Contenido de Matemáticas · 6. Especificaciones de la prueba La prueba de graduandos está construida con ítems de selección múltiple que miden los niveles cognitivos según la

Contenido de Matemáticaspara la evaluación de Graduandos

Dirección General de Evaluación e Investigación Educativa −DIGEDUCA−

Contenido de Matemáticas para la evaluación de Graduandos 2014

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Contenido1. Objetivo del documento................................................................................. 32. Concepto de Matemáticas............................................................................ 43. Capacidades evaluadas en matemáticas................................................... 54. Conocimientos matemáticos........................................................................ 75. Subcontenidos y sus descripciones............................................................ 86. Especificaciones de la prueba................................................................... 117. ¿Cómo se evalúan las Matemáticas?........................................................ 148. Ejemplos de Ítems....................................................................................... 159. Recursos que pueden consultarse........................................................... 1710. Referencias................................................................................................. 18


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1. Objetivo del documentoEl presente documento tiene como objetivo principal dar a conocer los contenidos de Matemáticas que se incluyen en la evaluación de Graduandos 2014. Los objetivos específicos son:

● Difundir el enfoque que tiene la prueba de Matemáticas aplicada por la Dirección General de Evaluación e Investigación Educativa ‒DIGEDUCA‒.

● Informar sobre las competencias y contenidos que se evalúan en la prueba de Matemáticas.

● Proporcionar material para que los estudiantes puedan practicar. ● Retroalimentar a estudiantes, docentes y personas interesadas.

Este material es una guía que facilita la preparación de los participantes en esta evaluación cuyo propósito es conocer los avances en el proceso de enseñanza-aprendizaje al completar el ciclo diversificado, en el área de Matemáticas. Los resultados obtenidos permiten generar fundamentos objetivos que sirvan como insumo para la toma de decisiones de las autoridades y actores sociales en busca de mejorar la calidad educativa del país.


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2. Concepto de MatemáticasEl estudio de las matemáticas es prioritario en todos los países. Es par-te fundamental del Curriculum Nacional Base –CNB–. En la actualidad se califica como una de las ciencias importantes donde se utiliza el ra-zonamiento lógico que incluye el álgebra, aritmética, la geometría, la lógica matemática y probabilidad y estadística. Para PISA «…la forma-ción matemática es la capacidad del individuo, a la hora de desenvolver-se en el mundo, de identificar, comprender, establecer y emitir juicios con fundamento acerca del papel que juegan las Matemáticas como elemento necesario para la vida actual y futura de ese individuo, como ciudadano constructivo, comprometido y capaz de razonar » (p. 71). Las Matemáticas conforman una herramienta más en el proceso de cons-trucción del aprendizaje, donde la abstracción se empieza a exteriorizar por medio del pensamiento, con la capacidad de seguir procesos orde-nados y estructurados, necesarios para planificar estrategias en la solu-ción de problemas para la vida en sociedad. Además, involucra valores y fomenta actitudes en el estudiante que le permiten desarrollar las capa-cidades para percibir, comprender, asociar, analizar e interpretar los cono-cimientos adquiridos para enfrentar su entorno. Su propósito es desarrollar habilidades y destrezas básicas relacionadas con el pensamiento lógico, ya que se consideran como procesos menta-les para el razonamiento, para obtener información y para tomar decisio-nes. La comunicación entre individuos también se ve favorecida por el lenguaje matemático, pues los números, la geometría, la estadística y las probabilidades, son conocimientos que permiten a individuos de otras cul-turas y de otros idiomas diferentes, comunicarse y adquirir conocimientos.


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3. Capacidades evaluadas en matemáticasPara hacer una matemática real, es necesario desarrollar capacidades para adquirir el pensamiento lógico matemático que acompañen al ciuda-dano en su vida académica y profesional y que aplique en la resolución de problemas. La prueba de Matemáticas está diseñada para medir las capacidades que se adquieren en la escuela y aquellos que son adquiri-dos y desarrollados por los individuos a lo largo de su vida y que le serán presentados en el ámbito en que se sitúan los problemas de matemática, relacionados con cierto contexto o situación de la vida personal, trabajo, comunidad local y en la sociedad.

Las capacidades evaluadas en la prueba de Matemáticas se describen en la siguiente tabla:

Competencia Definición

Reproducción, defini-ciones y cálculos.

Incluye el conocimiento de hechos, la representación de equivalencias, aplicación de propiedades matemáticas, desarrollo de algoritmos de rutina o estándares, manipu-lación de expresiones con símbolos y fórmulas así como los cálculos correspondientes.

Conexiones e inte-gración para la reso-lución de problemas.

Los componentes de las matemáticas se unen y se enla-zan para establecer una buena relación entre ellos con el objetivo de resolver problemas que incluyen escenarios familiares y casi familiares. Implica el uso de diferentes estrategias, representaciones y argumentaciones con la aplicación del lenguaje simbólico y formal.

Pensamiento mate-mático, generaliza-ción y comprensión súbita (improvista, inmediata).

Es la interpretación matemática y modelada de los pro-blemas. Obtenida la primera solución se busca la gene-ralización de las soluciones y los problemas. Con este proceso se moviliza la comprensión, reflexión y creati-vidad para identificar conceptos o enlazar conocimien-tos. Involucra también el razonamiento matemático y la comunicación.


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La siguiente figura contiene las capacidades evaluadas en las pruebas de graduandos.

Figura 1. Capacidades evaluadas en matemáticas

Resolución de problemas Definiciones de cálculos

Pensamiento matemático

61%12%

27%

Fuente: DIGEDUCA, 2014.


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4. Conocimientos matemáticos Las Matemáticas son mucho más que conocimientos; es propiciar en los estudiantes el desarrollo de habilidades y destrezas para salir adelante en todas las actividades de la vida. Las destrezas y formas de pensamiento se desarrollan con base en los siguientes conocimientos:

Competencia Definición

Álgebra

Es la rama de las matemáticas que utiliza una combi-nación de letras, números y signos de operaciones, en donde las letras suelen representar cantidades desco-nocidas. Se inicia con el reconocimiento y creación de patrones, algoritmos aritméticos y algebraicos y el es-tudio de las funciones definidas en los números reales.

Aritmética

Parte de las matemáticas que estudia la composición y descomposición de la cantidad, representada por los nú-meros. Se realizan los cálculos básicos utilizados en la vida diaria: suma, resta, multiplicación y división. Incluye además fracciones y porcentajes (relacionados con la di-visión) y exponentes (relacionados con la multiplicación).

Geometría

Es la rama de la matemática que estudia las propieda-des de las figuras en el plano o el espacio. Su nombre deriva de Geos, tierra y metros, medir. Se incluyen ele-mentos de geometría euclidiana.

Lógica matemáticaEs la disciplina que se vale de métodos de análisis y ra-zonamiento; utiliza el lenguaje de las matemáticas como un lenguaje analítico.

Estadística

En esta categoría se pueden distinguir eventos posibles, imposibles y probables, es el inicio del estudio de las pro-babilidades, desarrollando diferentes partes de la teo-ría, llegando al estudio de la probabilidad condicionada. Relacionada con la probabilidad está la estadística que desarrolla destrezas de recuento, ordenación y clasifi-cación de los datos obtenidos por las observaciones, para poder hacer comparaciones y emitir conclusiones.


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5. Subcontenidos y sus descripciones5.1. Álgebra

Expresiones algebraicas

Es una combinación de letras, números y signos de operaciones, en donde las letras suelen representar cantidades desconocidas (variables o incógnitas), permiten traducir al lenguaje matemático expresio-nes del lenguaje habitual.

Valor numérico Consiste en sustituir los valores dados de las va-riables y luego realizar las operaciones indicadas.

Ecuaciones Igualdad que se cumple para determinado valor de la variable y contiene una o más incógnitas.

Relaciones

Es la correspondencia de un primer conjunto, lla-mado dominio, con un segundo conjunto, llamado contradominio, de manera que a cada elemento del dominio le corresponde uno o más elementos del contradominio.

Plano cartesiano Es un sistema de referencia conformado por dos rectas perpendiculares que se cortan en el origen.

FuncionesEs una relación a la cual se añade la condición de que a cada valor del Dominio le corresponde uno y solo un valor del Recorrido.

Sistemas de ecuaciones

Representa la agrupación de dos o más ecuaciones de dos o más incógnitas.

Proporcionalidad Es la igualdad entre dos razones.

Operaciones básicasEngloba operaciones como sumas, restas, multipli-caciones, divisiones, potenciación, radicación con números reales.

Potenciación Es una operación que consiste en multiplicar un nú-mero por sí mismo varias veces.

Regla de tres

Es un algoritmo que permite encontrar la solución de problemas cotidianos, encontrando el cuarto tér-mino de una proporcionalidad en donde general-mente se conocen tres.

5.2. Aritmética


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5.3. Lógica matemática

5.4. Geometría

5.5. Matemática comercial (Para Perito Contador y Secretariado)

Proposiciones Una oración declarativa que puede ser verdadera o falsa.

Tabla de verdad Se usa para determinar de un modo sistemático la verdad o falsedad de las proposiciones compuestas.

Conectivos lógicos Sirven para unir dos proposiciones simples.

Diagrama de flujo Representa gráficamente un algoritmo.

ÁngulosAbertura formada por dos rayos que parten de un mis-mo punto. Los rayos se llaman lados y el punto común, vértice.

TriángulosPolígono de tres lado y tres ángulos. Porción de plano limitada por tres segmentos unidos, dos a dos, por sus extremos.

Figuras planas Es una figura con todos los puntos en un plano, pero no todos en una recta.

Perpendicularidad Dos rectas son perpendiculares si se cortan de modo que formen ángulos adyacentes congruentes.

Área Es el espacio que se encuentra comprendido entre cier-tos límites. Es el tamaño de una superficie.

Sólidos Son cuerpos geométricos de figuras tridimensionales.

Volumen Es una magnitud, definida como el espacio ocupado por un objeto.

Perímetro La distancia alrededor de una figura bidimensional

SemejanzaDos polígonos son semejantes si sus ángulos corres-pondientes son congruentes y sus lados correspondien-tes son segmentos proporcionales.

Reparto proporcional

Es una distribución equitativa de una cifra en pro-porción directa o inversa.

Porcentaje

Es una cantidad que corresponde proporcionalmen-te a una parte de cien.También puede describirse como la proporción de una cantidad respecto de otra tomando como referencia la centena.

InterésPermite encontrar el valor que produce un capital proporcional al capital inicial, tiempo y a la tasa de interés.


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En la siguiente figura se muestra el porcentaje de ítems utilizados por áreas de las matemáticas, que se evalúan en las pruebas de graduandos.

Aritmética

Álgebra

Geometría

Matemática comercial

Estadística

Lógica

47,5%

22,0%

11%

9,1%

9,0%

1,0%


Figura 2. Áreas evaluadas


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6. Especificaciones de la pruebaLa prueba de graduandos está construida con ítems de selección múltiple que miden los niveles cognitivos según la taxonomía de Marzano. Robert Marzano desarrolló esta nueva taxonomía de objetivos educativos para res-ponder a las deficiencias de la taxonomía de Bloom, así como al contexto actual del aprendizaje basado en los programas oficiales de estudio o es-tándares. El modelo de destrezas del pensamiento de Marzano incorpo-ra un amplio rango de factores relacionados con el modo en que piensan los estudiantes y provee una teoría más fundamentada en la investigación para ayudar a los docentes a mejorar el pensamiento de sus estudiantes (Marzano, 2000).La nueva taxonomía de Marzano está constituida por tres sistemas: el autosistema, el sistema metacognitivo y el sistema cognitivo. Cuando se enfrenta la opción de empezar una nueva tarea, el autosistema decide si se continúa con el comportamiento vigente o se realiza la nueva actividad; el sistema metacognitivo fija las metas y está al tanto de qué tan bien se están alcanzando; el sistema cognitivo procesa toda la información nece-saria y el área del conocimiento provee el contenido (Marzano, 2000). El sistema cognitivo se subdivide en cuatro niveles de pensamiento: conoci-miento, compresión, análisis y utilización.


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Tabla 1. Sistema cognitivo de la taxonomía de Marzano

Conocimiento Comprensión Análisis UtilizaciónRecuerdo de la información exactamente como fue almacenada en la memoria permanente.Nombrar: identificar o reconocer la información pero no necesariamente se comprende su estructura.Ejecutar: realizar un procedimiento, pero no necesariamente se comprende cómo se produjo.

Identificar los detalles de la información que son importantes. Recordar y ubicar la información en la categoría apropiada.Síntesis: identifica la mayoría de los componentes de un concepto y suspende los detalles insignificantes del mismo.Representación: presentar la información en categorías para que sea más fácil de encontrarla y utilizarla.

Utilizar lo que han aprendido para crear nuevos conocimientos y aplicarlo en situaciones nuevas.Relación: identificar similitudes y diferencias importantes entre conocimientos.Clasificación: identificar categorías relacionadas al conocimiento de sobre y subordinación.Análisis de errores: identificar errores en la presentación y uso del conocimiento.Generalizaciones: construir nuevas generalizaciones o principios basados en el conocimiento.Especificaciones: identificar aplicaciones específicas o consecuencias lógicas del conocimiento.

Aplicar el conocimiento en situaciones específicas.Toma de decisiones: utilizar el conocimiento para tomar decisiones o tomar decisiones acerca del uso del conocimiento.Resolución de problemas: utilizar el conocimiento para resolver problemas o resolver problemas sobre el conocimiento.Investigación experimental: utilizar el conocimiento para generar y evaluar hipótesis o puede generar y evaluar hipótesis sobre el conocimiento.Investigación: utilizar el conocimiento para conducir investigaciones o puede conducir investigaciones del conocimiento.

Fuente: Marzano, R. J. (2001). Designing a new taxonomy of educational objectives. Experts in Assessment Series, Guskey, T. R., &Marzano, R. J. (Eds.).Thousand Oaks, CA: Corwin.


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En la siguiente figura se muestra la distribución de los ítems según la taxonomía de Marzano, en Matemáticas y Lectura.

Figura 3. Áreas evaluadas

0

10

20

3040

50

80

60

70

90

100

Conocimiento Compresión Análisis Utilización

Matemáticas Lectura



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7. ¿Cómo se evalúan las Matemáticas? El contenido de la evaluación está basado en términos de destrezas y habilidades complejas, necesarias para responder a situaciones reales que se plantean en la vida adulta. Para responder, los estudiantes deben poner en práctica las capacidades para analizar, razonar y comunicar ideas de manera efectiva mediante el planteamiento, la formulación y la resolución de problemas matemáticos. No se limita solo al conocimiento de la terminología, datos, procedimientos matemáticos, destrezas para realizar ciertas operaciones y cumplir con ciertos métodos, sino también implica la combinación de estos elementos para satisfacer las necesidades de la vida del individuo como ciudadano constructivo, comprometido y reflexivo.Las matemáticas son una aproximación a la realidad, brindan elementos de importancia para el proceso vital y permiten a la persona entender dicha realidad y, más aún, transformarla. Esto es posible porque en su nivel más elemental, responden a inquietudes prácticas: la necesidad de ordenar, contar, cuantificar y crear un lenguaje para las transacciones comerciales. Para utilizarlas en la vida cotidiana, es necesario desarrollar competencias matemáticas, es decir, destrezas y habilidades que acompañen al ciudadano en su vida académica y profesional para que puedan aplicarlas en la resolución de problemas. La prueba está conformada por 45 ítems. Para la resolución de la prueba, los estudiantes cuentan con un tiempo de 90 minutos. Las respuestas deben indicarlas en una hoja diseñada para procesamiento electrónico. Para resolverla deben utilizar lapicero negro no gel. Adicional a esto, la DIGEDUCA proporciona hojas de papel en blanco para hacer los ejercicios.La evaluación va acompañada de un cuestionario de factores que permiten a la DIGEDUCA analizar cuáles de estos tienen incidencia en el rendimiento de los estudiantes. Por lo tanto, es necesario que cada estudiante que se evalúe ponga todo su interés y empeño por responder no solo la evaluación, sino completar la información que se le solicita.


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8. Ejemplos de Ítems

Ítem No. 1Si M x N = 0 y M = 10, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera con respecto a N?

a) N es mayor que cero b) N es un número negativoc) N es igual a 0 d) N es el recíproco de M

Datos del ítem

Solución

Evalúa: Resolución de problemasÁrea: Aritmética¿Qué mide el ítem? Utilización del teorema ceroNivel de Marzano: Comprensión

Respuesta correcta: c

● Se debe establecer la condición M*N= 0 y M=10 ● La multiplicación entre dos variables solo puede ser cero cuando uno de los dos factores es cero.

● Por lo tanto N=0

Porcentaje de estudiantes que eligen cada opción

ÍTEM A B C D Sin respuesta

1 11,6% 9,7% 60,0% 15,9% 2,7%

Justificación de las opciones de respuestaA El error es establecer que N es mayor que cero ya que el producto sería

mayor que cero.B El error se da porque si N es negativa el resultado será menor que cero.D El error se da porque, si N es recíproco de M, entonces el resultado sería

el elemento neutro 1.


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Ítem No. 19Deseo encontrar un número que al sumarle su doble, me dé 210. ¿Cuál es la ecuación que resuelve este problema?

a) x + 2= 210 c) 2x–x = 210b) x +2x = 210 d) x+2+x = 210

Datos del ítem

Solución

Evalúa: Pensamiento matemáticoÁlgebra: Álgebra¿Qué mide el ítem? Plantear un problema sobre ecuaciones lineales.Nivel de Marzano: Análisis

Respuesta correcta: b ● Se determina un número x al que se le suma el doble 2x y obtiene como resultado 210.

● Escribiendo la ecuación se obtiene x+2x=210.

Porcentaje de estudiantes que eligen cada opción

ÍTEM A B C D Sin respuesta

19 19,1% 48,5% 12,3% 15,3% 4,7%

Justificación de las opciones de respuestaA No es correcta porque el estudiante no toma el dos como el doble sino

como la suma.C No es correcta porque el estudiante restó un número al doble de ese

mismo número.D No es correcta porque el estudiante toma el doble como suma y luego

suma de nuevo el número.


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9. Recursos que pueden consultarseLa DIGEDUCA libera los ítems en algunas pruebas para que puedan ser utilizados como un recurso para los docentes, en la siguiente dirección electrónica www.mineduc.gob.gt/digeduca. Estas se encuentran en la sección PRUEBAS LIBERADAS, divididas en tres secciones: Graduandos, Primaria y Docentes.


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10. ReferenciasMarcos teóricos de PISA 2003: la medida de los conocimientos y destre-zas en matemáticas, lectura, ciencias y resolución de problemas/ OCDE. — Madrid: Ministerio de Educación y Ciencia, Instituto Nacional de Eva-luación y Calidad del Sistema Educativo, 2004. 193 págs.Marzano, R. J. (2009. Designing a new taxonomy of educacional objeti-ves. Experts in Assessment Series, Guskey, T.R, & Marzano, R. J. (Eds.).ThousandOaks, CA: Corwin Press.

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