GEOMETRÍA

267

Nace Isaac Newton enLincolnshire, Inglaterra.

Virrey del Perú José de Armendáriz,marqués de Castelfuerte.

1687

1643

1706

1676

1704

Virrey del Perú, Melchor de Navarra yRocafull, quien fortificó Lima y Trujillopara defenderlos de los piratas.

PublicaArithmeticauniversalis.

Virrey del Perú, Miguel Nuñez deSanabria (oidor decano de la RealAudiencia de Lima).

La Royal Society reconstruye con éxito elexperimento de Newton (composición de laluz y los colores) en su propia sede.

Publica Philosophiaenatural i s pr inc ip iamathematica.

Publica Enumeración de lascurvas de tercer orden.

Publica Óptica.

Virrey del Perú,Baltasar de la CuevaHenríquez.

Vi rrey del Perú,Pedro Álvarez deToledo y Leiva.

1727

Fallece IsaacNewton.

ACTUALIZACIÓN DOCENTE 2010

268

Sólidos Geométricos IPoliedros y Poliedros

Regulares

Sólido GeométricoEs aquella porción del espacio separadodel espacio inmediato por un conjuntode puntos que conforman la superficiedel sólido.Un sólido de acuerdo a su superficiepuede ser: poliedro (pirámide, prisma,etc.) o cuerpo redondo (esfera, cilindro,etc.).

Cuerpo redondo(Esfera)

Poliedro(Pirámide)

PoliedroEs aquel sólido geométrico cuyasuperficie está formada por cuatroo más regiones poligonales planas alas cuales se les denomina caras delpoliedro.Al lado común de dos caras sele denomina arista y al punto deconcurrencia de las aristas, vértice delpoliedro.

DIAGONAL DEL POLIEDROEs el segmento cuyos extremos son dosvértices ubicados en caras distintas.

* Los poliedros se nombran de acuerdoa su número de caras y pueden ser:

- Tetraedro ......... (4 caras)- Pentaedro ......... (5 caras)- Hexaedro ......... (6 caras)

Tipos de Poliedros

Teorema de Euler1. En todo poliedro, el número de

caras más el número de vérticeses igual al número de aristasaumentado en dos.

C: Número de caras.V: Número de vértices.A: Número de aristas.

Poliedros convexos

Poliedros no convexos

C+V=A+2

2. En todo poliedro, la suma de lasmedidas de los ángulos internos detodas las caras es igual a 360° porel número de vértices disminuidoen dos.

Scaras: Suma de medidas de losángulos internos de todas lascaras.

V: Número de vértices.

S caras=360°(v-2)

3. Para calcular el número de artistasde un poliedro, usaremos lasiguiente fórmula:

Donde:a : Cantidad de caras de “m” lados.b : Cantidad de caras de “n” lados.c : Cantidad de caras de “p” lados.. . .. . .. . .

N.° de Aristas= a.m+b.n+c.p+...2

Diagonal delPoliedro

Aristas

VérticeCaras

GEOMETRÍA

269

1. Tetraedro regular:

POLIEDROS REGULARES

Son aquellos poliedros cuyas caras sonpolígonos regulares. Solamente existen5 poliedros regulares y son:

Poliedro formado por cuatro triángulosequiláteros.

a

Forma de cara(Triánguloequilátero)

4

4

6

a a

a

2. Hexaedro regular o cubo:Poliedro formado por seis cuadrados.

a

3. Octaedro regular:Poliedro formado por ocho triángulosequiláteros.

8

6

12

a a

a

a

a

4. Dodecaedro regular:Poliedro formado por doce pentágonosregulares.

a

a

5. Icosaedro regular:Poliedro formado por veinte triángulosequiláteros.

20

12

30

a a

a

a

a

. Tetraedro regular:

P R O P I E DA D E S D E LO SPOLIEDROS REGULARES

a

Baricentro de la base

a

aa

h

h=a 63

V= a3 212

A=a2 3

h: alturaA: áreaV: volumen

Forma de cara(cuadrado)

6

8

12

a aa

a

Número de carasC

Número devértices

V

Número de aristasA

12

20

30

a

a

a

aaForma de cara

(Pentágono regular)

Número de carasC

Número devértices

V

Número de aristasA

Número de carasC

Número devértices

V

Número de aristasA

Forma de cara(Triánguloequilátero)

Número de carasC

Número devértices

V

Número de aristasA

Forma de cara(Triánguloequilátero)

Número de carasC

Número devértices

V

Número de aristasA

ACTUALIZACIÓN DOCENTE 2010

270

Nivel I

1) Un poliedro está formado por12 triángulos y 8 cuadriláteros,entonces el número de aristas y elnúmero de vértices del poliedroes:

a) 24 y 18 d) 34 y 16b) 26 y 18 e) 48 y 24c) 32 y 14

Calcula el número de aristas yvértices que tiene un poliedro queestá formado por 6 triángulos, 8cuadriláteros y 10 pentágonos.

. Octaedro regular:

d: diagonal delsólido

A: áreaV: volumen

a

aa a

a

d

V= a3 23

d=a 2

A=2a2 3

. Hexaedro regular (cubo):

d: diagonal delcubo

A: áreaV: volumen

d=a 3

A=6a2

da

a

a

a

a

V=a3

POLIEDROS CONJUGADOSSon conjugados aquellos poliedrosregulares en los que el número de carasde uno, es igual al número de vérticesdel otro (uniendo los centros de lascaras de uno, se obtiene el otro). Así,por ejemplo, el conjugado del hexaedroes el octaedro.

Resolución:

C=6+8+10=24

A=

A=50

Teorema de Euler: C+V=A+2

24+V=50+2V=28

(6x3)+(8x4)+(10x5)2

La superficie de un cubo es T,entonces la diagonal de dicho cuboes igual.

Resolución:

Da

aa

D=a 3= 3a2 ............. (1)

Dato: 6a2=T Þ 3a2=

En (1): D= =

T2

T2

2T2

El volumen del octaedro que seobtiene al unir los centros de lascaras contiguas de un cubo de ladoL es:

Resolución:

F

DB

E

Ch L

hA

L2

L2

ABCD es cuadrado

BA= ; h=

V=

V= .

V=

L2

L 22

2(SABCD.h)3

23

L2

L 22( )

2

L3

6

Resolución:

2

O

A

C

B

H

NM

2

2

2

3

3

En ∆AOC: OH=2 3∆ABC: BH=2 3∆HOB: ON=NH; OM=MB

Þ x= (Teorema puntos medios)

\ x= 3

BH2

En un tetraedro regular O-ABC dearista 4 u, calcula la distancia entrelos puntos medios de OB y OH (Hpunto medio de AC).

GEOMETRÍA

271

2) Un poliedro está formadopor “2K” pentágonos, “4K”cuadriláteros y “6K” triángulos.Calcula “K” si el número devértices es 62.

a) 4 b) 5 c) 6d) 8 e) 10

3) La suma entre el número decaras, vértices y aristas de unpoliedro convexo es 98. Calculael número de caras, sabiendo quela suma de los ángulos internosde todas sus caras es igual a7200°.

a) 28 b) 30 c) 24d) 22 e) 32

4) Halla el área y la diagonal de uncubo, sabiendo que la suma detodas sus aristas es 60 u.

a) 300 y 10 3 d) 384 y 8 3b) 150 y 5 3 e) 600 y 10 3c) 216 y 6 3

5) El volumen de un cubo equivalea “K” veces el cubo de lo quemide su diagonal. Calcula “K”.

a) 3 b) 3/3 c) 3/6d) 3/9 e) 3

6) Calcula el volumen de untetraedro regular en el cual laaltura de una de sus caras mide

3u.

a) 2/3u3 b) 2 2/3u3 c)8 2/3u3

d)6 2/3u3 e) N.A.

7) El área total de un octaedroregular es 18 3u 2. Halla lalongitud de su diagonal.

a) 2 u b) 3 u c) 2 3 ud) 3 2 u e) 2 2 u

8) La arista de un cubo mide 2u.Calcula la distancia desde unvértice hacia el centro de la caraopuesta.

a) 3 u b) 5 u c) 6 ud) 2 3 u e) 2 2 u

9) Calcula el volumen del octaedroregular que se forma al unirlos centros de las caras de unhexaedro regular de arista 6m.

a) 36m3 b) 72m3 c) 216m3

d) 36 2m3 e) 72 2m3

10) Halla la altura de un tetraedroregular cuya área total es 6 3u2.

a) 1 u b) 2 u c) 3 ud) 4 u e) 6 u

11) En el cubo mostrado, “O” es elcentro de la cara EFGH. Calculael área del triángulo AOC.

a) 80 2u2 b) 10 2u2 c) 50 2u2

d) 20 2u2 e) 25 2u2

12) En un cubo, la distancia desde unvértice a la diagonal del mismomide 6. Halla el volumen y elárea del sólido.

a) 8 y 24 d) 2 2 y 12b) 27 y 54 e) 3 3 y 18c) 64 y 96

13) La arista de un tetraedro regularmide “a”. Un plano pasa por unaarista y el punto medio de laarista opuesta. Calcula el áreade la sección determinada.

a) a2 2 b) a2 2/2 c) a2 2/4d) a2 3/2 e) N.A.

14) La altura de un tetraedro regularmide 6. Calcula el área de lasuperficie total de su respectivopoliedro conjugado.

a) 3m2 b) 2 3m2 c) 3m2

d) 6m2 e) 3 3m2

15) Calcula el número de diagonalesde un poliedro que está formadopor 6 triángulos, 8 cuadriláterosy 4 pentágonos.

a) 36 b) 66 c) 100d) 106 e) 126

Nivel II

16) ¿Cuántas caras tiene aquelpoliedro que tiene 20 aristas y12 vértices?

a) 5 b) 10 c) 15d) 12 e) 20

17) Halla la diferencia entre elnúmero de aristas y vértices deun icosaedro.

a) 16 b) 17 c) 18d) 20 e) 24

18) Un poliedro está formado por 8triángulos y “x” cuadriláteros.Halla “x” si el número de aristases 28.

a) 6 b) 8 c) 10d) 12 e) 20

B

A E

H

GC

F

O10 u

D

ACTUALIZACIÓN DOCENTE 2010

272

Nivel III

19) Halla el ángulo formado porlas diagonales de dos carascontiguas de un cubo si ambasdiagonales parten del mismovértice.

a) 30° b) 60° c) 45°d) 15° e) 75°

20) El área total de un tetraedroregular es 9 3 u2. Calcula elvolumen de dicho tetraedro.

a) 9 2/2 u3 d) 9 2/4 u3

b) 7 2/2 u3 e) 9 2/5 u3

c) 8 2/3 u3

21) Halla la relación en la que seencuentran las áreas totalesde un tetraedro regular y unoctaedro regular si la aristadel primero es el doble delsegundo.

a) 1:2 b) 2:1 c) 3:2d) 3:1 e) 4:1

22) Calcula el volumen del cubo siel área sombreada es 2 2 u2.

a) 2 u3 b) 2 u3 c) 2 2 u3

d) 4 u3 e) 4 2 u3

23) El área de una cara de untetraedro regular es de 40 cm2.¿Cuál es el área del polígonoque se obtiene al unir los puntosmedios de tres aristas que partende un mismo vértice?

a) 20 cm2 b) 10 cm2 c) 5 cm2

d) 2,5 cm2 e) 12 cm2

24) Calcula el volumen de unoctaedro regular cuya área esigual al área de un cubo de aristaigual a 4 3 cm.

a) 2 cm3 d) 6 cm3

b) 3 cm3 e) 12 cm3

c) 5 cm3

25) Calcula el volumen de untetraedro regular cuya altura esigual a la arista de un cubo cuyovolumen es igual a 144 m3.

a) 9 3 m3 d) 18 6 m3

b) 12 3 cm3 e) 12 6 m3

c) 18 3 m3

26) Calcula la relación entre losvolúmenes de un cubo y untetraedro regular inscrito en él.

a) 2 b) 4 c) 5d) 3/2 e) 3

27) Calcula la distancia entre loscentros de dos caras de untetraedro regular cuya aristamide “a”.

a) a/2 b) a/6 c) 2a/3d) a/3 e) 2a/5

28) Calcula el volumen del sólidoque se forma al unir los centrosde las caras de un cubo cuyaarista es igual a 2 cm.

a) 2/2 cm3 d) 3 cm3

b) 2/3 cm3 e) 6 2 cm3

c) 8 cm3

29) Se dan un octaedro regular y untetraedro regular, donde la aristadel segundo es el triple de la aristadel primero. Halla la relación deáreas de estos sólidos.

a) 2/7 b) 2/11 c) 3/8d) 2/9 e) 4/9

30) Si la diagonal de un octaedroregular mide 3 2u, calcula suvolumen.

a) 4,5 2 u3 d) 9 2 u3

b) 6 2 u3 e) 12 u3

c) 3 6 u3

31) Halla el volumen del tetraedroregular cuya altura mide “h”.

a) 9h3 2/8 d) 3h3 3/8b) h3 3/8 e) 3h3 3/4c) 3h3 2/5

32) En un cubo de 4cm de aristase une el punto medio de unaarista con los extremos de laarista diametralmente opuesta.Halla el perímetro del triánguloformado.

a) 16 cm d) (5 6+1)cmb) (2 3+1)cm e) (2 5+4) cmc) 4( 2+2)cm

33) Calcula el número de caras quetiene el poliedro mostrado.

a) 8 b) 6 c) 4d) 12 e) 16

34) Calcula el número de caras quetiene el poliedro mostrado.

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10

GEOMETRÍA

273

35) La figura muestra un cubo en lacual se pide el ángulo que formanlos segmentos alabeados BE yCF.

a) 30° b) 45° c) 60°d) 120° e) 90°

A

E H

G

CB

D

F

36) Un poliedro está formado por 10pentágonos, 15 cuadriláteros y20 triángulos. ¿Cuántas aristasy cuantos vértices tiene?

a) 85 y 42 d) 170 y 56b) 105 y 40 e) 190 y 62c) 150 y 38

37) En un poliedro la suma delnúmero de caras, vértices yaristas es 32. Calcula el númerode aristas.

a) 12 b) 13 c) 14d) 15 e) 16

38) Calcula el número de vértices deun poliedro en el cual el númerode aristas es el doble del númerode caras, además el número dearistas excede al número devértices en 8.

a) 9 b) 10 c) 11d) 12 e) 13

39) El volumen de un hexaedroregular es igual a su diagonal alcubo dividido entre:

a) 2 2 b) 3 2 c) 2 3d) 3 3 e) 3

40) La distancia entre los centrosde dos caras contiguas de unoctaedro regular es de 4m.Calcula su volumen.

a) 216 m3 b) 244 m3 c) 250 m3

d) 270 m3 e) 288 m3

41) Si se unen los baricentros de lascaras de un octaedro regular dearista 6 cm, se forma un sólidode volumen:

a) 16 cm3 d) 16 3 cm3

b) 8 cm3 e) 16 2 cm3

c) 8 2 cm3

42) En la figura se pide la aristadel cubo, sabiendo que el áreasombreada es 3 3 m2.

a) 2 m b) 3 m c) 1 md) 2 m e) 3 m

43) En el cubo de arista “a”,GP=PQ=QD. Halla el área dela región sombreada.

a) a2 2/4 d) 3a2 2/4b) 2a2 e) 3a2

c) 2a2 2/3

44) En un tetraedro regular, ladistancia entre dos aristas quese cruzan es 3 2. Calcula lalongitud de la arista del poliedroconjugado del tetraedro.

a) 1 b) 4 c) 2d) 3,5 e) 3

46) Calcula el área de la proyecciónde un tetraedro regular, cuyaarista mide 2m, sobre un planoperpendicular a una arista.

a) 2 m2 b) 3 m2 c) 2 m2

d) 3 m2 e) 4 m2

45) E n un o c t a ed ro r eg u la rP-ABCD-Q, M es punto mediode PC, tal que AM=2 5 cm.Calcula su volumen.

a) 64 cm3 d) 32 3cm3

b) 72 cm3 e) 64 2/3 cm3

c) 80 cm3

47) En el octaedro mostrado, calculala distancia de “G” a ABCD siAG=3 2 y G es baricentro dela cara OCD.

a) 1 b) 3 c) 2d) 5 e) 6

48) En la figura se muestra untetraedro regular de arista 4cm.Calcula el área de la regiónsombreada.

a) 2 b) 6 c) 4 3d) 4 e) 3/4

O

A

C

BH

M

E

A D

C

GF

H

QB

P

A

O

DCB