Escrituras,
2001.
GIOVANNI, J. R.; FERNANDES, T. M. OGASSAWARA, E. L. Desenho geométrico:
novo. São Paulo: FTD, 2002. (Obra completa – 4v.)
GIOVANNI, J. R.; FERNANDES, T. M. OGASSAWARA, E. L. Desenho geométrico:
novo: atividades. São Paulo: FTD, 2002. (Obra completa – 4v.)
IMENES, L. M. Geometria das Dobraduras – Vivendo a Matemática. 7. ed. São Paulo:
Scipione, 2003.
KALEFF, A. M. M. R. Vendo e Entendendo Poliedros: do desenho ao cálculo do
volume através de quebra-cabeças geométricos e outros matérias concretos. 2. ed.
Niterói: UFF, 2003.
181
KANEGAE, M., IMAMURA, P. Origami Arte e Técnica da Dobradura de Papel. São
Paulo: Aliança Cultural Brasil Japão, 1989. n. p.
KAWAMURA, M. Polyhedron Origami: for beginners. Tokyo: Nihon Vogue CO., LTD,
2001.
LANG, R. J. Origami Geometric and Constructions. 2010. Disponível em:
<http://www.wiskundemeisjes.nl/wp-
content/uploads/2008/02/origami_constructions.pdf>. Acesso em: 13 dez. 2015.
LUCAS, E. S. C. Uma Abordagem Didática para a Construção dos Poliedros
Regulares e Prismas Utilizando Origami. 20013. 81 f. Trabalho de Conclusão de Curso
(Pós-graduação Profissional em Matemática) – Universidade Federal de Lavras, Lavras,
2013.
MACHADO, N. J. Os Poliedros de Platão e os dedos da mão – Vivendo a Matemática.
8. ed. São Paulo: Scipione, 2000.
MANSO, R, L, D. Origami: Uma Abordagem Pedagógica para o Ensino da Geometria no
9° ano. 2008. 244 f. Dissertação (Mestrado em Educação) – Universidade de Lisboa,
Lisboa, 2008.
MITCHEL, D. Origami Matemáticos. Lisboa: Replicação, 2008.
MONTEIRO, L. C. N., Origami: História de uma Geometria Axiomática. 2008. 111 f.
Dissertação (Mestrado em Matemática para o Ensino) – Universidade de Lisboa, Lisboa,
2008.
MONTROLL, J. A plethora of polyhedral in origami. New York: Antroll Publiching
Company, 2002.
PRIETO, J. I. R. Matemáticas y Papiroflexia. Revista Sigma, n.21, p. 175-192, 2002.
Disponível em: <http://www.cimat.mx/Eventos/secundaria10/03_Mats-y-
Papiroflexia.pdf>. Acesso em: 12 dez. 2015.
RAFAEL, I. Origami. Educação e Matemática, Lisboa, n. 114 p. 16-22, set./out. 2011.
Disponível em: <http://www.apm.pt/files/_EM114_pp16-22_4e6489d4d25fc.pdf>.
Acesso em: 4 abr. 2015.
REGO, R. G.; REGO, R. M.; GALDÊNCIO JÚNIOR, S. A Geometria do Origami:
Atividades de ensino através de dobraduras. João Pessoa: Universitária/UFPB, 2003.
