Embed Size (px)
DESCRIPTION
Curs rezistenta materialelor
Citation preview
1. METODA FORŢELOR
1.1 INTRODUCEREMetoda forţelor este o metodă generală de rezolvare a structurilor static nedeterminate, având
drept necunoscute forţele şi/sau momentele din legăturile suplimentare. Necunoscutele se determină exprimând condiţii de compatibilitate pe direcţia acestora. O ecuaţie de compatibilitate este o condiţie de natură geometrică pe care trebuie să o respecte poziţia deformată a unei structuri şi care condiţie deformată la rândul ei respectă continuitatea materialului şi legăturile existente.
1.2 SISTEMUL DE BAZĂ ŞI NECUNOSCUTELE METODEIÎn cazul metodei forţelor, se operează pe o structură static determinată, obţinută prin
suprimarea unui număr de legături la teren şi/sau interioare, egal cu gradul de nedeterminare statică:
c3rns . Legăturile se înlocuiesc cu necunoscute notate prin si n1iX , , rezultând o
structură purtând denumirea de sistem de bază SB. Pentru alcătuirea judicioasă a sistemului de bază trebuie avute în vedere următoarele criterii:
1. Structura obţinută prin suprimarea celor sn legături trebuie să fie static determinată atât pe
ansamblu cât şi pe porţiuni, adică să nu se genereze forme critice sau să existe porţiuni care să constituie sisteme cinematice şi porţiuni static nedeterminate.Forma critică este un sistem care are un număr suficient de legături (minim trei), dar care sunt
prost amplasate, permiţând deplasarea sistemului (fig. 1.1).Prin sistem cinematic se înţelege acel sistem care prezintă mai puţin de trei legături simple
corect amplasate, care să-i asigure fixarea la teren (fig. 1.1).
Fig. 1.1
2. Suprimarea legăturilor trebuie astfel realizată încât diagrama de momente PM să fie produsă de încărcările exterioare pe sistemul de bază static determinat şi cât mai apropiată de diagrama de momente finală trasată pe structura reală static nedeterminată. În acest fel se reduc posibilităţile de acumulare a erorilor.3. Sistemul de bază static determinat trebuie astfel adaptat încât volumul de lucru sau de calcule să fie cât mai redus. Dacă ultimele două criterii (considerente) au un caracter facultativ, primul criteriu este
obligatoriu.
Fig. 1.2
Fie structura din fig. 1.2. Gradul de nedeterminare static al acestei structuri este:443610ns
Structura este de patru ori static nedeterminată. Se suprimă patru legături exterioare sau patru legături interioare.
Variantă posibilă (pe ansamblu static determinată - fig. 1.3): 413212 c
05369ns (pe ansamblu static determinată - fig. 1.3).
2
Fig. 1.3 Fig. 1.4
04366ns (static determinat pe ansamblu - fig. 1.4).
04366ns (static determinat pe ansamblu - fig. 1.5).
Fig. 1.5 Fig. 1.6
05387ns (static determinat pe ansamblu - fig. 1.6).
Pentru figura 1.2: 413212 c , în care c este numărul de articulaţii:
Fig. 1.7
Pentru figura 1.6 rezultă:
Fig. 1.8
1.3 ALCĂTUIREA ECUAŢIILOR DE COMPATIBILITATEA. Acţiunea forţelor:Fie structura din figura 1.9a ( 01 M , 02 M , 03 M ).
Condiţiile de compatibilitate fiind de natură geometrică, vor exprima faptul că sistemul de bază SB static determinat trebuie să admită aceleaşi deplasări ca şi structura reală static determinată. În acest sens, analizând sistemul se constată că în secţiunea 3, există un capăt liber care, sub acţiunea încărcărilor şi a necunoscutelor se poate deplasa. Această deplasare are două componente: w3
(deplasare pe verticală), u3 (deplasare pe orizontală): 213121303 crns
3
Fig. 1.9
În structura reală, în secţiunea 3 există un reazem articulat (deplasările sunt nule). Condiţiile de compatibilitate vor exprima faptul că şi în sistemul de bază componentele deplasărilor secţiunii 3 trebuie să fie nule: 00 33 u,w . Se constată că deplasarea pe verticală w3 coincide cu deplasarea
pe direcţia necunoscutei X1, 12 v , iar deplasarea pe direcţia orizontală Bu coincide cu direcţia
necunoscutei X2, 23 u .
Cele două componente ale deplasării secţiunii 3, şi 2 se pot determina aplicând principiul
suprapunerii efectelor, având în vedere faptul că structura are o comportare liniar elastică. În aceste condiţii, cele două deplasări devin (fig. 1.10):
Fig. 1.10
p
p111 (1.1)
în care: componenta ij reprezintă deplasarea pe direcţia necunoscutei i, 21,i produsă de cauza
j (X1, X2 sunt forţele exterioare P).Din cele şase componente ale deplasărilor se pot calcula efectiv doar două p , p . Forţele
exterioare sunt cunoscute, celelalte patru componente se pot explicita ţinând seama de comportarea liniar elastică a structurii (proporţionalitatea dintre cauză şi efect, dintre deplasări şi acţiunile care le produc). Astfel, dacă în locul necunoscutelor X1 şi X2 acţionează forţe egale cu 1, se constatăurmătoarele (fig. 1.11):
Fig. 1.11
12121
11111
X
X
22222
21212
X
X
Înlocuind aceste valori în (1.1) rezultă:
0
0
2222121
1212111
p
p
XX
XX
(1.2)
Relaţia (1.2) reprezintă sistemul de ecuaţii de compatibilitate în cazul unei structuri de două ori static nedeterminată acţionată de un sistem de forţe oarecare. În general, în cazul unei structuri de sn
ori static nedeterminată, o ecuaţie i de compatibilitate are forma generală: 0X ipj
n
1jij
s
(1.3)
4Relaţia (1.3) exprimă condiţia ca deplasarea absolută (Xi reacţiune) sau relativă (Xi efort) în
sistemul de bază static determinat produs de toate necunoscutelor şi de forţele exterioare să fie egală cu zero.
B. Cazul variaţiei neuniforme de temperaturăFie structura din figură, supusă unei variaţii neuniforme de temperatură (fig. 1.12):
Fig. 1.12
Dacă se adoptă acelaşi sistem de bază şi se face acelaşi raţionament ca şi în cazul A, rezultă
sistemul de ecuaţii:
0XX
0XX
t2222121
t1212111
(1.4)
Relaţia (1.4) exprimă condiţia de compatibilitate în cazul unei structuri de două ori static nedeterminată supusă unei variaţii neuniforme de temperatură. t1 şi t2 sunt deplasările pe direcţia
celor două necunoscute în sistemul de bază produse de variaţia neuniformă de temepratură. În cazul
unei structuri de sn ori static nedeterminată, forma generală a ecuaţiei este: 0x itj
n
1jij
s
(1.5)
Relaţia (1.5) exprimă condiţia ca deplasarea absolută pe direcţia necunoscutei Xi (reacţiune) sau relativă (Xi efort) în sistemul de bază static determinat produs de toate necunoscutele şi de variaţia neuniformă să fie agală cu zero.
C. Acţiunea cedărilor de reazeme1. Nu există cedări pe direcţia necunoscutelorFie structura din figură (fig. 1.13):
Fig. 1.13
Dacă se adoptă sistemul de bază şi se face acelaşi raţionament ca şi în cazul A, rezultând
sistemul de ecuaţii:
0XX
0XX
c2222121
c1212111
(1.6)
Relaţia (1.6) exprimă condiţia de compatibilitate în cazul unei structuri de două ori static nedeterminată supusă unor cedări de reazeme fără să existe cedări pe direcţia necunoscutelor. c1 ,
c2 sunt deplasările pe direcţia celor două necunosctute produse de cedările de reazeme.
Forma generală a unei ecuaţii i pentru o structură de n ori static nedeterminată când pe direcţia
necunoscutei Xi nu se produce cedare de reazem este: 01
icj
sn
jijX (1.7)
Relaţia (1.7) exprimă condiţia ca deplasarea absolută pe direcţia necunoscutei Xi (Xi reacţiune) sau relativă (Xi efort) în sistemul de bază static determinat să fie egală cu zero.
2. Există cedare pe direcţia unei necunoscute.
5Fie structura din figură (fig. 1.14):
Fig. 1.14
Dacă se adoptă acelaşi SB şi se face acelaşi raţionament ca şi în cazul A, rezultă sistemul de
ecuaţii:
32222121
1212111 0
uXX
XX
c
c
(1.8)
Relaţia (1.8) reprezintă ecuaţia de compatibilitate în cazul unei structuri de două ori static determinată supusă unei cedări de reazeme când pe direcţia necunoscutei X2 există cedare.
Forma generală a unei ecuaţii i corespunde unei necunoscute Xi pe direcţia căreia există
cedare de reazem este: icedic
sn
jjijX
1(1.9)
Relaţia (1.9) exprimă condiţia ca deplasarea absolută pe direcţia necunoscutei X în SB static determinat să fie egală cu cedarea de reazem pe direcţia i iced . În relaţia (1.9) se adoptă semnul (+)
sau (-) după cum necunoscuta iX are sau nu acelaşi sens cu cedarea pe direcţia ei iced .
1.4 SEMNIFICAŢIA ŞI CALCULUL COEFICIENŢILOR NECUNOSCUTELOR
Forma generală a matricei coeficienţilor este:
nnninn
ni
ni
ij
.............
........
........
21
222221
111211
(1.10)
Se disting două grupe de coeficienţi: principali şi laterali.
1.4.1 Determinarea coeficienţilor:A. Coeficienţi principali de tipul ii care reprezintă deplasarea în sistemul de bază pe
direcţia necunoscutei Xi produsă de o acţiune egală cu 1 (unu) aplicată pe direcţia necunoscutei Xi
(fiind o deplasare elastică punctuală, se determină cu relaţia Mohr-Maxwell):
dxEI
MM
0
iiii
(1.11)
în care: iM este momentul încovoietor în sistemul de bază produs de o acţiune egală cu 1 (unu)
aplicată pe direcţia necunoscutei Xi; iM este momentul încovoietor în sistemul de bază produs de o
acţiune virtuală egală cu 1 aplicată pe direcţia necunoscutei Xi; EI este rigiditatea la încovoiere a secţiunii.
Formal, diagramele iM şi iM sunt identice, ca urmare, coeficienţii principali rezultă din
înmulţirea unei diagrame cu ea însăşi şi vor fi întotdeauna pozitivi.B. Coeficienţi laterali de tipul ij care reprezintă deplasarea în sistemul de bază pe direcţia
necunoscutei Xi produsă de o acţiune egala cu 1 (unu) aplicată pe direcţia necunoscutei Xi (fiind o deplasare elastică punctuală, se determină cu Mohr-Maxwell):
0
jiij
0
ijji dx
EI
MMdx
EI
MM (1.12)
6
în care: jM este momentul încovoietor în sistemul de bază produs de o acţiune egală cu 1 (unu)
aplicată pe direcţia necunoscutei Xi. Deoarece diagramele jM şi jM sunt formal identice şi având în
vedere că produsul ij MM este comutativ ijij . Se constată că matricea coeficienţilor este o
matrice simetrică. Practic, pentru calculul coeficienţilor se încarcă succesiv sistemul de bază SB cu acţiuni reale (virtuale) egale cu 1 (unu) 1, aplicate pe direcţia fiecărei necunoscute în parte şi se trasează diagramele de eforturi )(MM .
Fig. 1.15
Particularizând realţiile (1.11) şi (1.12) se calculează toţi coeficienţii:
0
1111 dx
EI
MM ,
0
2222 dx
EI
MM ,
0
212112 dx
EI
MM
OBSERVAŢIE: Având în vedere faptul că un coeficient lateral ij egal cu ji rezultă că, din
înmulţirea a două diagrame diferite, valoarea unui astfel de coeficient poate fi oarecare.
1.4.2 Verificarea coeficienţilor:În general, pentru o structură de n ori static nedeterminată: sMMM 21 (1.13a) sau
s
sn
iins MMMMMM
121 .......... (1.13b)
moment sumat rezultat din acţiunea concomitentă pe sistemul de bază a unor încărcări egale cu 1
(unu) aplicate pe direcţia tuturor necunoscutelor.
0
2s
n
jiijSS dx
EI
M
,
(1.14)
Suma coeficienţilor este egală cu un coeficient sumat SS obţinut prin înmulţirea diagramelor sumate
MS cu ea însă şi, MS fiind momentul încovoietor produs de o acţiune concomitentă a unor încărcări egale cu 1 (unu), aplicate pe direcţia tuturor necunoscutelor. Pentru verificarea coeficienţilor se procedează astfel:
a) Se însumează toţi coeficienţii:
0
2
0
221
0
2122
21
0
21
0
22
0
11122211
2
1
2
22
dxEI
Mdx
EI
)MM(dx
EI
MMMM
dxEI
MMdx
EI
MMdx
EI
MM
s
j,iij
(1.15)
b) Se încară sistemul de bază cu acţiuni egale cu 1 (unu) concomitent pe direcţia tuturor necunoscutelor şi se trasează diagrama de momente summate sM
Fig. 1.16
7
c) Aplicând relaţia (1.15) se calculează coeficientul sumat:
0
2s
ss dxEI
M (1.16)
şi se verifică dacă este egal cu suma tuturor coeficienţilor în virtutea relaţiei (1.14). Dacă egalitatea este satisfăcută, coeficienţii sunt corect calculaţi. În caz contrar, se verifică coeficienţii pe fiecare linie în parte (fiecare ecuaţie). Se însumează toţi coeficienţii unei linii (ecuaţiei):
issiniiinii
iiiniiiii
sn
jij
dxEI
MMdx
EI
)MMMM(Mdx
EI
MMdx
EI
MM
dxEI
MMdx
EI
MM
00
21
00
0
2
0
1321
1
.........
........
(1.17)
Coeficienţii unei ecuaţii sunt corect calculaţi dacă suma acestora
sn
iij
1
este egală cu un
coeficient sumat al liniei is obţinut din înmulţirea diagramei iM cu diagrama sumată sM . Aplicând
relaţia (1.17) pentru toate ecuaţiile, se poate depista coeficientul sau coeficienţii eronaţi. Dacă pentru nici una dintre ecuaţii nu este satisfăcută condiţia (1.17), se recalculează toţi coeficienţii.
1.5 SEMNIFICAŢIA ŞI CALCULUL TERMENILOR LIBERIA – acţiunea forţelor
Vectorul termenilor liberi are forma generală:
np
ip
p
p
ip
....
....
2
1
(1.18)
în care: ip reprezintă deplasarea în sistemul de bază pe direţia necunoscutei Xi produsă de forţele
exterioare şi se determină cu relaţia lui Mohr-Maxwell:
0
dxEI
MM ipip (1.19)
în care pM este momentul încovoietor în sistemul de bază produs de forţele exterioare date.
Practic, pentru calculul termenilor liberi se procedează astfel:a) Se încarcă sistemul de bază cu forţele exterioare date şi se trasează diagrama de moment
pM .
Fig. 1.17
b) Particularizând relaţia (1.19), se calculează termenii liberi:
0
1pp1 dx
EI
MM (1.20a)
0
2pp2 dx
EI
MM (1.20b)
8B – acţiunea variaţiilor neuniforme de temperatură
Vectorul termenilor liberi are forma:
nt
it
t
t
it
....
....2
1
(1.21)
în care, it reprezintă deplasarea în sistemul de bază pe direcţia necunoscutei Xi produsă de variaţia
neuniformă de temperatură şi care se calculează cu relaţia cunoscută:
iMtiNmtit h
tt
00 (1.22)
în care: t este coeficientul de dilatare termică; 2
ttt
0e
0i0
m
este temperatura medie sau temperatura
în axa barei; 0e
0i
0 ttt este diferenţa de temperatură între feţele barei; h sunt înălţimile secţiunilor
transversale ale barelor; ii MN
, sunt suprafeţele diagramelor iN şi iM pe bară produse de o
acţiune virtuală egală cu 1 aplicată pe direcţia necunoscutei Xi; 0tiN
0m dacă 0
mt şi iN au acelaşi
semn; 0tiM
0 dacă pe bara respectivă diferenţa de temperatură şi momentul încovoietor
tensionează aceeaşi fibră.Practic, pentru calculul termenilor liberi se procedează astfel:a) Pentru fiecare bară în parte se determină 0
mt , 0t şi se figurează printr-o linie punctată fibra
tensionată de temperatură (fibra de partea căreia temperatura este mai mare);b) Se determină înălţimile h ale secţiunilor barelor (care nu se cunosc) în ipoteza că toate barele au aceeaşi lăţime b;c) Se încarcă succesiv sistemul de bază cu acţiuni virtuale egale cu 1 şi se trasează diagrama de forţe axiale iN ;
Fig. 1.18
d) particulaizând (1.22) se calculează termenii liberi:
2
0
2
02
1
0
1
01
MtNmtt
MtNmtt
ht
t
ht
t(1.23)
C – acţiunea cedărilor de reazemeForma generală a vectorilor termenilor liberi este:
9
nc
ic
c
c
ic
....
....2
1
(1.24)
în care; ic reprezintă deplasarea în sistemul de bază pe direcţia necunoscutei Xi produsă de cedările
de reazeme şi se determină cu relaţia: cedkkic i
R (1.25)
în care: ikR sunt reacţiunile în reazeme ale sistemului de bază static determinat produse de o acţiune
virtuală egală cu 1 aplicată pe direcţia necunoscutei Xi; cedk sunt cedările din reazemele k pe direcţia
reacţiunilor ikR .
Practic, pentru calculul termenilor liberi se procedează astfel: se determină reacţiunile kiR (dacă
sunt necunoscute) produse de acţiunea succesivă a unor încărcări virtuale egale cu 1 aplicate pe direcţia fiecărei necunoscute în parte.
Fig. 1.19
Particularizând (1.25) se calculează termenii liberi:
cedkkc2
cedkkc1
2
1
R
R
(1.26)
1.6 VERIFICAREA TERMENILOR LIBERIA – acţiunea forţelorSe însumează toţi termenii liberi:
spspnp
npppnppp
sn
iip
dxEI
MMdx
EI
)MMM(M
dxEI
MMdx
EI
MMdx
EI
MM
00
21
00
2
0
121
1
...
......
(1.27)
Termenii liberi sunt corect calculaţi dacă suma acestora
sn
iip
1 este egală cu un termen
liber sumat sp obţinut din înmulţirea diagramei pM cu diagrama sM .
Practic, pentru verificarea termenilor liberi, se procedează astfel:
a) Se însumează toţi termenii liberi: p2p1
2
1iip
(1.28)
b) Se calculează termenul liber sumat: dxEI
MM
0
spsp
(1.29)
şi se verifică dacă acest termen liber este egal cu suma tuturor termenilor liberi.
10Dacă egalitatea este satisfăcută, termenii liberi sunt corect calculaţi. În caz contrar, se
recalculează toţi termenii liberi.
B – acţiunea variaţiei neuniforme de temperaturăSe însumează toţi termenii liberi:
stsMtsNmtnMMMtnNNNmt
ntnmt
nMMMtnNNNmtnMt
nNmtMtNmtMtNmtittt
sn
iit
h
tt
h
tt
MMMh
tNNNt
h
tt
h
t
th
tt
h
tt
0...21...21
0
21210
2121
0
0
22
0
11
021
1
......
......
......
(1.30)
Termenii liberi sunt corect calculaţi dacă suma termenilor liberi
sn
1iit este egală cu un
termen liber sumat st care se calculează în baza relaţiei (1.30).
Pentru verificarea termenilor liberi se procedează astfel:
a) se însumează toţi termenii liberi: tti
it 211
2
b) se încarcă SB concomitent cu acţiuni egale cu 1 pe direcţia tuturor necunoscutelor şi se
trasează diagrama de forţe axiale sumată sN .
Fig. 1.20
c) se determină termenul liber sumat st în baza relaţiei (1.30) şi se verifică dacă este egal cu
suma termenilor liberi.Dacă egalitatea este satisfăcută, termenii liberi sunt corect calculaţi. În caz contrar, se
recalculează toţi termenii liberi.
C – acţiunea cedărilor de reazemeSe însumează toţi termenii liberi:
cedksk
cedknkkk
cedknkckk
cedckknccc
sn
iic
R)RRR(
RRR
...
......
21
21211 (1.31)
sn21 kkkk RR...RR )( (1.32)
Relaţia (1.32) reprezintă reacţiuni sumate produse pe sistemul de bază de acţiunea concomitentă a unor încărcări egale cu 1 (unu) aplicate pe direcţia tuturor necunoscutelor.
sccedkk
n
iic s
s
R 1
(1.33)
11Termenii liberi sunt corect calculaţi, dacă suma acestora este egală cu un termn liber sumat
sc calculate în baza relaţiei (1.33).
Pentru verificarea termenilor liberi se procedează astfel:
a) se însumează toţi termenii liberi: cci
ic 211
2
;
b) se determină reacţiunile summate skR (dacă sunt necunoscute);
c) se determină termenul liber sumat în baza relaţiei (1.32) cedkksc s
R şi se verifică dacă
este egal cu suma termenilor liberi. Dacă egalitatea este satisfăcută, termenii liberi sunt corect calculaţi. În caz contrar, se
recalcuează toţi termenii liberi. După calculul şi verificarea coeficienţilor şi a termenilor liberi, aceştia se introduc în sistemul de ecuaţii de condiţie. Acesta se rezolvă, fiind obligatorie verificarea soluţiilor.
1.7 TRASAREA DIAGRAMELOR FINALE DE EFORTURISe încarcă concomitent SB static determinat cu forţele exterioare date (dacă există) şi cu
necunoscutele Xi rezultate din rezolvarea sistemelor de ecuaţii pentru care se trasează diagramele N, V şi M, care în fapt sunt diagramele finale pe structura reală static nedeterminată. Momentele finale din extremităţile barelor se pot determina aplicând principiul suprapunerii efectelor şi ţinându-se seama de comportarea liniar elastică a structurii.
Astfel, un moment final în orice secţiune va fi:
pi
n
1iipnn2211
f MXMMXM...XMXMMs
(1.34)
cu observaţia că, ultimul termen din cele două relaţii de mai sus este nul în cazul variaţiei de temperatură şi cedări de reazeme.
1.8 VERIFICAREA DIAGRAMELOR FINALE DE EFORTURIA. VERIFICĂRI STATICEAu ca obiectiv verificarea corectitudinii trasării digramelor de eforturi pe o structură static
determinată încărcată cu eventuale forţe şi cu necunoscutele iX determinate din rezolvarea sistemului de ecuaţii de compatibilitate.
A1 - Verificarea echilibrului nodurilorSe izolează fiecare nod în parte care se încarcă cu eventualele acţiuni concentrate din nod şi
cu eforturile din capetele de bară concurente în nodul respectiv după cum urmează:Forţele axiale – N se reprezintă prin vectori dirijaţi în lungul axei barei, cele negative
pătrunzând în nod, cele pozitive trăgând de nod.Forţele tăietoare – V reprezintate prin vectori normali la axa barei, cele pozitive în sens orar,
cele negative în sens antiorar.Momentele încovoietoare M – se reprezintă prin arce de cerc având concavitatea către nod şi
astfel orientate încât să tensioneze fibrele în conformitate cu diagrama de momente. Sub acţiunea acestor încărcări nodul trebuie să se găsească în echilibru şi care se verifică din condiţiile:
,x i 0 ,yi 0 0 iM
pe fiecare nod în parte.
A2 - Verificarea unor momente utilizând principiul LMVÎn acest scop se suprimă corespunzător momente din secţiune (în secţiune ia naştere o
articulaţie) care legătură se înlocuieşte cu momentul respectiv precum şi unele reazeme care se înlocuiesc cu reacţiunile respective, structurra transformându-se într-un mecanism total sau parţial.
12Se impune acestui mecanism o rotire virtuală arbitrară în jurul articulaţiei apărute şi se
verifică dacă LMV produs de acel moment, de forţele exterioare şi de reacţiunile din reazemele suprimate parcurgând deplasările virtuale pe direcţia lor este nul.
B. VERIFICĂRI ELASTICE SAU DE COMPATIBILITATEAu ca obiectiv verificarea corectitudinii rezolvării structurii static nedeterminate prin metoda
forţelor. Pentru verificări elastice sau de compatibilitate se procedează astfel: se înmulţeşte diagrama
finală de momente fM cu oricare dintre diagramele .iM
B1 - Acţiunea forţelor
01
22110
2
20
2
1
10
1
0
2211
0
ip
sn
jjijpinniii
pi
xo I
ip
ni
nxI
in
i
xI
i
i
xI
ix
I
ipnnx
I
if
XX...XXdE
MMXd
E
MM
...XdE
MMXd
E
MMd
E
M)MXM...XMXM(d
E
MM
Concluzia: 00
x
e
I
if
dE
MM (1.35)
Structura este corect rezolvată prin metoda forţelor dacă produsul dintre diagramele de
momente finală şi oricare din diagramele iM este nul.
B2 - Acţiunea variaţiei neuniforme de temperatură sau a cedării de reazeme
)reazemdecedare(
)atemperaturdeiatie(varxX...XXXdx
E
MM
...XdxE
MMXdx
E
MMdx
E
M)XM...XMXM(dx
E
MM
ci
itsn
jjijnniii
ni
nI
in
i
I
i
i
I
i
I
inn
I
if
12211
0
2
20
2
1
10
1
0
2211
0
0X
0X
icj
n
1jij
itj
n
1jij
s
s
Concluzia:
ic
it
I
if
dxE
MM
0(1.36)
Structura este corect rezolvată prin metoda forţelor dacă produsul dintre diagrama de momente finală fM şi o diagramă iM este egal cu termenul liber al ecuaţiei i cu semn schimbat.
Concluzii:Pentru rezolvarea unei structuri în cadre prin metoda forţelor, se parcurg nouă etape:1. stabilirea gradului de nedeterminare statică; 2. alcătuirea S.B. static determinat şi scrierea ecuaţiei de condiţii;3. calculul coeficienţilor necunoscutelor;
134. verificarea coeficienţilor necunoscutelor;5. calculul termenilor liberi;6. verificarea termenilor liberi;7. rezolvarea sistemului de ecuaţii şi verificarea soluţiilor;8. trasarea diagramelor finale de eforturi;9. verificări finale – verificări statice:
9.1verificarea echilibrului nodurilor;9.2verificarea unor momente prin L.M.V;9.3verificări elastice sau de compatibilitate.
OBSERVAŢIE:1. Analizînd relaţiile de calcul a coeficienţilor, se constată că aceştia nu depind de natura încărcării exterioare, ci doar de S.B. ales. Ca urmare, dacă o structură este supusă tuturor celor trei ipoteze de încărcari, este suficient să se calculeze şi să se verifice coeficienţii o singură dată, aceştia rămânând aceeaşi, indiferent de ipoteza de încărcare.2. În cazul structurilor o dată static nedeterminate este imposibilă verificarea coeficienţilor şi a termenilor liberi. Etapele 4 şi 6 lipsesc.
1.10 APLICAŢII1. Să se rezolve structura SND supusă unei variaţii de temperatură.
25 cm/daN102E , 43
o cm12
6040I
, 1510 gradt , m.bAC 60
Fig. 1.49
A. Stabilirea gradului de nedeterminare static: 21331103 )(crn s
cadrul este de două ori static nedeterminat;
B. Alcătuirea sistemului de bază SB static determinat şi scrierea ecuaţiilor de condiţii:- se păstrează încastrarea (grinda cotită în consolă);- o ecuaţie de condiţie i, exprimă faptul că deplasarea pe direcţia necunoscutei Xi, produsă
necunoscute şi de variaţii neuniforme de temperatură, să fie nule: 01
itj
n
jijX
Fig. 1.50
14
- pentru structură rezultă sistemul de ecuaţii:
0
0
2222121
1212111
t
t
XX
XX
C. Calculul coeficienţilor – se determină utilizând metoda Mohr-Maxwell
Fig. 1.51
C1 Principali - încarcă succesiv sistemul de bază SB cu acţiuni reale (virtuale) egale cu 1, aplicate pe direcţia fiecărei necunoscute în parte şi se trasează diagramele de eforturi
)M(M ii :
0
dxEI
MM iiii
000
1111 EI
726
3
266
2
1
EI
1dx
EI
MM
0000
2222 EI
2526
3
266
I2E
1666
EI
1dx
EI
MM
C2 Laterali - se înmulţesc diagramele de eforturi )M(M ii :
00
dxEI
MMdx
EI
MM jiijijji
în care: )( ii MM este momentul încovoietor produs de o acţiune reală (virtuală) egală cu 1 (unu),
aplicată pe direcţia necunoscutei Xi şi )( jj MM este momentul încovoietor produs de o acţiune reală
(virtuală) egală cu 1 (unu), aplicată pe direcţia necunoscutei Xj:
000
212112 EI
108666
2
1
EI
100dx
EI
MM
D. Verificarea coeficienţilor:
0
2
dxEIMs
n
j,iijss
în care, suma coeficienţilor este egală cu un coeficient sumat ss obţinut prin înmulţirea diagramelor
sumate Ms cu ea însăşi; Ms este momentul încovoietor produs de o acţiune concomitentă a unor încărcări egale cu 1 (unu), aplicate pe direcţia tuturor necunoscutelor):
Fig. 1.52
15
00
221211
n
j,iij EI
108252108272
EI
12
0000
2 1086
3
266
2
1
2
16
3
266
2
1
2
1
EIIEIEdx
EI
Msn
j,iijss
E. Calculul termenilor liberi:ii M
0m
0
tN
0mtit t
h
tt
în care: t este coeficientul de dilatare termică, 2
ttt
0e
0i0
m
este temperatura medie sau temperatura
în axul barei, 0e
0i
0 ttt este diferenţa de temperatură între feţele barei, h sunt înălţimile secţiunilor
transversale ale barelor, ii MN
, sunt suprafeţele diagramelor iN şi iM pe bară produse de o
acţiune virtuală egală cu 1 (unu) aplicată pe direcţia necunoscutei xi, 0tiN
0m dacă 0
mt şi iN au
acelaşi semn, 0tiM
0 dacă pe bara respectivă diferenţa de temperatură şi momentul încovoietor
tensionează aceeaşi fibră.
E1 Se determină pentru fiecare bară 0t şi 0mt şi se figurează fibra tensionată de
temperatură (fibra de partea căreea temperatura este mai mare):
0000
0000
e0i0
m
18018t
92
018
2
ttt
ACbara
,
0000
0000
e0i0
m
281018t
42
1012
2
ttt
CDbara
,
0000
0000
e0i0
m
10100t
52
100
2
ttt
BCbara
E2 Se determină înălţimile secţiunilor transversale ale barelor, în ipoteza în care toate barele
au aceeaşi lăţime b: 43
0072012
6040m.
..Io
m.,
.hh
h.m.I CDBCo 750
401201440
1240
014402 3
34
E3 Se încarcă succesiv SB cu acţiuni virtuale egale cu 1 (unu) pe direcţia fiecărei
necunoscute în parte şi se trasează diagramele iN :
Fig. 1.53
E4 Se determină termenii liberi: 5551 1052566
21
6018
1031510
.t ,
16
5552 10180666
2
1
750
2866
2
1
60
181061910
..t
F. Verificarea termenilor liberiTermenii liberi sunt corect calculaţi dacă este satisfăcută relaţia:
SS M
0m
0
tN
0mt
n
j,iitst t
h
tt
în care: SN
sunt suprafeţele diagramelor de forţă axială sumate, respectiv SM
moment sumat pe
bară, produse de acţiunea concomitentă a unor încărcări egale cu 1 (unu), aplicate pe direcţia tuturor necunoscutelor.
F1 Se însumează termenii liberi: 55t2t1
n
j,iit 101281101806525
F2 Se încarcă sistemul cu acţiuni egale cu 1 (unu), aplicate pe direcţia tuturor necunoscutelor şi se trasează diagramele de forţe axială sumată Ns:
Fig. 1.54
F3 se calculeză termenii liberi sumaţi:
n
j,iitst ..
5500
500 10128110662
1
60
2866
2
1
60
1810619315
G. Rezolvarea sistemului de ecuaţii:
kN.X
kN.X
XEI
XEI
XEI
XEI
29616
94413
0101806252108
01052510872
2
1
52
01
0
52
01
0
H. Trasarea diagramelor finale de eforturi: se încarcă concomitent sistemul de bază cu forţele exterioare şi cu necunoscutele aflate în etapa 7:
Fig. 1.55 Fig. 1.56
17
Fig. 1.58 Fig. 1.57
I. Verificarea diagramelor:I1 Static – verificarea corectitudinii trasării diagramelor de eforturi pentru o structură static determinată:
Fig. 1.59
- verificarea momentului încovoietor prin echilibrul nodurilor:
07769777697
02961629616
09441394413
0
0
0
..
,.
..
M
Y
X
i
i
i
,
008524896042
068686868
00
0
0
0
...
..
M
Y
X
i
i
i
- verificarea momentului încovoietor prin LMV – se suprimă un număr de legături corespunzătoare, structura devenind un mecanism total sau parţial; se imprimă o deplasare virtuală arbritrară şi se verifică dacă LMV–ul produs de eforturi, de forţele de legătură suprimate şi de forţele exterioare parcurgînd deplasări pe direcţiile lor, este nul:
Fig. 1.60
M3 – 0629616694413112140 ...LMV
I2 Elastic (de compatibilitate) – structura este corect rezolvată, dacă este îndeplinită condiţia:
it
0
if
dxEI
MM
18
în care, produsul dintre diagrama finală Mf şi oricare din diagramele iM este egal cu termenul liber
al ecuaţiei i cu semn schimbat:
it
f
.EI..
IEdx
EI
MM
5
5000
1 1052510441
7567566776976112142
6
6
2. Să se rezolve structura SND supusă unor cedări de reazeme.
25 cm/daN102E , 43
o cm12
6040I
, m.b 6013 , cmu 11 , cmv 21 , cmv 34 , 0
1 2
Fig. 1.61
A. Stabilirea gradului de nedeterminare static: 21331103 )(crn s
cadrul este de două ori static nedeterminat;
B. Alcătuirea sistemului de bază SB static determinat şi scrierea ecuaţiilor de condiţii:- se păstrează încastrarea (grinda cotită în consolă);- o ecuaţie de condiţie i, exprimă faptul că deplasarea pe direcţia necunoscutei Xi, produsă
necunoscute şi de cedări de reazeme, să fie nule:
n
jicjijX
10
Fig. 1.62
- o ecuaţie de condiţie i, exprimă faptul că deplasarea absolută în SB pe direcţia necunoscutei
Xi, să fie egală cu cedarea de reazem pe direcţia acesteia iced :
n
iicedicjijX
1
- se adoptă semnul + sau -, după cum cedarea de reazem iced are acelaşi sens sau nu cu
necunoscuta Xi de pe direcţia ei;
19
- pentru structură rezultă sistemul de ecuaţii:
42222121
1212111 0
vXX
XX
ced
ced
C. Calculul coeficienţilor – se determină utilizând metoda Mohr-Maxwell:
C1 Principali:
0
dxEI
MM iiii
000
1111 EI
726
3
266
2
1
EI
1dx
EI
MM
,
0000
2222
2526
3
266
2
1666
1
EIIEEIdx
EI
MM
C2 Laterali:
00
dxEI
MMdx
EI
MM jiijijji
în care: )( ii MM este momentul încovoietor produs de o acţiune reală (virtuală) egală cu 1 (unu),
aplicată pe direcţia necunoscutei Xi şi )( jj MM este momentul încovoietor produs de o acţiune reală
(virtuală) egală cu 1 (unu), aplicată pe direcţia necunoscutei Xj:
000
212112
108666
2
1100
EIEIdx
EI
MM
se încarcă succesiv sistemul de bază SB cu acţiuni reale (virtuale) egale cu 1 (unu), aplicate pe direcţia fiecărei necunoscute în parte şi se trasează diagramele de eforturi )(MM .
D. Verificarea coeficienţilor: nu este cazul;
E. Calculul termenilor liberi: cedkKiic R , în care, ic este deplasarea în SB produs de
cedările de reazeme pe direcţia necunoscutei Xi; KiR sunt reacţiunile din reazemele k ale SB
produse de o acţiune virtuală egală cu 1 pe direcţia necunoscutei Xi; cedk sunt cedările din
reazemele k pe direcţia reacţiunii KiR ; 0R cedkKi , dacă reacţiunea KiR şi cedarea de reazem
pe direcţia ei cedk au acelaşi sens;
- se încarcă succesiv SB cu acţiuni virtuale pe direcţia fiecărei necunoscute în parte Xi şi se
determină reacţiunea KiR :
Fig. 1.63 Fig. 1.64
m.,c 20180
260101
0
0
1
m..c 230
180
260201
0
0
2
20
F. Verificarea termenilor liberi: cedkkssc
n
1iic R
S
:
- se încarcă concomitent SB cu acţiuni egale cu unu pe direcţia fiecărei necunoscute în parte Xi
şi se determină reacţiunile sumate KSR : m...Sn
iic 03023020
1
Fig. 1.65
m...R cedkkssc
Sn
iic 03002010101
1
G. Rezolvarea sistemului de ecuaţii:
kNX
kNX
.XX
.XX
.,XEI
XEI
.XEI
XEI
160
640
01014420252108
0101442010872
030230252108
02010872
2
1
521
521
20
10
20
10
H. Trasarea diagramelor finale de eforturi: se încarcă concomitent sistemul de bază cu forţele exterioare şi cu necunoscutele aflate în etapa G;
Fig. 1.6 Fig. 1.67
Fig. 1.68 Fig. 1.69
21I. Verificarea diagramelor
I1 Static – verificarea corectitudinii trasării diagramelor de eforturi pentru o structură static determinată:- verificarea momentului încovoietor prin echilibrul nodurilor:
Fig. 1.70
0960960
0160160
0640640
0M
0Y
0X
i
i
i
- verificarea momentului încovoietor prin LMV:
Fig. 1.71
M3 – 0616066402880LMV
I2 Elastic (de compatibilitate) – structura este corect rezolvată, dacă este îndeplinită condiţia:
ic
0
if
dxEI
MM
(produsul dintre diagrama finală Mf şi oricare din diagramele iM este
egal cu termenul liber al ecuaţiei i cu semn schimbat):
c
f
..EIIE
dxEI
MM15
000
1 2010441
28800288006960628802
6
6
